• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМОДОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЛАЗЕРА КАК ЭТАП СИНТЕЗА ТЕХНОЛОГИИ

In document Машиностроение. Вып. 16 (бет 163-172)

температура в зоне воздействия лазерного луча при одинаковой его плотности и, как следствие, микротвердость поверхности в месте действия луча по срав­

нению с участком с меньшей отражательной способностью.

Рис. 3. Зависимость микротвердости поверхности образца из сплава ВКб от плотности энергии лазерного излучения при коэффициенте отражения R: 1 - 83 %; 2 - 59 %; 3 ~ 19 %

На основании выполненных исследований установлено, что, варьируя режима­

ми лазерной обработки, можно, наряду с улучшением эксплуатационных показате­

лей работоспособности поверхностей с переменным уровнем отражательной спо­

собности, добиться улучшения характеристик качества рабочих поверхностей твер­

досплавных деталей штампов.

УДК 6 2 1 .9 .0 4 8 .7

О. Г. Девойно, А. Л. Кочеров, А. П. П илипчук

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМОДОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

лазерного луча [2-4]. Однако, в большинстве известных работ, посвященных мо­

делированию процесса лазерной обработки, рассматриваются упрощенные мо­

дели, что, естественно, приводит к большим погрешностям при численной реа­

лизации разработанных моделей.

Основу изучения тепловых полей, возникающих в обрабатываемой детали под воздействием ЛИ, составляет уравнение теплопроводности, которое может быть записано в виде [3]:

c Y { T ) ^ + d i v W = Q { x , y , z , t ) , (1) где = “ Я

(г )

g r a d T - тепловой поток;

с у - объемная теплоемкость;

Я - коэффициент теплопроводности;

Q ( x , y , z , t ) - объемная плотность тепловых источников.

Вполне очевидно, что точность расчета температурного поля обусловлена адек­

ватностью модели (1). Здесь уместно заметить, что выявлению и учету особеннос­

тей правой части модельного представления (1) уделяется значительное внимание.

Сюда следует отнести, в частности, учет температурной зависимости теплоемкос­

ти и теплопроводности обрабатываемых материалов. С другой стороны, учет осо­

бенностей пространственно-временной структуры теплового источника наталки­

вается на ряд существенных затруднений. Это в первую очередь относится к мно­

гомодовому режиму излучения лазера [2].

Для рассматриваемой задачи лазерной обработки Q (х, у, z, t) задается в виде граничного условия (например, при z=0) на поверхности обрабатываемой детали.

Причем пространственная структура поверхностного источника тепла повторяет распределение интенсивности ЛИ 1(х, у ) по поверхности материала [2-4]. Наибо­

лее распространенными аналитическими представлениями распределения интен­

сивности ЛИ являются равномерное и гауссовское, которые в случае многомодо­

вого излучения очень грубо и неточно описывают реальный поток мощности ЛИ и в силу этого не могут быть признаны адекватными.

Данное положение проиллюстрировано на рис. 1, где представлено эксперимен­

тальное нормированное одномерное распределение интенсивности ЛИ К (х ) мно­

гомодового лазера «Комета-2». На рис. 1, кроме того, изображены равномерная Щх) и гауссовская G (x) аппроксимации, построенные в предположении

J K { x ) d x - J R { x ) d x - J G { x ) d x

Для оценки ошибки аппроксимации будем использовать функционал

W [H ]= I |л:(;^)-Я(х)| dx

- 1

I К { х ) dx (2)

что дает у г [i?] « 40,7% и w [ G] « 55,8% соответственно. Полученные оценки точности аппроксимации свидетельствуют о необходимости поиска новых спосо­

бов аналитического описания распределения интенсивности излучения многомо­

дового лазера.

Рис. 1. Экспериментальное распределение интенсивности Л И К(х), равномерная R(x) и гауссовская G(x) аппроксимации

Основной идеей решения сформулированной задачи является аналитическое представление моделей распределения интенсивности излучения многомодового лазера в виде многообразия сдвигов базисной функции.

