обратной задачи теплопроводности
К.Т. Искаков, Ф.С. Телгожаева, В.П. Шерышев Казахский национальный педагогический университет им. Абая
e-mail: [email protected]
Аннотация
Разработана методика определения параметров регуляризации решения граничной об- ратной задачи теплопроводности, возникающей при определении температуры в зоне кон- такта электрод - деталь, недоступной для непосредственного термометрирования при вос- становлении деталей почвообрабатывающих машин с помощью электроконтактного нагре- ва.
Введение.
В настоящее время обратные задачи теплопроводности являются наиболее эффективными способами решения различных технологических проблем и в том числе технологии машино- строения вообще и технологии сельскохозяйственного машиностроения в частности.
Электроконтактная термомеханическая обработка является одним из современных перспек- тивных направлений восстановления деталей почвообрабатывающих машин [1]. На эффектив- ностьпроцесса электроконтактной термомеханической обработки наибольшее влияние оказы- вает температура контактной поверхности электрод-деталь. Однако определение этой темпера- туры связано с преодолением значительных технических трудностей, обусловленных высокими значениями температур и наличием электрических наводок.
В связи с этим особую актуальность приобретает граничная обратная задача теплопро- водности, решение которой позволяет производитьодновременное определение величин тем- ператур и плотностей тепловых потоков в трудно доступной зоне контакта электрод-деталь по результатам термометрирования зоны контакта деталь - теплоотводящая масса, доступной для непосредственного измерения температуры. Подобные постановки задач рассматривались в работах [2-3].
Постановка задачи.
Граничная обратная задача теплопроводности для нагрева детали (пластина по рис.1) теп- ловым потоком, обусловленным процессом электроконтактного нагрева, записывается в следу- ющем виде:
c∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
, 0< x < l, t >0, (1)
−λ∂T
∂x =qizm, x=l, t >0, (2)
T(l, t) =Tizm x=l, t >0, (3)
T(x,0) =T0, 0≤x≤l, t= 0. (4)
Здесь T = T(x, t) – температура детали, зависящая от пространственной координаты x и времени t;T0 – начальная температура детали.
Данная граничная обратная задача теплопроводности относится к классу некорректно по- ставленных задач математической физики [4,5]. Для ее решения требуется разработка специ- альных регуляризующих алгоритмов [6,7].
Для доказательства существования и единственности решения граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4) и определения параметров регуляризации (вводятся ниже по тексту), осуществим переход к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
dθ
dt =f(t, θ), θ(t0) =θ0, t, t0 ∈[τ1, τ2], (5) гдеθ=θ(t)– некоторая функция времени. В дальнейшем мы полагаем что θ=T = Tisk+T2 izm.
Рис. 1: Схематизация теплового процесса: Tisk - искомая температура контакта электрод- деталь, qisk - искомая плотностьтеплового потока, Tizm - измеренная температура контакта деталь- теплоотводящая масса, qizm - измеренная плотностьтеплового потока, l - толщина детали, δ - толщина термически тонкого слоя, λ, c - теплопроводностьи удельная объемная теплоемкостьматериала детали
Метод решения.
Редукцию к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения осуществим методом термически тонкого слоя [7, 8]. С этой целью рассмотрим термически тонкие слои толщины δ с теплофизическими характеристиками, совпадающими с теплофизическими ха- рактеристиками детали, плотно прилегающие к границам детали (пластины по рис.1) так что тепловой контакт между ними можно считатьидеальным. Термически тонкие слои это слои, в пределах толщины которых, температуру можно считатьзависящей только от одной перемен- ной - времениt [9].
Для трехслойной пластины сформулируем вспомогательную задачу.
Вспомогательная задача.Температурное поле неограниченной трехслойной после добавле- ния термически тонких слоев пластины (рис.1) описывается уравнением теплопроводности:
c∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
, −δ < x < l+δ, t >0 (6)
удовлетворяющим граничным условиям:
qisk =−λ∂T
∂x, x=−δ, (7)
qizm =−λ∂T
∂x, x=l+δ; (8)
условиям сопряжения:
λ∂t
∂x x=xi+0
=λ∂T
∂x x=xi−0
, T|x=xi+0 =T|x=xi−0, i= 1,2; t >0, x1 = 0, x2 =l (9) и начальному условию:
T(x,0) =T0,−δ ≤x≤l+δ, t= 0 (10)
Граничная обратная задача теплопроводности, с учетом математической постановки пря- мой задачи (6)-(10), формулируется следующим образом: на поверхности теплообмена деталь- теплоотводящая масса x =l+δ заданы измеренные температура Tizm и плотностьтеплового потокаqizm. Требуется определитьтемпературуTiskтеплоовыделяющей поверхности электрод - деталь.
Температуры обеих поверхностей пластины Tisk =Tisk(t), Tizm =Tizm(t) и плотности теп- ловых потоков qisk = qisk(t), qizm = qizm(t) являются функциями времени. Пустьтакже тем- пература пластины T(x, t) является монотонной функцией переменной x на рассматриваемом интервале времени (это предположение справедливо при нагреве детали постоянным источни- ком теплоты). Тогда, интегрируя левую и правую части уравнения теплопроводности (6) по переменнойxв пределах соответствующих термически тонких слоев и основной части пласти- ны и используя условия (7)-(9), получаем:
qisk(t) =cδ∂Tisk
∂t −λ∂T
∂x x=0
, x= 0, t >0, (11)
1 2lc
∂Tisk
∂t +∂Tizm
∂t
=λ∂T
∂x x=l
−λ∂T
∂x x=0
, (12)
qizm =−cδ∂Tizm
∂t −λ∂T
∂x x=l
, t >0. (13)
Непосредственным вычислением из (11)-(13) получаем уравнение, связывающее плотности тепловых потоков qisk,qizm, с температурамиTizm,Tisk :
qisk−qizm=c l
2+δ ∂
∂t(Tisk+Tizm). (14)
Условие монотонности изменения температур в пределах пластины по переменной x поз- воляет записатьвторое уравнение для определения плотностей тепловых потоков на контакте электрод - детальи контакте деталь- теплоотводящая масса qisk и qizmв виде:
qisk+qizm= 2qcp(t), (15)
гдеqcp(t) =−λ∆Tl ,∆T =Tizm−Tisk; qcp(t) – среднее значение плотности теплового потока.
Решая систему уравнений (14)-(15), получаем формулы, связывающие измеренные и иско- мые величины на каждой из контактных поверхностей:
qisk=−λ∆T l +c
2 l
2 +δ ∂
∂t∆T+c l
2 +δ ∂
∂tTisk, (16)
qizm=−λ∆T l − c
2 l
2 +δ ∂
∂t∆T−c l
2 +δ ∂
∂tTisk. (17)
Это и естьрешение вспомогательной задачи.
Решение основной задачи.Теперьпереходим к решению непосредственно поставленной за- дачи - к определению температуры поверхности контакта электрод-деталь Tisk.
Прибавляя и вычитая к числителям первых членов уравнений (16),(17) величину Tisk, от уравнений (16), (17) перейдем к системе уравнений:
qisk=−λTizm+Tisk−2Tisk
l +c
2 l
2 +δ ∂
∂t(Tisk+Tizm), (18)
qizm=−λTizm+Tisk−2Tisk
l − c
2 l
2 +δ ∂
∂t(Tisk+Tizm). (19)
Далее введем в рассмотрение среднюю по сечению детали температуру: T = Tisk+T2 izm. При известной средней температуре и заданной температуре поверхности контакта деталь- теплоотводящая масса искомая температура поверхности контакта электрод-детальопреде- лится по формуле:
Tisk = 2T −Tizm. (20)
После преобразования уравнений (18), (19) получим систему уравнений:
qisk =−2λ
l (T −Tisk) +c l
2+δ dT
dt qizm=−2λ
l (T −Tisk)−c l
2+δ dT
dt
⎫⎪
⎪⎪
⎬
⎪⎪
⎪⎭
(21)
Первое уравнение системы представляет собой формулу для определения плотности тепло- вого потока на поверхности контакта электрод-деталь, а вторая может быть использована для определения температуры этой поверхности Присоединяя ко второму уравнению системы (21) начальное условиеT(0) =T0, для расчета средней температуры T получаем:
c l
2 +δ dT
dt −2λ
l T =−qizm−2λ
l Tizm, T(0) =T0 (22)
После выполнения достаточно простых преобразований приходим к следующей задаче Ко- ши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
dT dt −λ
lb1T =−qizm+b2Tizm
b3 , T(0) =T0, (23)
где b1=c
2 l
2 +δ−1
, b2 = 2λc , b3=c 2l +δ .
Таким образом, нам удалосьосуществитьпереход от исходно некорректно поставленной граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4) к задаче Коши вида:
dT
dt =f(t, T), T(t0) =T0, t, t0∈[τ1, τ2], (24) где f(t, T) = λlb1T − qizm+bb32Tizm; T0 = 0 τ1 = 0, τ2 = τ; τ - интервал времени интегри- рования, который наряду с параметром δ является параметром регуляризации, подлежащим определению.
Теперьдля доказательства существования и единственности решения граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4), которая с помощью метода термически тонкого слоя была сведена к задаче Коши вида (24) докажем лемму, основанную на принципе сжимающих отоб- ражений [9, 10].
Лемма 1 При выполнении условия Липшица относительноT:
f(t, T)−f(t, T)≤KT−T, (25) справедливого для любых T и T, существует единственное решение задачи Коши (24).
Доказательство.Существование и единственностьрешения задачи Коши (24) эквивалент- но существованию и единственности решения интегрального уравнения:
T(t) =T0+ t t0
f(ξ, T(ξ))dξ. (26)
Рассмотрим далее отображение множества функций , построенное по правилу:
g(T(t)) =T0+ t t0
f(ξ, T(ξ))dξ. (27)
в пространстве непрерывных на отрезке [τ1, τ2]функций.
Тогда задача о нахождении решения интегрального уравнения (26) сведется к нахожде- нию неподвижной точки отображения g, т.е. к нахождению функции T такой, что g(T) = T . Для того чтобы существовала одна такая точка, достаточно того, чтобы отображение g было сжимающим. Покажем, что это имеет место.
Поскольку из условия Липшица (25) следует, что
|f(t, T1)−f(t, T2)| ≤K|T1−T2|, (28) то для любых функции T , z∈C[τ1, τ2]будет справедливо неравенство:
ρ(g(T), g(z))≤ max
τ1≤t≤τ2 | t t0
Kρ(T , z)dδ|=K(τ2−τ1)ρ(T , z), (29) где
ρ(T , z) = max
τ1≤t≤τ2 |T(t)−z(t)|. (30)
Заметим, что отображение будет сжимающим при условии, если отрезок [τ1, τ2]достаточно мал, т.е. если:
K(τ2−τ1)<1. (31)
Поэтому можно заключить, что при выполнении условий (28)-(31), справедлива доказыва- емая лемма существования и единственности решения задачи Коши (24). Лемма доказана.
Теорема 1 Для того чтобы в условиях монотонного нагрева на достаточно малом интер- вале времени существовало единственное решение граничной обратной задачи теплопровод- ности (1)-(4) необходимо выполнение условия:
a2τ
l2
4 +δl2 <1 (32)
Здесь a2= λc - коэффициент температурапроворности материала детали.
Доказательство. Из проведенных выше исследований следует, что доказательство теоре- мы существования и единственности решения граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4) (для случая постоянных теплофизических характеристик) равносильно доказательству существования и единственности решения задачи Коши (24). Решение задачи (24) будет един- ственным при выполнении условия (31). В рассматриваемом нами случае, согласно уравнению (22) параметрK вычисляется по формуле:
K= a2
l2
4 +δl2. (33)
Рис. 2: Зависимости второго параметра регуляризацииτ от первого параметра регуляризации δ при различных значениях температуропроводности a2
Подставляя в формулу (31) τ2 −τ1 = τ и значение K , вычисленное по формуле (33), получаем условие:
a2τ
l2
4 + δl2 <1 (34)
это именно то условие, при котором существует единственное решение граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4).Теорема доказана.
Примеры расчетов.
На рисунке 2 приведены зависимости второго параметра регуляризацииτ от первого пара- метра регуляризацииδпри заданном значении толщины деталиl= 0,002и при различных зна- чениях коэффициента температуропроводности:a2 = 1,1E−06m2/c(Ряд2),a2 = 1,2E−06m2/c (Ряд3), a2= 1,3E−06m2/c (Ряд4),a2 = 1,4E−06m2/c (Ряд5), a2 = 1,5E−06m2/c(Ряд6).
Большему значению температуропроводности соответствует меньшее значение параметра τ. С другой стороны, чем меньше значение первого параметра регуляризации δ, тем мень ше интервал времени интегрирования τ, на котором существует единственное решение граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4).
Заключение.
Формула (34) позволяет по заданному значению первого параметра регуляризации δ опре- делятьзначение второго параметра регуляризации τ, обеспечивающее существование един- ственного решения граничной обратной задачи теплопроводности (1)-(4).
Заметим, что с одной стороны, значение параметра δ должно быть значительно меньше толщины пластины l (для того, чтобы примыкающие слои можно было считатьтермически тонкими), с другой стороны, его следует выбирать максимально возможно большим для того, чтобы иметьнаибольшее допустимое значение области интегрирования τ.
Список литературы
[1] Чижов В.Н., Болтенков А.А., Телгожаева Ф.С., Селивёрстов М.В.Математическое мо- делирование тепловых процессов в системе "электрод-деталь-теплоотводящая масса"при ремонте деталей// Вестник Алтайского Государственного Университета №12.- Барнаул, 2009. – С.80-84.
[2] Султангазин У.М., Атанбаев С.А., Кожабекова П.А., Шерышев В.П.Расчет температур- ных полей по данным дистанционных наблюдений.// В книге "Космические исследования в Казахстане - Алматы, РОНДА, 2002. – С.324-330.
[3] Бажанов А.А., Лесков С.П., Шерышев В.П. Контрольтемпературы минерального рас- плава при производстве базальтового волокна. КИПиА в Казахстане № 1 (23), Май, 2009.
– С.37-40.
[4] Вабищевич П.Н. Продолжение по пространственной переменной в граничной обратной задаче теплообмена// Матем. Моделирование, №4.– 1992. – С. 44-54.
[5] Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное издательство. – Новосибирск, 2009.– 290с.
[6] Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некор- ректных задач.– М.: Наука, 1988. – 288 с.
[7] Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности в 2-х т. Т.1. Методология.– Киев:
Наукова думка, 2002. – 408 с.
[8] Бажанов А.А., Чижов В.Н., Шерышев В.П. Метод термически тонкого слоя в задачах моделирования и идентификации тепловых процессов.– Алматы, 2005. – 295с.
[9] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. – 496 с.
[10] Садовничий В.А.Теория операторов. – 2-е изд. – М. Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 368с.
