• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

10 СЫНЫПТА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ƏДІСТЕМЕСІ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "10 СЫНЫПТА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ƏДІСТЕМЕСІ"

Copied!
5
0
0

Толық мәтін

(1)

Список использованных источников

1. Э.В. Щанкина «Языковые средства создания образности лирических песен как лингвокультурный элемент русского и английского песенного фольклора 16-19 вв», 2009

2. В.А. Жмуров «Большая энциклопедия по психиатрии», 2012

3. В.А. Кухаренко «Практикум по стилистике английского языка», 2000 4. Y.M. Skrebnev «Fundamentals of English Stylistics» / M., 2000

5. А.Н. Мороховский, О.П. Воробьева, Н.И. Лихошерст, З.В. Тимошенко «Стилистика английского языка»

6. https://science.direct.com//Gauging the association of EFL learners’ writing proficiency and their use of metaphorical language

7. https://science.direct.com// Theoretical structure of metaphors in emotional design, WonJoon Chung

8. https://science.direct.com //Acquiring Metaphorical Expressions in a Second Language

УДК 372.851

10 СЫНЫПТА ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ƏДІСТЕМЕСІ

Қадырова Қ.Т., 4 курс, М-17-31, А.Байтұрсынов атындағы Қостанай өңірлік универ- ситеті

Доспулова У.К, аға оқытушы, Қостанай өңірлік университеті

Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер орта мектептің математика курсын- да оқу материалының мазмұны бойынша да, оқу-танымдық іс-əрекет тəсілдері бойынша да маңызды орындардың бірін алады.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу тригонометрия бойынша барлық оқу материал- дарымен байланысты оқушылардың білімін жүйелеудің алғышарттарын жасайды (мысалы, тригонометриялық функциялардың қасиеттері, тригонометриялық өрнектерді түрлендіру əдістері жəне т.б.) жəне алгебра бойынша зерттелген материалмен тиімді байланыс орнатуға мүмкіндік береді (теңдеулер, теңдеулердің эквиваленттілігі, теңсіздіктер, алгебралық өрнек- терді бірдей түрлендіру жəне т. б.).

Басқаша айтқанда, тригонометриялық теңдеулерді шешу əдістерін қарастыру осы дағдыларды жаңа мазмұнға ауыстыруды қамтиды. Жалпы білім беретін мектептің 10-сынып бағдарламасында оқушылар «Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер» бөлімінде үйренеді:

- Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді қосымша аргумент енгізу арқылы шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді алмастыру тəсілі арқылы шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді тригонометрия формулаларын қолданып шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді тригонометриялық функциялардың дəреже көрсеткі- шін төмендету арқылы шешуді;

- Тригонометриялық теңдеулерді аттас тригонометриялық функциялардың теңдігінің

(2)

- Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешуді.

Егер белгісізі (айнымалысы) тринонметриялық функцияның аргументі түрінде берілсе, онда теңсіздікті тригонометриялық теңсіздік деп атайды. Егер теңдеудің құрамында белгісіз айнымалысы тригонометриялық функцияның аргументі түрінде берілсе, онда теңдеу тригонометриялық теңдеу деп аталады.

Тригонометриялық теңдеуді шешу дегеніміз – берілген теңдеуді дұрыс тепе-теңдікке айналдыратын аргументтің мəндерін табу болып табылады

Егер тригонометриялық теңдеулер

cos = , sin = , = , = .

(мұндағы –кез келген нақты сан) түрінде берілсе, онда бұл тригонометриялық теңдеулер қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп аталады.

Қарапайым теңдеулерді шешу:

I. sin =

Егер | | > 1 болса, онда sin = теңдеуінің шешімі болмайды. Себебі = sin функциясының мəндер жиыны [−1; 1] кесіндісі.

Егер | | ≤ 1 болса, онда sin = теңдеуінің шешімі болады. Арксинустың анық- тамасы бойынша берілген теңдеудің − ; кесіндісінде бір ғана шешімі бар жəне ол шешім

-ға тең.

; аралығында = sin функциясы кемиді жəне −1–ден 1–ге дейінгі, 1-ді қоса алғандағы, мəндерді қабылдайды. Сондықтан түбір туралы теорема бойынша осы аралықта sin = теңдеуінің бір ғана түбірі бар жəне ол түбір − -ға тең.

Демек, − ; кесіндісінде sin = теңдеуінің екі шешімі бар: мен

− жəне олар = 1 болғанда бірдей.

= sin функциясының периодтылығын (периоды 2 -ге тең) ескерсек, теңдеудің барлық шешімдерін жазудың формулаларын аламыз: = + 2 , = − + 2 ( −бүтін сан).

Осы екі формуланы біріктірсек,

= (−1) sin + , ( −бүтін сан немесе ∈ ) формуласы шығады.

sin = 1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: + 2 , ∈ sin = −1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: − + 2 , ∈ sin = 0 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: , ∈ .

