• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Аналитикалық геометрия

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Аналитикалық геометрия"

Copied!
148
0
0

Толық мәтін

(1)

Ө. Сұлтанғазин атындағы

Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті Жаратылыстану-математика факультеті Физика-математикалық пәндер кафедрасы

Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә.

Аналитикалық геометрия

Есептер жинағы

Қостанай 2019

(2)

ӘОЖ 514.7(075.8) КБЖ 22.151 я73

А 88

Құрастырушылар:

Асқанбаева Ғ.Б. – физика-математикалық пәндер кафедрасының аға оқытушысы,

Беркімбай Р.Ә. – физика-математикалық пәндер кафедрасының аға оқытушысы

Сын пікір берушілер:

Ысмағұл Р.С. – ф-м.ғ. кандидаты (А. Байтұрсынов атындағы ҚМУ, математика кафедрасының доценті)

Калжанов М.У. – ф-м.ғ. кандидаты (ҚМПУ, физика-математикалық пәндер кафедрасының доценті)

А 88 Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә.

Аналитикалық геометрия: оқу құралы /

Ғ.Б. Асқанбаева, Р.Ә. Беркімбай – Қостанай, 2019. – 148 б.

ISBN 978-601-7601-07-2

Оқу құралында аналитикалық геометрияның барлық бөлімдері қамтылған.

Пәннің әрбір тарауы үшін қысқаша теориялық мәліметтер беріліп, есептер жинағы ұсынылған. Оқу құралының соңында есептердің жауаптары келтірілген.

Оқу құралы 6В01501 – Математика білім беру бағдарламасы бойынша оқитын студенттерге арналған.

ӘОЖ 514.7(075.8) КБЖ 22.151 я73 Қостанай мемлекеттік педагогикалық университетінің

ғылыми кеңесінің шешімімен баспаға ұсынылады ISBN 978-601-7601-07-2

© Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә., 2019

© ҚМПУ, 2019

(3)

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ... 5

1 БӨЛІМ. Жазықтықтағы аналитикалық геометрия 1 Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым есептері 1.1 Түзудегі декарттық координаталар... 6

1.2 Жазықтықтағы декарттық координаталар... 8

1.3 Полярлық координаталар... 9

1.4 Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері... 12

1.5 Үшбұрыштың ауданы... 18

1.6 Координаталарды түрлендіру... 19

2 Жазықтықтағы сызықтың теңдеуі 2.1 Екі айнымалы функция... 22

2.2 Сызықтың теңдеуі ұғымы. Сызықты теңдеу көмегімен беру... 23

2.3 Берілген сызықтың теңдеуін құру... 26

2.4 Сызықтың параметрлік теңдеуі... 30

3 Бірінші ретті сызықтар 3.1 Түзудің жалпы теңдеуі. Түзудің бұрыштық коэффиценті бар теңдеуі... 31

3.2 Түзудің толық емес теңдеулері. Түзудің «кесінділік» теңдеуі... 38

3.3 Түзудің нормальдық теңдеуі. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық... 41

3.4 Түзулер шоғының теңдеуі... 45

4 Екінші ретті қисықтардың геометриялық қасиеттері 4.1 Шеңбердің теңдеуі... 48

4.2 Эллипстің теңдеуі, қасиеттері... 53

4.3 Гиперболаның теңдеуі, қасиеттері... 62

4.4 Параболаның теңдеуі, қасиеттері... 70

4.5 Эллипс, гипербола және параболаның полярлық теңдеулері... 74

4.6 Екінші ретті қисықтардың диаметрлері... 76

2 БӨЛІМ. Кеңістіктегі аналитикалық геометрия 5 Кеңістіктегі аналитикалық геометрияның қарапайым есептері 5.1 Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар... 79

5.2 Кеңістіктегі екі нүкте арасындағы қашықтық. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу... 80 6 Векторлық алгебра

(4)

6.1 Вектор түсінігі. Вектордың оське проекциясы... 82

6.2 Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар... 84

6.3 Векторлардың скалярлық көбейтіндісі... 88

6.4 Векторлардың векторлық көбейтіндісі... 92

6.5 Векторлардың аралас көбейтіндісі... 94

7 Беттің теңдеуі және сызықтың теңдеулері 7.1 Беттің теңдеуі... 97

7.2 Кеңістіктегі сызықтың теңдеуі. Үш беттің қиылысуы туралы есеп... 99

7.3 Жасаушысы координаталық осьтердің біріне параллель болатын, цилиндрлік беттің теңдеуі... 100

8 Жазықтықтың теңдеуі 8.1 Жазықтықтың жалпы теңдеуі... 101

8.2 Жазықтықтың толық емес теңдеулері. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі... 104

8.3 Жазықтықтың нормаланған теңдеуі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық... 106

9 Кеңістіктегі түзу сызық 9.1 Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуі... 110

9.2 Түзу мен жазықтыққа қатысты аралас есептер... 117

10 Екінші ретті беттер 10.1 Сфера... 122

10.2 10.3 Жазықтықтың, түзудің және сфераның векторлық символика арқылы теңдеулері ... Екінші ретті беттердің канондық теңдеулер... 125 129 ЖАУАПТАР... 137

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... 148

(5)

КІРІСПЕ

Оқу құралы жоғары педагогикалық оқу орындарының аналитикалық геометрия курсының бағдарламасына сәйкес құрылған. Онда әр тақырып бойынша есептерді шешуге қажетті қысқаша теориялық материалдар берілген содан соң көптеген есептер қарастыралған.

Оқу құралы жазықтықтағы және кеңістіктегі аналитикалық геометрия атты екі бөлімнен тұрады.

Бірінші бөлім төрт тарауға бөлінген. Онда жазықтықтағы аналити- калық геометрияның қарапайым есептері, сызық теңдеуі, бірінші ретті сызықтар, екінші ретті сызықтардың геометриялық қасиеттері қарастырылған.

Екінші бөлім алты тараудан тұрады. Онда кеңістіктегі аналитикалық геометрияның қарапайым есептері, векторлық алгебра, беттердің және сызықтардың теңдеулері, жазықтық теңдеулері, кеңістіктегі түзу теңдеулері, екінші ретті беттердің теңдеулері қарастырылған.

Оқулықтың соңында есептердің жауаптары ұсынылған.

Оқулық «Аналитикалық геометрия» пәнін оқитын студенттерге олардың ой-өрістерін көтеруге, шығармашылық қабілетін дамытуға, алған білімдерін практикада қолдана білуге үйретуге, сөйтіп олардың білімдерін тереңдетуге арналған. Сонымен қатар бұл есептер жинағын техникалық мамандық студенттері, магистранттар, мектеп мұғалімдері өз жұмыста- рында көмекші құрал ретінде қолдануға болады. Оқу құралы 5В010900 – Математика мамандығы бойынша оқитын студенттерге арналған.

(6)

1 БӨЛІМ. Жазықтықтағы аналитикалық геометрия

1 Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым есептері 1.1 Түзудегі декарттық координаталар

Оң бағыты таңдалған түзу ось деп аталады. Егер осы нүктелердің қайсысы кесіндінің басы, қайсысы ұшы екені белгілі болса, онда осьтің кейбір А және В нүктелерімен шектелген кесіндісі бағытталған кесінді деп аталады. Басы А және ұшы В болатын бағытталған кесінді АВ символымен белгіленеді. Бағытталған кесіндінің шамасы деп кесіндінің бағыты осьтің оң бағытымен бірдей болса, онда кесіндінің ұзындығына тең оң сан, ал егер кесіндінің бағыты осьтің оң бағытына қарама–қарсы болса, онда кесіндінің ұзындығына тең теріс сан аталады. АВ кесіндісінің шамасы АВ символымен, ал оның ұзындығы АВ деп белгіленеді. Егер А және В нүктелері беттессе, онда олармен анықталатын кесінді нольдік деп аталады; АВ = ВА = 0 болатыны айқын (нольдік кесіндінің бағыты айқындалмаған деп есептеледі).

Еркін а түзуі берілсін. Онда ұзындық өлшемінің бірлігі ретінде кейбір кесіндіні таңдаймыз, а түзуінде оң бағытты тағайындаймыз (сонда ол ось болып шығады) және осы түзуде қандай да бір нүктені О әрпімен белгілейміз. Сонда а түзуінде координаталар жүйесі енгізіледі.

а түзуінің (тағайындалған координаталар жүйесінде) кез келген М нүктесінің координатасы деп ОМ кесіндісінің шамасына тең х саны аталады: х = ОМ.

О нүктесі координаталар бас нүктесі деп аталады, оның координатасы нольге тең. М(х) символы М нүктесінің координатасы х дегенді білдіреді.

Егер а түзуінің екі еркін нүктелері M1 (x1) және М2(x2) болса, онда

M1 M2= x2 – x1 формуласы M1 M2 кесіндісінің шамасын, ал M1 M2 = x2 – x1 оның ұзындығын өрнектейді.

1. Мына нүктелерді салыңыз:

А(3), B(5), С(–1), D(

3

2), E(–

7

3), F( 2) және H(– 5).

2. Координаталары мына теңдеулерді қанағаттандыратын нүктелерді салыңыз:

1) |x| = 2; 2) |x–1| = 3; 3) |1– x|=2; 4) | 2+x| = 2.

3. Координаталары мына теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орнын сипаттаңыз:

1) |x| >2; 2) х – 30; 3) 12– x<0; 4) 2x–30;

5) 3x–5>0; 6) 1<x<3; 7) – 2x3; 8)

1 2

x

x>0;

(7)

9) 2 1 2

x

x >1; 10)

1 2

x

x<0; 11)

2 1 2

x

x <1;

12) x2 – 8x+150; 13) x2 –– 8x+15>0;

14) x2 + x–12>0; 15) x2+x– 120.

4. Мына нүктелермен берілген кесіндінің АВ шамасын және |АВ|

ұзындығын анықтаңыз:

1) А(3) және В(11); 2) А (5) және В (2);

3) А (–1) және В (3); 4) А (–5) және В (–3); 5) А (–1) және В (–3);

6) А(–7) және В (–5).

5. Егер төмендегілер белгілі болса, онда А нүктесінің координаталарын табыңыз:

1) В (3) және АВ = 5; 2) В (2) және АВ = – 3; 3) В (–1) және ВА = 2; 4) В (–5) және ВА = –3; 5) В(0) және |АВ| = 2; 6) В (2) және |АВ| = 3;

7) В(– 1) және |АВ|=5; 8) В(–5) және |АВ| = 2.

6. Координаталары мына теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орнын сипаттаңыз:

1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x|3; 5) х – 2|<3;

6) |x – 5|l; 7) х– 1|2; 8) |x–3=1; 9) |x+1|<3;

10) |x+2|>1; 11) x+5|l; 12) |x+1|2.

7. Мына мәліметтер бойынша С нүктесі АВ кесіндісін бөлетін

CB

AC

қатынасын анықтаңыз: 1) А(2); В(6) және С(4); 2) А (2), В (4) және С(7);

3) А(–1), В(5) және С(3); 4) А(1), В(13) және С(5);5) А(5), В (–2) және С(–5).

