• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Подобное выражение может быть использовано как для определения абсолютных максимальных значений Сnr для нечетных n при полуцелых r, так и в качестве симметричных распределений новой функции уnr с вариацией r от нуля до n

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Подобное выражение может быть использовано как для определения абсолютных максимальных значений Сnr для нечетных n при полуцелых r, так и в качестве симметричных распределений новой функции уnr с вариацией r от нуля до n"

Copied!
7
0
0

Толық мәтін

(1)

В.П. МАЛЫШЕВ, А.М. ТУРДУКОЖАЕВА

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФОРМУЛЫ СОЧЕТАНИЙ

(Представлена член-корр. НАН РК Толымбековым М.Ж.)

Аннотация

Авторами на основе анализа формулы сочетаний Сnr по максимальному значению и нормировки по этому значению получено унифицированное и более универсальное выражение с единым максимумом, равным единице, и возможностью использования как целых, так и полуцелых значений r, при которых достигается максимум соответственно как для четных, так и нечетных n. Подобное выражение может быть использовано как для определения абсолютных максимальных значений Сnr для нечетных n при полуцелых r, так и в качестве симметричных распределений новой функции уnr с вариацией r от нуля до n.

Ключевые слова: формула сочетаний, четные, нечетные, значения.

Тірек сөздер: үйлесімдік формулалар, жұп сан, тақ сандар, мағына.

Keywords: formula of combinations, even, odd number, values.

Введение

Широко известная и применяемая в задачах комбинаторики формула сочетаний Сnr отличается симметричными значениями этой дискретной функции при вариации r от 0 до n, что послужило для разработки треугольников Паскаля и биномиальных коэффициентов. При этом для четных n получается одно наибольшее значение Сnr, а для нечетных – два. Если рассматривать множество Сnr как непрерывное распределение Сnr по r, то из свойств симметрии этого множества следует необходимость единственного максимального значения Сnr при определенном значении r. Это можно обосновать следующим образом.

В области наибольших значений смежные величины этой дискретной функции должны удовлетворять условию

1

nr

nr C

С . (1)

Из соответствующего равенства

(2)

  

1

 

! 1

!

!

!

!

!

 

r n r

n r

n r

n (2)

следует

2

1

n

r . (3)

При этом целое значение r будет относиться только к нечетным n, а нечетным должно соответствовать дробное значение r, которое неприемлемо ни для формулы сочетаний, ни для более широкой области определения биномиальных коэффициентов. Однако нечетным n соответствуют два наибольших значения Сnr, которые получаются при двух смежных r, между тем как по (3) находится только при одном.

Это связано с некоторой произвольностью записи условия (1), которое допускает альтернативное выражение

1

nr

nr C

С . (4)

с соответствующим раскрытием его как

  

1

 

! 1

!

!

!

!

!

 

r n r

n r

n r

n (5)

и получением второго значения r, в отличие от r1 (3):

2 1

2

n

r (6)

с теми же свойствами, что и r1. По-видимому, более правильная запись условия равенства смежных значений дискретной функции выразится как

1

nr

nr C

С . (7)

В то же время найденные выражения r1 и r2 позволяют проанализировать функцию r Сn

как непрерывную с целью определения ее аналитически максимального (а не наибольшего) значения как для четных, так и не для нечетных n.

Так, при n   пределами r1 и r2 становится равенство

r1 = r2 = n/2, (8)

что означает совпадение условий достижения наибольших значений Сnr для четных и нечетных n

 

r max nn/2

n C

С. (9)

(3)

Этим дополнительно подчеркивается симметричность функции Сnr, а тем самым положение и величина максимума для любых n  0.При четных n величина максимума определяется непосредственно, а при нечетных n по условию (9) максимум может быть рассчитан с помощью гамма-функции в соответствии с общим выражением

 

( /2)!( /2)!

!

max п п

Сnrп . (10)

Его можно использовать для нормировки функции r

Сn с целью унификации распределения по r с единым максимумом, равным единице, для чего вводим нормированную функцию сочетаний:

     

!

!

! 2

! 2

max r n r

n С n

С уnr nr nr

 

. (11)

В этом случае положение максимума определено при любом n, четном или нечетном, так как он всегда равен единице. Что касается остальных значений r

уn,то для нечетных n они должны соответствовать некоторым промежуточными между смежными распределениями для четных n.

На рисунке 1 изображены распределения для смежных четных n = 6, 8, 10.

Точки максимума располагаются при n/2 = 3, 4, 5, строго подчиняясь линейной интерполяции. Очевидно, такие же точки максимума для нечетных n = 7, 9 будут располагаться при n/2 = 3,5; 4,5, подчиняясь строгой линейной интерполяции между смежными максимумами для распределений с четными n. Близость к линейной интерполяции обнаруживают значения уnr по возрастанию r для трех смежных распределений с четными n. Это позволяет распространить подобный характер интерполяции на распределения с нечетными n, тем более что интервал интерполяции оказывается вдвое ỳже, а среднее значение уnr строго относится к среднему дробному значению r, промежуточному между последовательными четными r.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

6 10

10

nr

у

r

(4)

Рисунок 1 – Распределение r

уn по r для n 6, 7, 8 ,9, 10.

Точки – расчетные величины по (11) для четных n, крестики – линейно интерполированные для нечетных n

Следует отметить, что линейный характер интерполяции значений r уn не

соблюдается, если ее проводить не при смежных значениях r, а при одинаковых, что вполне наглядно иллюстрируется рисунком для трех распределений при четных n.

Построение распределения r

уn для нечетных n 5 и 7 представлено на том же рисунке, а расчетные значения приведены в таблице 1.

Формула интерполяции:

10,5 10,5

2

1

nr nr

nr у y

у , (12)

где n – нечетное целое, r – полуцелое число в интервале 0,5 r  (n – 0,5).

Таблица 1 – Распределение r

уn для n 6, 7, 8, 9, 10

r у6r у7r у8r у9r у10r

0 0,05 (0,0273) 0,0143 (0,0076) 0,0040

0,5 – 0,082 – 0,0272 –

1 0,30 – 0,114 – 0,040

1,5 – 0,35 – 0,147 –

2 0,75 – 0,4 – 0,179

2,5 – 0,775 – 0,438 –

3 1 – 0,8 – 0,476

3,5 – 1 – 0,8165 –

4 0,75 – 1 – 0,833

4,5 – 0,775 – 1 –

5 0,30 – 0,8 – 1

5,5 – 0,35 – 0,8165 –

(5)

6 0,05 – 0,4 – 0,833

6,5 – 0,082 – 0,438 –

7 – (0,0273) 0,114 – 0,476

7,5 – – – 0,147 –

8 – – 0,0143 – 0,179

8,5 – – – 0,0272 –

9 – – – (0,0076) 0,040

9,5 – – – – –

10 – – – – 0,0040

Что касается концевых значений r

уn для нечетных n (при r, равном нулю и r, для которых смежных по r r

уn с четными n не хватает), то они могут быть вычислены через абсолютные значения Сnr для нечетных n с помощью обращенной формулы (11) и по (9):

2 / 2

/ 0

0 nп п пп 1 пп

n у С С С

у    , (13)

а для определения n/2

 

nr max

n С

C  , представляющего самостоятельный интерес, достаточно воспользоваться графически интерполированными для целых r данными уnr для нечетных n на основе той же формулы (11)

nr nr

nn С у

C /2. (14)

Так, для r = 2 при n = 7 графически находим у17 = 0,575, и тогда при С72= 21 получаем значение С73,5 = 21/0,575 = 36,5. Для r = 3 точно так же находим 3

у7 = 0,95 и для С73 = 35 получается С73,5 = 35/0,95 = 36,8. Среднее значение С73,5= 36,65  0,15, что дает относительную ошибку 0,4 %. Само же максимальное значение закономерно располагается между абсолютными максимумами n/2

Cn для n = 6 и n = 8, соответственно равными 20 и 70.

С помощью найденного максимального значения С73,5 определяем по (13) концевые величины у70упп, равными 0,0273.

Повторение процедур у9r для при r = 2, 3, 4 дает по графически определенным значениям у92 = 0,28, у93 = 0,625 и у94 = 0,96 и вычисленным С92 = 36, С93 = 84 и С94 = 126 соответствующие величины

 

C9r maxC94,5 128,6; 134,4; 131,3 со средней величиной

(6)

131,4  2,37 при относительной погрешности 1,8 %. При этом найденный максимум C9r располагается между

 

C8r max = 70 и

 

C10r max = 252.

