Болжамдарды статистикалық тексеру .1 Негізгі анықтамалар

Статистикалық зерттеулердің әртүрлі сатыларында алдын-ала жасалынған қандай да бір тұжырымдарды (болжамдарды) табиғатқа немесе қарастырылып отырған стохастикалық схеманың белгісіз параметрлер шамасына қатысты эксперименттік тексерулердің қажеттілігі туындайды.

Мысалы, алдын-ала тұжырым айтылады: «Бас жинақ А заңы бойынша үлестірілген» немесе «үлестірімнің белгісіз параметрі  анықталған ₀ мәніне тең». Бірінші болжамда алдын-ала болжанған үлестірімнің түрі туралы болжам айтылса, екіншісінде – бір белгілі үлестірімнің параметрінің шамасы туралы болжам айтылған. Басқа да әртүрлі болжамдардың түрлері болады: екі немесе бірнеше үлестірім параметрлерінің теңдігі, таңдаманың тәуелсіздігі және т.б.

Анықтама. Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестірімінің түрі немесе үлестірім параметрлері туралы алдын-ала жасалатын болжамды айтамыз. Мысалы, статистикалық болжамдарға мынадай болжамдар мысал бола алады:

1) Пуассон заңы бойынша үлестірілген бас жинақ;

2) екі қалыпты жинақтың дисперсиялары өзара тең.

Ұсынылған болжаммен қатар оған қарама-қарсы болжам да қарастырылады. Егер ұсынылған болжам жоққа шығарылса, онда оған қарама- қарсы болжам орындалады.

Анықтама. Нөлдік болжам деп ұсынылған H₀ болжамын атайды.

Анықтама. Альтернативті болжам деп нөлдік болжамға қарама-қарсы болжамды айтамыз.

Мысалы, нөлдік болжам «қалыпты үлестірімнің математикалық күтімі 10-ға тең» деген болжам болса, онда оған альтернативті болжам «қалыпты үлестірімнің математикалық күтімі 10-ға тең емес» деген болжам. Қысқаша былай жазамыз: Н₀ :а10, Н₁:а10.

Анықтама. Жай болжам деп бір ғана сөйлемнен тұратын болжамды айтамыз.

Анықтама. Күрделі болжам деп шектеулі немесе шектеусіз жай болжамдардан тұратын болжамды айтамыз.

Ұсынылған болжам дұрыс та, бұрыс та болуы да мүмкін, сондықтан да тексеру қажет. Егер тексеру статистикалық әдістермен жүргізілсе, онда оны

69

статистикалық деп атайды. Болжамдарды тексеру қорытындысында екі жағдайда дұрыс емес шешім қабылдануы мүмкін.

Анықтама. Бірінші текті қате деп – дұрыс болжамның жоққа шығарылуын айтамыз.

Анықтама. Екінші текті қате деп – бұрыс болжамның қабылдануын айтамыз.

Бірінші текті қате жіберу ықтималдығын маңыздылық деңгейі деп атаймыз және  деп белгілейміз.  маңыздылық деңгейі көбінде 0,05 немесе 0,01 мәндерін қабылдайды. Мысалы,  0,05 дегеніміз барлығы 100 жағдайдың бесеуінде бірінші текті қате жіберу қаупі бар дегенді білдіреді.

Анықтама. Статистикалық критерий деп болжамды тексеру үшін қолданылатын кездейсоқ шаманы айтамыз.

Егер ол қалыпты үлестірілген болса, ол шаманы U немесе Z арқылы белгілейміз; ал егер Фишер заңы бойынша үлестірілсе - F арқылы; Стьюдент заңы бойынша үлестірілсе - Т арқылы; «хи квадрат» заңы бойынша үлестірілсе

2 арқылы белгілейміз және т.с.с. Егер нақты үлестірімнің түрі туралы айтылмаса, онда жалпылық мақсатында ол шаманы K арқылы белгілейміз.

Анықтама. Бақылау мәні К_бақ деп – таңдама бойынша есептелінетін критерийдің мәнін айтамыз.

3.7.2 Кризистік облыс. Болжамды қабылдау облысы. Кризистік нүктелер.

Анықталған критерий таңдалынып алынғаннан кейін оның барлық мүмкін мәндер жиынын екі қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлеміз: оның біреуінің құрамында нөлдік болжам жоққа шығарылатын критерийдің мәні бар, ал екіншісінде - нөлдік болжам қабылданатын критерийдің мәні бар.

Анықтама. Кризистік облыс деп - нөлдік болжам жоққа шығаратын критерийдің мәндерінің жиынтығын айтамыз.

Анықтама. Болжамды қабылдау облысы деп - нөлдік болжамды қабылдайтын критерийдің мәндерінің жиынтығын айтамыз.

Статистикалық болжамдарды тексерудің негізгі принциптерін былайша тұжырымдауға болады: егер критерийдің қабылдайтын мәні кризистік облыста жататын болса – болжам жоққа шығарылады, егер критерийдің қабылдайтын мәні болжамды қабылдау облысында жатса – болжам қабылданады.

K критерийі – бірөлшемді шама болғандықтан, оның барлық мүмкін мәндері қандай да бір аралықта жатады. Сондықтан да, кризистік облыс пен болжамды қабылдау облысы аралық болып саналады, ендеше, оларды бөліп тұратын нүктелер бар болады.

Анықтама. Кризистік облысты болжамды қабылдау облысынан бөліп тұратын нүктелерді кризистік нүктелер деп атаймыз.

Кризистік облыстар біржақты (оң жақты және сол жақты) және екіжақты кризистік облыстар болып бөлінеді.

Анықтама. Оң жақты кризистік облыс деп K k_кр теңсіздігімен анықталатын облысты айтамыз, мұндағы k_кр -оң сан (20а-сурет).

70

Анықтама. Сол жақты кризистік облыс деп K k_кр теңсіздігімен анықталатын облысты айтамыз, мұндағы k_кр -теріс сан (20б-сурет).

Анықтама. Бір жақты кризистік облыс деп оң жақты және сол жақты кризистік облысты айтамыз.

Анықтама. Екі жақты кризистік облыс деп К  k₁, К  k₂ , мұндағы k₂ k₁ , теңсіздіктерімен анықталатын облысты айтамыз.

Дербес жағдайда, егер кризистік нүкте нөлге қарағанда симметриялы болса, екі жақты кризистік облыс К k_кр теңсіздігімен анықталады(20в-сурет).

а) б) в)

20-сурет 3.7.3 Оң жақты кризистік облысты іздеу

Анықтылық үшін K k_кр , мұндағы k_кр 0, теңсіздігімен анықталатын оң жақ кризистік облысты қарастырамыз. Бұдан оң жақ кризистік облысты табу үшін кризистік нүктені табу жеткілікті екені көрініп тұр. Оны табу үшін маңыздылық деңгейі  беріледі. Одан кейін қойылған талаптарды ескере отырып, нөлдік болжам дұрыс болу шартынан К критерийі k_кр-ден үлкен мән қабылдау ықтималдығы берілген маңыздылық деңгейіне Р(К k_кр) тең екенін ескеріп, k_кр кризистік нүктесін іздейміз. Осы талапты қанағаттандыратын әрбір критерий үшін кризистік нүктені табатын дайын кесте бар.

Егер кризистік нүкте табылса, берілген таңдама бойынша критерийдің мәнін есептейміз және егер К_бақ k_кр болса, онда нөлдік болжамды жоққа шығарады;ал егер Кбақ k_кр болса, онда нөлдік болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ.

Ескерту. Егер нөлдік болжам қабылданса, бұл әлі оның дәлелденгенін көрсетпейді. Өйткені, оның ақиқаттығын дәлелдейтін бір ғана таңдама нөлдік болжамды әлі дәлелдемейді. Сондықтан, «берілген таңдама нөлдік болжаммен үйлеседі» деп айтқан дұрыс болар еді. Тәжірибеде болжамның қабылдануы

kкр

kкр

K

kкр 0

K

K

kкр 0

0

71

нақты болуы үшін оны басқа әдістермен тексереді немесе таңдаманың көлемін ұлғайтады.

Қандай да бір тұжырымды жоққа шығару үшін оған қарама-қарсы бір мысал кетіру арқылы болжамды жоққа шығаруды тиянақтырақ жүзеге асыруға болады. Сондықтан, егер критерийдің мәні кризистік облыста жататын болса, онда бұл оны жоққа шығаруға мүмкіндік береді.

3.7.4 Сол жақты және екі жақты кризистік облысты іздеу

Сол жақты және екі жақты кризистік облысты іздеу (оң жақты кризистік облысты іздеу сияқты) сәйкес кризистік нүктені табуды қажет етеді.

Сол жақты кризистік облыс K k_кр (k_кр 0) теңсіздігімен анықталады.

Қойылған талаптарды ескере отырып, нөлдік болжам дұрыс болу шартынан К критерийі k_кр-ден кіші мән қабылдау ықтималдығы берілген маңыздылық деңгейіне Р(К k_кр) тең екенін ескеріп, k_кр кризистік нүктесін табамыз.

Екі жақты кризистік облыс K  k₁,K k₂ теңсіздігімен анықталады.

Қойылған талаптарды ескере отырып, нөлдік болжам дұрыс болу шартынан К критерийі k₁-ден кіші k₂-ден үлкен мән қабылдау ықтималдықтарының қосындысы берілген маңыздылық деңгейіне P(Kk₁)P( K k₂ ) тең екенін ескеріп, k_кр кризистік нүктесін табамыз.

Кризистік нүкте шектеусіз көп әдістермен таңдалынуы мүмкін. Егер үлестірім критерийі нөлге қарағанда симметриялы болса және нөлге қатысты симметриялы k_кр және k_кр (k_кр 0) нүктелерін таңдап алуға негіз болса (мысалы, қуатын үлкейту үшін), онда P(K k_кр)P(K k_кр) болады.









k ) P( K k ) K

(

P _{1 2} екенін ескеріп,

) 2

( 



k_кр K

P аламыз.

Бұл екі жақты кризистік облыста кризистік нүктені іздеу қатынасы болып табылады. Айтып кеткендей, кризистік нүкте дайын кесте бойынша табылады.

3.7.5 Статистикалық болжамдарды тексерудің логикалық схемасы

Шығарылатын есептердің өзіндік мінездемелері мен қойылатын талаптарына байланысты статистикалық критерийлер әртүрлі болып келеді.

Бірақ оларды логикалық схеманың жалпылығы біріктіреді:

1) H₀ нөлдік болжамы мен Н₁ альтернативтік болжамын ұсыну;

2) критерийдің  маңыздылық деңгейінің шамасы беріледі;

3) H₀ болжамын тексеру үшін критерийдің z статистикасы таңдалынып алынады;

4) H₀ болжамы ақиқат болатындай, z статистикасының таңдамалық үлестірімі анықталады;

72

5) альтернативті болжамға байланысты V_k кризистік облысы z z_1 , z

z теңсіздіктерінің бірімен анықталады, немесе zz_1/2 және z z_/2 теңсіздіктер жинағымен анықталады;

6) бақылаудың таңдамасын алады және критерийдің статистикасының z_b таңдамалық мәнін есептейді;

7) статистикалық шешім қабылданады:

егер z_b V болса, онда бақылаудың нәтижелерімен келіспейтіндіктен H₀ болжамын жоққа шығарады;

егер z_b V \V_k болса, онда H₀ болжамын қабылдайды, яғни, ^H0 болжамы бақылау нәтижелеріне қарама-қайшы келмейді деп есептеуге болады.

Мысал 42. Жол көлігінің двигателінің құжатының берілгені бойынша оның 100 км-ге жағатын жанар-жағар майының мөлшері 10 л. Двигатель құрылымын өзгерту нәтижесінде жағылатын жанар-жағар май мөлшері азаяды.

Тексеру үшін құрылымы өзгертілген кез келген 25 жол көлігіне сынақ жүргізіледі, әрі оның 100 км-ге жағатын жанар-жағар майының мөлшерінің таңдамалық орташасы сынақ нәтижесінде x9,3 л. Кететін жанар-жағар майдың таңдамасы қалыпты үлестірілген бас жинақтан m орташасымен және

2 2 4л

 дисперсиясымен алынған. Маңыздылық критерийін қолданып, двигательдің құрылымын өзгерту жағылатын жанар-жағар майдың мөлшеріне әсер еткен жоқ деп тұжырымдалған болжамды тексер.

Шешуі. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың m орташасы туралы болжам тексеріледі. Болжамды тексеруді мынадай ретпен жүргіземіз:

1) тексерілуге тиіс болжам Н₀:m10, альтернативті болжам 10

1:m

Н ;

2) маңыздылық деңгейін таңдап аламыз:  0,05;

3) критерийдің статистикасы ретінде математикалық күтімнің бағасы – таңдамалық орташа x-ты қолданамыз;

4) Таңдама қалыпты үлестірілген бас жинақтан алынғандықтан, таңдамалық орташаның мынадай дисперсиямен берілген қалыпты үлестірімі бар:

25

2 4 n 

 .

H0 болжамы дұрыс деген шарт орындалса, осы үлестірімнің математикалық күтімі 10-ға тең. Критерийдің қалыпқа келтірілген статистикасының:

25 / 4

10

 x U қалыпты үлестірімі бар N

 

0,1 ;

5) Альтернативтік болжам Н₁:m10 жағылатын жанар-жағар май мөлшері азаяды деп жору, ендеше біржақты критерий қолдану керек.

Кризистік облыс U u_ теңсіздігімен анықталады. Кестені (қалыпты үлестірімнің квантилінің) қолданып, u_0,05 u_0,95 1,645 екенін табамыз;

73

6) Критерийдің қалыпқа келтірілген статистикасының таңдамалық мәні мынаған тең:

75 , 25 1 / 4

10 3 ,

9  

 

U ;

7) Статистикалық шешім: статистиканың таңдамалық мәні кризистік облыста жатқандықтан, H₀ болжамы жоққа шығарылады, яғни, двигательдің құрылымын өзгерту жағылатын жанар-жағар май мөлшерін азайтты деп есептеуге болады.

Берілген х статистикасының кризистік облысының x_k шекарасын мына теңдіктен табуға болады:

645 , 25 1 / 4

10 

 x_k

.

Бұдан x_k 9,312, яғни, х статистикасының кризистік облысы x9,342 теңсіздігімен анықталады.

3.7.6 ² келісімдік критерийі

Анықтама. Кездейсоқ шаманың заңының үлестірімі туралы болжамды тексеру үшін қолданылатын критерийлерді келісімдік критерийлері деп атаймыз.

Негізгі болжам H₀: Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы мынадай түрде: F(x).

Сандық өсті мынадай аралықтарға бөлеміз:



a₀,a₁



,



a₁,a₂

 

,, a_r1,a_r 



, мұндағы a₁ a₂ a_r1. H0 болжамы: i-ші разрядқа P_i  F(a_i)F(a_i1) ықтималдығы сәйкес келеді.

Х кездейсоқ шамасының берілген (x₁,x₂,..., x_n) мәндерінің ішінен i-шы разрядқа m_i кездейсоқ саны сәйкес келеді



^_^{r }



i mi n

1

. Онда

n m_i

- таңдамалық мәннің i-ші интервалға түсу жиілігі.

n m_i

жиілігінің p_i санына жақындығы H₀ болжамының пайдасына шешіледі, ал едәуір айырмашылығы болса, онда H₀ болжамы жоққа шығарылады.

Кездейсоқ шама

 

 

  2 1

2 2

i i

i i

np np

 m ,

H0 болжамының сынақтың берілгендерімен сәйкес келетіндігін көрсетеді.

Критерийдің бақыланған

 

 



 2 1

2 2

i i

i i

np np

 m формуласымен есептелінеді, ал кризистік жиын S ^



^2,



түрінде таңдап алынады, мұндағы _² мәні дайын кесте көмегімен табылады,  r1t және маңыздылық деңгейі 

74

белгілі болған жағдайларда, t дегеніміз - F F



x,₁,₂,,t



функциясының параметрлерінің саны. Егер ² _² теңсіздігі ақиқат болса, онда H₀ болжамы

 маңыздылық деңгейінде жоққа шығарылады. Кері жағдайда, H₀ болжамы сынақтың берілгендеріне қарама-қайшы болмайды.

3.7.7 Қалыпты бас жинақтың екі дисперсиясын салыстыру. Фишер критерийі.

Дисперсияны салыстыру есебі құрылғының, аспаптардың, өлшеу әдістерінің өзінің дәлдігін салыстыруды талап етуден туындайды. өлшеудің нәтижесінің ең аз шашырауын (дисперсиясын) қамтамасыз ететін құрылғы, аспап, әдіс нақтырақ болып табылады.

Х және У бас жинақтары қалыпты үлестірілген болсын. Осы жинақтардан алынған көлемдері сәйкесінше n₁, n₂ болатын тәуелсіз таңдамалар бойынша түзетілген таңдамалық дисперсия табылған. Түзетілген дисперсия бойынша берілген маңыздылық деңгейі  үшін қарастырылып отырған жинақтардың бас дисперсиялары өзара тең деген, H₀ : D(X) D(Y), нөлдік болжамды тексеру қажет.

Егер нөлдік болжам дұрыс болса, онда түзетілген дисперсиялар арасындағы айырмашылық болмашы ғана және ол кездейсоқ себептермен, дербес жағдайда, таңдама объектісінің кездейсоқ алынуымен түсіндіріледі.

Мысалы, егер екі құрылғымен жүргізілген өлшемдер нәтижесінің таңдамалық дисперсияларының түзетілген дисперсия айырмашылықтары болмашы ғана болса, онда құрылғылардың дәлдіктері бірдей деген сөз.

Егер нөлдік болжам жоққа шығарылса, онда түзетілген дисперсиялар арасындағы айырмашылық біршама және ол кездейсоқ себептермен түсіндірілмейді, бас дисперсиялардың өздерінің әртүрлі болу салдары болып табылады. Мысалы, егер екі құрылғымен жүргізілген өлшемдер нәтижесінің айырмашылықтары біршама болса, онда құрылғылардың дәлдіктері әртүрлі деген сөз. Бас дисперсиялардың теңдігі жөніндегі нөлдік болжамды тексеру критерийі ретінде үлкен түзетілген дисперсияның кішіге қатынасын, яғни,

2 2

м б

S

F  S шамасын аламыз. Бұл шама кездейсоқ, сондықтан да әртүрлі сынақтарда дисперсиялары әртүрлі, алдын-ала белгісіз мәндер қабылдайды және Фишер заңы бойынша үлестіріледі.

Бұл таңдама бойынша болжамды тексеру үшін осы критерийдің құрамындағы шамалардың дербес мәндерін есептейміз және осылайша критерийдің мәнін аламыз.

 маңыздылық деңгейі H₀ :₁² ₂², мұндағы ₁² D(X), ₂²  D(Y) болжамын тексеру талап етілсін, альтернативті болжам H₁: ₁² ₂². Әдетте альтернативті болжамдар қолданылмайды. Егер нөлдік болжам дұрыс болса, онда критерий еркіндік дәрежесі k₁ n₁1, k₂ n₂ 1 болатын Фишердің F-

75

үлестірімі болады. Кризистік облыс оң жақты болады және P(F  f_) шарты бойынша анықталады.

f мәні үш шамаға тәуелді:  маңыздылық деңгейіне, k₁, k₂ еркіндік дәрежесіне және дайын кесте бойынша табылады (2-қосымша, 5-кесте).

3.7.8 Қалыпты үлестірімнің дисперсиясы туралы болжам. Пирсонның ² үлестірім заңы

Бас жинақ белгісіз дисперсиямен қалыпты үлестірілсін.  маңыздылық деңгейі бойынша H₀ :² ₀² болжамын тексеру қажет болсын. Статистика ретінде

2 0

2

2 ( 1)

  ^n ^S

критерийін қолданамыз. Егер H₀ болжамы дұрыс болса, онда ² кездейсоқ шамасы Пирсонның еркіндік дәрежесі n1 болатын ² үлестірімімен үлестірілген, мұндағы n-таңдаманың көлемі.

Кризистік облыс альтернативті H₁ болжамына тәуелді ² үлестірім кестесі бойынша анықталады.

Егер альтернативті болжам H₁ :² ₀² түрінде болса, онда





  _) ( ²

P теңсіздігін қанағаттандыратын сол жақ кризистік облысты қолданамыз.

2 үлестірім кестесі қарама-қарсы шартқа сәйкес құрылған. Ендеше, _ мәнін кестеден табу үшін Р(² _)1 шартын қолданамыз.

2 0 2

1 : 

H альтернативті болжам үшін Р(² _) теңсіздігін қанағаттандыратын оң жақ кризистік облысты қолданамыз және  дайын кестеден (2-қосымша, 3-кесте) табылады.

3.7.9 Екі орта мәннің теңдігі туралы болжам. Стьюдент критерийі

Қалыпты үлестірілген Х және У бас жинақтары берілсін, әрі олардың дисперсиялары белгісіз болсын. Осы екі бас жинақтан параметрлері сәйкесінше

2 1 1 1,x ,S

n және n₂,x₂,S₂² болатын тәуелсіз таңдамалар жасалған.

Орта мәндерінің айырмасын   а₁ а₂ деп белгілейік, мұндағы а₁ дегеніміз – Х үлестірімінің орта мәні, ал а₂ дегеніміз – У үлестірімінің орта мәні.  маңыздылық деңгейін таңдап алғаннан кейін, H₀ : ₀ нөлдік болжамын, H₁: ₀ альтернативті болжамын қарастырамыз. Критерий ретінде Стьюдент статистикасын аламыз:

. 1 ) (1 2

) 1 ( ) 1 (

2 1 2

1

2 2 2

2 1 1

0 2 1

n n n

n

S n S n

x T x

 











  

76

Егер H₀ болжамы дұрыс болса, онда Т кездейсоқ шамасы еркіндік дәрежесі n₁ n₂ 2 болатын үлестіріммен үлестірілген. Әдетте ₀ 0, яғни, бас жинақтың орта мәндерінің теңдігі туралы болжам тексеріледі. Кризистік облыс

0 1 : 

H альтернативті болжам бойынша дайын кестеден (2-қосымша, 4- кесте) есептеледі. Қарастырылған жағдайда, сол жақ кризистік облысты аламыз: P( ₀).

3.8 Функционалдық, статистикалық және корреляциялық байланыстар

In document (1)Қазақстан Республикасының Министерство Білім және ғылым образования и науки министрлігі Республики Казахстан Д (бет 66-74)