8. Үш нүкте А (–7), В (–1) және С(1) берілген. Олардың әрқайсысы қалған екеуімен шектелген кесіндіні бөлетін қатынасын анықтаңыз.

9. Берілген М11) және М22) нүктелерімен шектелген M1M2 кесіндісін М(х) нүктесі бөлетін

2 1

MM M

M

қатынасын анықтаңыз.

10. Берілген М11) және М22) нүктелерімен шектелген M1M2 кесіндісін берілген қатынаста бөлетін М нүктесінің х координатасын анықтаңыз.

11. Берілген М11) және М22) нүктелерімен шектелген кесіндінің ортасының х координатасын анықтаңыз.

12. Мына жағдайлардың әрқайсысында берілген нүктелермен шектелген кесіндінің ортасының х координатасын анықтаңыз:

1) А(3) және В(5); 2) С(– 1) және D(5); 3) M1(– 1) және M2(–3);

4) Р1(–5) және Р1 (1); 5) Q1(3) және Q2(–4).

13. Егер төмендегілер белгілі болса, онда М нүктесінің координаталарын анықтаңыз:

1) M1(3), М2(7) және 2

2

1

MM M

M ; 2) A(2), B(–5) және 3 MB

AM ;

(8)

3) С(–1), D(3) және

2

1

MD

CM ; 4) A(–1), B(3) және 2 MB

AM ;

5) A(1), B(–3) және 3 MA

BM ; 6) A(–2), B(–1) және

2

1

MA

BM .

14. Екі нүкте берілген: A (5) және B (–3). Анықтаңыз:

1) В нүктесіне қарағанда А нүктесіне симметриялы болатын М нүктесінің координатасын;

2) А нүктесіне қарағанда В нүктесіне симметриялы болатын N нүктесінің координатасын.

15. A (–2) және 5(19) нүктелерімен шектелген кесінді тең үш бөлікке бөлінген. Бөлу нүктелерінің координаталарын табыңыз.

16. Кесінді Р(–25) және Q(–9) нүктелерімен тең үш бөлікке бөлінген.

Кесіндінің шеткі A және B нүктелерінің координаталарын табыңыз.

1.2 Жазықтықтағы декарттық координаталар

Жазықтықтағы тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі ұзындықты өлшеу үшін сызықтық бірлік және қандай да бір ретпен нөмірленген өзара перпендикуляр екі ось берілуімен анықталады.

Осьтердің қиылысу нүктесі координаталар бас нүктесі, ал осьтердің өздері координаталық осьтер деп аталады. Координаталық осьтердің біріншісі абсцисса осі, ал екіншісі ордината осі деп аталады.

Координаталар бас нүктесі О әрпімен, абсцисса осі Ох, ордината осі Оу символдарымен белгіленеді.

Берілген жүйеде М нүктесінің координаталары деп х

= ОМx, у = ОМу сандары аталады (1–сурет), мұнда Мх

және My нүктелері М нүктесінің сәйкес Ох және Оу осьтеріне проекциялары. Абсцисса осіндегі ОМх

кесіндісінің шамасын ОМх, ал ордината осіндегі ОМу

кесіндісінің шамасын ОМу деп белгілейді. х саны М нүктесінің абсциссасы, ал у саны осы нүктенің ординатасы деп аталады. М(х;у) символы М нүктесінің абсциссасы х, ал ординатасы у дегенді білдіреді. Оу осі бүкіл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі, оның Ох осінің оң бағытында орналасқан бөлігі оң деп, ал екіншісі сол деп аталады. Дәл осы сияқты Ох осі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі, оның Оу осінің оң бағытында орналасқан бөлігі жоғары деп, ал екіншісі төменгі деп аталады.

Екі координаталық осьтер бірігіп жазықтықты төрт ширекке бөледі, оларды келесі ереже бойынша нөмірлейді: бірінші координаталық ширек деп жоғары жарты жазықтықтың оң жақ бөлігі, екінші – жоғары жарты

(9)

жазықтықтың сол жақ бөлігі, үшінші – төменгі жарты жазықтықтың сол жақ бөлігі, төртінші – төменгі жарты жазықтықтың оң жақ бөлігі аталады.

17. Нүктелерді салыңыз:

A(2; 3), В(–5; 1), С(–2; –3), D(0; 3), E(–5; 0), F(–

3

;2 3 1 )

18. Нүктелердің абсцисса осіне проекцияларының координаталарын табыңыз:

A(2: –3), В(3;–1), С(–5;1), D(–3;– 2), E(–5; –1).

19. Нүктелердің ордината осіне проекцияларының координаталарын табыңыз:

A(–3;2), В(–5; 1), С(3; –2), D(– 1; 1), E(–6; –2).

20. Төмендегі нүктелерге Ох осіне қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) A(2; 3); 2) В(–3; 2); 3) С(–1; –1);

4) D(–3; –5); 5) E(–4; 6); 6) F(a; b).

21. Төмендегі нүктелерге Оу осіне қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) A(–1; 2); 2) В(3; –1); 3) С(–2; –2);

4) D(–2; 5); 5) E(3; –5); 6) F(a; b).

22. Төмендегі нүктелерге координаталар бас нүктесіне қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) A(3; 3); 2) В(2; –4); 3) С(–2; 1);

4) D(5; –3); 5) E(–5; –4); 6) F(a; b).

23. Төмендегі нүктелерге бірінші координаталық бұрыштың биссектри- сасына қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) A2; 3); 2) В(5; –2); 3) С(–3; 4).

24. Төмендегі нүктелерге екінші координаталық бұрыштың биссектри- сасына қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) А(3; 5); 2) В(–4; 3); 3) С(7; –2).

25. М(х; у) нүктесі қай координаталық ширектерде орналасуы мүмкін екенін анықтаңыз, егер:

1) xy > 0; 2) xy < 0; 3) x–у = 0; 4) x+y = 0;

5) x+y = 0; 6) x+у < 0; 7) x – y > 0; 8) x–y < 0;

1.3 Полярлық координаталар

Полярлық координаталар жүйесі полюс деп аталатын қандайда бір О нүктесі, осы нүктеден шығатын полярлық ось деп аталатын ОА сәулесі және ұзындықты өлшеу үшін масштаб берілуімен анықталады. Сонымен қатар полярлық жүйе берілгенде О нүктесі айналасындағы қай бұрылу оң (чертежде әдетте сағат тіліне қарсы бұрылу оң деп саналады) деп

(10)

есептелетіні айтылуы қажет. Еркін М (берілген жүйеге қарағанда) нүктесінің полярлық координаталары деп  = ОМ және  =  АОМ сандары аталады. Мұнда  бұрышын тригонометрияда сияқты түсіну керек.  саны М нүктесінің бірінші координатасы немесе полярлық радиус, ал  саны екінші координата немесе полярлық бұрыш деп аталады ( санын амплитуда деп те атайды).

М (; ) символы М нүктесінің полярлық координаталары  және  екенін білдіреді.

полярлық бұрышының шексіз көп мәндері бар (олардың бір–

бірінен айырмашылығының шамасы ± 2n, мұнда п – бүтін оң сан). –  <

 < +  теңсіздігін қанағаттандыратын полярлық бұрыштың мәні бас мән деп аталады.

Декарттық және полярлық координаталар жүйесін бір уақытта қарастырған кезде мынаған келісеміз: 1) бірдей масштабты қолдану; 2) полярлық бұрышты анықтағанда абсциссаның оң жарты осін ординатаның оң жарты осіне беттестіретін ең қысқа жол бағытындағы бұру оң деп есептелу (сонымен, егер декарттық жүйенің осьтері кәдімгі жағдайда болса, яғни Ох оң жаққа, ал Оу осі жоғары жаққа бағытталған, онда полярлық бұрышты есептеу де кәдімгі, яғни сағат тіліне қарсы бағыттағы бұрыштар оң деп есептелу керек).

Егер полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң жарты осімен беттессе, онда еркін нүктенің полярлық координаталарынан осы нүктенің декарттық координаталарына көшу мына формула бойынша жүзеге асады:

х =  cos , у =  sin .

Бұл жағдайда

2

2 y

x

,

x tg y

декарттық координатадан полярлық координатаға көшу формулалары болады.

Екі полярлық координаталар жүйесін бір кезде қарастырғанда оң бұру бағыттарын және масштабты екі жүйе үшін бірдей деп есептеуге келісеміз.

26. Полярлық координаталармен берілген нүктелерді салыңыз:

A(3;

2

), B(2; ), С(З; –

4

), D(4; 3

7

1), Е(5; 2) және F(1; – 1)

(D, Е және F нүктелері үшін салуды транспортирмен қолданып жуықтап орындаңыз).

(11)

27. Полярлық координаталар жүйесінде берілген M1(3;

4

), M2 (2;–

2

), M3 (3;–

3

), M 4(1; 2) және Ms(5; –1)

нүктелеріне полярлық оське қарағанда симметриялы нүктелердің полярлық координаталарын анықтаңыз.

28. Полярлық координаталар жүйесінде берілген M1(1;

4

), M2 (5;–

2

), M3 (2;–

3

), M 4(4; 6

5 ) және Ms(3; –2)

нүктелеріне полюске қарағанда симметриялы нүктелердің полярлық координаталарын анықтаңыз.

29. Диагональдарының қиылысу нүктесі полюспен беттесетін ABCD параллелограмының екі төбесі A(3; –

9

4 ) және B(5; 13

3 ) полярлық координаталар жүйесінде берілген. Осы параллелограмның қалған екі төбесін анықтаңыз.

30. Полярлық координаталар жүйесінде А( 8;– 3

2 ) және B(6;

3

) нүктелері берілген. А және В нүктелерін қосатын кесіндінің ортасының полярлық координаталарын есептеңіз.

31. Полярлық координаталар жүйесінде А(3;

2

), B(2;–

4

), С(1; ), D(5;

4

3 ), Е(3; 2) және F(2; – 1) нүктелері берілген. Полярлық осьтің оң бағыты қарама–қарсы өзгертілген. Осы нүктелердің полярлық координаталарын жаңа жүйеде анықтаңыз.

32. Полярлық координаталар жүйесінде M1(3;

3

), M2 (1; 3

2 ), M3 (2; 0), M 4 (5;

4

), Ms (3; – 3

2 ) және M6 (1; 12

11 ) нүктелері берілген. Полярлық ось жаңа жағдайда М1 нүктесінен өтетіндей етіп бұрылған. Берілген нүктелердің жаңа (полярлық) жүйеде координаталарын анықтаңыз.

33. Полярлық координаталар жүйесінде М1 (12; 9

4 ) және М2 (12; – 9 2 ) нүктелері берілген. M1 және М2 нүктелерін қосатын кесіндінің ортасының полярлық координаталарын есептеңіз.

34. Полярлық координаталар жүйесінде M1(1; 1) және М2 (2; 2) нүктелері берілген. Олардың d арақашықтығын есептеңіз.