Отправным пунктом предлагаемого представления являются работы американ­

ского ученого Н. Винера, развитые в дальнейшем советским математиком Н.И. Ахи- езером [5 ,6]. В этих работах доказана возможность аппроксимации произвольной функции К(х) математической конструкцией W(x, N ) вида

?Г(х,ЛГ) = Х а. - Р (х-Х.„), (3) которая, по сути, является линейным многообразием сдвигов базисной функции F(x).Данное аналитическое представление полностью определено вектором пара­

метров, составленным из значений коэффициентов разложения

{"‘ и ... ^ N }

И величин соответствующих сдвигов

Особенностью полученных Винером доказательств является то, что процесс их получения существенно различается для пространства абсолютно суммируемых функций и пространства функций с суммируемым квадратом. Кроме того, от­

сутствуют процедуры вычисления параметров сдвиговых приближений, что дела­

ет малопригодным их практическое применение.

Если область определения 91 функции К (х ) имеет бесконечную меру, то между двумя рассмотренными выше классами и не существует строгого отноше­

ния включения. Это приводит к ряду особенностей их практического применения.

Физически это означает, в частности, что если амплитуда поля описывается функ­

цией K ( x ) e L j , то поток мощности такого поля, описываемый интегралом от квад­

рата функции (К?(х)), может быть бесконечным. Для того чтобы получаемые ана­

литические представления удовлетворяли закону сохранения энергии, определим класс допустимых функций L как множество суммируемых функций с интегриру­

емым квадратом, т.е.

Такое определение наполняет параметры получаемых моделей физическим смыслом и, кроме того, позволяет продуктивно использовать и основные матема­

тические свойства пространств L j и такие как теорему Планшереля, ограничен­

ность интегралов, свойство Фурье преобразования функции пространства Z и ак­

сиому треугольника для метрик евклидова пространства Z .

Идея построения доказательной базы основана на использовании теоремы об аппроксимации сверткой в трактовке Винера, которая выявляет условия, при кото­

рых произвольная свертка функций А ( jc ) б Z и ¥ { x ) e L сколь угодно близко приближается к аппроксимируемой функции К (x)g L . Детали доказательства оп­

ределяют условия, при которых сдвиговое приближение стремится к свертке и тем самым, в силу аксиомы треугольника сколь угодно близко приближается к ^ (x )€ Z . Такие условия найдены. Они касаются выбора базисной функции разложения и способа построения сетки сдвигов, а именно:

- Фурье-преобразование базисной функции может обращаться в нуль лишь на множестве конечной меры;

- способ построения сетки сдвигов должен быть выбран так, чтобы при безгра­

ничном увеличении числа сдвигов максимальное расстояние между сдвигами асим­

птотически стремилось к нулю.

Выполнение этих условий обеспечивает возможность сколь угодно близкого приближения сдвигового многообразия (3) к аппроксимируемой функции K {x)bL . Причем общей закономерностью является увеличение точности аппроксимации с ростом числа членов разложения (3).

в ходе построения доказательной базы получена вычислительная процедура нахождения коэффициентов разложения по результатам интегрирования обратного преобразования Фурье от частного Фурье преобразований исходной функции к(и) и базисной функции f(u )\

, - 1 [•‘ (ч )!

\ = J Ą x ) d x = / 3 ‘^{a(u)} й£х= \ 3

а Q £2 f ( « ) dx, n =

(4)

где ^ / « ( “ ) du _ оператор обратного преобразования Фурье;

Ц - элемент счетной непересекающейся системы областей { Q причем каж­

дый элемент содержит одну и только одну точку Л. из сетки разложения { X и Q . n Q j = 0 для всяких i ^ j .

Практическое применение процедуры (4) часто наталкивается на значительные трудности, поэтому найдена вычислительная процедура, основанная на оценива­

нии коэффициентов разложения по методу наименьших квадратов, которая позво­

ляет определять наилучшее в смысле значения квадратической ошибки аппрокси­

мации приближение. Применение данной вычислительной процедуры сводит на­

хождение коэффициентов разложения к решению линейного векторно-матричного уравнения. Данная процедура алгоритмична, а результаты вычислений определя­

ют наилучшее (в смысле квадратичной ошибки) приближение [7]. Кроме того, можно показать, что сдвиговые модели (3) удовлетворяют свойству линейности.

