Gradient projection method and continuous selections of multivalued mappings

ISSN 2616-7182

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң

ХАБАРШЫСЫ BULLETIN

of the L.N. Gumilyov Eurasian National University

ВЕСТНИК

Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева

МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА сериясы

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Серия МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА

№3(124)/2018

1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995

Издается с 1995 года

Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год

Астана, 2018

Astanа, 2018

БАС РЕДАКТОРЫ ф.-м.ғ.д., проф

Темiрғалиев Н. (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Жұбанышева А.Ж., PhD (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Наурызбаев Н.Ж., PhD (Қазақстан)

Редакция алқасы

Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Жапония) Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Қытай)

Бекенов М.И. ф.-м.ғ.к., доцент (Қазақстан) Голубов Б.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Зунг Динь ф.-м.ғ.д., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. ф.-м.ғ.д., проф.(Қазақстан) Иванов В.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Калиев И.А. ф.-м.ғ.д., проф.(Ресей) Кобельков Г.М. ф.-м.ғ.д., проф.(Ресей) Курина Г.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Марков В.В. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Мейрманов А.М. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Смелянский Р.Л. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Умирбаев У.У. ф.-м.ғ.д., проф. (АҚШ) Холщевникова Н.Н. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. докторы, проф. (Германия)

Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Сәтпаев к-сi, 2, 408 бөлме.

Тел: (7172) 709-500 (iшкi 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz Жауапты хатшы, компьютерде беттеген

А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы.

МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА сериясы

Меншiктенушi: ҚР БжҒМ "Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi" ШЖҚ РМК Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.

Қазақстан Республикасыңың Ақпарат және коммуникациялар министрлiгiмен тiркелген.

27.03.2018ж. № 17000-ж тiркеу куәлiгi.

Тиражы: 20 дана

Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Қажымұқан к-сi ,12/1, тел: (7172)709-500 (iшкi 31-428).

c

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi

EDITOR-IN-CHIEF

Prof., Doctor of Phys.-Math. Sciences Temirgaliyev N. (Kazakhstan)

Deputy Editor-in-Chief Zhubanysheva A.Zh., PhD (Kazakhstan) Deputy Editor-in-Chief Nauryzbayev N.Zh., PhD (Kazakhstan)

Editorial board Abakumov E.V. PhD, Prof. (France)

Alexeyeva L.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Alimhan Keylan PhD, Prof. (Japan)

Bekzhan Turdybek PhD, Prof. (China)

Bekenov M.I. Candidate of Phys.-Math. Sciences, Assoc.Prof. (Kazakhstan)

Golubov B.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) D˜ ung Dinh Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Vietnam) Ibrayev A.G. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Kazakhstan) Ivanov V.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kaliev I.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kobel’kov G.M. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kurina G.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Markov V.V. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Meirmanov A.М. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Smelyansky R.L. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Umirbaev U.U. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(USA) Kholshchevnikova N.N. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia) Schmeisser Hans-Juergen Dr. habil., Prof. (Germany)

Editorial address: 2, Satpayev str., of. 408, Astana, Kazakhstan, 010008 Теl.: (7172) 709-500 (ext. 31-428)

E-mail: vest_math@enu.kz Responsible secretary, computer layout:

A. Nurbolat

Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Owner: Republican State Enterprise in the capacity of economic conduct "L.N. Gumilyov Eurasian National University" Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan

Periodicity: 4 times a year

Registered by the Ministry of Information and Communication of the Republic of Kazakhstan.

Registration certificate №17000-ж from 27.03.2018.

Circulation: 20 copies

Address of printing house: 12/1 Kazhimukan str., Astana, Kazakhstan 010008;

tel: (7172) 709-500 (ext.31-428).

c L.N. Gumilyov Eurasian National University

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР профессор, д.ф.-м.н.

Темиргалиев Н. (Казахстан)

Зам. главного редактора Жубанышева А.Ж., PhD (Казахстан) Зам. главного редактора Наурызбаев Н.Ж., PhD (Казахстан)

Редакционная коллегия Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Япония)

Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Китай)

Бекенов М.И к.ф.-м.н., доцент (Казахстан) Голубов Б.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Зунг Динь д.ф.-м.н., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Иванов В.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Калиев И.А. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Кобельков Г.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Курина Г.А. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Марков В.В. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Мейрманов А.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Смелянский Р.Л. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Умирбаев У.У. д.ф.-м.н., проф. (США) Холщевникова Н.Н. д.ф.-м.н., проф. (Россия)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. доктор, проф. (Германия)

Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2, каб. 408 Тел: (7172) 709-500 (вн. 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz

Ответственный секретарь, компьютерная верстка А. Нурболат

Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Серия МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА

Собственник: РГП на ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева" МОН РК Периодичность: 4 раза в год.

Зарегистрирован Министерством информации и коммуникаций Республики Казакстан.

Регистрационное свидетельство №17000-ж от 27.03.2018г.

