302
ሺͳ ͳιሻሺͳ ʹιሻ ǥ ሺͳ ͶͶιሻ ൌ ሺͶͷι ͳιሻሺͶͷι
ʹιሻ ǥ ሺͶͷι ͶͶιሻ ൌ ୱ୧୬ ସι
ୡ୭ୱ ସହιୡ୭ୱ ଵιכୡ୭ୱ ସହୱ୧୬ ସιୡ୭ୱ ଶι ιǥୡ୭ୱ ସହୱ୧୬ ଽଽιୡ୭ୱ ସସι ι ൌ ሺୡ୭ୱ ସହଵ ιሻరర ൌ
ଵ ൬ξమ
మ൰
రర ൌଶଶరరమమ ൌ ʹଶଶ.[4, 187бет]
Тригонметиряны жақсы білу, тригонометриялық формулаларды есептер шығаруда дұрыс əрі орынды қолдану, қиындығы жоғары есептерді өте тиімді, тез шығаруға көмектеседі.
Қолданылған əдебиеттер тізімі:
1. Əбілқасымова А.Е., Кенеш Ə.С. жəне т.б. Математиканы оқытудың теориясы мен əдістемесі, Алматы, 1998.
2. Бидосов Ə. Математиканы оқытудың теориясы мен əдістемесі, Алматы 2009.
3. Қаңлыбаев Қ.И. Есеп шығару практикумы. –А., 2011.
4. Литвиненко В.Н ,МордковичА.Г Практикум порешение задач школьной математики. М.,Просвещение,1998.
Қасымқанұлы Б.1,Назик Л.Н.2
1. Ғылыми жетекші, физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент 2. Физика-математика жəне жалпы техникалық пəндер кафедрасы,
«Математика» мамандығының 4 курс студенті КӨПМҮШЕЛІКТЕРМЕН ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
Кез-келген f(x) функциясын кесте , график, немесе формула түрінде келтіруге болады. Егер f(x) функциясы формула түрінде берілсе , онда бұл формуланы кесте немесе график түрінде келтіру оңай болады. Егер функция таблица немесе график түрінде түрінде берілсе , онда оны формула түрінде онда оны формула түрінде келтіру əлде қайда қиын болады. Берілген жаңа, əлдеқайда жеңіл функциялардың есептеулерін айтарлықтай жеңілдетуін елестету қиын. Интерполяция осындай есептерді шешуге мүмкіндік беретін білім саласы болып табылады.
Функция кесте түрінде берілсін. (1.1 Кесте)
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn
Мұндағы:
xi-аргумент;
yi- функция;
i=1, 2, 3,…, n f(x) функциясының жəне аргументтеріне тиісті индексті айнымалы.
303
Сонда интерполяцияның мақсаттарының бірі функциянын мəнін кестеде келтірілмеген аргументтер бойынша анықтау болып табылады.
Егер f(x) функциясы формула түрінде болса , онда оның мəнін x-тің кез- келген мəнінде табуға болатыны ақиқат, соның ішінде кестеде берілмеген мəндер бойынша да табуға болады.
Онда интерполяция мақсатын былай тұжырымдауға болады:
Аргументтердің кейбір мəндері функцияның мəндерінде белгілі, аргументтің барлық диапазонындағы мəндері үшін функцияны формула түрінде келтіру керек. Бұл формула кестеде берілген бастапқы мəліметтердің дискретті мəндерін қанағаттандыратын көптеген түрлі формулалар болуы мүмкін.
Интерполяция мақсатын дұрыс тұжырымдау үшін қосымша функциялар түрі берілу қажет (мысалы:сызықы, параболалық, логарифмдік жəне т.б) интерполяция ғылыми зерттеулер мен инженерлік іс жүзінде кең қолданылады.
Оны пайдаланатын бағыттар:
¾ Модельдеу;
¾ Экспериментті жоспарлау жəне статистикалық өңдеу;
¾ Кестеде берілген аргументтер арқылы функцияның мəнін анықтау;
¾ Функцияның санағы;
¾ Аргументтердің белгілі шекарасындағы күрделі емес мəнін күрделі функцияда көрсету;
¾ Жеңілдетілген, кейбір функцияларды бір-біріне жақындатуға арналған жəне тығы сол сияқты басқа да жағдайларда қолдануға арналған.
304
Сурет 1.1
Интерполяция əдістерінің көптеген түрлері бар. Оларды қасиеттеріне байланысты былайша жіктеуге болады: интерполяция түйіндерінің дəлдігіне байланысты, интерполяция функцияларының түріне байланысты, критерийлерімен математикалық аппараттарда қолданылуына байланысты жəне т.б. 1.1 суретінде осыған ұқсас жіктеулер көрсетілген.
Əрі қарай аталған жіктеулердің толық түрлері беріледі, олардың артықшылығы мен кемшілігі, қолдану аймақтары, ЭВМ-де компютерлік техникалар арқылы есертерді шешу. Жəне де берілген 1.1 суретіндегі жіктеуіміз толық емес екенін атап өткен дұрыс болады.
Лагранж формуласымен интерполяциялау
Мұндағы
¾ x0, x1,…, xn- интерполяция түйіні;
¾ y0, y1,…,yn- осы түйіндегі функцияның мəндері.
