• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

41 1.2.3 Бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуі………...47 2 ҚҦРАҚ-ТҦРАҚТЫ АРГУМЕНТТІ СИНГУЛЯРЛЫ АУЫТҚЫҒАН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "41 1.2.3 Бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуі………...47 2 ҚҦРАҚ-ТҦРАҚТЫ АРГУМЕНТТІ СИНГУЛЯРЛЫ АУЫТҚЫҒАН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР"

Copied!
93
0
0

Толық мәтін

(1)

әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

ӘОЖ 517.983: 517.986 Қолжазба құқығында

МИРЗАКУЛОВА АЗИЗА ЕРКОМЕКОВНА

Үзіліссіз және құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған теңдеулер

6D060100 – Математика

Философия докторы (PhD)

дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация

Отандық ғылыми жетекшісі:

ф.-м.ғ.д., профессор Дауылбаев М.Қ., (әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық

университеті, Қазақстан) Шетелдік ғылыми жетекшісі:

ф.-м.ғ.д., профессор Ахмет М.У.

(Орталық шығыс техникалық университеті, Түркия)

Қазақстан Республикасы Алматы, 2017

(2)

2

МАЗМҦНЫ

КІРІСПЕ ... 3

1 ҤЗІЛІССІЗ АРГУМЕНТТІ СИНГУЛЯРЛЫ АУЫТҚЫҒАН ИНТЕГРАЛДЫ-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... 16

1.1 Үлкен туындыларының алдында кіші параметрі бар жоғарғы ретті интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі ... 16

1.1.1 Коши есебі шешімінің асимптотикалық бағалауы ... 16

1.1.2 Ауытқымаған есебінің шешімділігі ... 22

1.1.3 Коши есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуі ... 28

1.2 Сингулярлы ауытқыған интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есеп ... 34

1.2.1 Бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің асимптотикалық бағалауы...34

1.2.2 Ӛзгертілген ауытқымаған есеп ... 41

1.2.3 Бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуі………...47

2 ҚҦРАҚ-ТҦРАҚТЫ АРГУМЕНТТІ СИНГУЛЯРЛЫ АУЫТҚЫҒАН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ... 61

2.1 Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты дифференциалдық теңдеулер ... 61

2.1.1 Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебінің шешімінің асимптотикалық сипаты…. ... 61

2.1.2 Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуі ... 74

2.2 Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты емес дифференциалдық теңдеулер ... 79

2.2.1 Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты емес дифференциалдық теңдеулер үшін Тихонов теоремасы ... 79

ҚОРЫТЫНДЫ ... 84

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... 86

(3)

3 КІРІСПЕ

Диссертация тақырыбының өзектілігі. Жоғарғы туындысының алдында кіші параметрі бар дифференциалдық және интегралды- дифференциалдық теңдеулердің кәделі маңызы бар. Олар физика, химия, биология және техникадағы әртүрлі құбылыстарды зерттеуде математикалық модель ретінде қарастырылады. Мұндай теңдеулер қазіргі уақытта сингулярлы ауытқыған теңдеулер деп аталады. А.Пуанкаре және А.Ляпуновтың классикалық жұмыстарынан бастап теңдеудің оң жағы кіші параметрден регулярлы (үзіліссіз, тегіс, аналитикалық) тәуелділікте болатын регулярлы деп аталатын жағдай түпкілікті зерттелді. Ол жағдайда кіші параметрдің қандай да болмасын кіші мәнінде бұл теңдеудің шешімі үшін оған жақын болатын, параметрдің нӛлдік мәніне сәйкес келетін теңдеудің шешімі табылады. Бұл жағдаймен салыстырғанда параметрдің теңдеуге регулярлы түрде енетіні туралы шарт орындалмаған кезде болатын сингулярлы деп аталатын жағдай әлдеқайда сан алуан және күрделі болып табылады. Алғаш рет сингулярлы ауытқыған есептерді зерттеп білудің кәделі маңыздылығына және олардың жаратылыстанудың математикалық модельдерінің арасында міндетті түрде пайда болатынына 1904 жылы ӛзі дамытқан гидродинамикадағы шекаралық қабат теориясына байланысты Прандтль назар аударған болатын. Сингулярлы ауытқыған теңдеулер С.Хайкин, Л.И.Гутенмахер, И.С.Градштейн, К.Фридрихс, В.Вазов, Н.Левинсон [1,2] және т.б. секілді бір топ ғалымдар қатарының назарына іліккен еді. Бұл назардың тек қана жай қызығушылықтан ғана емес, мысалы аналогтық есептеу құрылғыларын жинастыру секілді сол кездегі ӛзекті нақты кәделі мәселелермен ынталандырылып отырғанын баса атап ӛткеніміз жӛн. Сингулярлы ауытқыған сызықты дифференциалдық теңдеулер саласында алғашқы нәтижелерді алған Шлезингер, Бирхгоф, кейінірек Нуайон, Тамаркин, Лангер, Нагумо [3-8] және т.б. болатын. Сингулярлы ауытқыған теңдеулерді кӛптеген математиктердің жүйелі түрде зерттеуі А.Н.Тихоновтың сызықты емес жай дифференциалдық теңдеулерге арналған Коши есебінің шешімінде шекке кӛшу туралы іргелі және кең танымал теоремаларының [9-11]

дәлелденуінен басталды. Қазіргі уақытта әр түрлі сингулярлы ауытқыған есептердің жуық түрде шешімін құруға мүмкіндік беретін асимптотикалық әдістер қатары дамыды. ВКБ, Лангер әдісі, ұластырып жіктеу әдісі, Лайтхилл әдісі және басқа да әдістер пайда болды. Л.А.Люстерник пен М.И.Вишиктің, А.Б.Васильева мен М.И.Иманалиевтің зерттеулерінің нәтижесінде шекаралық функциялар әдісі [12-20] құрылды. С.А.Ломов ӛзінің сингулярлы ауытқуларды регуляризациялау әдісін [21] ойлап тапты. Ю.А.Митропольскийдің [22], В.М.Волосов, Н.И.Шкильдің және басқаларының [23,24] еңбектерінде Крылов – Боголюбовтың асимптотикалық әдісі ары қарай дамытылды. Л.С.Понтрягин, Е.Ф.Мищенко және Н.Х.Розовтардың [25,26] жұмыстарында жұлу нүктелерінің маңында қозғалыстың сипаты зерттелді және релаксациялы тербеліс периодының асимптотикалық формуласы алынды. Осындай зерттеулер алыс

(4)

4

шет елдерде де жүргізіледі (В. Вазов, Б.О.Мали, К.Чанг, Ф.Хауэс, А.Найфэ, Ван Дайк және басқалары [27-31]).

Кейбір сингулярлы ауытқыған есептерді зерттеу кезінде шешімнің z(t,) жылдам айнымалысының облыс шекарасының маңында  0 кезде

 )

0(

z мәнін қабылдайтынын байқауға болады. Бастапқы секірісті Коши есебі деп аталатын мұндай есепті алғаш рет екінші ретті сызықты емес жай дифференциалдық бір теңдеу үшін Л.А.Люстерник пен М.И.Вишик [14, б.3]

қарастырды. Бастапқы секірісті Коши есебінің жалпы жағдайларын Қ.Ә.Қасымов [32-37] зерттеді. Бастапқы секіріс құбылысының түсінігін келтірейік. Егер кесіндінің қандай да бір нүктесінде (мысалы, бастапқы нүктеде) сингулярлы ауытқыған есеп шешімнің мәні ауытқымаған есеп шешімінің мәнімен сәйкес келмесе және кіші параметр нӛлге ұмтылғанда шешімнің жылдам айнымалысының мәні шексіз ӛспелі болса, онда сингулярлы ауытқыған есеп шешімі бастапқы секіріс құбылысына ие болады. Бұл жағдайда бастапқы секіріс құбылысы орын алатын шекаралық нүкте сингулярлы ауытқыған есеп шешімінің бастапқы секіріс нүктесі деп аталады, ал бастапқы секіріс нүктесіндегі сингулярлы ауытқыған есеп шешімі мен сәйкес ауытқымаған есеп шешімінің мәндерінің айырымы бастапқы секіріс шамасы деп аталады. Бастапқы секірісті сингулярлы ауытқыған есептердің бастапқы секіріс құбылысы жоқ сингулярлы ауытқыған есептерге тән емес арнайы ерекшеліктері болады.

Атап ӛтетіні, Қазақстандағы және шет елдердегі сингулярлы ауытқыған теңдеулер бойынша математикалық мектептер бастапқы және шекаралық секірістер құбылыстары жоқ шеттік есептерді ғана зерттейді. Біздің дифференциалдық және интегралды-дифференциалдық теңдеулерге арналған бұрынғы жұмыстарымызда [38-45] орнықтылық шарты орындалатын жағдайда бастапқы секірісті Коши есебіне эквивалентті шеттік есептер қарастырылған болатын.

Құрақ-тұрақты аргументті теориялық және практикалық есептерін жүйелі түрде зерттеу 80 жылдардың басында басталды. Содан бері, математика, биология, инженерлік және басқа салалардағы зерттеушілер құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулерге басты назар аударды. Алғаш рет 1982 жылы Бузенберг және Кук [46] құрамында құрақ-тұрақты аргументі бар математикалық модельді қарастырды. Олар жұқпалы ауруларды зерттеу кезінде бірінші ретті сызықты теңдеулерді қарастырды. Осы жұмыс негізінде, айырымдық теңдеулер үшін редукция тәсілімен кӛптеген авторлар құрақ- тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулердің алуан түрлерін талдады.

Осындай теңдеулерді терең зерттеулер Кук, Винер [47] және Шах, Винер [48] жұмыстарында шешімнің бар болуы және жалғыздығы, асимптотикалық сипаты, периодты және тербелісті шешімдері, жуықтау, басқару теориясын қолдану, биомедициналық модельдер және математикалық физика есептері келтірілген.

К.Кук және оның серіктес авторлары жұмыстарында келесі типтегі құрақ- тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулерді қарастырған:

(5)

5

])), ([

), ( , ) (

( f t x t x t dt

t

dx  (1) немесе

])), 2 / ) 1 [(

2 ( ), ( , ) (

(  f t x t x tdt

t

dx (2) мұндағы tR, xRn және ][ ең үлкен бүтін функция. Осындай теңдеулерді зерттеулер гибридті үзіліссіз және дискретті жүйелерді сипаттау және осылайша дифференциалдық және айырымдық теңдеулердің қасиеттерін біріктіру болып табылады. (1),(2) теңдеулері гибридті үзіліссіз/ дискрет уақытты жүйелер деп аталады. Шынында да, (1) теңдеуін қарастырсақ, (2) теңдеуі (1) теңдеуімен ұқсас сипатталады. Жүйе үшін дискретті уақыттар тізбегі kk, kZ бүтін сандардың тізбегі болатынын оңай кӛруге болады.

Егер f(t,x,w) функциясын қарастырсақ, онда wx([t]) оң жақты шеткі нүктесі кірмейді. Уақыт динамикасы үзіліссіз, сондай-ақ дискретті болып табылады.

Дискретті динамика k1 k 1, 0 0 теңдеуі арқылы анықталады.

В.Лакшмихантам және Дж.Винер [49] жұмыстарында ) 0

0 ( ))), ( ( ), ( ( )

(t f x t x g t x x

x   (3) бастапқы есебі үшін шешімнің бар болу және жалғыздығы туралы теореманы дәлелдеген, мұндағы f үзіліссіз функция және g:[0,)[0,), g(t)t баспалдақ функция, яғни ол тұрақты және әрбір [tn,tn1) жартылай интервалда

) (tn

g -ға тең, ал {tn} тізбегі шегі 

n

n t

lim болатын қатаң ӛспелі нақты сандардың тізбегі.

Жоғарыда аталған нәтижелердің теориялық потенциалы құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулерді редукция тәсілімен айырымдық теңдеуге келтірумен анықталады[50]. Редукция тәсілін кӛрсету үшін қарапайым мысал келтіреміз.

Мысал. Келесі түрдегі бастапқы есебін қарастырамыз:

) 0

0 ( ]), ) ([

( ax t x x

dt t

dx   (4) мұндағы a нақты сан, x0 бекітілген нақты сан. Егер t[0,1] болса, онда (4) теңдеуі

ax0

dt dx

түрінде болады, демек, x(t)x0(1at), x(1)x0(1a). Осы жолды жалғастыра отырып,

0 ,

) 1 ( ) 1

(k  x0a k

x k (5)

(6)

6

теңдігін аламыз. (4) теңдеуін (5) негізінде талдау айырымдық теңдеулердің редукция әдісінің мәні болып табылады.

Соңғы екі онжылдықта ғалымдар жасушалық нейрондық желілерге басты назар аударды [52-56]. Бузерум және Пинтер [57] жұмысында психофизика, сӛйлеу, қабылдау, роботтехника, бейімдейтін суретті тану, кӛру және кескінді ӛңдеуде ерекше рӛл атқаратын маневрлік ингибиторлық жасушалық нейрондық желілерді келтірді. Осындай нейрондық желілер үшін ең негізгі тақырыбы - дерлік периодты шешімнің бар болуы. Бұл мәселе белсендірілген функциялардың әр түрлі типтерінің модельдері үшін зерттелді [58-60].

Жалпыланған құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулер туралы кеңейтілген мәліметтерді [61] кітабынан табуға болады. Құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулердің ішкі класы ретінде құрақ-тұрақты аргументі ең үлкен еселі бүтін функция болатын теңдеулер алынған [62-64].

Нейрондық желілер үшін құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулер негізгі математикалық модель болып табылады. Зерттеулерде [65-67]

авторлар құрақ-тұрақты аргументті теңдеулерді пайдаланды. [68] жұмыста жалпыланған типті құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулер келтірілген. Осы жұмыста тек қана аргумент функцияны максимальды жалпылаған жоқ, сонымен бірге құрақ-тұрақты аргументті теңдеулерді шешудің “интегралдық теңдеулерге келтіру тәсілі” ұсынылды. Осы тәсіл негізінде сызықты емес жүйелерді талдауға болады, яғни дискретті уақыт моменттеріндегі сызықты емес жүйелердің шешім мәндеріне қатысты, мұнда аргумент ӛзінің тұрақтылығын ӛзгертіп отырады. Осы тәсілдің тиімділігінің екі негізгі себебі бар: біріншіден, сызықты емес немесе уақыттың дискретті моменттеріне қатысты сызықты емес жүйелерді зерттеуге болады. Құрақ- тұрақты аргументті теңдеулер үшін негізгі және бірегей талдау тәсілі дискретті айырымдық теңдеулерге келтіру тәсілі болып табылады, демек, тек сол теңдеулер қарастырылады, мұнда дискретті моменттердегі шешімнің мәндері сызықты болады. Екіншіден, біз тек бастапқы моменттерге ғана емес, сонымен қоса кез келген таңдалған үзілісті моменттердегі шешімнің бар болуы мен орнықтылығын талдай аламыз.

Жалпыланған типті құрақ-тұрақты аргументті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуді алғаш болып [69,70] жұмыстарында М. Ахмет ұсынған болатын. Қазіргі уақытта бұл теңдеулер кең таралды және теориясының негізі қаланды. М.Ахмет құрған теорияның шеңберінде кӛптеген жұмыстар жазылды.

Теориялық тұрғыда, бұл шенелген шешімнің бар болуы теоремаларына, периодты, периодты дерлік шешімдерге, экспоненциалды дихотомияға, интегралдық беттерге, математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулеріне және т.б. қатысты. М.Ахмет алған нәтижелердің қолданылуы жӛнінде нейрондық жүйелер саласындағы зерттеулер бойынша кӛптеген жұмыстарды атап ӛтуге болар еді [71-88]. Кӛрсетілген мақалаларда М.Ахметтің мақалаларына, кітаптарына тікелей сілтеме келтірілген және жаңадан кіргізілген теңдеулердің, оларды зерттеулердің теориялық және қолданбалы жетістіктері берілген.

(7)

7

Зерттеу жұмысының практикалық маңызы ғылыми зерттеулердің физикада: мысалы, жылудың жұқа денелерде таралуы (жұқа дене ретінде жұқа стерженьді, жұқа пластинаны алуға болады, стержень қалыңдығының оның ұзындығына қатынасы кіші параметр болады), техникада: мысалы, жартылайӛткізгіш приборлар теориясында (бұл жағдайда диэлектрикалық ӛтімділіктің электрон зарядына қатынасы кіші параметр ретінде алынады), химияда: автокаталитикалық реакция жағдайында жану үрдісі (үлесті жылусыйымдылығы мен жылуӛткізгіштік коэффициентінің кӛбейтіндісінің реакцияның жылу әсеріне қатынасы кіші параметр болады) және механикада:

мысалы, аз тұтқырлы ортада және басқа да әртүрлі физикалық, химиялық және техникалық үрдістерде қолданыс табуы болып табылады. Шешімнің асимптотикалық жіктеулері механика, физика және техниканың кәделі есептерін шешуде қолданылатын сандық әдістерді іске асырарда бастапқы жуықтаулар ретінде жарамды болады. Жалпыланған типті құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулерді зерттеулердің практикалық маңызы, біріншіден, кӛп жұмыстарда сипатталған сингулярлығымен және екіншіден, қолданыстағы ролі [61, б.6] кітабында сипатталған құрақ-тұрақты аргументтің бар екендігімен анықталады.

Зерттеудің негізгі мақсаты – үзіліссіз аргументті сингулярлы ауытқыған жоғарғы ретті интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есебі және Коши есебін және құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін зерттеу.

Зерттеу объектісі: үзіліссіз аргументті сингулярлы ауытқыған жоғарғы ретті интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есебі және Коши есебі және құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі.

Зерттеудің пәні: сингулярлы ауытқыған шекаралық есеп және Коши есеп шешімінің асимптотикалық сипатын, шешімнің асимптотикалық бағалауын алу және кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешім құру.

Зерттеу әдістері. Жұмыста шекаралық функциялар әдісі, сонымен бірге құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін редукция тәсілі қолданылды.

Зерттеу есебі:

 үзіліссіз аргументті nmретті үлкен туындыларының алдында кіші параметрі бар интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебінің шешімінің асимптотикалық бағалауын және қойылған Коши есебіне сәйкес ауытқымаған есебін анықтау. Ауытқымаған есебінің шешімділігін кӛрсету.

Шектік кӛшу теоремасын дәлелдеу. Коши есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуін кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен табу алгоритмін кӛрсету;

 үзіліссіз аргументті үшінші ретті жоғарғы туындыларының алдында кіші параметрі бар интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есебінің шешімінің секіріс нүктелеріндегі асимптотикалық

(8)

8

сипатын және қойылған шекаралық есебіне сәйкес ӛзгертілген ауытқымаған шекаралық есебін анықтау. Шешімнің және интегралдық мүшенің бастапқы секірістерін анықтайтын формула қорыту. Шектік кӛшу теоремасын дәлелдеу.

Кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешімін құру;

 құрақ-тұрақты аргументті екінші ретті сызықты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің аналитикалық формуласын және асимптотикалық сипатын, қойылған Коши есебіне сәйкес ауытқымаған есебін анықтау. Шектік кӛшу теоремасын дәлелдеу. Коши есебі шешімінің асимптотикалық жіктелуін кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен табу алгоритмін кӛрсету;

 құрақ-тұрақты аргументті сызықты емес сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі үшін Тихонов (шектік кӛшу) теоремасын дәлелдеу.

Ғылыми жаңалығы. Үзіліссіз аргументті nm ретті үлкен туындыларының алдында кіші параметрі бар интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебінде

 қойылған Коши есебі шешімінің аналитикалық формуласы және шешімнің асимптотикалық бағалауы алынды;

 стандартты емес ауытқымаған есебі шешімділігі, яғни ішкі дифференциалдық оператордың реті сыртқы дифференциалдық оператордың ретінен үлкен болатындығы;

 шешімінің асимптотикалық жіктелуін кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен табу алгоритмі құрылды.

Үзіліссіз аргументті үшінші ретті жоғарғы туындыларының алдында кіші параметрі бар интегралды-дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есебінде

 берілген кесіндінің екі жақ шетінде шекаралық қабаттың болатындығы;

 шешімнің шексіз ӛспелі болатындығы салдарынан кесіндінің екі жақ шетінде әр түрлі реттегі бастапқы секірістердің болатындығы;

теңдеудің оң жағында интегралдық мүшенің бастапқы секірісі деп аталатын қосымша белгісіз функцияның пайда болуы салдарынан ауытқымаған интегралды-дифференциалдық есептің дәстүрлі түрде болмайтындығы, яғни ауытқымаған интегралды-дифференциалдық есеп қарастырылып отырған сингулярлы ауытқыған интегралды-дифференциалдық теңдеуден параметрдің нӛлге тең мәнінде алынбайды. Бұл жағдайда ауытқымаған интегралды- дифференциалдық шекаралық есеп ӛзгертілген болады: теңдеудің оң жағында интегралдың бастапқы секірісі пайда болады. Онсыз дәстүрлі ауытқымаған шекаралық есеп шектік бола алмайды. Жұмыста осы ӛзгертілген ауытқымаған есептің интегралдық бастапқы секірісі анықталған.

Құрақ-тұрақты аргументті екінші ретті сызықты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебінде

 редукция әдісін қолданып, бастапқы есебінің шешімінің аналитикалық формуласы алынды және асимптотикалық сипаты кӛрсетілді;

 шектік кӛшу теоремасы дәлелденді;

(9)

9

 кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешім құру алгортмі кӛрсетілді.

Құрақ-тұрақты аргументті сызықты емес сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебінде

шекаралық қабатты бӛлігінде “ӛркеш” құбылысының бар болатындығы;

қойылған бастапқы есебінің жуық шешімі алынды.

 шешімнің симуляциясы келтірілді.

Зерттеудің теориялық және тәжірибелік маңыздылығы. Зерттеу жұмысы теориялық сипатқа ие. Алынған нәтижелер физика, химия, биология, механика, электроника, басқару теориясы, нейрондық желілер, аурулардың биомедициналық модельдері ретінде және сингулярлы ауытқыған теңдеулерді зерттеу барысында қолданылады. Сонымен қоса, студенттер, магистранттар мен докторанттарға сингулярлы ауытқыған теңдеулер бойынша арнайы курс оқу кезінде пайдалануға болады.

Қорғауға шығарылатын негізгі мәселелер. Зерттеу жұмысының нәтижелері бойынша қорғауға шығарылатын негізгі мәселелер:

10 m үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар nm ретті сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі шешімінің аналитикалық формуласы мен асимптотикалық бағалауын алу;

20 m үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар nm ретті сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебіне сәйкес стандартты емес ауытқымаған есебін анықтау және ауытқымаған есебінің шешімділігін кӛрсету;

30 m үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар nm ретті сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебінің шешімі сәйкес стандартты емес ауытқымаған есебінің шешіміне ұмтылатынын кӛрсету, яғни шектік кӛшу теоремасын дәлелдеу;

40 m үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар nm ретті сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебінің шешімінің кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешімін құру;

50 Екі үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің аналитикалық формуласы мен асимптотикалық бағалауын алу;

60 Екі үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы секірісті шекаралық есебіне сәйкес ӛзгертілген ауытқымаған есебін анықтау;

70 Бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің және интегралдық

мүшесінің бастапқы секірістерін анықтайтын формуланы қорыту;

80 Екі үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы

(10)

10

секірісті шекаралық есебінің шешімі сәйкес ӛзгертілген ауытқымаған есебінің шешіміне ұмтылатынын кӛрсету, яғни шектік кӛшу теоремасын дәлелдеу;

90 Екі үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы секірісті шекаралық есебінің шешімінің кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешімін құру;

100 Құрақ-тұрақты аргументті екінші ретті сызықты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің аналитикалық формуласын және асимптотикалық сипатын алу;

110 Құрақ-тұрақты аргументті екінші ретті сызықты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебіне сәйкес ауытқымаған есебін анықтау;

120 Құрақ-тұрақты аргументті екінші ретті сызықты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешімін құру алгоритмін кӛрсету;

130 Құрақ-тұрақты аргументті сызықты емес сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі үшін Тихонов теоремасын дәлелдеу.

Жұмыста барлық теориялық нәтижелер математикалық түрде дәлелденді және теоремалар түрінде тұжырымдалды.

Алынған нәтижелерді апробациялау. Диссертацияның негізгі нәтижелері келесі орындарда тыңдалды және талқыланды:

халықаралық ғылыми конференция «The 3rd International Conference on Complex Dynamical Systems & Their Applications» (Ankara, Turkey, November 24-26, 2014) [89],

халықаралық ғылыми конференция «Функциялар теориясы, функционалдық анализ және олардың қолданылулары» (Алматы, Қазақстан, 9- 10 желтоқсан, 2014) [90],

халықаралық ғылыми конференция «VII Халықаралық ғылыми конференция» (Ақтӛбе, Қазақстан, 8-9 қазан 2015) [91],

халықаралық ғылыми конференция «Дифференциалдық теңдеулер, функциялар теориясы, есептеу математикасы және оның қолданылулары»

(Алматы, Қазақстан, 10-12 желтоқсан, 2015) [92],

халықаралық ғылыми конференция «Third International Conference on Analysis and Applied mathematics» (Almaty, Kazakhstan, september 7-10, 2016) [93],

халықаралық ғылыми конференция «The 5th Abu Dhabi University Annual International Conference Mathematical Science and its Applications» (Abu-Dhabi, april 20-22, 2017) [94].

Ғылыми тағылымдамалар. Диссертация тақырыбы бойынша негізгі ғылыми нәтижелер мен қорытындылары 14 ғылыми жұмыстарда жарияланды, олар қосымшада кӛрсетілген. Оның 5-і ҚР БжҒМ Білім және ғылым саласындағы бақылау комитеті ұсынған журналдарда [95-99], 2-і Scopus

(11)

11

жүйесіне кіретін журналдарда [100,101], 1 жұмыс импакт факторы нӛлдік емес шетелдік журналда [102], 6 жұмыс Қазақстанда және алыс шет елдерде ӛткізілген Халықаралық ғылыми конференциялар материалдарында жарияланды.

Диссертацияның қҧрылымы мен көлемі. Диссертациялық жұмыс қазақ тілінде қолжазба түрінде жазылған, жұмыс кіріспеден, екі бӛлімнен, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, қорытындыдан тұрады. Жұмыс 93 беттен құралған.

Жҧмыстың қысқаша мазмҧны.

Кіріспе тақырыптың ӛзектілігі мен ғылыми жаңалығын, зерттеудің мақсатын, объектісі мен пәнін, зерттеудің есебін, қорғауға шығарылатын мәселелелерді және диссертациялық жұмыстың қысқаша мазмұнын қамтиды.

Бірінші бөлімде үзіліссіз аргументті сингулярлы ауытқыған интегралды- дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы секірісті шекаралық есебі мен Коши есебі қарастырылады.

1.1 бӛлімшеде үлкен туындыларының алдында кіші параметрі бар nm ретті сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін “қосымша сипаттаушы теңдеу” деп аталатын теңдеудің түбірлерінің барлығының таңбасы теріс болған жағдайында Коши есебі қарастырылды:

, ) , ( ) , ( )

( )

( )

(

1 0

1

0 1

0

) ( )

( )

(

 

m

r

n

k

m n

j

j j

k k r

n r n

rA t y A t y F t H t x y x dx

y

L   (6)

, 1 ,

0 , ) , 0

)(

(inm

y i  i (7) мұндағы  0кіші параметр, ал i, i0,nm1белгілі тұрақты шамалар,

. 1 ) ( 

t

An m (6),(7) есебіне ұқсас жай дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі [103] мақалада қарастырылды. (6) теңдеуіне сәйкес біртекті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі, бастапқы функциялары құрылып, асимптотикалық бағалаулары алынған. Осы бастапқы функциялардың кӛмегімен (6),(7) бастапқы есебі шешімінің аналитикалық формуласы алынып, Теорема 1.1 түрінде тұжырымдалды және дәлелденді.

Аналитикалық формуланың кӛмегімен шешімнің асимптотикалық бағалауы туралы Теорема 1.2 дәлелденді. Стандартты емес ауытқымаған есебінің шешімділігі туралы Теорема 1.3 дәлелденді. Шектік кӛшу туралы Теорема 1.4 тұжырымы алынды және дәлелденді. Кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешім құру алгоритмі кӛрсетіліп, алынған нәтижесі Теорема 1.5 түрінде тұжырымдалып, дәлелденді.

1.2 бӛлімшеде екі үлкен туындысының алдында кіші параметрі бар үшінші ретті сингулярлы ауытқыған сызықты интегралды-дифференциалдық теңдеу үшін «қосымша сипаттаушы теңдеу» деп аталатын теңдеудің түбірлерінің таңбасы әр түрлі болған жағдайында келесі түрдегі екінүктелі интегралды шекаралық есеп қарастырылды:

(12)

12









1

0 1

0

) ( 2

1 0

2y A (t)y A(t)y A (t)y F(t) H (t,x)y (x, )dx y

L

i

i

i

 (8)

, ) , 0

(  

y y(0,),



1

0 1

0

)

( ( , ) ,

) ( )

, 1 (

i

i

i x y x dx

a

y    (9) мұндағы  0кіші параметр, ал ,, белгілі тұрақты шамалар. (8),(9) есебіне ұқсас жай дифференциалдық теңдеу үшін шекаралық есебі [104]

жұмысында қарастырылды. Осы жұмыстағы шекаралық шарттар

) , (0, ) , (1, ) ,

0

( y y

y түрінде алынған. (8) теңдеуінің біртекті

сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі, Коши функциясы және шекаралық функциялары құрылған, олардың асимптотикалық сипаттары алынған. Осы функциялардың кӛмегімен (8),(9) бастапқы секірісті шекаралық есебі шешімінің аналитикалық формуласы алынып, Теорема 1.6 түрінде тұжырымдалды және дәлелденді. Теорема 1.6 кӛмегімен шешімнің асимптотикалық бағалауы туралы Теорема 1.7 дәлелденді.

Шектік кӛшу туралы Теорема 1.8 тұжырымы алынды және дәлелденді. Қос қабатты шекаралық есебіне мысал келтіріліп, сингулярлы ауытқыған интегралды шекаралық есебінің шешімі сәйкес ӛзгертілген ауытқымаған есебінің шешіміне ұмтылатыны кӛрсетілді. Кіші параметр бойынша кез келген дәлдікпен асимптотикалық шешім құру алгоритмі кӛрсетіліп, алынған нәтижесі Теорема 1.9 тұжырымдалды.

Екінші бөлімде құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі қарастырылады.

2.1 бӛлімшеде құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебін қарастырамыз:

) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( )

(t A t y t B t y t F t

y     

 (10)

1 0, (0, ) )

, 0

(   y  

y , (11) мұндағы  0 кіші параметр, 0, 1 белгілі шамалар. Құрақ-тұрақты функция (t)i, егер t[i,i1), i1,p, 012 pT түрінде анықталады.

Келесі шарттар орындалсын:

(C1) A(t), B(t), F(t) функциялары 0tT аралығында үзіліссіз дифференциалданады.

(C2) A(t)0, 0tT.

Алынған нәтижелерді дәлелдеусіз теорема тұжырымдарын келтіреміз.

Теорема 2.1 Егер (C1),(C2) шарттар орындалса, онда (10),(11) Коши есебінің

i,i1

, i0,p интервалында жалғыз шешімі бар және

(13)

13

y t y K t y K t K t s F s B s y i ds

t

i i

i i

i 1 ( , , )( ( ) ( ) ( ))

) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ,

( 1 2 2  

 

 

формуласымен өрнектеледі, шешімдегі белгісіз i p y

y

i

i , 1, )

( )

(  

 

 

векторы

келесі айырымдық теңдеулер жүйесінен анықталады:

 

 



 

, ) ( , , ) 1

( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( )

( 2 1

1

, 1 2 1

1

1 i i i i

i

i i i

i

i K K s B s ds y K y

y       

 

1 i

1 2( 1, , ) ( ) ,

i

i s F s ds

K

 

 

 





   

( 1, )1( 1, , ) 1

i1 2( 1, , ) ( ) ( i) 2( i1, i, ) ( i)

i i i

i

i K K s B s ds y K y

y       

 

1 i

1 2( 1, , ) ( ) .

i

i s F s ds

K

 

Теорема 2.2 Егер (C1),(C2) шарттар орындалса, онда

i,i1

, i0,p интервалында (10),(11) Коши есебінің шешімі және олардың туындылары үшін

0

ұмтылғанда келесі асимптотикалық сипат орындалады:





 

t

i i t

i

s ds A

s y F

s ds A

s t B

y

 ( )

) ) (

) ( (

) 1 (

) , (

);

) ( (

) ( ) ( ) ) (

) ( ( 1 ) (

)

( ( ) 2

1

 

 

 

O A e

y B y F

t A A

y

t i

d A

i

i i i

i i

i







 

 

 

 

).

) ( (

) ( ) ( ) ) (

) ( (

) ( ) ( ) ) (

, (

) 1 (

 

 

  e O

A

y B y F

t A

y t B t t F

y

t i

d A

i

i i i

i

i  

 

 

 

 

 

Құрақ-тұрақты аргументті сызықты сингулярлы ауытқыған Коши есебіне мысал келтіріліп, шектік кӛшу кӛрсетілді.

Теорема 2.3 Егер (C1),(C2) шарттар орындалса, онда кіші параметрінің жеткілікті аз мәнінде (10), (11) Коши есебінің

p i

t i

i  1, 0,

кесіндісінде y(t,) шешімі бар, жалғыз және

y(t,) yN(t,)RN(t,),

түрінде болады, мұндағы yN(t,) функциясы

(14)

14

 

N i i

k

N k

i i k k k

k N

w t t

y t

y

 

0 0

) ( ( ), )

( )

, (

формуласымен өрнектеледі, ал RN(t,) қалдық мүше үшін келесі бағалау орындалады:

RN(q)(t,) CN1, q0,1, iti1, i0,p мұнда C0 -нан тәуелсіз тұрақты.

2.2 бӛлімшеде құрақ-тұрақты сингулярлы ауытқыған дифференциалдық теңдеулер жүйесіне қойылған келесі түрдегі Коши есебін қарастырылды:

) , (

))) ( ( , (





y x dt Q

dy

t y x dt F

dx

(12)

x(0,)x0, y(0,). (13)

мұндағы  0 кіші параметр. (12) жүйе

x y z x a y a t T

G ( , , )  ,  , 0  облысында анықталған, мұндағы a және T бекітілген оң сандар. F және Q функциялары анықталу облысының ішінде үзіліссіз дифференциалданады. Құрақ-тұрақты функция (t)i егер

, , 1 ),

,

[ 1 i p

t ii  012 pT түрінде анықталады.

Келесі шарттар орындалсын. Анықталу облысында (,) нүктесі табылып, (C1) F(x,y) функциясы

0 ) , ( 

F ,

0 ) , ( 

Fx ,

0 ) , (   Fy

шарттарын қанағаттандырсын.

(C2) Q(x,y) функциясы

0 ) , ( 

Q ,

0 ) , ( 

Qx ,

0 ) , (  Qy

шарттарын қанағаттандырсын.

(C1), (C2) шартындағы Fx, Fy функциялары дербес туындылар.

Теорема 2.4 (C1),(C2) шарттары орындалсын. Егер (x0,) бастапқы нүкте (,) бекітілген нүктенің тарту анықталу облысында болса, онда жеткілікті аз мәні үшін (12),(13) есебінің

(15)

15 ) , , , 0 , ( ) , ( ), , , , 0 , ( ) ,

(tx t x0   y ty t x0  

x   жалғыз шешімі бар болады және

шешімдер үшін келесі шектік көшулер орынды:

, ) , (

lim0  

x t 0tT ,

) , (

lim0  

y t 0tT.

Құрақ-тұрақты аргументті сингулярлы ауытқыған сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебіне мысалы келтіріліп, шешімнің симуляциясы кӛрсетілді. Симуляциядан шекаралық қабатты бӛлікте жаңа “ӛркеш” құбылысы пайда болатынын кӛруге болады.

Қорытындыда алынған нәтижелерге қысқаша талдау жасалады.

Жетекшілік етіп, үлкен кӛмек кӛрсеткен ӛзімнің отандық ғылыми кеңесшіме ф.-м.ғ.д., профессор М.Қ.Дауылбаев мырзаға үлкен алғысымды білдіргім келеді. Осы мүмкіншілікті пайдаланып, Орталық Шығыс Техникалық Университетінде тағылымдамадан ӛту барысында үлкен жан-жақты кӛмек кӛрсеткен, диссертациялық жұмысыма бағалы ескертпелер қосқан, ф.-м.ғ.д., профессор М.У.Ахмет мырзаға шексіз алғысымды білдіргім келеді.

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін опера- циондық əдіспен шешу арқылы өзара əрекеттесетін материалдық нүктелер жүйесінің

Ре по зи то ри й Ка рГ У.. шарттан жəне үзіліссіздік шартынан тұрады. Параметрлі жəй дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін

Коэффициенттері өспелі аралас типті сингулярлы теңдеулер класы қарастырылды. Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы зерттелді. Шешімді құру

Шексіз аралықта берілген (сингулярлы) сызықты дифференциалдық теңдеулердің аналогы болып табылатын айырымдық жүйелер шексіз көп сызықты

Ол ҥ шін теңдеудегі екінші реттен жоғары ретті туындылардан ауыстыру әдісі арқылы қҧ тылып, бастапқы жоғарғы ретті дифференциалдық

№2 есептік –сызба жұмысының мақсаты: екінші ретті сызықты электр тізбегінде операторлық әдіспен өтпелі кезеңді есептеуде тәжірибе алу.

Операторлық есептеу әдістерімен коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер мен олардың системалары үшін Коши есебін шешуге болады.. Ол

Күшейткіштің дифференциалдық деп аталуы, ол тек қана дифференциалдық (айырмашылдық) сигналдарды күшейтеді, яғни бірінші және екінші кірістер