Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V0 6= 0

(1)

ISSN (Print) 2616-6836 ISSN (Online) 2663-1296

Л.Н. Гумилев атындағы Eуразия ұлттық университетiнiң

ХАБАРШЫСЫ BULLETIN

of L.N. Gumilyov Eurasian National University

ВЕСТНИК

Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева

ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

PHYSICS. ASTRONOMY Series

Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

№4(125)/2018

1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995

Издается с 1995 года

Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год

Астана, 2018

Astanа, 2018

(2)

Бас редакторы ф.-м.ғ. докторы

А.Қ. Арынгазин (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары А.Т. Ақылбеков, ф.-м.ғ.д., профессор (Қазақстан)

Редакция алқасы Алдонгаров А.А. PhD (Қазақстан)

Балапанов М.Х. доктор ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Бахтизин Р.З. доктор ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Гиниятова Ш.Г. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан)

Даулетбекова А.Қ. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан) Ержанов Қ.К. ф.-м.ғ.к., PhD (Қазақстан) Жұмадiлов Қ.Ш. PhD (Қазақстан)

Здоровец М. ф.-м.ғ.к.(Қазақстан)

Қадыржанов Қ.К. доктор ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Кайнарбай А.Ж. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан)

Кутербеков Қ.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Лущик А.Ч. доктор ф.-м.ғ.д., проф.(Эстония) Морзабаев А.К. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан)

Мырзақұлов Р.Қ. ф.-м.ғ.д., проф.(Қазақстан) Нұрахметов Т.Н. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Сауытбеков С.С. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Тлеукенов С.К. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Усеинов А.Б. PhD (Қазақстан)

Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Сатпаев к-сi, 2, 349 б., Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi.

Тел.: +7(7172) 709-500 (iшкi 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Жауапты хатшы, компьютерде беттеген: А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы.

ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

Меншiктенушi: ҚР БжҒМ "Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi" ШЖҚ РМК Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.

Қазақстан Республикасыңың Ақпарат және коммуникациялар министрлiгiмен тiркелген. 27.03.2018ж. №16999-ж тiркеу куәлiгi.

Тиражы: 20 дана

Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Қажымұқан к-сi, 12/1, 349 б., Л.Н.

Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi. Тел.: +7(7172)709-500 (iшкi 31-428)

c

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi

(3)

Editor-in-Chief

Doctor of Phys.-Math. Sciences A.К. Aryngazin (Kazakhstan)

Deputy Editor-in-Chief А.Т. Akilbekov, Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan)

Editorial board Aldongarov А.А. PhD (Kazakhstan)

Balapanov М.Kh. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia) Bakhtizin R.Z. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia)

Dauletbekova А.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences, PhD (Kazakhstan) Giniyatova Sh.G. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Kadyrzhanov К.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Кainarbay А.Zh. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Kuterbekov К.А. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Lushchik А. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Estonia) Morzabayev А.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Myrzakulov R.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Nurakhmetov Т.N. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Sautbekov S.S. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Tleukenov S.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Useinov А.B. PhD (Kazakhstan)

Yerzhanov К.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences, PhD(Kazakhstan) Zdorovets М. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Zhumadilov K.Sh. PhD (Kazakhstan)

Editorial address: L.N. Gumilyov Eurasian National University, 2, Satpayev str., of. 349, Astana, Kazakhstan, 010008

Теl.: (7172) 709-500 (ext. 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Responsible secretary, computer layout: A.Nurbolat

Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University.

PHYSICS. ASTRONOMY Series

Owner: Republican State Enterprise in the capacity of economic conduct "L.N. Gumilyov Eurasian National University" Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan

Periodicity: 4 times a year

Registered by the Ministry of Information and Communication of the Republic of Kazakhstan.

Registration certificate №16999-ж from 27.03.2018.

Circulation: 20 copies

Address of printing house: L.N. Gumilyov Eurasian National University, 12/1 Kazhimukan str., Astana, Kazakhstan 010008;

tel.:+7(7172) 709-500 (ext. 31-428)

c

L.N.Gumilyov Eurasian National University

(4)

Главный редактор доктор ф.-м.н.

А.К. Арынгазин (Казахстан)

Зам. главного редактора А.Т. Акилбеков, доктор ф.-м.н.

профессор (Казахстан) Редакционная коллегия Алдонгаров А.А. PhD (Казахстан)

Балапанов М.Х. ф.-м.н., проф. (Россия) Бахтизин Р.З. ф.-м.н., проф. (Россия) Гиниятова Ш.Г. кандидат ф.-м.н. (Казахстан) Даулетбекова А.К. кандидат ф.-м.н., PhD (Казахстан) Ержанов К.К. кандидат ф.-м.н., PhD (Казахстан) Жумадилов К.Ш. доктор PhD (Казахстан)

Здоровец М. к.ф-м.н.(Казахстан)

Кадыржанов К.К. ф.-м.н., проф. (Казахстан) Кайнарбай А.Ж. кандидат ф.-м.н. (Казахстан) Кутербеков К.А. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Лущик А.Ч. ф.-м.н., проф. (Эстония)

Морзабаев А.К. кандидат ф.-м.н. (Казахстан) Мырзакулов Р.К. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Нурахметов Т.Н. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Сауытбеков С.С. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Тлеукенов С.К. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Усеинов А.Б. PhD (Казахстан)

Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2, каб. 349 Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева.

Тел.: (7172) 709-500 (вн. 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Ответственный секретарь, компьютерная верстка: А. Нурболат

Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

Собственник РГП на ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева" МОН РК Периодичность: 4 раза в год

Зарегистрирован Министерством информации и коммуникаций Республики Казахстан.

Регистрационное свидетельство №16999-ж от 27.03.2018г.