Тираж: 20 экземпляров. Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Кажымукана, 12/1, тел.: (7172)709-500 (вн.31-428).

c

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ ХАБАРШЫСЫ. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА СЕРИЯСЫ,

№3(124)/2018

МАЗМҰНЫ

МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА

Темiрғалиев Н., Жұбанышева А.Ж. Жуықтау теориясы, Есептеу математикасы және Сандық анализ Компьютерлiк (есептеуiш) диаметр мәнмәтiнiндегi жаңа мазмұнда

8

Фарков Ю.А.Уолш анализiндегi фреймдерге арналған параметрлiк жиындар 89 Хачатрян Р.А. Градиенттердi проекциялау әдiсi және көпмәндi бейнелеулердiң үзiлiссiз

селекциялары

95

Айдос Е.Ж., Кадырова Э.С.Орта және жоғары мектептерде математиканы оқытудың кейбiр проблемалық сұрақтары жөнiнде

101

5

BULLETIN OF L.N. GUMILYOV EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS SERIES, №3(124)/2018

CONTENTS

MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE.

Temirgaliyev N., Zhubanysheva A.Zh. Approximation Theory, Computational Mathematics and Numerical Analysis in new conception of Computational (Numerical) Diameter

8

Farkov Yu.A.Parametric sets for frames in Walsh analysis 89 Khachatryan R.A.Gradient projection method and continuous selections of multivalued mappings 95 Aidos Ye., Kadyrova Е. On some problematic issues of teaching mathematics in secondary and

high schools

101

6

ВЕСТНИК ЕВРАЗИЙСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

ИМЕНИ Л.Н.ГУМИЛЕВА. СЕРИЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА,

№3(124)/2018

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА

Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Теория приближений, Вычислительная математика и Численный анализ в новой концепции в свете Компьютерного (вычислительного) поперечника

8

Фарков Ю.А.Параметрические множества для фреймов в анализе Уолша 89 Хачатрян Р.А. Метод проекции градиентов и непрерывные селекции многозначных

отображений

95

Айдос Е.Ж., Кадырова Э.С.О некоторых проблемных вопросах преподавания математики в средней и высшей школах

101

7

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Информатика. Механика сериясы, 2018, том 124, №3, 95-100 беттер http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz

МРНТИ: 28.29.15

Р.А. Хачатрян

Ереванский государственный университет, Ереван, Армения (E-mail: khachatryan.rafik@gmail.com)

Метод проекции градиентов и непрерывные селекции многозначных отображений Аннотация: Рассматривается параметрическая задача оптимизации следующего типа:

f (x, y) −→ min, y ∈ M ⊆ R

, где x параметр из E ⊆ R

.

Для этой задачи определено множество ε - оптимальных точек:

a

(x) = {y ∈ M : f (x, y) ≤ inf

y∈M

f (x, y) + ε}.

Изучается вопрос построения непрерывной селекции для отображения a

. Методом проекции градиентов построены непрерывные селекции для этого многозначного отображения.

Ключевые слова: Многозначное отображение, ε - оптимальные точки, проекция, выпуклые множества.

DOI: https://doi.org/10.32523/2616-7182/2018-124-3-95-100 1. Введение. Задача о существовании непрерывных селекций, восходящая кклассической теореме Э.Майкла [1], получила в дальнейшем многочисленные приложения в самых различных областях математики. Отметим лишь обзор [2], посвященный этому вопросу.

Однако во всех этих работах доказывается существование непрерывных селекций и не указываются алгоритмы построения этих отображений.

В настоящей статье показано, что обычные методы градиентного спуска являются удобными способами построения непрерывных селекций для многозначных отображений, связанных с задачами минимизации функций.

В дальнейшем, через Π

(a) будем обозначать проекцию точки a на выпуклое замкнутое множество M , а через B

(x)− замкнутый шар радиуса r > 0 с центром в x .

Отображение a, которое каждому x ∈ R

сопоставляет множество a(x) ⊆ R

есть многозначное отображение из R

в R

. Селекция для a определяется как однозначное отображение y(.) : R

→ R

такое, что y(x) ∈ a(x) ∀x ∈ R

.

Пусть функция f(x, y) выпукла по y ∈ R

при фиксированном x и непрерывна по x ∈ R

при каждом фиксированном y ∈ R

. Известно (см. [3], Лемма 4.1, стр. 207), что f непрерывна по совокупности переменных.

Имеет место следующий результат, доказательство которого мы проводить не будем, поскольку оно совершенно аналогично доказательству леммы 3.1 [4], (замечание 2, стр.329).

Теорема 1. Пусть функция f (x, y) непрерывна по совокупности переменных (x, y) и имеет непрерывное частное производное f

(x, y) по y на R

. Пусть E ⊂ R

и F ⊂ R

− компактные множества.

Тогда найдется такое α

> 0 , что для фиксированных x и y будем иметь f(x, y + αh) = f (x, y) + α < f

(x, y), h > +o(x, y, h, α),

где o(x, y, h, α)/α стремится к нулю равномерно по x ∈ E, y ∈ F и h ∈ B

(0) при α → 0.

Рассмотрим многозначное отображение вида

a

(x) ≡ {y ∈ M : f (x, y) ≤ V (x) + ε},

95

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2018, Том 124, №3

где ε некоторое фиксированное неотрицательное число, а V (x) = inf

f (x, y) . Непрерывность многозначного отображения такого вида расмотренa во многих работах [5–8].

В частности в статье [7] доказан следующий результат (см. Леммy 1.3).

Теорема 2 Пусть f(x, y) непрерывна по x ∈ R

при фиксированном y ∈ R

и выпукла по y на R

при фисированном x . Пусть E ⊂ R

− компакт, а M ⊂ R

− выпуклый компакт.

Тогда для любого ε > 0 многозначное отображение a

(x) полунепрерывно снизу, т.е. если x

∈ E фиксированная точка, то для любого δ > 0 существует окрестность U (x

) точки x

такая, что

∀x ∈ U (x

) \

E : a

(x

) ⊆ a

(x) + δB

(0). .

2. Основной результат. Здесь мы расмотрим вопрос построения непрерывных селекций отображения a

(x) .

Как оказалось, метод проекции градиентов решает этот вопрос. Именно, справедлива Теорема 3. Пусть E ⊂ R

− компакт, а M ⊂ R

- выпуклый компакт, функция f (x, y) выпукла по y и непрерывна по x .

Предположим также, что существует производная f

(x, y) по y , которая непрерывна по совокупности переменных x и y.

Далее, построим последовательность отображений методом проекции градиентов:

y

(x) ≡ y

, y

∈ a

(x

), y

(x) = Π

(y

(x) − λ

f

(x, y

(x)), j = 0, 1, . . . ,

причем λ

произвольные числа, удовлетворяющие условиям λ

> 0,

∞

X

j=1

λ

= ∞,

∞

X

j=1

λ

< ∞.

Тогда для любого ε > 0 существует такой номер K , что

∀x ∈ E, ∀j ≥ K : y

(x

) = y

, y

(x) ∈ a

(x).

Доказательство. Сначала покажем,что ρ(y

(x), a

(x)) ≡ inf

k y

(x) − u k сходится к нулю равномерно относительно x ∈ E , когда j → ∞ .

Допустим противное. Тогда существует положительное число δ > 0 и бесконечное множество индексов J такие, что для любого j ∈ J существует элемент x

∈ E такой, что

ρ(y

(x

), a

(x

)) ≥ δ. (1)

Так как E компакт, то, не нарушая общности, можно предположить, что последовательность {x

} сходится к некоторoму элементу x ∈ E. Поскольку многозначное отображение a

полунепрерывно снизу, то для достаточно больших индексов j ∈ J имеет место включение

a

(x) ⊆ a

(x

) + δ

2 B

(0). (2)

Из соотношений (1)-(2) непосредствено следует, что

ρ(y

(x

), a

(x)) ≥ δ/2 > 0. (3) Обозначим ν

= y

(x

) . Заметим, что существует такое число ∆ > 0 , что ν

∈ / a

(x) . Действительно, если это не так, то существуют такие последовательности ∆

→ 0, j

∈ J такие, что ν

∈ a

(x) . Поскольку M − компакт и ν

∈ M , то не нарушая общности, можно считать, что

ν

→ ν ∈ a

(x). (4)

Но из (3) следует ν ∈ / a

(x) , что противоречит соотношению(4). Итак, существует положительное число ∆ такое, что

для достаточно большихj ∈ J : f(x, ν

) > V (x) + ε/2 + ∆.

96

Р.А. Хачатрян

Теперь, если ν ∈ a

(x) , то в силу выпуклости функции f(x, y) по y имеем

< f

(x, ν

), ν − ν

>≤ f (x, ν) − f (x, ν

) ≤ −∆ < 0. (5) Обозначим

A

(x, ν) =< f

(x, ν

), ν − ν

>, ν ∈ a

(x).

Так как по предположению отображение f

(x, ν) непрерывно по совокупности переменных (x, ν) и множество a

(x) есть компакт, то в силу равномерной непрерывности f

(x, ν) для любого γ > 0 существует окрестность U (x) точки x такая, что

∀x ∈ U (x) \

E, ∀ν ∈ a

(x) : k f

(x, ν) − f

(x, ν) k≤ γ.

Так как множество a

(x) и последовательность {ν

} ограничены , то существют такие числа C

> 0, C

> 0 , что

∀ν ∈ a

(x) : k ν

k≤ C

, k ν k≤ C

. Отсюда и из (5) следует, что

A

(x, ν) ≤ A

(x, ν)+ < f

(x, ν) − f

(x, ν), ν − ν

>≤

≤ −∆+ k f

(x, ν) − f

(x, ν) kk ν − ν

k≤

≤ −∆ + γ (k ν k + k ν

k) ≤ −∆ + γ (C

+ C

).

Поэтому, если γ < ∆/(2(C

+ C

) , то

∀ν ∈ a

(x), x ∈ U (x) \

E : A

(x, ν) < − ∆ 2 . .

Пусть u

= −f

(x

, ν

) . Так как последовательности {x

}, {ν

} ограничены, то ограничена и последовательность {u

}, т.е. существует число m > 0 такое, что k u

k≤ m .

Теперь, если ν ˆ ∈ a

(x) , то

k ν

− ν ˆ k

=k Π

(ν

+ λ

u

) − ν ˆ k

≤k ν

+ λ

u

− ν ˆ k

≤

≤k ν

− ν ˆ k

+2λ

< u

, ν

− ν > ˆ +λ

m

. (6) Стало быть,

k ν

− ˆ ν k

≤k ν

− ν ˆ k

−∆

j

X

i=1

λ

+ m

j

X

i=1

λ

. (7)

Так как по предположению

∞

X

j=1

λ

= +∞,

∞

X

j=1

λ

< +∞,

то правая часть неравенства (7) становится отрицательной при достаточно больших j , что невозможно.

Итак, показано, что последовательность y

(x) непрерывных отображений, определенная на компактном множестве E равномерно сходится к множеству a

(x) . Это означает, что для любого β существует такой номер N , что начиная с этого номера имеет место включение

∀x ∈ E : y

(x) ∈ a

(x) + βB

(0).

Стало быть существуют элементы y ˜

(x) ∈ a

2

(x) и e

(x) ∈ B

(0) такие, что y

(x) = ˜ y

(x) + e

(x).

Отсюда, по предположению теоремы, имеем

f (x, y ˜

(x) + βe

(x)) = f (x, y ˜

(x))+

+β < f

(x, y(x)), e ˜

(x) > +o(x, e

(x), β) ≤

≤ V (x) + ε

2 + β k f

(x, e

(x) k +o(x, e

(x), β).

Поскольку отображение f

(x, y) непрерывно, то существует такое число C

, что

∀x ∈ E, j ≥ N : k f

(x, y ˜

(x)) k≤ C

.

97

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2018, Том 124, №3

Теперь согласно теореме 1 можно выбрать число β > 0 настолько малым, чтобы

∀x ∈ E, j ≥ N : βC

+ o(x, e

(x), β) ≤ ε 2 .

Тогда получим y

(x) ∈ a

(x) (∀x ∈ E, j ≥ N ), т.е. отображения y

(x) являются непрерывными селекциями для a

(x) . Так как y

− точка минимума выпуклой функции f (x

, y) на выпуклом множестве M , то согласно лемме 2.2( [9], стр.225)

y

= Π

(y

− f

(x

, y

)).

Откуда,

y

(x

) = Π

(y

(x

) − f

(x

, y

(x

)) =

= Π

(y

− f

(x

, y

)) = y

. Аналогично устанавливается, что y

(x

) = y

(∀j) .

В итоге, все отображения y

(x) проходят через точку (x

, y

) . Теорема 3 доказана.

Следствие. Пусть функция f(x, y) строго выпукла по y при фиксированном x ∈ E . Тогда последовательность y

(x) равномерно сходится.

Доказательство следствия. Поскольку функция f (x, y) строго выпукла по y при фиксированном x ∈ E , то она на выпуклом замкнутом множестве M достигает своего минимального значения только в одной точке, которую обозначим через y(x). Положим

ρ

(x) = max

y∈aε(x)

ρ(y(x), y).

Покажем, что ρ

(x) равномерно относительно x сходится к нулю, когда ε стремится к нулю.

Пусть это не так. Тогда найдeтся положительное число δ > 0 и последовательности {x

} ⊂ E, ε

→ 0, y

∈ a

(x

)

такие, что

k y

− y(x

) k≥ δ. (8) Поскольку E− компакт, то можно считать, что

x

→ x ∈ E, y

→ y.

Но, с другой стороны, так как отображение y(x) непрерывно (см. [10], Предложение 23, стр.125), то y = y(x) , что противоречит соотношению (8), поскольку из него непосредственно следует, что y 6= y(x) . Теперь, если u ∈ a

(x) , то

k y

(x) − y(x) k≤k y

(x) − u k + k u − y(x) k≤

≤k y

(x) − u k +ρ

(x) ≤ ρ(y

(x), a

(x)) + ρ

(x).

Поскольку ρ

(x) равномерно сходится к нулю по x , когда ε → 0, то для любого δ > 0 существует такое δ

< δ , что

∀ε ≤ δ

: ρ

(x) < δ.

Стало быть, начиная с некоторого номера K имеет место включение y

(x) ∈ a

(x) (∀x ∈ E).

Таким образом, для любого δ > 0 существует такой номер K , что

∀j ≥ K, ∀x ∈ E : k y

(x) − y(x) k< δ.

Следствие доказано.

Пример. Пусть f (x, y) = xy, M = E = [0, 1] . Очевидно, что min

f (x, y) = 0 и поэтому многозначное отображение a

при ε = 0 имеет следующий вид:

a

(x) =

( 0, x 6= 0 [0, 1], x = 0, а отображение a

при ε > 0 задается следующей формулой:

a

(x) =

( [0, 1], x ∈ [0, ε]

[0,

], x ∈ [ε, 1].

98

Р.А. Хачатрян

Рисунок 1. Рисунок 2.

На рисунках 1, 2 показаны графики многозначнoго отображения a

при ε = 0 и при ε > 0 соответственно. Как видно из этих рисунков, отображение a

не непрерывно и не существует непрерывная селекция, проходящая через точку (0, 1) . В тоже время, отображение a

(ε > 0) непрерывно и через точку (0, 1) проходят непрерывные селекции. Построим эти селекции методом проекции градиентов. Имеем f

(x, y) = x и поэтому

f

(x, y) = x ⇒ y

(x) = Π

(y

(x) − f

(x, y

(x)) = Π

(1 − λ

x) = 1 − λ

x ⇒ y

(x) = Π

(y

(x) − λ

x) = Π

(1 − (λ

+ λ

)x) =

= 1 − (λ

+ λ

)x.

y

(x) = 1 − (λ

+ λ

+ λ

)x, т.е. если

j−1

P

k=1

λ

≤ 1, то

y

(x) = 1 −

j−1

X

k=1

λ

!

x, x ∈ [0, 1],

если

j−1

P

k=1

λ

> 1, то

y

(x) =



 

  1 −

j−1

P

k=1

λ

!

x, x ∈ [0, a

]

0, x ∈ [a

, 1],

где a

=

P

k=1

λk

.

Отсюда поскольку P

i=1

λ

= ∞ , то начиная с некоторого номера K

∀j ≥ K, ∀x ∈ E : y

(x) ∈ a

(x).

Графики этих отображений показаны на рисунке 2. Заметим также, что они проходят через точку (0, 1) .

Список литературы

1 Michael E. Continuous selections 1// Ann.Math. -1956. -V.63. -№63. -pp. 361-381.

2 Michael E. A survey of continous selections, Lect. Notes in Math. 171, Berlin: Springer-Verlag. -1970. -pp. 54-58.

3 Демьянов В. Ф., Васильев В. В. Недифференцируемая оптимизация. -Москва: Наука. -1981.

4 Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. -Москва: Наука. -1972.

5 Бердышев В.И. Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала// Изв. АН СССР. Сер. Математика. -1980. -Т 44. -Выпуск 3, -С 534-539.

6 Хачатрян Р.А., Хачатрян А.Р. О непрерывности многозначных отображений// Ученые записки ЕГУ. -2003.

-№2, -Стр. 3-13.

7 Хачатрян Р.А., Аветисян Р.А., Хачатрян А.Р. Непрерывность множеств ε-оптимальных стратегий// Изв.

НАН Армении: Математика. -2003. -Т 38. -№1. -С 69-82.

8 Хачатрян А.Р. О непрерывности некоторых многозначных отображений// Докл. НАН Армении. Сер.

Математика. -2004. -Т 104. -№2. -С 90-94.

9 Сухарев А. Г., Тимохов А.В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -Москва: Наука. -1986.

99

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2018, Том 124, №3

10 Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. -Москва: Мир. -1988.

Р. А. Хачатрян

Ереван Мемлекеттiк университетi, Ереван, Армения

Градиенттердi проекциялау әдiсi және көпмәндi бейнелеулердiң үзiлiссiз селекциялары Аннотация: Келесi түрдегi параметрлiк оптимизациялау есебi қарастырылады:

f(x, y)−→min, y∈M⊆R^m, мұндағы x E⊆Rⁿ жиынынан алынған параметр.

Бұл есеп үшiн ε-оптималды нүктелер жиыны анықталды:

aε(x) ={y∈M:f(x, y)≤ inf

y∈Mf(x, y) +ε}.

aε бейнелеуi үшiн үзiлiссiз селекция құру есебi зерттеледi. Бұл көпмәндi бейнелеу үшiн гридиенттi проекциялау әдiсiмен үзiлiссiз селекция құрылды.

Түйiн сөздер:көпмәндi бейнелеу, оптималды нүктелер, проекция, дөңес жиындар.

R.A. Khachatryan

Yerevan State University, Yerevan, Armenia

Gradient projection method and continuous selections of multivalued mappings Abstract.We consider the parametric optimization problem of the following type

f(x, y)−→min, y∈M⊆R^m, where x is a parametr from the subset E⊆Rⁿ.

For this problem a set of ε- points is defined :

aε(x) ={y∈M:f(x, y)≤ inf

y∈Mf(x, y) +ε}.

The problem of constructing continuous selections of the mapping aε is considered. The gradient projection method is used to construct continuous selections for this multivalued mapping.

Keywords: Multivaled mapping, set of ε- optimal points, projection, convex set.

References

1 Michael E. Continuous selections 1, Ann.Math,63(63), 361-381(1956).

2 Michael E. A survey of continous selections, Lect. Notes in Math. 171, (Springer-Verlag, Berlin, 1970, pp. 54-58).

3 Demyanov V.F., Vasilyev L.V. Nedifferenciruemaja optimizacija [Non-differentiable optimization] (Nauka, Moscow, 1981).

4 Dem’janov V.F., Malozemov V.N. Vvedenie v minimaks [Introduction to minimax] (Nauka, Moscow, 1972).

5 Berdyshev V. I. Сontinuity of a multivalued mapping connected with the problem of minimizing a functional, Mathematics of the USSR-Izvestiya 16(3), 431 (1981).

6 Khachatryan R.A., Khachatryan A.R. O nepreryvnosti mnogoznachnyh otobrazhenij [On the continuity of mul- tivalued mappings], Proceedings of the Yerevan State University, series Physical and Mathematical sciences, (2), 3-13(2003).

7 Khachatryan R.A., Avetis’jan R.A., Khachatryan A.R. Optimal’nost’ mnozhestv ε− optimal’nyh strategij [opti- mality of sets of ε− optimal strategies],Izvestija NAN Armenii. Serija: Matematika[News of the National Academy of Sciences of Armenia. Series: Mathematics]38(1), 69-82(2003).

8 Khachatryan A.R. o nepreryvnosti nekotoryh mnogoznachnyh otobrazhenij [On the continuity of some multivalued mappings], Doklady NAN Armenii. Serija: Matematika[Reports of the National Academy of Sciences of Armenia.

Series: Mathematics],104(2), 90-94(2004).

9 Suharev A.G., Timohov A.V., Fedorov V.V. Kurs metodov optimizacii [Course optimization methods] (Nauka, Moscow, 1986).

10 Oben Zh.-P., Jekland I. Prikladnoj nelinejnyj analiz [Applied nonlinear analysis] (Nauka, Moscow, 1988).

Сведения об авторах:

Хачатрян Р. А. - Доктор физико - математических наук, Ереванский государственный университет, факультет информатикии и прикладной математики, Ереван, Армения.

Khachatryan R.- Doctor of Phys.- Math. Siences, Yerevan State University, faculty of informatics and Applied Mahtematics, Yerevan, Armenia.

Поступила в редакцию 01.09. 2018

100

«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Информатика. Механика сериясы» журналына жiберiлетiн жұмыстарға қойылатын талаптар Журнал редакциясы авторларға осы нұсқаулықпен толық танысып, журналға мақала әзiрлеу мен дайын мақаланы журналға жiберу кезiнде басшылыққа алуды ұсынады. Бұл нұсқаулық талаптарының орындалмауы сiздiң мақалаңыздың жариялануын кiдiртедi.

1. Автордың қолжазбаны редакцияға жiберуi мақала авторының басып шығарушы, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiне мақаласын басуға келiсiмiн және кез келген шетел тiлiне аударылып қайта басылуына келiсiмiн бiлдiредi.

2. Баспаға (барлық жариялаушы авторлардың қол қойылған қағаз нұсқасы және электронды нұсқасында) журналдың түпнұсқалы стильдiк файлының мiндеттi қолданысымен LaTeX баспа жүйесiнде дайындалған Tex- пен Pdf-файлындағы жұмыстар ұсынылады. Стильдiк файлдыbulmathmc.enu.kz журнал сайтынан жүктеп алуға болады.

3. Мақаланың көлемi 6 беттен кем және 18 беттен артық болмауы тиiс. Талап деңгейiнен асқан жұмыстар редакциялық алқа отырысында қаралып, баспаға ерекше жағдайда ғана рұқсат етiледi.

4. Жұмыстың мәтiнi ХҒТАР (Халықаралық ғылыми-техникалық ақпарат рубрикаторы) кодының көрсеткiшiмен басталып, кейiн автор(лар)дың аты және тегi, жұмыс орнының толық атауы, қаласы, мемлекетi, Е-mail-ы, мақаланың толық атауы, аннотациясы көрсетiледi. Аннотация 150-200 сөз көлемiнде болуы тиiс, сонымен қатар мәтiнде күрделi есептiк формулалар болмауы, мақаланың толық аты қайталанбауы, жұмыстың мәтiнi мен әдебиеттер тiзiмiнде көрсетiлетiн сiлтемелер болмауы керек. Аннотация мақаланың ерекшелiктерiн көрсететiн және оның құрылымын (кiрiспе, есептiң қойылымы, мақсаты, тарихы, зерттеу әдiстерi, нәтижелер және олардың талқылаулары, қорытынды) сақтайтын мақаланың қысқаша мазмұны болуы тиiс.

5. Жұмыстың мәтiнiнде кездесетiн таблицалар мәтiннiң iшiнде жеке нөмiрленiп, мәтiн көлемiнде сiлтемелер түрiнде көрсетiлуi керек. Суреттер мен графиктер PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX форматындағы стандарттарға сай болуы керек. Нүктелiк суреттер кеңейтiлiмi 600 dpi кем болмауы қажет. Суреттердiң барлығы да айқын әрi нақты болуы керек.

6. Жұмыста қолданылған әдебиеттер тек жұмыста сiлтеме жасалған түпнұсқалық көрсеткiшке сай (сiлтеме беру тәртiбiнде немесе ағылшын әлiпбиi тәртiбi негiзiнде толтырылады) болуы керек. Баспадан шықпаған жұмыстарға сiлтеме жасауға тиым салынады.

Сiлтеменi беруде автор қолданған әдебиеттiң бетiнiң нөмiрiн көрсетпей, келесi нұсқаға сүйенiңiз дұрыс:

тараудың номерi, бөлiмнiң номерi, тармақтың номерi, теораманың номерi (лемма, ескерту, формуланың және т.б.) номерi көрсетiледi. Мысалы: «... қараңыз . [3; § 7, лемма 6]», «...қараңыз [2; 5 теорамадағы ескерту]».

Бұл талап орындалмаған жағдайда мақаланы ағылшын тiлiне аударғанда сiлтемелерде қателiктер туындауы мүмкiн.

Қолданылаған әдебиеттер тiзiмiн рәсiмдеу мысалдары

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. –М: Физматлит, –1994, –376 стр. –кiтап

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики –2014. –Т.54. № 7. –С.

1059-1077. -мақала

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. – Москва, 2015. –С.141-142. –конференция еңбектерi

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. –Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. –С.7. –газеттiк мақала

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Cибирские электронные математические известия –2017. –Т.14. –С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057. – URL:

http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронды журнал

7. Әдебиеттер тiзiмiнен соң автор өзiнiң библиографикалық мәлiметтерiн орыс және ағылшын тiлiнде (егер мақала қазақ тiлiнде орындалса), қазақ және ағылшын тiлiнде (егер мақала орыс тiлiнде орындалса), орыс және қазақ тiлiнде (егер мақала ағылшын тiлiнде орындалса) жазу қажет. Соңынан транслиттiк аударма мен ағылшын тiлiнде берiлген әдебиеттер тiзiмiнен соң әр автордың жеке мәлiметтерi (қазақ, орыс, ағылшын тiлдерiнде – ғылыми атағы, қызметтiк мекенжайы, телефоны, e-mail-ы) берiледi.

8. Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қаласы, Қ.Сәтпаев көшесi, 2, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Бас ғимарат, 408-кабинет. Телефоны: (7172) 709-500 (iшкi 31-428).

E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

111

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2018, Том 124, №3

Provision on articles submitted to the journal

"Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.

Mathematics. Computer Science. Mechanics Series"

The journal editorial board asks the authors to read the rules and adhere to them when preparing the articles, sent to the journal. Deviation from the established rules delays the publication of the article.

1. Submission of articles to the scientific publication office means the authors’ consent to the right of the Publisher, L.N. Gumilyov Eurasian National University, to publish articles in the journal and the re-publication of it in any foreign language.

2. The scientific publication office accepts the article (in electronic and printed, signed by the author) in Tex- and Pdf-files, prepared in the LaTeX publishing system with mandatory use of the original style log file. The style log file can be downloaded from the journal websitebulmathmc.enu.kz.

3. The volume of the article should not exceed 18 pages(from 6 pages). The article, exceeding this volume is accepted for publication in exceptional cases by a special decision of the journal Editorial Board.

4. The text of the article begins with the IRSTI (International Rubricator of Scientific and Technical Information), then followed by the Initials and Surname of the author (s); full name of organization, city, country; E-mail of the author (s); the article title; abstract. Abstract should consist of 150-250 words, it should not contain cumbersome formulas, the content should not repeat the article title, abstract should not contain references to the text of the article and the list of literature), abstract should be a brief summary of the article content, reflecting its features and preserving the article structure - introduction, problem statement, goals, history, research methods, results with its discussion, conclusion.

5. Tables are included directly in the text of the article; it must be numbered and accompanied by a reference to them in the text of the article. Figures, graphics should be presented in one of the standard formats: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Bitmaps should be presented with a resolution of 600 dpi. All details must be clearly shown in the figures.

6. The list of literature should contain only those sources (numbered in the order of quoting or in the order of the English alphabet), which are referenced in the text of the article. References to unpublished issues, the results of which are used in evidence, are not allowed. Authors are recommended to exclude the reference to pages when referring to the links and guided by the following template: chapter number, section number, paragraph number, theorem number (lemmas, statements, remarks to the theorem, etc.), number of the formula. For example, "..., see [3, § 7, Lemma 6]"; "..., see [2], a remark to Theorem 5". Otherwise, incorrect references may appear when preparing an English version of the article.

Template

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр.-book

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7. -С.

1059-1077. -journal article

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. - -Conferences proceedings

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7.newspaper articles

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057. - URL:

http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -Internet resources

7. At the end of the article, after the list of references, it is necessary to indicate bibliographic data in Russian and English (if the article is in Kazakh), in Kazakh and English (if the article is in Russian) and in Russian and Kazakh languages (if the article is English language). Then a combination of the English-language and transliterated parts of the references list and information about authors (scientific degree, office address, telephone, e-mail - in Kazakh, Russian and English) is given.

8.Address: 010008, Republic of Kazakhstan, Astana, Satpayev St., 2., L.N. Gumilyov Eurasian National University, Main Building, room 408). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

112

Правила представления работ в журнал

"Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева.

Серия Математика. Информатика. Механика"

Редакция журнала просит авторов ознакомиться с правилами и придерживаться их при подготовке работ, направляемых в журнал. Отклонение от установленных правил задерживает публикацию статьи.

1. Отправление статьи в редакцию означает согласие автора (авторов) на право Издателя, Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева, издания статьи в журнале и переиздания их на любом иностранном языке.

2. В редакцию (в бумажном виде, подписанном всеми авторами и в электронном виде) представляются Tex- и Pdf-файлы работы, подготовленные в издательской системе LaTeX, с обязательным использованием оригинального стилевого файла журнала. Стилевой файл можно скачать со сайта журналаbulmathmc.enu.kz.

3. Объем статьи не должен превышать 18 страниц (от 6 страниц). Работы, превышающие указанный объем, принимаются к публикации в исключительных случаях по особому решению Редколлегии журнала.

4. Текст работы начинается с рубрикатора МРНТИ (Международный рубрикатор научно-технической информации), затем следуют инициалы и фамилия автора(ов), полное наименование организации, город, страна, Е-mail автора(ов), заглавие статьи, аннотация. Аннотация должна состоять из 150-250 слов, не должна содержать громоздкие формулы, по содержанию не должна повторять название статьи, не должна содержать ссылки на текст работы и список литературы, должна быть кратким изложением содержания статьи, отражая её особенности и сохранять структуру статьи - введение, постановка задачи, цели, история, методы исследования, результаты с их обсуждением, заключение, выводы.

5. Таблицы включаются непосредственно в текст работы, они должны быть пронумерованы и сопровождаться ссылкой на них в тексте работы. Рисунки, графики должны быть представлены в одном из стандартных форматов: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Точечные рисунки необходимо выполнять с разрешением 600 dpi. На рисунках должны быть ясно переданы все детали.

6. Список литературы должен содержать только те источники (пронумерованные в порядке цитирования или в порядке английского алфавита), на которые имеются ссылки в тексте работы. Ссылки на неопубликованные работы, результаты которых используются в доказательствах, не допускаются.

Авторам рекомендуется при оформлении ссылок исключить упоминание страниц и руководствоваться следующим шаблоном: номер главы, номер параграфа, номер пункта, номер теоремы (леммы, утверждения, замечания к теореме и т.п.), номер формулы. Например, "..., см. [3; § 7, лемма 6]"; "..., см. [2; замечание к теореме 5]". В противном случае при подготовке англоязычной версии статьи могут возникнуть неверные ссылки.

Примеры оформления списка литературы

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр. -книга

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7. -С.

1059-1077. -статья

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. - труды конференции

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7. -газетная статья

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057. - URL:

http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронный журнал

7. После списка литературы, необходимо указать библиографические данные на русском и английском языках (если статья оформлена на казахском языке), на казахском и английском языках (если статья оформлена на русском языке) и на русском и казахском языках (если статья оформлена на английском языке).

Затем приводится комбинация англоязычной и транслитерированной частей списка литературы и сведения по каждому из авторов (научное звание, служебный адрес, телефон, e-mail - на казахском, русском и английском языках).

8. Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2, Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, учебно-административный корпус, каб. 408. Тел: (7172) 709-500 (вн. 31-428). E-mail:

vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

Редакторы: Н. Темiрғалиев Шығарушы редактор, дизайн: А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика. Информатика. Механика сериясы.

- 2018. 3(124)- Астана: ЕҰУ. 114-б.

Шартты б.т. - 14,25. Таралымы - 20 дана.

Мазмұнына типография жауап бермейдi

Редакция мекен-жайы: 010008, Қазақстан Республикасы, Астана қ., Сәтпаев көшесi, 2.

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi Тел.: (8-717-2) 70-95-00(iшкi 31-428)

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң баспасында басылды

114