• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Конспекты лекций

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Конспекты лекций"

Copied!
37
0
0

Толық мәтін

(1)

1

Некоммерческое акционерное

общество

Кафедра электроники

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Конспекты лекций

для студентов специальности 5В071600 – Приборостроение

Алматы 2015

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

(2)

2

СОСТАВИТЕЛЬ: С.Н.Петрищенко. Основы цифровой обработки сигналов. Конспекты лекций для студентов специальности 5В071600 – Приборостроение. - Алматы: АУЭС, 2015. – 37 с.

Приведены основные понятия и математические соотношения цифровой обработки сигналов, классы и типы цифровых фильтров, рассмотрены вопросы временного, в Z – области и частотного анализа рекурсивных цепей 1-го и 2-го порядков и нерекурсивных цепей с линейной фазочастотной характеристикой, приводятся основные методы синтеза БИХ - и КИХ – фильтров, излагаются вопросы квантования в цифровых системах, основы адаптивной фильтрации и многоскоростных систем цифровой обработки сигналов.

Ил.19, табл.2, библиогр. – 6 назв.

Рецензент: доцент каф. ИКТ Гармашова Ю.М.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2015 г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи» , 2015 г.

(3)

3

Введение

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – это область науки и техники, в которой изучаются общие для разных дисциплин алгоритмы и средства обработки сигналов на основе численных методов с использованием цифровой вычислительной техники.

На протяжении последних лет ЦОС оказывает первостепенное и постоянно возрастающее воздействие на такие технологические отрасли, как телекоммуникации, цифровое телевидение и средства информации, биомедицина и цифровая звукозапись. Сегодня ЦОС является основой таких новых цифровых разработок и приложений, как цифровая мобильная связь, цифровые видеокамеры, телевидение и системы звукозаписи.

В современном мире от инженеров-электронщиков, приборостроителей, программистов и связистов требуется умение работать с ЦОС, поэтому предмет «Основы цифровой обработки сигналов» введен в специальность

«Приборостроение».

Представляемый здесь краткий конспект лекций по основам цифровой обработки сигналов рассчитан на 22 часа лекционных занятий и включает в себя следующие вопросы:

- даются начальные сведения о типах сигналов, нормировании времени и частоты;

- рассматривается математический аппарат Z-преобразования;

- дается краткий анализ основных направлений цифровой обработки сигналов;

- изучаются линейные дискретные системы и их математическое описание во временной области, Z-области и частотной области на примере рекурсивных звеньев первого и второго порядков;

- анализируется работа КИХ-фильтров с линейной фазочастотной характеристикой, а также преобразователей Гальберта и дифференциаторов;

- изучаются фазовые звенья первого и второго порядков;

- рассматриваюся основные положения синтеза БИХ-фильтов методом билинейного Z-преобразования и КИХ-фильтров методом окон;

- рассматриваются эффекты квантования в цифровых системах;

- рассматриваются основы адаптивной фильтрации;

Последняя лекция посвящена многоскоростным системам ЦОС, системам интерполяции и децимации.

Методы обработки при нескольких скоростях привели к возникновению таких приложений, как одноразрядные аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразователи и цифровая фильтрация с запасом по частоте, которые используются в ряде современных цифровых систем, например в проигрывателе компакт-дисков.

Больше всего в цифровой обработке сигналов привлекает то, что она позволяет достичь высокой точности и идеальной воспроизводимости, по своей внутренней гибкости сравнима с аналоговой обработкой сигналов.

(4)

4

Лекция №1. Основные понятия и математические соотношения цифровой обработки сигналов

Содержание лекции: цифровая обработка сигналов, типовые дискретные сигналы, нормирование.

Цель лекции: ознакомиться с направлением развития цифровой обработки сигналов, изучить типовые дискретные сигналы, приемы их нормирования.

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) как комплексное научно- техническое направление базируется на применении средств вычислительной техники для решения задач цифровой обработки сигналов в системах с большим объемом вычислений в реальном масштабе времени.

Цифровые системы по сравнению с аналоговыми обладают рядом таких преимуществ, как высокая степень микроминиатюризации аппаратуры, высокая точность, помехозащищенность и стабильность характеристик.

ЦОС имеет дело с цифровыми сигналами, происходящими из дискретных сигналов, которые дискретны по времени и непрерывны по состоянию. Они описываются решетчатой функцией f(nT), где n - номер отсчета 0,1,2,3…, интервал Т – период дискретизации, а обратная величина Т - частота дискретизации fд 1T. Цифровые сигналы в отличие от дискретных сигналов дискретны не только по времени, но и по состоянию, они могут принимать только конечное число значений из некоторого конечного интервала. Эти значения называются уровнями квантования, а соответствующие функции – квантованными.

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем tˆt TnT Tn. Таким образом, номер отсчета n дискретного сигнала может интерпретироваться как нормированное время.

При изучении цифровых цепей в качестве испытательных воздействий чаще других используются два дискретных сигнала:

1) цифровой единичный импульс, который показан на рисунке 1,а и математически представлен соотношением:



 

; 0 ,

0

; 0 ,

1 n

n где n 0,1,2,3...;

2) цифровой единичный скачок, показан на рисунке 1,б и представлен математическим соотношением:



 

; 0 , 0

; 0 ,

1 n u n

где n 0,1,2,3....

(5)

5

u

n n | | | | |

а) б) Рисунок 1

К типовым дискретным сигналам относятся также экспонента, гармонический сигнал и комплексный гармонический сигнал [ 1 ].

Дискретная экспонента описывается последовательностью



 

, 0 , 0

, 0 ) ,

( n

n n a

x

n

где , a - вещественная константа, в зависимости от величины и знака которой дискретная компонента будет:

- ǀ a ǀ < 1 и а > 0 – убывающей знакопостоянной;

- ǀ a ǀ < 1 и а < 0 – убывающей знакопеременной;

- ǀ a ǀ > 1 - возрастающей;

- ǀ a ǀ = 1 и а > 0 –цифровым единичным скачком;

- ǀ a ǀ < 1 и а < 0 –знакопеременной последовательностью единиц.

x(n) x(n)

n n | | | | ǀ ǀ |

а) б) Рисунок 2

На рисунке 2 изображены знакопостоянная (а) и знакопеременная (б) дискретные экспоненты.

Дискретный гармонический сигнал, например, дискретная косинусоида, описывается последовательностью

), cos(

2 ) cos(

) ( )

( A wnT

A nT n

x nT

x  

где Т – период дискретизации;

А – амплитуда;

w – круговая частота, связанная с частотой f коэффициентом пропорциональности 2π.

-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4

(6)

6

Дискретная косинусоида получается из аналоговой ) cos(

) 2 cos(

)

(t A ft A wt

x

в результате замены непрерывного времени дискретным, как показано на рисунке 3.

x(nТ)

nT

Рисунок 3

Дискретный комплексный гармонический сигнал описывается комплексной последовательностью

Ae

jwTn

n x ( ) 

или двумя вещественными последовательностями: косинусоидой (вещественная часть) и синусоидой (мнимая часть)

).

sin(

) cos(

)

( A wTn jA wTn

x  

По теореме Котельникова максимальная частота аналогового сигнала fmax не должна превышать половины частоты дискретизации fд, поэтому в частотной области все дискретные сигналы целесообразно рассматривать в диапазоне

0; fд 2

, где fд 2 - частота Найквиста.

Это позволяет ввести понятие нормированной частоты ˆ f f fT,

f д где f - текущая частота. Тогда на частоте Найквиста 5

, 0 ˆ fд 2fд

f .

Таким образом, дискретный сигнал можно рассматривать в основном частотном диапазоне [fˆ0;0,5].

Для нормированной круговой частоты ˆ  fд 2f fд 2fд 2fд  , то есть основная полоса частот соответствует области [wˆ0;].

-1 0 1 2 7 8 9 10 11 3 4 5 6

(7)

7 Лекция №2. Z - преобразование

Содержание лекции: Z – преобразование, его основные свойства, Z – преобразование типовых дискретных сигналов, обратное Z – преобразование.

Цель лекции: ознакомиться с основными методами прямого и обратного Z – преобразования.

Полезным методом описания дискретных систем является Z - преобразование, которое оказывается наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.

Прямое Z - преобразование определяет Z - образ дискретной последовательности f(nT) следующим соотношением:

( ) { ( )} ( ) 1.

0

Z f nT f nT z z

F

n

(2.1) Дискретный сигнал f(nT) называется оригиналом, а функция F(z) - изображением (Z–образ). Аргумент z функции F(z) является комплексной величиной z  j или в полярных координатах zrej, где

2,

2

z

r а arg(z)arctg

. Комплексная функция F(z) определена лишь для тех значений z, при которых ряд (1.1) сходится.

Условием сходимости ряда (1.1) является

0

) ( )

(

n

z n

nT f z

F < ∞. (2.2) Удобным способом графического представления F(z) является изображение полюсов zk*,k 1,2,...,M и нулей zl0,l 1,2,...,N функции в Z - плоскости, называемое картой нулей и полюсов.

Приведем Z – изображения некоторых последовательностей, описывающих типовые дискретные сигналы:

1) Z – изображение цифрового единичного импульса

(n).

После выполнения Z –преобразования последовательности в виде )

(n , получим:

 

0

0 1

) 0 ( )

( )

( )}

(

{ n

n z

z n z

n

Z     .

2) Z – изображение задержанного цифрового единичного импульса на m тактов

(nm)на основании теоремы о задержке имеет вид:

. )

( )}

(

{ n m z z m z m

Z

 

3) Z – изображение цифрового единичного скачка u(n).

После выполнения Z – преобразования последовательности в виде )

(n

u , получаем ряд, представляющий собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии

 

  

 ( ) 0 ( ) 01 0 ,

)}

(

{ n

n n

n n

n z z

z n u z

u n

u Z

(8)

8

которая имеет конечный предел, равный 1 1

1

z , что является Z – изображением u(n).

Аналогично можно получить Z – изображения других типовых последовательностей [ 1 ], некоторые из которых представлены в таблице 1.

Т а б л и ц а 1

Последовательность

,...

2 , 1 , 0 , n

n

,...

2 , 1 , 0 , n un

,...

2 , 1 , 0

,

n un m

,...

2 , 1 , 0

, )

( 1

n

a n

} ,..., ,

{b0 b1 bN1

Z - образ

1

) 1 (

1 z1 (1 1)

z z m

) 1

(

1 1

1

a z

1 0

1 N

n

nz b

Обратное Z–преобразование решает задачу восстановления оригинала по известному изображению, используя следующее соотношение:

( ) , 2

)} 1 ( { )

( 1 F z z 1dz

z f F Z nT

f n

C

  (2.3) где С – контур сходимости F(z)zn1,охватывающий начало координат Z - плоскости.

Такой интеграл решить сложно, поэтому существуют более простые способы нахождения обратного Z - преобразования: с использованием таблицы соответствия, на основании теоремы Коши о вычетах или разложением изображения на простые дроби [ 1 ].

Рассмотрим пример использования таблицы соответствий для обратного Z – преобразования. Допустим, необходимо найти последовательность (оригинал) x(n)по известному Z – изображению

1 . )

( 1

1 1 1

0

 

z a

z b z b

X

Решение. Числитель у заданного многочлена ненулевой степени можно представить в виде суммы дробей:

1 . ) 1

( 1

1 1 1 1

1

0

 

 

z a

z b z

a z b

X

В таблице 1 находится Z – изображение с таким же знаменателем и записывается соответствие

. )

1 ( ) 1

( 1

1

an

n z x

z a

X  

  (2.4) Согласно свойству линейности

(9)

9 1 }.

{

1 } { 1 1 }

{ 1 }

{ )

(

1 1

1 1

1

1 1 1

1 0 1

1 1 1

1 1 1 0

 

 

 

 

z a Z z

b

z Z a

z b a

z Z b

z a Z b

z X

На основании теоремы о задержке и соответствия 2.4 получаем последовательность

. )

(nb0anb1an1 x

Свойства Z - преобразования сводятся к следующему:

1) Линейность. Если {f1(n)} и {f2(n)}- решетчатые функции, а C1 и

C2 постоянные действительные коэффициенты, то

Z[{C1f1(n)}C2f2(n)}]C1z{f1(n)}C2z{f2(n)}. (2.5) 2) Сдвиг последовательности (задержка). Если последовательность )}

(

{f1 n имеет Z - преобразование F1(z), то задержанная на m интервалов последовательность {f2(n)}{f1(nm)}, имеет Z- преобразование

F2(z)zmF1(z). (2.6) Таким образом, задержка сигнала на m интервалов дискретизации во временной области эквивалентна умножению на zm в Z- области.

3) Свертка последовательностей. Если последовательности {f1(n)} и )}

(

{f2 n имеют Z - преобразования F1(z) и F2(z), то последовательность )}

( { )}

( { )}

(

{f3 nf1 nf2 n , представляющая собой свертку исходных

последовательностей

 

n

k

n

k

k n f k f k

n f k f n

f

0 0

1 2

2 1

3( )} { ( )}{ ( )} { ( )}{ ( )}

{ , имеет Z-

преобразование F3(z)F1(z)F2(z). Вывод: свертка сигналов во временной области эквивалентна умножению Z - образов в Z - области.

Для описания дискретных сигналов в частотной области используется спектр, который связан с дискретным сигналом парой преобразований Фурье.

Спектром X(ejwt) или Фурье-изображением дискретного сигнала называют прямое преобразование Фурье дискретной последовательности

,...

2 , 1 , 0 ), (nT nx

0

) ( )

(

n

jwnT

jwt x nT e

e

X , (2.7) где x(nT)- оригинал (дискретная последовательность).

Обратное преобразование Фурье для дискретной последовательности

T

T

nT j T

j e d

e T X

nT x

( )

) 2

( . (2.8)

При сравнении формул 2.1 и 2.7 можно увидеть, что преобразование Фурье представляет собой частный случай Z – преобразования [ 2 ].

(10)

10

Лекция №3. Анализ основных направлений цифровой обработки сигналов

Содержание лекции: краткий анализ основных направлений цифровой обработки сигналов.

Цель лекции: ознакомиться с основными направлениями цифровой обработки сигналов.

К одному из основных направлений цифровой обработки сигналов (ЦОС) относится цифровая фильтрация. Цифровая фильтрация – это процесс преобразования цифровых сигналов с целью выделения и/или подавления определенных частот этих сигналов, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтром. На рисунке 4 представлены классы и типы цифровых фильтров (ЦФ).

Рисунок 4

Из рисунка 4 видно, что в области цифровой фильтрации разработчик систем ЦОС имеет дело с реализацией двух классов фильтров:

- фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), то есть с импульсной характеристикой, имеющей бесконечную длину во временной области; такой фильтр называют еще рекурсивным из-за наличия обратной связи;

- фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтр), то есть с импульсной характеристикой, ограниченной по времени ( с какого-то момента времени она становится равной нулю); из-за отсутствия обратной связи такие фильтры называют нерекурсивными.

Цифровые фильтры

Рекурсивные (БИХ) Нерекурсивные (КИХ) с линейной ФЧХ

Тип 1

НЧ ВЧ ПФ РФ

Баттерворта Чебышева 1 и 2 Золотарева-Кауэра

НЧ ВЧ ПФ РФ АК

Тип 2

НЧ ПФ

ч

Тип 3 Тип 4

ВЧ ПФ

Дифференциатор, Преобразователь Гильберта ПФ

Преобразователь Гильберта, Дифференциатор

(11)

11

Из рисунка 4 также видно, что фильтры могут быть фильтрами низкой частоты (НЧ), высокой частоты (ВЧ), полосовыми фильтрами (ПФ), режекторными фильтрами, а из нерекурсивных фильтров (НРФ) можно также построить амплитудные корректоры (АК), преобразователи Гильберта и дифференциаторы.

Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами, в которых входная x(n) и выходная

) (n

y последовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через h(k)отклик системы на единичный импульс, то получим свертку вида:

( ) ( ) ( ),

0

n

k

k n x k h n

y (3.1)

где x(n), y(n)- отсчеты входного и выходного сигналов;

h(k) – импульсная характеристика;

x(n - k) - входной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.

Цифровые фильтры полностью описываются во временной области разностными уравнениями, а в z-области – передаточными функциями.

Рекурсивные фильтры представляют собой системы с обратной связью и описываются разностными уравнениями вида:

1

0

1 1

), (

) (

) (

N i

M k

k

ix n i a y n k

b n

y (3.2)

где bi и ak – вещественные коэффициенты, причем ak ≠ 0;

x(n-i) - входные отсчеты, задержанные на iпериодов дискретизации T ; y(n-k)-выходные отсчеты, задержанные на k периодов дискретизации T;

N и M – постоянные целые числа, причем М ≥ N.

Нерекурсивные фильтры представляют собой системы без обратной связи и описываются разностными уравнениями вида:

1

0

) (

) (

N i

ix n i b

n

y , (3.3)

где N - число коэффициентов;

N-1 – порядок фильтра.

Необходимо отметить, что коэффициенты ak передаточной функции рекурсивного фильтра по абсолютной величине равны коэффициентам разностного уравнения, но противоположны по знаку, а коэффициенты bi

разностного уравнения и передаточной функции нерекурсивного фильтра

(12)

12

полностью совпадают и представляют собой отсчеты его импульсной характеристики.

Таким образом, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки (3.1), которая раскладывается на операции умножения и накапливающего суммирования, а также операции задержки.

Для представления коэффициентов системы и отсчетов обрабатываемого сигнала в цифровой системе используются элементы памяти (регистры, ячейки запоминающих устройств), разрядность которых конечна.

Операционные устройства (сумматоры, умножители) также имеют ограниченную разрядность. Следовательно, коэффициенты системы и отсчеты обрабатываемого сигнала представляются с ограниченной точностью.

Ограничение разрядности элементов памяти и операционных устройств приводит к операции квантования.

В ряде задач цифровой обработки необходимо оценить параметры спектра сигнала, то есть выполнить спектральный анализ. Исходными данными для обработки являются N отсчетов сигнала X(n). Для исследования частотного состава этой последовательности ее нужно преобразовать, используя Фурье-анализ. С аналитической точки зрения Фурье-анализ позволяет установить связь между сигналом во временной области и его спектром в частотной области.

Если применяется неизменная система цифровой обработки сигналов, то условия на ее входе считаются известными. Однако в большинстве реальных условий диапазон входных воздействий известен приблизительно и меняется сложным образом во времени. Тогда возникает необходимость использовать адаптивную систему цифровой обработки сигналов, главным свойством которой можно считать изменяющееся во времени функционирование с саморегуляцией. Для оценки степени достижения требуемого качества адаптации вводится функционал качества, зависящий как от входного сигнала, так и от параметров системы. Достижение экстремума данного функционала является целью функционирования адаптивной системы.

Все рассматриваемые до сих пор линейные дискретные системы были определены в предположении фиксированной частоты дискретизации. Однако в некоторых реальных системах телекоммуникаций различные этапы обработки данных выполняются на разных частотах дискретизации. В таких системах для сопряжения этих этапов необходимо решать задачу преобразования частоты дискретизации:

а) от меньшей к большей – повышение частоты дискретизации в целое число раз, называемое интерполяцией;

б) от большей к меньшей – понижение частоты дискретизации, называемое децимацией.

Таким образом, происходит переход к системам с многочастотной дискретизацией, более известным как многоскоростные системы цифровой обработки сигналов.

(13)

13

Лекция №4. Анализ рекурсивных фильтров первого порядка

Содержание лекции: временной и частотный анализ, оценка на устойчивость рекурсивных цепей первого порядка.

Цель лекции: изучить структуру рекурсивных цепей первого порядка, временные и частотные характеристики, уметь оценивать цепи на их устойчивость.

Большую роль в линейных дискретных системах с постоянными параметрами играют рекурсивные цепи 1-го и 2-го порядков, на их основе можно построить цепи более высоких порядков.

Передаточная функция (ПФ) рекурсивной цепи 1-го порядка имеет вид:

1 1

1 1 0

) 1

(

 

z a

z b z b

H . (4.1) Если числитель передаточной функции H(z) равен 1, то цепь для удобства будем называть базовым звеном 1-го порядка. Важной характеристикой для описания свойств линейных дискретных систем является импульсная характеристика (ИХ), как ее реакция на единичный импульс. ИХ звена 1-го порядка имеет вид:

h(n) =

. 0 ,

) ( )

(

0 ,

1 1 1 1

0 0

n a

b a

b

n b

n

n (4.2) На рисунке 5 представлена прямая структурная схема цепи 1-го порядка.

x(n) b0 y(n)

b1 a1

Рисунок 5

Нуль z0 и полюс z* передаточной функции вычисляются по формулам:

, 1.

* 0

0 1

a b z

z b (4.3)

+

1

1

(14)

14

Условием устойчивости является | z* | = | a1 | < 1. Из формулы (4.I) при z=ejT получаются выражения для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

,

ˆ) sin (

ˆ) cos 1

(

ˆ) sin ( ˆ)

cos ) (

( ˆ)

( 2

1 2

1

2 1

2 1

0  

a a

b b

e b H

A j T

(4.4)

и фазочастотной характеристики (ФЧХ)

ˆ ,

cos 1

sin ˆ cos ˆ

1

sin ˆ ˆ)

(

1 1 1

1

 

b

arctg b a

arctg a

 

  (4.5) где ˆ 2fˆ - нормированная круговая частота.

Нормированной АЧХ называют соотношение .

)]

( max[

) ) (

( 

A

AA (4.6)

Из формулы 4.6 следует, что 0 A() 1.

Для оценки вида АЧХ удобно пользоваться формулами экспресс- анализа, которые позволяют определить значения АЧХ на трех частотах 0, и  /2

2 1

2 1 2

0 1

1 0

1 1 0

) 1 2 / (

) 1 (

) 1 0 (

a b A b

a b A b

a b A b

 

 

 

 . (4.7)

Рассмотрим БИХ-фильтр с передаточной функцией 6 . . 0

05 . 0 05 . 0 6

. 0 1

05 . 0 05 . ) 0

( 1

1

 

 

z z z

z z H

Решая уравнение числителя определяем один нуль z10 1,а решая уравнение знаменателя определяем один полюс z1* 0,6.

Карта нулей и полюсов будет иметь вид, представленный на рисунке 6.

при приближении полюса к единичной окружности фильтр становится более узкополосным.

(15)

15

Рисунок 6

Значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) на границах основной полосы частот А(0) = 0, А(0.5)

=1. Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 7, из которого видно, что фильтр относится к классу избирательных фильтров высоких частот (ФВЧ).

fˆ

fˆ 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5

Рисунок 7

Если БИХ-фильтр имеет передаточную функцию 8 ,

. 0 1

1 . 0 1 . ) 0

( 1

1

 

z z z

H то значения АЧХ на границах основной полосы частот А(0) = 1, А(0.5) =0.

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 8. Фильтр относится к классу избирательных фильтров низких частот (ФНЧ).

А 1 0,25 0,5

ǀ fˆ

ǀ fˆ

0 0,25 0,5 Рисунок 8

Im

Re -1

1

1 j

j

-j

А 1

φ

А 1

φ 0

(16)

16

Лекция №5. Анализ рекурсивных фильтров второго порядка

Содержание лекции: временной и частотный анализ, оценка на устойчивость рекурсивных цепей второго порядка.

Цель лекции: изучить структуру рекурсивных цепей второго порядка, временные и частотные характеристики, уметь оценивать цепи на их устойчивость.

Рекурсивная цепь 2-ого порядка описывается передаточной функцией

.

) 1

( 2

2 1 1

2 2 1 1 0

 

z a z a

z b z b z b

H (5.1)

Нули и полюсы H(z) определяются из решений уравнений

b0z2b1zb2  0 и z2a1za2 0. (5.2) Из этих уравнений находятся:

1) Нули

. 2

4

0

2 0 2

1 1

0 2 ,

1 b

b b b

Z b

(5.3) Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные нули, в противном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными нулями

z

10,2

r

0

e

j0

,

(5.4) где ;

0 2

0 b

rb

2 . arccos

2 0 0 1

b b

b

2) Полюсы .

2 2 2

4

2 2 1 2 1

2 1

* 1 2 ,

1 a a a a a a

z      

(5.5) Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные полюсы, в противном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными полюсами

z

1*,2

r

*

e

j*

,

(5.6) где r*a2;

2 . arccos 1*

*

 

r

a

(17)

17

Импульсная характеристика цепи второго порядка при комплексно- сопряженных полюсах имеет вид:

.

) sin(

] ) 1 sin[(

) sin(

) sin(

) sin(

] ) 1 sin[(

)

( *

* )

2 (

*

* 2

* )

1 (

*

* 1

*

*

0

   

  n

r n b

r n b

r b n

h n n n (5.7)

Как следует из выражения 5.7 слагаемое, у которого степень r меньше нуля, равно нулю, поскольку рассматриваются только физически возможные цепи (у таких цепей реакция не может опережать воздействие).

Прямая структурная схема цепи второго порядка представлена на рисунке 9.

X(n) b0 Y(n)

b1 - a1

b2 - a2

Рисунок 9

Важным свойством цепи является ее устойчивость. Для устойчивости цифровой цепи второго порядка необходимо, чтобы все полюса передаточной функции находились внутри единичного круга z-плоскости, то есть | Z* | < 1.

Данное условие накладывает определенные ограничения на величину коэффициентов знаменателя передаточной функции рекурсивного фильтра. Для рекурсивного фильтра второго порядка с комплексно- сопряженными полюсами эти ограничения соответствуют:

a1 <2 a2 < 2 и 0 <a2 < 1. (5.8) Цепи второго порядка в зависимости от соотношения коэффициентов могут обладать различной избирательностью: низкочастотной (НЧ), высокочастотной (ВЧ), полосовой (П), режекторной (Р).

Из передаточной функции (3.9) при zejwполучаются выражения для АЧХ и ФЧХ

2 2

1 2

2 1

2 2

1 2 2

1 0

ˆ) 2 ˆ sin

sin (

ˆ) 2 ˆ cos

cos 1

(

ˆ) 2 ˆ sin

sin ( ˆ)

2 ˆ cos

cos ) (

(    

 

a a

a a

b b

b b

A b

 

; (5.9)

 

 cos ˆ cos2ˆ

2ˆ ˆ sin

sin 2 ˆ

ˆ cos cos 1

2ˆ ˆ sin

) sin (

2 1

0

2 1

2 1

2 1

b b

b

b arctg b

a a

a arctg a

 

 

 ∙(5.10)

+

1

1

1

1

(18)

18

Для определения избирательности цепи необходимо уметь строить ее АЧХ и ФЧХ по характерным точкам. Для этого удобно пользоваться формулами экспресс-анализа для вычисления АЧХ и ФЧХ на трех частотах:

. 0 ) ( 1 ;

) (

; 1

; .)

3

1 . )

2 / (

) ; 1 (

) ) (

2 / (

;

; 2 / )

2

. 0 ) 0 ( 1 ;

) 0 (

; 1

; 0 ) 1

2 1

2 1 0

2 0

1 1

1

2 1 2 2

2 1 2 2 0

2 1

2 1 0

 

 

 

 

 

 

 

a a

b b A b

z

b b arctg b a

arctg a

a a

b b

A b j z

a a

b b A b

z

(5.11)

Для оценки максимума АЧХ полосового фильтра необходимо произвести вычисления A() при

*  2

fˆ*

*,

для оценки минимума АЧХ режекторного фильтра - при

0  2

fˆ0

0.

На рисунке 10 представлены типовые АЧХ и ФЧХ полосового и режекторного фильтров 2-го порядка.

fˆ

Рисунок 10

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Время ответа (отклика) системы определяется как интервал между событием и реакцией системы на него. Данная характеристика interface-а определяет задержку

где Ф полн есть полный световой поток источника света, то есть мощность из- лучения, создаваемая источником по всем направлениям, - энергия света,

Модульные автоматы предназначены для защиты потребителя от сверхтоков: от токов перегрузки и токов КЗ. Для защиты от токов перегрузки они снабжены

Преимуществом итеративного подхода является то, что он объединяет практические (операционные) соображения операционных менеджеров

Так же как и генераторы в зависимости от способа включения обмотки возбуждения и обмотки якоря различают следующие типы двигателей постоянного тока:

Производственная трудоемкость t тех включает в себя затраты труда только основных рабочих (сумму норм времени на изготовление всех элементов изделия

Общеканальная сигнализация 7 (ОКС7) – это такая система сигнализации, при которой информация управлением установлением соединения (сигнализация) для

Они начнут тормозиться и в соответствии со статическими характеристиками нагрузки по частоте P =f (f) (рисунок 8.1) станут потреблять меньшую