Просмотр « Особенности движения геостационарных спутников»

(1)

Демченко Б.И.¹, Комаров А.А.^1,2*, Серебрянский А.В.¹, Усольцева Л.А.¹, Акниязов Ч.Б.¹

1Астрофизический институт им. В. Г. Фесенкова, Казахстан, Алматы

2Казахский Национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, Алматы,

*e-mail: komandr65@gmail.com

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГЕОСТАЦИОНАРНЫХ СПУТНИКОВ

Дано определение идеального геостационарного спутника (ГСС). Практически невозможно вывести ГСС строго на идеальную орбиту. Показано отличие реального ГСС от идеального.

Обсуждена проблема каталогизации ГСС. По мере запуска новых объектов или коррекции орбит уже существующих ГСС, текущий каталог приходится постоянно дополнять и обновлять. Изложена упрощенная теория изменения долготы ГСС со временем с учетом 2-й секториальной гармоники в разложении геопотенциала. На основе этой теории выделены два класса неуправляемых ГСС (либрационные и дрейфующие), и дана оценка резонансных возмущений для обоих классов.

Приведена эмпирическая эволюционная диаграмма “наклон-узел” для плоскости орбиты ГСС в интервале 1991-2016 гг.

Ключевые слова: геостационарный спутник, геостационарная орбита, теория движения ИСЗ.

Demchenko B.I.¹, Komarov A.A.^1,2*, Serebryanskiy A.V.¹, Usoltseva L.A.¹, Akniyazov Ch.B.¹

1V.G. Fesenkov Astrophysical Institute, Kazakhstan, Almaty

2al-Farabi Kazakh National University, Kazakhstan, Almaty

Peculiarities of movement of geostationary satellites

The definition of an ideal geostationary satellite (GSS) is given. It is practically impossible to deduce a GSS strictly on an ideal orbit. The difference between the real GSS and the ideal is shown. The problem of GSS cataloging is discussed. As the launch of new objects or correction of orbits of already existing satellites, the current directory has to be constantly supplemented and updated. A simplified theory of the longitude change of the GSS with time is given, taking into account the second sectorial harmonic in the expansion of the geopotential. On the basis of this theory, two classes of uncontrolled GSS (libration and drifting) are distinguished, and an estimate of the resonant perturbations for both classes is given. An empirical evolutionary «inclination-node» diagram for the orbital plane of the GSS for the period 1991- 2016 is given.

Key words: Geostationary satellite, geostationary orbit, theory of motion of artificial satellites of the Earth (AES).

Демченко Б.И.¹, Комаров А.А.^1,2*, Серебрянский А.В.¹, Усольцева Л.А.¹, Ақниязов Ч.Б.¹

1В.Г. Фесенков атындағы астрофизикалық институт, Қазақстан, Алматы қ.

2Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ.,

Геостационар cеріктердің қозғалыстарының ерекшелігі

Мінсіз геостационар серіктердің (МГС) анықтамасы берілді. Практика жүзінде МСС тура идеалды орбитасына шығару мүмкін емес. Нақты ГСС мінсізден айырмашылығы көрсетілді. ГСС

(2)

каталогтау мәселелері талқыланды. Жаңа объектілерді немесе бар МГС-дің орбитасын жөндеу барысында, ағымды каталогды әрдайым толықтырып және жаңарту еңгізу тура келек болады.

Геопотенциалдың жіктелуінде 2-секторлық бүктемесі есебімен уақыт өте келе МГС бойлығы өзгерістерінің жеңілдетілген теориясы келтірілді. Осы теория негізінде басқарылмайтын МГС екі тобы (либрациялық және ауытқыған) көрсетілді және екі топтар үшін де резонанстық ауытқулар бағалауы берілді. 1991-2016 жж. интервалында МГС орбиталар жазықтығы үшін “еңіс-түйін”

эмпирикалық эволюциялық диаграммасы келтірілді.