Для решения уравнения теплопроводности (1) в качестве базисной функции F(x) разложения (3), на наш взгляд, предпочтительнее всего использование гауссовой фун­

кции. Данный выбор основывается на том, что гауссова функция удовлетворяет необ­

ходимому требованию к базисной (ее Фурье-преобразование не обращается в нуль на всей прямой), а кроме того, пуссоида является собственной функцией линейного ста­

ционарного уравнения теплопроводности. Поэтому в ряде случаев решение уравнения (1) можно находить как суперпозицию все тех же гауссовских функций.

В заключение приведем пример построения аналитической модели описанного выше экспериментального распределения многомодового ЛИ. В качестве базис­

ной функции выберем гауссоиду

F ( x ) = e x p [ - ( a лг^)/2] . где а - параметр формы кривой Гаусса.

Положим а = 100 (вопрос параметризации базисной функции в данной статье детально не рассматривается). Для равномерной сетки сдвигов и N = 1 0 получим модель (3) с параметрами

-ft 7; -ftJ; -ft5; - f t7; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9};

іЮ іо = 0,027).

При этом точность аппроксимации составила у / « 13,6%; при числе сдвигов N = 20 точность у/ « 9,8%, а при N = 3 0 -у / ^ 6,4%. На рис. 2 построено прибли­

жение W(x, 10) экспериментального распределения интенсивности ЛИ К(х).

Рис.2. Аналитическая модель W(x, 10) и базисная функция F(x).

Таким образом, описанный выше способ представления модели распределения интенсивности многомодового ЛИ позволяет более точно учесть особенности вза­

имодействия излучения й обрабатываемой поверхности. Тем самым повышается степень адекватности модели реальному процессу лазерного оплавления газотер­

мических покрытий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хасуи А., Моригаки О. Наплавка и напыление / Пер. с яп. В.Н. Попова; Под ред. В.С. Степина, Н.Г. Шестеркина. - М.: Машиностроение, 1985. - 240 с. 2. Ла­

зерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, И.В. Зуев, А.Н. Кокора. - М.: Машиностроение, 1985. - 496 с. 3. Григо­

рьянц А.Г Основы лазерной обработки материалов. -М .: Машиностроение, 1989. - 304 с. 4. Процессы плазменного нанесения покрытий: Теория и практика/ А.Ф. Иль- ющенко, С.П. Кундас и др.; Под ред. А.П. Достанко, П.А. Витязя. - Мн.: Научный центр исследований политики и бизнеса «Армита», - 1999. - 544 с. 5. Винер Н.

Интеграл Фурье и его приложения / Пер. с англ. Н.Я. Виленкина. - М.: Физматгиз, 1963. - 256 с. 6. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. -М .: Наука, 1965.

- 407 с. 7. Кочеров А.Л. Способ определения оптимальных коэффициентов разло­

жения при сдвиговой аппроксимации функций // Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях: Материалы первой междунар. конф. / Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси. - Минск, 1998. - Т.1. ~ С.124-127.

УД К 6 2 1 ,7 9 2

Л. М. Кожуро, Д. Н. Хилысо, А, Н. Кольцов М ОДЕЛИРОВАНИЕ М АГН И ТН О ГО П ОЛЯ

в ТЕХН ОЛО ГИ ЧЕСКО Й ЗО Н Е ЭЛЕКТРОМ АГНИ ТН ОЙ Н А П Л А ВК И

Б ел о р усск и й го с у д а р с т в е н н ы й а гр а р н ы й т ехн и чески й у н и вер си т ет М и н ск, Б ел а р усь

Расчет магнитного поля и его градиента в рабочей зоне при электромагнитной наплавке представляет собой довольно сложную задачу, так как зависит от многих факторов: конфигурации полюсного наконечника, коэффициента заполнения по­

рошком рабочего пространства, магнитных свойств порошка и детали. Известно несколько методов расчета магнитных полей: аналитический, графический и экс­

периментальный [1, 2]. В случае электромагнитной наплавки сплошных цилинд­

рических деталей (рис. 1) магнитное поле можно рассчитать аналитически, приме­

нив уравнение Лапласа [2]:

V^(p=0,

где - оператор Лапласа; <р - магнитный скалярный потенциал.