Интерполяция Нақты
түйіндерде
Үзік
сызықты Көпмүшеліктермен
Лагранж Ньютон Гаусс Сызықт
ы емес
Жуық түйіндерде
Сызықты функциялард
а
Сызықты емес функцияларда
Таңдалған нүктелер
əдісі
Ортаңғы əдіс
Ең аз квадраттар
əдісі
305
(1.6) формуласының интерполяциясы полиномды болатынын көрсетейік.
x=x0болсын , онда бірінші мүшесінен басқасы нөлге теңеледі жəне алымы мен бөлімі қысқарады да, соңында yn(x0)=y0болады.
x=x1болса, екінші мүшесі y1 ал қалғаны нөлге теңеледі жəне т.с.с Осылайша келесі теңдіктер шығады:
yn(x0)=y0, yn(x1)=y1 ,…, yn(xn)=yn
шыққан теңдіктер 1.6 формуласының интерполяциялы екенін білдіреді.
Жəне Лагранж формуласынын алынған көпмүшелік n-ші дəрежеден аспайтыны ақиқат.
1 - Мысал
Функция кесте түрінде берілсін. (1.4 кесте) Айнымалылардың мəні
x 1 2 4 6
y 2 9 41 97
Лагранж интерполяциялау формуласын қолдана отырып y=f(x) функциясын көпмүшелік түрінде келтіру керек жəне x=3, x=5 болғандағы функцияның мəндерін табу керек.
1.4 кестесінің мəндерін (1.6) формласына қою арқылы
Осыдан y(x)=3x2-2x+1 шығады.
Осы шыққан формулаға x=3, сонан соң x=5 мəндерін қою арқылы y(3)=22, y(5)=66 мəндерін аламыз.
Лагранж формуласының кемшілігі y(x)- тің бір мəні қосылса немесе алынса, есептеу барысында алдыңғы мəндері жоғалтады. Ал артықшылығы x аргументінің тұрақты жəне айнымалылар қадамын өзгерткенде де табуға болатыны.
Гаусс формуласымен интерполяциялау.
y(x) функциясы кесте түрінде берілсін жəне 2n+1 интерполяция түйіні болсын:
x-n, x-(n-1), …, x-1, x0, x1, x2,…xn жəне h=xi-xi-1=const тұрақты қадам.
Көпмүшелік түрінде берілген , дəрежесі 2n-нен аспайтын функция қарастырамыз. Гаусстың формуласының интерполяциясы мынадай:
306
Формулада берілген ci коэффицентін анықтаймыз.
x=x0болғанда y(x0)=y0=c0
x=x1болғанда y(x1)=y1=c0 +c1(x1-x0) немесе ͳ ൌ௬௫భభି௬ି௫బబൌο௬బ
x=x-1болғанда y(x-1)=y-1=c0 +c1(x1-x0)+c2(x-1-x0)(xܿ-1-x1) немесе
ͳ ൌݕଵെ ܿെ ܿଵሺݔିଵെ ݔሻ
ሺݔିଵെ ݔሻሺݔିଵെ ݔଵሻ ൌݕିଵെ ݕെο௬బሺݔିଵെ ݔሻ
ሺݔିଵെ ݔሻሺݔିଵെ ݔଵሻ ൌοଶݕିଵ ʹǨ ݄ଶ
Орындалған есептеулер ақиқат. Осыларды жалғастырсақ: ܿ
Жаңа айнымалы енгіземіз:
(1.19) формуласына жаңа айнымалыны жəне ci-дың коэффицентінің мəнін қоямыз.
(1.20) формуласы Гаусстың бірінші интерполяциялық формуласы деп аталады. Оған орталық айырымдары кіреді.
Гаусстың екінші интерполяциялық формуласын Гаусстың бірінші интерполяциялық формуласы сияқты аламыз :
Оған орталық айырымдары кіреді.
Интерполяциялық Гаусс формуласын f(x) функциясының интерполяциялауының орта бөлігінде қолданады. Гаусс формуласының кемшілігі мүмкіндіктердің кемшілігі жəне бірдей қашықтықтағы h=const болғанда ғана қолданылуы.
Стирлинг формуласымен интерполяциялау.
Стирлинг формуласы Гаусс формулаларының орташа арифметикасы.
307
Стирлинг формуласын t≤0.25 болғанда қолданады. Ол аргументтің өзгерілу қадамында ғана қолданылады. Жəне бұл оның бар кемшілігі болып табылады.
Бессел формуласымен интерполяциялау.
y(x) функциясы кесте түрінде берілсін, 2n+2 бірмəнді интерполяциялық түйінде x-n, x-(n-1), …, x0, x1, x2,…,xn-1, xn+1 жəне h= xi- xi-1 (i=-n,…,n+1) тұрақты қадамымен.
Бессель формуласы 2n+2 дəрежелі көпмүшелік түрінде берліледі,оның мəні интерполяциялау түйінінде y(x) функциясымен сəйкес келеді.
Бессель формуласы мынадай түрде беріледі:
Мұндағы :
Бессель формуласының интерполяциясы 0.25≤t≤0.75 мəндерінде қолданылады. Бұл формуланы x-тің аргументінің өзгеруінде ғана қолдануға болады.
Беркімбай Р.Ə.1, Нəшірбек Ж.Б. 2 1.Ғылыми жетекші, аға оқытушы
2. Физика-математика жəне жалпы техникалық пəндер кафедрасы,
«Математика» мамандығының 1 курс студенті