Следует отметить, что с увеличением n надежность линейной экстраполяции уnr для нечетных n должна возрастать прежде всего потому, что концевые значения уnr согласно (13) для всех n стремятся к нулю при n   и распределения, оставаясь симметричными, приобретают более унифицированную форму, варьируя от нуля до нуля с максимумом, равным единице. В этом отношении корректность функции r

уn для нечетных n приближается к точности расчета гамма-функции по условию n  .

Таким образом, на основе формулы сочетаний в нормированном по максимуму виде

nr

у обоснована возможность ее использования для определения максимума сочетаний для любых целых неотрицательных значений n с единообразным графически сглаженным выражением уnr в качестве ее симметричного распределения по r, включая его полуцелые неотрицательные значения. В принципе, линейная интерполяция уnr может быть распространена на все действительные неотрицательные значения n и такие же r с получением непрерывного распределения уnr и Сnr по n и r.

Такие распределения представляют непосредственный интерес для решения комбинаторных задач, таких как определение виртуальной заселенности узлов кристаллической решетки при непрерывном повышении температуры [1, 2] и многих других задач.

ЛИТЕРАТУРА

1 Малышев В.П., Турдукожаева А.М. Что твердого в твердом? // Энциклопедия инженера-химика. – 2011. – № 11. – С. 38-48.

2 V.P. Malyshev, A.M. Turdukozhayeva. What is a solid in solid? // Journal Materials Science and Engineering B. – 2012. V. 2. № 10. – Р. 590-599.

REFERENCES

1 Malyshev V.P., Turdukozhaeva A.M. Chto tverdogo v tverdom? // Jenciklopedija inzhenera-himika. – 2011. – № 11. – S. 38-48.

2 V.P. Malyshev, A.M. Turdukozhayeva. What is a solid in solid? // Journal Materials Science and Engineering B. – 2012. V. 2. № 10. – R. 590а-599.

(7)

Малышев В.П., Тұрдықожаева А.М.

ҮЙЛЕСТІРУ ФОРМУЛАЛАРЫНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІ ТУРАЛЫ

Авторлармен максималды мән және осы мәнді нормалау бойынша үйлестіру формулаларына талдау жасау арқылы үйлестірілген, әрі бірге тең бір максимумды әмбебап (универсалды) өрнек алынды. Онда жұптық сияқты тақтық n үшін де сәйкесінше максимум болатын, бүтін сияқты, жартылай бүтін r мәндерін қолдану мүмкіндігі бар.

Мұндай өрнекті жартылай бүтін r-да тақтық n үшін абсолюттік максималды мәнді анықтау үшін, нөлден n-ға дейін вариациялау арқылы жаңа функцияларды симметриялық үлестіруге қолдануға болады.

Тірек сөздер: үйлесімдік формулалар, жұп сан, тақ сандар, мағына.

V.P. Malyshev, A.M. Turdukozhaeva

SOME PROPERTIES OF FORMULA COMBINATIONS

Summary

The authors on the basis of the analysis of formula combinations Сnr on the maximum value and the normalization on the value obtained a unified and more universal expression of a single maximum, equal to one, and the ability to use both integer and half-integer values of r, for which the maximum is reached, respectively, for both even and odd n. Such expression can be used for determining the maximum absolute values Сnr for n when odd half-integer r, and as a function

nr

у of the new symmetric distributions r varying from zero to n.

Keywords: formula of combinations, even, odd number, values.

Поступила 09.09.2013 г.

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

С целью снижения затрат на создание инфраструктуры и проведение R&D, а также для повышения их эффективности компании размещают

Методика настоящей работы позволяет строить функцию Грина для полигармонических урав- нений не только для шара, но для полуплоскости и

На рисунке 1.3 приведена ВАХ p-n перехода при различных масштабах по осям для положительных (миллиамперы) и отрицательных (микроамперы) зна- чений

Для того чтобы показать зависимость радиуса соты от М (количества активных пользователей) при принятых значениях E b /N 0 и запаса по мощности,

Мы будем использовать символ Σ − n 1 для обозначения класса уровня n семейства мно- жеств Иерархии Ершова, тогда, как обычно Σ 0 n обозначается

1: Номограмма связи значений элементов связывающей матрицы «a» со значениями парных коэффициентов корреляции r моделируемых данных при длине вектора параметров n = 2,

С целью дополнительной характеристики штаммов выделенных в период подъема заболеваемости (2015г.) нами проведена генетическая

Сонымен, ароматты және алифатты нитрилдерді гидрлеуде пәрменділікті арттыру үшін және ең жоғары шығыммен мақсатты өнім – біріншілік аминдерді алу