(1)УДК 681.5 Ширяева О.И.1∗, Абжанова Л.К.2∗∗ 1,2Казахский национальный исследовательский технический университет имени К.И

УДК 681.5

Ширяева О.И.^1∗, Абжанова Л.К.^2∗∗

1,2Казахский национальный исследовательский технический университет имени К.И. Сатпаева, Республика Казахстан, г. Алматы

E-mail:^∗[email protected],^∗∗[email protected]

Cинтез управления нелинейной многосвязной системы на основе геометрического подхода

Данная статья посвящена синтезу управления для многосвязного нелинейного энергетическо- го объекта на основе геометрического подхода. Для сложной системы управления энергети- ческим объектом применена процедура децентрализации. На основе методологии геометри- ческого подхода для декомпозированной системы выведено условие наличия линейного экви- валента нелинейных систем. В основе условия лежит процедура доказательство образования нелинейной многосвязной системы векторных полей. Для этого исходная декомпозированная система представляется в канонической форме Бруновского. Синтез управления нелинейной многосвязной системы на основе геометрического подхода реализован с помощью получения линейных эквивалентов на условиях инволютивности, не равенстве нулю операторов алгебр Ли в точке равновесия и ее окрестности, линейной независимости векторов операторов ал- гебр Ли в точке равновесия и ее окрестности.

Ключевые слова: cложная система, многосвязная система, нелинейная система, геометри- ческий подход, энергетическая система.

Shiryayeva O.I., Abzhanova L.K.

Synthesis of nonlinear multiply control system based on geometric approach summary

This article focuses on the synthesis of control for nonlinear multivariable energy facility on the basis of the geometric approach. For complex energy management systems the subject of decentralization procedure applied. Based on the methodology for the geometric approach decomposed system derived the condition of having a linear equivalent of nonlinear systems.

The basis of the conditions of the procedure is proof of the formation of nonlinear multiply connected systems of vector fields. To do this, the original system appears to decompose in the canonical form Brunovsky. Synthesis based on geometric approach nonlinear control systems multiply realized by obtaining linear equivalents conditions involutiveness not vanishing operators Lie at the equilibrium point and its surroundings, are linearly independent operators Lie at the equilibrium point and its surroundings.

Key words: multiply input - multiply output control system, nonlinear system, geometric approach, energy system.

Ширяева О.И., Абжанова Л.К.

Геометриялық әдiс негiзiнде бейсызықты копбайланысты жүйенi басқару принципi

Берiлген мақала геометриялық әдiс негiзiнде көпбайланысты бейсызықты энергетикалық объектiнiң басқару синтезiне арналған. Энергетикалық объектiнiң күрделi басқару жүйесi үшiн децентрализация процедурасы қолданылған. Декомпозициялы жүйе үшiн геометрия- лық әдiстiң методологиясы негiзiнде бейсызықты жүйелердiң сызықты эквивалентiнiң бар болу шарты қалыптастырылған.

Шарт негiзiнде копбайланысты бейсызықты жүйелердiң векторлық өрiстердi құра алу мүм- кiндiгiн дәлелдеу процедурасы бар. Ол үшiн бастапқы декомпозициялы жүйе Бруновскийдiң канондық түрiмен берiледi. Күрделi байланыстары бар бейсызықты жүйенiң геометриялық әдiс негiзiндегi басқару синтезi инволютивтiлiк шарттарына негiзделген сызықты эквива- ленттердi алу комегiмен iске асырылған, яғни Ли алгебрасы операторының тепе-теңдiк нүк- тесi мен оның айналасында операторларының нулге тең емес болуы, Ли алгебрасы операто- рының тепе-теңдiк нүктесi мен оның айналасында сызықты тәуелсiздiгi.

Түйiн сөздер: күрделi жүйе, көпбайланысты жүйе, бейсызықты жүйе, геометриялық әдiс, энергетикалық жүйе.

1 Введение

Задача синтеза САУ, способной точно управлять технологическим объектом, приводит к необходимости описания их как нелинейных и многосвязных САУ. Работы, связанные с синтезом управления таких систем, где учитывается и многосвязность и нелинейность представляют большой интерес. В настоящее время имеют место работы, связанные с вопросами синтеза управления на основе геометрического подхода для нелинейных одномерных систем [1-5]. Проблема построения регуляторов для нелинейных систем, в отличие от линейных, все еще далека от решения. Тем не менее, идея использова- ния хорошо разработанной теории построения линейных регуляторов для нелинейных систем на основе геометрического подхода является актуальной. В данной статье раз- рабатывается методология синтеза управление на основе геометрического подхода для нелинейного многосвязного объекта. Особенностью является то, что нелинейные систе- мы рассматриваются как аффинные системы, и рассматриваются на основе группового подхода.

2 Развитие теории геометрического подхода нелинейной многосвязной систе- мой

Пусть задана многомерная система S, декомпозированная на s подсистем Si, i = 1, s, которая описывается следующим уравнением:

˙

x_i =A_ijx_i+

∑s

j = 1 j ̸=i

A_ijx_j+bx_iu_i, i= 1, s (1)

гдеx_i ∈R^n×1 – вектор состояний объекта управления;u_i ∈Rⁿ– управления, из заданно- го постоянного множества U; A_ij, i =j ={a_ij :i = 1, n, j = 1, n} – матрица состояний, размерности (n×n)A_ij(i̸=j) = {a_ij :i= 1, n, j = 1, n} – матрица взаимосвязей между подсистемамиb – матрица управления, размерности(n×m).

Слагаемые ∑

A_ijx_j, содержащие все остальные переменные x_j, кроме собственного вектора x_i подсистемы S_i,отображают связи между подсистемами.

Главная задача при применении геометрического подхода к сложным нелинейным системам (1), заключается в том, чтобы найти диффеоморфизм (гладкий изоморфизм) между исходной нелинейной системой и некоторой линейной системой [6].

Наличие преобразования, позволяющего перейти от сложной нелинейной системы к линейной, сводится к условию существования группы симметрий для сложной нели- нейной системы управления. В [6] получено, что для автономных управляемых систем

˙

x = f(x, u) группа симметрии действует на множестве решений данной системы, ес- ли диффеоморфизм имеет следующую структуру: u^′ = u^′(x, u), x^′ = x^′(x), где (x, u) – старые локальные координаты и управление, (x^′, u^′)– соответственно новые.

В данной статье рассматривается класс сложных нелинейных динамических систем линейных по управлению (1), класс так называемых аффинных систем. То есть систему (1) можно представить в виде системы уравнений:

˙

xi =f1(x)xi+f2(x)ui, xi ∈M^n×1, f2(x0)̸= 0, (2) гдеMⁿ– гладкое многообразие;x₀– равновесная точка;f₁(x), f₂(x)– гладкие векторные поля на Mⁿ :

f₁(x) = [ξ₁(x), . . . , ξ_n(x)]^T

f₂(x) = [η₁(x), . . . , η_n(x)]^T (3)

Если векторные поля рассматриваются как дифференциальные операторы гладких функций, определенных на многообразии Mⁿ, то они представляются в виде [7]

f₁(x) =

∑n

i=1

ξ_i(x) ∂

∂x_i, f₂(x) =

∑n

i=1

η_i(x) ∂

∂x_i (4)

Постановка задачи. Найти такие преобразования для гладкой замены координат y=y(x) и управленияv =v(x, u) (статическая обратная связь), что система (2) приво- дится к некоторой изоморфной ей системе вида

dy/dt=A_Cy+B_Cv, (5)

где A_C, B_C – матрицы канонической формы Бруновского.

В соответствии с методологией дифференциального подхода, для системы диффе- ренциальных уравнений (5) формируется совокупность инфинитезимальных операто- ров, которые формируют базис алгебры Ли [7]. Если совокупность формируется, то для системы управления удовлетворяются динамические свойства.

Каноническая форма Бруновского для систем со скалярным управлением имеет сле- дующий вид:

dy₁/dt=y₂; . . . dy_n−1/dt=y_n; dy_n/dt =ν. (6) Получим преобразования нахождением производных Ли вдоль векторного поля:

dy₁/dt =y₂ =L_f1+f2uf₁(T₁(x)) =f₁(T₁(x)) +uf₂(f₁(T₁(x))) =f₁(T₁(x)) dy₂/dt =y₃ =L_f1+f2uf₁(T₁(x)) =f₁²(T₁(x)) +uf₂(f₁(T₁(x))) =f₁²(T₁(x)) ...

dyn/dt=ν=Lf1+f2uf₁ⁿ⁻¹(T1(x)) =f₁ⁿ(T1(x)) +uf2(f₁ⁿ⁻¹(T1(x)))

(7)

Заметим, что в формуле (7) и ниже подf₁ⁱ(T₁(x)) понимается производная Ли i– го порядка функцииT₁(x) вдоль векторного поля f₁(x) :

f₁ⁱ(T₁(x)) = f₁(f₁(. . . f₁(T₁(x)). . .)). (8) Итак, из (7) и (8) имеем

f₂(f₁ⁱ(T₁(x))) = 0, i= 2, n−2, (9)

d_n/dt=ν =L_f1+f2uf₁ⁿ⁻¹(T₁(x)) = f₁ⁿ(T₁(x)) +uf₂(f₁ⁿ⁻¹(T₁(x))) (10) Для того чтобы из (10) определить u,необходимо обязательно выполнить условие

f₂(f₁ⁿ⁻¹(T₁(x))̸= 0) (11)

Из анализа (9)-(11) можно сделать следующие выводы. Преобразование (невырож- денная замена координат)y₁ =T₁(x) определяется из решения системы линейных диф- ференциальных уравнений в частных производных (9), (11), т.е.

f₂(f₁ⁱ(T₁(x))) = 0, i= 2, n−2, (12)

f₂ = (f₁ⁿ⁻¹(T₁(x))̸= 0) (13)

Остальные координаты получим из (7), т.е.

y_i =f₁ⁿ⁻¹(T_i(x)), i= 2, n, (14)

Формулу (14) можно записать в более привычной форме

y_i =T_i(x) = f₁(T_i−1(x)) = (∂T_i−1(x)/∂x, f₁(x)), i= 2, n (15) где(d, r)– скалярное произведение векторов d и r.

Для аффинных систем (2) система дифференциальных уравнений в частных про- изводных (12), (13), из которой находится преобразование T₁(x), эквивалентна системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, определенных последовательным дифференцированием векторного поля f₂(x) вдоль векторного поля f₁(x) и последующим дифференцированием функции T₁(x) вдоль полученных вектор- ных полей, т.е.

(adⁱ_f

1f₂)(T₁(x)) = 0, i= 0, n−2 (16)

(adⁿ_f⁻¹

1 f₂)(T₁(x))̸= 0 (17)

где adⁱ_f

1f₂ – производная Ли векторного поля adⁿ_f⁻¹

1 f₂ вдоль векторного поля f₁(x) при- чем для

i= 0 : ad⁰_f1f₂(x) =f₂(x)

i= 1 : ad¹_f

1f₂(x) = L_f1f₂(x) = (f₁f₂−f₂f₁)(x) = [f₁f₂](x) =

= ((∂f₂(x)∂x)f₁(x)−(∂f₁(x)/∂x)f₂(x))(x) i=k: ad¹_f1f₂(x) =L_f1adⁱ_f⁻¹

1 f₂(x) = [f₁, adⁱ_f⁻¹

1 f₂(x)]

где [f₁f₂](x) – скобка (коммутатор) Ли векторных полей f₁(x) иf₂(x).

Для i = 0 : ad⁰_f

1f₂(T₁(x)) = f₂(T₁(x)) = 0 и первые уравнения (12), (13) и (16) совпадают. Для

i= 1 : (ad¹_f

1f₂)(T₁(x)) = L_f1f₂(T₁(x)) = (f₁f₂−f₂f₁)(T₁(x)) =

= (f₁(f₂(T₁(x))))−f₂(f₁(T₁(x))) =−f₂(f₁(T₁(x))) , так как f2(T1(x) = 0). Выше было использовано свойство производной Ли:

L_[f1,f2](T1(x)) = [Lf1, Lf2](T1(x)).

Исходя из определения скобок Ли и непосредственными вычислениями можно пока- зать, что для

i=k : (ad^k_f

1f₂)(T₁(x)) =L_f1(ad^k_f⁻¹

1 f₂)(T₁(x)) =

=

∑k

j=0

(−1)^jC_j^kf₁^k−jf₂f₁^j(T₁(x)) = (−1)^kf₂f₁^k(T₁(x)) = 0 (18)

так как

f₂f₁^j(T₁(x)) = 0, j = 0, k−1, (19)

причем в (18)

C_j^k = k!

j!(k−j)!.

Формулы (18), (19) справедливы для k= 0, n−2. Дляk =n−1

(adⁿ⁻¹_f

1 f₂)(T₁(x)) = (−1)ⁿ⁻¹f₂f₁ⁿ⁻¹(T₁(x))̸= 0 (20) Эквивалентность формул (12), (13), (16), (17) доказана.

Функция T1(x) определяется из системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (18), (19), но при этом векторные поляadⁱ_f

1f₂(x), i = 0, n−2, должны подчиняться условию их совместной интегрируемости и условию инволютивности.

Заметим, что при f₂(x) =f₂ =const

(adⁱ_f1f₂)(T₁(x)) = (−1)ⁱ(f₂f₁ⁱ)(T₁(x)), i= 0, n−1 (21) и формулы (12), (13) и (16) полностью совпадают.

Инволютивность является краеугольным камнем при выводе условий интегрируе- мости уравнений в частных производных и фактически при этом является синонимом термина «интегрируемость».

Говорят, что множество векторных полей {f₁₁(x), . . . , f_1m(x)}инволютивно, если су- ществуют такие скалярные поля (функции) α_ijk(x),что

[f_1i, f_2j](x) =

∑m

k=1

α_ijk(x)f_1K(x) (22)

В этом случае совокупность {f11(x), . . . , f1m(x)} определяет алгебру Ли {f₁₁(x), . . . , f_1m(x)}LA относительно бинарной операции [·,·]. Фробениус показал, что система векторных полей тогда и только тогда интегрируема, когда она инволютив- на. Сначала рассмотрим только класс так называемых инволюционных систем. Система векторных полей S = (f₁₁(x), . . . , f_1m(x)) находится в инволюции, т.е. векторные поля попарно коммутируют, если

f_1if_1j(z(x)) =f_1jf_1i(z(x)), i, j = 1, m или

[f1if1j](x) = (f1if1j −f1jf1i)(x) = 0 (23) для любой дважды и более дифференцируемой функции z(x), т.е. условия (23) совпа- дают с (22) для α_ijk = 0. Покажем, что любая инволютивная система векторных полей имеет в качестве канонического (исходного) базиса инволюционную систему, из которой она определяется умножением на некоторые гладкие функции, определяя тем самым то же самое гладкое инволютивное распределение ∆p размерности p, что и исходная инволюционная система.

3 Синтез управления нелинейной многосвязной системы на основе геомет- рического подхода

Пусть S ={f₁₁(x), . . . , f_1n−1(x)} – инволюционная система на подмногообразии V.

Пусть из системы S получена новая система S ={f₂₁(x), . . . , f_2n−1(x)} умножением векторных полей f₁₁ на гладкие функции g_i(x), i = 1, n−1, не обращающиеся в нуль в окрестности точки x₀. В этом случае S₁ определяет то же распределение ∆_n−1, но с другой параметризацией. Например, для n−1 = 2 имеем f₂₁=g₁(x)f₁₁, f₂₂ =g₂(x)f₁₂.

Тогда

[f₂₁, f₂₂]f(x) = (γ₁(x)f₂₁+γ₂(x)f₂₂(x) +γ₃(x)[f₁₁, f₁₂])f(x) =

= (γ₁(x)f₂₁+γ₂(x)f₂₂(x))f(x).

так как из (23) [f₂₁, f₂₂] = 0. Функции γ_i(x), i= 1,2,3 находятся из следующих соотно- шениях:

γ₁(x) = (−g₂(x)f₁₂(g₁(x)))/g₁(x), γ2(x) = (−g1(x)f11(g2(x)))/g2(x), γ₃(x) = g₁(x)·g₂(x).

Видно, что еслиS ={f₁₁, . . . , f_1n−1}– инволюционная система на подмногообразииV, тоS₁ ={f₂₁, . . . , f_2n−1}определяет инволютивную систему на том же подмногообразии.

Что касается исходной системы S ={f₁₁(x), . . . , f_1n−1(x)} ={adⁱ_f

1f₂(x), i = 0, n−2} определяющей систему (18), то из вывода уравнений (14) следует, что в общем случае это инволютивная система на подмногообразииV,так как из условия[f_1if_1j]f(x)∀f_1i ∈∆_n−1 не обязательно следует, что [f_1if_1j] = 0

Вопрос о существовании преобразованияy=T(x), v =v(x, u)для исходной системы (2) сводится к проблеме наличия группы симметрий – группы диффеоморфизмов, пере- водящих решения управляемой системы (10) в решения системы (5) и наоборот. Здесь основную роль играет теорема Софуса Ли (аналог теоремы Руффини-Абеля-Галуа о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах) о разрешимости линейного диф- ференциального уравнения в частных производных Az = 0.

Эта теорема приводит к следующим условиям наличия у (2) группы симметрий:

1)f_1i(T₁(x)) = 0, i= 1, n−1 (24)

f_1n(T₁(x))̸= 0, (25)

2) система S = {f₁₁(x), . . . , f_1n−1(x)} = {adⁱ_f

1f₂(x), i = 0, n−2} – является инволю- тивной;

3) векторные поля{f₁₁(x), . . . , f_1n−1(x)}={adⁱ_f

1f₂(x), i= 0, n−1}– линейно незави- симы в окрестности равновесной точки x₀.

Формулы (24), (25) в точности повторяют условия (12), (13) или (16), (17), условия 2) выполнены для S и единственным дополнительным условием существования является 3).

Если равновесная точкаx₀ ̸= 0, тогда преобразование

y₁ =T₁(x)−T₁(x₀) (26)

позволяет получить интегральное многообразие, проходящее через данную точку x₀. Суммируя вышесказанное, сформулируем основную теорему о наличии линейных эквивалентов у системы (2).

Условие. Нелинейная система (2) тогда и только тогда имеет линейный эквивалент – систему (5) в окрестности равновесной точкиx₀,когда выполнены следующие условия:

1) система S ={adⁱ_f

1f₂(x), i= 0, n−2} – инволютивна;

2) adⁿ_f⁻¹

1 f₂ ̸= 0 в точке равновесия и ее окрестности;

3) векторыadⁱ_f1f₂(x), i= 0, n−1линейно независимы в точке равновесия и ее окрест- ности;

4) преобразованиеT₁(x),полученное из системы дифференциальных уравнений (18), связано с переменнойy1 соотношением (26), остальные преобразования находятся из (7), (10);

5) статическая обратная связь определяется из уравнения

ν=f₁ⁿ⁻¹(T₁(x)) +u·adⁿ_f⁻¹

1 f₂(T₁(x)).

откуда после нахожденияν =ν(y) и заменыy=T(x) получим обратную связь в исход- ной системе

u(x) = ν(T(x))−f₁ⁿ⁻¹(T₁(x)) adⁿ_f⁻¹

1 f₂(T₁(x)) . (27)

4 Заключение

В статье синтезируется управление для многосвязного нелинейного объекта на основе геометрического подхода.

Для сложной системы управления данным объектом применена процедура децен- трализации и выведено условие наличия линейного эквивалента нелинейных систем.

В данной статье рассматривается синтез управления для многосвязного нелинейно- го энергетического объекта на основе геометрического подхода. Для сложной системы управления энергетическим объектом применена процедура децентрализации. На ос- нове методологии геометрического подхода для декомпозированной системы выведено условие наличия линейного эквивалента нелинейных систем. В основе условия лежит процедура доказательство образования нелинейной многосвязной системы векторных полей. Для этого исходная декомпозированная система представляется в канонической форме Бруновского. Синтез управления нелинейной многосвязной системы на основе

геометрического подхода реализован с помощью получения линейных эквивалентов на условиях инволютивности, не равенстве нулю операторов алгебр Ли в точке равнове- сия и ее окрестности, линейной независимости векторов операторов алгебр Ли в точке равновесия и ее окрестности.

Литература

[1] Bloch A., Colombo L., Gupta R., Diego D.A Geometric Approach to the Optimal Control of Nonholonomic Mechanical Systems // Analysis and Geometry in Control Theory / Springer International Publishing Switzerland. – 2015. – p.35-64.

[2] Гайдук А.Р.Условия разрешимости задачи синтеза инвариантных систем управления // Известия Южного феде- рального университета / Технические науки. – 2008. – № 7 (87) – стр.116-122.

[3] Wang L., Su R., Huang Z., Wang X., Wang W., Grebogi C., Lai Y.A geometrical approach to control and controllability of nonlinear dynamical networks // NATURE COMMUNICATIONS – 2016. – p.1-11.

[4] Murray R.M.Geometric Approaches to Control in the Presence of Magnitude and Rate Saturation // Astrom Symposium on Control. – 1999. - P. 43-72.

[5] Satpute S., Mehra R., Kazi F., Singh N.M.Geometric–PBC Approach for Control of Circular Ball and Beam System //

21st International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems – 2014 – р.1238-1243

[6] Бутковский А.Г.Кибернетика и структуры // Проблемы управления и информатика – 1996.– №1 (2) – С.8-20.

[7] Методы классической и современной теории автоматического управления.учебник в 5-и тт. – Изд.2-е, перераб. и доп. Т.5: Методы современной теории, автоматического управления /под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. — М.:

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 784 с.

References

[1] Bloch A., Colombo L., Gupta R., Diego D.A Geometric Approach to the Optimal Control of Nonholonomic Mechanical Systems // Analysis and Geometry in Control Theory / Springer International Publishing Switzerland – 2015. – p.35-64.

[2] Gajduk A.R.Uslovija razreshimosti zadachi sinteza invariantnyh sistem upravlenija // Izvestija Juzhnogo federal’nogo universiteta / Tehnicheskie nauki – 2008. – № 7 (84) – str.116-122.

[3] Wang L., Su R., Huang Z., Wang X., Wang W., Grebogi C., Lai Y.A geometrical approach to control and controllability of nonlinear dynamical networks // NATURE COMMUNICATIONS – 2016. – p.1-11.

[4] Murray R.M.Geometric Approaches to Control in the Presence of Magnitude and Rate Saturation // Astrom Symposium on Control – 1999. - P. 43-72.

[5] Satpute S., Mehra R., Kazi F., Singh N.M.Geometric–PBC Approach for Control of Circular Ball and Beam System //

21st International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems – 2014 – р.1238-1243 [6] Butkovskij A.G.Kibernetika i struktury // Problemy upravlenija i informatika – 1996.– №1 (2). – S.8-20.

[7] Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija:Uchebnik v 5-i tt.; Izd 2-e., pererab. i dop. T.5:

Metody sovremennoj teorii, avtomaticheskogo upravlenija /pod red. K.A. Pupkova, N.D. Egupova. — M.: Izdatel’stvo MGTU im. N.Je. Baumana, 2004. – 784 s.