Тираж: 20 экземпляров

Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Кажимукана, 12/1, Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева. тел.: +7(7172)709-500 (вн. 31-428)

c

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

(5)

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ ХАБАРШЫСЫ. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

№4(125)/2018

МАЗМҰНЫ

Оралбеков Н.Б, Усеинов А.Б, А.Т. Ақылбеков, А.К.Даулетбекова, М.В.Здоровец, Н.С.Ыбыраев, А.Б.Дукенов ZnO (100) беттерiндегi CO

2

адсорбциясының ашық емес есептеулерi

8 Мендибаев К.О., Джансейтов Д.М, Кутербеков К.А, Жолдыбаев Т.К, Исатаев Т.Г, АзнабаевД .Т, Валиолда Д.С, Кабышев А.М, Лукьянов С.М, Пенионжкевич Ю.Э, Уразбеков Б. Оптикалық және фолдинг модельдер аясында

³

Hе иондарының

⁹

Bе ядроларында серпiмдi шашырау процесстерiн зерттеу

16 Каргин Д.Б, Конюхов Ю.В, Нгуен Ван Минь, Мухамбетов Д.Г, Козловский А.Л, Касымханов Ж.С, Бисикен А.Б. Металлургиялық өндiрiстiң қосалқы өнiмдерiн қайта өңдеудiң экономикалық негiздемесi

25 Бактияркызы Ж, Шаихова Г.С. Локальды емес комплекстi модификацияланған Кортевег-де Фриз теңдеу жүйесiнiң ңақты шешiмдерi

34 Нугманова Г.Н. Келiсiмдi потенциалдары бар (1+1) өлшемдегi интегралданатын спиндiк жүйелер

40 Саттинова З.К, Рамазанова Г.И, Асилбеков Б.К, Ордабек А.К. Құю процесiндегi бериллий керамикасының құрылымын эксперименттiк және теориялық нәтижелердi салыстыра отырып зерттеу

50 Жадыранова А.А, Мырзакул Ж.Р, Ануарбекова Ы.Е. n = 3 және N = 2 жағдайлары үшiн V

₀

6= 0 болғандағы WDVV ассоциативтiлiк теңдеуiнiң иерархиясы

60

5

(6)

BULLETIN OF L.N. GUMILYOV EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY. PHYSICS.

ASTRONOMY SERIES

№3(124)/2018

Oralbekov N.B, Usseinov A.B, Akilbekov A.T, Dauletbekova A.K, Zdorovets M.V, Ybyraev N.S, Dukenov A.B. Nonempirical calculations of CO

2

adsorption on (100) ZnO surfaces

8 Mendibayev К.О, Janseitov D.M , Кuterbekov К.А , Zholdybayev T.K, Issatayev Т.G, Аznabayev D.Т, Valiolda D.S, Кabyshev A.M, Lukyanov S.М, Penionzhkevich Yu.E, Urazbekov B. Investi- gation of the elastic scattering of

³

Hе from

⁹

Bе in within the framework the optical and folding models

16 Kargin D.B, Konyukhov Y.V, Nguyen Van Min, Mukhambetov D.G, Kozlovskyi A.L, Kassymkhanov Z.S Economic feasibility of by-products processing of metallurgical production

25 Bachtiyarkyzy Zh, Shaikhova G.S, Shaikhova G.N. Exact solutions of the nonlocal complex modified Korteweg-de Vries system of equations

34 Nugmanova G.N. Integrable spin systems with self-consistent potentials in (1+1) dimensions 40 Sattinova Z.K, Ramazanova G.I, Assilbekov B.К, Ordabek А.К. Comparative analysis of ex-

perimental and theoretical data when investigating of the structure of beryllium ceramics in the channel of installation casting

50 Zhadyranova A.A, Myrzakul Zh.R, Anuarbekova Y.Ye. Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V

0

6= 0

60

6

(7)

ВЕСТНИК ЕВРАЗИЙСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ Л.Н.ГУМИЛЕВА. Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

№4(125)/2018

СОДЕРЖАНИЕ

Оралбеков Н.Б, Усеинов А.Б, Акылбеков А.Т, Даулетбекова А.К, Здоровец М .В, Ыбыраев Н.С, Дукенов А.Б. Неэмпирические расчеты адсорбции CO

2

на (100) поверхности ZnO

8 Мендибаев К.О, Джансейтов Д.М, Кутербеков К.А, Жолдыбаев Т.К, Исатаев Т.Г, АзнабаевД .Т, Валиолда Д.С, Кабышев А.М , Лукьянов С.М, Пенионжкевич Ю.Э , Уразбеков Б. Исследование упругого рассеяния

³

He на ядрах

⁹

Be в рамках оптической и фолдинг - модели

16 Каргин Д.Б, Конюхов Ю.В, Нгуен Ван Минь, Мухамбетов Д.Г, Козловский А.Л , Касымханов Ж.С, Бисикен А.Б. Экономическая целесообразность переработки побочных продуктов металлургического производства

25 Бактияркызы Ж, Шаихова Г.С, Шайхова Г.Н. Точные решения нелокальной комплекскной модифицированной системы уравнений Кортевег-де Фриза

34 Нугманова Г.Н. Интегрирумые спиновые системы с самосогласованными потенциалами в (1+1) измерениях

40 Саттинова З.К, Рамазанова Г.И, Асилбеков Б.К, Ордабек А.К. Сравнительный анализ экспериментальных и теоретических данных при исследовании структуры бериллиевой керамики в канале установки литья

50 Жадыранова А.А, Мырзакул Ж.Р, Ануарбекова Ы.Е. Иерархия уравнений ассоциативности WDVV для случая n = 3 и N = 2 при V

₀

6= 0

60

7

(8)

МРНТИ 27.25.19

A.A. Zhadyranova

¹

, Zh.R. Myrzakul

²

, Y.Ye. Anuarbekova

³

13

Department of General & Theoretical Physics, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Astana, Kazakhstan

2

Department of Mathematics , Nazarbayev University, Astana, Kazakhstan (E-mail:

¹

a.a.zhadyranova@gmail.com,

²

zhanbota.myrzakul@gmail.com,

3

anuarbekova94@bk.ru)

Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V

0

6= 0 Abstract: We investigate solutions of Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) equations. The article discusses nonlinear equations of the third order for a function f = f (x, t) ) of two independent variables x, t . The solution of some cases of hierarchy equations of associativity illustrated. Lax pairs for the system of three equations, that contains the equation of associativity are written to find the hierarchy of associativity equation. Using the compatibility condition are found the relations between the matrices U, V

2

, V

1

, V

0

. The elements of matrix V

2

are found with the expression of z

_ij

and independent and dependent variables for the matrix V

₂

. Also solving elements of matrix V

1

expressed through y

ij

and independent and dependent variables for the matrix V

₁

. The elements of matrix V

₀

are found with the expression of r

_ij

and independent and dependent variables for the matrix V

0

too. Expressed are variables a

t

, b

t

, c

t

of three equations are written with the help of matrix elements z

_ij

, y

_ij

.