Рис. 1. К расчету магнитного поля в технологической зоне обработки.

Допуская, что длина образца достаточно велика по сравнению с его диаметром, уравнение Лапласа для среднего сечения в цилиндрических координатах можно записать в виде

1 ^ / э /

d ę

Э/

d ^ ę w

= 0 (1)

где / - расстояние от центра детали до точки, в которой определяется магнитный потенциал; а - угол, отсчитываемый от направления вектора магнитной индукции исходного магнитного поля В„.

Решение уравнения (1) методом Фурье заключается в определении постоянных коэффициентов в выражениях для потенциала в области внешнего магнитного поля (pę и внутри цилиндра ф^:

f , = 1 c , / + f cosa; (2)

^ С ^

cosa, (3)

где (р-, - соответственно скалярные потенциалы магнитного поля в области детали и пространстве рабочей зоны; Cj, С2, С3, С4 - постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Во внутренней области (i) потенциал должен оставаться конечным (при конеч­

ном поэтому €2= 0. Во внешней области (е) вдали от детали, т.е. при 1/г»1, возмущающее влияние детали на внешнее поле отсутствует, и потенциал опреде­

ляется этим внешним полем:

= ~ Я ^ - / c o s a ,

где - напряженность исходного магнитного поля; г - радиус заготовки. Отсюда следует, что С3 = -Н^.

На поверхности раздела двух сред, т.е. при / = г, выполняется как равенство потен­

циалов, так и равенство нормальных составляющих вектора магнитной индукции:

д(р.

(4) ще w - магнигаая проницаемость детали; - магнитная гфоницаемостъ внешней среды.

Перепишем выражения для потенциалов (2) и (3) с учетом полученных результатов:

= Cj * / • cosa;

ę , = \ + cosa

(5)

(6) Продифференцировав (5) и (6) по / и с учетом условий (4), получаем систему урав­

нений:

й С , = 1- н . - ^ fie

(7)

Решая систему уравнений (7), получаем 2/^0 .

С , = - Я „ C ^ = H „ . b Z J L . r \

Подставив значения найденных коэффициентов Ср Cj, С3, С4 в уравнения (2) и

W - Н -

(3) и приняв во внимание, что --- г ;- и ^ е а “■ ~75Г" » получим составляю-

о/ IĆCC

щие напряженности магнитного поля вне детали:

- i + ^ z A '

И,+Ие

c o s a .

и = - ^ = - Я

Ida K h Sina

Известно [3], что между магнитной индукцией В и напряженностью магнитно­

го поля Н существует следующая связь:

(8) где ц, - магнитаая постоянная Ю'*^ Ш м); - магнитная проницаемость среды.

С учетом (8) запишем выражения для определения составляющих магнитной индукции в пространстве рабочей зоны:

В , = 5

^е,1

в.„=-в„

y h

cosa;

[l J j

sina.

(9 )

(10) Переведем уравнения (9) и (10) из цилиндрической системы координат в декар­

товы координаты при помощи соотношений

В ^ = В ^ - cosa - • sina;

B ^ = B ^ - s i n a + B^- cosa;

x = /-cosa;

у = /-sina;

/=V

7

T

7

.

с учетом преобразований получаем

где

в = 5

"ес о

При соблюдении условий дифференцируемосга выражений ф = fl^x, у) и В = у) составляющие градиента вектора магшггаой индукции по осям координат огфеделяются как частные производные второго и перюго порядка по соответствующим направлениям:

In document Машиностроение. Вып. 16 (бет 163-172)

Outline

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР