Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.
Информатика. Механика сериясы, 2018, 1(122), 8-69 беттер http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz
МРНТИ:27, 20
Н. Темиргалиев
Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилева, Астана, Казахстан
(E-mail: ntmath10@mail. ru)
Предисловие Главного редактора журнала "Вестник Евразийского национального университета имени Л. Н. Гумилева. Серия Математика. Информатика.
Механика" о целях издания и путях их реализации
Аннотация: В статье определена научная политика Серии журнала как обеспечение вхождения Казахстана в 4-ую промышленную революцию в виде Программы "Казахстан выходит на массовое производство математиков и IT-специалистов высшей квалификации с основательной базовой подготовкой и опытом решения задач на переднем крае математики-информатики со значимыми и фундаментальными результатами".
Определен авторский ИТМиНВ-путь исполнения научной политики Серии: в полном объеме в формате "Вопрос-Ответ" дана Заключительная программа Школьной математики, освоивший которую может успешно обучаться в любом университете мира, с переходом в "Математикалық анализ", усвоение которого обеспечит "математическую зрелость" с последующим постижением опять же авторских "Мера и интеграл Лебега" и "Теория вероятностей", что в совокупности определит готовность к научной работе по 20-ти авторским направлениям и темам с 70-процентной и выше форой, гарантированно выводящей на самые передовые позиции в международной математике- информатике.
Математика наука систематическая, поэтому учебный материал для её усвоения от полной школьной программы с первого по последний классы должен составлять единое взаимосвязанное течение по принципу "каждая мысль является основанием следующей", с переходом в программный материал школы высшей. В целом школьная и вузовская программы должны обеспечить формирование
"математической зрелости", в которой, обычно возводимое в самое главное, решение задач занимает свою специфическую сферу, когда осмысленное вхождение в своеобразный мир математики поддерживает задачный материал в форме различных специальных приемов и методов, с последующим их распознаванием и реализацией в предложенных заданиях. И все эти требования полностью обеспечивают авторские учебники ИТМиНВ, - это школьный учебник, созданный в ранге победителей Конкурса МОН РК 2000 года под названием "Алгебра и начала анализа для X-XI классов" в формате
"Авторский коллектив - Издательство" и фундаментальный курс "Математикалық анализ" в 70 печатных листов, созданный по решению Научно-методического совета по математике Министерства высшего образования Каз ССР 1979 года, со вторым изданием в 2018 году.
Здесь, по-видимому, нелишне обратить внимание на малую эффективность преподавания одной формирующей понимание отдельной области науки одновременным применением нескольких учебников с различными методическими установками (типа учебников "Геометрии" А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна). Дело в том, что если это учебник автора (коллектива авторов) с цельным пониманием и видением науки, то смешение разных подходов к освещению дисциплины вызовет хаос в сознании обучающегося. Тогда как полное прохождение курса по одному фундаментальному учебнику с последующим беглым ознакомлением с другими учебниками принесет несомненную пользу в смысле
"Оказывается эту тему можно излагать и так". Вообще, всегда надо иметь ввиду Принцип сохранения трудностей, когда на большом пространстве изложения дисциплины "Выигрыш в одной теме влечет проигрыш в другой".
Далее, приведённые в тексте в виде "Вопрос-Ответ" Оглавления дают полный перечень необходимого и достаточного материала одновременно и в минимальном, и в подробном систематизированном
изложении, что, думается, будет весьма полезным как вполне определенная, стало быть, реально достижимая грань требуемого для вооружения личности "математической зрелостью" с последующей отдачей во всех перипетиях собственной жизни настолько, насколько эффективна и значима математика как метод и как нравственная наука. И, наконец, можно надеяться, что научные поиски по 20-ти направлениям и темам ИТМиНВ,наряду с другими качественными отечественными исследованиями полностью обеспечат Серию журнала публикациями международного уровня.
Таким видится развитие математики-информатики в современном Казахстане без каких-либо претензий на экспорт – каждая страна со своей наукой разберётся сама.
Ключевые слова:
Математика-информатика, Механика, Четвертая промышленная революция, Цифровой Казахстан, Комплексная программа ИТМиНВ.
Четвертая промышленная революция стремительно врывается в вечный путь Человечества.
Место Казахстана в ней видится таким:
"Кредо Института теоретической математики и научных вычислений (ИТМиНВ) по 4-ой промышленной революции: Казахстан выходит на массовое производство математиков и IT-специалистов высшей квалификации с основательной базовой подготовкой и опытом решения задач на переднем крае математики- информатики со значимыми и фундаментальными результатами. Тогда для такого качества специалистов исполнение текущих задач "Цифровой экономики", "Казахстанского кибернетического щита" и им подобных превращается в "рутинный" процесс, пусть иногда даже с элементами творчества", чему в основном будет подчинена научная политика Серии.Одновременно Серия журнала будет нацелена на международное сотрудничество на паритетной основе, с предоставлением до половины объема зарубежным авторам.
