Просмотр « НЕЛИНЕЙНОСТИ В ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССАХ СТРУКТУРИРОВАННОЙ МАТЕРИИ»

УДК 530.1 (075.8)

В.М. Сомсиков

Институт ионосферы, Алматы, 050020, Казахстан vmsoms@rambler.ru

НЕЛИНЕЙНОСТИ В ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССАХ СТРУКТУРИРОВАННОЙ МАТЕРИИ

Аннотация. Изучаются нелинейности, ответственные за эволюцию систем класси- ческой механики. Предлагается математическое обоснование необратимости динамики систем. Показывается связь нелинейностей с понятиями нарушения симметрии. Вводится понятие эволюционных нелинейностей, ответственных за необратимые процессы в си- стемах и за нарушение симметрий. Изучаются особенности нелинейностей неравновес- ных систем, обусловленные иерархичностью строения объектов природы.

Ключевые слова: нелинейность, неравновесность, диссипативность, классическая механика, голономность, нарушение симметрии, необратимость, энтропия, иерархичность.

Введение

Эволюционные процессы возникнове- ния и развития структур в открытых нерав- новесных системах являются нелинейными.

Это связано с их диссипативностью, опреде- ляемой приращением энтропии [1]. Поэтому изучение природных эволюционных явлений невозможно без развитого математического аппарата решения систем нелинейных диф- ференциальных уравнений. Несмотря на значительные усилия по созданию такого аппарата [1-4], методов, позволяющих их решать, сегодня практически не существует.

Известен лишь ограниченный круг таких уравнений, для которых удается получить аналитическое решение. Причем для их ре- шения каждый раз применяются частные подходы [5,6].

Как правило, для решения систем нели- нейных дифференциальных уравнений их стремятся свести к интегрируемым уравне- ниям путем замены переменных, используя симметрии задачи. При этом выбор незави- симых переменных определяется характером симметрии уравнений [5, 6]. Но чаще всего нелинейные уравнения стремятся упростить путем линеаризации. Для этого упрощают модели изучаемых систем или используют упрощающие гипотезы. При таких упроще- ниях нелинейные эффекты, определяющие эволюцию систем, как правило, теряются.

Так использование при построениях канони- ческих формализмов упрощающей гипотезы о голономности связей в системах матери-

альных точек (МТ) привело к исключению нелинейных членов, ответственных за дис- сипативные процессы [7]. В результате опи- сание необратимых процессов эволюции от- крытых неравновесных систем в рамках формализмов классической механики оказа- лось невозможным [7, 8].

Развитие компьютерной техники позво- лило эффективно решать нелинейные урав- нения, используя численные методы. Но численные методы удобны, когда решают задачи в рамках известных теорий. Их слож- но применять для развития физических тео- рий, поскольку они практически не раскры- вают физическую природу исследуемых яв- лений.

Трудности аналитического решения не- линейных уравнений привели к развитию качественных методов их анализа. Они, в частности, заключаются в выявлении стати- стических закономерностей динамики си- стем, в изучении их фазовых портретов. Эти методы оказались эффективными при изуче- нии динамического хаоса. Также широко используются и развиваются методы бифур- кационного анализа, позволяющие изучать особенности нелинейных уравнений и выяв- лять новые нелинейные эффекты [3, 9,10].

Наличие универсальных законов эволю- ции систем, вне зависимости от того, явля- ются ли эти системы объектами Вселенной, или это системы атомарного размера [11], указывает на универсальность нелинейных процессов. Это говорит о возможности по-

строения универсальных методов решения нелинейных уравнений. Для поиска таких методов может оказаться полезной класси- фикация различных типов нелинейностей в соответствие с природой физического про- цесса. Такая классификация полезна и для изучения нелинейных процессов эволюции систем в природе, и для развития основ фи- зических теорий эволюционных процессов в открытых неравновесных системах [12].

Классификация нелинейностей и соответ- ствующих им процессов позволяет опреде- лить: как упростить соответствующие урав- нения, не исключив при этом возможность изучения эффектов, связанных с эволюцией;

что будет потеряно в результате упрощения;

как развить аналитические и численные ме- тоды решений нелинейных уравнений, опи- раясь на знание природы описываемых ими процессов.

Если отталкиваться от физической при- роды соответствующих нелинейностей, то естественным критерием разделения нели-

взаимодействующих МТ. Суть механики СЧ в том, что она строится, опираясь на модели тел, элементами которых являются СЧ.

Классическая же механика строится на мо- делях тел, элементами которых являются МТ. Замена МТ на систему привело к каче- ственному расширению механики. Оно, в частности, состоит в том, что механика СЧ позволяет изучать необратимые процессы в НС в рамках законов классической механики [7,19,21].

Общность результатов изучения ЭНЛ состоит в том, что практически любое тело с достаточной точностью может быть представлено совокупностью СЧ.

Простейшие типичные примеры не- линейностей в физике

С проблемами нелинейности приходится сталкиваться уже при изучении самых про- стых физических систем. Например, задача о колебаниях маятника в поле тяжести. Общее уравнение маятника имеет вид [13,14]:

нейностей на присущи уравнениям динами- x  a sin x  0 (1) ки систем классической механики типы, яв-

ляется их принадлежность к уравнениям си- стем с голономными и неголономными свя- зями. В соответствии с этим критерием к первому типу нелинейностей отнесем те, ко- торые свойственны системам с голономны- ми связями. Это будут нелинейности обра- тимых систем. Ко второму типу отнесем не- линейности, определяющие динамику си- стем с неголономными связями. Поскольку таким системам присущи необратимые про- цессы [1, 8], то второй тип нелинейностей будем называть эволюционными нелинейно- стями (ЭНЛ).

Основной целью работы является анализ ЭНЛ, отвечающих за необратимую динами- ку систем. Вначале рассмотрим примеры ти- пичных нелинейностей голономных систем.

Затем рассмотрим нелинейности динамиче- ских систем с неголономными связями.

Определим особенности ЭНЛ. Рассмотрим связь ЭНЛ с необратимой динамикой. Изу- чим ЭНЛ неравновесных систем (НС) с уче- том иерархичности их структуры.

Работа построена в рамках механики структурированных частиц (СЧ), где СЧ - равновесная система, состоящая из доста- точно большого количества потенциально

Это уравнение, по своей сути, является уравнением движения Ньютона для МТ.

Изучение его решения привело к открытию так называемого динамического хаоса [8, 9, 13]. Вблизи сепаратрисы решение уравнения (1) нелинейно. Нелинейность связана с си- лой, разложение которой в ряд имеет вид:

(2) Как правило, решения дифференциаль- ных уравнений, описывающих физические процессы, представляют собой достаточно гладкие аналитические функции. Такие функции в заданной точке фазового про- странства можно представить в виде ряда Фурье. То есть, они могут быть заданы набором гармоник. Для линейного уравне- ния сумма гармонических решений является решением. Для нелинейного уравнения условие аддитивности решений не выполня- ется. В результате «зацепления» гармоник возникает дробление периодов и масштабов.

При этом энергия одной гармоники транс- формируется в энергии других гармоник при условии сохранения суммарной энергии гармоник. Это приводит к возникновению динамического хаоса. Такой хаос имеет де-

терминированную природу, так как опреде- ляется детерминированными динамически- ми уравнениями. Как правило, динамиче- ский хаос возникает в результате бифурка- ций. Причем его возникновение подчиняется универсальным законам перехода от регу- лярного движения к хаосу [1, 11, 13]. Опре- деляющим фактором для уравнения (1) яв- ляется то, что даже в случае хаотичности решения оно обратимо. Это означает, что соответствующие этому уравнению, нели- нейные процессы дробления гармоник не являются диссипативными. То есть, они не приводят к возникновению аттракторов.

Типичным примером нелинейного про- цесса в сплошной среде является опрокиды- вания морской волны при ее накатывании на берег. Это явление описывается консерва- тивными нелинейными уравнениями гидро- динамики. Опрокидывание возникает тогда, когда амплитуда волны становится сравни- мой с глубиной из-за увеличения характер- ного параметра ( l / l0), где l амплитуда вол- ны, а l0 глубина. При уменьшении глубины усиливается роль нелинейных процессов дробления гармоник. Пропорциональная за- висимость скорости соответствующей гар- моники от ее амплитуды, приводит к опере- жению гребня волны ее основания и волна опрокидывается. Здесь наблюдается пере- качка энергии крупномасштабных гармоник в энергию более мелких масштабов [15]^. Этот пример характерен для консервативных систем с изменяющимися граничными усло- виями. Решение подобных задач ищется в рамках канонических формализмов класси- ческой механики.

Огромное многообразие ЭНЛ наблюда- ется в плазме [16]. Типичным примером не- линейности, является процесс распростране- ния достаточно мощной радиоволны в ионо- сферной плазме. Здесь определяющим пара- метром задачи является отношение E / E0, где E - напряженность радиоволны, а _E0-

на взаимозависимостью параметров среды распространения электромагнитной волны, в частности, диэлектрической проницаемости плазмы, от интенсивности волны [16]. Это пример неконсервативной системы. Здесь энергия волны не сохраняется. Она идет на изменение параметров плазмы.

Нелинейности систем с голономными и неголономными связями

Возможность интегрирования уравне- ний динамики систем классической механи- ки определяется не только свойствами самой системы, но и характером связей, которые накладываются на систему. Связи делятся на голономные и неголономные.

Голономными являются связи, которые можно выразить через полный дифференци- ал пространственных переменных. При наличии голономных связей, как правило, можно перейти к новой системе независи- мых координат, в которых задача сводится к независимым уравнениям. Это существенно упрощает задачу и, как правило, позволяет ее проинтегрировать [17]. Голономные си- стемы нередко описываются линейными уравнениями. Их динамика однозначно отображается в инвариантном фазовом про- странстве [1, 8, 9].

Динамика систем с голономными связя- ми описывается уравнениями Лагранжа и Гамильтона [17]. Нелинейности в таких си- стемах, обуславливают дробление масшта- бов, характеризующих динамику каждого в отдельности элемента. Использование гипо- тезы о голономности связей при выводах ка- нонических уравнений классической меха- ники исключает возможность описания не- обратимых процессов в рамках этих форма- лизмов [7]. То есть, канонические форма- лизмы классической механики неприменимы для изучения нелинейных процессов, ответ- ственных за эволюцию, характерной чертой которой являются диссипация и наличие аттракторов. Системы невзаимодейству- характерная величина электрического поля ющих осцилляторов, каждый из которых плазмы. При E / E0  1, электромагнитная

волна, проходя через плазму, изменяет ее параметры (плотность, температуру, давле- ние и др.) на столько, что эти изменения ска- зываются на прохождении самой радиовол- ны. В этом случае нелинейность обусловле-

описывается уравнением (1) являются про- стым примером гамильтоновых систем.

Неголономные связи нельзя выразить через полный дифференциал какой-либо функции пространственных переменных [17]. Если связи неголономны, то расцепить

обобщенные координаты системы не удает- ся. Поэтому инвариантом такой системы яв- ляется сумма энергий элементов системы, а не энергия отдельного элемента. Т.е. него- лономные системы, в отличие от голоном- ных, могут быть только нелинейными, так как их характерной чертой являются процес- сы обмена энергиями между элементами си- стем или между взаимодействующими си- стемами. То есть, ЭНЛ присущи только си- стемам с неголономными связями. В каче- стве примера можно привести систему МТ в неоднородном поле сил [19].

Типы динамик систем МТ

Рассмотрим, как модели систем с раз- личными наложенными на них связями.

Пусть дана система, в которой все МТ жестко соединены между собой. Это модель твердого тела. Ее движение определяется суммой всех внешних сил, действующих на каждую МТ, а точка приложения всех сил является центр масс (ЦМ). Форма и объем твердого тела сохраняются вне зависимости от характера внешних сил. Движение тела, если отсутствует момент вращения, эквива- лентно движению МТ с массой этого тела.

При условии голономности связей уравне- ние движения твердого тела интегрируемо.

При наличии момента вращения, движение твердого тела складывается из переноса тела с ускорением, пропорциональным сумме действующих на все его точки сил, и враще- ния. В этом случае фазовое пространство делится на два подпространства независи- мых переменных. Одно определяется пере- менными, определяющими поступательное движение ЦМ. Переменные этого подпро- странства определяют энергию движения тела. Второе подпространство переменных определяет энергию вращения тела. Внут- ренние связи между МТ в твердом теле го- лономные, поскольку они выражаются через дифференцируемые функции координат. Но внешние ограничения могут быть неголо- номными. Примером твердого тела с него- лономными связями является катящийся по поверхности шар с верчением и без про- скальзывания [18].

Пусть система представляет собой «об- лако» невзаимодействующих МТ, движу- щихся в поле внешних сил. Примером такой

системы является идеальный газ. Результи- рующая внешняя сила, совпадает с ЦМ об- лака. Ускорение его ЦМ равно сумме уско- рений всех МТ. Из обратимости динамики каждой МТ, определяемой уравнением дви- жения Ньютона, следует обратимость дина- мики всей системы. Решение уравнения движения «облака» представляет собой сумму решений уравнений движения для каждой МТ. Движение такого «облака» од- нозначно определяется в фазовом простран- стве размерности 6 N -1, где N - число МТ.

Такая система гамильтонова вне зависимо- сти от поля внешних сил.

Рассмотрим общий случай систем по- тенциально взаимодействующих МТ в неод- нородном поле внешних сил. В этом случае работа внешних сил пойдет не только на пе- ремещение системы, но и на изменение энергии движения всех МТ относительно ЦМ, т.е. на изменение ее внутренней энер- гии. При этом характер движения определя- ется симметриями как пространства, так и системы. Это названо принципом дуализма симметрий [19, 20]. Отсюда вытекает дуа- лизм энергии. В соответствии с дуализмом энергии, энергия системы должна представ- ляться суммой энергии движения и внутрен- ней энергии. В этом случае инвариантом является сумма энергий движения и внут- ренней энергии. Внутренняя энергия систе- мы определяется энергиями движения МТ относительно ЦМ. Пространство обобщен- ных координат и скоростей системы распа- дется на два подпространства независимых переменных [19]. Одно подпространство определяется макропеременными, описыва- ющими движение ЦМ системы. Макропе- ременные определяют энергию движения тела. Подпространство микропеременных, задающих движение МТ относительно ЦМ, определяет внутреннюю энергию системы

Ниже рассмотрим нелинейности, свя- занные с движением системы МТ в поле внешних сил. Это и есть ЭНЛ. Покажем, что они описывают нарушение симметрии, свя- занное с преобразованием энергии движения системы в ее внутреннюю энергию. Нару- шение симметрии времени– определяющая черта диссипативных систем.

Отметим, что задачи о динамике него- лономных систем в однородном простран-

N

F 



^{i i}

i

N N N

i1 i

N i1 i N i1 i

E 



N N N N

i1 i0 i0 0

N 0 i1 i i R i

N

стве, эквивалентны задачам о динамике си- стем с голономными связями в неоднород- ном пространстве. Это следует из того, что неоднородные уравнения, описывающие ди- намику системы с однородными граничны- ми условиями, могут быть преобразованы к

рая в общем случае зависит от микро и мак- ропеременных.

Дифференцируя уравнение (3) по вре- мени, находим уравнение для изменения энергии системы [19, 20]:

однородным уравнениям с неоднородными V_N M ^NV

N  E ^ins  V F ^env  ^env , (4)

граничными условиями. Поэтому изучение

динамики систем в неоднородном поле сил где _N ^ins _i1 ^N v_i (mv_i  F (r_i )_i ) = измене- эквивалентно изучению систем с неголо- ние внутренней энергии; F(r_i )_i - сила, дей- номными связями.

ствующая на i -ю МТ; ^env _i1 ^N F ^env (R , ~r ) ЭНЛ для динамики тел в неоднород- ; ^env 



^{N v~} _F ^env _(R ^{, ~r ) ; F env  U env / ~r .}

ном поле внешних сил

Система МТ в поле внешних сил под- вержена действию двух типов независимых сил: внутренних и внешних. Внутренние си- лы определяют взаимодействия МТ. Сумма

i1 i i N i i i

Первый член в правой части уравнения (4) определяет изменение энергии движе- ния ЦМ системы, а второй член - измене- ние внутренней энергии системы.

сил взаимодействия МТ равна нулю. Внеш- Пусть R  ~r . Тогда силу ^{F env} можно ние силы могут быть различными для раз-

личных МТ из-за неоднородности внешнего поля. В этом случае внешние силы изменяют

разложить по малому параметру. Сохраняя в разложении члены нулевого и первого порядка малости, запишем:

внутреннюю энергию системы. Сумма

F ^env  F ^env  (~r )F ^env . Принимая во вни- внешних сил определяет изменение энергии

движения системы. Движения МТ относи-

i i

мание,

R i

что

i R



^{N v~ }



^{N ~r 0 и}

тельно ЦМ не дают вклада в работу по пе- ремещению системы в пространстве. Внут- ренняя энергия и энергия движения опреде- ляются в независимых микро и макропере- менных переменных. Энергию системы сле- дует представить в виде суммы энергии движения системы и внутренней энергии.

Тогда она имеет вид [19,20]:

E = T ^tr U^env + E^ins , (3)



^{N F env  NF env  F env}, получим [19,21]:

V (M V )  E^ins 

V F^env 



^{N (r )Fenv v . (5)}

Второй член в правой части уравнения (5) линейный и зависит от микро и макро переменных. Он пропорционален разности сил, действующих на МТ и определяет вза-

N N N

МТ,

где T ^tr  M V ² / 2 ; M  mN ; m -массы m  1; N - число МТ в системе;

имную трансформацию энергии движения и внутренней энергии.

Из уравнения (5) находим уравнение

R  (



^{N r ) / N , V  (}



^{N v ) / N} - координаты движения системы [20]:

и скорости ЦМ системы; r  R  ~r , v  V  v~ -

i N i i N i M V  F ^env   V , (6) координаты и скорости МТ в лабораторной ^{N N N N}

системе координат; v_i , r_i , - скорости и коор- где   (^env  E ^ins ) /V ² - коэффици-

N N N

динаты i -й МТ относительно ЦМ системы; ент изменения внутренней энергии систе-

E^ins  T ^ins  U -внутренняя энергия; U (r ) = мы.

N N N N ij



^{N 1}



^{N U (r )} внутренняя потенциальная Первый член в правой части уравнения

i1 ji1 ij ij (6) это потенциальная сила, меняющая ки-

энергия системы, r_ij  r_i  r_j расстояние меж- нетическую энергию системы. Второй член

ду i и j МТ; _T ^ins = ^{N mv~ 2 2} -кинетическая определяет изменение внутренней энергии.

N



i1 i

часть внутренней энергии тела; U ^env потен- Он зависит от макро и микропеременных.

Сравним механику МТ и механику си- циальная энергия внешнего поля сил, кото- стемы. Для МТ работа внешних сил идет

i1 i N

N

p l 1 l p

N N p1 p p

{



^{m v P1 P}

только на ее ускорение. Для системы МТ ра- бота внешних сил идет как на ее ускорение, так и на изменение внутренней энергии. По- этому энергия движения системы, в отличие от МТ, неоднозначно определяется положе- нием ЦМ системы в пространстве. Причем, если энергия движения системы изменяется за счет суммы сил, действующих на все МТ, то внутренняя энергия меняется за счет раз- ности этих сил, как для струны [5]. Инвари- антом является полная энергия системы. Та- ким образом, суть ЭНЛ связана с зацепление микро и макропеременных. Это обуславли-

зовать уравнения движения СЧ (6). Для НС работа внешних сил идет на движение и изменение внутренней энергии. Энергия НС равна сумме энергий СЧ. Энергии СЧ состоят из энергии движения СЧ в поле внешних сил, в поле других СЧ и их внут- ренних энергий.

Пусть НС состоит из N МТ. МТ рас- пределены между K СЧ. Каждая СЧ состоит из Lp МТ, l  1, 2, 3...Lp , p  1, 2, 3...K , где

p -номер СЧ. R₀ – координаты ЦМ НС; Rp – координаты ЦМ p -й СЧ относительно вает диссипацию, и нарушение симметрии ЦМ НС; R_PL – координаты l -й МТ относи- времени [20, 21]. Если нет градиента внеш-

них сил, то уравнение (6) переходит в обра- тимое уравнение Ньютона.

тельно ЦМ p -й СЧ. Скорость i -МТ выра- жается через скорости ЦМ НС и СЧ следу- ющим образом: v  V V  v , где Природу ЭНЛ можно легко видеть на

примере движения осциллятора в неодно- родном поле сил. Для этого его энергию следует выразить через микро и макропере-

V  (



^{Lp v ) / L}

тельно ЦМ НС,

i N p pl

- скорость ЦМ СЧ относи- vpl - скорость l -й МТ отно- менные в виде суммы энергии движения и

внутренней энергии [7, 19]. При наличии не- однородных внешних сил, масштабы неод- нородностей которых соизмеримы с разме- ром осциллятора, оба типа энергии стано- вятся связанными. В зависимости от началь- ной фазы, осциллятор способен проходить через потенциальный барьер, даже если его энергия движения окажется меньше высоты барьера. Этот переход осуществляется за счет внутренней энергии [7].

То, что при движении системы в неод- нородном поле сил увеличивается ее внут- ренняя энергия, важно для понимания меха- низмов энергетического обмена в звездах и других объектах Вселенной. Действительно, звезды, их системы, галактики, движутся в неоднородном гравитационном поле объек- тов Вселенной. Это означает, что их внут- ренняя энергия возрастает за счет градиента

сительно ЦМ p -й СЧ. В этих переменных энергия НС имеет вид:

Рисунок 1 – Схема НС, построенной из СЧ.

E  M V ² / 2 



^{K M V 2 / 2 }

внешних сил. Поэтому звезды могут излу- чать больше энергии, чем дают оценки их

K p1

Lp 2

l 1 pl / 2} 



^{K U  (7)}

внутренних источников [29]. 



^{K 1 PI 1}



^{PK J 1 UPI ,PJ  U N env}

ЭНЛ неравновесной системы

Рассмотрим динамику НС. В прибли- Здесь U 



^Lp1



^Lp

M p - масса p -й СЧ;

U (r ) - потенциальная жении локального термодинамического ^{P ip1 jpip1} ip, jp ip, jp

равновесия НС можно представить сово- энергия p -й СЧ, обусловленной взаимодей- купностью перемещающихся относительно

друг друга СЧ (см. рис. 1) [22, 23]. Поэтому ствиями ее МТ, r_{ip , jp} - расстояние между ip и для описания динамики НС можно исполь- jp МТ; U 



^LPi



^{LPj U (r} ) - потен-

p _i , p _j l_Pi 1 l_Pj 1 l_Pi ,l_Pj l_Pi ,l_Pj





K

p

ins

p p

N



 p

циальная энергия взаимодействий i -й и j -й торому соответствуют нулевые относи- СЧ, индексы l и l относятся к МТ из раз-

i j

ных СЧ, i  j .

Первый член в (7) - энергия движения НС как целого. Второй член - сумма кинети- ческих энергий движений СЧ относительно ЦМ НС. Третий член - кинетическая энергия всех МТ из p -й СЧ. Четвертый член - сумма потенциальных энергий взаимодействий СЧ.

Пятый член - потенциальная энергия взаи- модействий СЧ. U ^env = ^K U^env - сумма по-

p 1

тенциальных энергий всех МТ системы, обусловленная внешними силами, U ^env- по- тенциальная энергия p -СЧ в поле внешних сил.

Внутренняя энергия НС разбивается на сумму энергий движения СЧ и сумму их внутренних энергий. Это означает, что энер- гия внешнего поля идет на изменение энер- гии движения НС, на изменение энергии от- носительных движений СЧ и на изменение внутренних энергий СЧ. Последние два типа энергии составляют внутреннюю энергию НС. Т.е. в НС, в отличие от СЧ, возникает дополнительная иерархическая ступень. Она приводит к иерархии энергии и энтропии НС. Как и в случае СЧ, уравнение движения НС можно получить из уравнения энергии (7), представленного иерархией микро и макропеременных.

Фазовое пространство НС, определяется координатами и импульсами ЦМ для СЧ.

Чтобы подчеркнуть, что оно связано не с МТ, а с СЧ, оно названо S-пространством [19, 20]. Размерность S - пространства равна 6K 1. При движении СЧ, помимо измене- ния скорости ЦМ, изменяется внутренняя энергия. Поскольку макро и микроперемен- ные независимы, то одной и той же точке S- пространства соответствуют разные значе- ния внутренней энергии СЧ. Можно исклю- чить неоднозначность точек S-пространства, если его дополнить пространством микропе- ременных, определяющим движения МТ от- носительно ЦМ СЧ. S - пространство сжи- маемо [19]. Сжатие определяется диссипа- тивным уравнением Лиувилля для НС, кото- рые моделируются совокупностью СЧ [28].

тельные скорости СЧ. Доказательство стремления системы к равновесию опира- ется на условия, что равновесию соответ- ствует максимальная энтропия, а макси- мальной энтропии соответствуют состоя- ниям, в которых система находится макси- мальное время. То есть, кинетическая энер- гия относительных движений СЧ, T ^tr  0 при t  [22]. Само доказательство стро- ится путем вариации энтропии НС при условии ее максимума в равновесном со- стоянии. В то же время, в рамках законов механики, стремление НС к равновесию объясняется тем, что при движении СЧ в неоднородном поле сил ее внутренняя энергия увеличивается за счет нелинейной трансформации их энергии относительного движения во внутреннюю энергию [12,19].

Это означает, что вероятностные статисти- ческие законы имеют физическую основу [7]. Покажем, как уравновешивание систе- мы следует из математических соображе- ний.

Учтем, что процесс эволюции НС к рав- новесию согласно уравнениям (5, 6) опреде- ляется нелинейными членами, обусловлен- ными неоднородностью поля сил взаимо- действия СЧ. Пусть при движении СЧ в его внутреннюю энергию переходит часть энер- гии движения, величина которой равна  E ^tr . Для каждой СЧ эта величина определяется работой сил со стороны других СЧ. Соглас- но (5) величина  E ^tr определяется нелиней- ными членами разложения поля внешних сил, зависящих от макро и микроперемен- ных [19]. Если СЧ в этом процессе остается равновесной, то обратный процесс транс- формации внутренней энергии в энергию движения отсутствует. Но при достаточно сильных градиентах внешних сил равнове- сие СЧ нарушается. Тогда СЧ можно пред- ставить совокупностью равновесных подси- стем, имеющих ненулевые относительные скорости. То есть, при значительных гради- ентах внешних сил часть энергии  E ^tr пой- дет на увеличение энергии относительных движений подсистем, а часть перейдет в их внутреннюю энергию. Запишем это так:

В статистической физике доказано, что

замкнутая НС стремится к равновесию, ко-  E^tr   E^tr   E^h , где  E _ins ^tr -энергия относи-

ins

ks

sp f ns sp

тельных движений подсистем, а E^h - их тепловая внутренняя энергия. Будет иметь

для НС понятия энтропии и энергии относи- тельны. То, что для СЧ определяет энергию место неравенство: _ins ^tr < E ^tr. Обратно их относительного движения, для НС опре-

деляет энтропию.

вернуться в энергию движения СЧ может

только часть энергии относительных движе- Рассмотрим Д-энтропию для НС [21]. Д- энтропия определяется, как отношение ний E^tr . Обозначим ее величиной _ret ^tr приращения внутренней энергии системы к Возвращаемая часть энергий движения под-

систем, в энергию движения СЧ также опре- деляется нелинейной функцией переменных,

ее величине за счет энергии движения. По- нятие Д-энтропии возникло вследствие того, что энергия движения СЧ может необратимо в которых задана энергия _ins ^tr . Это означа- переходить в ее внутреннюю энергию. Вы-

ражение Д-энтропии имеет вид [19, 21]:

ет, что обратное преобразование энергии

tr

ins в энергию движения системы уже бу- S^d 



^K



^L

^

^{Lp [}

^

^{F pv dt]/ E}



⁽⁸⁾

дет определяться членами не ниже квадра- ^{p1 p lp 1}



s ks k p

тичной степени относительно членов E^h . Ep -внутренняя энергия p -СЧ; s _- Величина E ^h также являются членами не внешние МТ, взаимодействующие с k -й МТ ниже второго порядка малости. Поэтому из p -СЧ; F ^p-сила, меняющая скорость возвращаемая энергия не ниже четвертого

порядка малости и всегда будет иметь место движения k -й МТ относительно ЦМ p -СЧ.

Она действует со стороны s -ой МТ другой неравенство ins ^tr  E ^tr . Следовательно, СЧ; vk -скорость k -й МТ относительно ЦМ малость членов обратного потока внутрен-

ней энергии СЧ в энергию ее движения от- носительно членов прямого потока ее энер- гии движения во внутреннюю энергию, ве- дет к установлению равновесия, а значит и к максимуму энтропии. В этом ключевая роль эволюционной нелинейности. Таким обра- зом, стремление системы к равновесному состоянию, соответствующему макси- мальной вероятности этого состояния, вытекает из законов механики!

В общем случае неоднородного поля сил, энергия движения НС может трансфор- мироваться как в энергию относительных движений СЧ, так и в их внутреннюю энер- гию. Это зависит от характерных масштабов неоднородностей внешнего поля сил - f , и характерных масштабов НС. Пусть масштаб НС - _ns . Если f  ns , то внутренняя энергия НС не изменяется и вся работа поля внешних сил уходит на перемещение НС.

Если      , где  - характерный масштаб СЧ, то внутренняя энергия НС воз- растает за счет увеличения энергии относи- тельных движений СЧ. При этом внешнее поле сил не меняет внутреннюю энергию СЧ. Если f  sp , то внешнее поле сил ме-

СЧ.

Величина Д-энтропии находится путем суммирования по МТ той части работы внешних сил, которая идет на изменение внутренней энергии системы. Д-энтропия, детерминированная величина, так как она следует из уравнения движения системы (8).

Отметим, что определение Д-энтропии при- емлемо и для малых систем. Для них Д- энтропия может быть, как положительной, так и отрицательной. Примером малых си- стем является осциллятор. Для него внут- ренняя энергия может переходить в энергию движения [7]. Для систем из очень большого числа МТ, Д-энтропия с точностью до чис- ленного коэффициента совпадает с энтропи- ей Клаузиуса и может быть выражена через температуру и функцию тепла.

Д-энтропию можно использовать для определения границ применимости термо- динамического описания систем, границ применимости вероятностных статистиче- ских законов. Это подтверждается модель- ными расчетами изменения внутренней энергии систем при их движении в неодно- родном поле внешних сил в зависимости от числа МТ [7].

няет не только внутреннюю энергию НС, но и внутреннюю энергию СЧ. Заметим, что

 E

E

 E

 E

 E

.

Иерархичность структуры материи Из механики СЧ следует, что согласно законам классической механики, материя делима до бесконечности. Бесконечная де- лимость материи вытекает из возможности образования аттрактора только для струк- турных элементов [24]. Идея о бесконечной делимости впоследствии высказывалась в работе, в которой обосновывается наличие массы у фотона [25].

Бесконечная делимость элементов тел означает, что МТ, из которых состоят СЧ, на самом деле следует считать системами, со- стоящими из элементов, которые также об- ладают структурой и так далее. То есть, ре- альные тела представляют собой иерархию вложенных систем с иерархией характерных масштабов _n  _n1....  ₂  ₁ , где 1,2,3…n-1,n - номера соответствующих иерархических уровней. Степень иерархич- ности, соответствует степени нелинейности.

Каждому иерархическому уровню, как пра- вило, соответствуют свои силы. Так, для иерархии молекула, атом, ядро, иерархия сил определяется молекулярными, атомны- ми, ядерными силами соответственно. Для иерархии сил с ростом масштабов силы

ляющие процесс трансформации энергии движения тел в их внутреннюю энергию, представляют собой функции иерархических переменных. Д-энтропия, а также разные типы энергий определяются в соответствии с иерархическим уровнем. При этом динамика тела определяется дуализмом энергии на любом иерархическом уровне, так как рабо- та внешних сил по перемещению любого иерархического элемента тела идет как на его движение, так и на изменение его внут- ренней энергии.

Условие стационарности структур тела, требует баланса приходящих и уходящих потоков энергий на всех его иерархических ступенях. Так как эти потоки определяются иерархической цепью нелинейных транс- формаций энергии движения тела, то для стационарности необходима компенсация диссипативных процессов на всех иерархи- ческих уровнях. Физике известно только электромагнитное излучение тела [23], кото- рое может компенсировать приток энергии в тело. Примером сложных иерархических тел, в которых стационарность обеспечива- ется не только потоками энергии, но и пото- ками вещества, являются биологические си- уменьшаются: f1  f2 ...  f _n1  f_n . Благодаря стемы. Возможно, что только на низших уровнях организации материи основную большому отличию сил на каждом иерархи-

ческом уровне, материя устойчива. Степень иерархичности системы n, которая проявля- ется в конкретном эволюционном процессе, определяется порядком разложения внешних сил. Чем выше гармоника разложения силы, тем глубже по иерархической лестнице идет изменение внутренней энергии системы. На практике величина n будет ограничена необ- ходимой точностью описания динамики конкретной системы.

Таким образом, эволюция тел связана с нелинейной трансформацией потоков внеш- ней энергии во внутреннюю энергию его структурных элементов, расположенных по иерархической лестнице. Причем описание процесса эволюции представляет собой са- мосогласованную нелинейную задачу дина- мики.

Поле сил, создаваемое вложенными друг в друга иерархическими элементами систе- мы, определяет структуру системы, так же, как и структура системы определяет иерар- хию поля сил. Нелинейные члены, опреде-

роль играют процессы радиационного меха- низма поддержания стационарности. Пред- ставляет интерес, каким должно быть это излучение, чтобы оно обеспечивало стацио- нарность тела на всех иерархических уров- нях.

Ключевую роль в динамике систем иг- рает симметрия. Характер трансформации энергии на всех иерархических ступенях ма- терии определяется симметриями этих уров- ней и симметриями внешних для них полей сил. Неоднородность этих полей определяет нарушение симметрии. Природа нарушения симметрии в физике элементарных частиц, конденсированных сред имеет много общего с природой нарушения симметрии в механи- ке [26- 27]. Чтобы описать нарушение сим- метрии в физике элементарных частиц, вво- дятся операторы рождения и уничтожения частиц. Эти операторы берутся из экспери- мента. При описании нарушения симметрии в фазовых переходах, нарушение симметрии вводится «руками» путем добавки необхо-