Численное моделирование естественной конвекции МГД-течения гибридным конечно-разностным методом - Вестник НИА РК

Б. Т. ЖУМАГУЛОВ¹, С. У. АБДИБЕКОВ², Д. Б. ЖАКЕБАЕВ²

1Национальная инженерная академия Республики Казахстан

2Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ МГД-ТЕЧЕНИЯ ГИБРИДНЫМ КОНЕЧНО- РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

Рассматривается численное моделирование влияния магнитного поля на естественный кон- векционный поток с однородной концентрацией электронов в трехмерной области гибридным методом конечных разностей. Результаты воздействия вертикального магнитного поле были показаны в различных сечениях плоскости. Две вертикальные боковые стенки имеют изотер- мические граничные условия, в то время как горизонтальные верхние и нижние стенки имеют адиабатические граничные условия. Моделирование естественной конвекции основано на реше- нии отфильтрованного нестационарного трехмерного уравнения Навье-Стокса, уравнения для температуры. Получены численные результаты естественной конвекции для различных значений числа Гартмана и для числа Прандтля Pr = 0,73. Результаты детального исследования получены изотермические поверхности и контуры температур для различных чисел Гартмана.

Ключевые слова: магнитогидродинамика, естественная конвекция, метод конечных разно- стей, спектральный метод, концентрация электрона.

Магнит өрісінің үш өлшемді аймақта біртекті электрон концентрациясы бар табиғи конвекция ағынына әсер етуін гибридтік ақырлы айырмашылық әдісімен сандық модельдеуі қарастырылды.

Тік магнит өрісіне әсер ету нәтижелері жазықтықтың әртүрлі қималарында көрсетілген. Екі тік шеткі қабырғаларының шекарасы изотермиялық, ал көлденең жатқан жоғарғы және төменгі қабырғаларында адиабатикалық шекаралық шарттары қойылған. Табиғи конвекцияны модельдеу фильтрленген стационарлы емес үш өлшемді Навье-Стокс теңдеуінін, температура теңдеуінің шешімдеріне негізделген. Граскофф пен Гартман санының әртүрлі мәндері үшін және Прандтль саны Pr = 0.73 үшін табиғи конвекцияның сандық нәтижелері алынды . Егжей-тегжейлі зерттеу нәтижелері графикалық түрде ұсынылған, Гартман санының әртүрлі мәндерінде изотермиялық беттер температура контурлары алынған.

Түйін сөздер: магнитогидродинамика, табиғи конвекция, ақырлы айырмашылық әдісі, спектрлік әдіс, электронның концентрациясы.

A numerical simulation of the effect of a magnetic field on a natural convection flow with a uniform electron concentration in a three-dimensional region by the hybrid finite difference method is considered.

The results of exposure to a vertical magnetic field were shown in various sections of the plane. Two ver- tical side walls have isothermal boundary conditions, while the horizontal upper and lower walls have adiabatic boundary conditions. The simulation of natural convection is based on the solution of the filtered non-stationary three-dimensional Navier-Stokes equation, the equation for temperature. The numerical results of natural convection are obtained for various values of the Graskoff and Hartmann numbers and for the Prandtl number Pr = 0.73. The result of a detailed study of changes in temperature is presented graphically, isothermal surfaces, and temperature contours for various Hartmann numbers are obtained.

Key words: magnetohydrodynamics, natural convection, finite difference method, spectral method, electron concentration.

Естественная конвекция потока является одной из важнейших проблем в механике жидкости [1,2]. В последние годы она привлекла внимание многих исследователей

*Адрес для переписки. Е-mail: [email protected]

в связи с широким распространением проблем естественных процессов в отрасли промышленности и природных явлениях.

В [3] исследовался магнитогидродинамический (МГД) поток вокруг нагретой вертикальной пластины с изменяющейся вязкостью, температуры и теплопроводности. Свободную конвекцию вдоль вертикальной пластины с равномерным отсечением с учетом переменной вязкости и низким тепловым излучением исследовали в [4].

В работе [5] исследована МГД естественная конвекция в трехмерной квадратной полости с синусоидальным распределением температуры на одной боковой стенке наножидкой медно-водяной смеси с использованием нового метода решетки Больцмана с моделью двойной релаксации по времени. Рассмотрено влияние различных параметров, таких как числа Рэлея и Гартмана. В отношении полученных результатов сделаны следующие выводы: Конвективный теплоперенос уменьшается с увеличением числа Гартмана, а среднее число Нуссельта уменьшается как для левой стенки, так и для правой стенки, но для правой стенки уменьшается больше, чем для левой. При увеличении числа Гартмана от 0 до 50, среднее число Нюссельта уменьшается на 64% .