Keywords: equations of Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde, the equations of associativity, nonlinear equations of the third order, antidiagonal metric, the Lax pair, the compatibility condition, independent elements, dependent variables, system with equations.

DOI: https://doi.org/10.32523/2616-6836-2018-125-4-60-66 Introduction. The WDVV equations, in general, have the following form [1]:

∂

³

F

∂t

ⁱ

∂t

^j

∂t

^p

η

^pq

∂

³

F

∂t

^q

∂t

^k

∂t

^r

= ∂

³

F

∂t

^j

∂t

^k

∂t

^p

η

^pq

∂

³

F

∂t

ⁱ

∂t

^q

∂t

^r

, ∀i, j, k, r ∈ {1, ..., n},

where F is a prepotential, η is a metric. The coordinates t

ⁱ

can be linearly rearranged so that the metric, η , is antidiagonal, i.e.

η =





0 0 1 0 1 0 1 0 0



 .

In this work we consider the WDVV equation for n = 3 case with an antidiagonal metric η . In this case, two types of dependence of the function F on the fixed variable t

¹

were found by Dubrovin [3] which are

F = 1

2 (t

¹

)

²

t

³

+ 1

2 t

¹

(t

²

)

²

+ f(t

²

, t

³

) (1) and

F = 1

6 (t

¹

)

³

+ t

¹

t

²

t

³

+ f(t

²

, t

³

).

For these cases the equations of associativity reduce to the following two nonlinear equations of the third order for a function f = f (x, t) ) of two independent variables ( x = t

²

, t = t

³

):

f

_ttt

= f

_xxt²

− f

_xxx

f

_xtt

and

f

xxx

f

ttt

− f

xxt

f

xtt

= 1,

correspondingly. In this work, we consider the solution (1). Let us introduce new variables a, b, c as follows [2]:

a = f

_xxx

, b = f

_xxt

, c = f

_xtt

.

60

(9)

A.A. Zhadyranova, Zh.R. Myrzakul, Y.Ye. Anuarbekova

In the above variables the equation (1) can be rewritten as a system of three equations as follows:

a

t

= b

x

, (2)

b

_t

= c

_x

, (3)

c

t

= (b

²

− ac)

x

. (4)

The Lax pair for the system (2)-(4) is given by [3]

Ψ

_x

= λU Ψ, (5)

Ψ

t

= λV Ψ, (6)

where U is given by

U =





0 1 0 b a 1 c b 0



 and V is given by

V =





0 0 1

c b 0

(b

²

− ac) c 0



.

The compatibility condition for the system (5), (6) is given by U

_t

= V

_x

,

[U, V ] = 0.

In the following sections we work with the system (2)-(4).

1. Consideration of some cases of hierarchy of WDVV associativity equations 1.1 Case for N = 1

The Lax pair for the system (2)-(4) is given by (5), (6). Where U is given by U =





0 1 0 b a 1 c b 0





and V is given by

V =





y

11

y

12

y

13

y

₂₁

y

₂₂

y

₂₃

y

31

y

32

y

33



.

The compatibility condition for the system (5), (6) is given by U

_t

= V

_x

,

[U, V ] = 0.

Writing a new system with equations for a

_t

, b

_t

, c

_t

yields a

t

= y

22x

, b

t

= y

21x

, b

_t

= y

_32x

, c

_t

= y

_31x

. Thus the matrix V has the form

V =





y

11

y

12

y

13

by

₁₂

+ cy

₁₃

y

₁₁

+ ay

₁₂

+ by

₁₃

y

₁₂

cy

12

+ (b

²

− ac)y

13

by

12

+ cy

13

y

11



.

The way we obtain the system is

trU

_t

= a

_t

= trV

_x

= a

_x

y

₁₂

+ b

_x

y

₁₃

61

(10)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Bulletin of L.N. Gumilyov ENU, 2018, 4(125)

from which we obtain that

y

12

= 0, y

13

= 1.

1.2 Case for N = 2 when V

0

6= 0

The solution to a hierarchy for N = 1 case corresponds to the system of equations (2), (3), (4).

In this section we consider a hierarchy for N = 2 case. Consider the Lax pair Ψ

_x

= λU Ψ,

Ψ

_t

=

N

X

j=0

λ

^j

V

_j

Ψ.

In particular, for N = 2 case we have Ψ

x

= λUΨ,

Ψ

t

= (λ

²

V

2

+ λV

1

+ V

0

)Ψ = V Ψ where

V = λ

²

V

2

+ λV

1

+ V

0

. The compatibility condition of (5), (6) is given by

(λU

t

+ λU V )Ψ = (V

x

+ λV U )Ψ.

The last equation can be written as

λU

_t

− V

_x

+ λ[U, V ] = 0. (7)

Collecting terms in (7) by the powers of λ we obtain

λ

³

: [U, V

₂

] = 0, (8)

λ

²

: −V

_2x

+ [U, V

₁

] = 0, (9) λ

¹

: U

t

− V

1x

+ [U, V

0

] = 0, (10)

λ

⁰

: −V

_0x

= 0. (11)

Now let us find the matrices V

2

, V

1

, V

0

. Denote them as follows:

V

₂

=





z

₁₁

z

₁₂

z

₁₃

z

21

z

22

z

23

z

₃₁

z

₃₂

z

₃₃



, (12)

V

1

=





y

₁₁

y

₁₂

y

₁₃

y

21

y

22

y

23

y

₃₁

y

₃₂

y

₃₃



, (13)

and

V

₀

=





r

11

r

12

r

13

r

₂₁

r

₂₂

r

₂₃

r

31

r

32

r

33



, (14)

where r

_ij

= const. Plugging (12) into (8), writing elementwise yeilds the following system:

11 : z

₂₁

= bz

₁₂

+ cz

₁₃

, 12 : z

₂₂

= z

₁₁

+ az

₁₂

+ bz

₁₃

, 13 : z

23

= z

12

,

21 : bz

11

+ az

21

+ z

31

− bz

22

− cz

23

= 0, 22 : bz

₁₂

+ z

₃₂

− z

₂₁

− bz

₂₃

= 0,

23 : bz

13

+ az

23

+ z

33

− z

22

= 0, 31 : cz

11

+ bz

21

− bz

32

− cz

33

= 0, 32 : cz

₁₂

+ bz

₂₂

− z

₃₁

− az

₃₂

− bz

₃₃

= 0, 33 : cz

₁₃

+ bz

₂₃

− z

₃₂

= 0.

62

(11)

From elements 13, 22, 31 we obtain the following relations:

z

23

= z

12

, z

₃₂

= z

₂₁

, z

₃₃

= z

₁₁

.

Moreover, using the last three equalities we have that the elements 23 and 12, 32 and 21, 33 and 11 are equal. Hence, we are left with the equations

z

21

= bz

12

+ cz

13

, z

₂₂

= z

₁₁

+ az

₁₂

+ bz

₁₃

, z

31

= cz

12

+ (b

²

− ac)z

13

. Thus the matrix V

2

has the form

V

2

=





z

₁₁

z

₁₂

z

₁₃

bz

12

+ cz

13

z

11

+ az

12

+ bz

13

z

12

cz

₁₂

+ (b

²

− ac)z

₁₃

bz

₁₂

+ cz

₁₃

z

₁₁



.

Hence, only z

11

, z

12

, z

13

are independent elements of V

2

, and the other elements can be written in terms of them. Now let us find the elements of V

₁

in (13). To do so we use the equation (9).

First we evaluate [U, V

1

] . We have

[U, V

1

] =





y

₂₁

y

₂₂

y

₂₃

by

₁₁

+ ay

₂₁

+ y

₃₁

by

₁₂

+ ay

₂₂

+ y

₃₂

by

₁₃

+ ay

₂₃

+ y

₃₃

cy

11

+ by

21

cy

12

+ by

22

cy

13

+ by

23





−





by

₁₂

+ cy

₁₃

y

₁₁

+ ay

₁₂

+ by

₁₃

y

₁₂

by

22

+ cy

23

y

21

+ ay

22

+ by

23

y

22

by

₃₂

+ cy

₃₃

y

₃₁

+ ay

₃₂

+ by

₃₃

y

₃₂



. (15)

Using (15) in (9) gives





z

11x

z

12x

z

13x

z

_21x

z

_22x

z

_23x

z

31x

z

32x

z

33x



 =





y

21

y

22

y

23

by

₁₁

+ ay

₂₁

+ y

₃₁

by

₁₂

+ ay

₂₂

+ y

₃₂

by

₁₃

+ ay

₂₃

+ y

₃₃

cy

11

+ by

21

cy

12

+ by

22

cy

13

+ by

23





−





by

12

+ cy

13

y

11

+ ay

12

+ by

13

y

12

by

₂₂

+ cy

₂₃

y

₂₁

+ ay

₂₂

+ by

₂₃

y

₂₂

by

32

+ cy

33

y

31

+ ay

32

+ by

33

y

32



. (16)

Writing (16) elementwise yields the following system:

11 : z

_11x

= y

₂₁

− by

₁₂

− cy

₁₃

, 12 : z

_12x

= y

₂₂

− y

₁₁

− ay

₁₂

− by

₁₃

, 13 : z

13x

= y

23

− y

12

,

21 : z

21x

= by

11

+ ay

21

+ y

31

− by

22

− cy

23

, 22 : z

_22x

= by

₁₂

+ y

₃₂

− y

₂₁

− by

₂₃

,

23 : z

23x

= by

13

+ ay

23

+ y

33

− y

22

, 31 : z

31x

= cy

11

+ by

21

− by

32

− cy

33

, 32 : z

_32x

= cy

₁₂

+ by

₂₂

− y

₃₁

− ay

₃₂

− by

₃₃

, 33 : z

_33x

= cy

₁₃

+ by

₂₃

− y

₃₂

.

63

(12)

Hence, dependent elements of V

1

are given by:

y

21

= z

11x

+ by

12

+ cy

13

, y

₂₂

= z

_12x

+ y

₁₁

+ ay

₁₂

+ by

₁₃

, y

₂₃

= z

_13x

+ y

₁₂

,

y

31

= b

x

z

12

+ 2bz

12x

+ c

x

z

13

+ 2cz

13x

− az

11x

+ cy

12

+ (b

²

− ac)y

13

, y

32

= 2z

11x

+ a

x

z

12

+ az

12x

+ b

x

z

13

+ 2bz

13x

+ by

12

+ cy

13

,

y

₃₃

= 2z

_12x

− az

_13x

+ y

₁₁

.

Now let us find the elements of V

₀

in (14). To do so we use the equation (10). First we evaluate [U, V

0

] . We have

[U, V

0

] =





r

21

− br

12

− cr

13

r

22

− r

11

− ar

12

− br

13

r

23

− r

12

br

₁₁

+ ar

₂₁

+ r

₃₁

− br

₂₂

− cr

₂₃

br

₁₂

+ r

₃₂

− r

₂₁

− br

₂₃

br

₁₃

+ ar

₂₃

+ r

₃₃

− r

₂₂

cr

11

+ br

21

− br

32

− cr

33

cr

12

+ br

22

− r

31

− ar

32

− br

33

cr

13

+ br

23

− r

32



.

Expressing necessary terms in the above system we obtain the following system 11 : r

21

= y

11x

+ br

12

+ cr

13

,

12 : r

22

= y

12x

+ r

11

+ ar

12

+ br

13

, 13 : r

₂₃

= y

_13x

+ r

₁₂

,

21 : b

_t

= y

_21x

− br

₁₁

− ar

₂₁

− r

₃₁

+ br

₂₂

+ cr

₂₃

, 22 : a

t

= y

22x

− br

12

− r

32

+ r

21

+ br

23

,

23 : r

33

= y

23x

− br

13

− ar

23

+ r

22

, 31 : c

_t

= y

_31x

− cr

₁₁

− br

₂₁

+ br

₃₂

+ cr

₃₃

32 : b

t

= y

32x

− cr

12

− br

22

+ r

31

+ ar

32

+ br

33

, 33 : r

32

= −y

_33x

+ cr

13

+ br

23

.

Hence, dependent elements of V

0

are given by:

r

₂₁

= y

_11x

+ br

₁₂

+ cr

₁₃

, r

₂₂

= y

_12x

+ r

₁₁

+ ar

₁₂

+ br

₁₃

, r

23

= y

13x

+ r

12

,

r

31

= b

t

− 2z

11xx

− a

xx

z

12

− 2a

x

z

12x

+ az

12xx

− b

xx

z

13

− (aa

x

+ 3b

x

)z

13x

− (3b + a

²

)z

13xx

− b

x

y

12

− c

x

y

13

− cy

13x

+ cr

12

+ b

²

r

13

+ ay

11x

− acr

13

− 2by

12x

, r

₃₂

= −2z

_12xx

+ a

_x

z

_13x

+ az

_13xx

− y

_11x

+ cr

₁₃

+ by

_13x

+ br

₁₂

, r

₃₃

= z

_13xx

+ 2y

_12x

− ay

_13x

+ r

₁₁

.

Now let us express a

t

in the element 22, b

t

in the element 21, c

t

in the element 31 by plugging in all known expressions of dependent variables:

a

_t

= 3z

_12xx

+ 3y

_11x

+ a

_x

y

₁₂

+ ay

_12x

− a

_x

z

_13x

− az

_13xx

+ b

_x

y

₁₃

+ by

_13x

, b

_t

= 1

2 3z

_11xx

− az

_12xx

+ (3b + a

²

)z

_13xx

+ 2a

_x

z

_12x

+ (3b

_x

+ aa

_x

)z

_13x

+ a

_xx

z

₁₂

− 2ay

_11x

+ 4by

_12x

+ 3cy

_13x

+ 2b

_x

y

₁₂

+ 2c

_x

y

₁₃

+ b

_xx

z

₁₃

, c

t

= 3b

x

z

12x

+ (3c + ab)z

13xx

+ 3cy

12x

+ c

x

y

12

− az

11xx

+ b

xx

z

12

+ c

xx

z

13

+

(3c

_x

+ ba

_x

)z

_13x

− 2by

_11x

+ (b

²

− ac)

_x

y

₁₃

+ 2(b

²

− ac)y

_13x

− a

_x

z

_11x

.

Also, the independent variables z

₁₁

, z

₁₂

, z

₁₃

of the matrix V

₂

have to satisfy the following system

64

(13)

of equations:

bz

11x

+ (c

x

+ ba

x

)z

12

+ (3c + ab)z

12x

+ [(b

²

− ac)

x

+ bb

x

]z

13

+ (3b

²

− 2ac)z

13x

= 0, az

_11x

+ (2b

_x

+ aa

_x

)z

₁₂

+ (4b + a

²

)z

_12x

+ (2c

_x

+ ab

_x

)z

₁₃

+ (3c + ab)z

_13x

= 0, 3z

11x

+ a

x

z

12

+ az

12x

+ b

x

z

13

+ bz

13x

= 0.

Conclusion

So, we considered of some cases of hierarchy of WDVV associativity equations. Thus, we obtained the elements of the matrices V

2

, V

1

, V

0

for case N = 2 when V

0

6= 0 . It was found, that only z

11

, z

12

, z

13

are independent elements of V

2

, and the other elements can be written in terms of them. It is found, that y

₁₁

, y

₁₂

, y

₁₃

are independent elements of V

₁

, and the other elements can be written in terms of them and z

11

, z

12

, z

13

. It is also found, that r

11

, r

12

, r

13

are independent elements of V

₀

, and the other elements can be written in terms of them and y

₁₁

, y

₁₂

, y

₁₃

, z

11

, z

12

, z

13

. Expressed are variables a

t

, b

t

, c

t

of three equations are written with the help of matrix elements z

_ij

, y

_ij

.

Acknowledgments

We express gratitude to Professor R. Myrzakulov for useful discussions and advices. The work is performed under the financial support of the scientific and technical program BR05236277

"Investigation of some problems of astrophysics and cosmology in the framework of the Einstein and non-Einstein theories of gravity", 2018.

Список литературы

1 Дубровин Б.А. Геометрия двумерных топологических теорий поля // Конспект лекций по математике. - 1996. - №1620. - С. 120-348. - URL: https://arxiv.org/abs/hep-th/9407018. (дата обращения: 15.09.2018).

2 Мохов О.И. Симплектическая и пуассонова геометрия на пространствах петель многообразий и нелинейных уравнений // Переводы Американского математического общества. - 1995. - №2170. - С. 121-152. - URL:

https://arxiv.org/abs/hep-th/9503076. (дата обращения: 10.05.2018).

3 Мохов О.И., Ферапонтов Е.В. Уравнения ассоциативности в двумерной топологической теории поля как интегрируемые гамильтоновы недиагонализируемые системы гидродинамического типа //

Функциональный анализ и его приложения. - 1995. - №30. - URL: https://arxiv.org/abs/hep-th/9505180.

(дата обращения: 10.09.2018).

А.А. Жадыранова¹, Ж.Р. Мырзакул², Ы.Е. Ануарбекова³

13 Кафедра общей и теоретической физики Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан

2 Кафедра математики Назарбаевского университета, Астана, Казахстан Иерархия уравнений ассоциативности WDVV для случая n= 3 и N= 2 при V06= 0

Аннотация:В данной статье исследуются уравнения Виттена-Диджкграфа-Е.Верлинде-Г.Верлинде (ВДВВ). В работе обсуждаются нелинейные уравнения третьего порядка для функции f =f(x, t) двух независимых переменных x, t. Описано решение некоторых случаев иерархии уравнений ассоциативности. Для нахождения иерархии уравнений ассоциативности были записаны пары Лакса для системы из трех уравнений, которая содержит уравнения ассоциативности. С помощью условия совместности найдены соотношения между матрицами U, V2, V1, V0.

Были вычислены элементы матрицы V2, выраженные через zij, независимые и зависимые переменные матрицы V2. Также были найдены элементы матрицы V1, выраженные через yij, независимые и зависимые переменные матрицы V1. Были найдены элементы матрицы V0, выраженные через rij, независимые и зависимые переменные для матрицы V0. Выраженные переменные at, bt, ct системы из трех уравнений были записаны через матричные элементы zij, yij. Ключевые слова: уравнения Виттена-Дижкрафа-Е.Верлинде-Г.Верлинде, уравнения ассоциативности, нелинейные уравнения третьего порядка, антидиагональная метрика, пары Лакса, условие совместности, независимые элементы, зависимые переменные, система с уравнениями.

А.А. Жадыранова¹, Ж.Р. Мырзакул², Ы.Е. Ануарбекова³

13Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң жалпы және теориялық физика кафедрасы, Астана, Қазақстан

2 Назарбаев университетiнiң математика кафедрасы, Астана, Қазақстан

n= 3 және N= 2 жағдайлары үшiн V06= 0 болғандағы WDVV ассоциативтiлiк теңдеуiнiң иерархиясы Аннотация Берiлген мақалада Виттен-Диджкграф-Е.Верлинде-Г.Верлинде (ВДВВ) теңдеулерi зерттеледi. Бұл жұмыста x, t тәуелсiз айнымалыларынан тұратын f = f(x, t) функциясы үшiн үшiншi реттi сызықты емес теңдеулер талқыланады. Сонымен қатар ассоциативтiлiк теңдеулер иерархиясының бiрнеше шешiмдерi сипатталады.

Ассоциативтiлiк теңдеулерiнiң иерархиясын табу мақсатында ассоциативтiлiк теңдеулерiнен құралған теңдеулер жүйесi

65

(14)

үшiн Лакс жұптары жазылды. Сәйкестiк шартының көмегiмен U, V2, V1, V0 матрицалары арасындағы қатынастар анықталды. zij арқылы өрнектелген V2 матрицасының элементтерi мен V2 матрицасының тәуелдi және тәуелсiз айнымалылары есептелiндi. yij арқылы өрнектелген V1 матрицасының элементтерi мен V1 матрицасының тәуелдi және тәуелсiз айнымалылары табылды. Сонымен қатар rij арқылы өрнектелген V0 матрицасының элементтерi мен V0 матрицасының тәуелдi және тәуелсiз айнымалылары анықталды. Теңдеулер жүйесiнен тұратын at, bt, ct

айнымалылары zij, yij матрицалық елементтерi арқылы өрнектелiп жазылды.

Түйiн сөздер: Виттен-Диджкргаф-Е.Верлинде-Г.Верлинде теңдеулерi, ассоциативтiлiк теңдеуi, үшiншi реттi сызықты емес теңдеулер, антидиагональ метрика, Лакс жұптары, сәйкестiк шарты, тәуелсiз элементтер, тәуелдi айнымалылар, теңдеулер жүйесi.

References

1 Dubrovin B.A. Geometry of Two-Dimensional topological field theories, Lecture Notes in Math., (1620), 120-348 (1996). Available at: https://arxiv.org/abs/hep-th/9407018. (accessed 15.09.18)

2 Mokhov O.I. Symplectic and poisson geometry on loop spaces of manifolds and nonlinear equations, Transla- tions of the American Mathematical Society, (2170), 121-152, (1995). Available at: https://arxiv.org/abs/hep- th/9503076.(accessed 10.05.18)

3 Mokhov O.I., Ferapontov Y.V. Equations of Associativity in Two-Dimensional Topological Field Theory as Inte- grable Hamiltonian Nondiagonalizable Systems of Hydrodynamic Type, Functional analysis and its applications, (30), (1995). Available at: https://arxiv.org/abs/hep-th/9505180. (accessed 10.09.18)

Сведения об авторах:

Жадыранова А.А.- Жалпы және теориялық физика кафедрасының докторанты, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Сәтпаев көш. 2, Астана, Қазақстан.

Мырзакул Ж.Р. - Математика департаментiнiң инструкторы, Назарбаев Университетi, Қабанбай батыр көш. 53, Астана, Қазақстан.

Ануарбекова Ы.Е.- Жалпы және теориялық физика кафедрасының магистранты, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Сәтпаев көш. 2, Астана, Қазақстан.

Жадыранова А.А. - докторант кафедры общей и теоретической физики, Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, ул. Сатпаева 2, Астана, Казахстан.

Мырзакул Ж.Р.- Инструктор департамента математики, Назарбаев Университет, ул. Кабанбай батыра, 53, Астана, Казахстан.

Ануарбекова Ы.Е.- магистрант кафедры общей и теоретической физики, Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, ул. Сатпаева 2, Астана, Казахстан.

Zhadyranova A.A.- PhD student of the department of general and theoretical physics, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Satpayev str., Astana, Kazakhstan.

Myrzakul Zh.R.- Instructor of Department of Mathematics, Nazarbayev University, Kabanbay batyr str., Astana, Kazakhstan.

Anuarbekova Y.Ye.- Master student of the department of general and theoretical physics, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Satpayev str., Astana, Kazakhstan.

Поступила в редакцию 15.05.2017

66

(15)

«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң Хабаршысы. Физика. Астрономия сериясы» журналында мақала жариялау ережесi

Журнал редакциясы авторларға осы нұсқаулықпен толық танысып, журналға мақала әзiрлеу мен дайын мақаланы журналға жiберу кезiнде басшылыққа алуды ұсынады. Бұл нұсқаулық талаптарының орындалмауы сiздiң мақалаңыздың жариялануын кiдiртедi.

1.Журнал мақсаты.Физика мен астрономия салаларының теориялық және эксперементалды зерттелулерi бойынша мұқият тексеруден өткен ғылыми құндылығы бар мақалалар жариялау.

2. Баспаға (барлық жариялаушы авторлардың қол қойылған қағаз нұсқасы және электронды нұсқа) журналдың түпнұсқалы стильдiк файлының мiндеттi қолданысымен LaTeX баспа жүйесiнде дайындалған Tex- пен Pdf- файлындағы жұмыстар ұсынылады. Стильдiк файлдыbulphysast.enu.kz журнал сайтынан жүктеп алуға болады.

Сонымен қатар, автор(лар) iлеспе хат ұсынуы керек.

3. Автордың қолжазбаны редакцияға жiберуi мақаланың Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысында басуға келiсiмiн, шетел тiлiне аударылып қайта басылуына келiсiмiн бiлдiредi. Автор мақаланы редакцияға жiберу арқылы автор туралы мәлiметтiң дұрыстығына, мақала көшiрiлмегендiгiне (плагиаттың жоқтығына) және басқа да заңсыз көшiрмелердiң жоқтығына кепiлдеме бередi.

4.Мақаланың көлемi 18 беттен аспауға тиiс (6 беттен бастап).

ҒТАМРК http://grnti.ru/

Автор(лар)дың аты-жөнi

Мекеменiң толық атауы, қаласы, мемлекетi (егер авторлар әртүрлi мекемеде жұмыс жасайтын болса, онда әр автор мен оның жұмыс мекемесi қасында бiрдей белгi қойылу керек)

Автор(лар)дың Е-mail-ы Мақала атауы

Аннотация(100-200 сөз; күрделi формулаларсұзсыз, мақаланың атауын мейлiнше қайталамауы қажет; әдебиеттерге сiлтемелер болмауы қажет; мақаланың құрылысын (кiрiспе мақаланың мақсаты/ мiндеттерi /қарастырылып отырған сұрақтың тарихы /зерттеу /әдiстерi нәтижелер/талқылау, қорытынды) сақтай отырып, мақаланың қысқаша мазмұны берiлуi қажет).

Түйiн сөздер (6-8 сөз не сөз тiркесi. Түйiн сөздер мақала мазмұнын көрсетiп, мейлiнше мақала атауы мен аннотациядағы сөздердi қайталамай, мақала мазмұнындағы сөздердi қолдану қажет. Сонымен қатар, ақпараттық- iздестiру жүйелерiнде мақаланы жеңiл табуға мүмкiндiк беретiн ғылым салаларының терминдерiн қолдану қажет).

Негiзгi мәтiн мақаланың мақсаты/ мiндеттерi/ қарастырылып отырған сұрақтың тарихы, зерттеу әдiстерi, нәтижелер/талқылау, қорытынды бөлiмдерiн қамтуы қажет.

5. Таблица, суреттер – Жұмыстың мәтiнiнде кездесетiн таблицалар мәтiннiң iшiнде жеке нөмiрленiп, мәтiн көлемiнде сiлтемелер түрiнде көрсетiлуi керек. Суреттер мен графиктер PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX форматындағы стандарттарға сай болуы керек. Нүктелiк суреттер кеңейтiлiмi 600 dpi кем болмауы қажет. Суреттердiң барлығы да айқын әрi нақты болуы керек.

Мақаладағыформулалар тек мәтiнде оларға сiлтеме берiлсе ғана номерленедi.

Жалпы қолданыста бар аббревиатуралар мен қысқартулардан басқалары мiндеттi түрде алғаш қолданғанда түсiндiрiлуi берiлуi қажет.Қаржылай көмек туралы ақпарат бiрiншi бетте көрсетiледi.

6. Жұмыста қолданылған әдебиеттер тек жұмыста сiлтеме жасалған түпнұсқалық көрсеткiшке сай (сiлтеме беру тәртiбiнде немесе ағылшын әлiпбиi тәртiбi негiзiнде толтырылады) болуы керек. Баспадан шықпаған жұмыстарға сiлтеме жасауға тұйым салынады.

Сiлтеменi беруде автор қолданған әдебиеттiң бетiнiң нөмiрiн көрсетпей, келесi нұсқаға сүйенiңiз дұрыс: тараудың номерi, бөлiмнiң номерi, тармақтың номерi, теораманың (лемма, ескерту, формуланың және т.б.) номерi көрсетiледi.

Мысалы: қараңыз [3; § 7, лемма 6]», «...қараңыз [2; 5 теорамадағы ескерту]». Бұл талап орындалмаған жағдайда мақаланы ағылшын тiлiне аударғанда сiлтемелерде қателiктер туындауы мүмкiн.

Қолданылаған әдебиеттер тiзiмiн рәсiмдеу мысалдары

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. –М: Физматлит, –1994, –376 стр. –кiтап

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики –2014. –Т.54. № 7. –С. 1059-1077. - мақала

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. – Москва, 2015. –С.141-142. –конференция еңбектерi

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. –Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. –С.7. –газеттiк мақала 5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Cибирские электронные математические известия –2017. –Т.14. –С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057. – URL:

http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронды журнал

7. Әдебиеттер тiзiмiнен соң автор өзiнiң библиографикалық мәлiметтерiн орыс және ағылшын тiлiнде (егер мақала қазақ тiлiнде орындалса), қазақ және ағылшын тiлiнде (егер мақала орыс тiлiнде орындалса), орыс және қазақ тiлiнде (егер мақала ағылшын тiлiнде орындалса) жазу қажет. Соңынан транслиттiк аударма мен ағылшын тiлiнде берiлген әдебиеттер тiзiмiнен соң әр автордың жеке мәлiметтерi (қазақ, орыс, ағылшын тiлдерiнде – ғылыми атағы, қызметтiк мекенжайы, телефоны, e-mail-ы) берiледi.

8. Редакцияға түскен мақала жабық (анонимдi) тексеруге жiберiледi. Барлық рецензиялар авторларға жiберiледi.

Автор (рецензент мақаланы түзетуге ұсыныс берген жағдайда) үш күн аралығында қайта қарап, қолжазбаның түзетiлген нұсқасын редакцияға қайта жiберуi керек. Рецензент жарамсыз деп таныған мақала қайтара қарастырылмайды. Мақаланың түзетiлген нұсқасы мен автордың рецензентке жауабы редакцияға жiберiледi.

67

(16)

9. Төлемақы.Басылымға рұқсат етiлген мақала авторларына төлем жасау туралы ескертiледi. Төлем көлемi 2018 жылы 4500 тенге – ЕҰУ қызметкерлерi үшiн және 5500 тенге басқа ұйым қызметкерлерiне.

1) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Банк ЦентрКредит"

БИК Банка: KCJBKZKX

ИИК: KZ978562203105747338 (KZT) Кнп 861

Кбе 16

"Мақала үшiн (автордың аты-жөнi)"

2) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Bank RBK"

БИК Банка: KINCKZKA

ИИК: KZ498210439858161073 (KZT)

3) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Forte"

БИК Банка: IRTYKZKA

ИИК: KZ599650000040502847 (KZT)

68

(17)

Provision on articles submitted to the journal "Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.

Physics. Astronomy series"

The journal editorial board asks the authors to read the rules and adhere to them when preparing the articles, sent to the journal. Deviation from the established rules delays the publication of the article.

1.Purpose of the journal.Publication of carefully selected original scientific.

2. The scientific publication office accepts the article (in electronic and printed, signed by the author) in Tex- and Pdf-files, prepared in the LaTeX publishing system with mandatory use of the original style log file. The style log file can be downloaded from the journal websitebulphysast.enu.kz. And you also need to provide the cover letter of the author(s).

Language of publications: Kazakh, Russian, English.

3.Submission of articles to the scientific publication office means the authors’ consent to the right of the Pub- lisher, L.N. Gumilyov Eurasian National University, to publish articles in the journal and the re-publication of it in any foreign language. Submitting the text of the work for publication in the journal, the author guar- antees the correctness of all information about himself, the lack of plagiarism and other forms of improper borrowing in the article, the proper formulation of all borrowings of text, tables, diagrams, illustrations.

4. The volume of the article should not exceed 18 pages (from 6 pages).

5. Structureof the article GRNTI http://grnti.ru/

Initials and Surname of the author (s)

Full name of the organization, city, country (if the authors work in different organizations, you need to put the same icon next to the name of the author and the corresponding organization)

Author’s e-mail (s) Article title

Abstract (100-200 words, it should not contain a big formulas, the article title should not repeat in the content, it should not contain bibliographic references, it should reflect the summary of the article, preserving the structure of the article - introduction/ problem statement/ goals/ history, research methods, results /discussion, conclusion).

Key words(6-8 words/word combination. Keywords should reflect the main content of the article, use terms from the article, as well as terms that define the subject area and include other important concepts that make it easier and more convenient to find the article using the information retrieval system).

The main text of the article should contain an introduction/ problem statement/ goals/ history, research methods, results / discussion, conclusion. Tables, figures should be placed after the mention. Each illustration should be followed by an inscription. Figures should be clear, clean, not scanned.

Tables are included directly in the text of the article; it must be numbered and accompanied by a reference to them in the text of the article. Figures, graphics should be presented in one of the standard formats: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Bitmaps should be presented with a resolution of 600 dpi. All details must be clearly shown in the figures.

In the article, only thoseformulas are numbered, to which the text has references.

Allabbreviations, with the exception of those known to be generally known, must be deciphered when first used in the text.

Information onthe financialsupport of the article is indicated on the first page in the form of a footnote.

6.The list of literature should contain only those sources (numbered in the order of quoting or in the order of the English alphabet), which are referenced in the text of the article. References to unpublished issues, the results of which are used in evidence, are not allowed. Authors are recommended to exclude the reference to pages when referring to the links and guided by the following template: chapter number, section number, paragraph number, theorem number (lemmas, statements, remarks to the theorem, etc.), number of the formula. For example, "..., see [3, § 7, Lemma 6]"; "..., see [2], a remark to Theorem 5".

Otherwise, incorrect references may appear when preparing an English version of the article.

Template

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр.-book

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7. -С. 1059-1077. - journal article

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. - -Conferences proceedings

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7.newspaper articles 5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057. - URL:

http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -Internet resources

7.At the end of the article, after the list of references, it is necessary to indicate bibliographic data in Russian and English (if the article is in Kazakh), in Kazakh and English (if the article is in Russian) and in Russian and Kazakh languages (if the article is English language). Then a combination of the English-language and transliterated parts of the references list and information about authors (scientific degree, office address, telephone, e-mail - in Kazakh, Russian and English) is given.

8. Work with electronic proofreading.Articles received by the Department of Scientific Publications (editorial office) are sent to anonymous review. All reviews of the article are sent to the author. The authors must send the proof of the article within three days. Articles that receive a negative review for a second review are not accepted. Corrected versions of articles and the author’s response to the reviewer are sent to the editorial office. Articles that have positive reviews are submitted to the editorial boards of the journal for discussion and approval for publication.

Periodicity of the journal: 4 times a year.

69

(18)

9. Payment.Authors who have received a positive conclusion for publication should make payment on the following requisites (for ENU employees - 4,500 tenge, for outside organizations - 5,500 tenge):

Реквизиты:

1) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Банк ЦентрКредит"

БИК Банка: KCJBKZKX

ИИК: KZ978562203105747338 (KZT) Кнп 861

Кбе 16

"За публикацию в Вестник ЕНУ ФИО автора"

2) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Bank RBK"

БИК Банка: KINCKZKA

ИИК: KZ498210439858161073 (KZT)

3) РГП ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева МОН РК АО "Forte"

БИК Банка: IRTYKZKA

ИИК: KZ599650000040502847 (KZT)

70