• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

25877 ӘЛ-ФАРАБИ атындағы ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ ХАБАРШЫ Физика сериясы КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ ВЕСТНИК Серия физическая AL-FARABI KAZAKH NATIONAL UNIVERSITY RECENT CONTRIBUTIONS TO PHYSICS №2 (69) Алматы «Қазақ университеті»

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "25877 ӘЛ-ФАРАБИ атындағы ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ ХАБАРШЫ Физика сериясы КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ ВЕСТНИК Серия физическая AL-FARABI KAZAKH NATIONAL UNIVERSITY RECENT CONTRIBUTIONS TO PHYSICS №2 (69) Алматы «Қазақ университеті»"

Copied!
155
0
0

Толық мәтін

(1)

ISSN 1563-0315; eISSN 2663-2276 Индекс 75877; 25877

ӘЛ-ФАРАБИ атындағы ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

ХАБАРШЫ

Физика сериясы

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ

ВЕСТНИК

Серия физическая

AL-FARABI KAZAKH NATIONAL UNIVERSITY

RECENT CONTRIBUTIONS TO PHYSICS

№2 (69)

Алматы

«Қазақ университеті»

2019

(2)

ХАБАРШЫ

ISSN 1563-0315; eISSN 2663-2276 Индекс 75877; 25877

ФИЗИКА СЕРИЯСЫ №2 (69) маусым

25.11.1999 ж. Қазақстан Республикасының Мәдениет, ақпарат және қоғамдық келісім министрлігінде тіркелген Куәлік №956-Ж.

Журнал жылына 4 рет жарыққа шығады

РЕДАКЦИЯ АЛҚАСЫ:

Давлетов А.Е., ф.-м.ғ.д., профессор – ғылыми редак- тор (Қазақстан)

Лаврищев О.А., ф.-м.ғ.к. – ғылыми редактордың орынбасары (Қазақстан)

Әбишев М.Е., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан) Асқарова Ә.С., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан) Буртебаев Н., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан) Дробышев А.С., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан) Жаңабаев З.Ж., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан) Косов В.Н., ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан)

Буфенди Лайфа, профессор (Франция) Иващук В.Д., ф.-м.ғ.д., профессор (Ресей) Ишицука Эцуо, доктор (Жапония) Лунарска Элина, профессор (Польша) Сафарик П., доктор (Чехия)

Тимошенко В.Ю., ф.-м.ғ.д., профессор (Ресей) Кеведо Эрнандо, профессор (Мексика) ТЕХНИКАЛЫҚ ХАТШЫ

Дьячков В.В., ф.-м.ғ.к. (Қазақстан) ЖАУАПТЫ ХАТШЫ

Иманбаева А.К., ф.-м.ғ.к. (Қазақстан) Телефон: +7(727) 377-33-46

E-mail: akmaral@physics.kz

ИБ № 12898

Пішімі 60х84 1/8. Көлемі 13 б.т. Офсетті қағаз.

Сандық басылыс. Тапсырыс № 4145. Бағасы келісімді.

Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің

«Қазақ университеті» баспа үйі.

050040, Алматы қаласы, әл-Фараби даңғылы, 71.

«Қазақ университеті» баспа үйінің баспаханасында басылды.

© Әл-Фараби атындағы ҚазҰУ, 2019

ВЕСТНИК

ХАБАРШЫ Ф И З И К А С Е Р И Я С Ы С Е Р И Я Ф И З И Ч Е С К А Я

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИAL-FARABI KAZAKH

NATIONAL UNIVERSITY ӘЛ-ФАРАБИ атындағы ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

2(69) 2019

ISSN 1563-0315 • Индекс 75877; 25877

RECENT CONTRIBUTIONS TO PHYSICS

Физика сериясы – физика саласындағы іргелі және қолданбалы зерттеулер бойынша бірегей ғылыми және шолу мақалаларды жариялайтын ғылыми басылым.

Ғылыми басылымдар бөлімінің басшысы Гульмира Шаккозова

Телефон: +7 747 125 6790

E-mail: Gulmira.Shakkozova@kaznu.kz Редакторлары:

Гульмира Бекбердиева Ағила Хасанқызы Компьютерде беттеген Айгүл Алдашева

(3)

1-бөлім

ТЕОРИЯЛЫҚ ФИЗИКА.

ЯДРО ЖӘНЕ ЭЛЕМЕНТАР БӨЛШЕКТЕР ФИЗИКАСЫ. АСТРОФИЗИКА

Section 1

THEORETICAL PHYSICS.

NUCLEAR AND ELEMENTARY PARTICLE PHYSICS. ASTROPHYSICS

Раздел 1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.

ФИЗИКА ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ.

АСТРОФИЗИКА

(4)

© 2019 Al-Farabi Kazakh National University

МРНТИ 29.01.07, 29.05.41, 29.05.43

Абишев М.Е

1

., Кеведо Э

2

., Токтарбай С

1

., Мансурова А

1

., Муратхан А

1

., Токтарбек С

1

., Иманбай С

1

.

1Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Казахстан, г. Алматы

2Институт ядерных наук, Национальный автономный университет Мексики, Мексика, г. Мехико e-mail: saken.yan@yandex.com

СТАЦИОНАРНОЕ ВАКУУМНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА

Мы исследуем стационарное обобщение статической метрики. Статическая q-метрика является вариантом метрики Zipoy-Voorhees и простейшим обобщением метрики Шварцшильда, содержащего квадрупольный параметр. В настоящей работе мы вводим стационарный вариант q-метрики, и эта стационарная метрика находится с помощью комплексного потенциала Эрнста E. Метрическая функция, определяемая двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, которые могут быть интегрированы квадратурами, как только потенциала Эрнста E известно. Чтобы получить явную форму нового потенциала Эрнста, мы используем методы генерации решений, которые позволяют генерировать стационарные решения из статического решения. Он обладает тремя независимыми параметрами, связанными с массой, квадрупольным моментом и моментом импульса. Мы исследуем геометрические и физические свойства этого точного стационарного вакуумного решения уравнений Эйнштейна и показываем, что его может быть использовать для описания внешнего гравитационного поля вращающихся, аксиально- симметричных компактных объектов. По данным инвариантного релятивистского определения Героха, мы анализируем мультипольную структуру, используя соответствующую функцию Эрнст и вычисляем десять релятивистские мультипольные моменты для статического квадруполя метрики. При особом выборе параметров получаем известные решения. т. е., внешнее решение Шварцшильда, которые найдены с исчезающим квадруполем и вращающимся параметром.

Мультипольные моменты известного решения Керра задаются исчезающим квадрупольным параметром и ненулевым вращающимся параметром.

Ключевые слова: стационарная метрика, квадрупольный момент, потенциал Эрнста.

Abishev M.E1., Quevedo H2., Toktarbay S1., Mansurova A1., Muratkhan A1., Toktarbek S1., Imanbay S1.

1Al-Farabi Kazakh National University, Kazakhsan, Almaty

2Institute of Nuclear Sciences, National Autonomous University of Mexico, Mexico, Mexico e-mail: saken.yan@yandex.com

A stationary vacuum solution of Einstein’s field equations

We investigate a stationary generalization of the static metric. The static q-metric is a variant of the Zipoy-Voorhees metric and simplest generalization of the Schwarzschild metric, containing a quadrupole parameter. In the present work, we introduce the stationary version of the q-metric, and this stationary metric find by using the complex Ernst potential E. The metric function determined by two first-order differential equations that can be integrated by quadratures once Е is known. To obtain an explicit form of the new Ernst potential, we use the solution generation techniques that allows us to generate stationary solutions from a static solution. It possesses three independent parameters related to the mass, quadrupole moment and angular momentum. We investigate the geometric and physical properties of this exact stationary solution of Einstein’s vacuum equations and show that it can be used to describe the exterior gravitational field of rotating, axially symmetric, compact objects. According to

(5)

Абишев М.Е. и др.

the relativistic invariant Geroch definition, we analyze multipole structure using the corresponding Ernst function and we compute the lowest ten relativistic multipole moments for the static quadrupole metric.

The particular choice of parameters we obtain the known solutions. i.e., the exterior Schwarzschild Solution find with the vanishing quadrupole and rotating parameter, Corresponding static q-metric find with the vanishing rotating parameter and non-zero quadrupole parameter. The multipole moments of the well-known Kerr solution are given by the vanishing quadrupole parameter and non-zero rotating parameter.

Key words: stationary metric, quadrupole moment, Ernst potential.

Әбішев М.Е1., Кеведо Э2., Тоқтарбай С1., Мансурова А1., Мұратхан А1., Тоқтарбек С1., Иманбай С1.

1Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ.

2Ядролық ғылымдар институты, Мексика ұлттық автономды университеті, Мексика, Мехико қ.

e-mail: saken.yan@yandex.com

Эйнштейннің өріс теңдеулерінің стационар вакуумдық шешімі

Біз статикалық метриканың стационар қорытылуын зерттейміз. Статикалық q-метрика Zipoy- Voorhees метрикасының нұсқасы және квадрупольді параметрі бар Шварцшильд метрикасының қарапайым жалпылауы болып табылады. Осы жұмыста біз q-метриканың стационар нұсқасын енгіземіз және бұл стационар метрика Эрнсттің кешенді потенциалы Е көмегімен табылады.

Бірінші ретті екі дифференциалдық теңдеумен анықталатын метрикалық функция Эрнст потенциалы E белгілі болған жағдайда квадратуралармен интеграциялануы мүмкін. Эрнсттің жаңа потенциалының айқын түрін алу үшін біз статикалық шешімнен стационар шешімдерді генерациялауға мүмкіндік беретін шешімдерді генерациялау әдістерін пайдаланамыз. Ол масса, квадрупольді момент және бұрыштық моментімен байланысты үш тәуелсіз параметрге ие. Біз Эйнштейн теңдеулерінің дәл стационарлық вакуумдық шешімінің геометриялық және физикалық қасиеттерін зерттейміз және оны айналмалы, аксиальды-симметриялы компактілі объектілердің сыртқы гравитациялық өрісін сипаттау үшін пайдалануға болатынын көрсетеміз.