Состав Редакционной коллегии Серии журнала – международный, и мы благодарим зарубежных коллег за сотрудничество.
Казахстанские представители Редколлегии осознают, что Серия журнала по своим трем отраслям науки не менее чем на половину должна быть заполнена статьями международного уровня отечественных авторов, что на новом переломном этапе, созданном Четвертой промышленной революцией, требует принципиально новой организации образования и науки Казахстана.
Именно, во исполнение этих новых задач была выдвинута
Комплексная программа ИТМиНВ на 2018-2020 годы
Проект №1. Математика и информатика от ИТМиНВ для обеспечения 4-ой промышленной революции в Казахстане путем подготовки большого количества математиков и IT-специалистов высшей квалификации, и, как следствие, превращение исполнения Президентских программ
"Цифровой Казахстан" и "Казахстанский кибернетический щит" в рутинный процесс. В процесс типа "Умение копать землю лопатой", чем все владеют, но если получено задание выкопать канал, то это стандартный трудоемкий процесс, сводящийся к парадигме "Бери больше, кидай дальше" без потребности в исследовательской работе, – то же с цифровизацией предприятий и всех других задач, ныне изолированно возведенных в научный ранг. Что в условиях, мягко скажем так, недостаточной профессиональной подготовки будет иметь всего лишь "кустарный"
уровень изготовления, годный лишь для взаимной договоренности. Другое дело, – нестандартное использование компьютерной и основанной на ней техники для специфических нужд Казахстана, требующее действительно исследовательско-программной работы, доступной только высококлассным математикам и IT-специалистам, с базовой подготовкой на уровне подсознательной "математической зрелости" и опытом проведения НИР со значимыми и фундаментальными результатами.
Проект №2. Многоуровневый "Математикалық анализ" выпустить на казахском, русском (с изданием в Москве как "Перевод с казахского") и первоклассном английском языке и разобрать на Программы по требованиям специальностей с математическими дисциплинами бакалавриата, магистратуры и PhD.
Проект №4. Новый Классификатор специальностей и новый Государственный стандарт образования по математике, информатике и прикладной математике от ИТМиНВ, с вводом в действие уже в 2018-2019 учебном году. Специальности новые: "Математика" скорее теоретическая,
"Прикладная математика и информатика" с упором на математику с выходом на Информатику, в 9
частности, как расширение "Математическое и компьютерное моделирование", и "Информатика и прикладная математика" как Информатика на основе математических исследований и методов.
Бакалавриат: по категории "Фундаментальные дисциплины" в необходимом количестве часы будут отведены базовой подготовке (Анализ математический и действительный, Алгебра, Геометрия, Начала Информатики), основные дисциплины (Анализ комплексный, функциональный, численный, Дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных, Теория вероятностей, Математическая статистика, Информатика как цикл основополагающих дисциплин типа
"Алгоритмика", "Прикладная теория чисел", "Формальные грамматики" и т. п. ) как эффективные введения в соответствующие области математики-информатики. Все обязательные – фундаментальные и основные – дисциплины снабжаются жесткими подробными программами с 15-процентной свободой для лектора, с указанием основной литературы с точностью до страниц и дополнительной, - здесь никаких других учебных документов не требуется. Вариативная часть программы – здесь закрепляется только количество часов на специальные курсы, наполнение которых зависит от кадрового состава вуза, с составлением силлабусов и иных документов.
Магистратура: все дисциплины только по специальности, безо всяких "Психологий", "Педагогик"
и т. п. , только английский. Поскольку магистратура преследует профессиональную подготовку, то единственная дисциплина не по специальности - иностранный язык, как правило, язык английский. Общие обязательные дисциплины магистратуры формируются в виде обзорных, но с выборочными доказательствами, программ: Анализ, Алгебра и Геометрия, Вычислительная математика, Информатика, Теория вероятностей, Математическая статистика, Дифференциальные уравнения с жесткой официальной программой с указанием литературы с точностью до страниц и 20-процентной свободой для лектора.
Докторантура: по выбору научных руководителей.
Здесь приведен полный список дисциплин, количество отводимых часов на которые регулируется по трем специальностям раздельно. Академическая свобода воплощается через вариативную часть, со всей требуемой документацией от лектора.
Проект №5. Создание ИТМиНВ в 2018-2020 годах на уровне сигнальных экземпляров Полного комплекта учебников и программ по школьной математике с первого по последний классы с позиций
"математической зрелости" и на основе пробных лекций по методическим решениям прямого применения ИТМиНВ конкретных тем школьной математики с целью выявления и учета возрастных возможностей учащихся.
Проект №6. В средней школе математика будет обеспечена Полным комплектом учебников – без ошибок (это гарантированно), максимально короткое через "только нужное" и предельно доступное изложение в рамках возможного. Во исполнение Послания Президента РК 2018 года в части "В среднем образовании начат переход на обновленное содержание, который будет завершен в 2021 году" вся школьная программа создается в ключе "Математике и английскому языку – учебные часы в востребованном количестве, остальное подстраивается". Это предложение основывается на Послании Президента 2017 года в части"Без овладения английским языком Казахстан не достигнет общенационального прогресса. Необходимо тщательно рассмотреть этот вопрос и принять по нему разумное решение" и на Послании 2018 года в части "Необходимо усилить качество преподавания математических и естественных наук на всех уровнях образования".
В связи с чем вспоминается, что первые бизнесмены Алма-Аты 90-х годов, а это были самые продвинутые"жизненно направленные" крепкие ребята, так говорили об учебных потребностях своих детей"Главное – математика и английский, остальное приложится", по-видимому, они были правы.
Проект №7. ИТМиНВ к 2018-2019 учебному году создает новый Государственный стандарт образования по школьной математике, в котором центральным является обеспечение"математической зрелости учащихся"через"математическую зрелость учителей"по доминирующему использованию
"Математикалық анализ" (подробности в "Кiрiспе") и методических решений прямого применения по всем темам школьной математики от ИТМиНВ.
Проект №8. ИТМиНВ предлагает однозначный, понятный всякому, жесткий обязательный документ"Общие принципы экспертизы и создания школьных учебников и программ с качественным показателем "По которым можно учить и учиться" с пилотной реализацией через ИТМиНВ.
Проект №9. Так же, как каждый гражданин должен иметь паспорт своей страны, так и каждый сотрудник НИИ и ППС вуза должен ежегодно заполнять"Научный и научно-методический паспорт" как обязательное условие нахождения в системе МОН РК. Каждое подразделение МОН РК должно иметь специальный Портал, на котором вывешиваются все, без исключения "Научные и научно-методические паспорта" каждого сотрудника.
Проект №12. Научная и образовательная политика РК формируется только на основе
"Национальный научный фонд РК – Научная картина РК" через индивидуальные Научные и научно- методические паспорта с подтверждением в Фундаментальных и Значимых достижениях научных школ и индивидумов в контексте международной науки.
Проект №13. Временная мера (до масштабной реализации Проекта №4 с реальной отдачей) подготовки математиков-информатиков в регионах по Программе ИТМиНВ – базовая подготовка, вхождение в тему и научная работа по теме от ИТМиНВ, с демонстрацией результатов в ведущих мировых научных центрах как казахского-казахстанского нового и сильного.
Комплексная программа
– это Система многолетних практически внебюджетных разработок, в которых главными являются основанный на статьях [1-65] Проект №1 как обеспечение
"опыта решения задач на переднем крае математики-информатики со значимыми и фундаментальными результатами"и Проекты №2 и №5 с полным списком вопросов, которые надо усвоить на уровне подсознания и потому выписанные в виде Оглавлений учебников с ответами на них как обеспечение
"основательной базовой подготовки"в реализации "Кредо".
Отдельно подчеркнем, что на данном этапе состояния математики-информатики РК должны быть жесткие программы, поскольку математика наука систематическая: как на ветхой дырявой одежде одна, пусть даже суперзаплатка, не сделает её стильной (презентабельной), так и без нахождения в математическом мире, что в рамках возможного, надеемся очень близко к его границе, было сделано в заключительном школьном учебнике для X-XI классов с переходом на 1600-страничный "Математикалық анализ", любой даже самый талантливый отдельный эпизод не будет понят "до основания" с последующим искренним восхищением и погружением в "счастье познания".
Также отметим, что образовательная часть в [66-73] естественным образом переходит в Проект №1, ибо создана по опыту понимания математики-информатики при его научном наполнении. Именно по такой же причине преподаватель вуза должен заниматься наукой для понимания своей дисциплины, как правило, состоящей из веками отобранного ("Я видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов. И. Ньютон"), что называют классикой.
* * *
Обсудим в отдельности каждый из выделенных Проектов.
Обоснование к Проекту №1:
Особую роль математики-информатики в 4-ой промышленной революции ИТМиНВ видит в том, что решение принципиальных вопросов численного анализа и информатики на конкурентном международном уровне обеспечивает подготовку специалистов высшей квалификации во всех регионах Казахстана, способных к решению любых практических задач на уровне возможностей бурно развивающихся компьютерных технологий.
Если на сегодня значимым предвестником надвигающейся 4-ой промышленной революции является 3D-печатанье от сложных технических изделий и зданий до человеческих органов без отторжения, то никто не может предугадать, что ожидается в будущем. Например, уже, как говорят, "на слуху" квантовые компьютеры с фантастическими скоростями и объемами перерабатываемой информации.
* * *
Сложившееся к настоящему времени научное положение РК требует, чтобы научные публикации без иностранных соавторов соотносились к остальным в отношении 10:1, с обязательным потенциалом дальнейшего развития и обязательным подтверждением обзорными статьями
Фундаментальные и значимые достижения, их место и перспективы в контексте международной науки.Наверное необходимость таких требований нуждается в пояснениях.
Есть (по крайней мере в период расцвета Московской математической школы был, сейчас - не знаю) требование, можно сказать
"По Гамбургскому счету", к докторской диссертации –11
всякому с образованием в два курса физико-математической подготовки в течение пяти минут объяснить свой основной результат.
В творческом поиске все непредсказуемо, человек изменяется как бы находясь в условиях смертельной битвы: "А. Н. Колмогоров -
В моих занятиях математикой есть какой-то дефект воли: приближаясь к удачному решению задачи, я как-то увиливаю от немедленного выяснения положения".Действительно, никто не может планировать фундаментальный результат, человеку не дано предвидеть даже обычный нетривиальный результат, – как верно сказано
"Если кто-то способен предсказать, чем закончатся его исследования, то эта проблема не очень глубока и, можно сказать, практически не существует. А. Шильд".Здесь надо понимать, что количество статей не всегда совпадает с качеством результатов:
мы не уверены, что сотни статей в престижных зарубежных научных журналах могут обеспечить защиту докторской диссертации по советским требованиям. Одна статья может быть источником большого количества других, развивающих заложенное фундаментальное в ней – именно это, надеемся, будет продемонстрировано ниже в 33 конкретных сообщениях от постановки задачи до результата, в устном изложении текста по минуты 3 каждая.
Великий организатор математики Казахстана Ибрашев Хасен Ибрашевич в 1957 году принял физико-математический факультет КазГУ без единого этнического казаха на полной ставке по математике и в 1970 году оставил свой пост с полным набором кандидатов наук (тогда не было "сплошной" докторизации, да и в условиях даже либеральных требований нигде быть не может) для Казахстана, подготовленных в Новосибирске, Москве, Ленинграде и Киеве. Тогда по-другому Х. И. Ибрашев поступить не мог – в Казахстане не было, мягко говоря, в нужном количестве продуктивных научных руководителей, но в независимом Казахстане мы ставим цель обеспечения студентов и молодых преподавателей любого из вузов Казахстана возможностью включения в международную математику-информатику со "своим
лицом", что во многом реализовано и о чем, при случае, в СНГ открыто заявляем "Мировая математика-информатика без Н. Темиргалиева и ИТМиНВ обойдется, мы беспокоимся о своих казахах и казахстанцах, чтобы могли достойно чувствовать себя в международном научном пространстве".Конечно, такие слова, быть может, еще как-то воспримут во Франции, Германии и Англии, но никак не в США, что мы и соблюдаем.
В научно-содержательном отношении для ИТМиНВ в контексте
"с 70%-ой и выше форой"ориентиром (как говорят, на почтительном расстоянии) является П. Л. Ульянов, который в разработанной классиками Тичмаршем, Харди и Литтлвудом, С. Л. Соболевым, С. М.
Никольским и О. В. Бесовым теории вложений сказал свое главное слово – новая постановка задачи с полным решением в модельной ситуации на основе авторского аналитически глубокого эффективного метода с большим потенциалом продолжений, и отступил, создав научные
"рабочие места" в той теме, востребованные, спустя полвека, до сих пор. Мы тоже стремимся к результатам, в первую очередь фундаментальным, с потенциалом продолжений на десятилетия вперед, причем с разработанной техникой исследований. Сами продолжения тоже разные – и жестко однозначные и, напротив, с большим количеством реализаций, в основном вычислительных, с практическими применениями, что позволяет привлечь большое количество студентов, понятно, различной подготовки.
В результате, на весь Казахстан предлагаются следующие темы исследований, каждая из которых подкреплена оригинальными публикациями в некоммерческих журналах по базам Web of Science и Scopus:
НАУЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ИТМиНВ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОЕКТА №1
Направление 1. Компьютерный (вычислительный) поперечник (К(В)П) как синтез известного и нового в численном анализе, который, согласно К. Флетчеру, "включает в себя в качестве составных частей формулировку задачи, математический анализ, построение алгоритма и доведение компьютерной программы до того, чтобы она давала результаты"
Тема 2. Классы (и пространства) функций, что, по словам А. Н. Колмогорова, решает проблему
"Нас много", т. е. "многих" обеспечить публикациями
Направление 3. Математический инструментарий прямого применения: алгебраическая теория чисел в сочетании с гармоническим анализом в задачах численного интегрирования и теории случайных чисел
Направление 4. Математический инструментарий прямого применения: тензорные произведения функционалов в сочетании с гармоническим анализом в задачах численного анализа, восстановления функций и дискретизации решений уравнений в частных производных по значениям начальных и граничных условий в точках
Направление 5. Иррегулярные распределения и метод квази-Монте Карло как, согласно К.
Роту, перспективные направления исследований в математике-информатике XXI века с обширными применениями
Тема 6. Восстановление функций в контексте К(В)П
Тема 7. Численное дифференцирование функций в контексте К(В)П
Тема 8. Дискретизация решений уравнений в частных производных в контексте К(В)П
Направление 9. Теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа: конструирование вероятностных мер на классах функций
Тема 10. Теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа: погрешности методов численного интегрирования "в среднем" относительно вероятностных мер на классах функций
Тема 11. Теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа: погрешности методов восстановления функций и дискретизации решений уравнений в частных производных "в среднем"
относительно вероятностных мер на классах функций
Направление 12. Теория вложений и приближений - решенные и нерешенные задачи Тема 13. Ряды Фурье: преобразования коэффициентов и суммирование
Направление 14. Предпоперечник Колмогорова от Мирболата Сихова
Тема 15. Теория "Морри" не как "тривиальные обобщения заменой нормы Лебега на норму Морри"
Направление 16. Дискретные и быстрые "алгебраические" преобразования Фурье
Направление 17. Генераторы случайных чисел в контексте новых формул дискретных
"алгебраических" преобразований Фурье. Генерирование случайных чисел Лехмера с максимальным периодом по требованиям Ковею-Макферсона и обширные их применения
Направление 18. "Геометрия чисел" в контексте алгебраической теории чисел
Направление 19. Метод Галеркина и новые теоретические разработки с последующими применениями в контексте всегда сопровождающей его уязвимости
Направление 20. К(В)П - анализ бесконечно гладких функций от Ерика Нурмолдина
с потенциалом разработок в десятках и сотнях статей, обоснованных в авторских Обзорах по математике-информатике в контексте международной науки [62-65].
* * *
В математике в разное время в различных странах возникают свои сложности: в Московском математическом обществе на Заседании 19 сентября 1967 г. Президент И. М. Гельфанд отметил две основные задачи Общества:
Во-первых, это борьба с провинциализмом в математике (счастлива страна с такой проблемой – Н. Т. )...
Во-вторых, последовательно отстаивать эту точку зрения, что развитие математики есть развитие идей, а не цепь технических достижений. Стремление решить трудную задачу вполне объяснимо и заслуживает внимания, ибо часто трудные задачи являются пробным камнем для отделения подлинного научного достижения от чисто словестного.
Но в этом стремлении зачастую прослеживается и другая, пугающая сторона – постепенно развивающееся "технократическое" презрение к идеям.
В современном Казахстане, пожалуй, наиболее приемлемый путь это Комплексная программа ИТМиНВ на 2018-2020 года, в научной основе которой лежат следующие оценки результативности.
Наука делится (здесь четких границ нет, все достаточно условно, но различимо) на области, области на направления, направления – на темы и тематики, далее с приставкой "под" – на подтемы и подтематики, подподтемы,. . . .
13
В огромном мире научных журналов сами по себе публикации не являются твердой гарантией качества сообщаемых в них результатов, и потому надо определиться в шкале оценок научных результатов через их эшелонирование по категориям:
Высшая категория– фундаментальный результат на уровне направления,
Первая категория– значимый результат с возможностью внятной содержательной формулировки на уровне темы,
Вторая категория- результат, говоря словами П. Л. Ульянова, с "кисло-сладкой" оценкой содержания на уровне темы и тематики,
Третья категория– научно "безликие" публикации, пусть даже в журналах с импакт-фактором.
1. Фундаментальный результат (ФР)
- вносящий существенную ясность в основы и, через него, в содержание направления через дальнейшее развитие или же его закрывающий.
Краткая и понятная для всякого с образованием в два начальных курса в области науки постановка задачи и формулировка ответа в контексте международной науки, принимаемая всеми, вне обращений к специалистам, без всяких возражений.
Различают
ФРсП: Фундаментальный результат с потенциалом продолжений ФРбезП: Фундаментальный результат без потенциала продолжений
Фундаментальные результаты по своей природе могут быть различными. Но их объединяет одно: новая фундаментальная идея вызывает новый всплеск активности, как говорил Д. В.
Печерский
"Результаты сыплются как из рога изобилия".2. Значимый результат (ЗР):
тема или тематика развивается, обрастает результатами и надо оценивать место в них конкретного результата – здесь требуется ответственный специалист.
Значимые результаты в контексте темы и тематики как специализированной (узкой) части направления, которые должны носить характер внятных содержательных результатов (что в науке получить непросто).
Также различают
ЗРсП: Значимые результаты с потенциалом продолжения,
– во всей глубине и полноте решена конкретная задача с разумной и внятной формулировкой, что дает возможность для постановки аналогичных задач по теме и, что поднимает ценность данной статьи, с разработанными идеями и техникой для их решения.
