ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫО ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
«Алматы энергетика және байланыс институты»
Коммерциялық емес акционерлік қоғамы
Л.К.Ибраева, Б.Д.Хисаров
БАСҚАРУ ОБЪЕКТТЕРДІ МОДЕЛЬДЕУ ЖӘНЕ ИДЕНТИФИКАЦИЯЛАУ
Оқу қҧралы
Алматы 2009
УДК 681/5/015 (0/75/8) ББК 32.973я73
И15
Басқару объекттерді модельдеу және идентификациялау Оқу қҧралы/Л.К.Ибраева, Б.Д.Хисаров
АЭжБИ, Алматы, 2009. – 207 б.
ISBN 978-601-7098-65-7
Басқару объекттерді математикалық модельдеудің жалпы сқрақтары қарастырылады. Объекттерді модельдеудің негізгі амалдары айтып кетілген:
жинақталған және таратыл,һған параметрлері бар объекттердің дтнамиклық сипаттамаларын аналитикалық әдістерімен анықтау; сызықты объекттерді параметрлік және параметрі емес идентификациялау; сызықты емес объекттерді идентификациялау. Қазіргі кездегі компьютерлік пакеттерді динамикалық жҥйелерді модельдеуге қолдануы бейнеленген.
Оқу қҧралы 050702 – Автоматика және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттер .шін арналған және де осы бағытта мамандалатын магистранттар мен аспиранттарға пайдалы болады.
Без. – 38, кесте – 4, әдеб. кӛрсеткіші – 21 атау.
ПІКІР БЕРУШІ: техн.ғыл.докт., КазҦТУ проф.Казиев Г.К.;
техн.ғыл.докт., КазТКА проф№Битеев Ш.Б.
Қазахстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігінің 2009 жылғы баспа жоспары бойынша басылады.
И 00(05) 09 2404000000
© «Алматы энергетика және байланыс институтының» КЕАҚ, 2009 ж.
Мазмұны
беттер Кіріспе
1 бӛлім. Басқару нысандарды ҥлгілеудің негізгі аспектесі 1.1 Негізгі тҥсініктемелері
1.2 Нысандарды ҥлгілеудің тҥрлерін классификациялау 1.3 Математикалық ҥлгілеудің негізгі терминдері
1.4 Математикалық ҥлгілерді классификациялау 1.5 Ҥлгілеу ҥрдісінің қадамдары
1.6 Ҥлгілерді қҧрастырудың негізгі принциптері
2 бӛлім. Нысандардың сипаттамаларын анықтаудың аналитикалық әдістері
2.1 Динамиканың негізгі теңдеулері
2.2 Динамика теңдеулерін қарапайымдылау 2.3 Теңдеулерді сызықтандыру
2.4 Ҥлгілерді қҧрастырудың блоктық принципі
3 бӛлім Жинақталған параметрлері бар нысандарды аналитикалық әдістермен ҥлгілеу
3.1 Резервуардағы сҧйықтық денгейін реттеу нысанын ҥлгілеу 3.2 Екі резервуардан тҧратын каскадты ҥлгілеу
3.3 Материалды ағындардың динамикасы 3.4 Жылуалмастыру процестерді ҥлгілеу
3.5 Жылулық нысандардың сипаттамаларын аналитикалық әдістерімен анықтау
3.5.1 Бу генераторының қыздырылмайтын бӛлігі 3.5.2 Шашырату жылуалмастырғыш
3.5.3 Бу сиымдылығы
3.6 Жинақтау және таратылған коллекторларды ҥлгілеу 4 бӛлім. Таратылған параметрлері бар нысандарды ҥлгілеу 4.1 Қҧбырдағы процестерді ҥлгілеу
4.2 Магистралды мҧнай қҧбырын ҥлгілеу
5 бӛлім. Нысандарды идентификациялау проблемасы туралы жалпы мәліметтер
5.1 Негізгі тҥсініктемелер
5.2 Идентификациялау әдістерін классификациялау 5.3 Идентификациялау есебінің қойылуы
5.3.1 Идентификациялау нысаны 5.3.2 Нысан туралы ақпарат
5.3.3 Идентификациялау есебінің қойылуы 5.3.4 Идентификациялаудың қиыншылықтары 5.4 Идентификациялау есептерін классификациялау 5.5 Жҥйелердің негізгі сипаттамалары (функциялары) 5.6 Нысандардың теориялық ҥлгілері
6 бӛлім. Сызықты динамикалық нысандарды идентификациялау.
Тура әдістері
6.1 Динамикалық сипаттамаларды тура әдістерімен анықтау 6.2 Ӛтпелі функция бойынша идентификациялау
6.3 Екінші ретті процестердің ӛтпелі функциясы кӛмегімен графикалық идентификациялау
6.4 Импульсты ӛтпелі функциясы кӛмегімен графикалық идентификациялау
6.5 Жиілік сипаттама кӛмегімен идентификациялау
7 бӛлім Сызықты нысандарды параметрлік идентификациялау 7.1 Параметрлік ҥлгілерді бағалау
7.2 Статикалық детерминерленген сызықты ҥлгілер 7.3 Динамикалық детерминерленген ҥлгілер
7.4 Беріліс функцияның коэффициенттерін анықтау әдісі
8 бӛлім. Сызықты динамикалық нысандарды параметрлі емес идентификациялау. Корреляциялық функциялар
8.1 Параметрлі емес ҥлгіні анықтаудың жалпы амалдары 8.2 Сигналдардың корреляциялық функцияларын анықтау 8.3 Импульсты ӛтпелі функцияны статистикалық әдісімен анықтау
8.3.1 Винер-Хопф теңдеуі
8.3.2 Винер-Хопф теңдеуін алгебралық әдісімен шешу 8.4 Тегістелген импульсты функцияны анықтау әдістері 8.4.1 Функцияларды аппроксимациялау туралы қысқаша мәліметтер
8.4.2 Импульсты ӛтпелі функцияның дискретті мәндерін тегістеу
8.4.3 Импульсты ӛтпелі функцияны алдын-ала аппроксимациялауда негізделген идентификациялау әдісі
8.4.4 Импульсты ӛтпелі және корреляциялық функцияларды бірге аппроксимациялауда негізделген идентификациялау әдісі 8.4.5 Сигналдарды аппроксимациялауда негізделген идентификациялау әдісі
8.4.6 Идентификациялау есептерін шешуге қолданылатын ортогоналды полиномдар
9 бӛлім. Сызықты емес нысандарды идентификациялау 9.1 Сызықты емес динамикалық нысанарды
идентификациялаудың ерекшеліктері
9.2 Нысандардың сипаттамаларын сызықтандыруда негізделген әдістер
9.3 Априорлы белгілі тҥрлері бар сызықты емес функцияларын идентификациялау
9.4 Жалпы тҥрдегі сызықты еместіктері бар нысандарды
идентификациялау
9.4.1 Функционалдық ҥлгілер
9.4.2 Бағаланатын параметрлері бойынша сызықты болып табылатын ҥлгілер.
