• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Жазықтықтағы аналитикалық геометрия

60 1 4 3

8 6 4 1 6 3 4 4 4 3 8 ( 3) 4 3 3

3 6 4 4 8 3 1 4 ( 3) 18 64 72 72 96 12 146;

x y z

x y z

x y z

a a a a b c b b b c c c

= = =   +   +   − −

−   −   −   − = + − − − + = −

д) АВСD - тетраэдрдің көлемін табамыз. Ол үшін үш вектордың аралас көбейтіндісін пайдаланамыз:

3 . 146 73 6

1 6

1 abc куб бірлік V =   = − =

Бақылау сұрақтары.

1. Векторлық және скаляр шамалар дегеніміз не?

2. Вектордың модулі қалай есептелінеді?

3. Бірлік вектор қалай анықталады?

4. Векторларға сызықты амалдар қолдану.

5. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі дегеніміз не және оның қандай қасиеттері бар?

6. Екі вектордың векторлық көбейтіндісі дегеніміз не және оның қандай қасиеттері бар?

7. Үш вектордың аралас көбейтіндісі дегеніміз не және оның қандай қасиеттері бар?

8. Векторлардың коллинеарлық шарты.

9. Векторлардың компланарлық шарты.

10. Вектордың геометрияда, физикада қолданылуы.

3 Аналитикалық геометрия элементтері 3.1 Жазықтықтағы аналитикалық геометрия

61

1 2; 1 2.

1 1

x x y y

xy

 

+ +

= =

+ +

Дербес жағдайда,

=1 болғанда кесінді ортасының координаталары:

1 2 1 2

; .

2 2

x x y y

x= + y= +

3.Үшбұрыштың ауданы. Төбелері М1

(

x1,y1

)

, М2

(

x2,y2

)

, М3

(

x3,y3

)

нүктелері болатын М1М2М3 үшбұрышының ауданы келесі формуламен анықталады:

1 3 1

3

1 2 1 2

2 1

y y x

x

y y x S x

 −

=

.

3.1 мысал. М1

(

−3;2

)

,М2

( )

3;6 нүктелерінің координаталары берілген:

1)М1М2 қабырғасының ұзындығын табу керек.

Шешуі:

M M1 2 =

(

x2x1

) (

2+ y2y1

)

2 =

(

3 3+

) (

2+ −6 2

)

2 = 36 16+ = 52=2 13.

2) М1М2 қабырғасының бойынан М1-ге дейінгі қашықтығы М2-ге дейінгі қашықтығынан 2 есе үлкен болатын М нүктесінің координаталарын табу керек.

Шешуі:

1 2

М D 2;

= =

1 2 3 2 3 1 2 2 2 6 2 2

1; 4 ; (1;4 ).

1 1 2 1 1 2 3 3

x x y y

xyM

 

+ − +  + + 

= = = = = =

+ + + +

3.2 мысал. М1М2М3 төбелері: М1

(

x1,y1

)

,М2

(

x2,y2

) (

,М3 x3,y3

)

.

Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесінің координаталарын табу керек.

Шешуі: D - М1М2 кесіндінің ортасының координаталары:

1 2; 1 2.

2 2

D D

x x y y

x = + y = +

М - медианалардың қиылысу нүктесі, ол М3D кесіндісін М3-тен

бастап есептегенде 2:1 қатынаста бөледі:

3 2 3 2

1 2 ; 1 2

D D

M M

x x y y

x = + y = +

+ + ,

яғни

62

1 2 1 2

3 2 3 2

2 ; 2 .

3 3

M M

x x y y

x y

x y

+ +

+  + 

= =

Осыдан

1 2 3; 1 2 3.

3 3

M M

x x x y y y

x = + + y = + +

3.3 мысал.М1М2М3 - үшбұрышының М1

(

3;2

)

, М2

( )

3;6 , М3

(

5;4

)

төбелерінің координаталары берілген. М1М2М3 үшбұрыштың ауданын табу керек.

Шешуі:

2 1 2 1

3 1 3 1

3 3 6 2 6 4

1 1 1 1

( 36 32) 34;

5 3 4 2 8 6

2 2 2 2

34( . ).

x x y y

S x x y y

S кв бірлік

− − + −

 =  =  =  = − − = −

− − + − − −

=

3.1.2 Жазықтықтағы түзу теңдеулері.

1. Түзудің жалпы теңдеуі. Жазықтықта бірінші ретті екі айнымалы

y

x,

арқылы анықталған кез келген теңдеу түзу сызықты

( ) l

анықтайды және керісінше, кез келген түзу бірінші ретті теңдеумен анықталады:

= 0 + + By C Ax

теңдеуі (мұндағы A,B,C− тұрақты коэффициенттер, әрі A2 +B2 0) жазықтықта түзуді анықтайды. Бұл теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Координаталары A,B коэффициенттері болатын вектор

 

A B l n = , ⊥

болады.

Дербес жағдайлары.

1) A0,B 0,C =0 болғанда Ax+By =0 теңдеуімен анықталған түзу координаттар бас нүктесі арқылы өтеді.

2) A=0,B 0,C 0 болғанда By+C =0 немесе

B y =−C теңдеуімен анықталған түзу OX өсіне параллель болады.

3) A 0,B =0,C 0 болғанда Ax+C=0 немесе

A

x = −C теңдеуімен анықталған түзу OY өсіне параллель болады.

4) A0,B =C =0 болғанда

Ax = 0

немесе

x = 0

теңдеуімен анықталған түзу OY өсімен беттеседі немесе OY өсінің теңдеуі дейді.

5) A=C =0,B 0 болғанда

By = 0

немесе

y = 0

теңдеуімен анықталған түзу OX өсімен беттеседі немесе OX өсінің теңдеуі дейді.

63

2. Бұрыштық коэффициенті арқылы жазылған түзудің теңдеуі. Егер түзудің жалпы теңдеуінде B0 болса, оны у арқылы шешсек, онда

b kx

y = + түріндегі теңдеу аламыз.

Бұл түзудің бұрыштық коэффициенті арқылы жазылған теңдеуі деп аталады,

мұндағы A

k tg

B

= − = - түзудің бұрыштық коэффициенті, ал

B b =−C түзудің OY өсінен қиып өтетін кесіндісі,

y

x,

- түзу бойындағы айнымалы М нүк- тесінің координаталары.

3. Түзудің «кесінді» түріндегі теңдеуі. Егер түзудің жалпы теңдеуінде

0

C болса, оның барлық мүшелерін – С -ға бөлсек, онда:

=1 + b

y a x

түріндегі теңдеу аламыз. Бұл түзудің «кесінді» түріндегі теңдеуі деп аталады, мұндағы

A

a =−C -түзудің OX өсінен, ал

B

b =−C - түзудің OY өсінен қиып өтетін кесінділері. Сондықтан а мен b координат өстеріндегі кесінділер делінеді.

4. Берілген бұрыштық коэффициенті және берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі. y =kx+b, y1 =kx1+b. Осыдан 1

1

y y

k tg

xx

= =

шығады, онда yy1 =k

(

xx1

)

аламыз. Бұл - M1

(

x1,y1

)

нүктесі арқылы өтетін, бұрыштық коэффициенті k болатын түзу теңдеуі.

5. Екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі. M1

(

x1,y1

)

,M2

(

x2,y2

)

нүктелері берілсін. yy1 =k

(

xx1

)

, y2y1=k

(

x2x1

)

. Осыдан k -ның

мәні 2 1

2 1

y y , k tg

x x

= =

онда М1, M2 нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін:

1 2

1 1

2 1

x y

y y x

x x x

= −

− аламыз.

6. Екі түзу арасындағы бұрыш. Бізге l1:y=k1x+b1және

2 2

2

: y k x b

l = +

2 түзулері берілсін:

2 1

1 1 2

k k tg

= k k

+ 3.1 сурет

l M Y

y

O X α b

x

3.1 сурет

64

екі түзу арасындағы бұрыш тангенсін есептейтін формула.

Егер l1//l2 болса, онда

=0, яғни k1=k2 - түзулердің параллельдік шарты.

Егер l1l2 болса, онда

2

 =  , яғни

1 2

2 1

0 1

1+k k = k =−k - түзулердің перпендикулярлық шарты.

Егер түзулер теңдеулері жалпы түрде берілсе, яғни:

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0;

: 0.

l A x B y C l A x B y C

+ + =

+ + =

1)

2 1 2

1

B B A

A = болса, онда l1//l2, яғни түзулер параллель болады.

2)

2 1 2

1

B B A

A  болса, онда l1l2, яғни түзулер қиылысады.

3)

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A = = болса, онда l1l2, яғни түзулер беттеседі.

4) A1A2 +B1B2 =0 болса, онда l1l2 яғни түзулер перпендикуляр болады.

7. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. M0

(

x0,y0

)

нүктеден түзуге дейінгі қашықтық мына формуламен есептелінеді:

2 2

0 0

B A

C By d Ax

+ +

= + .

3.4 мысал. М1М2М3 - үшбұрышының М1

(

−3;2

)

, М2

( )

3;6 , М3

(

5;−4

)

төбелерінің координаталары берілген. Табу керек:

1) М1М2 қабырғасының теңдеуін (жалпы теңдеуін, бұрыштық коэффициеті арқылы жазылған теңдеуін, «кесінді» түріндегі теңдеуін).

Шешуі: екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің:

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

= −

− формуласын пайдаланамыз. Онда:

3 2

; 2( 3) 3( 2);

3 3 6 2

x y

x y

+ −

= + = −

+ − 2x+ =6 3y6; 3y2x12=0.

Сонымен 3у−2х−12=0− М1М2 түзуінің жалпы теңдеуі.

65

3 2 12 2 4

у= х+  y= 3x+ − М1М2 түзуінің бұрыштық коэффициеті арқылы жазылған теңдеуі. AB түзуінің бұрыштық коэффициеті:

3 2

12 = k .

2 3

3 2 12 1 1

12 12 6 4

x y x y

yx=  − + =  + = −

− түзуінің «кесінді»

түріндегі теңдеуі.

2) М1М2және М1М3 қабырғаларының арасындағы бұрышын.

Шешуі: .

3 2

12 =

k Енді М1М3 қабырғаларының теңдеуін табамыз:

3 2

; 3( 3) 4( 2); 3 9 4 8; 3 4 1 0.

5 3 4 2

x y

x y x y x y

+ = − − + = − − − = − + + =

+ − −

3 1

4 4

y= − x− − М1М3түзуінің теңдеуі, оның бұрыштық коэффициеті 4.

3

13 = −

k Енді М2М1М3 = бұрышын табу үшін мына формуланы пайдаланамыз:

12 13

12 13

2 3 17

17 17

3 4 12 ; .

2 3 1

1 1 6 6

3 4 2

k k

tg arctg

k k

 = = + = =  =

+  − 

3) М1 нүктесі арқылы өтетін және М2М3 қабырғасына параллель болатын түзудің теңдеуін.

Шешуі: алдымен М2М3 қабырғаларының теңдеуін табамыз:

3 6

; 5( 3) 6; 5 21 0.

5 3 4 6

x y

x y у х

− = − − − = − + + =

− − −

5 21

y = − x+ − М2М3 түзуінің теңдеуі, онда k23 = −5. Олай болса, М1 нүктесі арқылы өтетін және осы түзуге параллель болатын түзудің теңдеуі y− = −y1 5(xx1); y− = −2 5(x+3)  y= − −5x 13 болады.

4) М1 нүктесі арқылы өтетін және М2М3 қабырғасына перпендикуляр болатын түзудің (яғни М1 нүктесінен М2М3 қабырғасына түсірілген биіктіктің) теңдеуін.

Шешуі: k23 =−5 − М2М3 түзуінің бұрыштық коэффициенті, олай болса, М1 нүктесі арқылы өтетін және осы түзуге перпендикуляр болатын

66

түзудің бұрыштық коэффициенті ,

5 1 1

23

1 = − =

k k онда оның теңдеуі

1 1

1 1 1 13

( ); 2 ( 3)

5 5 5 5

y− =y xx y− = x+  y= x+ болады.

5) М1 нүктесінен М2М3 қабырғасына түсірілген биіктіктің ұзындығын (яғни М1 нүктесінен М2М3 қабырғасына дейінгі ара қашықтық).

Шешуі: 5x+ y−21= 0 − М2М3 түзуінің жалпы теңдеуі. Олай болса, нүктеден түзуге дейінгі қашықтықтың 0 2 0 2

B A

C By d Ax

+ +

= + формуласын

қолданамыз:

13 . 26 17 26

21 2 15 1

25

21 2 1 ) 3 ( 5

2 2

1 1

1 = − + − =

+

 +

=  +

+

= +

B A

C By h Ax

6) М1 нүктесінен жүргізілген медиананың теңдеуін.

Шешуі: M1 нүктесінен М2М3 қабырғасына жүргізілген медиананың теңдеуін жазамыз. Алдымен М2М3 қабырғасынаның ортасы

E

нүктесі деп алып, оның координатасын табамыз, ол үшін кесіндінің ортасының координаталарын табу формуласын пайдаланамыз:

2 3 3 5 2 3 6 4

4; 1;

2 2 2 2

E E

x x у у

х = + = + = у = + = − = Е =

( )

4;1 .

Енді медиана М1Е теңдеуін екі нүкте арқылы өтетін түзудің формуласын пайдаланып жазамыз:

1 1

1 1

3 2

; ; 3 7 14; 7 11 0.

4 3 1 2

E E

x x y y x y

x y x y

x x y y

− = − + = − − − = − + − =

− − + −

7) М1 нүктесінен жүргізілген медиананың ұзындығын.

Шешуі:

( ) (

2

)

2

( ) (

2

)

2

1 2 1 2 1 4 3 1 2 49 1 50 5 2.

M E = xx + yy = + + − = + = = 3.1.3 Екінші ретті қисықтар.

Декарттық координат жүйесінде екінші ретті қисықтар жалпы теңдеуімен беріледі:

0 2

2

2 2

2+ Bxy+Cy + Dx+ Ey+F =

Ax ,

мұндағы

A , B , C

- бірдей нөлге тең емес сандар.

Жазықтықта екінші ретті теңдеумен өрнектелетін қисықтар: шеңбер, эллипс, гипербола, парабола.

1. Шеңбер. Центр деп аталатын C

( )

, нүктесінен бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орнын шеңбер дейді.

67

C

( )

, -центрі, R−радиусы.

Шеңбердің канондық теңдеуі:

(

x

) (

2+ y

)

2 =R2.

O ( )

0,0 -центрі,

R

радиусы Шеңбердің канондық теңдеуі

2 2

2 y R

x + = .

2. Эллипс. Фокус деп аталатын жазықтықтың F1

(

c,0

) ( )

, F2 c,0 екі нүктесінен ара қашықтықтарының қосындысы тұрақты 2а санына тең болатын нүктелердің геометриялық орнын эллипс дейді. Эллипстің канондық теңдеуі:

2 2

2 2

1.

x y

a + b =

а) жарты өстері ab болатын эллипс (а - үлкен, b - кіші жарты өстер, 3.4 сурет);

б) жарты өстері ab болатын эллипс (а - кіші жарты өс, b - үлкен жарты өс, 3.5 сурет).

b= a2c2 .

F1M+ F2M =2a, 2a2cac.

a

= c

 - эксцентриситет,

1.

x=a - директриса.

a= b2c2

c b c b b

M F M

F1 + 2 =2 , 2 2   . b

= c

 - эксцентриситет, 1.

y=b - директриса.

M

X O

R

C X О R

Y

-b B1

A

1

A

2

M Y B2 b -c O c

F1 F2 X

X Y

F

1

F2

3.2 сурет

3.3 сурет

3.4 сурет

3.5 сурет

68

3. Гипербола. Фокус деп аталатын жазықтықтың F1

(

c,0

) ( )

, F2 c,0 екі нүктесінен ара қашықтықтарының айырымы тұрақты 2а санына тең болатын нүктелердің геометриялық орнын гипербола дейді:

1

) 2

2 2

2 − =

b y a

a x , F1, F2OX, a,b - жарты өстері (3.6 сурет);

ә) x22 y22 1 a b

− + = , F1,F2OY, F1

( ) ( )

0,−c,F2 0,c (3.7 сурет).

a

= c

- эксцентриситет,  1, b= c2a2 , x a

y=b - асимптоталары.

b

= c

 - эксцентриситет,  1.b= c2a2 , x a

y=b - асимптоталары.

4. Парабола. Фокус деп аталатын нүкте мен директриса деп аталатын түзуге дейінгі ара қашықтықтары тең болатын нүктелердің геометриялық орнын парабола дейді.

F1

X

a b

F2

Y

-a

-b

X

x a

=

x a

= −

-b

F2 O a

F1 -a

b b Y

y x

= −a y bx

=a

r1

r2

M(x,y)

3.6 сурет

3.7 сурет

69 a) y2=2px,

2

x= − p - директриса (3.8 сурет);

) 2 2 , b x = py

2

y= − p - директриса (3.9 сурет).

3.5 мысал. 2x2 +2y2 −8x+5y−4=0 теңдеуі қандай қисықты анықтайды?

Шешуі: берілген теңдеуге келесі түрлендірулер қолданайық. Теңдеуді 2-ге қысқартып, теңдеу мүшелерін топтаймыз:

2 5 , 2

4 2

2x+ y + y=

x .

Енді толық квадратқа дейін толықтырамыз:

( )

16 4 25 16 2

5 25 , 2 4

4 2

2 = + +

 

 + +

+ +

x y y

x ;

(

2

)

2 5 2 121.

4 16

x− +y+  = Бұл центрі 

 

 − 4

; 5

2 , радиусы 4

=11

R болатын шеңбердің теңдеуі.

3.6 мысал. x2 −9y2 +2x+36y−44=0 теңдеуі қандай қисықты анықтайды?

Шешуі: теңдеу мүшелерін топтастырып, келесі түрлендірулер жасайық:

2 y= −p

(0; ) 2 F p

X O

F

M

x2=2py

Y

N

2

p

Y y2=2px

X

3.8 сурет

3.9 сурет

70

(

x2+2x

) (

9 y24y

)

=44;

(

x2+2x+ −1

) (

9 y24y+4

)

=44 1 36;+ −

(

x+1

)

2 9

(

y2

)

2 =9;

( ) ( )

2 1

9

1 2

2

=

− + −

x y

. Бұл гиперболаның теңдеуі.

3.7 мысал. 



 4

; 6 2

M 5 және 



− 5

; 15 2

N нүктелері арқылы өтетін эллипстің теңдеуін жазу керек.

Шешуі: 2 1

2 2

2 + =

b y a

x - ізделінді эллипс теңдеуі болсын. Берілген нүктелердің координаттары осы теңдеуді қанағаттандыруы керек.

Ендеше

8 1 3 4

25

2

2 + =

b

a ; 5 1

3 4

2

2 + =

b

a .

Бұдан, a2 =10, b2 =1 екендігі шығады. Сонымен, эллипс теңдеуі:

10 1

2 2 +y =

x .

3.8 мысал. Ох өсіне қатысты симметриялы, төбесі координаттар бас нүктесінде болатын парабола теңдеуін жазу керек. Осы параболаның қандай да бір Ох өсіне перпендикуляр хордасының ұзындығы 16, ал осы хорданың төбеге дейінгі қашықтығы 6-ға тең екені белгілі.

Шешуі: хорданың ұзындығы мен оның төбеге дейінгі қашықтығы белгілі болғандықтан, хорданың ұшы болатын параболада жататын М нүктесінің координаттарын табуға болады: М(6;8).

Парабола теңдеулерін y2 =2px, түрінде іздейміз. Бұдан,

2 32

8 2 6 2

p p 3

=   = . Сонымен, 2 32

y = 3 x− ізделінді парабола теңдеуі.

Жаттығулар.

1. А(2;3) және В(-10;-2) нүктелердің ара қашықтығын табу керек.

Жауабы: 13.

2. C

(

2; 7

)

және D

(

2 2;0

)

нүктелердің ара қашықтығын табу керек.

Жауабы: 3.

3. Төбелері А(4;3), В(7;6), С(2;11) болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын көрсету керек.

71

4. Төбелері А(2;-1), В(4;2), С(5;1) болатын үшбұрыш теңбүйірлі болатынын көрсету керек.

5. Үшбұрыш төбелері: А(-1;-1), В(0;-6), С(-10;-2) берілген. А төбесінен жүргізілген медиана ұзындығын табу керек.

Жауабы: 5.

6. АВ кесінді ұштары берілген: А(-3;7), В(5;11). Осы кесінді үш нүкте арқылы төрт бірдей бөлікке бөлінген. Осы нүктелердің координаталарын табу керек.

Жауабы: (-1;8), (1;9), (3;10).

7. Төбелері А(1;5), В(2;7), С(4;11) үшбұрыш ауданын есептеу керек.

Жауабы: S=0, яғни А,В,С бір түзу бойында жатады.

8. Параллелограмның үш төбесі берілген: А(11;4), В(-1;-1), С(5;7). Төр- тінші D төбесінің координаталарын табу керек.

Жауабы: D(17;12).

9. Үшбұрыштың екі төбесі А(3;8) және В(10;2) және медианалардың қиылысуы М(1;1) нүктесі берілген. Үшбұрыштың үшінші С төбесін табу керек.

Жауабы: С(-10;-7).

10. А(7;2), В(1;9), С(-8;-11) үшбұрыш төбелері берілген.

Медианалардың қиылысу нүктесінен үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтықтарды табу керек.

Жауабы: 53, 82, 185.

11. Төбелері А(0;2), В(7;3), С(1;6) болатын АВС үшбұрышының С

А Вˆ

= бұрышының тангенсін табу керек.

Жауабы:

11

= 27

tg .

12. Үшбұрыш қабырғалары берілген: x + y – 6 = 0, 3x - 5y + 14 = 0, 5x - 3y – 14 = 0. Оның биіктіктерінің теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: x – y = 0, 5x + 3y – 26 = 0, 3x + 5y – 26 = 0.

13. 3x+ 4y−20= 0 және 8x+6y−5 = 0 түзулерінің арасындағы бұрыштардың биссектрисаларының теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: 14x+14y −45= 0, 2x−2y+35=0.

14. Үшбұрыш төбелері берілген: А(0;0), В(-1;-3), С(-5;-1). Үшбұрыш төбелері арқылы өтетін, қабырғаларына параллель түзулердің теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: 3x y + 14 = 0, x - 5y – 14 = 0, x + 2y = 0.

15. А(-1:7), В(8;-2) нүктелері арқылы өтетін АВ түзуімен 45° бұрыш жасап, М(2;7) нүктесі арқылы өтетін түзулердің теңдеуін жазу керек.

Жауабы: x – 2 = 0, y – 7 = 0.

16. М(2;-1) нүктесінен координата өстерінен a = 8, b = 6 кесінділерін қиятын түзуге дейінгі қашықтықты табу керек.

Жауабы: 4,4.

72

17. ,

( )

3;3

3

;5 1 , 1 2;

3 B C

A

 

 

 

нүктелері төбелері болатын үшбұрыштың С төбесінен жүргізілген биіктіктің ұзындығын табу керек.

Жауабы: 2,4.

18. m-нің қандай мәнінде 7x - 2y – 5 = 0, x + 7y – 8 = 0 және mx + my -8=0 түзулері бір нүктеде қиылысады?

Жауабы: m = 4.

19. A1

(

−1;−1

) ( ) ( )

, B1 1;9, C1 9;1 нүктелері - үшбұрыш қабырғаларының орталары екені белгілі. Үшбұрыш қабырғаларының орта перпендикулярларының теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: x – y = 0, x + 5y – 14 = 0, 5x + y – 14 = 0.

20. Ордината өсінің A

( )

2; 3 және B

(

3;2 3

)

нүктелері арқылы өтетін түзумен жасайтын сүйір бұрышынын табу керек.

Жауабы:

6

 .

21. А(1;2) және С(3;6) – квадраттың қарсы жатқан төбелері. Қалған екі төбесінің координаттарын табу керек.

Жауабы: (0;5), (4;3).

22. 8x+15y+10=0 түзуге дейінгі қашықтығы 1-ге тең болатын абсцисса өсінің бойындағы нүктені табу керек.

Жауабы:

 

 ;0 8

7 және 

 

− ;0 8 27 .

23. А(1;1), В(4;5), С(13;-4) нүктелері үшбұрыш төбелері. В төбесінен жүргізілген медиана мен С төбесінен түсірілген биіктіктің теңдеулерін табу керек. Үшбұрыш ауданын есептеу керек.

Жауабы: 13х + 6у – 82 = 0, 3x + 4y – 23 = 0. S = 31,5 кв.бірлік.

24. x + 6y + 5 = 0, 3x - 2y + 1 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі мен

(

0.8; 4.3

)

M − нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу керек.

Жауабы: 5х + 4 = 0.

25. x + 2y + 3 = 0, 2x + 3y + 4 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін, 5x + 8y = 0 түзуіне параллель болатын түзуді табу керек.

Жауабы: 5x + 8y + 11 = 0.

26. 3x – y – 1 = 0, x + 3y + 1 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін, абсцисса өсіне параллель түзуді табу керек.

Жауабы: 5y + 2 = 0.

27. 5x + 3y + 10 = 0 , x + y – 15 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі мен координаттар басы арқылы өтетін түзуді табу керек.

Жауабы: 17x + 11y = 0.

28. x + 2y + 1 = 0 , 2x + y + 2 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін, абсцисса өсімен 135° бұрыш жасайтын түзуді табу керек.

Жауабы: x + y + 1 = 0.

73

29. М(а;b) нүктесі арқылы өтетін, x + y + с = 0 түзуімен 45° бұрыш жасайтын түзулердің теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: x = а, y = b.

30. Үшбұрыш қабырғалары берілген: x – y = 0 (АВ), x + y – 2 = 0 (ВС), y=0 (АС). В төбесі арқылы өтетін медиана мен А төбесі арқылы өтетін биіктіктің теңдеулерін жазу керек.

Жауабы: x = 1, y = х.

31. Қабырғалары: x+ y 3+1=0,x 3+ y+1=0және x – y – 10 = 0 болатын үшбұрыш тең бүйірлі екенін көрсету керек. Төбесіндегі бұрышты табу керек.

Жауабы: 30°.

32. Пареллелограмның көршілес төбелері берілген: А(0;0), В(1;3), С(7;1). Диагональдарының арасындағы бұрышты тауып және осы параллелограмның тіктөртбұрыш болатынын көрсету керек.

Жауабы:  =538.

33. Үшбұрыш қабырғалары берілген: x – y + 2 = 0 (АВ), x = 2 (ВС), x + y – 2 = 0 (АС). А төбесі және АС қабырғасын (А төбесінен бастап санағанда) 1:3 қатынасындай бөлетін нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу керек.

Жауабы: 5x - 3y + 2 = 0.

34. А(1;1), B

(

2;1+ 3

)

, С(3;1) нүктелері төбелері болатын үшбұрыш тең қабырғалы болатынын көрсетіп, оның ауданын есептеу керек.

Жауабы: 3 кв. бірлік.

35. А(3;9) үшбұрыш төбесі және y – 6 = 0, 3x - 4y + 9 = 0 медианалары берілген. Қалған екі төбесінің координаттарын табу керек.

Жауабы: В(1;3), С(11;6).

Төмендегі теңдеулермен қандай қисықтар анықталғандығын табу керек.

36. 36x2 +36y2 −36x−24y−23=0

Жауабы: Шеңбер 1

3 1 2

1 22 =

 

 −

 +

 

 −x y .

37. 16x2 +25y2 −32x+50y−359=0

Жауабы: Эллипс 1

16 25

2

2 + =

y

x , O*(1;-1) – жаңа бас нүкте.

38. 1 0

3 2 9

1 4

1x2y2x+ y− =

Жауабы: Гипербола 1

9 4

2

2 =

y

x ; O*(2;3) - жаңа бас нүкте.