ЗРбезП: Значимые результаты без потенциала,
– завершающее звено в длинной цепочке продвижений по конкретной задаче.
3.
Вторая и третья категории составляют
ЛД: личные достижения как этап собственного научного движения по восходящей.Фундаментальные результаты как "Вклад Казахстана в мировую науку"
– полный список результатов за все творческое время по сегодня, отвечающих требованию
"До нас, наш вклад, после нас"в контексте международной науки, в котором определяющим является составляющий во всей своей совокупности
"Наш фундаментальный вклад" как "Конкретный вклад Казахстана в мировую цивилизацию"(здесь и далее указанные номера означают статьи из списка Литературы с тем же номером):
Всего 33 ФРсП:
ФРсП: 7. -8. В развитие фундаментального значения критерия вложения Hpω ⊂ Lq Ульянова (в достаточной части также Петре – Гривара – Головкина), дано полное решение задачи вложения в пространство Лоренца Hpω ⊂ L(µ, ν) с новым эффектом, заключающемся в установлении различия случаев p=µ и p < µ.
Продолжение: В результате имеем следующее уточнение постановок задач, получающихся при замене лебеговской нормы на полунорму Лоренца, равно как на "Морри" и на другие аналогичные (об одном таком случае см. здесь [20]): основная цель исследования состоит в установлении всех возможных различных окончательных в том или ином смысле видов решений поставленной задачи.
ФРсП: 9. Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных формул и метода Монте-Карло относительно меры Банаха.
ФРсП: 10. Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных формул и метода Монте-Карло относительно мер, определенных безгранично делимыми распределениями.
Продолжение: соединение численного интегрирования и теории вероятностей в двух проявлениях.
ФРсП: 11. Как вспышка молнии 29 февраля 1988 года возник мощный метод построения квадратурных формул, основанный на теории дивизоров поля гауссовых чисел: соединение теоремы Ферма-Эйлера 1747 года доказательства с численным интегрированием.
ФРсП:13. Создан мощный (быть может, сильный из всех известных) метод численного интегрирования и восстановлении функций на основе применения теории дивизиров Куммера, относящегося к самым выдающимся достижениям математики XIX века, как распространения на многомерный случай теоремы Ферма-Эйлера 1747 года доказательства (в этом также состоял ранее незамеченный исторический факт).
Дано в определенном смысле полное решение известной проблемы построения эффективных алгоритмов для нахождения сеток Коробова в квадратурных формулах с равными весами.
ФРсП: 14. Представлено сочетание теоретико-вероятностного подхода к задаче численного интегрирования с теоретико-числовым методом построения квадратурных формул.
ФРсП: 16. На основе конкретизации общей теоремы Колмогорова о продолжении меры даны эффективные методы построения вероятностных мер на классах Никольского-Бесова, Никольского- Бесова-Аманова, Коробова и Соболева с ограниченным потенциалом различных применений в разных задачах как соединение теории функций с теорией вероятностей.
ФРсП: 17. На основе результатов П. Л. Ульянова (1990г. ) определены новые классы функций, представляющие классификацию функций в широком диапазоне от предельно малой гладкости через известные классы Коробова до аналитических и их подклассов.
В качестве применения новой шкалы классов даны оценки погрешностей в них квадратурных формул Смоляка, полученных применением тензорных произведений функционалов.
ФРсП: 18. Показана действенность нового понятия "Информативной мощности данного набора функционалов" в случае всех возможных линейных функционалов в задаче восстановления функций из классов Соболева, Никольского и Бесова на основе нового мощного метода построения экстремальных функций.
ФРсП: 21. "Компьютерный (вычислительный) поперечник" (К(В)П) как казахская схема Научных вычислений с неисчерпаемым потенциалом продолжений.
В математике объект, описывающий что-то реальное, понимается как сложный и его с заданной точностью заменяют в том или ином смысле простым.
В зависимости от поставленных целей такие задачи образуют разделы математики, именуемые
"Численный анализ" и "Теория приближений", к основным понятиям которых относится, в частности, понятие "поперечника".
Разные поперечники решают разные задачи, мы предложили "Компьютерный (вычислительный) поперечник" (К(В)П), нацеленный на отыскание наилучших вычислительных агрегатов для реализации на компьютерах. Последовательно решаются две оптимизационные задачи – два абсолюта: нахождение точного (истинного) порядка восстановления по точной информации и построение экстремального вычислительного агрегата с установлением предельной погрешности получения приближенной информации с сохранением истинного. И, наконец, это в – третьих, на возможно большем множестве вычислительных агрегатов с тем же экстремальным свойством выясняется наличие или отсутствие таковых с большего порядка предельной погрешностью.
Долго, порядка десяти лет, в математическом мире наши идеи, как и все новое, воспринималось с настороженностью, но наши публикации в разных ведущих журналах есть свидетельство того, что признание пришло и мы на правильном пути (как нам сказал один профессор МГУ "Верной дорогой идете, товарищи!").
В постановке К(В)П-задачи требуется точная теорема вложения и, как часто оказывается, это можно воспринимать как принцип, неулучшаемое условие вложения даёт правильный порядок восстановления по точной информации.
В статье для классов Hpω этот принцип подтверждается с практической рекомендацией: если восстановление производится в Lq метрике с 1 ≤ p < q < ∞, то, по П. Л. Ульянову, лучшей чем частичные суммы Фурье-Хаара, если же в равномерной, но лучше вычислительного агрегата Осколкова не существует. И это справедливо для для каждой функции f(x) из Lp(0,1), – достаточно в качестве ω(δ) взять ωp(δ;f).
Продолжение – неограниченное, на все будущие времена.
15
ФРсП: 22. Численное интегрирование – "К основным математическим моделям относится понятие интеграла – одна из центральных и постоянно повторяющихся тем в истории математики за последние два тысячелетия. Ю. И. Манин".
При выполнении Проекта "Манхеттен" по созданию атомной бомбы в США возникла проблема вычисления интегралов высокой кратности и построения равномерно распределенных сеток (впоследствии оформленного в "метод Монте-Карло"), – занимался Иохим фон Нейман. То же повторилось при создании китайского ядерного оружия, занимались Вице-президент АН КНР Хуа Ло-Кен и академик АН КНР Вань Юань.
В СССР исследования проводились в научной школе Н. М. Коробова, по-видимому, самой успешной как в теоретическом, так и в вычислительном аспектах.
И так можно продолжить, например, большое количество статей выдающегося математика Эдмунда Хлавки и его школы (Австрия, ФРГ).
И все-же, несмотря на тысячи и тысячи статей и десятки монографий проблема решена не была, так в американском журнале "Contemporary Mathematics" академик АН КНР Вань Юань писал (1988 год): "По-видимому, одной из центральных проблем в численном интегрировании является нахождение прямых методов для получения оптимальных коэффициентов". В последнее время этот раздел математики относят к направлению "Научные вычисления".
Дано полное теоретическое решение проблемы, сформулированной Вань Юанем.
ФРсП: 24. Дано алгоритмические решение проблемы, сформулированной Вань Юанем. Для сравнения: вычислительные результаты знаменитой школы Н. М. Коробова, опубликованные в знаменитом Институте общей физики АН СССР (1990 г. ) мы существенно улучшаем в [24]: миллион точек и точность 10−12 школы Коробова мы снижаем до полумиллиона точек, одновременно повышая точность до 10−13 (для ориентировки 10−9 метра есть нанометр).
Теперь по всему миру ищем опубликованные таблицы вычислений, чтобы проверить мощь нашего метода – сидим в Астане и уверены, что в том же смысле улучшим.
ФРсП: 25. В 1963 году в Докл. АН СССР была опубликована статья, повлекшая много публикаций;
эта тема на Западе именуется как "Метод Смоляка". Нами был вскрыт механизм действия этого метода и в [25] на 42 страницах текста дано полное исследование одной самой популярной его реализации в виде квадратурной формулы.
ФРсП: 27. Введено (в начальном варианте в 2003 году в [17]) новое понятие "Тензорные произведения функционалов", на основе которой получены новые формулы переноса известного на данном количестве переменных на большие размерности. Показаны их вычислительные применения.
Продолжение: в конкретных реализациях имеет неограниченный потенциал получения новых вычислительных результатов в интегрировании, дифференцировании, решении уравнений в частных производных.
ФРсП: 29. Найдены точные порядки дискретизации в Lq- метрике решений уравнения теплопроводности с начальными условиями из классов Соболева вычислительными агрегатами, построенных по информации, полученных от всех возможных линейных функционалов.
Здесь раскрываются новые грани К(В)П-подхода, связанные с двумя и более начальными условиями.
ФРсП: 31. В данной работе исследуется задача дискретизации решения задачи Коши для волнового уравнения с начальными условиями из обобщенных классов Соболева. Найден точный порядок погрешности дискретизации решений волнового уравнения по линейной информации, при этом полученные совпадающие по порядку оценки сверху и снизу представлены средними функциями конечных систем функций типа модуля гладкости, определяющих свойства функций из рассматриваемых классов.
В 1972 году В. И. Колядой были определены средние модули гладкости конечной системы модулей гладкости, определяющих анизотропные классы функций. Как оказалось, вопреки ожиданиям, средние модули гладкости, за исключением регулярных случаев, не могут полностью выражать неулучшаемые критерии вложения анизотропных классов.
Помимо самостоятельного интереса в задачах приближенного решения уравнений в частных производных, результаты данной статьи интересны тем, что определяются средним модулем гладкости в определении анизотропного обобщенного класса Соболева (при определенных условиях на составляющие модули гладкости).
ФРсП: 32. В теорию численного интегрирования внесено новое неожиданное понимание. Обычно от сетки эффективной квадратурной формулы требуется точная в степенной шкале скорость убывания дискрепанса её сетки узлов. Как оказалось, степень равномерной распределенности сетки, в том числе и сетки Смоляка, может быть очень плохой, но посредством подбора весов можно получить эффективную квадратурную формулу.
Более подробно место полученных результатов в контексте международной математики- информатики и дальнейшие перспективы их развития изложены в Обзорах – Темиргалиев Н. (см.
[60-63]).
ФРсП: 33. В модельной ситуации – в гильбертовой метрике – решена задача нахождения предельной погрешности восстановления функций и решений уравнения Клейна-Гордона по неточной информации, полученной от произвольного конечного набора тригонометрических коэффициентов Фурье. Такого рода исследование, это полное К(В)П, с этим уравнением ранее не проводилось.
ФРсП: 34. В статье исследованы три конкретизации Компьютерного (вычислительного) поперечника – дискретизации решений волнового уравнения, численное дифференцирование и восстановление функций. Получены точные порядки, новые выводы типа "Интерполяционные многочлены Лагранжа наилучшие, если их менять правильно, - а именно в форме сплайнов".
ФРсП: 35. Для всякой периодической функции любого числа переменных с абсолютно сходящимся тригонометрическим рядом Фурье предложен общий алгоритм численного интегрирования, использующий индивидуальные свойства подынтегральной функций, что есть самый широкий метод из возможных в принципе. Тем самым, полученный результат можно понимать как завершающий (частично анонсированные в [21-22, 24]) по международно развиваемым теоретико-числовым методам приближенного вычисления интегралов высокой размерности, основы которой были заложены на семинаре Н. С. Бахвалова, Н. М. Коробова и Н. Н. Ченцова ("Трех Коль" как тогда говорили), начавшем работать в 1957 году в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР в Отделе теории чисел.
После работ о применении теоретико-числовых сеток к вопросам приближенного интегрирования, опубликованных в СССР в 1957-1959гг. , эти исследования были продолжены многими математиками как внутри страны, так и вне, результаты которых подытожены, наряду с монографиями Н М. Коробова 1963 и 2004 годов в монографиях Э. Хлавки, Хуа ло-кена и Вань Юаня, Л. Кейперса и Г. Нидеррейтера, в последующих многотысячных публикациях.
В данной работе дано решение сформулированной Вань Юанем (см. здесь п. 22 и 24) известной задачи в общем виде.
С. М. Ворониным и одним из авторов этой статьи в 1988 году был предложен метод, основанный на применении теории дивизоров в круговых полях алгебраических чисел, позволяющий в выражении погрешности учесть и устранить каждый "большой" коэффициент Фурье класса с одновременным разрежением спектра остальных коэффициентов. Дальнейшее развитие этой идеи показало, что данный алгоритм представляет собой гибкий метод построения квадратурных формул с учетом индивидуальных особенностей каждого класса периодических функций.
В статье дан алгоритм численного интегрирования произвольных функций, представимых в виде суммы абсолютно сходящегося кратного тригонометрического ряда Фурье (фактически, ввиду возможности периодизации, произвольной функции, причем с оптимизацией в прямой связи с ее индивидуальными свойствами). Получающиеся квадратурные формулы имеют равные веса, а узлы образуют сетку Коробова, которая полностью определяется заданием двух целых положительных чисел, одно из которых – количество узлов. Показано, что в случае классов функций с доминирующей смешанной гладкостью данный алгоритм почти оптимальный в том смысле, что сетка из N узлов находится за << Nln lnN элементарных арифметических операций. Также даны решения смежных задач.
Интерес к рассмотрению квадратурных формул Коробова, приспособленных к общему множеству
"больших коэффициентов", вызван следующими обстоятельствами.
Во-первых, квадратурные формулы Коробова относятся к наиболее эффективным с вычислительной точки зрения как имеющие равные веса и, об этом говорилось выше, в сверхэкономном хранении сетки узлов, вне зависимости от их количества, в памяти ЭВМ, для чего требуются всего (s+ 1) целых чисел.
Во-вторых, в случае интегрирования функций из классов, спектры "больших коэффициентов"
которых есть "гиперболические кресты", соответствующие сетки узлов одновременно составляют содержание отдельной темы "Метод квази-Монте Карло".
В-третьих, в "общем случае" спектров "больших коэффициентов" как индивидуальной функции, так и функционального класса поиск сетки узлов сводится к проблеме из "Геометрии чисел", заключающегося в построении решетки с минимальным определителем, строки которых составлены из координат ее базисных векторов, имеющем пересечение с заданным множеством самое большее по нулевому элементу.
В-четвертых, квадратурные формулы Коробова обладают свойством ненасыщаемости (по крайней мере в шкале классов функций с доминирующей смешанной гладкостью).
17