35. Полярлық координаталар жүйесінде M1(5;

4

) және М2 (8;

12

) нүктелері берілген. Олардың d арақашықтығын есептеңіз.

36. Полярлық координаталар жүйесінде квадраттың сыбайлас екі төбесі М1(12; –

10

) және М2 (3;

15

) берілген. Оның ауданын табыңыз.

(12)

37. Полярлық координаталар жүйесінде квадраттың қарама–қарсы екі төбесі Р(6; –

12

7 ) және Q(4; 6

1 ) берілген. Оның ауданын табыңыз.

38. Полярлық координаталар жүйесінде дұрыс үшбұрыштың екі төбесі А(4; –

12

1 ) және В(8; 12

7 ) берілген. Оның ауданын табыңыз.

39. ОАВ үшбұрышының бір төбесі полюсте, ал қалған екеуі А(1, 1) и В(1, 1) нүктелерінде орналасқан. Осы үшбұрыштың ауданын табыңыз.

40. ОАВ үшбұрышының бір төбесі О полюсінде, ал қалған екеуі А (5;

4

) және В(4;

12

) нүктелерінде орналасқан. Осы үшбұрыштың ауданын табыңыз.

41. Төбелері А(3; 8

1 ), В(8; 24

7 ), С(6; 8

5 ) полярлық координаталармен берілген үшбұрыштың ауданын есептеңіз.

42. Полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң жарты осімен беттескен болсын. Полярлық координаталар жүйесінде M1(6;

2

), M2 (5; 0), M3 (2;

4

), M 4(10;

3

), Ms(8; 3

2 ) және M6(12; –

6

)

нүктелері берілген. Осы нүктелердің декарттық координаталарын анықтаңыз.

43. Полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң жарты осімен беттескен болсын. Полярлық координаталар жүйесінде M1(0;5), M2 (–3; 0), M3( 3; 1), M4(– 2;– 2), M6 (1;– 3) нүктелері берілген.

Осы нүктелердің декарттық координаталарын анықтаңыз.

1.4 Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері I. Екі нүктенің ара қашықтығы.

a) сандық осьтегі.

Бізге сандық ось берілсін. M1(x1) және M2(x2)– осьтегі кез келген нүктелер болсын. M1M2 x2x1 – кесіндінің шамасы. (M1M2)d x2x1 – кесіндінің ұзындығы

б) Жазықтықта тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі берілсін(ТБКЖ).

Егер жазықтықта M1(x1,y1),M2(x2,y2) нүктелері берілсе, онда

d = 2 1 2

2 1

2 ) ( )

(x x y y – жазықтықтағы екі нүктенің арақашықтығының формуласы.

(13)

II. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу:

Егер М(х; у) нүктесі М11, y1) және М22; у2) нүктелері арқылы өтетін түзу бойында жатса және М нүктесі М1М2 кесіндісін бөлетін қатынас  =

2 1

MM M

M берілсе, онда М нүктесінің координаталары мына формуламен анықталады: x =

1

2

1 x

x ; y =

1

2

1 y

y

Егер М нүктесі М1М2 кесіндісінің ортасы болса, онда оның координаталары мына формуламен анықталады: x =

2

2

1 x

x

; y =

2

2

1 y

y

44. Егер кесіндінің ұзындығы d және оның оське көлбеу бұрышы  белгілі болса, онда оның и осіне проекциясын есептеңіз:

l) d = 6,  =

3

; 2) d = 6,  =

3

2 ; 3) d = 7,  =

2

; 4) d = 5,  = 0; 5) d = 5,  = ; 6) d = 4,  = –

3

.

45. Егер координаталық осьтерге проекциялары белгілі болса, онда координаталар бас нүктесінен шығатын кесінділерді чертежде салыңыз:

1) Х = 3, Y = 2; 2) Х = 2, Y = – 5; 3) Х =– 5, Y = 0;

4) Х = – 2, Y = 3; 5) Х = 0, Y = 3; 6) Х = – 5, Y = – 1.

46. Егер координаталық осьтерге проекциялары белгілі болса, онда бас нүктесі M(2; –1) нүктесінде жататын кесінділерді чертежде салыңыз:

а) Х = 4, Y = 3; б) Х = 2, Y = 0; в) Х = – 3, Y = 1;

г) Х = – 4, Y = – 2; д) Х = 0, Y = –3; е) X = 1, Y = –3.

47. M1(1; –2), M1 (2; 1), M2 (5; 0), M3 (–1; 4) және M4(0; –3) нүктелері берілген. Мына кесінділердің координаталық осьтерге проекцияларын табыңыз:

1) M1M2, 2) M3M2 3)M4M5, 4) M5M3.

48. М1М2 кесіндісінің координаталық осьтерге проекциялары Х= 5, Y = – 4 берілген. Кесіндінің бас нүктесі M1(–2; 3) белгілі болса, онда оның соңының координаталарын табыңыз.

49. АВ кесіндісінің координаталық осьтерге проекциялары Х= 4, Y = – 5 берілген. Кесіндінің соңы В(1; –3) нүктесінде болатыны белгілі болса, онда оның басының координаталарын табыңыз.

50. Координаталар бас нүктесінен шығатын кесінділерді олардың әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  бойынша чертежде салыңыз: l) d = 5,  =

5

; 2) d = 3,  = 6 5 ; 3) d = 4,  = –

3

; 4) d = 3,  = –

2

.

(14)

51. Бастары М (2;3) нүктесінде болатын кесінділерді олардың әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  бойынша чертежде салыңыз:

1) d = 2,  = –

10

; 2) d = 1,  =

9

; 3) d = 5,  = –

2

52. Олардың әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  белгілі болса, онда олардың координаталық осьтерге проекцияларын есептеңіз:

l) d = 12,  = 3

2 ; 2) d = 6,  = –

6

; 3) d = 2, e = –

4

.

53. Кесінділердің координаталық осьтерге проекциялары берілген:

1) Х = 3, Y = –4; 2) Х =12, Y =5; 3) Х = –8, Y = 6. Олардың әрқайсысының ұзындығын табыңыз.

54. Кесінділердің координаталық осьтерге проекциялары берілген:

1) X = 1, Y = 3; 2) X = 3 2, Y = –3 2; 3) Х = – 2 3, Y = 2.

Олардың әрқайсысының ұзындығын d және полярлық бұрышын  есепте.

55. М1(2; –3), М2(1; –4), М3(–1; –7) және М4(–4; 8) нүктелері берілген.

Мына кесінділердің ұзындығын және полярлық бұрышын есептеңіз:

1) M1M2, 2) M1M3 3) M2M4, 4) M4M3.

56. Кесіндінің d ұзындығы 5–ке тең, ал оның абсцисса осіне проекциясы 4–ке тең. Егер кесінді ордината осімен а) сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын болса, онда осы кесіндінің ордината осіне проекциясын табыңыз.

57. MN кесіндісінің ұзындығы 13–ке тең, оның басы М(3;–2) нүктесінде, ал абсцисса осіне проекциясы 12–ге тең. Егер кесінді ордината осімен а) сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын болса, онда осы кесіндінің соңының координаталарын табыңыз.

58. MN кесіндісінің ұзындығы 17–ге тең, оның соңы N (–7; 3) нүктесінде, ал ордината осіне проекциясы 15–ке тең. Егер кесінді абсцисса осімен а) сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын болса, онда осы кесіндінің басының координаталарын табыңыз.

59. Кесіндінің координаталар осьтеріне проекциялары Х = 1, Y = – 3

белгілі болса, онда оның Ох осімен  = – 3

2 бұрыш жасайтын оське проекциясын табыңыз.

60. Екі нүкте M1(1; –5) және M 2(4; –1) берілген. M1M2 кесіндісінің Ох осімен  = –

6

бұрыш жасайтын оське проекциясын табыңыз.

61. Екі нүкте Р(–5; 2) және Q(3; 1) берілген. PQ кесіндісінің Ох осімен  = arctg

3

4 бұрыш жасайтын оське проекциясын табыңыз.

62. Екі нүкте М1(2;–2) және М2(7;–3) берілген. M1M2 кесіндісінің А(5;–4), В(– 7; 1) нүктесінен өтетін және 1) А–дан В–ға; 2) В–дан А–ға бағытталған

(15)

63. А (0; 0), В(3; –4), С(–3; 4), D(– 2; 2) және E(10; –3) нүктелері берілген.

Мына нүктелердің: 1) А және В; 2) В және С; 3) А және С; 4) С және D; 5) А және D; 6) D және Е арақашықтығын d табыңыз.

64. Квадраттың екі сыбайлас төбелері А(3; –7) және В(–1;4) берілген.

Оның ауданын табыңыз.

65. Квадраттың екі қарама–қарсы төбелері Р(3; 5) және Q(l; –3) берілген.

Оның ауданын табыңыз.

66. Егер дұрыс үшбұрыштың екі төбесі А(–3; 2) және В(1; 6) берілсе, онда оның ауданын табыңыз.

67. ABCD параллелограмының үш төбесі А(3; –7), В(5; –7), С(–2; 5) берілген, ал төртінші D төбесі В төбесіне қарама–қарсы. Осы параллелограмның диагоналдарының ұзындықтарын анықтаңыз.

68. Ромбтың қабырғасы 5 10–ге тең, ал оның екі қарама–қарсы төбелері Р(4; 9) және Q(–2; 1). Осы ромбтың ауданын есептеңіз.

69. Ромбтың қабырғасы 5 2–ге тең, ал оның екі қарама–қарсы төбелері Р(3; –4) және Q(l; 2). Осы ромбтың биіктігінің ұзындығын есептеңіз.

70. A(3; –5), В(–2; –7) және С(18; 1) нүктелері бір түзуде жататынын дәлелдеңіз.

71. Төбелері А1(1; 1), А2(2; 3) және А3(5; –1) болатын үшбұрыштың тікбұрышты болатынын дәлелдеңіз.

72. А(2; 2), В(–1; 6), С(–5; 3) және D(–2; –1) нүктелері квадраттың төбелері болатынын дәлелдеңіз.

73. Төбелері M1(1; 1), М2(0; 2) және M 3(2; –1) болатын үшбұрыштың ішкі бұрыштарының ішінде доғал бұрыш бар ма?

74. Төбелері М(–1; 3), N(1; 2) және Р(0; 4) болатын үшбұрыштың барлық ішкі бұрыштары сүйір болатынын дәлелдеңіз.

75. А (5; 0), В(0; 1) және С(3; 3) нүктелері үшбұрыштың төбелері болса, онда оның ішкі бұрыштарын есептеңіз.

76. А(– 3; 1) В(0; 2) және С(–2 3; 2) нүктелері үшбұрыштың төбелері болса, онда оның А төбесіндегі сыртқы бұрышын есептеңіз.

77. N (2; –3) нүктесінен қашықтығы 5–ке тең болатын абсцисса осіндегі М нүктесін табыңыз.

78. N(–8; 13) нүктесінен қашықтығы 17–ге тең болатын ордината осіндегі М нүктесін табыңыз.

79. Екі нүкте М(2; 2) және N(5; –2) берілген. Абсцисса осінде MPN бұрышы тік болатындай Р нүктесін табыңыз.

80. А (4; 2) нүктесі арқылы екі координаталық осьтерді жанайтын шеңбер жүргізілген. Оның С центрін және R радиусын анықтаңыз.

81. М1(1; –2) нүктесі арқылы Ох осін жанайтын және радиусы 5–ке тең болатын шеңбер жүргізілген. Шеңбердің С центрін анықтаңыз.

(16)

82. А(1; 0) және В(–1; –2) нүктелері арқылы өтетін түзуге қарағанда М1(1;

2) нүктесіне симметриялы болатын М2 нүктесінің координаталарын анықтаңыз.

83. Квадраттың қарама–қарсы екі төбелері А(3; 0) және С(–4; 1) берілген.

Оның басқа екі төбелерін табыңыз.

84. Квадраттың екі сыбайлас төбелері А(2; –1) және В(–1; 3). берілген.

Оның басқа екі төбелерін табыңыз.

85. Үшбұрыштың төбелері М1(–3; 6), М 2(9; –10) және М3(–5; 4) берілген.

Осы үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің С центрін және R радиусын анықтаңыз.

86. Біртекті стерженьнің шеткі нүктелері А(3; –5) және В(–1; 1) берілген.

Оның ауырлық центрінің координаталарын анықтаңыз.

87. Біртекті стерженьнің ауырлық центрі М(1; 4), ал оның бір шеткі нүктесі Р(–2; 2) нүктесінде орналасқан. Оның екінші Q шеткі нүктесінің координаталарын анықтаңыз.

88. Үшбұрыштың төбелері А(1; – 3), В(3; – 5) и С(5; 7) берілген. Оның қабырғаларының орталарын табыңыз.

89. А (3; –1) және В(2; 1) нүктелері берілген. Анықтаңыз:

1) В нүктесіне қарағанда А нүктесіне симметриялы болатын М нүктесінің координаталарын;

2) А нүктесіне қарағанда В нүктесіне симметриялы болатын N нүктесінің координаталарын.

90. М(1; –1), N(– 1; 4) және Р(–2; 2) нүктелері үшбұрыштың қабырғаларының орталары болады. Оның төбелерін табыңыз.

91. Параллелограмның үш төбесі А(3; –5), В(5; –3), С(– 1; 3) берілген. В төбесіне қарама–қарсы орналасқан D төбесін анықтаңыз.

92. Параллелограмның екі сыбайлас төбелері А(–3; 5), В(1; 7) және диагональдарының қиылысу нүктесі М(1; 1) берілген. Оның қалған екі төбесін табыңыз.

93. ABCD параллелограмының үш төбесі А (2; 3), В(4; –1) және С(0; 5) берілген. Оның төртінші D төбесін табыңыз.

94. Үшбұрыштың төбелері А(1; 4), В(3; –9), С(–5; 2) берілген. Оның В төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығын табыңыз.

95. А(1; –3) және В(4; 3) нүктелерімен шектелген кесінді тең үш бөлікке бөлінген. Бөліну нүктелерінің координаталарын табыңыз.

96. Үшбұрыштың төбелері А(2; –5), В(1;–2), С(4; 7) берілген. Оның АС қабырғасы мен В төбесінің ішкі бұрышының биссектрисасының қиылысу нүктесін табыңыз.

97. Үшбұрыштың төбелері А(3; –5), В(–3; 3) және С(–1; –2) берілген. Оның А төбесінің ішкі бұрышының биссектрисасының ұзындығын табыңыз.

(17)

98. Үшбұрыштың төбелері А(–1; –1), В(3; 5), С(–4; 1) берілген. Оның А төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы мен ВС қабырғасының созындысының қиылысу нүктесін табыңыз.

99. Үшбұрыштың төбелері А(3; –5), В(1; –3), С(2; –2) берілген. Оның В төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасының ұзындығын табыңыз..

100. Бір түзуде жататын үш нүкте А(1; –1), В(3; 3) және С(4; 5) берілген.

Олардың әрқайсысы қалған екі нүктемен шектелген кесіндіні бөлетін  қатынасын анықтаңыз.

101. Кесінді Р(2; 2) және Q(l; 5) нүктелерімен тең үш бөлікке бөлінген.

Кесіндінің шеткі A және B нүктелерінің координаталарын табыңыз.

102. Түзу М1(– 12; – 13) және М2(–2; –5) нүктелерінен өтеді. Осы түзуде абсциссасы 3 болатын нүктені табыңыз.

103. Түзу М (2; –3) және N(–6; 5) нүктелерінен өтеді. Осы түзуде ординатасы –5 болатын нүктені табыңыз.

104. Түзу A(7; –3) және B(23; –6) нүктелерінен өтеді. Осы түзудің абсцисса осімен қиылысу нүктесін табыңыз.

105. Түзу А (5; 2) және В(–4;–7) нүктелерінен өтеді. Осы түзудің ордината осімен қиылысу нүктесін табыңыз.

106. Төртбұрыштың төбелері А(–3; 12), В(3; –4), С(5; –4) және D(5; 8) берілген. Оның АС диагоналі BD диагоналін қандай қатынаста бөледі.

107. Төртбұрыштың төбелері А(–2; 14), B(4; –2), С(6; –2) және D(6; 10) берілген. Оның АС және BD диагональдарының қиылысу нүктесін анықтаңыз.

108. Біртекті үшбұрышты пластинканың төбелері А(х1, y1), B(х2, y2,) және С(х3; у3) берілген. Оның ауырлық центрінің координаталарын табыңыз.

Нұсқау. Ауырлық центрі медианалардың қиылысу нүктесінде орналасады.

109. Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі М абсцисса осінде, оның екі төбесі А (2;–3) және В(–5; 1) нүктелері, үшінші төбесі С ордината осінде жатыр. М және С нүктелерінің координаталарын табыңыз.

110. Біртекті үшбұрышты пластинканың төбелері А(х1, y1), B(х2, y2,) және С(х3; у3) берілген. Егер оның қабырғаларының орталарын қосатын болсақ, онда жаңа біртекті үшбұрышты пластинка шығады. Екі пластинканың ауырлық центрлерінің беттесетінін дәлелдеңіз.

Нұсқау. 108 есептің қорытындысын пайдаланыңыз.

111. Біртекті пластинка қабырғасы 12–ге тең квадрат тәріздес. Одан квадрат қиылып алынған. Қию сызықтары квадраттың центрінен өтеді, ал координата осьтері пластинканың қабырғалары бойымен бағытталған.

Осы пластинканың ауырлық центрін табыңыз.

112. Біртекті пластинка қабырғалары а және b болатын тіктөртбұрыш тәріздес. Одан тіктөртбұрыш қиылып алынған. Қию сызықтары квадраттың центрінен өтеді, ал координата осьтері пластинканың

(18)

қабырғалары бойымен бағытталған. Осы пластинканың ауырлық центрін табыңыз.

113. Біртекті пластинка қабырғасы 2а болатын квадрат тәріздес. Одан үшбұрыш қиылып алынған. Қию сызықтары сыбайлас екі қабырғаларының орталарын қосады, ал координата осьтері пластинканың қабырғалары бойымен бағытталған. Осы пластинканың ауырлық центрін табыңыз.

114. Мына A(x1; у1), В(x2; у2) және С(х3; у3) нүктелерде т, п және р массалары шоғырланған. Осы үш масса жүйесінің ауырлық центрінің координаталарын анықтаңыз.

115. A(4; 2), B(7; –2) және С(1; 6) нүктелері біртекті проволкадан жасалған үшбұрыштың төбелері болады. Осы үшбұрыштың ауырлық центрін анықтаңыз.

1.5 Үшбұрыштың ауданы

А (х1, у1), В (х2; y2), С (х3, у3) үш нүктесі қандай болса да ABC үшбұрышының ауданы S мына формуламен есептеледі:

1 3 1 3

1 2 1 2

2 1

y y x x

y y x S x

.

Егер АВ кесіндісінен АС кесіндісіне ең қысқа бұрылу оң болса, онда бұл формуланың оң жағы +S, ал бұл бұрылу теріс болса, онда –S болады.

116. Төбелері мына нүктелерде болатын үшбұрыштың ауданын есептеңіз:

1) A(2; –3), В(3; 2) және С(–2; 5); 2) M1(–3; 2), М2(5; –2) және M3(1; 3);

3) М(3; –4), N(–2; 3) және Р(4; 5).

117. Үшбұрыштың төбелері А(3; 6), В(–1; 3) және С(2; –1) берілген. Оның С төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын есептеңіз.

118. Үш төбесі А (–2; 3), В (4; –5) және С(– 3; 1) нүктелерінде болатын параллелограмның ауданын есептеңіз.

119. Параллелограмның үш төбесі А (3; 7), В (2; – 3) және С(– 1; 4) берілген. Оның В төбесінен АС қабырғасына жүргізілген биіктігінің ұзындығын есептеңіз.

120. Біртекті төртбұрышты пластинканың тізбектелген төбелері A(2;1), B(5;3), С(–1;7) және D(–7; 5) берілген. Оның ауырлық центрінің координаталарын табыңыз.

121. Біртекті бесбұрышты пластинканың тізбектелген төбелері А (2;3), B(0;6), С(–1;5), D(0;1) және Е(1;1) берілген. Оның ауырлық центрінің координаталарын табыңыз.

122. Үшбұрыштың ауданы S=3, оның екі төбесі A(3;1) және B(1; –3), ал үшінші С төбесі Оу осінде жатыр. С төбесінің координаталарын табыңыз.

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

В связи с этим нами предприняты инверсионно-вольтамперометрические исследования электродных процессов РЗЭ (Eu, Yb и Ce) на новом перспективном композитном

Күн сайын өзгеріп жатқан халықаралық жағдай, тұрақсыздық пен болжауға болмайтын факторлардың күшеюі жағдайында бұл бастама «Жібек жолы» бойындағы сауда

Ре по зи то ри й Ка рГ У.. Тілдік құралдардың қандай да бір тобы емес, шартты тұйықталған тобы [2, 9]. Бұл тұжырым стиль жөнінде айтылған «белгілі

Проекцией направленного отрезка АВ на ось I назы ­ вается длина его геометрической проекции А 1В 1, взятая со знаком плюс, если направление А 1В 1

Бұл жағдайда кинематикалық талдау міндеті қарапайым функциялар арқылы аналитикалық түрде шешілуі мүмкін... Қосиінді престің кинематикасын зерттеудің

АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЖӘНЕ СЫЗЫҚТЫ АЛГЕБРА Емтиханға дайындалу үшін әдістемелік нұсқаулықтар 5В060200-Информатика

Қарастырылған мысалда күзетілетін аймақты тең емес 2 бөлікке бөлгеннің өзінде шекара бұзушы қай стратегияна пайдаланса да, шекара заставасының бір

Законодательством предусмотрено, что Правительство Республики Казахстан, органы исполнительной власти областей обеспечивают через органы