9.5 Иерархты бейсызықты ҥлгіні қҧрастыру
9.6 Алдын-ала ӛңдеу және сйкестікті бағалау алгоритмдері
9.6.1 Нысанның стационарлығы мен сызықтығын бағалау алгоритмдері
9.6.2 Ҥлгінің нақты нысанға сәкестігінің дәрежесін сандық бағалау
10 бӛлім. Динамикалық жҥйелерді практикалық ҥлгілеу 10.1Динамикалық жҥйелерді ҥлгіледің MatLab жҥйесі 10.1.1 Терезені басқару бҧйрықтары
10.1.2 MatLab тікелей есептеулерді жасау режимінде 10.2 MatLab ортасында бағдарламалау
10.3 Жҥйелерді Simulink пакетінде ҥлгілеу
10.3.1 Simulink ішкі жҥйесінің негізгі қасиеттері 10.3.2 Simulink-те ҥлгілерді жасаудың мысалдары 10.4 Оқиғалы ҥлгілеудің негіздері
10.4.1 Simulink пакетінің Statefiow ішкі жҥйесі
10.4.2 Statefiow диаграммасының негізгі элементтері 10.4.3 SF-диаграммасы бар ҥлгілерді қҧрастырудың масылдары
10.5 Жҥйелерді анализдеу және идентификациялау (System Identification Toolbox пакеті)
10.5.1 System Identification пакетінің міндеті
10.5.2 System Identification Toolbox-тың графикалық интерфейсі
10.5.3 Simulink блоктарын қолданып идентификациялау 10.6 Статистикалық мәліметтерді регрессиялық анализдеу 10.6.1 Мәліметтерді жуықтау Curve Fitting Toolbox пакеті 10.6.2 Пайдаланушының мәліметтерімен регрессияны жасау
10.7 Сызықты стационарлы жҥйелерді зерттеу (Control System Toolbox пакеті)
10.7.2 Control System пакетінің міндеті
10.7.2 Графикалық интерейс қҧрылғыларымен жҧмыс жасау 10.8 Сигналдарды санды ӛңдеу (Signal Processing Toolbox)
Әдебиет тізімі Қосымша
Кіріспе
Инженерлік қызмет алдымен техникалық объектілерді жобалаумен байланысқан. Жобалау дегеніміз - ӛнімді жасаудың бейнелеуін алу процесі.
Техниканың әртҥрлі салаларында жобалану объект ретінде ӛнімдер немесе процестер болуы мҥмкін. Ғылым және техника прогресі кҥрделі техникалық объекттердің, яғни ӛзара байланысқан элементтерінің кӛп санынан тҧратын кҥрделі жҥйелердің пайда болуына себеп болады.
Кҥрделі жҥйелерді (осындай жҥйелерге басқару объекттер да жатады) ӛңдегенде, жобалағанда және жасағанда қарастырып отырған объекттердің сандық және сапалық қасиеттерін білу қажет. Кӛп деген жағдайлар себебінен әдетте кҥрделі объекттердегі осындай заңдылықтарын практикалық тексеру мҥмкін емес. Сонымен бірге осындай тексеру кӛп материалдар шығындарын және кӛп уақытты талап етеді. Осы себептерден қарастырып отырған кҥрделі объекттердің қасиеттері мен заңдылықтарын модельдеу әдістері негізінде зерттеудің ӛте кӛп мағынасы бар.
Қазіргі кезде модельдеу әдістерін әр тҥрлі денгейлерде қолданбайтын адам қызмет саласы жоқ деп есептеуге болады. Әсіресе осы сҧрақ алынған ақпарат негізінде шешім қабылдау процестер маңызды болатын әртҥрлі жҥйелерді басқару саласына қатысы. Қоршаған орта туралы біздің тәжірибелеріміз біздің қабылдауымызда негізделген. Бҧл мәлімет бірақ тікелей қолданылмайды. Әдетте ол объектті бейнелеп зерттеуге қолданылатын қарапайым қасиеттер жиынына тҥрленеді. Сапа жағынан қасиеттер жақсы, жаман, ауыр, т.б. болуы мҥмкін, бірақ модельдеу ҥшін біз кӛбінесе ӛлшенетін сандық қасиеттерін қолданамыз. Зерттелетін шамалар объекттегі нақты шамалардан қарапайым болған кезде ғана зерттеулерді ӛткізуге болады.
Сонымен бірге барлық қасиеттер бір уақытта қарастырылмайды. Әдетте қасиеттер жиынынан бізге бірсыпыра қасиеттері керек. Мысалы, бір қҧжаттың ксерокопиясын қарастырайық. Кӛшірім жасаған кезде қҧжаттың кӛп деген қасиеттері ӛзгереді: қағаз, оның форматы басқа болуы мҥмкін. Бірақ бізге тек қана қҧжаттың мазмҧны керек болса, біз кӛшірмеге қанағаттанамыз. Тек қана қажетті қасиеттердің минимал санын қарастыру мақсатымен модель әдейі қарапайымдалады.
Оның маңызды қасиеттері туралы ақпарат алу мақсатымен оригинал- объектті басқа модель-объектпен орын басу процесін модельдеу деп атайды.
Объект туралы ақпарат алу ҥшін объектті модель арқылы кӛрсетуді модельдеу деп тҥсінуге болады.
Модельдеу принципі сыртқы немесе ішкі факторлары әсер беретін жҥйені оның анықталған немесе әртҥрлі жағдайдан белгісіз кҥйіне жеткенді бақылауда негізделген. Осы кӛшуде белгілі шарттарда жҥйе жҧмыс жасай алатынын немесе жасай алмайтынын тҥсінуге модельдеу мҥмкіндік береді. Кҥрделі жҥйенің жҧмыс сапасын анықтау, жҥріс-тҧрысының оптималды қҧрылымы мен алгоритмін таңдау, оған қойылған мақсаттарға сәйкес жҥйені қҧрастыру қазіргі кездегі кҥрделі жҥйелерді жобалағандағы басты есеп болып табылады.
Технологиялық агрегатты жобалауы бір уақытта оны ӛңдеу мен жасау процестерімен бірдей ӛтеді, бҧл жағдай басқару жҥйелерді жобалау процесінің ерекше ӛзгешелігі болып табылады. Сонда әлі жасалынбаған техникалық қҧрылғының қасиеттері туралы ақпаратты алудың жалғыз жолы бар - осындай жҥйелердің элементтерін сипаттайтын процестерді аналитикалық бейнелеу.
Зерттелетін объекттің белгілі ерекшеліктеріне физиканың (кей кезде химияның да) теориялық заңдылықтар жиындарын қолдану аналитикалық әдістерінің негізі болып табылады. Басқа сӛзбен айтқанда модельдеудің аналитикалық әдістері басқару объектте ӛтетін барлық процестерінің қҧрылымдары мен физика-химия ерекшеліктерін есепке алады.
Кӛп жағдайларда жобалау қадамында ҧсынылған модель нақты объекттен ӛте ӛзгеше болады, сондықтан ӛңделген басқару жҥйенің тиімділігі тӛмендейді.
Осыған байланысты басқару теориясында тағы бір бағыт пайда болды. Ол бағыт модельдерді бақылуалар негізінде қҧрастыруды қолданады, бақылаулар объекттің жҧмыс кезіндегі оның кірістеғі және шығыстағы айнымалылары арқылы алынған. Осы бағыт жҥйелерді идентификациялау деп аталады. Бҧл бағытта ӛзінің принциптері, әдістері, амалдары ӛңделген; олар ғылым мен техниканың әртҥрлі салаларында кең қолданылады, сонымен бірге, биологияда, медицинада, аэронавтикада, экономикада.
Модель ешқашан да жеткілікті толық болмайтынын тҥсіну қажет. Ол әрқашан да шектелген және модельдеу мақсаттарына сай болуы керек, берілген объекттің қажетті қасиеттер сандары мен олардың толықтығы анықталған зерттеуге қажетті болатындай бейнеленеді.
Модельді зерттеу қадамында модельдеудің уақыт интервалында модель параметрлерінің белгіленген мәндерінде модельденетін жҥйенің жҥріс-тҧрысы , яғни модельді «орындау» («execution») жаңадан ӛндіріледі. Әдетте ізделінген нәтижеге жету ҥшін модельді бір рет орындау жеткілікті болмайды. Зерттеу табысы кӛбінесе есептеу тәжірибені автоматтандыру мҥмкіндіктерден тәуелді болады. Қазіргі кездегі компьютерлік модельдеу пакеттері есептеу тәжірибелерді ҧйымдастырғанға виртуалды стенд концепциясын қолданады.
Алынған модельді аналитикалық жолмен зерттеуге болады, бірақ кӛбінесе оны орындайтын бағдарлама дайындалады. Компьютерлік модельдеудің бастапқы қадамдарында осы бағдарламалар жоғарғы деңгейлі бағдарламалау тілдерде жасалған, ол кезде қолданылатын бағдарламалау технологиялар модельдерді жасауға ӛте кӛп уақытты талап ететін. Қазірде математикалық модельді модельдеу бағдарламаға тҥрлендіру процесін автоматтандыратын модельдеуге арналған кӛп деген жҥйелер, модельдеу пакеттер ӛңделген.
Қазіргі пакеттерді қолданушының кӛзқарасы жағынан компьютерлік модельді қҧрастыру негізінде модельдің математика тіліндегі бейнелеуін қолданылатын жҥйенің тіліне кӛшіруге және ҧсынылған сандық әдістердің ішінен керектісін таңдауда тҧрады.
1 бӛлім. Басқару объекттердің математикалық модельдеудің жалпы аспектілері
1.1 Негізгі түсініктемелер
Ғылыми зерттеулерде бақылаудан немесе тәжірибелерден алынған мәліметтердің аз сандарында негізделген болжамдардың - гипотезалардың кӛп мағынасы бар. Ҧсынылған гипотезаларды тез және толық тексеру арнайы тәжірибелер арқылы орындалады. Гипотезаларды тҧжырымдап, олардың дҧрыс екенін тексеру ҥшін аналогиялар, яғни екі объекттің дербес ҧқсастығы туралы пікірлер қолданылады. Гипотезалар әдетте практикада тексерілетін ғылыми пікірлерге ҧқсастығы бойынша жасалады. Сонымен, аналогиялар гипотезалары тәжірибемен байланыстырады. Нақты ортаны суреттейтін гипотезалар мен аналогиялар кӛрнекілік болып, сонымен бірге зерттеуге ыңғайлы логикалық сҧлбалар тҥрде кӛрсетілуі керек. Пікірлер мен логикалық қҧрастыруларды жеңілдетіп, қҧбылыстар табиғатын анықтайтын тәжірибелерді ӛткізуге мҥмкіндік беретін логикалық сҧлбалар модельдер деп аталады. Басқа сӛзбен айтқанда, модель дегеніміз нақты объектті орынбасатын объект. Осындай модель объекттің қҧрастыру процесін модельдеу деп атайды. Модельдеу нақты объекттің қасиеттерін орынбасар объект кӛмегімен зерттеуге мҥмкіндік береді.