Теңдеу Шешімді табу формуласы

sin = , | | > 1 ∅

sin = , | | ≤ 1 = (−1) sin + , ∈

sin = 1 =

2+ 2 , ∈

sin = −1 = −

2+ 2 , ∈

sin = 0 = , ∈

II. cos =

Егер | | > 1 болса, онда cos = теңдеуінің шешімі болмайды. Себебі = cos функциясының мəндер жиыны [−1; 1] кесіндісі.

(3)

Егер | | ≤ 1 болса, онда cos = теңдеуінің шешімі болады. Арккосинустың анық- тамасы бойынша берілген теңдеудің [0; ] кесіндісінде бір ғана шешімі бар жəне ол шешім

.

Косинус функциясы жұп функция болғандықтан, [− ; 0] кесіндісінде cos = тең- деуінің − –ға тең бір ғана шешімі бар.

Демек, [− ; ] кесіндісінде cos = теңдеуінің екі шешімі бар: мен − жəне ол шешімдер = 1 болғанда бірдей.

= cos функциясы периодты болғандықтан, теңдеудің қалған шешімдері табылған шешімдерден 2 -ге ( − бүтін сан) ерекшеленеді.

cos = теңдеуінің түбірлерін табудың жалпы формуласы:

= (−1) sin + , ∈ , мұндағы − бүтін сан жəне | | ≤ 1.

= 1 болғанда, мен − сандары бірдей. Сондықтан cos = 1 теңдеуінің шешімін табу үшін = 2 ( −бүтін сан немесе ∈ ) формуласы қолданылады.

cos = −1 теңдеуінің шешімдер жиынын + 2 , ∈ түрінде жазады. cos = 0 теңдеуінің шешімдер жиыны: + , ∈ .

Теңдеу Шешімді табу формуласы

cos = , | | > 1 ∅

cos = , | | ≤ 1 = ± cos + 2 , ∈

cos = 1 = 2 , ∈

cos = −1 = + 2 , ∈

cos = 0 =

2+ , ∈

III. =

= теңдігі орындалатындай –ның кез келген мəнінде − ; интервалына тиісті бір ғана саны бар, ол сан . Сондықтан = теңдеуінің − ; интервалында бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы –ге тең, = функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан = теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден –ге, мұндағы − бүтін сан ( ∈ ), айырмашылығы бар.

Демек, = теңдеуінің шешімі = + , мұндағы − бүтін сан ( ∈ ), формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны + , ∈ түрінде жазылады.

= теңдеуінің түбірлерін табудың жалпы формуласы:

= + , ∈ , мұндағы − бүтін сан жəне ∈ (−∞; +∞).

= 1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: + , ∈

= −1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: − + , ∈

= 0 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: , ∈ .

Теңдеу Шешімді табу формуласы

= , ∈ (−∞; +∞) = + , ∈

= 1 =

4+ , ∈

= −1 = −

4+ , ∈

(4)

I. =

= теңдігі орындалатындай –ның кез келген мəнінде (0; ) интервалына тиісті бір ғана саны бар, ол сан . Сондықтан = теңдеуінің (0; ) интервалында бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы –ге тең, = функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан = теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден –ге, мұндағы − бүтін сан ( ∈ ) , айырмашылығы бар.

Демек, = теңдеуінің шешімі = + , мұндағы − бүтін сан ( ∈ ), формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны + , ∈ түрінде жазылады.

= теңдеуінің түбірлерін табудың жалпы формуласы:

= + , ∈ , мұндағы − бүтін сан жəне ∈ (−∞; +∞).

= 1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: + , ∈

= −1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: + , ∈

= 0 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі: + , ∈ .

Теңдеу Шешімді табу формуласы

= , ∈ (−∞; +∞) = + , ∈

= 1 =

4+ , ∈

= −1 =3

4 + , ∈

= 0 =

2+ , ∈

Егер белгісізі (айнымалысы) тринонметриялық функцияның аргументі түрінде берілсе, онда теңсіздікті тригонометриялық теңсіздік деп атайды.

Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерге келесі 16 теңсіздік жатады:

sin > , sin ≥ , sin < , sin ≤ , cos > , cos ≥ , cos < , cos ≤ ,

> , ≥ , < , ≤ ,

> , ≥ , < , ≤ . (мұндағы –кез келген нақты сан, −белгісіз айнымалы)

I. sin > , sin ≥ , sin < , sin ≤ түріндегі қарапайым теңсіздіктер

Егер | | ≥ 1 болса, онда sin > теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер < −1 болса, онда sin > теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер −1 ≤ < 1 болса, онда sin > теңсіздігінің шешімі + 2 < < −

+ 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер > 1 болса, онда sin ≥ теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер ≤ −1 болса, онда sin ≥ теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер = 1 болса, онда sin ≥ теңсіздігінің шешімі

= + 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер −1 < < 1 болса, онда sin ≥ теңсіздігінің шешімішекаралық бұрыштарды қамтиды жəне + 2 ≤ ≤ − + 2 , ∈

түрінде жазылады. Егер > 1 болса, онда sin < теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер ≤ −1 болса, онда sin < теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер −1 < < 1 болса, онда sin < теңсіздігінің шешімі− −

+ 2 < < + 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер ≥ 1 болса, онда sin ≤ теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер < −1 болса, онда sin ≤ теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер = −1 болса, = − +

(5)

2 , ∈ . Егер −1 < < 1 болса, онда sin ≤ теңсіздігінің шешімі− − +

2 ≤ ≤ + 2 , ∈ түрінде жазылады.

cos > , cos ≥ , cos < , cos ≤ түріндегі қарапайым теңсіздіктер. Егер ≥ 1 болса, онда cos > , теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер < −1 болса, онда cos > , теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер −1 ≤

< 1 болса, онда cos > , теңсіздігінің шешімі − + 2 < < + 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер > 1 болса, онда cos ≥ теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅ Егер ≤ −1 болса, онда cos ≥ теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер = 1 болса, онда cos ≥ теңсіздігінің шешімі = 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер −1 < < 1 болса, онда cos ≥ теңсіздігінің шешімі− + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ түрінде жазылады. Егер > 1 болса, онда cos <

теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер ≤ −1 болса, онда cos < теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅. Егер −1 < < 1 болса, онда cos <

теңсіздігінің шешімі + 2 < < 2 − + 2 , ∈ түрінде жазылады.

Егер ≥ 1 болса, онда cos ≤ теңсіздігінің шешімі кез келген нақты саны болып табылады: ∈ . Егер < −1 болса, онда cos ≤ теңсіздігінің шешімі болмайды: ∈ ∅.

Егер = −1 болса, = + 2 , ∈ . Егер −1 < < 1 болса, онда cos ≤ теңсіздігінің шешімі + 2 ≤ ≤ 2 − + 2 , ∈ түрінде жазылады.

tan > , tan ≥ , tan < , tan ≤ түріндегі қарапайым теңсіздіктер. Кез-келген нақты мəні үшін tan > теңсіздік шешімі + < < + , ∈ түрінде болады. Кез-келген нақты мəні үшін tan ≥ теңсіздік шешімі + ≤ < +

, ∈ түрінде болады. Кез-келген нақты мəні үшін tan < теңсіздік шешімі − +

< < + , ∈ түрінде болады. Кез-келген нақты мəні үшін tan ≤ теңсіздік шешімі − + < ≤ + , ∈ түрінде болады.

cot > , cot ≥ , cot < , cot ≤ түріндегі қарапайым теңсіздіктер. Кез-келген нақты мəні үшін cot > теңсіздік шешімі < < cot + , ∈ түрінде болады.

Кез-келген нақты мəні үшін cot ≥ теңсіздік шешімі < ≤ cot + , ∈ түрінде болады. Кез-келген нақты мəні үшін cot < теңсіздік шешімі cot + <

< + , ∈ түрінде болады. Кез-келген нақты мəні үшін cot ≤ теңсіздік шешімі cot + ≤ < + , ∈ түрінде болады.

Пайдаланылған əдебиеттер тізімі

1. А.Е. Əбілқасымова, Т.П. Кучер, В.Е. Корчевский, З.Ə. Жұмағұлова «Алгебра жəне анализ бастамалары [мəтін]: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сыныбына арналған оқулық» / А., 2019

2. Қ. Қаңлыбаев, К. Əбдімəжитова, Ш. Бекбаулиев «Тригонометриялық функциялар жəне олардың теңдеулері мен теңсіздіктері» / А., 1995

3. Н.М. Бескин «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», 1950

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Негiзiнде олардың шешiмi есептiң шартына кiретiн функциялардың зерттеу жəне сандық коэффициенттерi бар теңдеулер мен теңсiздiктердi шешу болып

Дегенмен жоғары оқу орындарында əдебиетті оқытудың əдістемесі бойынша іргелі зерттеу еңбегі, жоғары мектепте əдебиетті оқыту əдістемесін жүйелеген

Қазақ тілінің кəсіби мамандыққа бағытталған лексикасы мен терминологиясын оқыту əдістемесі сала мамандықтарына байланысты таңдап алынған лексиканы үйрету

Коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін опера- циондық əдіспен шешу арқылы өзара əрекеттесетін материалдық нүктелер жүйесінің

Мақалада f  L I q ( ) s функциясының коэффициенттері монотонды еселі тригонометриялық Фурье қатарының абсолютті қосындылануының ең жақсы

Негізгі ұғымдарды игергеннен кейін мұғалім оқушыларды неғұрлым күрделі міндеттермен таныстырады, оларда екі және одан да көп объектілер пайда

Трансценденттік теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытуда инновациялық технологияларды пайдалану, оқушылардың тақырыпты тез əрі жүйелі түрде меңгеруіне,

(6.1)-(6.3) шекті есебін шешу үшін [a, b] кесіндісінде сызықты дифференциал теңдеулерді коллокация әдісімен шешуді