http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: [email protected] IRSTI:27.23; 24.01.45; 27.01.33
Н. Темiрғалиев
Теориялық математика және ғылыми есептеулер институты, Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Нұр-Сұлтан, Қазақстан
(E-mail: ntmath10@mail. ru)
«Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң Теориялық математика және ғылыми есептеулер институты 2019 жылы» ғылыми,
ғылыми-әдiстемелiк және ұйымдастырушылық есебi (IV бөлiм)
Аннотация: Мақалада "Математикалық анализ" оқулығының Синопсис-Мазмұны аяқталады. III бөлiмде берiлген алғашқы бөлiгiнiң "әр пункт пен параграф бiр жағынан тақырыптың мәнi мен ондағы идеяларды дамыту тұрғысынан егжей-тегжейлi баяндалып берiлсе, екiншi жағынан, мүмкiндiгiнше қысқа және мәлiметтi түрде келтiру" мақсаты осы IV бөлiмде де сақталған.
Түйiн сөздер: Математикалық анализ, Синопсис-Мазмұн, математиканы түсiну
"Математикалық анализ" оқулығының мақсаты ретiнде.
DOI: https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2021/4.3
2000 Mathematics Subject Classification: 97E10; 97-02.
§8. «Математикалық анализ» (өңделген және толықтырылған екiншi басылым) оқулығының [1] Синопсис түрiндегi мазмұны (аяқталуы)
Х ТАРАУ. Rn ЕВКЛИД КЕҢIСТIГI
§1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ Rn ҚҰРЫЛЫМЫ
1. Математика – математикалық құрылымдар жайындағы ғылым, құрылым – элементтерiнiң арасына кейбiр қатынастар тағайындалған жиын.
2. R1 барлық нақты сандар жиыны математиканың негiзгi құрылымы ретiнде кейбiр қасиеттерiмен бөлiсiп, көптеген топ, сақина, өрiс тәрiздi жаңа құрылымдарға әкеледi, солардың iшiндегi Математикалық анализ теориясындағы ең мазмұндысы – n-өлшемдi Rn Евклид кеңiстiгi.
3. Жиындардың тiке көбейтiндiсi бастапқылардан туындайтын жаңа құрылым ретiнде – алдын ала берiлген жиындар тiзбесiнен бiр элементтен ала отырып, рет-ретiмен тiзбеленген бiртұсас элементтер жиыны.
4. Rn жиыны n рет алынған R1 жиынының тiке көбейтiндiсi – әр элементi координата атты реттелген n нақты сандар тiзбесi болатын құрылым.
5. Толық анықтамасыз, тек түсiнiк деңгейiнде қолданылған, "ереже", "сәйкестiк",
"тәртiп" ұғымдарынсыз функция анықтамасының тағы бiр түрi – анықталу және мәндер қабылданатын екi жиынның тiке көбейтiндiсiнiң графигi түрiнде, ширатып айтқанда, бiрiншi жиынның әр элементi мен екiншi жиынның бiр ғана элементi жұптасқан арнайы жиыншасы түрiнде.
6. Сызықтық R1 кеңiстiгi – элементтерiнiң арасында қосу және нақты санға көбейту амалдары анықталған жиын, қосу амалы бойынша топ құратын.
7. R1 негiзгi құрылымындағы нақты санның абсолюттi шамасын толық сипаттайтын қасиеттерi негiзiндегi Rn сызықтық кеңiстiгiндегi норманың жалпы анықтамасы – норманың терiс еместiгi, элемент сол сызықтық кеңiстiктiң нөлi болғанда ғана және сол жағдайда ғана норманың нөл нақты санына тең болуы, бiртектiлiгi мен үшбұрыштар теңсiздiгiн қанағаттандыруы.
25
8. Rn сызықтық кеңiстiгiндегi әр элементтiң евклидтiк нормасы – екi өлшемдi жағдайда Пифагор теоремасы бойынша координаттық жүйе басынан сол нүктеге дейiн есептелген арақашықтық сол элементтiң нормасы деп қабылданған, ары қарай n өлшемдi жағдада kxk0=p
x21+x22+. . .+x2n түрiнде жалғасатын Евклид атты норма.
9. Rn нормаланған кеңiстiгiндегi Евклид нормасына эквиваленттi тағы екi норма – координаталарымен анықталатын әр элементтiң координаталарының абсолют шамаларының қосындысы және абсолют шамаларының ең үлкенi түрiнде анықталған нормалар және сол нормалардың эквиваленттiлiгi атты нормалары бiрiн-бiрi шенейтiн теңсiздiктердi қанағаттандыруы.
10. Метрикалық кеңiстiк анықтамасы мен Rn метрикалық кеңiстiгi – Rn кеңiстiгiнде норма арқылы екi элементтiң ρ(x, y) = kx−ykr нақты сан болып табылатын арақашықтығын енгiзiп, оның терiс еместiк, Rn-дегi екi элемент өзара тең болғанда және тек сонда ғана метриканың нөл нақты санына тең болуы, симметриялық, үшбұрыштар теңсiздiгiн қанағаттандыруы және метрика деп аталуы, метрика анықталған жиынның метрикалық кеңiстiк деп аталуы, соның iшiнде, Rn кеңiстiгiнiң нормаланғанынан метрикалық кеңiстiкке дейiн кеңеюi.
11. Rn сызықтық кеңiстiгiндегi скалярлық көбейтiндi – геометрияның ұзындық пен бұрыш ұғымдарын Rn кеңiстiгiне енгiзетiн және олардың сандық мәндерiн нүкте координаталары арқылы сипаттауға мүмкiндiк беретiн, аттас координаталарының көбейтiндiсiнiң қосындысы арқылы анықталатын амал.
12. Rn сызықтық кеңiстiгi векторлық кеңiстiк ретiнде – басы координаттар жүйесiнiң бас нүктесiнде, ал соңы Rn-дегi нүктеде орналасқан реттелген жұп, не бастапқы нүктеден соңғы нүктеге бағытталған кесiндi Rn-дегi вектор деп аталады да, векторлардың соңы болып табылатын нүктелердiң скалярлық көбейтiндiсi векторлардың скалярлық көбейтiндiсi деп қабылданып, осы векторлардың скалярлық көбейтiндiмен жабдықталудан пайда болған құрылым Rn векторлық кеңiстiгi деп аталады. n = 2 және n = 3 жағдайларында Евклид геометриясымен беттесетiн соңғы нүктенiң координаталарының квадраттарының қосындысының квадрат түбiрi вектор ұзындығы деп, ал екi вектордың соңғы нүктелерiнiң скалярлық көбейтiндiсiнiң олардың ұзындықтарының көбейтiндiсiне қатынасы екi вектор арасындағы бұрыш деп аталып және екi вектор арасындағы бұрыш
π
2 -ге тең болған жағдайда және тек сонда ғана скалярлық көбейтiндiлерi нөлге тең болатын векторлар ортогоналды деп аталады.
13. Rn кеңiстiгiндегi ортогоналды және нормаланған стандартты базис – әртүрлi екеуiнiң скалярлық көбейтiндiсi нөлге, ұзындықтары бiрге тең, бiр координатасы бiрге қалғандары нөлге тең, Rn кеңiстiгiнiң әр элементiн бiрмәндi жiктейтiн n векторлы жүйе.
§2. Rn НОРМАЛАНҒАН КЕҢIСТIКТIҢ ЖИЫНШАЛАРЫ
1. Тағы да жиындарға қолданылатын амалдар туралы – қабылдайтын мәндерi индекс атты белгiмен таңбаланған жиындарға бiрiгу, қиылысу амалдарын қолдану.
2. Rn нормаланған кеңiстiгiндегi евклидтiк норма жағдайындағы маңай – алдын ала берiлген нүктеден арақашықтығы алдын ала берiлген саннан аспайтын барлық нүктелерден құрылған шар деп аталатын евклид нормасына қатысты маңай атты Rn кеңiстiгiнiң жиыншасы.
3. Rn нормалаған кеңiстiгiндегi үш түрлi маңайлар және олардың арақатынастары – алдын ала берiлген нүктемен алдын ала бекiтiлген эквивалеттi үш норманың бiрi бойынша анықталған арақашықтығы маңай радиусы атты алдын ала берiлген оң саннан аспайтын барлық нүктелерден құрылған сол нормаға сәйкес маңай атты Rn кеңiстiгiнiң жиыншасы және нормалардың эквиваленттiлiгiнен олар арқылы анықталған маңайлардың әрқашан да бiрiнiң iшiне бiрiнiң салынуы.
4. Rn кеңiстiгiнiң берiлген жиыншасының iшкi нүктесi, жиынның ашық болуы және де осы анықтамалардың эквиваленттi үш нормаға тәуелсiздiгi – берiлген жиынның қайсыбiр маңайымен сол жиында толығымен жататын iшкi нүкте атты нүктесi, әрбiр нүктесi iшкi болатын ашық атты жиын және бiр нормамен iшкi нүкте болса, қалғандарымен де iшкi болуы.
5. Rn кеңiстiгiнiң берiлген жиыншасының шектiк және оңашаланған нүктелерi, жиынның тұйық болуы – сәйкес Rn кеңiстiгiнен алынған нүктенiң кез келген маңайында жиынның ақырсыз көп нүктелерiнiң не соған пара-пар одан өзге кемiнде бiр нүктенiн болуы және сол жиыннан алынған нүктенiң қандай да бiр маңайында сол жиынның одан өзге бiр де бiр нүктесiнiң болмауы, әр шектiк нүктесi өзiнде жататын жиын.
6. Берiлген жиынның Rn кеңiстiгiне дейiнгi толықтауыш жиыны, ашық және тұйық жиындардың өзара толықтауыш болу қасиетi – Rn кеңiстiгi мен берiлген жиынның толықтауыш атты сол жиында жатпайтын барлық нүктелерден құрылған айырмасы, әрқашанда тұйық жиынның толықтауышының ашық, ашық жиынның толықтауышының тұйық болуы.
7. Берiлген жиынның iшi, сырты және шекарасы – Rn кеңiстiгiндегi әр жиын бойынша кеңiстiк өзара қиылыспайтын үш жиынға жiктеледi: қайсыбiр маңайымен жиында толық жататын iшкi нүктелерден құрылған жиынның iшi, сыртқы нүкте деп аталатын қайсыбiр маңайында жиынның бiр де бiр нүктесiн қамтымайтын барлық нүктелерден құрылған жиынның сырты, шекаралық нүкте атты кез келген маңайында жиында жататын да, жатпайтын да нүктелер табылатын барлық нүктелерден құралған жиынның шекарасы.
§3. Rn СЫЗЫҚТЫҚ КЕҢIСТIГIНДЕГI ТIЗБЕК ЖӘНЕ ФУНКЦИЯ ШЕКТЕРI
1. Мәндерi Rn кеңiстiгiндегi тiзбек және оның шегi – әрбiр оң бүтiн санға Rn кеңiстiгiнiң бiр элементiн сәйкес қоятын ереже және сандық тiзбек шегi анықтамасындағы |xn−a|< ε модулдi теңсiздiгiн kxn−ak = p
(x1−a1)2+. . .+ (xn−an)2 < ε нормалы теңсiздiгiмен алмастырғандағы анықтаманың сөзбе сөз қайталануы.
2. Rn сызықтық кеңiстiктегiндегi тiзбек шегiнiң оның координаталық тiзбегi болатын R1 кеңiстiгiндегi шектермен өзара байланысы – Rn сызықтық кеңiстiктегiндегi бiр тiзбектiң сол жиын элементiне жинақталуының координаталық тiзбек атты n сандық тiзбек жинақталуына пара-парлығы және Rn кеңiстiгiндегi шектiң координаталық тiзбек шектерi арқылы жазылуы.
3. Rn сызықтық кеңiстiгiндегi Коши критерийi –Rn кеңiстiгiндегi тiзбектiң сол кеңiстiк элементiне жинақталуын оның iшкi құрылысы арқылы бейнелеген, сандық тiзбек үшiн берiлген Коши критерийiнiң модулдi нормаға алмастырғандағы оқылуы мен талқылауының дәлме-дәл қайталануы болатын қажеттi және жеткiлiктi шарты.
4. Rn жағдайындағы Больцано-Вейерштрасс теоремасы – кез келген шенелген тiзбектен шегi бар тiзбекше бөлiп алу мүмкiндiгi.
5. Көп айнымалылы сандық функция – Rn сызықтық кеңiстiгiнiң жиыншасы болатын жиынның әр элементiне бiр ғана нақты сан сәйкес қоятын ереже.
6. Көп айнымалылы сандық функцияның нақты мәндi шегiнiң анықтамасы – бiр айнымалы сандық функция шегi анықтамасындағы аргументке қатысты модулдi теңсiздiгiн нормалы теңсiздiкпен алмастырғандағы анықтаманың сөзбе-сөз қайталануы.
§4. Rn КЕҢIСТIГIНДЕГI ТҰЙЫҚ ЖӘНЕ ШЕНЕЛГЕН ЖИЫНДА АНЫҚТАЛҒАН ЖӘНЕ ҮЗIЛIССIЗ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ ЕРЕКШЕ ҚАСИЕТТЕРI ТУРАЛЫ ВЕЙЕРШТРАСС ЖӘНЕ КАНТОР ТЕОРЕМАЛАРЫ. КОМПАКТI ЖИЫНДАР
1. Көп айнымалылы сандық функцияның нүктедегi үзiлiссiздiгiнiң анықтамасы – көп айнымалы сандық функцияның анықталу жиынында жатқан нүктесiндегi нақты мәндi шегiнiң бар және сол шектiң функция мәнiне тең болуы.
2. Барлық мүшелерi тұйық және шенелген Rn жиында жататын тiзбектен әрқашанда шегi сол жиында жататын тiзбекше бөлiп алу мүмкiндiгi.
3. Көп айнымалылы сандық функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерi бар болуын қамтамасыз ететiн Вейерштрасс шарттары – функцияның тұйық және шенелген жиында анықталған және үзiлiссiз болуы.
4. Көп айнымалылы сандық функцияның анықталу жиындағы бiрқалыпты үзiлiссiздiгi мен оны қамтамасыз ететiн шарттарды анықтайтын Кантор теоремасы – көп айнымалы сандық функцияның нүктеде үзiлiссiздiк анықтамасында табылатын оң сан әр нүктеге тәуелдi жеке табылмай жиынның барлық нүктелерiне ортақ бiр сан табылуы және осы
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 137, №4
үзiлiссiздiктiң бiрқалыптылығын қамтамасыз ететiн функция анықталу жиынының тұйық және шенелген болуы мен әр нүктесiнде үзiлiссiз болуы.
5. Жиынның компактылығы атты оны бүркейтiн кез келген ашық жиындар үйiрiнен сол жиынды бүркейтiн ақырлы санды жиындар үйiрiн бөлiп алудың әрдайым мүмкiндiгi – қайсыбiр локалдi қасиеттi бүкiл анықталу жиынына тарату.
6. Гейне-Борель теоремасы – Rn кеңiстiгiндегi жиынның шенелуi және тұйықтылығы мен компактылығының пара-парлығы, мысал ретiнде, сегменттердiң тiке көбейтiндiсi болатын тұйық параллелепипедтiң компакт жиын болуы.
7. Анықталу жиынының тұйықтылығы мен шенелгендiгiн пайдалана отырып дәлелденген Вейерштрасс және Кантор теоремаларының ашық жиындардың бүркемесi арқылы анықталған компактiлiк қасиетiн қолданылуымен тағы бiр дәлелдемесi.
§5. Rm – МӘНДI ФУНКЦИЯЛАР ЖАЙЛЫ
1. Вектор-функция деп те аталатын және реттелген m сандық функцияға пара- пар болатын мәндер қабылданатын жиыны Rm кеңiстiгiнде жататын көп айнымалылы функция және оның x айнымалысы a нүктесiне E жиыны бойынша ұмтылғандағы шегi – Rn сызықтық кеңiстiгiнiң жиыншасы болатын жиынның әр элементiне Rm кеңiстiгiнен алынған бiр ғана элементiн сәйкес қоятын ереже және бiр айнымалы сандық функция шегi анықтамасындағы аргументке қатысты модулдi теңсiздiгiн Rn кеңiстiгiнiң нормалы теңсiздiгiмен, функцияға қатысты модулдi Rm кеңiстiгi нормасына алмастырғандағы анықтаманың сөзбе-сөз қайталануы.
2. Rn ⊃ E7→f Rm түрiндегi E жиыны бойынша нүктеде және жиында үзiлiссiз функциялар – сәйкес функцияның анықталу жиынынан алынған нүктедегi E жиыны бойынша шегi бар және сол нүктедегi функция мәнiне тең болуы мен осы қасиеттiң E жиынының әрбiр нүктесiнде орындалуы.
3. Rn сызықтық кеңiстiгiндегi қисық – мәндерi Rn сызықтық кеңiстiгiнде жататын сегментте анықталған үзiлiссiз функция, соның арасында, әр координаталық функция сызықты болғандағы қисықтың кесiндi деп аталуы.
4. Rn кеңiстiгiндегi дөңес жиын – жиынның кез келген екi нүктесiмен бiрге оларды қосатын кесiндiнiң де сол жиында толық жатуы.
5. Қисық бойында үзiлiссiз функция – қисықтың мәндер жиынында анықталған және сол жиын бойынша үзiлiссiз функция.
6. R3 кеңiстiктегi бет – мәндерi үш өлшемдi Евклид кеңiстiгiнде жататын екi айнымалылы үзiлiссiз функция.
7. Скаляр және векторлық өрiстер – мәндерi сәйкес бiр өлшемдi сандық және үш өлшемдi Евклид кеңiстiгiнде жататын үш айнымалы функциялар.
8. Үзiлiссiз функциялардан құрылған күрделi функция да үзiлiссiз – сәйкестенген iшкi функция да, сыртқы функция да өз өлшемдерiнде үзiлiссiз болғанда үзiлiссiздiк қасиеттiң олардан құрылған күрделi функцияда сақталуы.
9. Көп айнымалылы сандық функция жағдайындағы Больцано-Коши теоремасы – сандық функцияның байланысты жиын атты кез келген екi нүктесiн сол жиында жататын қисықпен қосуға болатын жиында үзiлiссiздiгiнен функцияның кез келген екi мәнiнiң арасындағы әрбiр нақты санның да сол функция мәнi болуы.
§6. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ ӘР КООРДИНАТАСЫ БОЙЫНША ЖЕКЕ-ЖЕКЕ БIР-БIРIНЕ ТӘУЕЛСIЗ ҰМТЫЛАТЫН КООРДИНАТАЛЫҚ ШЕКТЕРI МЕН ҚАЙТАЛАНҒАН ШЕГI
1. Көп айнымалылы сандық функцияның әр координатасы бiр-бiрiне тәуелсiз жеке- жеке өз жалпыланған сандық шектерiне ұмтылғандағы барлық n координатасы бойынша бiрiгiп алынған көп айнымалы шегiнiң анықтамасы lim
x∈E,xi→pi(i=1,...,n)f(x1, ., xn) =q (pi, q= d, d+ 0, d−0,+∞,−∞,∞;d∈R1, i= 1, ..., n) – бiр айнымалылы сандық функция шегiнiң 36 түрлi анықтамасы көп айнымалылы функция жағдайында n айнымалы аргументтiң әр координаталық сандық айнымалысы мен функция мәнi кестедегi 6 жағдайдың әрқайсысын қабылдағанда 6n+1 жағдай құрап, сөзбе-сөз қайталануы.
2. Сандық функцияның a = (a1, . . . , an) ∈ Rn ақырлы нүктедегi lim
x∈E,x→af(x) = A еселi және lim
x∈E,xi→ai(i=1,...,n)f(x1, ..., xn) = A координаталық шек анықтамаларының эквиваленттiлiгi – шек анықтамасындағы өзiндiк мағынасы жоқ тек бағыт беретiн x→a және xi → ai(i = 1, ..., n) жазулары көп айнымалылы функцияға ғана тән аргумент ұмтылуының kx−akRn < δ теңсiздiгi арқылы анықталатын n өлшемдi айнымалымен бiртұтас ұмтылуы және |xi−ai| < δi(i = 1, . . . , n) теңсiздiгiмен анықталатын координаталарының жеке-жеке ұмтылуын қамтамасыз ететiн шектердiн пара-парлығы.
3. Екi айнымалылы сандық функцияның қандай да болсын lim
x=(x1,x2)∈E,x1→p1,x2→p2
f(x1, x2) шегi бар болуын не ешқандай шегi болмайтындығын зерттеу әдiстемесi – алдымен шектерi сәйкесiнше p1 және p2-ге ұмтылатын сол тiзбек бойынша функция шегi ақырлы не ақырсыз болатын сандық тiзбегi табылып, сонан-соң сол шек мәнi функция шегi болатындығы тiкелей шек анықтамасымен дәлелденедi немесе осы функцияның бiр-бiрiнен өзге ең болмағанда екi ақырлы шегi әлде бiр ақырлы, бiр ақырсыз шектерi болатындай тiзбектер қыру арқылы функцияның ешқандай шегi жоқ деген қорытындыға келу.
4. Көп айнымалылы сандық функцияның қайталанған шегi – әрбiр айнымалысы өз шектерiне басқаларына тәуелсiз ұмтылуынан айнымалы координаталары бойынша функциядан қалғандарын тұрақты ретiнде қабылдап бiр айнымалы бойынша шек алғанда бiр нақты сан емес, бастапқы функциядан бiр айнымалыға кем айнымалылы функция алынып, осы үрдiстi ары қарай жалғастыру арқылы айнымалылардың санын азайта отырып, ең соңында бiр айнымалы функцияның шегiн алу арқылы қайталанған шек деп аталатын сан мәнiндегi iзделiндi шекке келу, қайталанбалы шек мәнiнiң айнымалылардың шек алу ретiне қарай әртүрлi мәндi бола алуы, бiрақ еселi шек бар жағдайда қайталанған шектiң бiр түрiнiң бар болуынан олардың өзара тең болуы.
§7. ҮЗIЛIССIЗДIК, КОМПАКТЫЛЫҚ, БАЙЛАНЫСТЫЛЫҚ ҰҒЫМДАРЫНЫҢ ӨЗАРА БАЙЛАНЫСТЫ ДАМУЫНЫҢ НОРМАЛАНҒАН ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢIСТIКТЕРДIҢ ТОПОЛОГИЯЛЫҚ КЕҢIСТIККЕ ДЕЙIНГI КЕҢЕЮI АЯСЫНДА
1. Екеуi де маңай ұғымынан басталатын функция үзiлiссiздiгi мен ашық жиынның тектi байланысын көрсететiн сандық функцияның ашық жиында, соның iшiнде Rn кеңiстiгiнде үзiлiссiздiгiнiң ашық жиындар тiлiндегi критерийi – функцияның жиындағы үзiлiссiздiгi локалдi ұғым ретiнде анықталған әр нүктедегi үзiлiссiздiк арқылы берiлген едi, сол ұғым тек ашық жиын тiлiнде де берiледi: кеңiстiктiң ашық жиыншасында функцияның үзiлiссiздiгi мен мүмкiн мәндер жиыны кеңiстiгiнiң кез келген ашық жиынының алғашқы бейнесiнiң ашық болуының пара-парлығы және де осы критерийдегi алғашқы бейне ұғымының бейне ұғымына ауыстырымсыздығын көрсететiн ашық жиында анықталған және де ондағы кез келген ашық жиынды ашық жиынға аударатын үзiлiстi сандық функцияның мысалы.
2. Сандық функцияның мiндеттi түрде ашық емес жиынға бейiмделген үзiлiссiздiгiнiң ашық жиындар тiлiндегi критерийi – кеңiстiктiң кез келген жиыншасында функцияның үзiлiссiздiгi мен мүмкiн мәндер жиынының кез келген ашық жиынының алғашқы бейнесiнiң берiлген жиын мен қандай да бiр ашық жиын қиылысуы түрiнде өрнектелуiнiң пара-парлығы.
3. Үзiлiссiздiк және компактылық – компакты жиынның үзiлiссiз бейнесiнiң де компакты болуы.
4. Жалпы және сызықтық атты екi түрлi байланыстылық және олардың өзара арақатынасы – сәйкес жиынды қандай да екi бөлiкке бөлсек те, бiрiнiң шектiк нүктесiнiң екiншiсiнде жатуы және жиынның кез келген екi нүктесiн сонда жататын қисықпен жалғау мүмкiндiгi, әрбiр сызықты байланысты жиын жай байланысты болғанымен, керiсiнше әрқашан орындала бермеуi.
5. Үзiлiссiздiк және сызықты байланыстылық – сызықты байланысты жиынның үзiлiссiз бейнесiнiң де сызықты байланысты болуы.
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 137, №4
6. Шек ұғымын беретiн абсолюттi шама, оның негiзiнде анықталған нормаланған кеңiстiк, норма негiзiнде шек анықтамасын беретiн арақашықтық үрдiсi арқылы туындайтын метрикалық кеңiстiк тiзбесiнiң ең кең жалпылауы болып табылатын топологиялық кеңiстiк – Rn кеңiстiгiндегi ашық жиындардың негiзгi қасиеттерiн сақтай отырып, «ашық» атты жиындары аксиомалық түрде берiлетiн кеңiстiк.
7. Кез келген сандық функция өзi анықтайтын жеке "топологиясында" үзiлiссiз – түйсiк деңгейiнде қарандашты көтермей көрнектi салғандағы функция графигi берген үзiлiссiздiк ұғымын бастапқы ашық жиын ретiнде қабылданған интервалдар арқылы құрылған топология растаса, кез келген бос емес жиында анықталған сандық фунцияның өзi тудырған топологияда, соның iшiнде, sgn x функциясы нақты сандар жиынындағы ашық жиындардың алғашқы бейнелерi ашық деп қабылданған топологияда «үзiлiссiз»
болуы.
ХI ТАРАУ. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ТЕОРИЯСЫ
§1. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ НҮКТЕДЕГI ДИФФЕРЕНЦИАЛДАНУЫ ЛОКАЛДI СЫЗЫҚТАНДЫРУЫ РЕТIНДЕ
1. Тағы да бiр айнымалылы функцияның нүктеде дифференциалдануының анықтамасы мен сондағы дифференциал деп аталатын бiр айнымалы сызықтық функция туралы – функция өсiмшесiнiң кездейсоқ емес, қарапайымдылығы тұрғысынан тұрақты функцияға қарағанда келесiсi болатын сызықтық функция мен аргумент өсiмшесiмен салыстырғанда нөлге одан да тез ұмтылатын "бүлдiргiш" деп аталатын қосылғышпен қосынды түрiнде эквиваленттi жазулары.
2. Kөп айнымалының сандық сызықты функциясының анықтамасы және оның жалпы түрi – функцияның әр екi нүктеде бiр мән қабылдауы түрiндегi тұрақтылық қасиеттен кейiнгi қарапайым сызықтылық қасиетiн қанағаттандыратын функцияның түрiн анықтау.
3. Kөп айнымалының сандық сызықтық функцияның коэффициенттерi және олар стандарттық базис мүшелерiнiң сол сызықтық функцияның мәндерi ретiнде.
4. Rn кеңiстiгiндегi әр сызықтық функция оның аргументi мен коэффициенттерiнiң векторлық түрiндегi скаляр көбейтiндiсi ретiнде.
5. Бiр айнымалылы сызықтық функцияның координат жүйесiнiң бас нүктесiнен өтетiн түзу түрiндегi жазықтықтағы геометриялық бейнесi.
6. Екi айнымалылы сызықты функцияның кеңiстiктегi координат жүйесiнiң бас нүктесiнен өтетiн жазықтық түрiндегi кеңiстiктегi геометриялық бейнесi.
7. Көп айнымалылы сандық функцияның нүктеде дифференциалдану анықтамасы – барлық дифференциалданатын функцияларға ортақ, дифференциалданатын функция өсiмшесi дифференциал атты аргумент өсiмшесiне тәуелдi сызықтық функция мен аргумент өсiмшесiмен бiрге, бiрақ оның ұзындығына қарағанда нөлге тез ұмтылатын, функцияның нүкте маңайындағы локалдi құрылысының ерекшелiктерiн сол ортақ жазуда өзiне қамтитын, «бүлдiргiш» атты функциялардың қосындысы түрiнде өрнектелуi.
8. Көп айнымалылы фунцияның нүктеде дифференциалдану анықтамасының скаляр көбейтiндi арқылы өрнектелуi.
9. Сызықтық функцияның орта мектеп пен математика ғылымындағы атауы бiреу болғанымен, түсiнулерi өзгеше – орта мектепте сызықтық функция деп түзу теңдеуiн атаса, математика ғылымда сызықтық қасиеттi қанағаттандыратын функция аталады.
10. Екi және үш айнымалылы функцияның нүктеде дифференциалдануының тiкелей қолдануға ыңғайландырылған жазылулары.
11. Көп айнымалылы сандық функцияның нүктеде дифференциалдану анықтамасындағы қосылғыштарының мағынасын сипаттайтын атаулар мен талқылауларды жинақтап қорытындылау – дифференциалданатын функция өсiмшесiн құрайтын сызықтық функция мен «бүлдiргiш» жайлы әртүрлi мәлiметтер мен әртүрлi өрнектелулерi.
12. Көп айнымалылы сандық функцияның ашық жиында дифференциалдануы және де бұл анықтамада жиын ашық болуының себебi – аргумент өсiмшесi 0 нүктесiнiң толық
маңайында өзгеруi қажет, сол себептi функция жайлы мәлiмет дифференциалданатын нүкте маңайындағы толық көлемдi құрылысына тәуелдi.
§2. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ НҮКТЕДЕГI ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ЖӘНЕ СОЛ СЫЗЫҚТЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ КОЭФФИЦИЕНТТЕРI БОЛАТЫН ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАР
1. Көп айнымалылы функцияның нүктедегi дифференциалы – кез келген көп айнымалы сандық функцияның өсiмшесiнiң аргументi 0 нүктесiнiң қайсiбiр маңайында анықталған болса, дифференциалданатын функция өсiмшесiнiң сызықтық бөлiгi ретiнде алынған сызықты функция бүкiл кеңiстiкте анықталуы.
2. Дифференциал – сызықты функция ретiнде өз коэффициенттерiмен толық анықталатындықтан, функцияның локалдi құрылысы бойынша оның коэффциеттерiн бейнелеу мәселесiнiң қойылуы.
3. Дифференциал анықтамасындағы сызықтық функцияның коэффициенттерiн анықтауда дербес туынды атты жаңа ұғымның пайда болуы – есептеулер көрнекi, жазу ықшам болу мақсатында екi өлшемдi жағдайды қарастыру.
4. Көп айнымалылы функцияның белгiленген айнымалысы бойынша нүктедегi дербес туындысы – көп айнымалылы функцияның сол нүктедегi дифференциалы атты сызықты функцияның сәйкес айнымалысының коэффициентi.
5. Дербес туындының анықтамасын бiр айнымалылы функцияның туындысы ретiнде өрнектеу және оның геометриялық суреттемесi – бекiтiлген айнымалыдан басқаларының барлығын тұрақты ретiнде қабылдап бiр айнымалылы функция түрiнде қарастыру және функция графигi мен осы айнымалыны қамтымайтын (n −1) өлшемдi жазықтықтың қиылысуын беретiн «қисыққа» (a1, a2, . . . , an, f(a1, a2, . . . , an)) нүктесiнде жүргiзiлген жанаманың бұрыштық коэффициентi.
6. Көп айнымалылы функцияның дербес туындысын есептеу мәселесiнiң бiр айнымалы жағдайға көшiрiлуi – бiр айнымалы элементар функциялардың туындыларын есептеу ережелерi арқылы дербес туындыларды табу есептерiн жүргiзу.
7. Нүктеде дифференциалданатын функцияның сол нүктедегi дифференциалын дербес туынды арқылы дәл өрнектеу мүмкiндiгi – нүктеде дифференциалданатын функцияның сол нүктедегi барлық дербес туындыларының бар болуы және олардың сызықтық функциядағы сәйкес айнымалылар коэффициенттерiне тең болуы, керiсiнше, нүктеде барлық дербес туындылары бар функцияның сол нүктеде мiндеттi түрде дифференциалдана бермеуi.
8. Нүктеде дифференциалданатын көп айнымалылы функция сол нүктеде үзiлiссiз де – бiр айнымалылы функция тәрiздi көп айнымалылы функцияның дифференциалдану қасиетiнiң үзiлiссiздiк қасиетiн де қамтамасыз етуi, бiрақ керi жағдайдың әрқашан орындала бермеуi.
9. Көп айнымалылы функцияның нүктедегi дифференциалын белгiлеу туралы келiсiмдер – дифференциалдың әртүрлi жазуларының арасындағы df(a) = ∂x∂f
1(a)dx1 +
∂f
∂x2(a)dx2 + · · · + ∂x∂f
n(a)dxn түрiндегi негiзгiсiндегi dx1, dx2, . . . , dxn белгiлеулерiнiң әрқайсысы бiртұтас болып, толық көлемде Rn кеңiстiгiн құрап, сызықтық функцияның әдеттегi айнымалысы болуы.
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛДАНАТЫН КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ БАРЛЫҚ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРЫ АРҚЫЛЫ БЕРIЛГЕН ҚАСИЕТТЕРI
1. Функцияның нүктеде дифференциалдануын қамтамасыз ететiн дербес туындылар тiлiндегi шарты – сол нүктенiң маңайында дербес туындылары бар және сол нүктенiң өзiнде үзiлiссiз болуы.
2. Ашық жиында анықталған және оның әр нүктесiнде барлық дербес туындылары бар және үзiлiссiз функцияның сол жиынның әр нүктесiнде дифференциалдануы – функцияның нүктеде дифференциалдануының дербес туындылар тiлiндегi жеткiлiктi шартының салдары ретiнде.
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 137, №4
3. Көп айнымалылы функцияның нүктеде дифференциалдануының оның сол нүктедегi барлық дербес туындылары арқылы қорытынды суреттемесi - дифференциалданатын функцияның дербес туындыларының бар болуы, барлық дербес туындылары бар функция дифференциалданбау мүмкiндiгi, бiрақ олардың әрқайсысы сол нүктеде үзiлiссiз болғанда дифференциалдануы.
4. Көп айнымалылы сандық функцияның градиентi және оның көп айнымалылы функция үшiн «үзiлiссiз дифференциалдану» ұғымын беретiн Rn 7→ Rn бейнелейтiн функция ретiндегi үзiлiссiздiгi – n-өлшемдi кеңiстiктiң ашық жиынында анықталған n-айнымалылы функцияның әр нүктедегi барлық дербес туындылары бар болғанда анықталу жиыны берiлген ашық жиын, мәндерi n-өлшемдi кеңiстiктiң элементi болатын, дербес туындылардан рет-ретiмен n-өлшемдi вектор түрiнде құрылған градиент атты жаңа функцияны беру, бiр айнымалылы функцияның туындысы бар және осы туындының басқа жаңа функция ретiнде үзiлiссiз болғанда, бастапқы функцияның үзiлiссiз дифференциалданатын сандық функция деп аталғанындай, дербес туындылардың әрқайсысының сандық функция ретiнде үзiлiссiздiгiнен Rn7→Rn бейнелейтiн градиеттiк функцияның да үзiлiссiз болуы және оның көпайнымалылы функцияның үзiлiссiз дифференциалдануын беруi.
5. Жиында дифференциалданатын функция сол жиында үзiлiссiз дифференциалданбауы мүмкiн – ашық жиында анықталған және оның әр нүктесiнде дербес туындылары бар, бiрақ дербес туындылары функция ретiнде үзiлiстi болатын функция мысалы.
6. Функцияның графигiне нүктеде жүргiзiлген жанама жазықтық – екi өлшемдi функция жағдайында функция графигiне жургiзiлген жанама жазықтық теңдеуiнiң осы нүктедегi дербес туындылар арқылы өрнектелуi.
§4. БIРIНЕН СОҢ БIРI АНЫҚТАЛАТЫН КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ЖОҒАРЫ РЕТТI ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРЫ
1. Көп айнымалылы сандық функцияның жоғары реттi дербес туындылары – ашық жиында анықталған көп айнымалылы функцияның қандай да бiр айнымалысы бойынша әр нүктеде дербес туындысы бар болғанда анықталған жаңа функцияның дәл сол айнымалысы бойынша немесе аралас дербес туынды деп аталатын басқа айнымалы бойынша алынған туындысы.
2. Нүктедегi аралас туындылары өзара тең емес көп айнымалылы сандық функция мысалы – ашық жиында анықталған функцияның бiрiншi айнымалысы бойынша алынған туындысынан одан өзге екiншi айнымалы бойынша алынған аралас туындысы мен керiсiнше, ретiн ауыстырып алдымен екiншi айнымалы бойынша, содан бiрiншi айнымалы бойынша туындылауда нақты мәндi туындылары бар және өзара тең бола бермейтiндiгiн көрсететiн екi айнымалылы функция мысалы.
3. Нүктедегi аралас туындыларының алыну ретiне тәуелсiз өзара тең болуын қамтамасыз ететiн олардың локалдi үзiлiссiздiгi – ашық жиында анықталған функцияның аралас туындыларды алған айнымалылар мен олардың неше рет алыну санын сақтап, реттерiн қалай алмастырсақ та мәндiрiнiң өзара бiр санға тең болуына сол нүктедегi аталмыш аралас туындылардың барлығының сол нүктенiң қайсiбiр маңайында бар болып, нүктенiң өзiнде үзiлiссiз болуының жеткiлiктiлiгi.
§5. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЕРЕЖЕЛЕРI
1. Нүктеде дифференциалданатын көп айнымалылы сандық функцияларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесi болатын жаңа функцияның да сол нүктеде дифференциалдануы және оның дифференциалы берiлген функциялар мен олардың дифференциалдары арқылы өрнектелу формулалары.
2. Сәйкес өз нүктелерiнде дифференциалданатын iшкi және сыртқы функциялардан құрылған күрделi функцияның да бастапқы нүктеде дифференциалдануы - күрделi функция өсiмшесiн алдымен дифференциалданатындығынан сызықтық функция мен
"бүлдiргiш" функция қосындысы түрiнде берiлген айнымалысы iшкi функция өсiмшесi
болатын сыртқы функция өсiмшесi, артынша дәл осындай түрдегi iшкi функцияның өсiмшесi арқылы жазып алған соң, iшкi функция өсiмшесiне қатысты сызықтық бөлiгiн бөлiп алып, одан кейiн нөлге аргумент өсiмшесiне қарағанда жылдам ұмтылатын функцияның арифметикалық қасиеттерiн қолдана отырып, күрделi функцяның өзiнiң бүлдiргiшiн анықтап, күрделi функция өсiмшесi де кездейсоқ емес сызықтық функция мен
"бүлдiргiш" функция қосындысы түрiнде жазылатындығын көрсету.
3. Сәйкес өз нүктелерiнде сыртқы функция толық көлемде дифференциалданып, сыртқы функция айнымалыларының санына тең болатын iшкi функциялардың тек дербес туындылары бар болғанда, олардан құрылған күрделi функцияның бастапқы нүктеде дербес туындыларының бар болуы және оларды есептеу формулалары – iшкi функция қанша айнымалыға тәуелдi болса, күрделi функцияның сонша түрлi дербес туындысы бар болады да, олардың әрқайсысы сыртқы функцияда қанша айнымалы болса, әр айнымалысы бойынша алынған дербес туындысының сол айнымалыдағы iшкi функцияның дербес туынды алынып жатқан айнымалысы бойынша алынған дербес туындысына көбейтiндiлерiнiң сонша қосындысынан тұратын күрделi функцияның дербес туындысын есептеу формуласы.
4. Күрделi функциялардың дербес туындыларын есептеу формулаларының жеке жағдайда толық жазылуы – үш айнымалылы сыртқы, екi айнымалылы iшкi функциядан құрылған екi айнымалылы күрделi функцияның әр айнымалылары бойынша дербес туындылары формулаларын ашып жаза отырып, бiр мысал негiзiнде есептеу жүргiзу.
5. Көп айнымалылы сандық функциясы үшiн Лагранж формуласы - көп айнымалылы сандық функциясының нүктедегi өсiмшесiнiң оның барлық дербес туындыларының қосындысының аралық нүктедегi мәнi арқылы дәл өрнектелуi.
6. Көп айнымалылы сандық функцияның дөңес және ашық болатын анықталу жиынында тұрақты болу критерийi – сол дөңес және ашық жиында тұрақты болуы мен әрбiр нүктесiнде барлық дербес туындыларының бар және нөлге тең болуының пара- парлығы.
7. Берiлген реттi үзiлiссiз дифференциалдану деп аталатын сол ретке дейiнгi барлық дербес туындылары бар және үзiлiссiз болуының көп айнымалылы күрделi функция жағдайындағы жеткiлiктi шарты – көп айнымалылы күрделi функцияның берiлген реттi дербес туындысының бар және үзiлiссiз болуын оны құрайтын iшкi және сыртқы функциялардың сол реттi үзiлiссiз дербес туындыларының бар болуының қамтамасыз етуi.
8. Сыртқы функцияның дифференциалына iшкi функцияның дифференциалын қойғанда дифференциалдар түрлерiнiң инварианттылығы деп аталатын күрделi функцияның бастапқы нүктедегi дифференциалына тең болуы – дифференциалдағы dx1, dx2, . . . , dxn әрқайсысы бiртұтас айнымалыларын тәуелсiз айнымалы ретiнде алсақ та, күрделi функция ретiнде алсақ та дифференциал жазылуы түрiнiң өзгерiссiз қалуы, яғни dx1, dx2, . . . , dxn белгiлеуiндегi x1, x2, , . . . , xn тәуелсiз айнымалыларының әрқайсысын функциямен алмастырып, пайда болған күрделi функцияның дифференциалының да бастапқы тәуелсiз айнымалылармен берiлген дифференциал жазуының түрiне келуi.
§6. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЕРЕЖЕЛЕРIНIҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ
1. Үш өлшемдi R3 кеңiстiгiндегi сандық функцияның бағыт бойынша туындысы негiзiнде бiржақты дербес туындыларының пайда болуы – бағыт бойынша алынған өсiмшенiң аргумент өсiмшесiне қатынасының аргумент өсiмшесi нөлге ұмтылғандағы шегi ретiнде, соның iшiнде бағыт координаталық өстермен беттескенде бағыт бойынша туындының сәйкес айнымалылар бойынша бiржақты дербес туындыға айналуы және осылардың барлығының геометриялық суреттемесi.
2. Үш өлшемдi R3 кеңiстiгiндегi сандық функцияның бағыт бойынша туындысының дербес туындылардың толық жүйесi бойынша жiктелуi – ашық жиында анықталған көп айнымалылы ретiнде нүктеде дифференциалданатын функцияның кез келген бағыт бойынша туындысының бар болуы және олардың дербес туындылар мен бағыттың сәйкес координата өсiмен жасайтын бұрыш косинусына көбейтiндiсiнiң қосындысы түрiнде жазылуы.
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 137, №4
3. Көп айнымалылы сандық функцияның бағыт бойынша туындысы – дербес туындыларының жалпылауы және де оның дербес туындылардың толық жүйесi бойынша жiктелуi.
4. Көп айнымалылы сандық функцияның ең жылдам өзгеру бағытын сипаттайтын градиент gradf ≡ ∇f(a) – бағыттар арасындағы абсолют шамасы ең үлкен градиент атты туынды және туындының механикалық мағынасы жылдамдық болғандықтан ең жылдам өзгеру бағытын беруi.
5. Көп айнымалылы сандық функция үшiн қалдық мүшесi Лагранж түрiнде берiлген глобалдi Тейлор формуласы – құрлысы шектеусiз күрделi объект деп қабылданатын көп айнымалылы сандық функцияны қарапайым объект болатын арнайы түрдегi сондай айнымалылы алгебралық көпмүшелiкпен алмастыру және осы алмастыруда пайда болатын ауытқуының Лагранж түрiндегi бағалануы.
6. Көп айнымалылы сандық функция үшiн қалдық мүшесi Пеано түрiнде берiлген локалдi Тейлор формуласы – күрделi объект деп қабылданатын көп айнымалылы сандық функцияны қарапайым объект болатын арнайы түрдегi сондай айнымалылы алгебралық көпмүшелiкпен берiлген нүктенiң маңайында алмастыратын, осы алмастыруда пайда болатын ауытқудың осы нүктедегi шегi нөл болатын Пеано түрiндегi жазылуы.
§7. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ САНДЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ ЛОКАЛДI ЭКСТРЕМУМЫ
1. Көп айнымалылы сандық функцияның локалдi экстремум нүктесi – сол нүктедегi мәнi оның қандай да бiр маңайында ең үлкен немесе ең кiшi мәнi болуы.
2. Мүмкiн локалдi экстремум нүктелерiн ерекше оңашалайтын Ферма теоремасы – локалдi экстремум нүктесiнде барлық дербес туындылары бар көп айнымалылы сандық функцияның сол нүктедегi барлық дербес туындылары нөлге тең болуын шегелейтiн локалдi экстремумның қажеттi шарты.
3. Локалдi экстремумге күдiктi нүктелердi ерекше оңашалайтын дифференциал тiлiндегi шарт – локалдi экстремум нүктесiнде дифференциалданатын көп айнымалылы сандық функцияның сол нүктедегi дифференциалының нөлге тепе-тең, басқаша айтқанда дифференциал атты сызықты функцияның коэффициенттерi болатын сол нүктедегi дербес туындылардың мiндеттi түрде бар болып және де олардың әрқайсысының нақты сандар ретiнде нөлге айналуы.
4. Ферма теоремасындағы қажеттi шарттың жеткiлiктi еместiгi – нүктеде барлық дербес туындылары нөлге тең болса да, сол нүкте локалды экстремум нүктесi болмайтынын көрсететiн көп айнымалылы сандық функция мысалы.
5. Дифференциалдық есептеу теориясы локалдi экстремум тақырыбында негiзгi техникалық құрал бола тұра, сол нүктенiң өзiнде аталған күрделi мәселемен тiкелей байланысыздығы: сызықты функция ретiндегi дифференциал толығымен не дербес туындылардың бiрi жоқ нүкте локалдi экстремум нүктесi болуы да, болмауы да мүмкiндiгiн көрсететiн мысалдар.
6. Көп айнымалылы сандық функцияның локалдi экстремум нүктесi бола алуын қанағаттандыратын нүктенiң және дәл сол нүктедегi функция қасиеттерiнiң мiндеттi түрде орындалатын шарттары – сәйкесiнше анықталу жиынының iшкi нүктесi болуы, оған қоса сол нүктеде барлық дербес туындылары бар болған жағдайда олардың нөлге тең болуы немесе ең болмағанда бiр дербес туындысының болмауы, дифференциалданатын функция болған жағдайда дифференциалының нөлге тепе-тең болуы.
7. Екi айнымалылы сандық функцияның бiрiншi реттi дербес туындыларының барлығы нөлге тең болып, сол нүктедегi екiншi реттi дербес туындыларының мәндерiнен құрылған анықтауыш таңбасы арқылы Тейлор формуласы негiзiнде локалдi экстремумге толық зерттеу – мәселенiң бәрi анықтауыштың таңбасымен толық сипатталады: сол нүктедегi екiншi реттi дербес туындыларынан құрылған анықтауыштың таңбасы оң болғанда минимум, терiс болғанда максимум, ал нолге тең болғанда нақтылы жауап жоқ, экстремумның бар болуы да болмауы да мүмкiндiгi мысалдармен көрсетiледi және де солай болуы тиiс, өйткенi экстремум күрделi мәселесi қарапайым екiншi туынды мәндерi арқылы толық шешiлуi мүмкiн еместiгi.
8. Көп айнымалылы сандық функцияның бiрiншi реттi дербес туындыларының барлығы нөлге тең болып, сол нүктедегi екiншi реттi дербес туындыларының мәндерiнен құрылған квадраттық формасы арқылы Тейлор формуласы негiзiнде локалдi экстремумге толық зерттеу – квадраттық форма оң, терiс анықталғанда және анықталмағанда сәйкес локалдi минимум, локалдi максимум болатындығы мен локалдi экстремум болмайтындығы және жартылай анықталғанда локалдi экстремумның бар-жоқтығын айта алмайтын жағдайларға жiктелуi.
9. Көп айнымалылы квадраттық форманың оны анықтайтын коэффициенттерi арқылы оң, терiс, жартылай оң, жартылай терiс анықталған және анықталмаған болуының әрқайсысын беретiн Сильвестр критерийi және осы критерий негiзiндегi көп айнымалылы сандық функцияның локалдi экстремумға зерттеудiң толық суреттемесi – квадраттық форма атты айнымалыларының өз сандық коэффициентiмен жабдықталған барлық мүмкiн қос-қос көбейтiндiлерi болатын қосындының айнымалыларының барлық мүмкiн мәндерi үшiн оң, терiс, оң емес, терiс емес және де оң да, терiс те мәндердi қабылдайтыны сол симметриялық түрге келтiрiлген коэффициенттерден құрылған матрицаның минорлар таңбаларының Сильвестр критерийi атты тәртiппен орналасуының көп айнымалылы функцияның нүктедегi локалдi экстремум мәселесiн толық сипатталуы.
10. Тұйық және шенелген жиында үзiлiссiз көп айнымалылы сандық функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерiн дифференциалдық есептеулер әдiстемелерi арқылы табуға нұсқау – сандық функцияның локалдi экстремум нүктесi емес iшкi нүктенiң кез келген маңайында одан үлкен де, кiшi де мәндер қабылдайды да, сол себептен функцияның жиын бойындағы ең үлкен де, ең кiшi де мәнi болмайтындығынан iзденiс мәндердi тек қана локалдi экстремум қажеттi шарттарын қанағаттандыратын нүктелермен функцияның iшкi нүктеге жатпайтын шекаралық нүктелердегi мәндер арасынан iзделуi.
§8. f : Rn 7→ Rm ТҮРIНДЕГI САНДЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ
1. f : Rn 7→ Rm түрiндегi сызықтық функцияның жалпы түрi және де сондай түрдегi функцияның нүктеде дифференциалдануының анықтамасы – Rm-мәндi функция ретiмен алынған m сандық координаталық функциялар тiзбесi болып, Rm- мәндi сызықтық функция сондай құрылымдағы сызықтық сандық функциядан тұрады, осының жалғасында Rm-мәндi n айнымалылы функцияның нүктеде дифференциалдану анықтамасы сандық функцияның нүктеде дифференциалдануының анықтамасы түрiнде жазылып, ондағы теңдiк таңбасымен байланысқан үш өрнек Rm-мағынасында алынады да, ондағы "бүлдiргiштiң" Rm-нормасы аргумент өсiмшесiнiң Rn нормасының нөлге ұмтылуына қарағанда нөлге жылдам ұмтылуы.
2. f : Rn 7→ Rm түрiндегi функцияның анықталу жиынының нүктесiнде алынған Якоби матрицасы – бiр айнымалылы сандық функциясының нүктедегi туындысының f0(a) түрiнде жазылуы Rm-мәндi n айнымалылы функция жағдайында бiрiншi жатық жолында бiрiншi координаттық функцияның тәуелсiз айнымаларының координаттық нөмерлер ретiмен алынған дербес туындыларының, дәл осылай екiншi координаттық функция екiншi жатық жолын, әрi қарай m-шi координаттық функция m-шi жатық жолы алынған m×n өлшемдi сандық матрица барлық дербес туындылары алынған алдын-ала берiлген нүктедегi Якоби матрицасы аталады да, Rn 7→ Rm түрiндегi функциялардың сызықтық комбинацияларың Якоби матрицасы олардың Якоби матрицаларының сондай сызықтық комбинацияларына тең болуы.
3. ψ : Rs ϕ7→Rn f7→Rm күрделi функциясының Якоби матрицасы сыртқы және iшкi функцияларының Якоби матрицаларының көбейтiндiсiне тең болуы.
4. Якоби анықтауышы f : Rn 7→ Rn түрiндегi функцияның Якоби матирицасының анықтауышы ретiнде – m× n матрицасының анықтауышы m = n жағдайында ғана мағыналы болуы
§9. АЙҚЫНДАЛМАҒАН ФУНКЦИЯ ФУНКЦИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУДIҢ АЛҒАШҚЫ КООРДИНАТАЛАРДЫҢ БЕКIТIЛГЕН САНЫ ТӘУЕЛСIЗ АЙНЫМАЛЫ, ҚАЛҒАНДАРЫ ОЛАРҒА ФУНКЦИЯЛЫҚ ТӘУЕЛДIЛIКТЕ
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 137, №4