Түйін сөздер: геостационар серігі, геостационарлы орбита, ЖЖС қозғалыс теориясы

Введение

Общие замечания

Для идеального геостационарного спутни- ка (ГСС) период обращения вокруг Земли точ- но равен 1440 минут звездного времени, или 1436.0682 минут солнечного времени. Эксцен- триситет e орбиты и наклон i плоскости орбиты к плоскости земного экватора равны нулю. Дол- гота восходящего узла орбиты Ω и аргумент пе- ригея ω неопределены, поэтому их также можно считать нулевыми. При таких параметрах кос- мический объект будет в любой момент времени находиться над одной и той же точкой земной поверхности, причем сама эта «подспутнико- вая» точка расположена на земном экваторе.

Реальный ГСС в той или иной мере всегда отличается от идеального по многим причинам.

Практически невозможно вывести ГСС строго на идеальную орбиту. Но даже если это удает- ся сделать, то элементы орбиты ГСС будут с течением времени изменяться под действием различных возмущающих факторов (высшие гармоники в разложении геопотенциала, грави- тационные возмущения от Луны и Солнца, све- товое давление, солнечный ветер и др., включая релятивистские эффекты). Обычно под мно- жеством ГСС понимают космические объекты, имеющие период обращения вокруг Земли от 22 до 26 часов и наклон плоскости орбиты к пло- скости экватора не более 16⁰ [1-3].

Каталоги ГСС

Проблема каталогизации ИСЗ, в том чис- ле ГСС, отличается от каталогизации других астрономических объектов (звезд, галактик, астероидов и т.п.). Здесь приходится учитывать искусственное происхождение объектов, их функциональное назначение и быстрое измене- ние орбитальных параметров. По мере запуска новых объектов или коррекции орбит уже су- ществующих ГСС, текущий каталог приходится постоянно дополнять и обновлять. Два каталога ГСС с разницей по времени в один год, или даже

в 1-2 месяца – это уже два разных каталога. В настоящее время достаточно полно каталогизи- ровано около 1900 ГСС с характерными разме- рами от метра и более. Из них только 25% это работающие корректируемые спутники, и 75%

– неуправляемые ГСС, представляющие собой техногенный космический мусор (space debris).

Количество геостационаров меньших размеров оценивается в десятки тысяч, но они труднодо- ступны для наземных наблюдений [4].

Наиболее полной информацией о состо- янии геостационарной области располагает космический центр им. Л. Джонсона (Хью- стон, США). Европейский космический центр (ESOC) периодически издает списки ГСС (LOG, List Of Geostationary, [5]). Эти списки предназначены для обслуживания научных программ наблюдения ГСС. В дополнение к LOG, в Интернет регулярно поставляются так называемые «двухстрочники» (TLE, Two- Lines-Elements [6]). Основной недостаток этих списков – отсутствие фотометрических дан- ных, которые весьма полезны для идентифика- ции спутников. Соответствующие российские организации также издают свои каталоги [7].

В этих каталогах, в дополнение к орбиталь- ным параметрам, для каждого объекта дается его интегральная звездная величина, что су- щественно облегчает поиск и идентификацию конкретного ГСС в процессе наблюдений.

Принято считать, что в геостационарной зоне находятся исключительно искусственные объекты. Это утверждение не опровергнуто, но и не доказано. В принципе можно предполо- жить, что по крайней мере вблизи двух устой- чивых точек либрации с долготами 75⁰ и 255⁰ (см. ниже), существуют и естественные спутни- ки небольших размеров. Отличить искусствен- ные объекты от естественных можно по их оп- тическим характеристикам (фотометрическим, спектрофотометрическим, поляризационным), поскольку искусственные покрытия (например, солнечные батареи) в естественной среде не встречаются. Можно также ожидать, что вбли- зи точек либрации концентрируются фрагменты

(3)

космического мусора как искусственного, так и естественного происхождения, вплоть до пыле- вой составляющей.

Гравитационное поле Земли

Гравитационный потенциал материальной точки массы M на расстоянии r от нее дается выражением U=GM/r. Здесь G=6.672∙10^-11 м³/

(кг∙с²) – гравитационная постоянная. В фор- мулы небесной механики почти всегда вхо- дит произведение μ=GM, которое известно точнее, чем G и M по отдельности. Для Земли μ=(3.986005±0.000003)∙10¹⁴ м³/с² (система астро- номических постоянных МАС 1976, [8]). Потен- циал Земли отличается от потенциала матери- альной точки. Он описывается разложением по сферическим функциям [9]:

J_n, J_nk– безразмерные постоянные, характеризую- щие фактическую форму Земли и распределение масс внутри нее; λ_nk – характерные долготы, от- дельно для каждой гармоники; P_n(x), P_nk(x) – по-x) – по-) – по- линомы Лежандра и присоединенные функции Лежандра, φ’, λ – геоцентрическая широта и вос- точная долгота подспутниковой точки, R – эква- ториальный радиус Земли, R=6378.140±0.005 км (МАС 1976). Общее выражение для полиномов и присоединенных функций Лежандра можно по- лучить из формул Родрига:



( 1)



;

! 2 ) 1

( _n ⁿ_n ² ⁿ

n x

dx d x n

P   

 

^k ^k ⁿ_k

nk k dx

x P x d

x

P ( )(1) 1 ² ²  ( ). При задании географических координат пункта наблюдений обычно дается его геоде- зическая широта φ. Она определяется как угол наклона между нормалью к поверхности геоида и плоскостью земного экватора. Для перехода от геодезической широты φ к геоцентрической φ’ служит формула tg()(1)²tg(), где ε=1/298.257 – сжатие земного сфероида. Макси- мальное отличие φ от φ’ равно 11.5’ и достига- ется на широте 45⁰. В линейном измерении на поверхности Земли эта разность составляет 21 км. Заметим, что широта Алматы равна 43⁰. На экваторе и земных полюсах значения φ и φ’ со- впадают.

Слагаемые в формуле (1), содержащие мно- житель P_n(sinφ’), называются зональными гар- мониками. Слагаемые с множителями P_nk(sinφ’)

     

(1)











 



 



       

 



 



 





^



2 1

) (

cos sin

sin 1

n

k nk nk nk

n n n

k P

J P

r J R

U



r

   

,

называются секториальными (при k=n) или тес- серальными (при k<n) гармониками.

Расстояние от центра Земли до геостацио- нарной орбиты равно: r=42164 км. Для типич- ного ГСС отношение R/r равно 6378/42164=0.15.

Следовательно, при прочих равных условиях влияние текущего члена разложения в формуле (1) составляет всего 15% от предыдущего чле- на. Поэтому для ГСС наиболее существенными являются первые слагаемые, то есть зональная гармоника J₂ и секториальная гармоника J₂₂. Численные значения этих коэффициентов тако- вы: динамический коэффициент сжатия Земли J₂=1082.63∙10^-6 (это наибольший коэффициент), динамический коэффициент сжатия земного эк- ватора J₂₂=2.7∙10^-6. Значения остальных коэффи- циентов J_n и J_nk менее 2.8∙10^-6 [9].

Резонансные ИСЗ

Для произвольных ИСЗ влияние долготных членов в разложении геопотенциала (1) порож- дает только периодические возмущения, их ам- плитуда убывает с ростом индекса n. Но если пе- риод обращения ИСЗ вокруг Земли соизмерим с собственным периодом вращения Земли вокруг своей оси, то возникают резонансные эффекты, под влиянием которых амплитуды периодиче- ских возмущений с течением времени могут возрастать. С математической точки зрения это связано с появлением малых делителей в лю- бой тригонометрической теории движения ИСЗ.

Например, резонансными являются спутники с периодами 12^h (резонанс 1/2), 8^h (резонанс 1/3), 16^h (резонанс 2/3) и т.д. В этом смысле геостаци- онарные спутники являются самыми резонанс- ными, так как они имеют предельный резонанс

(4)

1/1. Понятно, что теория движения резонансных ИСЗ должна отличаться от теории движения произвольных спутников Земли.

Зависимость долготы ГСС от времени.

Дрейф по долготе

Если известен «мгновенный» инерциальный период обращения ГСС вокруг Земли, то ско- рость изменения долготы ГСС (среднесуточный дрейф по долготе) в данное время можно вычис- лить по формуле:



 



 −

⋅

=360⁰ 1440 1.0027379093 Ps

D , (2)

где D – дрейф по долготе, ⁰/сут, P_s – сидериче- ский (или звездный) период обращения ГСС во- круг Земли в минутах солнечного времени. Если P_s=1436.0682, то D=0. При D<0 ГСС в данный момент дрейфует с востока на запад (долгота убывает), при D>0 ГСС движется с запада на восток (долгота возрастает).

Резонансное влияние долготных членов в разложении геопотенциала, прежде всего сек- ториальной гармоники J₂₂, приводит к тому, что на геостационарной орбите имеются два устой- чивых положения равновесия с долготами λ₁₌75⁰ и λ₂=255⁰ (они же – точки либрации, см. ниже) и два неустойчивых положения, отстоящих от устойчивых точек примерно на 90⁰. Первая точ- ка либрации 75⁰ почти равна долготе Алматы (77⁰), вторая точка 255⁰ близка к средней долготе США.В теории движения геостационаров ис- пользуется понятие «стробоскопическая долго- та» [1, 2, 10]. Это некоторая средняя долго- та ГСС, не зависящая от эксцентриситета и наклона орбиты. Она определяется формулой

S M − + + Ω

= ω

λ _{, где}ω – аргумент перигея, M – средняя аномалия ГСС на данный момент времени, S – текущее звездное время в Грин- виче. В рамках упрощенной трехосной модели Земли зависимость стробоскопической долготы λ неуправляемого ГСС от времени достаточно хорошо описывается дифференциальным урав- нением типа уравнения математического маят- ника на жестком невесомом стержне [3, 11]:

2 2

2 sin(2( )) 0

2^k ^L

D d

dt

λ + ⋅ λ λ− = , (3)

где λ_L – долгота одной из двух точек либрации.

Для нас удобнее брать значение λ_L=λ₁=75⁰. Ос- новное отличие уравнения (3) от уравнения математического маятника заключается в том, что у маятника имеется только одно положение устойчивого равновесия (нижняя точка) и одно положение неустойчивого равновесия (верхняя точка). У ГСС имеется два устойчивых и два не- устойчивых положения равновесия. Две точки устойчивого равновесия еще называются точка- ми либрации.

Для Земли внешний параметр D_k равен 0.437

0/сутки. Он играет роль критического дрейфа по долготе, то есть скорости изменения долготы при прохождении ГСС какой-либо точки либрации.

Если дрейф в этой точке меньше D_k, то реали- зуется режим колебаний, если больше – режим вращений. Соответственно, неуправляемые ГСС делятся на два класса. Класс «L» – либрацион-L» – либрацион-» – либрацион- ные ГСС. Они совершают долгопериодические колебания около одной из двух точек либрации.

Период колебаний от 2 до 6 лет, амплитуда до 80⁰. Класс «D» – дрейфующие ГСС. Они посто-D» – дрейфующие ГСС. Они посто-» – дрейфующие ГСС. Они посто- янно двигаются в одном направлении, с востока на запад или с запада на восток.

Решение уравнения (3) выражается через эл- липтические функции и стандартные эллипти- ческие интегралы. Пусть D₀=(dλ/dt)₀ – дрейф по долготе в начальный момент времени t₀; λ₀ – дол- гота ГСС на этот же момент. Эти два параметра играют роль начальных условий для уравнения (3) и могут быть определены из наблюдений.

Максимальный дрейф по долготе D_m для данного ГСС при прохождении точек либрации определяется из начальных условий по формуле

) (

sin² ₀

2 02

2 k L

m D D

D = + ⋅ λ −λ . (4) Знак D_m совпадает со знаком D₀. В рамках модели (3) этот параметр для конкретного пас- сивного ГСС постоянен и может служить одной из его характеристик, наряду с другими элемен- тами орбиты. Далее, введем обозначения:

( )

²; ₁ 1 ;

2 D D k k

k = _m _k =

(

k

)

F k k K

k d

F ; ( ) 2,

) ( sin ) 1

, (

0 2 2 π

ϕ

ϕ ^ϕ ϕ =

=

∫

− ^{, (5)}

k – модуль эллиптических функций, F(φ,k), K(k) – неполный и полный эллиптические инте- гралы 1-го рода в канонической записи.

(5)

Характер движения типичного пассивного ГСС определяется значением параметра k.

5.1. При k<1 – либрационный режим, D_m<D_k. Для земного наблюдателя геостационар совер- шает долгопериодические колебания по долготе около одной из двух точек либрации. Амплитуда этих колебаний A(град) и период P(сутки) опре- деляются формулами:

57.29578 arcsin

A  k ,

Dk

k P57.295784K( )

(6)

Эти два параметра также могут служить до- полнительными характеристиками конкретного пассивного либрационного ГСС и использовать- ся для его идентификации. Текущая стробоско- пическая долгота ГСС (в рад) и дрейф по долготе на произвольный момент времени вычисляются по формулам:



( , )



arcsin k sn u k

L 



 ;

) , (u k cn D

D _m , (7)

где u=D_k ⋅(t−t₀)+F

(

θ₀,k

)

;



 



 −

= k ^L

) arcsin sin( ⁰

0

λ

θ λ .

5.2. При k>1 – дрейфующий режим, D_m>D_k. Для земного наблюдателя геостационар посто- янно движется в одном направлении, с запада на восток или с востока на запад. Период измене- ния стробоскопической долготы определяется формулой

Dm

k

P 4 K( )

29578 .

57   ¹

 . (8)

Долготу λ и ее дрейф D на произвольный мо- мент можно найти из выражений:

1

sin( ) ( , )

cos( ) ( , )

L

sn u k cn u k

 

 

( , )1

D D dn u k m

(9)

где u D= _m⋅ −(t t₀)+F(λ λ₀− _L, )k₁ .

В формулах (7, 9) через sn, cn, dn обозначены основные эллиптические функции Якоби. Для вычисления всех эллиптических функций и ин- тегралов можно воспользоваться эффективными алгоритмами, изложенными в работах [12, 13].

В таблице 1 приведены амплитуды A(град) и периоды P(сутки) изменения стробоскопиче- ской долготы для либрационных и дрейфующих ГСС в зависимости от максимальной скорости дрейфа D_m в рамках модели (3) (см. формулы (6,8)). Предполагается круговое движение. Для дрейфующих ГСС в качестве амплитуды A дано максимальное отклонение от равномерного кру- гового движения с тем же периодом и нулевым наклоном.

Таблица 1 – Оценка резонансных возмущений для ГСС

Либрационные Дрейфующие

D_m, ⁰/сут A,град P,сут D_m, ⁰/сут A,град P,сут 0.001

0.076 0.219 0.335 0.411 0.437

0.0110.0 30.050.0 70.090.0

823 829 1014 883 1312---

0.450.60 0.801.00 10.002.00

25.00 5.502.50 1.500.40 0.02

1450720 490380 18236

Основные отличия реального движения от математической модели (3) заключаются в сле- дующем.

А) Формулы (6, 8) дают немного завышен- ный период изменения долготы, особенно для либрационных ГСС с небольшой амплитудой колебаний. Например, для D_m=0.001 реальный полный период колебаний равен 745 суток, а не 823 (см. табл.1). Частично этот недостаток можно скомпенсировать вариацией параметра D_k в пределах от 0.480 до 0.437 ⁰/сутки. Верхняя граница – для либрационных ГСС с небольшой амплитудой колебаний, нижняя – для объектов с максимальным дрейфом, близким к критиче- скому значению 0.437 ⁰/сутки. На рис.1 показана приближенная зависимость критического дрей- фа D_k от максимального дрейфа D_m.

Рисунок 1 – Зависимость критического дрейфа D_k (внешний параметр) от максимального дрейфа D_m, ⁰/сутки.

(6)

B) Величины максимальных отклонений долготы либрационного ГСС к западу и вос- току от устойчивых точек либрации несколько отличаются между собой, то есть колебания не- симметричны. Здесь сказывается сравнительно слабое, но в данном случае заметное влияние высших долготных членов в разложении геопо- тенциала.

C) Действительные точки неустойчивого рав- новесия равны 161⁰ и 348⁰ восточной долготы, а не 165⁰ и 345⁰, как это следует из модели (3).

D) За счет переменного влияния лунно-сол-) За счет переменного влияния лунно-сол- нечных возмущений глубина «потенциальной ямы» в устойчивых точках либрации и высота

«потенциального барьера» в неустойчивых точ- ках равновесия немного меняются со временем.

Поэтому некоторые ГСС с максимальным дрей- фом, близким к критическому значению 0.437 ⁰/ сутки, способны переходить из одной точки ли- брации в другую, либо временно менять режим движения с либрационного на дрейфующий и обратно.

Эволюция плоскости орбиты ГСС

Положение плоскости орбиты ГСС задается двумя параметрами: i – наклон плоскости орби- ты к плоскости земного экватора и Ω – долгота восходящего узла орбиты, отсчитывается от точ- ки весеннего равноденствия.

Как известно, если тело вращается и на него действуют внешние силы, то плоскость враще- ния этого тела медленно прецессирует вблизи некоторой основной плоскости. Например, эква- ториальная плоскость Земли под воздействием лунно-солнечных возмущений прецессирует с периодом около 26 000 лет, а основная плоскость это плоскость эклиптики, которая практически совпадает с неизменяемой плоскостью Лапласа для Солнечной системы. Плоскость орбиты пас- сивного ГСС также прецессирует, и здесь тоже есть своя «плоскость Лапласа». Для типичных ГСС период прецессии составляет 53.5 года [1, 10]. Плоскость Лапласа для ГСС проходит через точку весеннего равноденствия под некоторым углом Λ к плоскости экватора. Для произвольно- го ГСС этот угол можно найти по формуле:

( )

²

2

sin(2 )

(2 ) 2 2 cos(2 )

tg J n R a

η ε

π η ε

Λ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ^,

где η=9.353∙10^-4 – безразмерная константа, ко- торая зависит от параметров орбит Луны и

Солнца; ε=23.44⁰ – наклон экватора к эклипти- ке, J₂ – параметр геопотенциала (2-я зональная гармоника), R – экваториальный радиус Земли, a – большая полуось орбиты ГСС, n – среднее движение ГСС, выраженное в единицах «обо- рот/сутки». Для идеального ГСС a=42164 км, n=1.0027379093. Подставляя эти значения в по- следнюю формулу, получим: Λ=7.3⁰. Заметим, что для шарообразной Земли J₂=0. Тогда Λ=ε, то есть в этом случае плоскость Лапласа для ГСС будет совпадать с плоскостью эклиптики, как и следовало ожидать.

Рисунок 2 – Эволюционная диаграмма «наклон-узел».

Слева – по каталогам орбит в интервале 1991-2006 гг., справа – в интервале 2006-2016 гг.

Крестиком отмечено положение плоскости Лапласа.

(7)

На рис.2 показаны две эволюционные диа- граммы «наклон-узел» для ГСС в полярной си- стеме координат [3, 11]. Эти диаграммы постро- ены по большому количеству каталогов орбит ГСС на разные интервалы дат. По радиусу отло- жен угол наклона i орбиты к экватору, по поляр- ному углу – долгота восходящего узла Ω. Каждая точка на диаграммах соответствует положению некоторой плоскости орбиты. Начало координат – это плоскость экватора (i=0, Ω неопределено).

Крестиком на горизонтальной оси отмечено по- ложение плоскости Лапласа для ГСС (i=Λ=7.3⁰, Ω=0). Время эволюции течет по часовой стрелке вдоль основной ветви диаграмм, начиная от точ- ки (0,0). Для типичного ГСС полное время одно- го оборота по диаграмме равно 53.5 года.

Как видно из этого рисунка, для большин- ства ГСС наклон плоскости орбиты к плоско- сти Лапласа i_Λ почти постоянен. Можно также показать, что долгота восходящего узла Ω_Λ от- носительно этой плоскости зависит от времени почти по линейному закону [1, 2]. Следователь- но, эти диаграммы указывают сразу на два ин- варианта: i_Λ≈const и dΩ_Λ/dt≈const. Оба эти инва-const. Оба эти инва-. Оба эти инва- рианта связаны с законом сохранения момента импульса.

В таблице 2 представлена теоретическая за- висимость элементов i, Ω от времени T для ли- брационных ГСС. Предполагается, что в началь- ный момент T=0 круговая орбита ГСС лежит в плоскости экватора. Время T дано в годах, пара- метры i, Ω – в градусах.

Таблица 2 – Зависимость орбитальных параметров i, Ω от времени T.

T i Ω T i Ω T i Ω

0 1 2 4 6 8 1012 1416 18

0.00 0.85 1.69 3.36 4.99 6.55 8.02 9.38 10.62 11.72 12.65

--- 87 83 77 70 64 57 50 44 37 30

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

13.42 14.00 14.40 14.60 14.60 14.40 14.00 13.42 12.65 11.72 10.62

24 17 10 3 357 350 343 336 330 323 316

42 44 46 48 50 52 53 54 55 56 58

9.38 8.02 6.55 4.99 3.36 1.69 0.85 0.00 0.85 1.69 3.36

310 303 296 290 283 277 273 --- 87 83 77

Экваториальные элементы (i, Ω) связаны с

аналогичными элементами относительно пло- скости Лапласа (i_Λ, Ω_Λ) известными формулами [14]:

sin( ) sin(i_Λ ⋅ Ω =_Λ) sin( ) sin( )i ⋅ Ω ,

sin( ) cos(iΛ ⋅ Ω =Λ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) sin( )i ⋅ Λ ⋅ Ω − i ⋅ Λ _, cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )i_Λ = Λ ⋅ i + Λ ⋅ i ⋅ Ω , sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) cos(i ⋅ Ω = i_Λ ⋅ Λ ⋅ Ω +_Λ) cos( ) sin( )i_Λ ⋅ Λ _,

cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos(i = Λ ⋅ iΛ − Λ ⋅ iΛ ⋅ ΩΛ).

(8)

Рисунок 3 – Зависимость i (T) для неуправляемых ГСС.

Сплошная линия – теоретическая кривая, точки – экспериментальные данные для двух типичных ГСС: Kos-Kos- mos-1700 (запуск 1985 г., интервал 1991-2016 гг.) и спутник

серии DSP (запуск 1971 г., интервал 1991-2007 гг.).

На рис. 3 показана типичная зависимость на- клона i от времени T, в соответствии с табл.2 и рис.2. Сплошная линия – теоретическая зависи- мость. Точками обозначены экспериментальные данные для двух либрационных ГСС, находя- щихся на разных стадиях эволюции. Из графика следует, что в интервале угла наклона 0-10⁰ сам угол меняется со скоростью около 8″/сутки. Бо- лее полную теорию движения ГСС можно найти в работе [10].

Литература

1. Сочилина А.С., Вершков А.Н., Григорьев К.В., Киладзе Р.И., Гаязов И.С. Каталог улучшенных орбит неуправляемых геостационарных объектов. – СПб.: ИТА РАН, 1994. – Т.1. – 102 с.; – Т.2. – 95 с.

2. Сочилина А.С., Киладзе Р.И., Григорьев К.В., Вершков А.Н. Каталог орбит геостационарных спутников. – СПб.:

ИТА РАН, 199. – 104 с.

3. Диденко А.В., Демченко Б.И., Усольцева Л.А., Афонин А.Н., Калюжный Е.А., Гордыгага Н.Н., Старожилов Н.И., Зикрань В.А., Есенгали С.Р., Кабенко Ф.Х. Зональный каталог геостационарных спутников. Вып.2. – Алматы: Гылым, 2000. – 108 с.

4. Evidence for historical satellite fragmentations in and near the geosynchronous regime. Proceedings of the Third European Conference on Space Debris, 19 – 21 March 2001, Darmstadt.

5. http://www.planet4589.org/space/log/geo.log 6. http://celectrak.com/NORAD/elements/geo.txt 7. http://spacedata.vimpel.ru/ru

8. Жаров В.Е. Сферическая астрономия. Фрязино, 2006. – 480 с.

9. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.Д., Дёмин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / под ред. Дубошина Г.Н. – М.: Наука, 1976. – 864 с.

10. Киладзе Р.И., Сочилина А.С. Теория движения геостационарных спутников. – СПб., 2008. – 132 с.

11. Демченко Б.И., Воропаев В.А., Комаров А.А., Молотов И.Е., Серебрянский А.В., Усольцева Л.А. Некоторые характеристики множества геостационарных спутников // Известия НАН РК. Сер. физ.-мат. – 2016. – № 5. – C.64-75.

12. Справочник по специальным функциям /под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.

13. Агеев М.И., Алик В.П., Марков И Ю. Библиотека алгоритмов 151Б-200Б. Вып.4. – М.: Радио и связь, 1981. – 184 с.

14. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. – М., Наука, 1968. – 800 с.

References

1. A.S. Sochilina, A.N. Vershkov, K.V. Grigoriev, R.I. Kiladze, and I.S. Gayazov Catalog of improved orbits of uncontrolled geostationary objects, (St. Petersburg: ITA RAS, 1994), vol.1, 102 p.; vol.2, 95 p. (in Russ).

2. A.S. Sochilina, R.I. Kiladze, K.V. Grigoriev, and A.N. Vershkov, Catalog of the orbits of geostationary satellites, (St. Peters- burg: ITA RAS, 1996), 104 p. (in Russ).

3. А.V. Didenko, B.I. Demchenko, L.А. Usoltseva, А.N. Аfonin, E.A. Kalyuzhny, N.N. Gordygaga, N.I. Starogilov, V.A. Zi- kran, C.R. Esengali, and F.Kh. Kabenko, Zonal catalog of geostationary satellites, Issue 2, (Almaty: Gylym, 2000), 108 p. (in Russ).

4. Evidence for historical satellite fragmentations in and near the geosynchronous regime, Proceedings of the 3rd European Conf. on Space Debris, 19 – 21 March 2001, Darmstadt.

5. http://www.planet4589.org/space/log/geo.log 6. http://celectrak.com/NORAD/elements/geo.txt 7. http://spacedata.vimpel.ru/ru

8. V.Ye. Zharov, Spherical astronomy. (Fryazino, 2006), 480 p. (in Russ).

9. V.K Abalakin., E.P. Aksenov, E.D. Grebennikov, V.G. Demin, and Yu.A. Ryabov Reference guide to celestial mechanics and astrodynamics / edited by Duboshin G.N. (Moscow: Science, 1976), 864 p. (in Russ).

10. R.I. Kiladze and A.S. Sochilina The theory of motion of geostationary satellites, (St. Petersburg, 2008), 132 p. (in Russ).

11. B.I. Demchenko, V.A. Voropaev, A.A. Komarov, I.E. Molotov, A.V. Serebryanskiy, and L.A. Usoltseva, Izvestiya NAS RK. Ser. fiz.-mat. 5, 64-75, (2016). (in Russ).

12. Handbook of special functions / edited by M. Abramovits and I. Stigan, (Moscow: Science, 1979), 832 p. (in Russ).

13. M.I. Ageev, V.P. Alik, and I.Yu. Markov Library of Algorithms 151B-200B. Issue 4, (Moscow: Radio and Communication, 1981), 184 p. (in Russ).

14. M.F. Subbotin Introduction to theoretical astronomy, (Moscow: Science, 1968), 800 p. (in Russ.).