Комплекс коэффициенттi шексiз айырымдық теңдеулер жүйесiнiң коэрцитивтi шешiлу шарттары

Қ.Н. Оспанов

¹

, Т.Н. Бекжан

²

, Д.Р. Бейсенова

^1,3

1Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Астана, Қазақстан;

2Синьцзян университетi, Үрiмшi, Қытай;

3Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттi университетi, Қазақстан (E-mail: [email protected])

Комплекс коэффициенттi шексiз айырымдық теңдеулер жүйесiнiң коэрцитивтi шешiлу шарттары

Бұл бағалаулар жүйеге сәйкес келетiн матрицалық оператордың анықталу облысын толық сипаттай- ды. Жүйенiң коэффициенттерi шенелмеген тiзбектер құрайды. Ал алынған нәтижелер осы коэффи- циенттердiң тербелiсiне тәуелсiз. Соңғы факт шексiз айырымдық жүйелердiң табиғаты, сингулярлы дифференциалдық теңдеулерге қарағанда, мүлдем өзгеше екенiн дәлелдейдi.

Кiлт сөздер: коэрцитивтi шешiлу, шексiз айырымдық жүйе, шешiмдi бағалау, үзiлiссiз қайтарымды оператор, тұйық оператор, финиттi тiзбек.

1 Кiрiспе

h ∈ (0, h0) (h0 бекiтiлген оң сан) санын алып, Zh = {xn, xn=nh, n∈Z} деп белгiлейiк. Алдағы уақытта нақты не комплексmx_j =mjhсанының орнына қысқашаmj деп жазамыз. Төменде

(L₀y)_j :=h⁻²∆⁽²⁾y_j+h⁻¹r_j∆₊y_j+h⁻¹s_j∆₊y_j+q_jy_j+p_jy_j=f_j, j∈Z, (1.1) шексiз айырымдық жүйесiн қарастыратын боламыз. Мұндағы r_j — берiлген нақты, ал s_j,q_j, p_j, f_j — комплекс сандар,y¯_j− y_j-дiң комплекс түйiндесi

∆+yj=yj+h−yj,(∆+y)_j = (yj+h−yj),∆⁽²⁾yj =yj+h−2yj+y_j−h(j∈Z). Егер

y={y_j}^+∞_j=−∞,y¯={y¯_j}^+∞_j=−∞, L₀y=n

(L₀y)_jo+∞

j=−∞, f ={f_j}^+∞_j=−∞;

r=diag{rj, j∈Z}, s=diag{sj, j∈Z}, q=diag{qj, j∈Z}, p=diag{pj, j∈Z},

∆+y={∆+yj}^+∞_j=−∞,∆+y=

∆+yj +∞

j=−∞,∆⁽²⁾y=n

∆⁽²⁾yj

o+∞

j=−∞

деп белгiлеулер енгiзсек, онда (1.1) теңдеуi келесi түрде жазылады:

L0y=h⁻²∆⁽²⁾y+h⁻¹r∆+y+h⁻¹s∆+y+qy+py=f. (1.2) Айталық,f ∈l2(h)болсын, мүндағы

l2(h) =







y={yj}^+∞_j=−∞:kyk_2,h=





+∞

X

j=−∞

|yj|²h





1 2

<∞





 .

Жүмыста (1.2) айырымдық теңдеулердiң шексiз жүйесiнiңf ∈l2(h)кеңiстiгiнде коэрцитивтi шешiлу мүм- кiндiгiн зерттейтiн боламыз. Егерrj,sj сандары нөлге тең немесе олар шенелген тiзбектер құратын болса, онда (1.2) жүйесiнiң шешiлу шарттары белгiлi Штурм-Лиувилль айырымдық жүйесiне ұқсас әдiспен алы- нады [1]. Ал егерrмен sматрицаларының ең болмағанда бiреуi шенелмеген болса, онда (1.2) нұқсанды жүйе болып табылады. Мұндай жүйелер тек симметриялы жағдайда ғана iшiнара зерттелген [2]. Ал (1.2) - симметриялы емес және комплекс коэффициенттi жүйе. s = p = 0, q = ¯q дербес жағдайында ол [3]

жұмысында қарастырылды. Бұл мақалада [3] жұмыстағы ұқсас әдiс пайдаланылса да, соңғыдан едәуiр

Ре по зи то ри й Ка рГ У

айырмашылықтары бар. Атап айтқанда,s=p= 0,q= ¯qболған жағдайда, бiздiң мақаламыздың негiзгi нәтижесi [3] жұмысындағы Теорема 3.1 нәтижесiмен беттеседi, бiрақ осы Теорема 3.1-дегi коэффициент тербелiсiне қойылған (3.2) шарты алынып тасталды. Басқаша айтқанда, [3]-те алынған нәтижелер күрт жақсартылды. Екiншiден, (1.2) жүйесiне сәйкес матрица [3]-те қарастырылған жүйе матрица құрылымы- на қарағанда күрделi.