В работе [6] представлено численное исследование для естественной конвекции электропроводящей жидкости в двумерной прямоугольной полости при наличии вертикального магнитного поля, направленное параллельно к гравитации.

Две вертикальные ограничивающие поверхности оболочки поддерживаются изотермическими, причем одна из поверхностей нагревается, а другая охлаждается.

Адиабатические условия накладываются на две горизонтальные ограничивающие поверхности. Расчеты выполнялись для числа Грасгофа в диапазоне от Gr = 2 × 10⁴ до Gr = 2 × 10⁶ и числа Гартмана от 0 до 100. В исследовании используются соотношение сторон A = 1 и число Прандтля Pr = 0,733. Результаты представле- ны, чтобы проиллюстрировать влияние комбинированного механизма плавучести и электромагнитной силы тела на характер потока и связанные с ним характеристики теплопередачи. Кроме того, когда магнитное поле слабое и число Грасгофа вели- ко, конвекция является доминирующей, а вертикальная температурная стратифи- кация преобладает в центральной области. Однако для достаточно большого числа Гартмана конвекция подавляется, и температурная стратификация в области ядра уменьшается. Численные результаты показывают, что влияние магнитного поля заключается в уменьшении скорости конвективного теплообмена. Среднее число Нуссельта уменьшается с увеличением числа Гартмана. Представлено также пере- ходное поведение числа Нуссельта внутри полости.

Новый метод решетчатого Больцмана с двойной мульти-релаксацией-по времени (MRT) был применен в работе [7] для моделирования трехмерного МГД естествен- ного конвекционного потока в кубической области. Изучено влияние чисел Гартмана и Грасгофа на проекцию следа потока и скорость теплообмена на различных поверх- ностях полости. Для этой работы были взяты специальные значения числа Грасгофа Gr = 2 × 10³, Gr = 2 × 10⁴, Gr = 2 × 10⁵ и числа Гартмана (Ha = 0–100), в то время как число Прандтля равно Pr = 0,73. Результаты представлены в виде среднего и локаль- ного числа Нуссельта и контуров температуры и скорости в разных плоскостях по-

лости. Было установлено, что метод двойного MRT-LBM является подходящим под- ходом для решения исследуемого случая. Настоящие результаты также показывают, что увеличение числа Гартмана приводит к значительному снижению теплопереда- чи. Структура потока и изотермы в различных плоскостях оболочки резко меняются за счет увеличения чисел Гартмана и Грасгофа, поскольку под сильным магнитным полем, скорости теплопередачи подавляются. Среднее и локальное число Нуссельта значительно уменьшаются при увеличении числа Гартмана, так как среднее число Нуссельта падает на 71%, когда Gr = 2 × 10⁵, а число Гартмана увеличивается от 0 до 100. Скорость теплопередачи увеличивается за счет увеличения чисел Грасгофа, а среднее число Нуссельта увеличивается на 330% за счет увеличения числа Грасгофа от Gr = 2 × 10³ до Gr = 2 × 10⁵.

В данной работе рассматривается численное моделирование задачи естественной конвекции МГД потока с однородной концентрацией электронов под влиянием верти- кального магнитного поля, где изучается влияние числа Гартмана (Ha = 50, Ha = 100).

Также рассматривается математическая модель естественной конвекции без влияния магнитного поля, когда число Гартмана Ha = 0.

Применяемое магнитное поле

B= −H k₀

эффект в уравнениях Навье-Стокса заключается во включении силы Лоренца в урав- нение импульса

F J B_l = ×

где J =σ(E V B+ × ) – плотность электрического тока, E – напряженность элек- трического поля, которую устанавливаем равной нулю, и s – электропровод- ность, V u i u j u k= ₁+ ₂+ ₃

скорость потока, и все это в совокупности мы получаем F_l =^σ

(

V B B×

)

^× – силу Лоренца, где F_l =σ(u i u j u k₁+ ₂+ ₃) (× −H k₀) × −( H k₀)

, ис- пользуя свойства умножения единичных векторов, получаем

F_l=σ(u H j u H i_{1 0}− _{2 0}) (× −H k₀), или

F_l = −σ( u H i u H j_{1 0}²− _{2 0}²) , и

F F F F_l= +_{1 2}+ ₃ ,

где F₁= −σu H i F_{1 0}² ₂= −σu H j F_{2 0}² ₃=0

, , .