Модельдеу - әртҥрлі процестер мен қҧбылыстарды зерттеуге қолданатын кӛп тараған әдіс. Процестердің кҥрделілігіі процестің ӛтуін анықтайтын параметрлерінің кӛп санымен, параметрлер арасындағы әртҥрлі ӛзара байланыстар және ӛзара әсерлермен анықталады. Біздер зерттеулерді жеңілдету мақсатымен осындай ақпараттар кӛлемін азайтуға, таңдалынатын мҥмкіншіліктер санын шектеуге тырысамыз. Бҧл мақсатқа жету ҥшін процестерді зерттеуге модельді яғни зерттелетін процестің қажетті бағытта шектелген бӛлек сипаттамаларын бейнелейтін қарапайымдалған жҥйені қолданамыз. Берілген қҧбылыс, процесс немесе техникалық жҥйені тікелей зерттеу орнына модель деп аталатын басқа қҧбылысқа, процеске немесе техникалық жҥйеге кӛшу модельдеудің мәнісі болып табылады. Осындай кӛшудің негізгі мақсаты – зерттеуді жеңілдету, біздерге керекті шамаларды анықтауға қол жеткізу, зерттелетін қҧбылыстарды жасанды жаңадан ӛңдеу.
Модельдеу – әртҥрлі жҥйелер мен қҧрылғылардағы ӛтіп жатқан процестерді олардың «табиғатта» немесе «темірде» жасалуынсыз зерттеуге арналған әдіс. Кӛп жағдайда бҧл жҥйелер мен қҧрылғылардың жобалануының этаптарын бірнеше есе тиімді және тезірек, ал кейбір жағдайда (ядролы, энергетикалық және ғарыштық қҧрылғыларды модельденеді) адам ӛмірінің сақталуына және экологиялық зиянды жоюға келтіреді.
Сонымен қатар модельдеу нықты жуйелер мен қҧрылғыларды басқаруға да пайдаланылады. Соның ішінде басқару объект тҥсінігіне бізді қызықтыратын және біз мақсатты тҥрде әсер ете алатындай, яғни басқара алатын қоршаған ортаның бӛлігі кіреді.
Сонымен қатар моделдеу нақты жуйелер мен қҧрылғыларды басқаруға да қолданылады. Соның ішінде басқару объекттері тҥсінігінде бізді қызықтыратын және біз мақсатты тҥрде әсер ете алатындай, яғни басқара алатын қоршаған ортаның бӛлігі кіреді.
Сонымен, берілген объекттің барлық немесе кейбір қасиеттерімен сәйкес келетін қасиеттері бар кез келген объектті берілген объекттің моделі деп атаймыз. Нақты объектте ӛткізуге қиын немесе ыңғайсыз қымбат болатын зерттеулерді ӛткізу ҥшін модель жасалады.
Модельді жасаудың кейбір мақсаттары мен негізгі зерттеу тҥрлерін белгілеуге болады:
- мәнін тҥсіну қҧралы ретінде модель айнымалылардың ӛзара байланыстарын, олардың уақыт бойынша ӛзгеру айырмашылықтарын, маңызды заңдарын анықтауға мҥмкіндік береді. Модельді жасаған кезде зерттелетін объекттің қҧрамы тҥсінікті болады, маңызды себеп-салдар байланыстары анықталады. Модельді қҧрастырған кезде бірте-бірте модельге қойылатын талаптар қӛзқарасы жағынан бастапқы объекттің қасиеттері маңызды және маңызды емес деп бӛлінеді. Бастапқы объект жҧмысының біздерге қажетті қасиеттеріне қатыс болатын ерекшеліктері ізделінеді. Белгілі мағына жағынан ғылыми қызмет табиғат қҧбылыстарының модельдерін қҧрастырылған зерттеулерден тҧрады;
- болжау қҧралы ретінде модель объекттің жҥріс-тҧрысын болжауды ҥйреніп, әртҥрлі модель басқару нҧсқаларын сынап, оны басқаруға мҥмкіндік береді. Әдетте нақты объекттермен тәжірибе ӛткізу ыңғайсыз, кейбір кезде қауіпті немесе кейбір себептерден - тәжірибе ҧзақтығы, объекттің бҥлінуі немесе жойылу қауіп-қатерінен, нақты объекттің жоқтығынан (мысалы, ол әлі жобалануда) мҥмкін емес;
- қҧрастырылған модельдерді параметрлердің оптималды қатынастарын табуға, кейбір ерекше режимдерін зерттеуге қолдануға болады;
- кейбір кезде модель бастапқы объектті оқыту мақсатымен орын басады, мысалы, персоналды нақты жағдайдағы жҧмысқа дайындағанда тренажер ретінде немесе виртуалды зертханада зерттелетін объект ретінде қолдануда.
Орындалатын модульдер тҥрінде жасалған модельдер басқару жҥйелерді стендтерде зерттегенде басқару объекттердің имитаторлары ретінде қолданылады, жобалаудың бастапқы кезеңдерінде болашақ аппаратты жасалатын басқару жҥйелердің ӛзінің орнын басады.
