АЛГЕБРАЛЫҚ СЫЗЫҚТЫҚ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ТҮБІРЛЕРІН АЙЫРУ

(1)

сти, для каждого конечного n существует структура, имеющая представления только в non low _n степенях.

Список литературы

1. Goncharov S.S., Harizanov V.S., Knight J.F. a.o. Enumerations in computable structure theory // Annals of Pure and Applied Logic. — 2005. — Vol. 136. — № 3. — P. 219–246.

2. Мальцев А.И. Конструктивные алгебры. I // Успехи матем. наук. — 1961. — Т. 16. — № 3. — С. 3–60.

3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — М.: Наука, 1980. — 416 с.

4. Тусупов Д.А. Ориентированный граф конечной ⁰_- размерности // Вестн. НГУ. Сер. матем. — 2007. — Т. 7. — Вып. 1.

— С. 104–115.

ƏОЖ 510.67

Л.С.Фазылова, А.Е.Сланбекова Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті

АЛГЕБРАЛЫҚ СЫЗЫҚТЫҚ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ТҮБІРЛЕРІН АЙЫРУ

Рассмотрены аналитические и графические методы отделения действительных корней нели- нейных уравнений, приведены примеры построения графиков нелинейных функций с использо- ванием пакета прикладных программ Matlab.

Present work explains analytic and graphic methods of separating of real solutions of nonlinear equ- ations. Given examples of graphing of nonlinear functions with using applied program Matlab.

Бұл жұмыста

( ) 0

f x  (1)

теңдеуінің түбірлерін табудың кейбір əдістері берілген. Мұндағы x — нақты немесе комплекс сан;

( )

f x — осы x аргументіне тəуелді көпмүше немесе трансцендентті функция.

Егер ( )f x алгебралық көпмүше болса, онда 5-дəрежелі көпмүшеге дейін ғана ( ) 0f x  тең- деуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ол үшін төмендегі екі мə- селені шешу қажет болады [1]:

1) түбірлерді айыру, яғни ішінде тек бір ғана түбір жататын кіші облыстарды анықтау;

2) теңдеудің түбірін берілген дəлдікпен есептеп шығару.

Біз f x( )a x_n ⁿa x_n_₁ ⁿ^¹a x a₁  ₀0 түрінде берілген теңдеуді n дəрежелі алгебралық тең- деу, ал

( ) sin 0

f x ax b x c  , ( )f x ae^x bx c 0, ( )f x a x blg  sinx c 0

түрінде, яғни құрамы көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функ- циялардан тұратын теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.

Сондықтан көбінесе үш, төрт дəрежелі алгебралық, тригонометриялық, логарифмдік теңдеулерді немесе теңдеулер жүйелерін шешу қажет болады. Жалпы алғанда мұндай есептерді теңдеулердің дəл шешімдерін табу міндетті емес, жуық шешімдері табылса болғаны.

Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы əдісі жоқ. Сондықтан көптеген мəселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала бе- рілген дəлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі.

Теңдеулердің шешімдерін (түбірлерін) жуықтап табудың қандай əдісі болмасын, алдымен олар- дың нақты түбірлеріне жақын санды (бастапқы мəн) табу мəселесін шешпей болмайды.

Түбірлерді айыру тəсілдерін қарастырайық.

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(2)

57 Айталық, (1) теңдеуі берілген болсын, мұндағы ( )f x функциясы кейбір a x b  аралығында анықталған жəне үздіксіз. x  əрбір мағынасында (1) теңдеудің түбірі немесе ( )f x функциясының нөлі деп аталады.

(1) теңдеуінің тек оқшауланған нүктелері бар деп алайық, яғни (1)-ң əрбір түбірі үшін басқа тү- бірге тиісті емес қандай да бір маңайы бар.

Сызықтық емес теңдеулер теориясының негізгі түсініктері мен анықтамаларын келтірейік [2].

Анықтама 1. Теңдеулерден ақиқат түбірлерінің жуық сандарды бастапқы мəндер деп атайды.

Анықтама 2. ( ) 0f   болатындай барлық x  мəндері (1) теңдеудің түбірі, немесе ( )f x функциясының нөлі, деп аталады.

Анықтама 3. Егер екі теңдеудің түбірлері тең болса, онда бұл екі теңдеу тепе-тең теңдеулер деп аталады.

Анықтама 4. Егер теңдеудің құрамындағы ( )f x функциясы алгебралық (рационал немесе ирра- ционал) болса, онда теңдеу алгебралық деп аталады.

Анықтама 5. Егер теңдеудің құрамындағы ( )f x функциясы алгебралық емес болса, онда теңдеу трансценденттік деп аталады.

Кейбір жағдайларда трансценденттік теңдеулердің шешімі алгебралық теңдеулердің шешіміне келтіріледі, бірақ көп жағдайда трансценденттік теңдеулер тек жуық түрде шешіледі де, оларды ше- шу үшін сандық əдістер қолданылады.

Түбірді айыру əдісі математикалық анализдегі келесі теоремаға сүйенеді:

Теорема 1 [2]. Егер үзіліссіз ( )f x функциясы [ , ]a b кесіндісінде ( ) ( ) 0f a f b  теңсіздігін қана- ғаттандырса, онда ( ) 0f x  теңдеуінің ( , )a b аралығында ең болмағанда бір түбірі болады.

Ескерту [2]. ^{   }



^,



түбірі жалғыз болады, егер ^{f x}^

 

туындысы бар болып жəне



^{ }^,



^ара-

лығында тұрақты белгісін сақтаса жəне ^x^{  }



^,



^{болғанда} ^{f x}^

 

^⁰



^{f x}^

 

^⁰



^болса.

Егер үзіліссіз функцияның ^{f x}^'

 

^{туындысы}^бар^болса,^онда ^{f x}^'

 

^⁰ теңдеуінің түбірі оңай есептелінеді, онда (1) теңдеудің түбірін бөліктеу процесі мына екі кезеңнен тұрады:

1) ( )f x функциясының мына x=a, x=b шекаралық нүктелерін анықтау;

2) ( )f x функциясының нөлдік нүктесін жəне туындысын, яғни ^{f x}^'

 

-ті анықтау.

Мысал 1. f x( )x⁴4x 1 0 теңдеуінің түбірлерін анықтаймыз.

Шешуі. ^{f x}^^{( ) 4}^



^x³^¹



^,^x=1 нүктесінде ^{f x}^

 

^⁰ ^{болады.} ^Онда ^f⁽^{ }^{) 0}^, ^f

 

¹ ^{  }^{4 0}^,

 

⁰

f   аламыз. Теңдеудің екі нақты түбірі бар, яғни біріншісі   1



;1



аралығында, екіншісі

 

2 1;

   жатады.

[ 2; 2]

x  кесіндісінде f x( )x⁴4x1 функциясының графигін алу үшін Matlab пакетінің кө- мегімен келесі командаларды енгіземіз (графикті plot функциясының көмегімен құрамыз) [3]:

>> x=[-2:0.1:2];

>> y=x^4–4*x-1;

>> plot(x, y)

Теңдеудің бірінші нақты түбірі   ₁ [ 1;0] аралықта, ал екіншісі  ₂ [1;2] аралығында жатады (1-сур.).

Алгебралық көпмүшеліктің векторлық коэффициенттері Matlab пакетінде берілген [3].

>> p = [1 0 0 –4 –1].

Алгебралық көпмүшеліктің Matlab пакетіндегі барлық түбірлері roots функциясының көмегімен есептеледі [4].

>> r = roots(p) r = 1,6633

–0,7071 + 1,3836i –0,7071 – 1,3836i –0,2490

Түбірлер саны алгебралық көпмүшеліктің дəреже көрсеткішімен сəйкес келеді.

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(3)

1-сур. 1-мысалдың графикалық шешімі Мысал 2. f x( ) x e^x 0 теңдеуінің нақты түбірлерін анықтаймыз.

Шешуі. '( )f x  x e^x 0 жəне ^f



^^;1



^{ }^, ^f



^^;1



^{ } болғандықтан, берілген теңдеудің бір ғана нақты түбірі бар.

[ 8; 2]

x  кесіндісінде ( )f x  x e^x 0 функциясының графигін Matlab пакетінде құрамыз.

>> x = [–8:1:2];

>> y = x + exp(x);

>> plot(x, y)

Сонымен, x [ 1;0] (2-сур.).

2-сур. 2-мысалдың графикалық шешімі

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(4)

59 Енді жуық түбірдің қателігіне анықтама берейік.

Теорема 2. [1] Бізге [ , ] кесіндісінде ( ) 0f x  теңдеуінің  — нақты, ал x жуық түбірі бол- сын, мұндағы    x аралығында f x( ) m₁0. Бұл жағдайда мына теңсіздік орынды:

1

( ) f x

x m



   . (2)

Сонымен,

1

( ) f x

x m



   теорема дəлелденді.

Ескерту. [1] (2) формуланы кез келген жағдайда қолдану қолайсыз болады. Сондықтан практи- када қандайда бір əдіспен ( , ) интервалын сығылыстырады. Оның құрамында  түбірі жəне x жу- ық мəні бар жəне былай тұжырымдалады: x     .

Мысал 3. f x( )x⁴  x 1 0 теңдеуінің жуық мəні x =1,22. Осы түбірдің абсолютті қателігін есептеңіз.

Шешуі. f x( ) 2,2153 1,22 1    0,0047. x = 1,23 болғанда ( ) 2,2888 1,23 1 0,0588, f x     

онда нақты  түбірі (1,22; 1,23) аралығында орналасады. Сондықтан оның осы аралықтағы ең кіші мəні келесі: m₁ 3 1,22²  1 3 1,816 4,448.

Осыдан (1.2) формула бойынша 0,0047

0,001.

4,448 x    

Мысал 4. 3^x 2x 5 0 түбірлерді айыру əдісімен шығарыңыз.

Шешуі. Теңдеуді келесі түрде ( ) 3f x  ^x2x5 жазайық. Туындыны '( ) 3 ln 3 2f x  ^x  табамыз.

Туындының түбірін табамыз:

3 2 ;

lg3

x lg 3 lg 2 lg(ln 3)x   ; lg 2 lg(ln 3) 3,975 0,126 lg 3 0,4567 0,84

x  

   .

( )

f x функциясының мəндер кестесін құрамыз:

x  1 

( )

sign f x – – +

Түбірлері бар аралықтарды кішірейтейік.

x –1 0 1 2

( )

sign f x – –- –- +

( 1) 1 2 5 2,67

f      3 ; (0) 1 5f    4;

(1) 3 2 5 4

f      ; (2) 9 4 5 0f     . ( )

f x функциясының графигін Matlab пакетінде құрамыз [3].

>> x = [–1:0.1:3];

>> f = 3.^x–2.*x–5;

>> plot(x, y)

Сонымен, x[1;2] (3-сур.).

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(5)

3-сур. 4-мысалдың графикалық шешімі Түбірлерді айырудың графикалық тəсіліне токталайык.

( ) 0

f x  теңдеуінің бастапқы мəндерін табудың бір жолы y f x( ) функциясының графигін сы- зу арқылы, осы функцияның Ox осімен қиылысу нүктелерін тауып, оларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.

Мысал 5. y f x( ) функциясының графигі 4-суреттегідей болсын.

4-сур. 5-мысалдың графикалық шешімі Онда x x₁, ₂ нүктелерінің біреуін бастапқы мəн ретінде алуға болады.

Егер y f x( ) функциясын, екі функцияның айырымы немесе қосындысы түрінде жазуға бола- тын болса, яғни f x( ) ( )x g x( ) болса, онда f x( ) 0 теңдеуін ( ) x g x( ) түрінде жазып,

( ), ( )

y  x y g x функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мəн ретінде ала- мыз [2].

Мысал 6. sinx x  1 0 теңдеуін қарастырсақ, оны sinx x 1 түрінде жазамыз да

sin , 1

y x y x  функцияларының графигін саламыз (5-cур.).

( ) sin 1

f x  x x  функциясының графигін Matlab пакетінде құрамыз [3].

>> x = [0:0.1:4];

>> f = sin(x)–x+1;

>> plot(x, z)

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(6)

61

Бастапқы мəн ретінде [1, ] аралығында жатқан x^* нүктесін аламыз (6-сур.).

6-сур. 6-мысалдың Matlab пакетіндегі графикалық шешімі

Ескерту. [1] Графиктік əдістер өте қолайлы жəне басқаларға қарағанда қарапайым, бірақ олар тек түбірді дөрекі анықтағанда ғана қолданылады.

Мысал 7. (x1)cosx1 теңдеудің түбірін графикалық жолмен айырыңыз.

Теңдеуді келесі түрде жазайық cosx1/ (x3), y₁cos ,x y₂1/ (x3) деп белгілеп, осы функциялардың графиктерін салайық (7-сур.).

Графиктен теңдеудің екі нақты түбірі x₁ 1,1;x₂ 1,3 бар екені көрініп тұр.

( ) ( 1)cos 1

f x  x x функциясының графигін Matlab пакетінде құрамыз [3].

>> x = [–2:0.1:2];

>> f = (x+1).*cos(x)-1;

>> plot(x, f).

(x1)cosx1 теңдеудің бірінші нақты түбірі   ₁ [ 0,5; 0,5] аралығында, екіншісі  ₂ [1;2] ара- лығында жатады (8-сур.).

Ре по зи то ри й Ка рГ У

(7)

8-сур. 7-мысалдың Matlab пакетіндегі графикалық шешімі

Əдістердің есептеу сызбасын іске асыру кезінде Matlab ортасының графикалық мүмкіндіктерін қолдануға өте пайдалы болады.

Əдебиеттер тізімі

1. Пантелеев А.В., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. — М.: Высш. шк., 2004. — 480 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966. — 784 с.

3. Мансурова М.Е., Дуйсебекова К.С. Решение прикладных задач в среде Matlab: Учеб. пособие. — Алматы: Қазақ ун-ті, 2004. — 108 б.

4. Джон Д. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование Matlab: Пер. с англ. — 3-е изд. — М.: Изд. дом

«Вильямс», 2001. — 720 с.