• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Введение и постановка задачи

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Введение и постановка задачи

Математическое моделирование многих процессов происходящих в реальном мире приводит к задачам определения коэффициентов или правой части дифференциального уравнения по некоторым известным данным от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики [1].

Обратные задачи возникают в самых разных областях человеческой деятельности таких, как физика (обратные задачи квантовой теории рассеяния), геофизика (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.п [2].

К настоящему времени наиболее полные результаты получены в основном по исследованию прямых и обратных задач для уравнений смешанного типа с производными второго порядка [3,4].

В то же время обратные задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными мало изучены [5].

Отметим, что нелокальные задачи типа Самарского исследованы в работах [6, 7].

Пусть

  {( , ) : 0 x t      x 1, p t q }

,

    

(t 0)

,

    

(t 0)

, где

p q ,  0

. В области

рассмотрим уравнении

( , ) ( )

Lu x tf x

, (1) где

4 4 0

4 2

4 2

, 0,

( , )

, 0.

C t

u D u t Lu x t x

u u

x t t

 

 

 

  

 

Здесь C

D u

0 - оператор дробного дифференцирования по t порядка

  (0,1]

в смысле Капуто [8, стр. 92]

39

0

0

1 ( , )

( , ) ( ) , 0

(1 )

t

C t

D u x t t

u x

d

t

 

  

 

.

Задача. Требуется найти пару функций

u x t ( , ), ( ) f x

, обладающих следующими свойствами:

1)

u x t ( , ) C

x t4,1,

 

,

f x ( ) C[0,1]

;

2) удовлетворяют уравнению (1) в области    ; 3)

u x t ( , )

удовлетворяет условиям

(0, )

xx

(1, ) 0,

x

(1, )

x

(0, ),

xxx

(1, )

xxx

(1, ),

u tu tu tu t u tu t    p t q

, (2)

( , ) ( ), ( , ) ( ), 0 1

u x p    x u x q   x   x

; (3) 4)

u x t ( , )

удовлетворяет условию склеивания

0

( , 0)

( , 0) , 0 1

C t

D u x u x x

t

     

 . (4) 2. Единственность и существование решения задачи.

Решение задачи будем искать в виде разложения по специально выбранному базису из системы функций

2 2 (1 )

0( ) 2 , 1( ) 2 sin 2 , 2( ) 2 cos 2

1

nx n x

n n n

e e

X x x X x nx X x nx

e

   

 . (5)

В работе [7] показано, что система (5) образует базис Рисса в

L

2

(0,1)

, существует биортогональная с ней система функций

2 2 (1 )

0( ) 1, 1( ) 2 sin 2 , 2( ) 2 cos 2

1

nx n x

n n n

e e

Y x Y x nx Y x nx

e

 

    

,

которая также образует базис Рисса в

L

2

(0,1)

Решение задачи будем искать в виде рядов Фурье

 

 

0 0 1 1 2 2

1

0 0 1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) ,

( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) .

n n n n

n

n n n n

n

v t X x v t X x v t X x x t

u x t

w t X x w t X x w t X x x t

     



      



(6)

 

0 0 1 1 2 2

1

( ) ( )

n n

( )

n n

( )

n

f x f X x f X x f X x

     

, (7)

разложенные по системе функций (5). Здесь

v t w t v t w t i

0

( ),

0

( ),

ni

( ),

ni

( ),  1,2

– неизвестные функции,

f f

0

,

n1

, f

n2- неизвестные коэффициенты.

Подставляя (6) и (7) в уравнение (1), для нахождения

0

( ),

0

( ), ,

0 ni

( ),

ni

( ),

ni

, 1,2

v t w t f v t w t f i

получим

4

0 0

( )

0

,

0

( ) ( ) , 2 , 1, 2

C

D v t

t

f

C

D v t

t ni

 

n

v t

ni

f

ni

n

  n i

,

4

0

( )

0

,

ni n ni

( )

ni

, 1, 2

w t f w    w tf i

,

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

40 решениями которых являются

0

0( ) 0

( 1)

v t A f t

  

  , (8)

4 4

,1 , 1

( ) ( ) ( ), 1, 2

ni ni n ni n

v tA E

tf t E  

t i , (9)

2

0 0 0 0

( ) 1

w tB tD  2 f t

, (10)

2 2 2

( ) sin cos ni4 (1 cos ), 1, 2

ni ni n ni n n

n

w t Bt Dt ft i

      . (11)

Здесь

A B D f A B

0

,

0

,

0

, ,

0 ni

,

ni

, D f i

ni

,

ni

,  1,2

неизвестные коэффициенты,

E

 ,

( ) z

- функция типа Миттаг - Леффлера [8, стр.42],

), ( ) ( E 0, ) Re(

C, , z, ), ) (

( ,1

0

, z E z

n z z

E

n

n

  

 

