температура в зоне воздействия лазерного луча при одинаковой его плотности и, как следствие, микротвердость поверхности в месте действия луча по срав
нению с участком с меньшей отражательной способностью.
Рис. 3. Зависимость микротвердости поверхности образца из сплава ВКб от плотности энергии лазерного излучения при коэффициенте отражения R: 1 - 83 %; 2 - 59 %; 3 ~ 19 %
На основании выполненных исследований установлено, что, варьируя режима
ми лазерной обработки, можно, наряду с улучшением эксплуатационных показате
лей работоспособности поверхностей с переменным уровнем отражательной спо
собности, добиться улучшения характеристик качества рабочих поверхностей твер
досплавных деталей штампов.
УДК 6 2 1 .9 .0 4 8 .7
О. Г. Девойно, А. Л. Кочеров, А. П. П илипчук
МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМОДОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
лазерного луча [2-4]. Однако, в большинстве известных работ, посвященных мо
делированию процесса лазерной обработки, рассматриваются упрощенные мо
дели, что, естественно, приводит к большим погрешностям при численной реа
лизации разработанных моделей.
Основу изучения тепловых полей, возникающих в обрабатываемой детали под воздействием ЛИ, составляет уравнение теплопроводности, которое может быть записано в виде [3]:
c Y { T ) ^ + d i v W = Q { x , y , z , t ) , (1) где = “ Я
(г )
g r a d T - тепловой поток;с у - объемная теплоемкость;
Я - коэффициент теплопроводности;
Q ( x , y , z , t ) - объемная плотность тепловых источников.
Вполне очевидно, что точность расчета температурного поля обусловлена адек
ватностью модели (1). Здесь уместно заметить, что выявлению и учету особеннос
тей правой части модельного представления (1) уделяется значительное внимание.
Сюда следует отнести, в частности, учет температурной зависимости теплоемкос
ти и теплопроводности обрабатываемых материалов. С другой стороны, учет осо
бенностей пространственно-временной структуры теплового источника наталки
вается на ряд существенных затруднений. Это в первую очередь относится к мно
гомодовому режиму излучения лазера [2].
Для рассматриваемой задачи лазерной обработки Q (х, у, z, t) задается в виде граничного условия (например, при z=0) на поверхности обрабатываемой детали.
Причем пространственная структура поверхностного источника тепла повторяет распределение интенсивности ЛИ 1(х, у ) по поверхности материала [2-4]. Наибо
лее распространенными аналитическими представлениями распределения интен
сивности ЛИ являются равномерное и гауссовское, которые в случае многомодо
вого излучения очень грубо и неточно описывают реальный поток мощности ЛИ и в силу этого не могут быть признаны адекватными.
Данное положение проиллюстрировано на рис. 1, где представлено эксперимен
тальное нормированное одномерное распределение интенсивности ЛИ К (х ) мно
гомодового лазера «Комета-2». На рис. 1, кроме того, изображены равномерная Щх) и гауссовская G (x) аппроксимации, построенные в предположении
J K { x ) d x - J R { x ) d x - J G { x ) d x
Для оценки ошибки аппроксимации будем использовать функционал
W [H ]= I |л:(;^)-Я(х)| dx
- 1
I К { х ) dx (2)
что дает у г [i?] « 40,7% и w [ G] « 55,8% соответственно. Полученные оценки точности аппроксимации свидетельствуют о необходимости поиска новых спосо
бов аналитического описания распределения интенсивности излучения многомо
дового лазера.
Рис. 1. Экспериментальное распределение интенсивности Л И К(х), равномерная R(x) и гауссовская G(x) аппроксимации
Основной идеей решения сформулированной задачи является аналитическое представление моделей распределения интенсивности излучения многомодового лазера в виде многообразия сдвигов базисной функции.
Отправным пунктом предлагаемого представления являются работы американ
ского ученого Н. Винера, развитые в дальнейшем советским математиком Н.И. Ахи- езером [5 ,6]. В этих работах доказана возможность аппроксимации произвольной функции К(х) математической конструкцией W(x, N ) вида
?Г(х,ЛГ) = Х а. - Р (х-Х.„), (3) которая, по сути, является линейным многообразием сдвигов базисной функции F(x).Данное аналитическое представление полностью определено вектором пара
метров, составленным из значений коэффициентов разложения
{"‘ и ... ^ N }
И величин соответствующих сдвигов
Особенностью полученных Винером доказательств является то, что процесс их получения существенно различается для пространства абсолютно суммируемых функций и пространства функций с суммируемым квадратом. Кроме того, от
сутствуют процедуры вычисления параметров сдвиговых приближений, что дела
ет малопригодным их практическое применение.
Если область определения 91 функции К (х ) имеет бесконечную меру, то между двумя рассмотренными выше классами и не существует строгого отноше
ния включения. Это приводит к ряду особенностей их практического применения.
Физически это означает, в частности, что если амплитуда поля описывается функ
цией K ( x ) e L j , то поток мощности такого поля, описываемый интегралом от квад
рата функции (К?(х)), может быть бесконечным. Для того чтобы получаемые ана
литические представления удовлетворяли закону сохранения энергии, определим класс допустимых функций L как множество суммируемых функций с интегриру
емым квадратом, т.е.
Такое определение наполняет параметры получаемых моделей физическим смыслом и, кроме того, позволяет продуктивно использовать и основные матема
тические свойства пространств L j и такие как теорему Планшереля, ограничен
ность интегралов, свойство Фурье преобразования функции пространства Z и ак
сиому треугольника для метрик евклидова пространства Z .
Идея построения доказательной базы основана на использовании теоремы об аппроксимации сверткой в трактовке Винера, которая выявляет условия, при кото
рых произвольная свертка функций А ( jc ) б Z и ¥ { x ) e L сколь угодно близко приближается к аппроксимируемой функции К (x)g L . Детали доказательства оп
ределяют условия, при которых сдвиговое приближение стремится к свертке и тем самым, в силу аксиомы треугольника сколь угодно близко приближается к ^ (x )€ Z . Такие условия найдены. Они касаются выбора базисной функции разложения и способа построения сетки сдвигов, а именно:
- Фурье-преобразование базисной функции может обращаться в нуль лишь на множестве конечной меры;
- способ построения сетки сдвигов должен быть выбран так, чтобы при безгра
ничном увеличении числа сдвигов максимальное расстояние между сдвигами асим
птотически стремилось к нулю.
Выполнение этих условий обеспечивает возможность сколь угодно близкого приближения сдвигового многообразия (3) к аппроксимируемой функции K {x)bL . Причем общей закономерностью является увеличение точности аппроксимации с ростом числа членов разложения (3).
в ходе построения доказательной базы получена вычислительная процедура нахождения коэффициентов разложения по результатам интегрирования обратного преобразования Фурье от частного Фурье преобразований исходной функции к(и) и базисной функции f(u )\
, - 1 [•‘ (ч )!
\ = J Ą x ) d x = / 3 ‘^{a(u)} й£х= \ 3
а Q £2 f ( « ) dx, n =
(4)
где ^ / « ( “ ) du _ оператор обратного преобразования Фурье;
Ц - элемент счетной непересекающейся системы областей { Q причем каж
дый элемент содержит одну и только одну точку Л. из сетки разложения { X и Q . n Q j = 0 для всяких i ^ j .
Практическое применение процедуры (4) часто наталкивается на значительные трудности, поэтому найдена вычислительная процедура, основанная на оценива
нии коэффициентов разложения по методу наименьших квадратов, которая позво
ляет определять наилучшее в смысле значения квадратической ошибки аппрокси
мации приближение. Применение данной вычислительной процедуры сводит на
хождение коэффициентов разложения к решению линейного векторно-матричного уравнения. Данная процедура алгоритмична, а результаты вычислений определя
ют наилучшее (в смысле квадратичной ошибки) приближение [7]. Кроме того, можно показать, что сдвиговые модели (3) удовлетворяют свойству линейности.
Для решения уравнения теплопроводности (1) в качестве базисной функции F(x) разложения (3), на наш взгляд, предпочтительнее всего использование гауссовой фун
кции. Данный выбор основывается на том, что гауссова функция удовлетворяет необ
ходимому требованию к базисной (ее Фурье-преобразование не обращается в нуль на всей прямой), а кроме того, пуссоида является собственной функцией линейного ста
ционарного уравнения теплопроводности. Поэтому в ряде случаев решение уравнения (1) можно находить как суперпозицию все тех же гауссовских функций.
В заключение приведем пример построения аналитической модели описанного выше экспериментального распределения многомодового ЛИ. В качестве базис
ной функции выберем гауссоиду
F ( x ) = e x p [ - ( a лг^)/2] . где а - параметр формы кривой Гаусса.
Положим а = 100 (вопрос параметризации базисной функции в данной статье детально не рассматривается). Для равномерной сетки сдвигов и N = 1 0 получим модель (3) с параметрами
-ft 7; -ftJ; -ft5; - f t7; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9};
іЮ іо = 0,027).
При этом точность аппроксимации составила у / « 13,6%; при числе сдвигов N = 20 точность у/ « 9,8%, а при N = 3 0 -у / ^ 6,4%. На рис. 2 построено прибли
жение W(x, 10) экспериментального распределения интенсивности ЛИ К(х).
Рис.2. Аналитическая модель W(x, 10) и базисная функция F(x).
Таким образом, описанный выше способ представления модели распределения интенсивности многомодового ЛИ позволяет более точно учесть особенности вза
имодействия излучения й обрабатываемой поверхности. Тем самым повышается степень адекватности модели реальному процессу лазерного оплавления газотер
мических покрытий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хасуи А., Моригаки О. Наплавка и напыление / Пер. с яп. В.Н. Попова; Под ред. В.С. Степина, Н.Г. Шестеркина. - М.: Машиностроение, 1985. - 240 с. 2. Ла
зерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, И.В. Зуев, А.Н. Кокора. - М.: Машиностроение, 1985. - 496 с. 3. Григо
рьянц А.Г Основы лазерной обработки материалов. -М .: Машиностроение, 1989. - 304 с. 4. Процессы плазменного нанесения покрытий: Теория и практика/ А.Ф. Иль- ющенко, С.П. Кундас и др.; Под ред. А.П. Достанко, П.А. Витязя. - Мн.: Научный центр исследований политики и бизнеса «Армита», - 1999. - 544 с. 5. Винер Н.
Интеграл Фурье и его приложения / Пер. с англ. Н.Я. Виленкина. - М.: Физматгиз, 1963. - 256 с. 6. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. -М .: Наука, 1965.
- 407 с. 7. Кочеров А.Л. Способ определения оптимальных коэффициентов разло
жения при сдвиговой аппроксимации функций // Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях: Материалы первой междунар. конф. / Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси. - Минск, 1998. - Т.1. ~ С.124-127.
УД К 6 2 1 ,7 9 2
Л. М. Кожуро, Д. Н. Хилысо, А, Н. Кольцов М ОДЕЛИРОВАНИЕ М АГН И ТН О ГО П ОЛЯ
в ТЕХН ОЛО ГИ ЧЕСКО Й ЗО Н Е ЭЛЕКТРОМ АГНИ ТН ОЙ Н А П Л А ВК И
Б ел о р усск и й го с у д а р с т в е н н ы й а гр а р н ы й т ехн и чески й у н и вер си т ет М и н ск, Б ел а р усь
Расчет магнитного поля и его градиента в рабочей зоне при электромагнитной наплавке представляет собой довольно сложную задачу, так как зависит от многих факторов: конфигурации полюсного наконечника, коэффициента заполнения по
рошком рабочего пространства, магнитных свойств порошка и детали. Известно несколько методов расчета магнитных полей: аналитический, графический и экс
периментальный [1, 2]. В случае электромагнитной наплавки сплошных цилинд
рических деталей (рис. 1) магнитное поле можно рассчитать аналитически, приме
нив уравнение Лапласа [2]:
V^(p=0,
где - оператор Лапласа; <р - магнитный скалярный потенциал.
Рис. 1. К расчету магнитного поля в технологической зоне обработки.
Допуская, что длина образца достаточно велика по сравнению с его диаметром, уравнение Лапласа для среднего сечения в цилиндрических координатах можно записать в виде
1 ^ / э /
d ę
Э/
d ^ ę w
= 0 (1)
где / - расстояние от центра детали до точки, в которой определяется магнитный потенциал; а - угол, отсчитываемый от направления вектора магнитной индукции исходного магнитного поля В„.
Решение уравнения (1) методом Фурье заключается в определении постоянных коэффициентов в выражениях для потенциала в области внешнего магнитного поля (pę и внутри цилиндра ф^:
f , = 1 c , / + f cosa; (2)
^ С ^
cosa, (3)
где (р-, - соответственно скалярные потенциалы магнитного поля в области детали и пространстве рабочей зоны; Cj, С2, С3, С4 - постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий.
Во внутренней области (i) потенциал должен оставаться конечным (при конеч
ном поэтому €2= 0. Во внешней области (е) вдали от детали, т.е. при 1/г»1, возмущающее влияние детали на внешнее поле отсутствует, и потенциал опреде
ляется этим внешним полем:
= ~ Я ^ - / c o s a ,
где - напряженность исходного магнитного поля; г - радиус заготовки. Отсюда следует, что С3 = -Н^.
На поверхности раздела двух сред, т.е. при / = г, выполняется как равенство потен
циалов, так и равенство нормальных составляющих вектора магнитной индукции:
д(р.
(4) ще w - магнигаая проницаемость детали; - магнитная гфоницаемостъ внешней среды.
Перепишем выражения для потенциалов (2) и (3) с учетом полученных результатов:
= Cj * / • cosa;
ę , = \ + cosa
(5)
(6) Продифференцировав (5) и (6) по / и с учетом условий (4), получаем систему урав
нений:
й С , = 1- н . - ^ fie
(7)
Решая систему уравнений (7), получаем 2/^0 .
С , = - Я „ C ^ = H „ . b Z J L . r \
Подставив значения найденных коэффициентов Ср Cj, С3, С4 в уравнения (2) и
W - Н -
(3) и приняв во внимание, что --- г ;- и ^ е а “■ ~75Г" » получим составляю-
о/ IĆCC
щие напряженности магнитного поля вне детали:
- i + ^ z A '
И,+Ие
c o s a .
и = - ^ = - Я
Ida K h Sina
Известно [3], что между магнитной индукцией В и напряженностью магнитно
го поля Н существует следующая связь:
(8) где ц, - магнитаая постоянная Ю'*^ Ш м); \х - магнитная проницаемость среды.
С учетом (8) запишем выражения для определения составляющих магнитной индукции в пространстве рабочей зоны:
В , = 5
^е,1 "о
в.„=-в„
y h
cosa;
[l J j
sina.(9 )
(10) Переведем уравнения (9) и (10) из цилиндрической системы координат в декар
товы координаты при помощи соотношений
В ^ = В ^ - cosa - • sina;
B ^ = B ^ - s i n a + B^- cosa;
x = /-cosa;
у = /-sina;
/=V
7T
7.
с учетом преобразований получаем
где
в = 5
"ес о
При соблюдении условий дифференцируемосга выражений ф = fl^x, у) и В = у) составляющие градиента вектора магшггаой индукции по осям координат огфеделяются как частные производные второго и перюго порядка по соответствующим направлениям: