Доказательство теоремы. В сферических координатах уравнение(1) имеет вид

(5) , j>1.

Известно, (3), что спектр оператора состоит из собственных чисел ортонормирован-ных собственных функций

Искомое решение задачи 1 будем искать в виде

, (6) где – функций, подлежащие определению.

Подставив (6) в (5), умножив затем полученное выражение на и проинтегрировав по единичной сфере H, для получим ([4,5])

+(

)] . (7)

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

(8) (t) =

= + n=1, k= (9)

(10)

Суммируя уравнения (9) от 1 до , а уравнение (10) – от 1 до , затем сложив полученные выражения вместе с (8), приходим к уравнению (7).

Отсюда следует, что если , k= n=0,1,… - решение системы (8)-(10), то оно является решением уравнения (7).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде

) (r,t), (11)

где определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом .

Далее, из краевого условия (2) в силу (6), с учетом леммы 1 будем иметь:

(r), , n=0,1,… . (12)

В [4,5,8] показано, что задача (11), (12) однозначна разрешима, если выпол-няется условие (5).

Далее, сначала решив задачу (8), (12) (n=0) , а затем (9), (12) (n=1) и т.д., найдем последовательно все

Следовательно, задача(7),(12) , также однозначно разрешима.

Итак, в области , имеет место

(13)

Пусть причем -

плотна в плотна в плотна в

([6]).

Отсюда из (13) следует, что

и

.

Таким образом, решением задачи 1 является функция (6), где находится из задачи (7), (12).

Учитывая формулу

а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на

заданные функции можно показать, что

полученное решение (6 ) принадлежит искомому "классу"

Следовательно, разрешимость задачи 1 установлена.

Теорема доказана.

Список использованной литературы 1 Бицадзе А.В. Уравнение смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959-164с.

2 Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных, М.: Наука, 2006-287с.

3 Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

4 Алдашев С.А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта// Укр. математический журнал, 2012, т.64, №3- с.426-432.

5 Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина // Владикавказский матем. журнал, 2013, т.15, вып.2- с.3-10.

6 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976 - 543 с.

7 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.М.:Наука, 1977.

8 Китайбеков Е.Т. Задача Дирихле в цилиндрической области для трехмерных гиперболических уравнений с вырождением типа и прядка. Вестник КазНПУ им.Абая, №4(52),2015, с.27-31.

УДК 517.927 ГРНТИ 27.29.25

Д.Н. Нургабыл ¹, У.А. Бекиш ²

1 д.ф.-м.н., профессор ЖГУ им. И. Жансугурова, г.Талдыкорган, Казахстан

2 докторант кафедры математики ЖГУ им. И. Жансугурова, г.Талдыкорган, Казахстан АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ОБЩИХ РАЗДЕЛЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Аннотация

В настоящей работе рассматривается общая разделенная краевая задача для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с малым параметром при двух старших производных.

Исследуется рассматриваемая краевая задача в случае, когда дополнительное характеристическое уравнение наряду с нулевым корнем имеет корни с отрицательными и положительными вещественными частями. С помощью введенных начальных и граничных функций найдено аналитическое представление решения возмущенной задачи. Установлены асимптотические оценки решения рассматриваемой краевой задачи.

Найдены формулы для граничных скачков, порядки скачков. Получены оценки для разности между решениями вырожденной и возмущенной задач. Доказаны вопросы предельного перехода решения возмущенной задачи к решению невозмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Найдены условия существования явления граничного скачка.

Ключевые слова: малый параметр, асимптотическое поведение, сингулярно возмущенная задача, невозмущенная задача, краевая задача, явление скачка, предельный переход.

Аңдатпа

Д.Н. Нургабыл ¹, У.А. Бекиш ²

ЕРЕКШЕ АУЫТҚЫҒАН ҮШІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ҮШІН БӨЛЕКТЕНГЕН ЖАЛПЫ ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕП ШЕШІМДЕРІНІҢ АСИМПТОТИКАЛЫҚ

БАҒАМДАРЫ

1 ф.-м.ғ.д, профессор І. Жансүгіров атындағы ЖМУ, Талдықорған қ., Казақстан

2 І. Жансүгіров атындағы ЖМУ математика кафедрасының докторанты, Талдықорған қ., Казақстан Бұл жұмыста жоғарғы ретті екі туындысының жанында кішкене параметрі бар үшінші ретті сызықты жай дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық шарттары бөлектетілген жалпы шекаралық есеп қарастырылған.

Қосымша характеристикалық теңдеудің нөлдік түбірінен басқа, нақты бөліктері теріс және оң болатын түбірлері бар болып келген жағдайда қарастырылып отырған шекаралық есеп зерттелінген. Енгізілген бастапқы және шекаралық функциялар көмегі арқылы ауытқыған есеп шешімінің аналитикалық кескіндемесі табылған.

Қарастырылып отырған шекаралық есеп шешімінің асимптотикалық бағамдары анықталды. Шекаралық секірістердің формулалары, секіріс реттері табылған. Ауытқыған есеп шешімі мен туындалған есеп шешімінің айырымының бағамдары табылған. Кішкене параметр нөлге ұмтылған жағдайында ауытқыған есеп шешімінің ауытқымаған есеп шешіміне шектік көшуі туралы сұрақтар дәлелденілген. Шекаралық секіріс құбылысының бар болуының шарттары табылған.

Түйін сөздер: кішкене параметр, асимптотикалық сипаттама, ерекше ауытқыған есеп, ауытқымаған есеп, шекаралық есеп,секіріс құбылысы, шекке көшу.

Abstract

ASYMPTOTIC ESTIMATES FOR SOLUTIONS OF GENERAL SEPARATED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULARLY PERTURBED THIRD-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

Nurgabyl D. ¹, Bekish U. ²

1 Dr. Sci. (Phys.-Math), Professor of the ZhansugurovZhetysu State University, Taldykorgan, Kazakhstan

2 Doctoral student of the Department of Mathematics at ZhansugurovZhetysu State University, Taldykorgan, Kazakhstan

In this paper we consider a general divided boundary value problem for linear third-order ordinary differential equations with a small parameter for the two highest derivatives. We study the boundary value problem under consideration in the case when the additional characteristic equation, along with the zero roots, has roots with negative and positive real parts. Using introduced initial and boundary functions found an analytic representation of the solution of the perturbed problem. Asymptotic estimates of the solution of the boundary value problem are established. The orders of jumps and formulas for boundary jumps are found. Estimates are obtained for the difference between solutions of the degenerate and perturbed problems. The questions of the limiting transition of the solution of the perturbed problem to the solution of the unperturbed problem when the small parameter tends to zero are proved. The conditions for the existence of a boundary jumps phenomenon are found.

Key words: small parameter, asymptotic behavior, singularly perturbed problem, unperturbed problem, boundary value problem, phenomenon jump, passage to the limit.

1. Постановка задачи. В [1-6] было исследовано асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных краевых и начальных задач с начальными скачками в случае, когда дополнительное характеристическое уравнение имело только корни с отрицательными вещественными частями. В данной работе рассматривается сингулярно возмущенная общая краевая задача в случае, когда дополнительное характеристическое уравнение наряду с



₁

0

имеет корни

0 Re , 0

Re 

₂ 



₃  .

Рассмотрим следующую сингулярно возмущенную краевую задачу

       

,

2y At y Bt y C t y F t

y

L      (1)

, ,

2 , 1

,

^{( )} ₁

1

0 1 3

) ( 0

) , 1 ( )

, 0

( а L y y b

y y

L ^j

n

j j i

j ri

j ij

i 



 i 









 







(2)

где  0- малый параметр,

,

₁

,

₂

,

₁

, 1

a a b

j ij





– константы,

r

₁

, r

₂

, n

₁ 

  0 , 1 , r

₁

r

₂

.

Потребуем выполнения следующих условий:

I

.

Пусть A

         

t ,B t,C t C I , F t C1

 

I , I 

 

0,1.

.

II Пусть B(t)0 при 0t1.

.

III Дополнительное характеристическое уравнение 0

) 2 ( )

3 (   

 A t B t (3) имеет различные корни 10,2,3, причем Re2 0,Re3 0.

2. Фундаментальная система решений однородного возмущенного уравнения. Наряду с уравнением (1) рассмотрим соотвествующее однородное уравнение

     

0.

2    

 y At y Bt y C t y y

L   (4)

При выполнении условии IIII в [7] было доказано, что для фундаментальной системы решений возмущенного однородного уравнения (4) справедливы следующие асимптотические при





0

представления:

 

 

, 1^{ }

   

,

1  q t O

u q t

y  

 

   

₂

 

₂

   

^,

0 2 exp 1 , 1

2 









 



  

   

 

 u t q t O

t

dx q x

q t

y (5)

 

   

3

 

3

   

, 0,1,2. 1

3 exp 1

, 1

3      









 



 u t q t O q

t

dx q x

q t

y   

 



где

 

_^











 t

x dx B

x t C

u

0 ( ) ) exp (

1 ,

   

 

^{0, 2,3,}

exp

0





















^q_p ^x_x ^{dx k}

t u

t k k k

^p_k

⁽

^t

⁾

^

^

_k

⁽

^t

⁾ 

^A

⁽

^t

⁾

^

^{2 }

_k

⁽

^t

⁾ 

^

^{0 ,}

^t

^{[ 0 , 1 ],}

^{k }

^{2 , 3 ,}

qk

(

t

)

C

(

t

)

A

(

t

) 

k

(

t

)



3 

k

(

t

) 

k

(

t

),

t

[ 0 , 1 ],

k 

2 , 3 .

IV. Пусть 

0 ,

iri



0

1_n1 

 , L₂u₁ 0.

Используя (5), получаем, что для определителя Вронского фундаментальной системы решений уравнения (4) при достаточно малых



на отрезке

0

t 

1

справедливо

         



  

 



 



 u t u t u t t t

t t

dx x dx

x t

W 1 2 3 2 3

0 1

) 3( ) 1

2( exp 1 3 ) 1 ,

(   

 

 

 (6)

   



₃ ^ ₂

 ^

^{1 ( )}

^

^0.

  t  t O 

Здесь согласно процедуре определения функции ^u₁

     

^{t ,u}₂ ^{t ,u}₃ ^t отличны от нуля на отрезке 1

0 t  , корни



₂(t),



₃(t)различны и также отличны от нуля.

In document Просмотр «Том 59 № 3 (2017): Вестник КазНПУ им.Абая. Серия: физико-математические науки» | «Физико-математические науки» (бет 109-113)