Герохтың инвариантты релятивистік анықтамасы бойынша, біз сәйкес Эрнст функциясын пайдалана отырып, мультипольдық құрылымды талдаймыз және метриканың статикалық квадрупольі үшін ең аз он релятивистік мультипольдық моменттерін есептейміз. Параметрлерді ерекше таңдағанда біз белгілі шешімдерді аламыз, яғни, жойылып бара жатқан квадрупольмен және айналмалы параметрмен табылған Шварцшильдтың сыртқы шешімі. Керрдің белгілі шешімдегі мультиполдық моменттер жойылып бара жатқан квадрупольді параметрімен және нөлдік емес айналмалы параметрімен қойылады.

Түйін сөздер: стационар метрика, квадрупольді момент, Эрнст потенциалы.

Введение

Теоремы единственности черной дыры [1]

утверждают, что наиболее общим асимпто- тически плоским решением уравнений вакуум- ного поля Эйнштейна с регулярным горизонтом является метрика Керра, которая обладает только двумя независимыми параметрами, соот- ветствующими массе и угловому моменту. В терминах мультипольных моментов это утверж- дение равносильно тому, что черные дыры могут иметь только массовые монопольные и угловые дипольные моменты. Все высшие мультиполь- ные моменты должны исчезнуть, вероятно, в виде гравитационных волн, во время гравита- ционного коллапса произвольного вращающе- гося распределения, финальное положение кото- рых является черной дырой.

С другой стороны, астрофизические ком- пактные объекты включают в себя не только

черные дыры, но и обычные звезды, нейтронные звезды, белые карлики, планеты и т. д. Для описания гравитационного поля таких объектов можно ожидать, что высшие мультипольные моменты могут сыграть важную роль. Рассмот- рим частный случай статического распределе- ния масс с квадрупольным моментом, описы- вающим отклонение от сферической симметрии.

Теоремы единственности показывают, что в

случае исчезновения квадрупольного момента

существует только одно вакуумное решение, а

именно решение Шварцшильда. Как только

рассматривается ненулевой квадруполь, един-

ственность более не справедлива, и поэтому в

принципе могут существовать бесконечное

число вакуумных решений с массовыми и квад-

рупольными параметрами. Первое вакуумное

решение с квадрупольным параметром был

получен Вейлем в 1917 г. [2]. На сегодняшний

день известно много других решений, включая

(6)

Вестник. Серия физическая. №2 (69). 2019 6

Стационарное вакуумное решение уравнений Эйнштейна

их стационарные обобщения [3-12]. Многие другие статические решения могут быть сгене- рированы с использованием того факта, что уравнения поля линейны и путем применения некоторых дифференциальных операторов к гармонике [13]. Одной из распространенных проблем всех этих решений является то, что они трудно обрабатываются из-за их сложной струк- туры. Недавно было предложено переосмыслить метрику Zipoy-Voorhees [14, 15] как обобщение метрики Шварцшильда с квадрупольным пара- метром (q-метрика). Насколько нам известно, q- метрика является простейшим статическим обобщением пространства Шварцшильда с

дополнительным параметром, определяющим независимый массовый квадрупольный момент.

Целью настоящей работы является полу- чение стационарного обобщения q-метрики с учетом вращения и распределения квадруполь- ной массы. Мы покажем, что это обобщение удовлетворяет всем физическим условиям, которые рассматриваются как кандидаты для описания внешнего гравитационного поля деформированных компактных объектов.

q-метрика и ее свойства

В сферических координатах q-метрику мож- но выразить следующим образом [16]

2

2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2

2

1 sin sin

q q

q q m dr

ds h dt h r d r d

h r h

   

 

 

 

     

   

 

  ,

1 2 m

h   r . (1)

Это асимптотически плоское вакуумное решение уравнение Эйнштейна. Физическую интерпретацию параметров m и q можно определить путем вычисления инвариантных мультиполей Героха [17]:

0 (1 )

M  q m

,

  

3

2 1 2

3

M  m qqq

. (2) Более высокие моменты пропорциональны m и q могут быть полностью переписаны через M

0

и M

2

; соответственно, параметры m и q опре- деляют массу и квадруполь. В предельном слу- чае q = 0 сохраняется только монополь M

0

= m, как в пространстве Шварцшильда. В пределах m = 0 с произвольным q и q = –1 с произвольным m все моменты исчезают одинаково, и пространство становится плоским. Отклонение от сферической симметрии описывается квадру- польным моментом M

2

, положительным для вы- тянутых источников и отрицательным для сплющенных источников. Так как полная масса M

0

должна быть положительной, то мы имеем q > –1 (мы предполагаем m > 0).

Исследование скаляра Кретчмана показы- вает, что гиперповерхность r = 2m всегда сингу- лярна для любого ненулевого значения q. Кроме того, r = 0 также является сингулярностью. В зависимости от значения q могут появиться дополнительные сингулярности, которые всегда находятся внутри внешней сингулярности, расположенной при r = 2m.

Все эти свойства показывают, что q-метрику можно использовать для описания внешнего гравитационного поля деформированного рас- пределения масс. Он также описывает поле голой сингулярности, расположенного при r = 2m. С физической точки зрения это не является проблемой, потому что можно «покрыть голую»

сингулярность внутренним решением, которое должно быть сопоставлено с внешней q- метрикой при некотором радиусе r

matching

> 2m.

Стационарная q-метрика

Стационарное пространство-время представ- ляется стационарной метрикой типа Вейля- Льюиса-Папапетру (WLP) в вытянутых сферои- дальных координатах (t; x; y; z):

       

 

    

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

2

1 1

1

1 

 

x y d

y dy x

y dx x f e d

dt f

ds , (3)

(7)

Абишев М.Е. и др.

где   m

2

a

2

и все метрические функции зависят только от х и у.

Оказывается, полезно ввести комплексный потенциал Эрнста [18-19]

f i , (4) где теперь функция Ω определяется уравне- ниями

x

x

f

y

2

 1  

2

,

y

y

f

x

 1 

2

  

2

. (5) Отсюда видно, что если задан потенциал E, метрическую функцию f можно найти алгебраи- чески, и метрическая функция  вычисляется квадратурами из уравнений (6). Более того, метрическая функция γ определяется двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, которые могут быть интегрированы квадратурами, как только E известно. Отсюда следует, что вся информация о метрике (3) содержится в потенциале Эрнста E (4).

Чтобы получить явный вид нового потен- циала Эрнста, мы используем методы генерации решений [20], которые позволяют генерировать стационарные решения из статического реше- ния. Если взять в качестве семенного решения q- метрику в вытянутых сфероидальных коорди- натах, необходимо решить несколько дифферен- циальных уравнений, чтобы получить явный вид потенциала Эрнста. Окончательное выражение для потенциала Эрнста можно записать в виде

 

 

2

2

1 1

1

1 1 1

q q

q

x x d

x

x x x d

  

 

   

 

   

 

   

, (6) где

   

   

 

2 2

2

1 1 q

q

d x h h x

i y h h h h

h x y

 

    

 

     

 

(7)

Вытянутые сфероидальные координаты связаны со сферическими координатами через:

1

 

x r ,

cos 

y  .

Здесь мы имеем новый произвольный параметр α.

Потенциалы Папапетру

f

 

,

2 C

    

 

 

 

,

 

1 2

2 2

2

1 2 2

2

1 1 1

4 1

q q

M x

e x x y

 

 

 

 

 

   

   

,

где

 a a b b 

,

2 2

a b

  

,

1

q

1 2

   

2 1 1

  

Cx xy   ay x   b

, где

1

q

 

1

 

1

 

axx   

,

1

q

     

bxy     

. и

 

x21

q

x y

2q

,

x2 1

q

x y

2q

  

.

Как и ожидалось, в предельном случае α=0 мы получаем q-метрику. Анализируя поведение потенциала Эрнста, можно доказать, что это новое решение является асимптотически плос- ким. Вычисление соответствующих метричес- ких функций подтверждает этот результат.

Более того, поведение оси y   1 показывает, что оно не имеет сингулярности вне области, ко- торая всегда находится внутри радиуса

s

x m



, что в случае обращения в нуль α соответствует внешней сингулярности, расположенной в точке r

s

= 2m.

Заключение

Мы представили стационарное обобщение

статической q-метрики, которая является

(8)

Вестник. Серия физическая. №2 (69). 2019 8

Стационарное вакуумное решение уравнений Эйнштейна

простейшим обобщением метрики Шварцшиль- да, содержащей квадрупольный параметр. Новое решение было дано в терминах потенциала Эрнста, из которого все метрические функции могут быть получены алгебраически или квадратурами.

Стационарная q-метрика оказывается асимп- тотически плоской и свободной от сингуляр- ностей вне области, определяемой пространст- венной координатой

s

x m

 

, которая в статическом предельном случае расположена на сингулярной гиперповерхности r

s

= 2m. Новое решение содержит в качестве частного случая

решение Керра, указывающее, что новый свободный параметр может быть связан с вращением распределения масс. Мы заключаем, что стационарная q-метрика может быть исполь- зована для описания внешнего гравитационного поля вращающегося деформированного распре- деления масс.

Чтобы найти физический смысл параметров, входящих в новую метрику, можно вычислить мультипольные моменты, определенные Геро- хом [17], используя предложенную в [21] про- цедуру, которая позволяет выполнять вычис- ления непосредственно из потенциала Эрнста.

Это является задачей будущих исследований.

Литература

1 Heusler M. Black Holes Uniqueness Theorems // Cambridge University Press, Cambridge, UK. – 1996. – 264 p 2 Weyl H. Zur Gravitationstheorie, Annalen der Physik // WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim. – 1917. – Vol.54. – P.117-145. (in German)

3 Erez G and Rosen N. The Gravitational field of a particular possessing a multipole moment // Bull. Research Council Israel. – 1959. – Vol.8F. – P.47.

4 Dietz W and Hoenselaers C. A class of bipolar vacuum gravitational fields // Proc. of the Royal Society, UK. – 1982.

Vol.382. – P. 221.

5 Islam J. N. Rotating Fields in General Relativity. – Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1985. – 132 p

6 Manko V.S and I.D. Novikov I.D. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman metrics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments // Clas.Quant.Grav., UK. – 1992. – Vol.9. – P.2477-2787.

7 Castejon-Amenedo J and Manko V.S. On a stationary rotating mass with an arbitrary multipole structure. //

Clas.Quant.Grav., UK. – 1990. – Vol.7. – P.779-785.

8 Manko V.S. On the description of the external field of a static deformed mass // Clas.Quant.Grav., UK.– 1990. – Vol.7. – P.209-211.

9 Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star //

Phys.Rev.D. – 2000. – Vol.61. – Iss.8. – R081501.

10 Pachon L.A, Rueda J.A., Sanabria-Gomez J.D. Realistic exact solution for the exterior field of a rotating neutron star. //

Phys.Rev.D. – 2006. – Vol.73. – Iss. 10. – 104038.

11 Quevedo H. and Mashhoon B. Generalizations of the Kerr spacetime. // Phys.Rev.D. – 1991. – Vol.43. – Iss. 12. – 104038.

12 Stephani H., Kramer D., MacCallum M. A. H., Hoenselaers C. and Herlt E. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations.

– Cambridge University Press, Cambridge, UK. – 2003. – 732 p.

13 Quevedo H. On the exterior gravitational field of a mass with a multipole moment. // General Relativity and Gravitation.

– 2011. – Vol.43. – P.1013-1023.

14 Zipoy D. M. Topology of Some Spheroidal metrics. // Journal of Mathematical Physics. – 1966. – Vol.7. – P.1137-1143.

15 Voorhees B. Static Axially Symmetric Gravitational Fields // Phys.Rev.D. – 1970. – Vol.2. – P.2119-2122.

16 Quevedo H. Mass Quadrupole as a source of naked singularities // International Journal of Modern Physics. – 2011. – Vol.20. – P.1179-1187.

17 Geroch R. Multipole Moments // Journal of Mathematical Physics. – 1970. – Vol.11. – P.1955-1961.

18 Ernst F. J. New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field problem // Phys.Rev.D. – 1968. – Vol.167. – P.1175-1177.

19 Toktarbay S., Quevedo H. A stationary q-metric // Gravitation and Cosmology. – 2014. – Vol.20. – P.252-254.

20 Dietz W and Hoenselaers C (eds.). Solutions of Einstein’s Equations: Techniques and Results // Springer-Verlag, Berlin.

– 1984.

21 Quevedo H. Multipole Moments in General Relativity // Fortschr.Phys. – 1990. – Vol.38. – P.733.

References

1 M. Heusler. Black Holes Uniqueness Theorems (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996), 264 p.

2 H. Weyl,Ann. Physik 54, 117-145 (1917). (in German) 3 G. Erez and N. Rosen, Bull. Res. Council Israel 8F, 47 (1959).

4 W. Dietz and C. Hoenselaers, Proc.R.Soc.(London) 382, 221 (1982).

5 J.N. Islam, Rotating Fields in General Relativity (Cambridge University Press, 1985), 132p.

6 V.S. Manko and I.D. Novikov, Class.QuantumGrav. 9, 2477-2487 (1992).

(9)

Абишев М.Е. и др.

7 J. Castejon-Amenedo and V.S. Manko, Class. Quantum Grav. 7, 779-785 (1990).

8 V.S. Manko, Class. Quantum Grav.7, 209-211 (1990).

9 V.S. Manko, E.W. Mielke, and J.D. SanabriaGomez, Phys.Rev. D61, R081501 (2000).

10 L.A. Pachon, J.A. Rueda, and J.D. SanabriaGomez, Phys.Rev. D73, 104038 (2006).

11 H. Quevedo and B. Mashhoon, Phys.Rev. D 43, 3902 (1991).

12 H. Stephani, D. Kramer, M.A.H. MacCallum, C. Hoenselaers, and E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s Field Equations (Cambridge University Press,Cambridge,UK, 2003), 732 p.

13 H. Quevedo, Gen.Rel.Grav.19, 1013-1023 (1987).

14 D. M.Zipoy, J.Math.Phys.7, 1137-1143 (1966).

15 B. Voorhees, Phys.Rev.D2, 2119-2122 (1970).

16 H. Quevedo, Int.J.Mod.Phys. 20, 1179-1187 (2011).

17 R. Geroch, J.Math.Phys.11, 1955-1961 (1970).

18 F. J. Ernst, Phys.Rev. 167, 1175-1177 (1968);

19 S. Toktarbay, H. Quevedo. Grav.Cosmol. 20, 252-254 (2014).

20 W. Dietz and C. Hoenselaers (eds.), Solutions of Einstein’s Equations: Techniques and Results (Springer-Verlag, Berlin, 1984).

21 H. Quevedo, Fortschr.Phys. 38, 733 (1990).

(10)

© 2019 Al-Farabi Kazakh National University

МРНТИ 29.05.41

Джунушалиев В.

1,2,3,4

, Фоломеев В.

2,3,4

1Кафедра теоретической и ядерной физики, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, г. Алматы, e-mail: v.dzhunushaliev@gmail.com

2Институт экспериментальной и теоретической физики,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, г. Алматы

3Нацинальная нанотехнологическая лаборатория открытого типа, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, г. Алматы

4Институт физико-технических проблем и материаловедения НАН КР, Кыргызстан, г. Бишкек, e-mail: vfolomeev@mail.ru

ДИРАКОВСКАЯ ЗВЕЗДА

С ДИПОЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Исследованы компактные гравитирующие конфигурации, состоящие из сильно замагни- ченной спинорной жидкости. Последняя описывается эффективным уравнением состояния, получающимся в пределе больших величин константы самодействия нелинейного спинорного поля. Найдены регулярные статические асимптотически плоские решения, описывающие конфигурации с конечными размерами (дираковские звёзды). Построены соотношения масса- радиус для звёзд с массами порядка массы Чандрасекара и радиусами, сопоставимыми с размерами нейтронных звёзд. Исследована структура дипольного магнитного поля, моделируемого в форме осесимметричного полоидального поля, создаваемого тороидальными электрическими токами. Плотность энергии магнитного поля полагается много меньшей, чем плотность энергии спинорной жидкости. Рассчитаны радиальная и тангенциальная компоненты напряжённости магнитного поля. Показано, что их распределения по радиусу конфигураций аналогичны распределениям полей у нейтронных звёзд.

Ключевые слова: спинорная жидкость, компактные гравитирующие конфигурации, дипольное магнитное поле.

Dzhunushaliev V.1,2,3,4, Folomeev V.2,3,4

1Department of Theoretical and Nuclear Physics, Al-Farabi Kazakh National University, Kazakhstan, Almaty, e-mail: v.dzhunushaliev@gmail.com

2Institute of Experimental and Theoretical Physics, Al-Farabi Kazakh National University, Kazakhstan, Almaty

3National Nanotechnology Laboratory of Open Type, Al-Farabi Kazakh National University, Kazakhstan, Almaty

4Institute of Physical and Technical Problems and Materials Science, National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Kyrgyzstan, Bishkek, e-mail: vfolomeev@mail.ru

Dirac star with a dipole magnetic field

Compact gravitating configurations consisting of strongly magnetized spinor fluid are studied. The latter is described by an effective equation of state which is obtained in the limit of large values of the coupling constant of a nonlinear spinor field. Regular static asymptotically flat solutions describing configurations with finite sizes (Dirac stars) are found. Mass-radius relations for stars with masses of the order of the Chandrasekhar mass and radii comparable with sizes of neutron stars are constructed. The structure of a dipole magnetic field modeled in the form of an axisymmetric poloidal magnetic field created by toroidal electric currents is investigated. The energy density of the magnetic field is assumed to be much smaller than that of the spinor fluid. The radial and tangential components of the magnetic field strength are computed. It is shown that their distributions along the radius of the configurations are similar to those of neutron stars.

Key words: spinor fluid, compact gravitating configurations, dipole magnetic field.

(11)

Джунушалиев В., Фоломеев В.

Джунушалиев В.1,2,3,4, Фоломеев В.2,3,4

1Теориялық және ядролық физика кафедрасы, әл-Фараби ат.

Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ., e-mail: v.dzhunushaliev@gmail.com

2Эксперименттік және теориялық физика институты, әл-Фараби ат.

Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ.

3Ашық түрдегі Ұлттық нанотехнологиялық лаборатория, әл-Фараби ат.

Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ.

4Институт физико-технических проблем и материаловедения НАН КР, Кыргызстан, г. Бишкек, e-mail: vfolomeev@mail.ru

Диполдіқ магнит өрісімен Дирак жұлдызы

Қатты магниттелген спинорлық сұйықтан тұратын жинақталған гравитациялық конфигура- циялар зерттелді. Магниттелген спинорлық сұйықтық үлкен шамалы тұрақтылар өзара әрекет- тесу сызықты емес спинор өрісін сипаттайтын эффективті күй теңдеуімен сипатталады. Ақырлы өлшемді конфигурацияларды сипаттайтын (Дирак жұлдызы) тұрақты статика асимптотикалық жазық шешімі табылған. Нейтронды жұлдыздардың өлшемдерімен салыстырып Чандрасекара жұлдыздары сияқты жұлдыздар үшін салмағы мен радиустарына шешімдер алынған. Тороидтық электр тоқтарымен тудырылатын өсті симметриялы полоидтық өріс нысанында моделденген дипольдік магнит өрісінің құрылымы зерттелген. Магнит өрісінің энергиясының тығыздығы спинор сұйықтық энергиясының тығыздығынан едәуір аз. Магнит өрісі кернеулігінің радиалды және тангенциалды компоненттері есептелген. Нейтронды жұлдыздар өрістерінің таралуы олардың үлестіру радиусы бойынша конфигурацияларына ұқсас екендігі көрсетілген.

Түйін сөздер: спинорлық сұйықтық, жинақталған гравитациялық конфигурациялар, диполдіқ магнит өрісі.

1 Введение

Поиск частицеподобных решений является традиционным направлением исследований тео- рии классического поля. Для этого рассматри- ваются полевые системы, образованные нели- нейными полями с различными спинами (см., например, монографии [1, 2]). Следующим ес- тественным шагом является включение в такие системы гравитационного поля. Наличие по- следнего позволяет получать гравитационно замкнутые системы, физические характеристики которых варьируются в очень широких пре- делах. В частности, полученные за последние несколько десятков лет результаты указывают, что гравитирующие конфигурации, образован- ные полями со спином 0 (бозонные звёзды) мо- гут обладать как характеристиками, типичными для атомов, так и параметрами, типичными для галактик [3].

Что касается фундаментальных полей с не- нулевым спином, то здесь проведено гораздо меньшее количество исследований гравитирую- щих систем. В частности, отметим исследования конфигураций, образованных полями со спином 1 – Янга-Миллса (безмассовые векторные поля) [4] или Прока (массивные векторные поля) [5].

Также в литературе рассматриваются частице- подобные системы со спинорными полями со спином 1/2, образованные как линейными [6, 7],

так и нелинейными спинорными полями [8, 9].

Такие конфигурации удерживаются от коллапса под действием собственного поля тяготения бла- годаря принципу неопределённости Гейзен- берга.

С точки зрения астрофизических прило- жений наибольший интерес представляют кон- фигурации с параметрами, типичными для звёзд.

В случае бозонных звёзд получение таких параметров достигается, в частности, путём рассмотрения потенциалов скалярного поля с большими величинами константы самодействия [10]. В наших недавних работах мы показали, что для систем со спинорным полем этого также удаётся добиться [8, 9]. При этом, как и в случае с бозонными звёздами, в пределе больших величин константы самодействия возможно ввести некое эффективное гидродинамическое уравнение состояния (УС), которое может быть использовано для приближённого описания таких систем. В данной статье мы воспользуемся УС такого типа для построения равновесных решений в рамках теории тяготения Эйнштейна и исследуем вопрос о структуре дипольного магнитного поля получаемых конфигураций.

Магнитные поля такого рода часто рассматри-

ваются в литературе при моделировании нейт-

ронных звёзд, и поэтому представляется инте-

ресным сравнить структуру таких полей у

нейтронных и дираковских звёзд.

(12)

Вестник. Серия физическая. №2 (69). 2019 12

Дираковская звезда с дипольным магнитным полем

2 Постановка задачи и уравнения 2.1 Спинорная жидкость

В работах [8, 9] мы исследовали грави- тирующую систему с нелинейным спинорным полем �, описываемым лагранжианом

��

= ���

2 �� ��

��

− ��

��

�� −

−��

��� +

(���)

, (1) который содержит ковариантные производные

��

= ��

+ 1����

���

��

− �

��� , где �

есть матрицы Дирака в стандартном пред- ставлении в плоском пространстве, а �

���

есть спиновая связность (её определение см., напри- мер, в [2]); � – константа связи; � – масса спинорного поля.

В статьях [8, 9] продемонстрировано, что в пределе больших отрицательных значений без- размерной константы связи |�̅| ≫ 1 удаётся получать конфигурации, размеры и массы которых сопоставимы с характеристиками, ти- пичными для нейтронных звёзд. Там также показано, что такие предельные конфигурации могут описываться неким эффективным гидро- динамическим уравнением состояния, связы- вающим давление � и плотность энергии �:

� =

�1 + 3

− �1 + 6

�, (2) где �

= ��

��

можно рассматривать как некоторую характерную плотность энергии конфигурации [здесь �

= ��(��) ]. При этом саму конфигурацию, описываемую таким эффективным УС, можно рассматривать как состоящую из жидкости, которую мы будем назвать спинорной жидкостью.

2.2 Полевые уравнения

Мы будем рассматривать компактную гра- витирующую систему, состоящую из замагни- ченной спинорной жидкости. Лагранжиан такой системы может быть представлен в виде:

� = −

����

� −

��

��

+ �

��

. (3) Здесь � есть константа тяготения Ньютона,

��

– тензор электромагнитного поля, �

��

– лагранжиан спинорной жидкости.

Нашей целью будет получение регулярных решений уравнений Эйнштейна и Максвелла и исследование структуры магнитного поля кон- фигураций такого рода. При моделировании магнитного поля мы будем исходить из сле- дующих упрощающих предположений [11]: (1) Магнитное поле выбирается в форме осесиммет- ричного полоидального магнитного поля, созда- ваемого тороидальными электрическими тока- ми. (2) В общем случае наличие такого поля в системе должно приводить к отклонению формы конфигурации от сферической симметрии.

Однако для рассматриваемых в рамках данной статьи величин напряжённости магнитного поля порядка 10

��

− 10

��

Гс эти отклонения будут малыми, поскольку энергия магнитного поля много меньше гравитационной энергии [12]. Это позволяет пренебречь в нулевом приближении деформациями конфигурации, связанными с магнитным полем и рассматривать такие дефор- мации как эффект второго порядка малости.

В рамках указанных приближений для описания недеформированных конфигураций мы воспользуемся следующей сферически- симметричной метрикой в Шварцшильдовских координатах:

��

= �

(��

)

− �

��

−�

(��

+ sin

����

), (4) где метрические функции �, � зависят только от радиальной координаты �, а �

= ��� есть вре- менная координата. Используя этот линейный элемент, можно получить систему обыкновен- ных дифференциальных уравнений для мет- рических функций и спинорной жидкости. Такие уравнения мы будем называть фоновыми.

Решая эти фоновые уравнения и ограничи- ваясь рассмотрением дипольного поля, можно вычислить распределение этого поля на таком сферически-симметричном фоне, задаваясь определённой напряжённостью поля на границе звезды. В этом случае в уравнении Максвелла в качестве источника используется ток, который, однако, не может быть выбран произвольным образом, а должен удовлетворять условию интегрируемости [11,13].

В качестве источника вещества в гравита-

ционных уравнениях Эйнштейна возьмём сле-

дующий тензор энергии-импульса (без учёта

электромагнитного поля):

(13)

Джунушалиев В., Фоломеев В.

= (� + �)�

− �

�, (5) где �

– 4-скорость. Тогда гравитационные уравнения Эйнштейна дают, соответственно, уравнение Толмена-Оппенгеймера-Волкова и уравнение для массы:

�1 −

√�����

�����

= −(�̅ + �̅)

�(�����)����̅

, (6)

��

��

= �

�̅, (7) где � = �

/(����

) . При записи этих уравнений мы ввели новую функцию �(�) , определяемую как

��

= 1 − 2��(�)

� ,

и воспользовались безразмерными пере- менными

� =

, (�̅, �̅) =

(�,�)

, � =

�����

, (8) где � есть характерный размер системы. В свою очередь, функция �(�) играет роль текущей массы конфигурации, заключённой в радиусе �.

Кроме того, воспользовавшись (5), из закона сохранения тензора энергии-импульса �

���

= 0 можно получить

��̅

��

+

(�̅ + �̅)

����

= 0. (9) Выпишем теперь уравнение для магнитного поля. Для этого, следуя [11], выберем осесим- метричный анзац для полоидального магнитного поля, создаваемого 4-током �

= (0,0,0, �

). Для такого тока электромагнитный 4-потенциал �

имеет только � -компоненту �

= (0,0,0, �

) Учитывая ненулевые компоненты тензора электромагнитного поля �

��

= ∂�

/ ∂� и

��

= ∂�

/ ∂Θ, общие уравнения Максвелла 1

�−�

∂�

��−��

��

� = − 1

� �

для фоновой метрики (4) дают следующее эллиптическое уравнение на �

:

��

∂�

+ 1

2 (�

− �

)�

��

∂�

∂� +

+

��

cotΘ

����

= −

. (10) Его решение ищется путём разделения переменных в виде �

= �(�)�(�), �

=

�(�)�(�) , что даёт следующее уравнение для функции �:

��

��

+

(�

− �

)�

��

�(���)

� = −

�, (11) где штрих обозначает производную по �. В этой статье мы будем рассматривать физически наиболее интересный случай дипольного магнитного поля, когда � = 1 . Тогда функция

� = −���

� и мы соответственно имеем �

=

−�(�)���

�, �

= −�(�)���

�.

Решение уравнения (11) может быть найдено после задания тока �. Как известно [11], ток � не может быть выбран произвольно, поскольку он должен удовлетворять условию интегри- руемости. Исходя из этого условия может быть выведено следующее уравнение (его получение см. в [11,14]):

− �

�1 +

�� � = 0. (12) Учитывая (9), это уравнение может быть проинтегрировано в виде � = �

(� + �) , где

– константа интегрирования. Подставляя это выражение в (11) и вводя безразмерные переменные

�� = ���

��

�, �̅ = 1

���

�, окончательно получим

��

��

��

+ 1 2 � ��

�� −

��

�� � �

��

���

�� − 2

�� =

= −

��̅

(�̅ + �̅), (13) где

��

= 1 − 2�

��,

��

�� = − 2�̅

�̅ + �̅.

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Уделено большое внимание деятельности правительства республики по развитию архивного дела в Республике Казахстан, по вопросам документирования и

Informatization of the Archive of the President of Kazakhstan, which is entrusted with the task of providing scientific, methodological and practical assistance to the state

Today, with the increasing demands of society for historical science, of particular importance is the study of the history of historical science, the accumulation of

The process of traditional Kazakh nomadic society’s adaptation to the structure of the Russian imperial system throughout the 19th century occurred also through changes in

Зо роaст ризм ді ні aдaмдaрды пәк тік ке, шын - шыл дыққa, ты ры суғa жә не жaмaндықтaн aры - луғa шaқыр ды. Ұзaқ өт кен ғaсырлaрдa Зaрa- туш трaның өмі рі

жіп тен сондaй-aқ кі лем ше лер, aлуaн бояуы көз- дің жa уын aлaрлық го бе лен дер, тұс кі лем дер, хaлaттaр, aсжaулықтaр то қығaн. Ең aлғaшқы то қымa

Сту ден ты от ве ти ли, что пре подaвaтель нa уро ке боль ше обрaщaет внимa ние осо бен нос тям фо- не ти чес кой сис те мы китaйско го языкa, обучaет че рез aудио-

Күш қолдaну, әсі ре се, әс ке ри күш ті қолдaну бел гі лі се беп тер ге бaйлaныс ты шек те лу де, мысaлы: күш қолдaну шиеле ніс тер дің күт пе ген ушығуынa aлып