(1.2) жүйесiн зерттеу тек теориялық қызығушылықтан тумаған. Бұл жүйенi стохастикалық процестер мен стохастикалық дифференциалдық теңдеулер теориясында пайда болатын есептер алып келедi [4]. Ал стохастикалық дифференциалдық теңдеулердi аналитикалық зерттеу А.Н. Колмогоровтың [5] мақаласы- нан бастау алады. Бұл бағыттағы зерттеулер ауқымы барған сайын кеңейе түсуде. Мысалы, осы мәселеге арналған [6] монографиясында 900-ден аса әдебиетке сiлтеме жасалған.

˜l деп барлық финиттi тiзбектер жиынын белгiлейiк

˜l=n

{wj}^+∞_j=−∞ : ∃N, wj= 0, ∀j : |j| ≥No .

Ескерту.Жоғарыда енгiзiлген белгiлеулердiң барлығы мақаланың аяғына дейiн сақталады.

Анықтама 1.1 Егер{zj}^+∞_j=1⊂˜l (j= 1,2, ...) тiзбегi табылып, kzj−yk_2,h→0,kL0zj−fk_2,h→0(j → ∞)

қатыстары орындалатын болса, ондаy={yj}^+∞_j=−∞ ∈l2(h)элементiн (1.2) жүйесiнiң шешiмi деп атайды.

Белгiлi аз бұлқыну теоремасының [7] бiр салдарын келтiрейiк.

Лемма 1.1 Lu=Au+Buоператоры берiлсiн. Айталық,A: l2(h)→l2(h),D(A)⊆D(B)болсын және мына шарттар орындалсын:

1)A— тұйық және үзiлiссiз қайтарымды оператор;

2)kBuk_2,h≤αkAuk_2,h,∀u∈D(A), 0< α <1.

СондаL операторы да қайтарымды жәнеR(L) =l₂(h).

2 Бiр нұқсанды айырымдық теңдеулер жүйесi үшiн коэрцитивтi бағалаулар

(l0y)_j :=h⁻²∆⁽²⁾yj+h⁻¹rj∆+yj=fj, j∈Z, (2.1) жүйесiн қарастырамыз. Мұндағы(l₀y)_j = (l₀y)_xj (j∈Z). Егерl₀y =n

(l₀y)_jo^+∞

j=−∞ деп белгiлесек, онда (2.1) теңдеуi былай жазылады:

l0y=h⁻²∆⁽²⁾y+h⁻¹r∆+y=f. (2.2) Анықтама 2.1 Егер{z_j}^+∞_j=1⊂˜l тiзбегi табылып,

kz_j−yk_2,h→0,kl₀z_j−fk_2,h→0 (j→+∞)

қатыстары орындалатын болса, ондаy={y_j}^+∞_j=−∞ ∈l₂(h)элементiн (2.1) жүйесiнiң шешiмi деп атайды.

˜l₊=n

{wj}^+∞_j=−∞∈˜l: w_j= 0, j=−1, −2, ...o болсын. Егер [8] жұмысында дәлелденген 2.1 леммасында bn = P+∞

j=naj деп алсақ, онда

∆+bn=bn+1−bn =−an болғандықтан, мынадай тұжырымға келемiз.

Салдар 2.1 Айталық,1< p <+∞болсын. Сонда

+∞

X

n=0

|unbn|^p

!¹p

≤C

+∞

X

n=0

|vn∆+bn|^p

!p¹

,{bk}^+∞_k=0∈˜l+, (2.3) теңсiздiгi орындалуы үшiн

B0= sup

r=0,1,2,...

r

X

n=0

|un|^p

!¹_{p +∞}

X

n=r

|vn|^−p0

!_p¹0

<∞

Ре по зи то ри й Ка рГ У

болуы қажеттi және жеткiлiктi. Мұндағы 1 p+ 1

p⁰ = 1.

Сонымен бiрге, егерC (2.3) бағалауы орындалатындай ең кiшi тұрақты болса, онда B0≤C≤p^1p(p⁰)^p10B0.

˜l₋=n

{wj}^+∞_j=−∞∈˜l: wj= 0, j= 0,1,2, ...o

болсын.

Лемма 2.1 Айталық,1< p <+∞болсын. Онда

−1

X

n=−∞

|unbn|^ph

!p¹

≤C˜

−1

X

n=−∞

|vn∆+bn|^ph

!¹p

,{bk}⁻¹_k=−∞∈˜l₋, (2.4) теңсiздiгi орындалуы үшiн

B˜ = sup

τ=−1,−2,...

0

X

n=τ

|un|^p

!¹p τ

X

n=−∞

|vn|^−p0

!_p¹0

<∞ болуы қажеттi және жеткiлiктi. Мұндағы

1 p+ 1

p⁰ = 1.

Сонымен бiрге, егерC˜ (2.4) орындалатындай ең кiшi тұрақты болса, онда B˜≤C˜≤p^1p(p⁰)^p10B.˜

Бұл лемма жоғарыдағы 2.1 салдарын пайдаланып, [8] жұмысындағы лемма 2.2 алынған әдiспен дәлел- денедi.

Ендi (2.2)-де берiлген нұқсанды айырымдық операторды қарастырып, ол үшiн априорлық бағалаулар аламыз.

Лемма 2.2 Айталық,r_jh≥ε >0(j∈Z)болсын. Онда әрбiрy∈˜l үшiн

√r∆+y h

_2,h

≤

√1 r l0y

_2,h

(2.5) бағалауы орындалады.

Дәлелдеу. y∈˜l болсын.

∆+yj

h =zj

деп белгiлейiк. Онда

∆₋(∆+yj) = ∆⁽²⁾yj =h⁻¹∆₋zj

болады да, (2.1) мына түрге келедi:

˜l0z

j =h⁻¹(zj−zj−h) +rjzj=fj, j∈Z.

Соңғы жүйенiң екi жағынzj =zjh - қа көбейтiп, нәтижесiнj-лер бойынша қосындылаймыз:

h⁻¹

+∞

X

j=−∞

z_jh−z_(j−1)h z_jh+

+∞

X

j=−∞

r_jhz²_jh=

+∞

X

j=−∞

f_jhz_jh. (2.6) Бұл өрнектегi

A:=

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h zjh

қосындысы терiс емес екенiн байқауға болады. Шынында да

Ре по зи то ри й Ка рГ У

A=

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h zjh=

+∞

X

j=−∞

zjhzjh−

+∞

X

j=−∞

z_(j−1)hzjh=

+∞

X

j=−∞

zjhzjh−

+∞

X

k=−∞

zkhz_(k+1)h=

=

+∞

X

j=−∞

zjhzjh−

+∞

X

j=−∞

zjhz_(j+1)h=−

+∞

X

j=−∞

zjh z_(j+1)h−zjh

=−

+∞

X

j=−∞

z_(j−1)h zjh−z_(j−1)h

=

=−

+∞

X

j=−∞

z_(j−1)h−zjh

zjh−z_(j−1)h

−

+∞

X

j=−∞

zjh zjh−z_(j−1)h ,

немесе

2A=

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h2

.

Демек,A≥0. Онда (2.6)-дан

+∞

X

j=−∞

r_jhz²_jh≤

+∞

X

j=−∞

f_jhz_jh.

Лемма шартын және Гельдер теңсiздiгiн пайдалансақ,

+∞

X

j=−∞

rjhz_jh² ≤





+∞

X

j=−∞

fjh

√rjh

2



1 2 



+∞

X

j=−∞

√rjhzjh

2





1 2

,

осыдан





+∞

X

j=−∞

√rjhzjh² h





1 2

≤





+∞

X

j=−∞

fjh

√r_jh ²

h





1 2

, y∈˜l.

Соңғы бағалауданzj =^∆+_h^yj екенiн ескерiп, (2.5)-ке келемiз. Лемма дәлелдендi.

(2.5) теңсiздiгi жәнеrjh≥ε >0(j∈Z)шартынан

√r∆₊y h

2,h

≤ 1

√εkfk_2,h, y∈˜l, (2.7) бағалауы шығады.

Келесi түрдегi белгiлеулердi енгiзейiк:

αϕ,ψ(n) =





n

X

j=0

|ϕj|²





1 2



+∞

X

j=n

ψ⁻²_j





1 2

(n= 0,1,2, ...);

βϕ,ψ(k) =











−1

X

j=k

|ϕj|²





1 2



k

X

j=−∞

ψ_j⁻²





1 2



(k=−1,−2, ...);

γϕ,ψ = max sup

n=0,1,2,...

αϕ,ψ(n), sup

k=−1,−2,...

βϕ,ψ(k)

! ,

мұндағыϕ={ϕj}^+∞_j=−∞ (ϕj =ϕxj)және ψ={ψj}^+∞_j=−∞ — берiлген тiзбектер.

Лемма 2.3 Айталық,r={r_j}^+∞_j=−∞ тiзбегir_j ≥ε >0(j ∈Z)және F^∗= sup

n=0,1,2,...

α_1,^√_r(n)<∞, (2.8)

Ре по зи то ри й Ка рГ У

F^∗∗= sup

k=−1,−2,...

β_1,^√_r(k)<∞ (2.9)

шарттарын қанағаттандырсын. Ондаy∈˜l элементi үшiн

kyk_2,h≤C₀kl₀yk_2,h (2.10)

теңсiздiгi орындалады. Мұндағы

C0= 2

rF^∗+F^∗∗

ε .

Лемма (2.5) бағалауынан және Салдар 2.1 мен Лемма 2.1-ден шығады.

Егер (2.10) және (2.7) теңсiздiктерiн бiрiктiрсек, онда kyk_2,h+

√r∆+y h

_2,h

≤C1kl0yk_2,h, y∈D(˜l). (2.11) Мұндағы

C₁= 1

√ε h2√

F^∗+F^∗∗+ 1i .

Айталық,λ≥0болсын. Келесi

l_0λy:=h⁻²∆⁽²⁾y+h⁻¹(r+λ)∆₊y = f, f ∈l₂(h), (2.12) теңдеуiн қарастырайық.

Теорема 2.1 Егер{rjh}^+∞_j=−∞ тiзбегirjh≥ε >0 (j∈Z), (2.8) және (2.9) шарттарын қанағаттандырса, онда (2.12) теңдеулер жүйесiнiңy∈l2,hшешiмi бар және ол жалғыз. Сонымен бiргеyшешiмi үшiн

h⁻²∆⁽²⁾y _2,h+

h⁻¹(r+λ)∆+y

_2,h≤c1(h)kfk_2,h (2.13) бағалауы орындалады.

Дәлелдеу. Айталық,

˜

yn+m= (y−m+1, y−m+2, ..., y0, ..., yn−1, yn), n, m∈N, элементi

ly˜_n+m= ˜f_n+m (2.14)

теңдiгiн қанағаттандырсын. Мұндағы

f˜n+m= (f−m+1, f−m+2, ..., f0, ..., fn−1, fn).

Теорема шарттары орындалғанда мұндай y˜_n+m элементi жалғыз ғана. Шынында да, (2.14) - (n+m)×

×(n+m)өлшемдi сызықты алгебралық теңдеулер жүйесi. Егерly˜_n+m= 0болса, онда (2.10) теңсiздiгiнен

˜

y_n+m= 0болатыны шығады. Осыдан әрбiр f ∈˜l үшiн (2.13) теңдеуiнiң шешiмi бар және жалғыз екенiн аламыз.

Айталық,f ∈l2(h), алn f˜s

o⊂˜lоған жинақталатын тiзбек болсын:

f˜s−f

_2,h→0, s→ ∞.y˜s(s∈Z) деп келесi ly = ˜fs жүйесiнiң шешiмiн белгiлейiк. Онда анықтама бойынша kly˜s−fk₂ → 0,s → ∞, ал (2.10)-нан

ky˜sk_2,h≤C1kly˜sk_2,h екенiн аламыз. Соңғы теңсiздiктен

ky˜k−y˜mk_2,h≤C1kly˜k−ly˜mk_2,h→0, k, m∈N,

орындалатыны шығады. Олай болса,{y˜s}^+∞_s=−∞— фундаментальды тiзбек.l2(h)банах кеңiстiгi болғандық- тан,k˜ys−yk¯ _2,h→0 (s→ ∞)орындалатындайy¯∈l2 элементi табылады. Сонымен,

k˜yk−yk¯ _2,h→0,kly˜k−fk_2,h→0, k→ ∞.

Ре по зи то ри й Ка рГ У

Демек, 2.1 анықтамасы бойыншаy¯— (2.12) теңдеулер жүйесiнiң шешiмi. Ендеше әрбiрf ∈l2үшiн (2.12) теңдеулер жүйесiнiң шешiмi бар. Шешiмнiң жалғыз екенi (2.10) теңсiздiгiнен шығады.

Ендi (2.12) теңдеулер жүйесiнiңy шешiмi үшiн (2.13) бағасы орындалатынын көрсетейiк.

h⁻¹∆+y=z деп белгiлейiк. Ондаλ= 0жағдайында (2.12)

Loz=h⁻¹∆₋z+rz=f түрiне келедi. Мұндағыrz={rjzj}^+∞_j=−∞.

Loz=h⁻¹∆₋z+rz(D(Lo) = ˜l)

операторыныңl2(h)кеңiстiгiндегi тұйықталуынL түрiнде белгiлейiк. Айта кетерлiгi,L операторы тео- рема шарты орындалғандаl2(h)-та анықталған. Себебi (2.11) теңсiздiгiнен әрбiрz∈˜l үшiн

kzk_2,h≤C₁kLozk2,h

екенiн аламыз. Стандартты әдiс бойынша бұл теңсiздiк әрбiр z∈D(L)үшiн де орындалатынын көремiз.

Демек,D(L)⊂l2.

Теорема шарттары орындалғанда әрбiрλ≥0үшiн, жоғарыда көрсетiлгендей,L_λ=L +λE:l₂(h)→

→l₂(h)операторы қайтарымды. МұндағыE – бiрлiк оператор. Ендiz∈D(L_λ)үшiн келесi h⁻¹∆+z

_2,h+k(r+λ)zk_2,h≤CkLλzk_2,h бағалауы орындалатынын көрсетейiк.

Lλz=h⁻¹∆−z+ (r+λ)z=f (2.15) теңдеуiн қарастырамыз. Мұндағы

r+λ=diag{rj+λ, j∈Z}.

Айталық,{zj}^+∞_j=−∞∈˜l . (2.15) жүйесiндегij-шi теңдеудiң екi жағынzj =zjh-қа көбейтсек, онда h⁻¹(zj−z_j−h)zj+ (rj+λ)z²_j =fjzj, j∈Z.

Осы теңдiктердij-лер бойынша қосындылаймыз. Сонда

h⁻¹

+∞

X

j=−∞

(z_j−z_j−h)z_j+

+∞

X

j=−∞

(r_j+λ)z_j²=

+∞

X

j=−∞

f_jz_j. (2.16)

Жоғарыдағы Лемма 2.2-нiң дәлелдеуiнен алатынымыз

h⁻¹

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h

zjh= h⁻¹ 2

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h²

≥0.

Онда (2.16)-дан

h⁻¹ 2

+∞

X

j=−∞

zjh−z_(j−1)h2

h≤

+∞

X

j=−∞

fjhzjhh≤

≤





+∞

X

j=−∞

f_jh²h





1 2



+∞

X

j=−∞

z_jh² h





1 2

=kfk_2,hkzk_2,h. (2.17)

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(2.7)-ден бiздiң белгiлеуiмiз бойыншаkzk_2,h≤C1kfk_2,h.Ендеше (2.17)-ден

h⁻²∆⁽²⁾y

_2,h≤C₂kfk_2,h теңсiздiгiн аламыз. Онда (2.12) теңдiгiнен

h⁻¹(r+λ) ∆+y _2,h=

−h⁻²∆⁽²⁾y+f _2,h≤

≤

h⁻²∆⁽²⁾y

_2,h+kfk_2,h≤(C₂+ 1)kfk_2,h. Соңғы екi теңсiздiктi бiрiктiрсек, онда

h⁻²∆⁽²⁾y _2,h+

h⁻¹(r+λ) ∆+y

_2,h≤[2C2+ 1]kfk_2,h, y∈˜l.

Бұл теңсiздiк (2.12) теңдеуiнiң әрбiрy шешiмi үшiн де орындалатыны оңай тексерiледi. Теорема дәлел- дендi.

l арқылы˜l жиынында анықталған

ly=h⁻²∆⁽²⁾y+h⁻¹(r+λ)∆+y, λ≥0,

айырымдық операторыныңl₂(h)кеңiстiгi нормасындағы тұйықталуын белгiлейiк.

3 Негiзгi теорема және оның дәлелдеyнi

Теорема 3.1 Айталық, r = {rj}^+∞_j=−∞ тiзбегi (2.8) және (2.9) шарттарын қанағаттандырсын.

s={sj}^+∞_j=−∞ тiзбегi үшiн rj ≥α|sj|+δ, δ >0 (j∈Z), 3A1(h)< α <4A1(h)(мұндағыA1(h)- (2.13)-тегi тұрақты) шарттары орындалсын.qжәне pтiзбектерi үшiн

γq,r<∞; (3.1)

γp,r<∞ (3.2)

шарттары орындалсын. Онда (1.1) теңдеулер жүйесiнiңy ∈l2(h)шешiмi бар және ол жалғыз. Сонымен бiрге осыy шешiмi үшiн

h⁻²∆⁽²⁾y ₂+

h⁻¹r∆+y ₂+

h⁻¹s∆+y

₂+kqyk₂+kpyk₂≤C3kL0yk₂ (3.3) бағалауы орындалады.

Дәлелдеу. h=kτ (k >0,k — тұрақты) алмастыруын жасасақ, (1.2) мына түрге келедi:

L0y=τ⁻²∆⁽²⁾y˜+kτ⁻¹r∆˜ +y˜+kτ⁻¹s∆˜ +y˜+k²q˜y˜+k²p˜y˜=k²f ,˜ f˜∈l2(τ), мұндағы

˜

y={˜y_jτ}^+∞_j=−∞=y(kτ); ˜r=diag{˜r_jτ, j∈Z}^+∞_j=−∞=r(kτ);

˜

q=diag{q˜_jτ, j∈Z}^+∞_j=−∞=q(kτ),˜s=diag{s˜_jτ, j∈Z}^+∞_j=−∞=s(kτ);

˜

p=diag{p˜jτ, j∈Z}^+∞_j=−∞ =p(kτ),f˜=n f˜jτ

o+∞

j=−∞ =f(kτ).

Немесе

ly˜+kτ⁻¹s∆˜ ₊y˜+k²q˜y˜+k²p˜y˜=k²f ,˜ мұндағыl=l(τ)

l(τ)y=τ⁻²∆⁽²⁾y˜+kτ⁻¹r∆˜ +y˜ (˜y∈D(l))− теңдiгiмен анықталған тұйық оператор.

Ре по зи то ри й Ка рГ У

˜

r={˜rjτ}^+∞_j=−∞тiзбегi 2.1 теоремасының шарттарын қанағаттандырады, сондықтанlоператоры қайта- рымды және керil⁻¹операторы үзiлiссiз. Ал (2.13) теңсiздiгi бойынша әрбiрy˜∈D(l)үшiн келесi бағалау орындалады:

τ⁻²∆⁽²⁾y˜ 2,τ

+

τ⁻¹k˜r∆+y˜

_2,τ ≤A˜1(τ)klyk˜ _2,τ. (3.4) Келесi теңдiктер орынды:

γp,˜˜r= 1

kγp,r, γq,˜˜r= 1 kγq,r.

Шынында да, егер αp,˜˜r, βp,˜˜r және αq,˜˜r, βq,˜˜rөрнектерiнде q˜j = k⁻²qj, p˜j = k⁻²pj және r˜j = k⁻¹rj деп ауыстырулар енгiзсек, алатынымыз:

αp,˜˜r=





n

X

j=0

˜ p²_j





1 2



+∞

X

j=n

˜ r_j⁻²





1 2

=





n

X

j=0

k⁻²pj²





1 2



+∞

X

j=n

k⁻¹rj⁻²





1 2

=

= 1 k





n

X

j=0

˜ p²_j





1 2



+∞

X

j=n

r⁻²_j





1 2

= 1 kαp,r;

β_p,˜˜r=





−1

X

j=k

˜ p²_j





1 2



k

X

j=−∞

˜ r⁻²_j





1 2

=





−1

X

j=k

k⁻²p_j²





1 2



k

X

j=−∞

k⁻¹r_j⁻²





1 2

=

= 1 k





−1

X

j=k

p²_j





1 2



k

X

j=−∞

r⁻²_j





1 2

= 1 kβp,r.

Дәл осылар сияқтыα_q,˜˜r= ¹_kα_q,r жәнеβ_q,˜˜r= ¹_kβ_q,r теңдiктерi орындалады. Олай болса, γp,˜˜r= max sup

n=0,1,2,...

αp,˜˜r, sup

k=−1,−2,...

βp,˜˜r

!

= max 1

k sup

n=0,1,2,...

αp,r, sup

k=−1,−2,...

βp,r

!

= 1 kγp,r;

γq,˜˜r= max sup

n=0,1,2,...

αq,˜˜r, sup

k=−1,−2,...

βq,˜˜r

!

= max 1

k sup

n=0,1,2,...

αq,r, sup

k=−1,−2,...

βq,r

!

= 1 kγq,r.

(2.3), (2.4) теңсiздiктерiн және(3.1), (3.2) шарттарын пайдалансақ,





+∞

X

j=−∞

k²p˜y˜

2





1 2

=





−1

X

j=−∞

k²p˜y˜

2





1 2

+





+∞

X

j=0

k²p˜y˜

2





1 2

≤

≤2k²B˜





−1

X

j=−∞

|˜rj∆+y˜j|²





1 2

+ 2k²B0





+∞

X

j=0

||˜rj∆+y˜j||²





1 2

≤

≤2k²γ_p,˜˜r





+∞

X

j=−∞

||˜r_j∆₊y˜_j||²





1 2

= 2k²γ_p,˜˜rk˜r∆₊yk˜ _2,τ;





+∞

X

j=−∞

k²q˜y˜

2





1 2

=





−1

X

j=−∞

k²q˜y˜

2





1 2

+





+∞

X

j=0

k²q˜y˜

2





1 2

≤

≤2k²B˜





−1

X

j=−∞

|˜rj∆+y˜j|²





1 2

+ 2k²B0





+∞

X

j=0

||˜rj∆+y˜j||²





1 2

≤

Ре по зи то ри й Ка рГ У

≤2k²γq,˜˜r





+∞

X

j=−∞

||˜rj∆+y˜j||²





1 2

= 2k²γq,˜˜rk˜r∆+yk˜ _2,τ, немесе

k²p˜y˜

_2,τ ≤2kτ γ_p,˜˜r

kτ⁻¹r∆˜ ₊y˜ _2,τ,

k²q˜y˜

_2,τ ≤2kτ γ_q,˜˜r

kτ⁻¹r∆˜ ₊y˜

_2,τ. (3.5) Екiншiден, теорема шартынан

kτ⁻¹s˜jτ∆+y˜jτ

≤ ¹_αkτ⁻¹˜rjτ|∆+y˜jτ|және _4˜c¹

1(τ) ≤ _α¹ ≤ _3˜c¹

1(τ), мұндағы

˜

c₁(τ)— (3.4) теңсiздiгiндегi тұрақты. Сондықтан (3.4) бойынша kτ⁻¹s∆˜ ₊y˜

2,τ ≤ 1 3˜c1

kτ⁻¹r∆˜ ₊y˜ 2,τ ≤ 1

3klyk˜ _2,τ. (3.6) Егер

k= min 1

6τ γ_p,˜˜r˜c₁, 1 6τ γ_q,˜˜r˜c₁

деп ұйғарсақ, онда (3.4) теңсiздiгiнен

k²p˜˜y _2,τ ≤ 1

3klyk˜ _2,τ, (3.7)

ал (3.5) теңсiздiгiнен

k²q˜˜y _2,τ ≤ 1

3klyk˜ _2,τ (3.8)

шығады. (3.6), (3.7) және (3.8) теңсiздiктерiнен Лемма 1.1 бойынша (1.2) теңдеуiнiң шешiмi бар және жалғыз екенiне көз жеткiземiз.

Айталық, y˜(1.2) теңдеуiнiң шешiмi болсын. Сонда (3.4), (3.7), (3.8) және (3.6) теңсiздiктерiнен ала- тынымыз:

τ⁻²∆⁽²⁾y˜ _2,τ+

τ⁻¹k˜r∆₊y˜ _2,τ+

τ⁻¹k˜s∆₊y˜ _2,τ +

k²q˜˜y _2,τ +

k²p˜˜y _2,τ ≤

≤ 2

3 +A1(τ)

klyk˜ _2,τ. (3.9)

(3.6) және (3.7) бойынша

klyk˜ _2,τ =

ly˜+τ⁻¹k˜s∆₊y˜+k²p˜˜y _2,τ +

τ⁻¹k˜s∆₊y˜+k²p˜˜y ≤

≤

ly˜+τ⁻¹k˜s∆+y˜+k²p˜˜y _2,τ +2

3klyk˜ _2,τ, осыдан

klyk˜ _2,τ ≤3kL0yk˜ _2,τ. (3.10) (3.9) және (3.10)-нан

τ⁻²∆⁽²⁾y˜ _2,τ+

τ⁻¹k˜r∆₊y˜ _2,τ+

τ⁻¹k˜s∆₊y˜ _2,τ +

k²q˜˜y _2,τ +

k²p˜˜y _2,τ ≤

≤(2 + 3c1(τ))kL0yk˜ _2,τ.

Осыданτ =^h_k алмастыруын жасап, (3.3) теңсiздiгiне келемiз. Теорема дәлелдендi.

Бұл мақала Қазақстан Республикасының Бiлiм және ғылым министрлiгiнiң 0085/ПЦФ-14 мақсат- ты бағдарламасы және 5132/ГФ4 грантық жобасы есебiнен iшiнара қаржыландырылды.

Әдебиеттер тiзiмi

1 Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rⁿ / М. Отелбаев // Труды МИ АН СССР. — 1983. — Т. 161. — С. 195–217.

Ре по зи то ри й Ка рГ У

2 Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Анатолий Гордеевич Костюченко. — М.: Изд-во МГУ, 1966.

3 Оспанов Қ.Н. Екiншi реттi айырымдық бiр теңдеулер жүйесi шешiмдерiнiң қасиеттерi жайлы / Қ.Н. Оспанов, А. Зұлхажав // Қарағанды ун-нiң хабаршысы. Математика сер. — 2015. — № 2(78).

— 124–136-б.

4 Pr¨uss J., Rhandi A., Schnaubelt R. The domain of elliptic operators on L_p(R^d) with unbounded drift coefficients / J. Pr¨uss, A. Rhandi, R. Schnaubelt // Houston J. Math. — 2006. — Vol. 32, No. 2. — P. 563–576.

5 Kolmogoroff A.N. Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung / A.N. Kolmogoroff // Mathematische Annalen. — 1931. — Vol. 104.

6 Bogachev V.I. Fokker-Planck-Kolmogorov Equations / V.I. Bogachev, N.V. Krylov, M. Reckner, S.V. Sha- poshnikov. — AMS, 2015. — Vol. 207.

7 Каtо Т. Perturbation theory for lenear operators. (Th. 1.1, Th. 1.16 §4) / Т. Каtо. — Berlin. Heidelberg;

New York: Springer-Verlag, 1966. — 740 p.

8 Зұлхажав А. Екiншi реттi айырымдық теңдеулер жүйесiнiң коэрцитивтi шешiлу шарттары / А. Зұл- хажав // Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ хабаршысы. — 2015. — № 6(109). — 334–337-б.

К.Н. Оспанов, Т.Н. Бекжан, Д.Р. Бейсенова

Условия коэрцитивной разрешимости бесконечной системы разностных уравнений с комплексными коэффициентами

Эти оценки полностью описывают область определения матричного оператора, который соответству- ет системе. Коэффициенты системы составляют неограниченные последовательности, a полученные результаты не зависят от колебания этих коэффициентов. Последний факт доказывает, что природа бесконечно разностных систем совсем иная, чем у сингулярных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова:коэрцитивные решения, бесконечная разница систем, оценка решения, непрерывный возврат оператора, замкнутый оператор, линейная цепь.

K.N.Ospanov, T.N.Bekjan, D.R.Beisenova

Coercive solvability conditions of an infinite system of difference equations with complex coefficients

These estimates completely describe definition range of the matrix operator which corresponds to system.

Coefficients of system make the unlimited sequences. And the received results do not depend on fluctuation of these coefficients. The last fact shows that the nature of infinitely difference systems absolutely other than singular differential equations.

Keywords: coercive solution, infinite difference system, solution estimation, continuous return operator, closed operator, linear phinite.

References

1 Otelbaev, M. (1983). Koertsitivnye otsenki i teoremy razdelimosti dlia ellipticheskikh uravnenii v Rⁿ [Coercive estimates and separability theorems for elliptic equations in Rⁿ]. Trudy MI AN SSSR — Proceedings of the USSR Academy of Sciences MI, 161, 195–217 [in Russian].

Ре по зи то ри й Ка рГ У

2 Kostyuchenko, A.G. (1966). O nekotorykh spektralnykh svoistvakh differentsialnykh operatorov [On some spectral properties of differential operators].Doctor’s thesis.Moscow: Izdatelstvo MHU [in Russian].

3 Ospanov, K.N., Zulhazhav, A. (2015). Ekinshi retti aiyrymdyk bir tendeuler zhuiesi sheshimderinin kasietteri zhaily [On the properties of solutions of one system of second order difference equations].

Karahandy universitetinin khabarshysy. Matematika seriiasy – Bulletin of Karaganda University. Series Mathematics, 2,78, 124–136 [in Kazakh].

4 Pruss, J., Rhandi, A. & Schnaubelt, R. (2006). Houston J. Math., Vol. 32, 2, 563–576.

5 Kolmogoroff, A.N. (1931). Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathe- matische Annalen, Vol. 104.

6 Bogachev, V.I., Krylov, N.V., Reckner, M. & Shaposhnikov, S.V. (2015). Fokker-Planck-Kolmogorov Equations. AMS, Vol. 207.

7 Каtо, Т. (1966). Perturbation theory for lenear operators. (Th. 1.1, Th. 1.16 §4). Berlin. Heidelberg; New York: Springer-Verlag.

8 Zulhazhav, A. (2015). Ekinshi retti aiyrymdyk tendeuler zhuiesinin koertsitivti sheshilu sharttary [Condi- tions of Coercitive Solutions of the Second Order Differential Equations System].L.N.Gumilev atyndahy Euraziia ulttyk universitet khabarshysy – Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University, 6,109, 334–337 [in Kazakh].

Ре по зи то ри й Ка рГ У