которая при (0, 2), | argz | , R,

 / 2;min{ ; }

удовлетворяет оценке

, ( )

1 | | E z M

 z

 , (12) где М – постоянная, не зависящая от аргумента z [9, стр 136];

Для нахождения этих неизвестных коэффициентов используем непрерывность решения в области , а также условия (3) и (4) задачи. Отсюда имеем

0

(0)

0

(0),

C 0 0

(0)

0

(0),

ni

(0)

ni

(0),

C 0 ni

(0)

ni

(0), 1, 2

vw D v

wvw D v

wi

,

0

( )

0

,

0

( )

0

,

ni

( )

ni

,

ni

( )

ni

, 1,2

v q   w   pv q   w   pi

,

где

   

0

,

0

,

ni

,

ni

, i  1,2

– соответственно коэффициенты разложения функции

( ), ( ) x x

 

в ряд, т.е.

1

0

1

0 ni 0

0

 ( x ) Y ( x ) dx ,   ( x ) Y

ni

( x ) dx , i 1,2,

(13)

1

0

1

0 ni 0

0

(x)Y (x)dx,

 

(x)Xni(x)dx, i 1,2.

(14)

Тогда относительно неизвестных

A B D f A B D f i

0

,

0

,

0

, ,

0 ni

,

ni

,

ni

,

ni

,  1,2

получим систему уравнений

0 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 4 4

,1 , 1

2 2 2

4

, , , 1 ,

( 1) 2

, , ( ) ( ) ,

cos sin 1 (1 cos ) .

ni ni ni n ni n ni ni n ni n ni

n ni n ni n n ni

n

D A B f A f p f pB D

D A f A B A E q f q E q

p D p B p f

 

 

    

   

       

  

       

 

      



(15)

В результате находим

41

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

2 2 ( 1)

( ), ( )

A D q f B

      

      

 

,

4 2

1

,1

( )

( ), ( )

n n

ni ni ni ni ni ni ni ni

n n

E q

A D B

 

   

     

 

4 4

4 ,1

( )

( ), 1, 2

n n

ni n ni ni ni

n

E q

f i

 

   

   

, (16)

где

2

2 2 2 4

,1

( 1) 2 ( 1) 2 , 0

sin cos ( ),

n

n n n n

p p q n

p p E q n N

 

   

      

  

   

 .

Подставляя найденные значения в (8)- (11) имеем

2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

2( ) 2 ( 1)(2 )

( ) q t ( ), ( ) q t t ( )

v t w t

       

     

 

, (17)

4 4

( ) ( )

( ) n n ( ), 1, 2

ni ni ni ni

n

E q E t

v t i

 

   

 , (18)

2 2 2 4

sin cos ,1( )

( ) n n n n ( ),i 1, 2

ni ni ni ni

n

t t E q

w t

   

 

   

 . (19)

Таким образом, получили формальное решение задачи в виде (6) и (7), где

0

( ),

0

( ), ,

0 ni

( ),

ni

( ),

ni

, 1,2

v t w t f v t w t f i

определяются по формулам (16-19).

Имеет место

Теорема. Если функции

 ( ) x

и

 ( ) x

удовлетворяют следующим условиям:

6 (7) (7)

( ), ( ) x x C [0,1], ( ), x ( ) x L

2

(0,1)

     

,

0 1

( ) ( )

(0) (0) 0, ''(1) (1) 0, , 1,3,5

k k

IV VI

x x

k k

d x d x

dx dx k

 

0 1

( ) ( )

(0) (0) 0, ''(1) (1) 0, , 1,3,5

k k

IV VI

x x

k k

d x d x

dx dx k

 

,

и выполнена условие

 

n

0

, то существует единственное решение задачи, определяемые формулами (6) - (7).

Доказательство. При условии

 

n

0

единственность решения задачи легко следует из представлений (6) – (7), а также из полноты системы (5). Поэтому переходим доказательству существование решение задачи.

Несложно проверить, что функции

u x t ( , )

,

f x ( )

определяемые формулами (6) - (7) удовлетворяют уравнению (1) и условиям (2)-(4). Остаётся доказать правомерность этих действий. Для этого покажем сходимость рядов (6) - (7) и

4

1 1 2 2 0 1 1 0 2 2

1 1

( ( ) ( ) ( ) ( )), ( ( ) ( ) ( ) ( ))

n n n n n C t n n C t n n

n n

v t X x v t X x D v t X x D v t X x

 

 

,

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

42

4

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1

( ( ) ( ) ( ) ( )), ( ( ) ( ) ( ) ( ))

n n n n n n n n n

n n

w t X x w t X x w t X x w t X x

 

 

 

, (20)

Рассмотрим первый ряд из (20). По условию

 

n

0

, значит существует

0 такая, что

|   

n

|  0

. Отсюда , учитывая (12), а также оценку

| X

ni

( ) | xC i ,  1,2

, получим, что

 

2

1 1 2 2 1 2 1 2

|w t Xn ( ) n ( )xwn ( )t Xn ( ) |xC

 

n | n ||

n ||

n ||

n | . Здесь и далее C означает положительные, вообще говоря, разные постоянные.

В силу условий на

 ( ), ( ) xx

из (13), (14) имеем

1 7 2 2 (1 )

7

1 7 7 2 7 1

0

1 1

( cos 2 )

1

nx n x

n n n

n n

d e e

nx dx

x e

   

 

    

 

, (21)

1 7 2 2 (1 )

7

1 7 7 2 7 1

0

1 1

( cos 2 )

1

nx n x

n n n

n n

d e e

nx dx

x e

   

 

    

 

(22)

1 7 1 7

7 7

2 7 7 7 2 2 7 7 7 2

0 0

2 2 2 1

sin , sin

n n n n n n

n n n n

d d

xdx xdx

x x

 

     

   

   

 

 

. (23)

Отсюда следует, что данный ряд мажорируется рядом

71 72 71 72

1

1 |

n

| |

n

| |

n

| |

n

|

n n

   

  

,

Далее, применяя неравенства

2ab a  

2

b

2 , учитывая при этом лемму 5 работы [10] получим абсолютную и равномерную сходимость первого ряда из (20).

Рассмотрим второй ряд в (20). Так как

2

6 2 4 2

2

( ) ( sin cos ), 1, 2

ni ni ni

n n n n

n

d w t

t t i

dt

    

   

,

 

2

6 2

( ) | | | | , 1, 2

ni

n ni ni

d w t

C i

dt       

,

Отсюда и из (21)-(23) получаем абсолютное и равномерное сходимость второго ряда из (20). Сходимость остальных рядов показывается аналогичным образом. Теорема доказана полностью.

Замечание 1. Множество чисел

p  0, q  0

, удовлетворяющих условию

 

n

0

не пустое. Например, если 2

, 1

p q

 , тогда

2 4 ,1

4 ( 1)

(1 ) 2, 0

1 ( ),

n

n

n

E n N

 

     

  

   

 отсюда следует, что

 

n

0

.

Замечание 2. Если условие

 

n

0

нарушено при nk и при некоторых значениях p и q, то однородная система (15) имеет ненулевое решение. Тогда однородная

43

задача (8)-(11) (

 ( ) x   ( ) 0 x

) также имеет нетривиальное решение. Например, при значениях

0 0

,

0 0

( 1)

AD   q

Bf    

функция

2

( ) 2 , 0

( , ) 1

( 1) ( 1) 2 , 0

2

t q x t

u x t

t t q x t

 

   

         

( ) ( 1) 2

f x      x

является решением однородной задачи.

1. Denisov A.M., Elements of the Theory of Inverse Problems, Utrecht: VSP, 1999, -P.272.

2. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well- posed, Ill-posed and intermediate problems with Applications, Leiden: Brill Academic Publishers and VSP, 2005, -P. 245.

3.. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо – гиперболического типа в прямоугольной области. Известия Вузов. Математика.

2010, № 4, -C. 55-62.

4 Berdyshev A.S., Cabada A., Karimov E.T. On a non-local boundary problem for a parabolic- hyperbolic equation involving a Riemann-Liouville fractional differential operator, Nonlinear analysis: Theory, Methods and Applications (NATMA), 6 (75), 2012, -P. 3268–

3273.

5. Berdyshev A.S., Eshmatov B. E., Kadirkulov B.J. Boundary value problems for fourth- order mixed type equation with fractional derivative // EJDE. - v. 2016, № 36. -P. 1-11.

6. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи.

//Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 8, -C. 1094-1100.

7. Berdyshev A.S., Cabada A, Kadirkulov B.J. The Samarskii-Ionkin type problem for the fourth order parabolic equation with fractional differential operator // An Inter. J.

Computers and Mathematics with Applications. - Elsevier, 2011. - v. 62. - № 10. - P. 3884- 3893.

8. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland Mathematics Studies, 204. Elsevier Science B. V., Amsterdam, 2006. xvi+523 pp.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. –М., 1966. –C.672.

10. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. //Известия ВУЗов СССР, Математика, 1964, №2 (39). -С. 82-93.

Андатпа. Мақалада, кері шектік есебі бөлшек туынды төртінші ретті аралас типті теңдеу үшін қарастырылған. Есептің шешімімен қатар, х айнымалысына тәуелді теңдеудің оң жақ бөлігін анықтау қажет. Айнымалы бөлу әдісін қолдану арқылы есеп шешімінің жалғыздығы және классикалық шешімінің бар екендігі туралы теорема дәлелденді. Есепте берілген функцияларға қойылған шарттардың маңызды екендігі анықталған. Есеп шарттары орындалмаған жағдайда біртекті есептің тривиаль болмаған шешімі бар екендігіне мысал келтірілген.

Түйін сөздер: аралас типті теңдеу, кері есептер, Капуто дифференциалды бөлшектік операторы, Mиттаг-Леффлер функциясы, Фурье әдісі, Фурье қатары.

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

44

Abstract. In this paper for a mixed-type fourth-order equations with fractional derivative studied an inverse boundary value problem. Along with solution of the problem, it is also needed to identify the right part of the equation, which depends on the variable x. Applying the method of separation of variables we prove theorems of existence and uniqueness of the classical solution of this problem. It is established that there are existence of conditions imposed on the data of the problem. Some examples are considered, when the condition formulated by the homogeneous problem has a nontrivial solution.

Keywords: equation of mixed type, inverse problems, Caputo fractional differentiation operator, Mittag-Leffler function, Fourier method, Fourier series.

ӘОЖ 37:514:004.738.1 (574)

Е.Ы. Бидайбеков, Н.Т. Ошанова, Р.Қ. Төребекова* ӘЛ ФӘРӘБИ БОЙЫНША МУЗЫКА ТЕОРИЯСЫНЫҢ

АРИФМЕТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ОҚЫП-ЗЕРТТЕУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ

(Алматы қ., Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университеті, * - магистрант) Аңдатпа. Бұл мақалада қазақ математикасының қалыптасуына елеулі үлес қосқан әл Фәрәбидің музыка теориясының арифметикалық негіздерін оқып-зерттеудің қажеттілігі қарастырылған. Фәрәбидің математикалық мұрасы мен музыка теориясын зерттеген ғалымдардың еңбектері негізге алынды. Фәрәби бойынша арифметиканың негізгі ережелері ұсынылып, музыка теориясына қатысты тұстары келтірілді. Әл Фәрәбидің музыка теориясында кең қолданыс тапқан сандық қатынастарға қолданылатын амалдары жан- жақты қарастырғандығы жайлы айтылған. Музыканың арифметикадан не алғандығын білу үшін қатынастармен орындалатын амалдардың Фәрәби бойынша ережелері ұсынылды.

Түйін сөздер: арифметика, арифметика негіздері, әл Фәрәби мұралары, музыка теориясы.

Фәрәби қазақ елінің біртуар ғалымы, оның ғылымға қосқан үлесі орасан зор, еңбектері бүкіл әлемге әйгілі. Өз заманында мұсылман елдерінің ғалымдарын мойындатып үлгерген, әрбір шығармасы мұраға қалдырылған таусылмайтын байлық.

Фәрәбидің математикалық, физикалық еңбектері өте танымал, ал музыка теориясын математикамен байланыстырып, ережелері мен есептеулерін келтіргені таңқаларлық дүние. Оның еңбектерінің арасында музыка теориясы аз зерттелгендіктен, көп талқылаулармен түсінуді талап етіп отыр. Оның еңбектерін оқып-зерттеу, әсіресе музыка теориясының арифметикалық жағын қарастырып, оны мектеп оқушыларына оқыту үлкен жұмыс болып табылады.

Фәрәби бабамыздың асыл ғылыми шығармашылығы дүние жүзі мәдениеті мен ғылыми жаңалықтарына Шығыстың Аристотелі деп танылған. Болашақ ұрпаққа қалдырған ғылыми мұрасы, 160-қа жуық трактаты біздің заманымызға жетті. Әл Фәрәбидің еңбектерінің ішіндегі ең шоқтығы биігі ол - музыка саласы. Фәрәбидің пікірінше, музыканың ғылыми іргетасы тәжірибе-бақылау мен физика-математика ғылымдарының қағидаларынан тұрады.

Фәрәбидің математикалық мұрасы мен музыка теориясын зерттеген А.Көбесов [1], Г.П.Матвиевская [2], О.Матякубов [3] және т.б. ғалымдардың еңбектері, соңғы кездері бабамыздың математикалық мұрасын жан-жақты зерттеп, қазіргі білім беру жүйесіне ендіруді көздеп жүрген Е.Ы.Бидайбековтің [4] ғылыми еңбектері ұсынылып отырған зерттеуге негіз болды.

45

Зерттеуден алынған нәтижелер орта мектеп оқушыларына арифметиканы, сандық қатынастарды қосымша жете түсінуге мүмкіндік береді. Ал, Фәрәбидің музыканы өзге ғылымдармен, яғни арифметика және алгебрамен байланыстыруы оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттырады, сандық қатынастармен орындалатын амалдардың тағы бір қолданысын танып білуге көмектеседі.

Әл Фәрәбидің музыка теориясына (соның ішінде, арифметикасына) байланысты ұсынған кейбір маңызды ережелерін қарастыру кезінде қазіргі орта мектеп арифметикасына сәйкес екінін байқауға болады. Енді олардың кейбіріне тоқталсақ.

Әл Фәрәбидің музыка теориясы арифметика және алгебрамен тығыз байланысты, оны жасауда ол айқын дәрежеде арифметикалық-алгебралық әдістерді қолданған.

«Ғылымдар тізбесінде» ежелгі гректердің дәстүріне ере отырып, ол музыка теориясын математикалық ғылымдар қатарына жатқызады. Әл Фәрәби музыка туралы ғылымның пәнін келесі түрде анықтайды: «Музыка туралы ғылымға келетін болсақ, онда ол әуеннің түрлерін зерттеуден тұрады: олар неден құралады, оларды не үшін құрады, олардың дыбысы еліктірер әсерлі болу үшін олар қандай болу керек. Бұл атпен екі ғылым танылады: біріншіден, музыка туралы практикалық ғылым, екіншіден, музыка туралы теориялық ғылым». Осының негізінде сандар туралы ғылымды практикалық және теориялық арифметикаға бөлгені белгілі. Әл Фәрәби бойынша практикалық арифметика сандарды зерттейді, себебі мәселе санын анықтау керекті саналатын сандарда болып тұр, және т.с.с. Мысалы, адамдардың, жылқылардың, динардың, дирхемдердің және басқа да саналатын заттардың саны. Ал, практикалық арифметикаға қарама-қарсы теориялық арифметика, нақты ұстап сезуге болатын заттарды санауға жататындардан бөлек сандарды абсолюттік тұрғыдан зерттейді, және бұл жердегі сандар сыйпап-сезілетін заттар үшін де, сыйпап-сезуге келмейтін заттар үшін де бірдей жалпы сандар ретінде қолданылады.

Әл Фәрәби, өз кезегінде, теориялық арифметиканы үш бөлімге бөледі:

1) бір-біріне қатысы жоқ, сандардың болмысына сай нәрселердің барлығын (мысалы, тақ және жұп сандар, квадрат сандар, жалпақ, кемел және кемел емес сандар және т.б.) зерттейтін жеке сандар туралы ілім;

2) сандарды бір-бірімен салыстырғанда пайда болатын сандардың теңдігі мен теңсіздігі, яғни қандай да бір сан басқа санның бір немесе бірнеше бөлігі болатыны, не еселігі, не оған теңдігі, не одан бір немесе бірнеше бөлікке артық болуы, пропорционалды немесе пропорционал емес, ұқсас немесе ұқсамайтын, өлшемді немесе өлшеусіз болуы сияқты қасиеттерін зерттейтін тәуелді сандар туралы ілім.Әл Фәрәби сандардың қатынасы мен пропорциясы туралы ілімді теориялық арифметиканың осы бөліміне жатқызады.

3) сандарды бір-біріне қосқанда, бір саннан бір санды азайтқанда, бір санды басқа санның бірнеше бірлігіне көбейткенде, бір санды басқа санның бірнеше бірлігіне бөлгенде пайда болатын қасиетін зерттейтін сандарға қолданылатын амалдар туралы ілім. Ол осының барлығын және осыдан бір-біріне қатынасы кезінде не шығатынын және қандай да бір анықталған сандардан сандардың қалай алынатындығын зерттейді. Жалпы айтқанда, бұл саннан алуға болатын нәрселердің барлығы туралы ғылым.

«Музыканың үлкен кітабы» атты трактатында өзі теориялық арифметиканың пәні болғанымен музыка теориясында әртүрлі қолданыс тапқан сандар қатынасына ерекше тоқталады. Осыған байланысты, өзінің трактатындағы кіріспенің соңғы бөлігінде айтылған әл Фәрәбидің келесі пікірі үлкен қызығушылық тудырады: «Бұл музыка туралы ілімде арифметикадан білу керек нәрсенің барлығы қолданылады. Мұнда жоғарыда көрсетілгендей, тондар мен интервалдардың мәні анықталатындай және оны жеке сандар көмегімен келтірілетіндей етіп қалай қарыстыру керек екендігі, сонымен бірге, бұл

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

46

мәндерге қатысты сандар көмегімен келтіру үшін қай жағынан қарастыру керек екендігі көрсетілген». Мұнда әл Фәрәбидің бүтін және бөлшек сандар ретінде қолданылатын

«жеке сандар» (адад әл-муфрада), «қатысты сандар» (адад әл-мудафа) терминдері қызығушылық тудырады. Осылайша, теориялық және практикалық арифметика бірін- бірі толықтыра отырып, ажырамас бірлікте жүреді.

Әл Фәрәби «Музыканың үлкен кітабының» кіріспесінде музыка теориясын құруда қолданылуы мүмкін сандар туралы ілімнің сұрақтарын атап көрсетеді. Ол оларды арифметикадан алынған қағидалар деп атайды.

Әл Фәрәби сандардың қатынасы екі түрлі болады деп ойлады, яғни қатынастардың теңдігі және теңсіздігі. Ол былай деп жазды: «Егер екі санды салыстырсақ, онда олар тең немесе тең емес болады».Трактатта Әл Фәрәби музыка теориясында кең қолданыс тапқан сандық қатынастарға қолданылатын амалдарды жан-жақты қарастырады. Бұл жайында әл Фәрәби былай деп жазады. «Егер келесі үш есептің қалай шешілетінін түсіндіре алсақ, онда біз музыканың арифметикадан не алғандығының барлығын көрсеттік деп айта аламыз:

1. Сандар қатары бір-бірімен белгілі бір қатынаста болады. Бізге қатынастары өзінде бүкіл қатынастарды қамтитын сондай екі санды табу керек.

2. Екі сан бір-біріне белгілі қатынаста орналасқан. Бізге осы қатынасты бастапқы қатынаста сақтайтын ортақ сандарды табу керек.

3. Берілген қатынастағы екі сандар, олардың қосындысын бастапқы қатынастан алуға болатындай, өздерінің арасында ортақ мүшеге ие. Бізге қалдық қатынасты беретін санды табу керек, яғни қосындымен салыстырғандағы бастапқы қатынастың қалдығын табу керек.

Бірінші есепті шешу – екі санның қосындысын табу. Екінші есептің шешімі бір қатынасты біреше қатынасқа бөлу, ал үшінші есеп бір қатынасты басқа қатынастан азайту жолымен табылады.Осылайша, Фәрәби сандық қатынастармен орындалатын үш амалды орнатады – қосу, бөлу (жіктеу) және қатынастарды азайту. Осы жерде ол музыка теориясына байланысты пайда болған көрсетілген үш есептің шешімінің қарапайым әдісін ұсынады. Сонымен қатар, әл Фәрәби осы мақсатқа қажет болатын ғана сандық қатынастардың түрін қарастырумен шектеледі. Мұндағы, қосу, бөлу және азайту деп ол дәстүр бойынша сәйкес көбейту, жіктеу және бөлу амалдары деп түсінеді.Фәрәби музыка теориясын құру үшін қажетті осы мәліметтердің көмекші сипаттамаларына байланысты пайда болған қосу, бөлу (жіктеу) және қатынастарды азайту ережелерін дәлелдеусіз келтіреді.Оның қосу ережесі екі жағдайға ажыратылады: 1)қосылатын қатынастар бір- біріне тең; 2) қосылатын қатынастар бір-біріне тең емес. Бірінші жағдайға қатысты ол былай жазады: Егер сөз бір қатынасты екінші қатынасқа екеуі де тең болғанда қосу туралы болса, онда біз ол қатынасты ең қарапайым түрінде аламыз. Екі мүшесінің әрбірін өз-өзіне көбейтеміз. Алынған көбейтінділер бір-біріне ізделініп отырған қатынаста болады.

Оны былай жазуға болады:

2 2

B A B B

A A B A B

A

 

Көрсетілген ереже келесі мысалмен келтіріледі: «Егер де, мысалы, 3 11 қатынасын

3

11 қатынасына (бұл қатынастардың әрқайсысының ең қарапайым мүшелері 4 пен 3-ке тең) қосқымыз келсе, онда соңғыларын өз-өзіне көбейтеміз. Сонда осы екі сан сәйкесінше 16 мен 9 сандарын береді. Осы сандардың қатынасы ізделініп отырған қатынас болады.»

47 Берілген мысалда

9 16 3 4 3 4 3 1 1 3

1 1   

 

 



 

 

әл Фәрәби бұл ережені қосындылардың кез келген қажетті саны үшін жалпылайды.Ол осыған ұқсас ережені қосылатын қатынастар бір-біріне тең емес жағдай үшін де келтіреді: егер қосылатын қатынастар өзара тең болмаса, онда олар не тізбектес немесе тізбектес емес болады. Мысалы,

2

11 және 3

11 қатынастары тізбектес.

2 11 және

4

11қатынастары тізбектес емес.

Егер қосылатын қатынастар тізбектес болса, онда олардың әрқайсысының ең қарапайым сандарын алып, қатынастардың біріндегі ең кіші сан бір уақытта басқа қатынаста ең үлкені болатынын байқаймыз. Осылайша, біз үш тізбектес – екі шеткі және бір ортаңғы сандар аламыз. Ең үлкен санның ең кішісіне қатынасы қатынастың қосындысы болады.

Әл Фәрәби «тізбектес» деп келесі түрдегі қатынастарды атайды 1,

1n ,

1 1 1

n ...,

2 1 1

n оларды қосу келесіден құралады

немесе

Ары қарай әл Фәрәби «Қосуға тиісті екі қатынас та тең емес және тізбектес емес болғанда, онда келесі түрде келтіреміз: олардың ең қарапайым мүшелерін аламыз. Олар бізге төрт сан береді. Олардың ең үлкені ең үлкен шеткі мәнді, ең кішкентайы – шеткі мәндердің ең кішісін білдіреді. Екі аралық сан, яғни ортаңғы сандар: бірі ең үлкен шеткі санға, екіншісі ең шеткі кіші санға жақын.Егер ең үлкен санға жақын санды кіші санға, ал кіші санға жақын санды ең үлкен санға көбейтетін болсақ, онда алынған екі сан да ізделінді қатынаста болады» - деп жазады.

Шамасы, әл Фәрәби «тізбектес емес» қатынас деп келесі түрдегі қатынастарды санайды:

4 1 1

2, 1 1

1,

1  

 

n n n және т.б.,

оларды қосу шынында да көрсетілген ережемен орындалады. Мысалы, n 11мен

4 1 1

n қатынастарын қосу кезінде төрт сан алынады:

n , n  1 , n  4 , n  5

. Оларды

көрсетілген ереже бойынша қос-қостан көбейтіп, ізделінді қатынас болатын төмендегі қатынасты аламыз

  

4

5 1 4

1 1 1 1

 



 

 



 

 

n n

n n n

n .

Осылайша, әл Фәрәбидің қатынастарды қосу амалы, мағынасы бойынша, бүгінгі бөлшектерді көбейту ережесімен сәйкес келеді.

n n n

n n n n

n

2 1

2 1 1

1 1

1 1 

 

 

 



 

 



 

 

1 3 2

3 1

2 2

1 1 1

1 1

 

 

 



 

 



 

 

n n n

n n

n n

n

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

48

Жоғарыда атап өткендей, әл Фәрәби бойынша қатынастарды бөлу - берілген қатынасты олардың қосындысы бастапқы қатынасқа тең болатындай бірнеше өзге қатынастарға бөлу. Бұл музыка теориясының негізінде пайда болған арнайы амал, яғни:

ол квартаның интервалдарын өзгермелі (модулирующие) мүшелерге жіктеу кезінде арифметикалық аппарат ретінде қолданылды.

Қатынастарды бөлу үшін әл Фәрәби келесі ережені ұсынады: Егер біз бір қатынасты бірнеше басқа қатынастарға бөлгіміз келсе, онда біз мүшелері өзара бірдей шамаға немесе әртүрлі шамаға айырмашылықта болатын қатынастар қатарын құрамыз.

Бірінші жағдайда төменде көрсетілгендей жасаймыз: берілген қатынастың қарапайым мүшелері бізге жүргізу қажет болатын бөлулер санына тең санға көбейтіледі. Осылайша, біз бөлуге тиісті қатынастың жаңа шеткі мүшелері болатын екі сан аламыз. Аралық сандар бір-бірінен ізделінді қатынастағы аралықта болады. Әл Фәрәби бұл ережені келесі мысалмен келтіреді:біз өзімізге

3

4 қатынасын қарапайым мүшелері бір-бірінен тең шамаға ерекшеленетін басқа үш қатынасқа бөлу мақсатын қойған болайық. 3 және 4 саны, яғни берілген қатынастың мүшелері 3-ке көбейтіледі. 12 және 9 шығады. Бұл сандардың арасына екі ортаңғы сандар орналасады, яғни 11 мен 10. Осылайша, біз үш қатынас аламыз:

11 1 1 ,

10

1 1 және 9

11және төрт мүшесін аламыз.

Жалпылама түрде бұл ережені былай жазуға болады:

n d

n қатынасы берілген болсын, оны k қатынастарға бөлу керек.

Көрсетілген ереже бойынша:

kn d kn d kn

d kn k

d kn

k d kn k

d kn

kd kn kn

d n k n

d

n  

 

 

 

 2

)...

2 (

) 1 ( )

1 ( )

(

Мұнда, мағынасы бойынша, әл Фәрәби шеткі мүшелері k(nd),kn және айырмасы d (nd)n болатын арифметикалық прогрессияны құрайтын k сандарды табуға сүйенеді.

Келтірілген мысалда k3 - шеткі мүшелері сәйкес 12 мен 9-ға, айырмасы 1

3 4 

d тең, сондықтан

9 10 10 11 11 12 9 12 3

4

Бұл мысал кездейсоқ таңдалынған жоқ, себебі берілген жағдайда жіктеуге тек қана музыкада «жиі кездесетін» қатынастар ғана қатысады.

Әл Фәрәби басқа жағдай үшін де ереже ұсынады, онда бір қатынасты мүшелері бір- бірінен бірдей емес санға айырмашылықта болатын бірнеше басқа қатынастарға бөлуге тура келеді. Ол үшін әл Фәрәби бірінші берілген қатынасты көрсетілген әдіс бойынша мүшелері бір-бірінен бірдей санға айырмашылықта болатын басқа бірнеше қатынастарға бөлуді ұсынады, ары қарай осы алынған қатынастар өз кезегінде дәл осындай түрде бөлінеді. әл Фәрәби сандық қатынастарды жіктеудің басқа да түрлері болатынын ескереді.

Қатынастарды азайтуды әл Фәрәби қатынастарды қосуға кері амал ретінде қарастырады. Ол мағынасы бойынша қазіргі бөлшектерді бөлу ережесіне ұқсас ережені ұсынады: «Егер бізге бір қатынастан екінші қатынастан алу керек болса, онда келесі ережені қолданамыз: екі қатынастан да ең қарапайым мүшелерін аламыз, бірінші қатынастың ең кіші мүшесін екінші қатынастың ең үлкен мүшесіне көбейтеміз, одан кейін соңғысының ең кіші мүшесіне бірінші қатынастың ең үлкен мүшесін көбейтеміз.

Осы екі амалдың нәтижесінде бір-бірімен қалдық қатынаста болатын екі сан алынады.

Оны былай жазуға болады:

49

C B

D A D C B A

: .

Көрсетілген ереже келесі мысалмен келтіріледі: егер, бізге 3

11 қатынасын 2 11 қатынасынан алу керек болса, онда біз осы екі қатынастың қарапайым мүшелері сәйкес:

4 пен 3, 3 пен 2 болатынын байқаймыз. 3-ті, яғни

2

1  1

қатынасының ең үлкен мүшесін 3-ке, яғни

3

11 қатынасының ең кіші мүшесіне көбейтеміз, содан кейін 2-ні 4-ке көбейтеміз. Осы екі амалдың нәтижесінде екі сан аламыз, яғни 9 және 8, олардың қатынасы, яғни

8

11 ізделінді қатынас, яғни қалдық болады.

Берілген мысалда:

8 9 2 4

3 3 3 :4 2 3 3 1 1 2 :

1 1 

 



 

 



 

 

Фәрәби әртүрлі музыкалық интервалдарды, түрлер, топтарды алу кезінде осы қатынастармен орындалатын барлық амалдарды шебер қолданады, сонымен қатар ол көпсанды, өте қиын болып табылатын арифметикалық-есептеуіштік сипаттағы мәселелерді шешеді. Мұнда ол өзін шебер практик-есептеуіш ретінде танытады. Соның бір мысалы, квартаны кіші интервалдарға бөлу – музыканың математикалық теориясының негізгі есептерінің бірі болып табылады. Әл Фәрәби де бұл сұраққа көп көңіл бөлді. Ол осы есепті, яғни квартаны бөлу есебін шешудің өзіндік эксперименттік- математикалық әдісін ұсынды. Осы әдіспен квартаны сәйкес келетін түрлерге бөлу кезінде Фәрәби әртүрлі сандық қатынастарға көптеген амалдарды қолданады, олардың нәтижелерін бірнеше кесте түрінде келтіреді.

Әл Фәрәби музыка теориясы үшінсол уақыт математиктерінің арасында қалыптасып кеткен дәстүріне ере отырып, алынған сандық қатынастарды, яғни бөлшектерді, барынша негізгі бөлшектер арқылы көрсетуге тырысатынын айта кеткен жөн. Дегенмен әл Фәрәбиде негізгі бөлшектердің барлық түрлері кездеседі.

Қорытындылай келе, бізге әл Фәрәбидің ариметикалық мазмұндағы барлық шығармалары белгілі болмаса да, жоғарыда келтірілген бізге белгілі еңбектеріне талдау әдіснамалық жағынан, сонымен қатар теориялық және практикалық арифметиканың нақты сұрақтары жағынан үлкен жетістіктерін атап өтуге мүмкіндік береді.

Арифметикаға байланысты жасаған еңбектері қазіргі мектеп арифметикасымен ұштасып жатқандықтан үлкен қолданысқа ие болады, білім алушы жастар оның ұсынған дүниелері мен қазіргі оқулықтағы мәліметтерді салыстыра отырып арифметиканы жете түсінуге жағдай жасайды.

Әл Фәрәбидің музыка теориясы тарихшы-философ ғалымдармен, музыка саласының мамандарымен мың жылдың көлемінде және қазіргі күнде қарастырылып жатқанымен оның математикалық, арифметикалық жағы аз зерттелген. Демек, әл Фәрәби бойынша музыка теориясының арифметикалық негіздерін оқытудың қажеттілігі әлі де көп зерттеулерді талап етеді.

1. Көбесов А. Математическое наследие ал-Фараби. Алма-Ата: Наука, 1974.

2. Матвиевская Г.П., Б.А.Розенфельд. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды. Книга 1. Москва: Наука, 1983

3. Матякубов О. Фараби об основах музыки Востока. Ташкент: Фан, 1986