1.2 Объекттерді модельдеу түрлерінің классификациясы
Модельдерді жағдайға байланысты екі топқа бӛлуге болады: материалды және идеалды; сондықтан заттық және абстрактты модельдеуді қарастыруға болады. Заттық модельдеудің негізгі тҥрлері физикалық және аналогты модельдеу болып табылады.
Нақты объектке оның ҥлкейтілген немесе кішірейтілген кӛшірмесі сәйкес қойылса, модельдеуді (макеттеуді) физикалық деп атайды. Бҧл кӛшірме
ҧқсастық теориясы негізінде зерттелетін қҧбылысты сипаттайтын негізгі саңдардан алынған ҧқсастық критерийлер бойынша жасалады, сондықтан модельде қажетті қасиеттер сақталынды деуге болады. Физикалық модельдерде белгілі зерттеуге қажетті бастапқы объекттің геометриялық пропорцияларынан басқа да қасиеттері сақталынады (мысалы, объект материалы немесе бояу гаммасы). Мысалы, ҧшақты жобалаған кезде аэродинамикалық қасиеттері бірдей болатын оның макеті жасалады. Физикалық модельді жасағанда келесіні есепке алу керек: нақты жҥйеге қарағанда талдаудың қуатты әдістерін қолдануға мҥмкіндік беретіндей модельмен жҧмыс істеу қарапайым және қауіпсіз болуы керек.
Қарапайым жҥйелер ҥшін (мысалы, гидравликалық немесе бірфазалы жылулық жҥйелер) ҧқсастық принципі және физикалық модельдеу ӛзін дәлелдейді, себебі критерийлер сандары шектелген болады. Физикалық модельдеудің негізгі кемшілігі – объекттің әр нҧсқасында ӛзінің моделін жасау керек, бҧл жағдай материалды ресурстарын және жҧмыстың кӛп кӛлемін талап етеді. Сонымен физикалық модельдеуді қолданудың аймағы шектелген, сондықтан кҥрделі жҥйелерді зерттеудің негізгі әдісі математикалық модельдеу болып табылады.
Аналогты модельдеу бастапқы объектті басқа физикалық табиғаты бар, бірақ жҥріс-тҧрысы бастапқы объектпен бірдей болатын объектпен алмастыруда негізделген. Мысалы, тербелістер мен резонансты зерттегенде механикалық жҥйелер заңдылықтарын, сонымен бірге электр тізбектерін қолдануға болады. Аналогты модельдеуде орынбасу объектте керекті ерекшеліктерін кӛріп, оларды дҧрыс тҥсіну ӛте маңызды. Аналогияның ең жоғарғы дәрежесі болып тек қарапайым объекттерге ғана орны бар толық аналогия табылады. Объекттің кҥрделігіне қарай келесі дәрежелі аналогияларды пайдаланады, бҧл кезде аналогты модель объекттің жҧмысының бірнеше немесе тек бір жағын кӛрсетеді.. Әдетте аналогиялық жҥріс-тҧрысы бар объекттерге бір модельді пайдалана беруге болады.
Физикалық және аналогты модельдеу зерттеудің негізгі әдісі ретінде модельмен тәжірибе жасауды талап етеді, бірақ бҧл тәжірибе бастапқы объекттегі тәжірибеден тартымды болады. Кезінде аналогты есептеу машиналары кең қолданылған. Олардың кӛмегімен модельдеу ӛткізу электр қҧбылыстарыңың басқа физикалық табиғаты бар қҧбылыстармен ҧқсас болуында негізделген. Мысалы, электр тізбектегі тербелістер ракетаның бҧрыш тербелістеріне ҧқсас, ал электр тізбекпен тәжірибелерді ӛткізу арзан және қауіпсіз (ҧшып баражатқан ракетаға қарағанда). Аналогты машиналарда жаңадан ӛңделетін электр тербелістерді арнайы аспаптармен – осцилографтармен бақылап, модельдің жҥріс-тҧрысын «кӛруге» болады.
Идеалды модель дегеніміз - нақты немесе елестететін объекттердің абстрактты бейнелері. Идеалды модельдеуді екі тҥрге бӛледі: интуитивті және таңбалы.
Қолданатын модель болғанымен, оны бейнелей алмай, бірақ оның кӛмегімен қоршаған ортаны болжап немесе тҥсініктіру ӛткізсе, интуитивті
модель туралы әңгімелегеніміз. Осы мағынада әр адамның ӛмірлік тәжірибесі оның қоршаған ортасының моделі деп есептеуге болады. Әртҥрлі жағдайда адам миы шешім қабылдау есебін қалай шешетінін біз әлі білмейміз.
Модель ретінде белгілерді немесе символдарды: сҧлбалар, графиктер, сызбалар, әртҥрлі тілдердегі мәтіндер, сонымен бірге формалды, математикалық формулалар және теорияларды қолданатын модельдеу таңбалы модельдеу деп аталады. Таңбалы модельдеуге міндетті тҥрде қатынасатын интерпретаторы болуы керек (әдетте адам болады). Сызбалар, мәтіндер, формулалардың ӛз бетінше ешқандай мағынасы жоқ, оларды тҥсінетін және кҥнделікті қызметінде қолданатын біреу болуы керек.
Таңбалы модельдеудің маңызды тҥрі математикалық модельдеу болып табылады. Объекттердің физикалық табиғатынан дерексіздендіріп, математика идеалды объекттерді оқиды. Математикалық модельдеу табиғат заңдарының саны шектеулігінде және ҧқсастық принциптерінде негізделген. Яғни басқа сӛзбен айтқанда әртҥрлі физикалық табиғаты бар қҧбылыстар бірдей математикалық тәуелділіктермен бейнеленулері мҥмкін. Мысалы, дифференциалдық теория кӛмегімен аталып кеткен электр немесе механикалық тербелістерді жалпы тҥрде оқуға, сонан соң алынған білімдерді белгілі физикалық табиғаты бар объектті зерттеуге қолдануға болады.
