ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Ш.ЕСЕНОВ АТЫНДАҒЫ КАСПИЙ МЕМЛЕКЕТТІК ТЕХНОЛОГИЯЛАР ЖӘНЕ
ИНЖИНИРИНГ УНИВЕРСИТЕТІ
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМИ МАМАНДЫҚТАР КАФЕДРАСЫ
М.Ш. ТІЛЕПИЕВ Б.Т. ҚҦЛЖАҒАРОВА
МАТЕМАТИКА 1
ЕСЕПТЕР МЕН ЖАТТЫҒУЛАР Оқу құралы
Ақтау-2010
ӘОЖ 51(075.8) ББК22.1я73 Т93
Пікір берушілер: Ш. Есенов атындағы Каспий мемлекеттік технологиялар және инжиниринг университеті профессоры, ф.-м.ғ.д. Н.Р.Садыков
Ш.Есенов атындағы Каспий мемлекеттік технологиялар және инжиниринг университеті доценті, ф.-м.ғ.к. Э.Ұ.Уразмағамбетова
Алматы энергетика және байланыс институтының доценті, ф.-м.ғ.к.
М.Ж.Байсалова
М.Ш. Тілепиев, Б.Т. Құлжағарова
Математика 1. Есептер мен жаттығулар: Оқу құралы/ Тілепиев М.Ш., Құлжағарова Б.Т. - Ақтау, Ш.Есенов атындағы КМТжИУ, 2010. - 144 б.
ISBN 978-601-226-054-0
Бұл оқу құралы Ш. Есенов атындағы Каспий мемлекеттік технологиялар және инжиниринг университетінде оқитын барлық техникалық мамандықтардың Математика 1 пәнінің бағдарламасына сәйкес жасалған.
ӘОЖ 51(075.8) ББК22.1я73
Ш.Есенов атындағы Каспий мемлекеттік технологиялар және инжиниринг университетінің Оқу-әдістемелік Кеңесінің шешімімен баспаға ұсынылды.
Хаттама №2 23.12.2009 ж.
ISBN 978-601-226-054-0
© «Ш. Есенов атындағы КМТжИУ 2010 ж.
3
КІРІСПЕ
Қазіргі ғылым мен техникада математикалық зерттеулер, модельдер, жобалар өте үлкен роль атқарады. Ол қазіргі ақпараттар жүйесінің дамуына тікелей байланысты. Демек математикалық нақты сандар шешімін табуға табысты қолдану мүмкіншілігін кеңейтеді.
Математика фундаменталды пән, одан дәріс беру төменгі жағдайды қарастырады:
а) ойдың логикалық және алгоритмдік дамуын;
ә)негізгі зерттеу әдістерін меңгеру және математикалық есептердің шешімдерін таба білу;
б) математикалық негізгі сандық әдістерін меңгеру және оны компьютерде орындау;
в) математикалық білімді өз бетінше ұғып алуға еңбектену, қолданбалы инженерлік және экономикалық есептерге талдау жүргізу.
Математиканың жалпы курсы дәстүрлі мамандар үшін оқу жоспары бойынша арнайы және жалпы техникалық пәндерді табысты оқытуға маңызды мәні бар инженерлер білімдерінің математикалық фундаментін қалайды.
«Математика 1. Есептер мен жаттығулар» оқулығы, «Математика 1» пәнінің бағдарламасына сәйкес кредиттік жүйеге лайықты етіліп жазылған.
Мұнда аналитикалық геометрия және векторлық алгебра, бір айнымалы функциялар, оларды дифференциалдау және интегралдау тақырыптары бойынша теориялық материалдар, сонымен қатар үлгі-мысалдардың шешу жолдары көрсетіліп, соңында өзбетімен орындау үшін жаттығулар жауаптарымен берілген.
1 СЫЗЫҚТЫҚ ЖӘНЕ ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ 1.1 АНЫҚТАУЫШТАР
1. Екінші және ҥшінші ретті анықтауыштар. Екінші ретті анықтауыш деп
21 12 22
11 à à à
à санын айтады, ол мына таңбамен белгіленеді
Δ
21,
12 22 11 22 21
12
11 а а а а
а а
а
а
мұндағы aij (i1,2, j 1,2) сандары – екінші ретті анықтауыш элементтері, iжол, ал j баған нөмірін анықтайды.
Үшінші ретті анықтауыш деп
Δ
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31
33 32 31
23 22 21
13 12 11
а а а а а а а а а а а а а а а
а а а
а а а
33 21 12 32 23
11 а а а а а
а
(1.1) санын айтады. Үшінші ретті анықтауыштың мәні Саррюс (не үшбұрыштар) ережесі деп аталатын келесі сұлба бойынша былай есептелінеді:
мұнда алғашқы үш қосылғыш өз таңбасымен, соңғы үш қосылғыш қарама-қарсы таңбасымен алынады.
2. n- ші ретті анықтауыш. n- ші ретті анықтауыш деп
Δ
j j j j j njn
nn n n
n n
a a
a a
a a
a a a
a a a
k ...
) 1 ( ...
...
...
...
...
...
...
...
2 1 2
1 1 2
...
2 1
2 22 21
1 12 11
қосындыны айтады, мұндағы қосу белгісі 1,2,3,…, n сандарынан анықталған барлық алмастырулар бойынша алынған (барлық алмастыру саны n!- ға тең),
) , 1 , , 1
(i n j n
аij
анықтауыштың элементтері және ол i- жол пен j- бағандарының қиылысуында орналасқан. n-ші ретті анықтауыш n жол және n бағандардан тұрады, бірінші i индексі жолдың, ал екінші j индексі бағанның нөмірін көрсетеді.
Төртінші және одан да жоғарғы ретті анықтауыштарды есептеу үшін анықтауыштың қасиеттерін білу қажет.
А н ы қ т а у ы ш қ а с и е т т е рі.
10. Анықтауыштың жолын (не бағанын) сәйкес бағанымен (не жолымен) орын алмастырсақ (транспонирлесек), онда анықтауыштың мәні өзгермейді:
.
22 12
21 11 22
21 12 11
а а
а а а
а а
а
5
20. Анықтауыштың екі жолын (бағанын) орнын алмастырсақ, онда анықтауыш таңбасы қарама- қарсыға өзгереді.
30. Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтерін k санына көбейтсек, онда анықтауыш мәні k есе артады.
.
22 21
12 11 22
21 12 11
а а
а k а а kа
а а k
40. Анықтауыштың екі жолының (бағанының) сәйкес элементтері тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
50. Анықтауыштың екі жолының (бағанының) сәйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
60. Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда ол анықтауыш мәні екі анықтауыштың мәндерінің қосындысына тең болады:
22 21
12 11 22 21
12 11 22 22 21
12 12 11
в а
в а а а
а а а b
а а b
а
.
70. Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтерін k санына көбейтіп, екінші бір жолының (бағанының) сәйкес элементтеріне коссақ, онда анықтауыш мәні өзгермейді.
22 22 21
12 12 11 22 21
12 11
a a k a
a a а k а а
а а
.
Анықтауыштың аij элементінің Mij миноры деп, осы анықтауыштың i-ші жолы мен j-ші бағанын сызып тастағаннан қалған анықтауышты айтады, яғни
Анықтауыштың аij элементінің Аij алгебралық толықтауышы деп, (1)ij таңбасымен алынған осы элементтің минорын айтады, яғни
80. Анықтауыштың мәні оның қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтерін сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанға тең.
т
i j i j
i A j n
a
1
. , 1 ,
1. 2 5
3 4
анықтауышын есептеу керек.
Шешуі: 4 5 3 2 14. 5
2 3
4
▲
2. 3 1 6
5 2 4
3 1 2
анықтауышын есептеу керек.
Шешуі: Саррюс ережесі бойынша, яғни (1.1) формуланы пайдалансақ, онда
. 23 ) 6 ( 4 ) 1 ( 1 ) 5 ( 2 ) 3 ( 2 3 ) 3 ( ) 5 ( ) 1 ( 1 4 3 ) 6 ( 2 2 6 1 3
5 2 4
3 1 2
▲
3. 2 1 4
1 1 5
3 2 1
анықтауышының à21элементінің минорын есептеу керек. Шешуі:
. 11 3 4 8
1 3 , 2
5 21
21
M
a
▲
4. 3 1 6
5 2 4
3 1 2
анықтауышын екінші баған элементтері арқылы жіктеп есептеу керек.
Шешуі:
5 23 4
3 ) 2
1 6 ( 3
3 ) 2
1 ( 6 2 3
5 ) 4
1 ( 1
2 )
1 ( 6 1 3
5 2 4
3 1 2
2 3 2
2 2
1 2
3 2 2 2
1
А
А А
.▲
5. 1 3 5 4
2 3 3 2
4 3 2 1
2 7 5 3
анықтауышын есептеу керек.
Шешуі: Келесі түрлендірулерді жасаймыз:
1) 2-ші жол элементтерін (-3)-ке көбейтіп, 1-ші жолдың сәйкес элементтеріне қосамыз.
2) 3-ші жол элементтеріне 2 еселенген 2-ші жол элементтерін қосамыз.
3) 4-ші жол элементтерінен 2-ші жол элементтерін шегереміз. Сонда берілген анықтауыштардың мүрі мынадай болады:
0 2 1 0
10 9 1 0
4 3 2 1
10 2 1 0
Бұл анықтауышты 1-ші баған элементтері бойынша жіктейміз:
0 2 1
10 9 1
10 2 1 0
2 1
10 9 1
10 2 1 ) 1 ( 1
1 21 2 1
А
1-ші жол элементтерін 2-ші жол элементтеріне және 3-ші жол элементтеріне қосамыз, сонда:
10 0 0
0 7 0
10 2 1 10 - 0 0
0 7 0
10 2 1
Осы анықтауышты 2-ші не 3-ші жол немесе 1-ші баған элементтері бойынша жіктеуге болады. Мысалы, 2-ші жол бойынша жіктейік:
. 70 ) 0 10 ( 10 7 0
10 ) 1
1 ( 7
7 22 2 2
А
▲ Келесі анықтауыштарды есептеу керек:
7
6. 5 10 6 3
Ж: 60. 7.
cos sin
sin
cos
Ж: 1.
8.
tg tg
1 1
Ж: 2
1
сos . 9. 0 5 1 3 0 1
0 1 2
Ж:-29.
10. 2 3 8 4 8 0
2 5
1
Ж: -44. 11. в в а а в
в а а
0
Ж: b
b2a2
.12. а а а
1 1
1 1
1 1
анықтауыштың мәні а-ның қандай мәнінде 0-ге тең болады? Ж:
a=1, a= -2.
13. 1 3 2 3 2 1
1 1 2
анықтауышын:
а) Саррюс ережесі бойынша,
ә) 1-ші жол элементтері бойынша жіктеп,
б) 2-ші баған элементтері бойынша жіктеп есептеу керек.
Ж: а)-20, ә)-20, б)-20.
14.
2 2
2 2
2 2
cos 1 sin
cos 1 sin
cos 1 sin
Ж: 0. (Нұсқау: 1-ші бағанға 3-ші бағанды қосқан жөн).
15. 2 3 1 2 1 3
3 2 1
Ж:18. 16. 1 7 1
1 13 1
7 17 1
Ж:180.
17.
2 2
2 2
2 2
sin cos
2 cos
sin cos
2 cos
sin cos
2 cos
Ж:0. 18. 1 2 1 3
3 1 0 1
0 1 2 3
2 0 1 2
Ж:28.
19. 1 2 1 7
1 0 0 1
6 4 1 3
3 2 2 1
Ж:12. 20. 2 2 2 4
2 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 1
Ж:180.
21. 2 0 1 2
1 0 2 3
0 1 2 1
а в в а
Ж: 2а+в.
1.2 ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
1. Векторлар. Кез келген сандар математикада, физикада, механикада және т.б. екі түрлі шамамен сипатталады. Оң (не теріс) санмен берілген шамаларды скаляр шамалар деп, ал сандық мәнімен қоса бағытын да білу қажет шамаларды векторлық шамалар деп атайды. Мысалы, үдеу, жылдамдық, күш – векторлық шамалар болып табылады.
Вектор деп бағытталған кесіндіні айтады.
Берілген вектор екі үлкен (не кіші бір) латын әріпімен белгіленеді. Мысалы, АВ - вектор, А - осы вектордың бас нүктесі, ал В- ұшы.
Берілген АВ векторының ұзындығы (модулі):
АВ немесе а
деп белгіленеді.
АА 0
- нөлдік вектор. е 1 болса, онда е- бірлік вектор.
Үш өлшемді R3 кеңістігінде декарттық координат жүйесі енгізілсін.
) , , ( , ) , ,
(х1 у1 z1 B x2 y2 z2
А - нүктелері берілсе, онда АВ векторының координаттары:
АВ
х2х1;y2 y1;z2 z1
немесе АВ(x2 x1)i(y2 y1)j(z2 z1)k;2 1 2 2 1 2 2 1
2 ) ( ) ( )
(x x y y z z
АВ
- вектор ұзындығы.
x y z
z y
хi a j a k a a a
а
а , ,
векторының ұзындығы
2 2 2
z y
x a a
a
a
, а
векторының координата осьтерімен жасайтын бұрыштары ,, болса, яғни
) ,
^ ( ), ,
^ ( ), ,
^
(а ОХ а ОУ а OZ
, онда
a
, cos , cos
cos векторының бағыттаушы косинустары деп аталады.
. cos
, cos
,
cos a
a a
a a
ax y z
1 cos cos
cos2 2 2 теңдігі орындалады.
Егер векторлар бір түзудің бойында немесе параллель түзулердің бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады.
Коллинеар, бағыттас және модульдері бірдей векторларды тең векторлар дейді.
Векторға коллинеар, модулі тең, бірақ қарама-қарсы бағытталған вектор қарама- қарсы вектор деп аталады. а және а -қарама-қарсы векторлар.
Параллель жазықтықтардың немесе бір жазықтықтың бойында жатқан векторларды компланар векторлар дейді.
2. Векторларға қолданылатын амалдар.
а) в е к т о р л а р д ы қ о с у. Берілген а мен в векторлардың қосындысы деп бас нүктесі а векторының бас нүктесімен үйлесетін, ал ұшы в векторының ұшымен үйлесетін сав векторын айтады.
Егер векторлар координаттарымен берілсе, яғни а ахi ауj azk в вхi вуj вzk
,
, онда
k в а j в а i в а в
а х х у у z z
) (
) (
)
(
;
9
ә) в е к т о р л а р д ы а з а й т у. а мен в векторларының айырмасы деп бас нүктесі в векторының ұшымен үйлесетін, ал ұшы а векторының ұшымен үйлесетін
в а с
векторын айтады.
Векторлардың айырмасын қосу амалын пайдаланып та табуға болады:
) ( в а в
а .
б) в е к т о р д ы с а н ғ а к ө б е й т у. Берілген а векторын санына көбейту деп келесі шарттарды қанағаттандыратын в а векторын айтады:
1) в а
; 2) а мен в векторлары коллинеар: егер 0 болса, онда a мен в векторлары бағыттас, ал 0 болса, онда олардың бағыттары қарама-қарсы бағыттас болады.
22. a
3:3;4
векторының модулін және бағыттаушы косинустарын табу керек.Шешуі: a 9916 34; 34
cos 4
; 34 cos 3
; 34
cos 3
. ▲
23. АВС үшбұрышында АВ қабырғасы М және N нүктелерімен үш бірдей бөлікке бөлінген: АМ MN NB . Егер CAa, CB b
болса, онда
СМ -ын табу керек.
Шешуі: АВ ba екені белгілі. Ендеше, АМ
ba3 1
.
СААМ
СМ болғандықтан,
b a a b
СМ a
3 2 1 3
1
. ▲
24. А(1;3;2) және В(5;8;-1) нүктелері берілген. a АВ векторының координаттарын табу керек.
Шешуі: В және А нүктелерінің сәйкес координаттарының айырмасы АВ векторының координат осьтеріндегі проекциялары болып табылады: ax 514,
5 3 8
y
a , az 123. Сондықтан, АВ i j k
5 3
4
. ▲ 25. a i j k
4i 8j 3k
5
2 1
векторының модулін және бағыттаушы
косинустарын табу керек?
Ж: 5;
3 a
3 cos 1
; 3
cos 2 cos
.
26. 1
1;2;3
және 2
3;4;6
нүктелері берілген. 2 1М
М векторының ұзындығын және бағытын табу керек.
Ж: 1 2 7
М М
; 7
cos 2
, 7
cos 6
, 7
cos 3
. 27. a i j k
3 2
4
векторы берілген. Егер b a
, by ay және bx 0 екені белгілі болса, b векторын табу керек.
Ж:b2j5k немесе b j k
5 2
.
1.3 ВЕКТОРЛАРДЫ КӚБЕЙТУ
1. Векторлардың скаляр кӛбейтіндісі. Екі а мен в векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады. ав(а,в) а вcos(a^,в).
Егер а ахi ayj azk,
в вхi вyj вzk
координаттарымен берілсе, онда
z.
у z у х
хв а в а в
а в
а
С к а л я р к ө б е й т і н д і н і ң қ а с и е т т е р і:
а) ,
a2
а а
немесе
2 а2
а
(скаляр квадрат деп аталады);
ә) ав0 - болса, онда а в
, - өзара перпендикуляр векторлар (не екі вектордың біреуі нөлдік вектор).
б) орын ауымтырымдылық заңы: авва. в) терімділік заңы: авав
ав. г) үлестірімділік заңы:
ав
сасвс.Скаляр көбейтіндінің ф и з и к а л ы қ мағынасы: Материалдық нүктені F күші әсерінен S жолға жылжыту кезіндегі істелетін жұмыс мөлшерін табу үшін F
және S
векторларының скаляр көбейтіндісін тапсақ жеткілікті, яғни А=F S F S cos
. 28. à және â векторларының скаляр көбейтіндісін табу керек.
à
= {1, -5, 12}, в= {1, 5, 2}.
Шешуі: ав= 1·1 + (-5) ·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0, яғни à және в векторлары ортогональды. ▲
29. a mi j k
4 3
және b4imj7k векторлары берілген. m-нің қандай мәнінде векторлар перпендикуляр болады?
Шешуі: Осы векторлардың скаляр көбейтіндісін табайық: ab4m3m28. a b
болғандықтан ab0 болады. Бұдан 7m280, яғни m4.▲
30. a 2
, b 3
, a b
екені белгілі.
5a3b
2ab
көбейтіндісін табу керек.Шешуі:
5a3b
2ab
10a2 5ab6ab3b2 10a2 3b2 4027 13. ▲31. a i2j3k
және b i j k 2 4
6
векторларының арасындағы бұрышты табу керек.
Шешуі: ab a b cos
болғандықтан, a b
b
a
cos
. Мұндағы
2 8 34 2 6
1
b a
, a 149 14, b 36164 2 14
. Сондықтан, 7
2 14 2 14
cos 8
және 7
arccos2
. ▲