В основе задачи лежит решение нестационарных уравнений магнитогидродина- мики с фильтрацией в сочетании с уравнением неразрывности, уравнениями темпе- ратуры, с учетом уравнения неразрывности в декартовой системе координат в безраз- мерном виде

∂

∂ +∂

( )

∂ = − ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂







+ +

∂

∂ u

t

u u x

p

x x

u

x F Gr u

i i j

j i j

i

j i

i

1

Re Re2θ,

xx t

u

x x x

i i

j j j

=

∂

∂ +∂

( )

∂ = ∂

∂

∂

∂





















 0

1 ,

Re Pr ,

θ θ θ

(1)

где u u u₁, ,_{2 3} – компоненты скорости, x x x₁, ,_{2 3} – координаты, F₁= −n Nu F_{e 1}, ₂= −n Nu F_{e 2}, ₃=0 F₁= −n Nu F_{e 1}, ₂ = −n Nu F_{e 2}, ₃=0 – безразмерная сила Лоренца [7], N= σLH = Ha

ρν ⁰

2

0

2

Re – число Стюарта, где Ha H L= ₀ σ µ/ – число Гартмана, H – напряженность магнитного поля, s – прово- димость среды, определяемая из физики плазмы. U₀ = g⋅ ⋅^β

(

T T L₂− ₁

)

– характерная скорость, p – полное давление, t – время, θ =

(

^{T T}− 0

)

/

(

^{T T}2⁻ 0

)

– безразмерная тем- пература, где T T T

0 1 2

= +2

– средняя температура среды, T₁ соответствует минималь- ной и T₂ максимальной температурам области, Gr= g T T L^β

(

−

)

ν

2 1 33

2 – число Грасгофа, где b является объемным коэффициентом теплового расширения, g –ускорение под действием силы тяжести, Re= Gr является числом Рейнольдса, Pr= ν

α – число Прандтля, a – температуропроводность, L L₁= ₂ =L₃=L – характерная длина обла- сти, v – коэффициент кинематической вязкости, r – плотность течения, T – темпера- тура, t – безразмерное время.

Схематическая иллюстрация вычислительной области показана на рисунке 1, где левая стенка, обозначенная синим цветом, соответствует холодной температуре. Пра- вая стена – выделена красным цветом, соответствует горячей температуре.

Рисунок 1 – Схематичная иллюстрация постановки задачи

Начальные условия для температуры, составляющие скорости устанавливаются равными нулю во всех направлениях трехмерной области. Граничные условия для температуры задаются Дирихле на боковых стенках и условие Неймана на осталь- ных других стенах куба. Компоненты скорости равны 0, а концентрация электрона является однородной и принимает значение 1 во всех направлениях рассматриваемой трехмерной области.

Начальные условия:

u u₁= ₂=u₃=0, θ =0 при t=0 0, < <x L_{1 1}, 0<x₂<L₂, 0< <x₃ L₃ Граничные условия:

u u₁= ₂=u₃=0, θ = −1 при x₁=0 0, <x₂<1 0, < <x₃ 1; u u₁= ₂=u₃=0, θ =1 при x₁=1 0, <x₂<1 0, < <x₃ 1; u u₁= ₂=u₃=0, ∂

∂θ =

x₂ 0 при x₂ = 1и x₂ = 0, 0< <x₁ 1 0, < <x₃ 1; u u₁= ₂=u₃=0, ∂

∂θ =

x₃ 0 при x₃ = 1и x₃ = 0, x₁=0 0, < <x₁ 1 0, <x₂<1. .

Численный метод. Для решения проблемы однородной несжимаемой турбулент- ности МГД используется схема расщепления по физическим параметрам:

I.

u u

t u u K K

n n

n n n n

∗ +

∗ + −

( )

_∆¹⁻

^{( )}

₋₂¹_Re∇²

( )

¹⁼₂¹_Re^{∇2 +3}₂ ⁻¹₂ ^{1 ,}

II. ∆p u ⁿ

= ∇

( )

^{∗ +1}

τ ,

III. u u

t p

n n

( )

⁺¹⁻

( )

^{∗ +1} _{= −}

∆ ∆ ,

IV. θⁿ θⁿ θⁿ θ^{n n n}

t Pe Pe G G

+ − − ∇ + = ∇ + − −

 



1 1 2 1 2 1

2

1 2

3 2

1 2

∆ ,

где

Kn= −

( )

un∇ un⁺Fn⁺_ReGr2θn,

Gⁿ= −

( )

uⁿ∇ ^θn где Re RePr= – число Пекле.

На первом этапе система полного МГД уравнения решается без учета давле- ния. Для аппроксимации конвективного и диффузионного членов промежуточно- го поля скоростей используется метод конечной разности в сочетании с пяти диа-

гональной матрицей, что позволило увеличить порядок точности в пространстве.

Численный алгоритм решения несжимаемой турбулентности МГД рассмотрен в работе [8].

На втором этапе решается уравнение Пуассона по давлению, что обеспечивает выполнение уравнения неразрывности. Уравнение Пуассона трансформируется из физического пространства в спектральное пространство с помощью преобразова- ния Фурье. Для решения трехмерного уравнения Пуассона разрабатывается спек- тральное преобразование в сочетании с алгоритмом матричной прогонки [9]. Полу- ченное поле давления на третьем этапе используется для пересчета поля конечных скоростей [10].

На четвертом этапе уравнение для температуры решается с помощью схемы Адамса-Бэшфорта.

Результаты моделирования. С точки зрения физики влияние МГД на структу- ру естественного конвекционного потока с однородной концентрацией электронов и теплопередачей связано с тем, что в МГД-течениях движение вихревых структур перпендикулярно магнитным полям, т.е. горизонтально ориентированных вихревых ячеек, сильно подавлено за счет анизотропного эффекта магнитного поля. Это при- знается универсальным эффектом магнитных полей, который теоретически интерпре- тируется в [11]. Кроме того, еще одной важной характеристикой эффекта вертикаль- ного магнитного поля является то, что при более сильных магнитных полях вихревые структуры будут более равномерными и будут проявляться параллельно друг другу.

Следовательно, тепловая конвекция, вызванная движением вихревых ячеек, будет уменьшаться за счет усиления магнитных полей.

Для моделирования данной задачи были выбраны следующие параметры: ки- нематическая вязкость равна ν =0 0004, ^M2

c , число Прандтля было выбрано Pr =

= 0,733, соответственно теплопроводность определяется следующим образом:

α= ν = =

Pr ,

, ,

0 0004

0 733 0 0005457^M2

c . Размер вычислительной области равен N₁ =

= N₂ = N₃ = 70, L = 1 м – xарактерная длина, U₀ = 0,056 м/с – характерная скорость.

Для моделирования естественной конвекции МГД-течения число Грасгофа равно Gr= g T T L^β

(

−

)

₌U L^⋅ ₌

ν ν

2 1 3

2 02 2

2 20000 , а число Гартмана было взято в следующих зна- чениях: 1) На = 0; 2) На = 50; 3) На = 100.

На рисунке 2 показано влияние числа Гартмана на изотермические поверхности при числе Граскофф Gr = 2 × 10⁴. Изотермические поверхности значительно меня- ются с изменением числа Гартмана и становятся параллельными в x₃ направлений с увеличением числа Гартмана.

а) б) в) Рисунок 2 – Изотермические поверхности для

а) Ha = 0; б) Ha = 50; в) Ha = 100

Распределения температур в середине полости в разных плоскостях х₁ = 0,5, х₂ = 0,5, х₃ = 0,5 домена были показаны на Рисунке 3 – Рисунок 5 для фиксированного числа Граскоффа Gr = 2 × 10⁴ и разные значения числа Гартмана: а) На = 0; b) На = 50;

c) На = 100. При воздействии магнитного поля B₀ в направлении x₃, действует элек- тромагнитная сила на x₁ и x₂, а это означает, что напряженность поля в соответствую- щих направлениях будет снижена. Для плоскости x₃ = 0,5, как показано на рис. 3, температурные контуры расширяются в центр области и распределение становится равномерным за счет увеличения числа Гартмана с 0 до 100.

а) б) в)

Рисунок 3 – Изотермы на плоскости х₂ = 0,5 для Gr = 2 × 10⁴ и для а) На = 0; б) На = 50; в) На = 100.

На плоскости полости на рис. 4 значение изотерм резко уменьшается с увели- чением числа Гартмана от 0 до 100, и изотермы постепенно становятся однородны- ми и параллельными. Кроме того, поток подавляется с увеличением числа Гартмана Ha = 50 и Ha = 100

а) б) в) Рисунок 4 – Изотермы на плоскости x₁ = 0,5 для Gr = 2 × 10⁴ и для

а) На = 0; б) На = 50; в) На = 100.

На Рис. 5а видно, что изотермические линии изогнуты за счет усиления конвек- ционного эффекта при Ha = 0 и с увеличением числа Гартмана Ha = 50 и Ha = 100, изотермические линии значительно изменяются и становятся почти параллельными правой и левой стенкам, что снижает скорость теплопередачи.

а) б) в) Рисунок 5 – Изотермы на плоскости для Gr = 2 × 10⁴ и для

а) На = 0; б) На = 50; в) На = 100.

Заключение. Гибридным методом конечных разностей исследуется моделирова- ние концентрации электронов в кубической полости в естественном конвекционном МГД потоке. Получены численные результаты естественной конвекции для различных значений числа Гартмана. Исследовано влияние числа Гартмана на проекцию скоро- сти теплопередачи естественной конвекции с однородной электронной концентраци- ей. Структура потока и изотермы и в плоскостях резко изменяются из-за увеличения числа Грасгофа, скорость естественной конвекции с однородной электронной концен- трацией подавляются за счет воздействия магнитногоы поля. Эффект вертикального магнитного поля заключается в том, что при более сильных значениях магнитного поля вихревые структуры будут более равномерными и будут показаны параллельно

друг другу. Следовательно, поток тепловой конвекции с концентрацией электронов, вызванной движением вихревых ячеек, будет уменьшаться из-за усиления магнитных полей и переходить в состояния диффузии.

Работа выполнена при поддержки грантового финансирования научно-технических программ и проектов Комитетом науки Министерства образования и науки Республи- ки Казахстан, грант № AP05133516.

ЛИТЕРАТУРА

1 Hossain M.A., Khanafer K., Vafai K., The effect of radiation on free convection flow of fluid with variable viscosity from a porous vertical plate ( Int. J. Therm. Sci. 2001. Vol. 40. P. 115124.)

2 Sajjadi, H., Hosseinizadeh, S.F., Gorji, M., Kefayati, Gh.R., Numerical analysis of turbulent natural convection flow in a square cavity using Large-Eddy Simulation in Lattice Boltzmann( Iran.

J. Sci. Technol., Trans. Mech. Eng. 35:133 142, 2011)

3 Kefayati, G.H.R., Gorji, M., Sajjadi, H., Ganji, D.D., Lattice Boltzmann simulation of MHD mixed convection in a lid-driven square cavity with linearly heated wall ( Scientia Iranica, Trans. B Mech. Eng. 19:10531065, 2012. )

4 Xu, B.Q. Li, Stock, D.E., An experimental study of thermally induced convection of molten gallium in magnetic fields ( Int. J. Heat Mass Transf. 49: 20092019, 2006. )

5 Sajjadi, H., Atashafrooz, M., Double MRT Lattice Boltzmann simulation of 3-D MHD natural convection in a cubic cavity with sinusoidal temperature distribution utilizing nanofluid. ( Int. J. of Heat and Mass Trans., 126: 489-503, 2018. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.05.064)

6 Rudraiah, N., Barron, R., Venkatachalappa, M., Subbaraya, C. Effect of a magnetic field on free convection in a rectangular enclosure ( Int. J. Engineering science 33: 1075-1084,1995. )

7 Saijadi, H., Amri Delouei, A., Sheikholeslami, M., Atashafrooz., M., Succi, S., “Simulation of the dimensional MHD natural convection using double MRT Lattice Boltzmann method.”

J.Physica A, 515: 474-496, 2019

8 Abdibekova, A., Zhakebayev, D., Abdigaliyeva, A., Zhubat, K., “Modeling of turbulence energy decay based on hybrid methods.” J. Engineering Computations, 35(5):1965-1977, 2018.

9 Abdibekova A.U., Zhakebayev D.B.” HFD method for large eddy simulation of MHD turbulence decay” J. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 3(99): 53-77 2018.

10 Zhakebayev, D., Zhumagulov, B., Abdibekova, A., “The decay of MHD turbulence depending on the conductive properties of the environment.” J.Magnetohydrosynamics, 50(2): 121-138, 2014.

11 Davidson P., “Magnetic damping of jets and vortices.” J. Fluid Mech. 299:153–186, 1995.