Математикалық ӛрнектермен немесе алгоритмдермен формалданған жҥйе бейнеленуі математикалық модельдеу деп аталады. Кез келген физикалық шамалардан тҧратын математикалық ӛрнекті процестің математикалық моделі ретінде қарастыруға болады. Физикалық модельдеуге қарағанда математикалық модельдеу оригиналдың тек қана математикалық бейнелеуі бар және математикалық ӛрнектермен байланысқан параметрлерін зерттеуге мҥмкіндік береді. Сонымен бірге зерттелетін процестің физикасы сақталмайды, математикалық модельдер табиғаты жағынан әртҥрлі қҧбылыстарды бірдей теңдеулермен бейнелеп, объекттің жҥріс-тҧрысын толық бейнелемей, оның бӛлек функционалды байланыстарын табуға мҥмкіндік береді.
Сонымен, нақты объекттің математикалық моделі деген берілген физикалық объектке сәйкес қойылған математикалық объект деуге болады.
Әрине, нақты физикалық байланыстарды кӛрсететін математикалық тәуелділіктерді анықтайтын ӛрнектер белгілі болу керек. Келешекте біздер тек қана математикалық модельдер туралы әңгімелейміз.
Математикалық модельдеудің маңызды тҥрі – компьютерлік модельдеу.
Әртҥрлі қызмет бағдарламаларды қосындылап (мысалы, уақыт бойынша сурет немесе графиктерді салатын), математикалық модельдің бағдарламалық іске асырылуы компьютерлік модель деп аталады. Компьютерлік модельдің екі – бағдарламалық және аппаратттық. қҧрамы болады. Бағдарламалық қҧрамы сонымен қатар абстрактылы таңбалық модель болып табылады. Бҧл тек математиктар мен программисттармен ғана емес, сонымен қатар техникалық қҧрылғы – процессормен де интерпретацияланатын, абстрактылы модельдің басқа формасы. Физикалық қҧрылғымен - компьютермен қабылданып, онымен
интерпретацияланса, компьютерлік модель физикалық модельдің қасиеттерін білдіреді.
Компьютерлік модель физикалық қҧрылғы ретінде сынақ стендтер, тренажерлар, виртуалды зертханалар қҧрамына кіруі мҥмкін. Бҧл модельдің арнайы тҥрі, ӛзінде абстрактты және физикалық қасиеттерін қабылдайтын, кӛп деген пайдалы мҥмкіндіктері бар. Солардың ішіндегі бастысы – модельді жасау және ӛзгерту ӛте қарапайым процесс болып табылады. Сонымен бірге алынатын нәтижелерінің дәлдіктері ӛте жоғары және модельдердің функционалды қҥрделі болатынын атап кету керек. Сондықтан, қазірде модельдеу деп әдетте компьютерлік модельдеуді атайды.
1.3 Математикалық модельдеудің негізгі терминдері
Кез келген математикалық модель келесі: компоненттер, айнымалылар, параметрлер, функционалдық тәуелділіктер, шектеулер деп аталатын қҧрастырушылардың реттелген комбинациясы болып табылады.
Сәйкес ҧйымдастыру амалымен жҥйені қҧрастыратын қҧрамдастыру бӛліктерді модель компонеттері деп тҥсінеді. Компоненттер бӛлінбейтін қҧрамдастырушылар (модель "элементтері") немесе "ішкі жҥйе" болып табылатын қҧрамдастырушылар болуы мҥмкін.
Әдетте жҥйенің кірістері мен шығыстары айнымалылар деп, ал басқа шамалар – параметрлер деп аталады. Мҧндай келісім шарт бойынша алынады.
Қосымша келісімдер болмаса қайсысы айнымалы, қайсысы параметр деген сҧраққа жауап табылмайды. Осындай келісім ретінде, мысалы, функциялар класы алынуы мҥмкін. Айнымалыларды кірістегі және шығыстағы айнымалы деп бӛлгеніміз де абсолютты болмайды. Мҧндай бӛлу тек қана анықталған жҥйеге қолданылады. Зерттелетін жҥйенің анықталған қасиеттеріне сҥйену керек. Жҥйе кірістері (экзогендік айнымалылар) жҥйеден тыс пайда болады және сыртқы себептер әрекеттері нәтижесінен туады; жҥйе шығыстары (эндогендік айнымалылар) экзогендік айнымалылар жҥйеге әсер еткен себебінен жҥйеде пайда болады.
Математикалық модельдердің бас қҧрастырушылары – функционалдық тәуелділіктер. Олар жҥйенің немесе компоненттің айнымалыларының және параметрлерінің жҥріс-тҧрысын бейнелейді. Әдетте олар экзогендік (х) және эндогендік (у) айнымалылар немесе айнымалылар және олардан тәуелді параметрлер (р) арасындағы ішкі қатынастарды орнатады:
) , ( )
) , ( )
y x p
á
x p y
a
(1.3.1) φ функциясы кӛбінесе операторлық (немесе оператор), ал ψ функциясы – параметрлік деп аталады. Жҥйенің жҧмысының заңы аналитикалық, графикалық, кестелік, т.б. тҥрде берілуі мҥмкін.
Модельдердің соңғы қҧрамдастырушысы – шектеулер.
Қарапайым кезде шектеулер деп модель аргументтерінің векторының ӛзгеру аймағын тҥсінеді xDx. Модель параметрлері де кейбір рҧқсат етілген аймақта берілуі мҥмкін pDp.
Кӛбінесе модельденетін жҥйе қоршаған ортаға әсер етпейді деп белгіленеді. Қоршаған ортаның әсерін есепке алмау негізделген болуы керек.
1.4 Математикалық модельдердің классификациясы
Классификацяның қажеттілігі тәжірибеде пайдаланатын басқарылатын объекттің қайсыбір қасиеттерін кӛрсететін ақпарат алуда туындаған.
Қолданудың әртҥрлі аспектілерін қанағаттандыратын жалпы универсалды модельді жасау мҥмкін емес.
Классификациялаудың негізінде φ оператордың ерекшеліктері жатады.
Уақыттық және кеңістіктік белгілері бойынша басқару объекттердің барлық тҥрлерін келесі кластарға бӛлуге болады:
- статикалық немесе динамикалық;
- сызықты немесе бейсызықты;
- уақыт бойынша ҥздіксіз немесе дискретті;
- стационарлы немесе стационарлы емес;
- параметрлері кеңістік бойынша ӛзгеретін процестер және параметрлі кеңістік бойынша ӛзгермейтін процестер.
Математикалық модельдер сәйкес объекттерді суреттейтін болғандықтан, оларға да осы кластарды қолдануға болады. Модельдің толық атауына айтылған белгілердің барлығы кіруі мҥмкін. Мысалы, классикалық автоматты реттеу теориясы кӛбінесе жинақталған параметрлері бар сызықты стационарлы динамикалық модельдерді қарастырады..
Атап ӛтілген белгілер модельдердің сәйкес типтер атауларының негізі болып табылды. Кіріс және шығыс айнымалылары сәйкесінше x және y векторларымен кӛрсетілген (1.3.1) операторлы теңдеулердің жалпы тҥрін қарастырамыз. Бҧл жағдайда операторлар параметрі р матрица тҥрінде кӛрсетілуі керек. Сонымен қатар басқару есептерінің кӛз қарасы жағынан x, y және р процестер, яғни уақыт функциялары x(t), y(t), p(t) ретінде қарастыру керек. Кейбір кезде, арнайы дәлелдеу қажет болмаса, x пен y ҥшін t аргументін орнатпауға болады.
Жҥйеде зерттелетін процестер сипаттарына сәйкес модельдердің барлығын келесі тҥрлерге бӛлуге болады.
Процесте кез келген кездейсоқ әсерлер жоқ деп есептелсе, процесс детерминерленген (анықталған) деп аталады; осындай процестерді бейнелейтін модельдер – детерминерленген модель болады.
Ықтималдық процестер мен оқиғаларды бейнелейтін модельдер стохастикалық модель деп аталады; бҧл кезде кездейсоқ процестің бірсыпыра іске асырылуы болжанып, орта сипаттамалары бағаланады.
Стационарлы және стационарлы емес модельдер. Егер де φ оператордың тҥрі және оның p параметрлері уақыт бойынша ӛзгермесе, яғни келесі орындалса
)].
( [ ]
), (
[
p t x p t
онда модель стационарлы болып табылады.
Бҧл жағдайда функцияның жазылуынан t аргументін тҥсіруге болады:
).
,
( p x
y
Егер де модель параметрлері уақыт бойынша ӛзгеретін болса, онда модельді параметрлік стационарлы емес деп атаймыз:
].
), (
[ p t x
y
Уақыттан функция тҥрі де тәуелді болуы мҥмкін. Бҧл жағдай стационарлы еместіктің ең жалпы тҥрі болады. Бҧл кезде функцияға тағы бір аргумент қосылады:
].
, , [ p t x
y
Статикалық және динамикалық модельдер. Модель тҥрлерін осылай бӛлгеннің негізінде зерттелетін объекттің материалды жҥйе ретінде қозғалысының ерекшеліктері жатады.
Басқару есептер кӛзқарасы жағынан модельдер туралы әңгімелесек, мынаны ескерткен жӛн: геометриялық тҥсінікте және механикалық жҥйелерге қатысты кеңістік тҥсінігі технологиялық процестердің кең кластарына тарлық етеді. Сонымен қатар кӛптеген басқару объекттеріне элементтердің ӛзара орын ауыстыруы емес, олардың ішкі кҥйінің ӛзгерісі сипатталады. Сондықтан кеңістік тҥсінігінде геометриялық кеңістік емес, объект мен оның моделінің кҥй кеңістігін тҥсінеміз. Бҧл кезде объект кҥйін немесе осы кҥйді модель арқылы болжауын эндогендік айнымалылар болатын шығудағы y кҥй координаталарымен бағалаймыз. y векторының элементтері ретінде әдетте бақыланатын технологиялық параметрлер (шығын, қысым, температура, ылғалдық, тҧтқырлық, ж.б.) болады. y векторының элементтерінің қҧрамы объекттің ӛзі ҥшін (модельге қарағанда) толығырақ болуы мҥмкін, себебі модельдеу кезде нақты объекттің қасиеттерінің тек қана бір бӛлігін оқу қажет.
Сондықтан y векторы жайлпы айтқанда, оны модельге қатысты деп есептеп және сол бойынша объекттің жҥрісінің болжамына баға береміз. Сӛйтіп, кҥй кеңістігінде және уақыт бойынша басқару объекттің қозғалысы y(t) векторлық процесс кӛмегімен бағаланады.
Егер де жҥйе кҥйі ӛзгермесе, яғни жҥйеде тепе-теңдік орындалса, жҥйе моделі статикалық деп аталады, бірақ қозғалыс тепе-теңдіктегі объекттің статикалық кҥйімен байланысқан. Статикалық модельдердің математикалық бейнелеуіне айнымалы ретінде уақыт кірмейді, бҧл бейнелеу алгебралық теңдеулерден немесе (объект таратылған параметрлері бар объект болса)
дифференциалдық теңдеулерден тҧрады. Статикалық модельдер әдетте сызықты емес болады. Олар объекттің бір режимнен басқа режимге кӛшу себебінен пайда болатын тепе-теңдік жағдайын тура бейнелейді.
Динамикалық модель объекттің кҥйінің уақыт бойынша ӛзгеруін бейнелейді. Осындай модельдердің математикалық бейнелеуіне міндетті тҥрде уақыт бойынша туынды кіреді. Динамикалық модельдер дифференциалды теңдеулерді қолданады. Бҧл теңдеулердің дәл шешімдері дифференциалдық теңдеулердің тек қана бірсыпыра кластарына белгілі. Кӛбінесе жуықты болатын сандық әдістерді қолдану керек болады.
Басқару мақсаттарымен кӛбінесе динамикалық модельді кірудегі және шығудағы айнымалыларды байланыстыратын беріліс функция ретінде кӛрсетеді.
Сызықты және сызықты емес модельдер. Математикадағы анықтама бойынша келесі
).
( (
)
(
1x
1 2x
2 1L x
1 2L x
2L
шарт орындалса L(x) функциясы сызықты болады.
Сол сияқты кӛп ӛлшемді функциялардыңда сызықтылығы анықталады.
Сызықты функцияда тек қана алгебралық қосу және айнымалыны тҧрақты коэффициентке кӛбейту операциялары қолданылады. Егер де модель операторының ӛрнегінде сызықты емес операциялар болса, модель бейсызықты болады, кері жағдайда – сызықты.
Сызықты және бейсызықты объекттердің негізгі айырмашылығы соңғысына суперпозиция принципінің орындалмауы болады. Бҧл принципке сәйкес егер де y1 шығыс сигналы x1 кіріс сигналымен, ал y2 шығыс сигналы x2
кіріс сигналымен анықталатын болса, онда объектке αx1 + βx2 сигнал тҥскенде, шығыста αy1 + βy2 тҥрдегі сигнал бақыланады. Суперпозиция принципі бастапқы шарт (жалпы шешім), сонымен қатар кіріс сигналы (жеке шешім) бойынша орындалады. Сызықты модель жағдайында еркін кірістегі сигналдар ҥшін шығыстық сигналды анықтауға объектті сипаттайтын бір уақыттық функцияны білу жеткілікті. Суперпозиция принципі айнымалы коэффициенттері бар сызықты теңдеулерге де қолдорындалатынын атап кеткен жӛн. Бірақта инженерлік жоспарда айнымалы коэффициенттердің болуы біраз айырмашылыққа әкеледі.
Жинақталған және таратылған параметрлері бар модельдер. Кіргізген терминология бойынша модель атауында ―параметрлер‖ сӛздің орнына ‖кҥй координатасы‖ тҥсініктемесін қолдану дҧрыс болар еді. Бірақ бҧл технологиялық процестерді модельдеу тақырыбы бойынша жҧмыстардың бәрінде кездесетін қалыптасқан атау. Мысалы, қазан оттығы кеңістігінің әр нҥктесінде факел температурасы әрқалай. Жылытатын және суытатын қоспалар және т.б. температуралары жайлы да осыны айтуға болады.
Егер де процесс айнымалылары уақыт бойынша, сонымен бірге кеңістік бойынша да (немесе тек кеңістік бойынша) ӛзгеретін болса, онда осындай процестерді бейнелейтін модельдер таратылған параметрлері бар модельдер
деп аталады. Бҧл кезде (1.3.1) сияқты операторлық (ал, кей кезде параметрлікте) функциялар тҥріне геометриялық координаталар z=(z1,z2,z3) енгізіледі. Векторлық тҥрде бҧл теңдеулер мына тҥрде болуы мҥмкін:
].
, ), ( [ )
(
], , ), ( [ )
(
x z z y z
p
x z z p z
y
Олардың математикалық бейнелеуі әдетте дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерден немесе қарапайым дифференциалдық теңдеулерден (жалғыз кеңістік координатасы бар стационарлы процестерде) тҧрады.
Егер де объекттің кҥй координаталар мәндерінің кеңістік бойынша біркелкі еместігін есепке алмауға болса, яғни келесі градиент
) 0
(
z
z y
,
болса, сәйкес модель – жинақталған параметрлері бар модель болады. Олар ҥшін масса мен энергия бір нҥктеде жинақталған сияқты. Бҧл объектке мысал ретінде араластырғышпен араластырып тҧрған, сҥйқтығы бар қыздырылып тҧрған резервуарды алуға болады. Кейбір объекттерде табиғи араластырудың ӛзінде соңғы шарттың жуықтап орындалуына жетуге болады.
Кеңістіктің ӛлшемі міндетті тҥрде ҥшке тең болмауы мҥмкін. Мысалы, жылытылатын жҧмыс ортасы бар және жҧқа бҥйірлі сырты бар қҧбырдың моделі әдетте объекттің бір ӛлшемділігін қолданады – тек қана қҧбыр ҧзындығы есептелінеді. Сонымен бірге, қалың бҥйір арқылы жҧмыс ортаның шектелген кӛлемге жылы тасымалдау процесі де тек қана бҥйір жуандығын есепке алатын бір ӛлшемді модельмен бейнелене алады, т.б. Белгілі объекттер ҥшін сәйкес теңдеулердің тҥрі негізделуі керек.
Уақыт бойынша үздіксіз және дискретті модельдер. Уақыт ҥздіксіз аргумент ретінде қарастырылатын объект кҥйін бейнелейтін модельдер уақыт бойынша үздіксіз модель болады:
).
( ), ( [ )
(
)], ( ), ( [
t x t y t
p
t x t p y
Санды есептеу техникасының кең пайдалануынан мҧндай модельдер жҧмыс істеу ∆t қадаммен уақытты кванттауды қажет етеді. Сондықтан t ҥздіксіз шкаласының орнына t it, дискретті шкаланы қарастыру қажет болады, мҧндағы t0,1.2... мәндерінде уақыт мағнасы бар. Сондықтан ҥздіксіз модель уақытт бойынша дискретті болатын модельмен ауыстырылуы қажет:
