Определение величин граничных скачков. Для определения величин скачков введем следующее требование

2yAtyBtyCtyFt

7. Определение величин граничных скачков. Для определения величин скачков введем следующее требование

V. Пусть: a₁L₁y0 a₃ L₃y 0. Тогда в силу требований IV и V из (14) получим

), ) ( , (

lim0y t  y t

 

 0t1,

), ) (

, ( lim

0yt  yt

 

 0t1,

59 1 . ) , 0

( 



 



 

  O  y

Отсюда и из (14), (17) следует, что в точках t 0

,

t 1 решение задачи (1), (2) обладает явлением граничных скачков первого порядка, причем величины скачков определяются из следующих равенств:

, 11

1 ) 1

0 ( ) , 0

0 (  a  L y

y 











 .

31 3 3 ) 1 ( ) , 1

1 y (  y ^a  ^L ^y

 

 

 



1. Касымов К.А., Нургабыл Д.Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т.40. –

№ 4 – С. 597-607

2. Касымов К.А., Нургабыл Д.Н., Уаисов А.Б. Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Украинский математический журнал. – 2013.

– №5, - С.629-641.

3. Nurgabul D. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump// Journal of Applied Mathematics. USA. Vol. – 2014 (2014), Article ID 956402 4. Дауылбаев М.К. Асимптотические оценки решений интегро-дифференциальных

уравнений с малым параметром. // Математический журнал. Институт математики МОН РК, -2008. - т.8. - №4 –C.57-63.

5. Касымов К.А., Дауылбаев М.К., Aтaхaн Н. Асимптотическое поведение решения сингулярно возмущенной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Сер.матем., механ. Алматы, № 3 (2012). -С. 28-347.

6. Нургабыл Д.Н. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с начальным скачком // Вестник Карагандинского государственного университета, серия математика. -2008, №1, С.40-47.

7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. -М., -Наука, -1973.-С110.

8. Нургабыл Д.Н. Построение решения сингулярно возмущенной краевой задачи имеющего начальный скачок // Вестник Киргизского государственного Национального университета. 2001. сер.3., вып.6., С.173-177.

Аннотация. В этой работе построено решение сингулярно возмущенной общей краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка в условно устойчивом случае. С помощью введенных начальных и граничных функций найдено аналитическое представление решения возмущенной задачи. Установлены асимптотические оценки решения рассматриваемой краевой задачи, найдены формулы для граничных скачков, порядки скачков.

Доказаны вопросы предельного перехода решения возмущенной задачи к решению невозмущенной задачи, существования явления граничного скачка при стремлении малого параметра к нулю.

Ключевые слова: малый параметр, асимптотическое поведение, сингулярно возмущенная задача, невозмущенная задача, краевая задача, явление скачка, предельный переход.

Abstract. In this paper construct a solution of a singularly perturbed general boundary value of problem for a differential equation of the third order in the conditionally stable case. Using introduced initial and boundary functions found an analytic representation of the solution of the perturbed problem.

Are established asymptotic estimates of a solution of the boundary value of problem, are found the formula for the boundary jumps, orders jumps. Are proved the issues of the limiting transition solution

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

of the perturbed problem to the solution of the unperturbed problem, the existence of the phenomenon of boundary jump at aspiration the small parameter approaches zero.

Keywords: small parameter, asymptotic behavior, singularly perturbed problem, unperturbed problem, boundary value problem, phenomenon jump, passage to the limit.

ӘОЖ 513.4

Ж. Нұрпейіс, Ж. Таласбаева

САЛУ ЕСЕПТЕРІ ЖӘНЕ АПОЛЛОНИЙ ШЕҢБЕРІ

(Алматы қ., әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті)

Аңдатпа. Салу есептері түрлендіру әдісімен, қиылысу әдісімен, алгебралық әдісімен және де басқа әдістермен шығарылады. Салу есептері туралы түсінік берілді. Аполлоний есебі математиктерді толғандыратыны көпшілікке мәлім. Жалпы жағдайда үш фигураны жанайтын фигура Аполлоний есебі деп аталады. Мақалада үш шеңберді жанайтын шеңбер және екі шеңбер мен түзуді жанайтын шеңбер қарастырылды.

Түйін сөздер: салу есептері, нүктелердің геометриялық орны, үш шеңберді жанайтын шеңбер, екі шеңбер мен түзуді жанайтын шеңбер, Аполлоний шеңбері.

Біз ұсынып отырған мақалада геометриялық салуларға және оларды шешудің әдістеріне тоқталмақпыз.

Геометриялық салулар біздің жыл санауымызға дейінгі VI-V ғасырлардың өзінде- ақ ежелгі грек математиктерінің назарында болған. Сол заманның барлық ұлы математиктері геометриялық салулармен шұғылданған. Атап айтсақ, Пифагор (б.д.д 480-420 жылдар), Евклид (б.д.д 350-250 жылдар), Архимед, Аполлоний (б.д.д III ғасыр), Папп (біздің дәуірдің III ғасыры) және де басқа математиктер.

Біздің дәуірімізге дейінгі V ғасырдың келесі классикалық есептер белгілі болды:

- дөңгелектің квадратурасы - ауданы берілген дөңгелектің ауданына тең болатын квадрат салу керек.

- кубты екі еселеу - берілген кубтың көлемінен екі есе артық болатын кубты салу керек.

- бұрыштың үшсекциялылығы туралы есеп (трисекция) - берілген бұрышты өзара тең үш бөлікке бөлу керек.

Бұл есептер сызғыш пен циркульдің көмегімен шешілмейтіні дәлелденді, соған қарамастан бұл есептер әлі күнге дейін көптеген математиктердің негізгі зерттеуінің арқауы болып келеді.

Ежелгі грек математиктері тек қана сызғыш және циркульдің көмегімен салынатын фигураларды ״нағыз геометриялық салулар״ деп ұйғарған, басқа салу аспаптарын (мәселен, транспортир, бұрыштық сызғыш т.с.с.) салу құралының тізбегіне енгізбеген. Бұл дәстүр осы кездегі геометриялық салуларда әлі де жалғасуда. Сонымен салу аспабы ретінде тек сызғыш пен циркуль қолданылады.

Сызғыш-масштабы, өлшем бірлігі жоқ, ״идеал״, бір жиекті сызғыш ретінде алынады. Мұндай сызғыштың көмегімен тек қана басы және бір нүктесі берілген сәулені немесе екі ұшы берілген кесіндіні немесе берілген екі нүктеден өтетін түзуді салуға болады.

Циркульдің көмегімен берілген кесіндіні түзудің (сәуленің) бойына көшіріп салуға және центрі берілген нүктеде, ал радиусы берілген кесіндіге тең болатын шеңберді салуға болады.

Кез келген нүктелердің жиыны фигура деп аталады. Нүкте, қос нүкте, сәуле, түзу, интервал, кесінді, шеңбер, дөңгелек т.с.с. бұлар фигуралардың мысалдары.

Берілген фигуралар бойынша және қандайда бір шарттарды қанағаттандыратын фигураны салу және мұндай есептерді шешу әдістері геометрияның конструктивтік геометрия деп аталатын бөлімін құрайды.

Салу есебінің мәдениеті салу аспаптарын дұрыс пайдаланып, салу тізбегін математикалық белгілеулермен қысқаша жазып, салынған фигураның анық, көрнекі болып, есептің шарттарын қанағаттандыруынан тұрады.

Күрделі есептерді салуда, оны қарапайым жай салуларға, алдыңғы шығарылған есептерге келтіруде көп табандылық пен қажырлылық керек. Жалпы айтқанда, жазықтықта салу есебін шешудің мазмұны мынадай:

-берілген фигуралар бойынша қандай да бір шарттарды қанағаттандыратын фигураны салу;

- салу есебінің шешімі бар болса, онда оның неше шешімі бар екенін анықтау;

- салу есебі есептің кез келген шартында салына ма немесе салу есебін шешуде есептің берілуіндегі фигураларға белгілі бір шектеулер қою қажет пе деген cұраққа жауап беру?

Егер осы үш сұраққа жауап берілсе, онда салу есебі толықтай шешілді деп айта аламыз.

Күрделі салу есептерін шығармастан бұрын ״анализ״ бен ״дәлелдеуді״ аса қажет етпейтін жай салуларға және оңай шешілетін салу есептеріне тоқталған жөн және бұл салуларды орындау керек, оған себеп, бұл жай салулар көзді салу есебіне үйретеді және қолды салу есебіне машықтандырады.

1 - жс (жай салу). Берілген АВ кесіндісін қақ бөлу.

2 - жс. а түзуіне а түзуінде жататын А нүктесінен перпендикуляр тұрғызу.

3 - жс. а түзуіне а түзуінен тысқары жататын А нүктесінен перпендикуляр түсіру.

4 - жс. Берілген бұрышты қақ бөлу немесе бұрыштың биссектрисасын салу.

5 - жс. Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.

6 - жс. Берілген АВ кесіндісін тең n-бөлікке бөлу.

7 - жс. Берілген АВ кесіндісінің

𝑝 𝑞 ⁄

бөлігін салу, мұндағы 𝑝 және 𝑞 натурал сандар.

8-жс. Шеңберге оның берілген А нүктесінен жанама жүргізу.

9-жс. Шеңбердің немесе шеңбердің доғасының центрін салу.

10-жс. Берілген үш кесіндіге пропоционал төртінші кесіндіні салу, демек, егер 𝑎, 𝑏, 𝑐 кесінділері берілсе, онда х=аb/с кесіндісін салу керек.

Осы соңғы салуды орындап көрсетелік: 𝑥 = 𝑎𝑏 𝑐⁄ өрнегін түрлендіріп, мына түрде жазамыз: 𝑥/𝑏 = а/с.

Салу:

1. Кез келген О нүктесінен ОА^’,ОВ^’- сәулелерін (1-сызба);

2. [ОА] = а, А ∈[ОА);

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

62 3. [ОС] = с, С ∈ [ОВ);

4. [СВ] = b, В ∈[ОВ);

5. (АС)- түзуін және АС түзуіне параллель ВD түзуін;

Сонда АD кесіндісі ізделінді кесінді: АD = 𝑥. Шынында да, Фалес теоремасы бойынша 𝑎/𝑥 = 𝑐/𝑏, бұдан 𝑥 = 𝑎𝑏/𝑐.

11-жс. а және b кесінділерінің геометриялық ортасы, демек, 𝑥 = √𝑎𝑏 кесіндісін салу.

12-жс. Гипотенузасы және катеті бойынша тікбұрышты үшбұрыш салу.

Нүктелердің геометриялық орны. Геометриялық фигура әр түрлі тәсілдермен, мәселен, қайсыбір фигуралардың қиылысуы, немесе бірігуі ретінде, немесе белгілі бір қасиеттің тұжырымдамасы ретіне берілуі мүмкін.

Бір немесе бірнеше ортақ қасиеттері бар барлық нүктелердің жиыны нүктелердің геометриялық орны, қысқаша НГО деп аталады. Бұл анықтамадан қарастылылатын нүктелердің геометриялық орнының аталған қасиеттен басқа қасиеті жоқ деген пікір тумайды.

Қарапайым НГО-ға мысалдар келтіреміз:

1.кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан НГО-сол кесіндінің орта перпендикуляры (2-сызба);

2.берілген О нүктесінен бірдей а қашықтықта орналасқан НГО-центрі О нүктесі, радиусы а болатын шеңбер (3-сызба);

3.берілген бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан НГО- берілген бұрыштың биссектрисасы (4-сызба);

4. Үшбұрыштың төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан НГО-үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі. Бұл НГО жалғыз нүктеден тұрады.

5. Үшбұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан НГО- үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі. Бұл НГО жалғыз нүктеден тұрады.

6. Берілген а түзуінен бірдей һ қашықтықта орналасқан НГО, а түзуіне һ қашықтықта параллель болатын екі l1 және l2 түзулері.

7. Қиылысатын екі түзуден бірдей қашықтықта орналасқан НГО – бұл осы екі түзу қабырғалары болатын бұрыштың биссектрисасы.

8. Берілген кесінді берілген бұрышпен көрінетін НГО.

9. Берілген екі нүктеден осы нүктелерге дейінгі ара қашықтарының квадраттарының айырымы берілген кесіндіге тек болатын НГО.

10. Берілген екі нүктеге дейінгі ара қашықтықтарының квадраттарының қосындысы берілген кесіндінің квадратына тең болатын НГО.

Аполлоний шеңбері. Берілген А және В нүктелеріне дейінгі арақашықтықтарының қатынасы берілген оң 𝜆 (𝜆 ≠ −1) санына тең болатын НГО- ны табу керек.

Берілген АВ түзуінде ізделген НГО-да жататын екі нүкте болады: оның біреуі АВ кесіндісін λ қатынасында іштей бөледі, ал екіншісі АВ кесіндісін λ қатынасында сырттай бөледі :

АЕ: ЕВ = 𝜆 (1) А𝐷: 𝐷В = 𝜆 (2)

Айталық, F нүктесі ізделінді НГО-ның кез келген нүктесі болсын яғни

А𝐹: 𝐹В = 𝜆 (3) Жазықтықтың F нүктесін 𝐴, 𝐸, 𝐵, 𝐷 нүктелерімен қосып 𝐴𝐹𝐵 үшбұрышын аламыз. Бұл 𝐴𝐵𝐹 үшбұрышында (1) және (3) қатынастар орындалады, демек:

А𝐹/𝐹В/= АЕ/ЕВ (4) (4) формула 𝐴𝐹𝐵 үшбұрышында Е нүктесі қарсы қабырғаны үшбұрыштың іргелес қабырғаларына пропорционал етіп бөлетінін көрсетеді, демек FЕ кесіндісі AFB үшбұрышының F төбесінің биссекрисасы. (2) және (3) қатынастардан:

𝐴𝐷/𝐷𝐵 = 𝐹𝐴/𝐹𝐵 (5) (5) формула 𝐹𝐷 кесіндісі 𝐴𝐹𝐵 үшбұрышының 𝐹 төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы болатынын білдіреді. F бұрышының ішкі және сыртқы биссекртисалары өзара перпендикуляр болатынын ескертсек, онда ізделінген НГО-ның кез келген 𝐹 нүктесі диаметрі 𝐸𝐷 болатын шеңберге тиістіболатыны байқаймыз..

Керісінше де дұрыс: диаметрі 𝐸𝐷 болатын шеңбердің кез келген 𝐹 нүктесі үшін (6-сызба)

А𝐹: В𝐹 = 𝜆Егер F нүктесі АВ түзуіндегі Е және D нүктелерімен беттессе, онда 𝐴𝐸: 𝐸𝐵 = 𝜆.

Демек бұл жағдайда Е және Д нүктелері АВ кесіндісін𝜆 қатынасында іштей және сырттай бөледі. Айталық, 𝐹 нүктесі ізделген НГО-ның Е және 𝐷 нүктелерінен басқа кез келген нүктесі болсын. 𝐹 нүктесін 𝐴, 𝐸, 𝐵, 𝐷 нүктелерімен қосып, В нүктесінен 𝐴𝐹 қабырғасына параллель 𝐶𝐾 кесіндісін жүргізіп (𝐾 ∈ [𝐹𝐷], 𝐶 ∈ (𝐸𝐹)), 𝐵𝐸𝐶 және 𝐴𝐸𝐹

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

үшбұрыштарын аламыз. Бұл үшбұрыштар ұқсас: ∆𝐵𝐸𝐶 ∼ ∆𝐴𝐸𝐹. Бұл үшбұрыштардың ұқсастығынан

𝐵𝐸 𝐴𝐸⁄ = 𝐸𝐶 𝐸𝐹⁄ = 𝐵𝐶 𝐴𝐹⁄ , бұдан

𝐴𝐹 𝐵𝐶⁄ = 𝐴𝐸 𝐵𝐸⁄ = 𝜆. (6) BKD және AFD үшбұрыштары ұқсас: ∆ 𝐴𝐹𝐷 ∼ ∆𝐵𝐾𝐷 Бұл үшбұрыштардың ұқсастығынан

𝐴𝐹 𝐵𝐾⁄ = 𝐹𝐷 𝐾𝐷⁄ = 𝐴𝐷 𝐵𝐷⁄ , бұдан

𝐴𝐹 𝐵𝐾⁄ = 𝐴𝐷 𝐵𝐷⁄ = 𝜆 . (7) (6) және (7) қатынастардан: 𝐴𝐹 𝐵𝐶⁄ = 𝐴𝐹 𝐵𝐾⁄ , бұдан 𝐵𝐶 = 𝐵𝐾. Олай болса 𝐶𝐹𝐾 үшбұрышында 𝐵𝐹-медиана, ал 𝐶𝐹𝐾 бұрышы тік, себебі < 𝐶𝐹𝐾 =< 𝐸𝐹𝐷 және 𝐸𝐹𝐷 бұрышы 𝐸𝐷 диаметріне тіреледі.Сонымен, берілген А және В нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының қатынасы берілген 𝜆 санына (𝜆 ≠ 0, 𝜆 ≠ 1) тең болатын нүктелердің геометриялық орны 𝐸𝐷 кесіндісі диаметрі болатын шеңбер, мұндағы Е нүктесі АВ кесіндісін 𝜆 қатынасында іштей, ал 𝐷 нүктесі АВ кесіндісін 𝜆 қатынасында сырттай бөледі. Бұл шеңбер Аполлоний шеңбері деп аталады.

𝜆 саны екі 𝑝 және 𝑞 кесінділерінің қатынасы ретінде берілген жағдайда Аполлоний шеңбері қалай салынатынын салып көрсетелік. Алдымен АВ кесіндісін 𝜆 = 𝑝: 𝑞 қатынасында іштей және сырттай бөлетін 𝐸 және 𝐷 нүктелерін салу керек. Салу барысы төмендегідей:

1. 𝐴𝐵 = 𝑎 кесіндісін (7-сызба) ; 2. Кез келген 𝐴𝑅 сәулесін;

3. 𝐴𝑅 сәулесінде 𝐴𝑃 = 𝑝, 𝑃𝑄₁ = 𝑞 = 𝑃𝑄₂кесінділерін;

4. 𝑄₁және 𝑄₂ нүктелерін 𝐵 нүктесімен қосу;

5. 𝐵𝑄₂ кесіндісіне параллель 𝐸𝑃 кесіндісін (𝐸 ∈ (𝐴𝐵)), 𝐵𝑄₁ кесіндісіне параллель 𝑃𝐷 кесіндісін (𝐷 ∈ (𝐴𝐵));

𝐸 және 𝐷 нүктелері АВ кесіндісін іштей және сырттай 𝑝: 𝑞 қатынасында бөледі, себебі 𝐴𝐸 𝐸𝐵⁄ = 𝐴𝑃 𝑃𝑄⁄ ₂ =𝑝 𝑞⁄ ,

𝐴𝐷 𝐵𝐷⁄ = 𝐴𝑃 𝑄⁄ ₁𝑃 = 𝑝 𝑞⁄ . 6. 𝐸𝐷 кесіндісінің ортасы 𝑂 нүктесін: 𝐸𝑂 = 𝑂𝐷;

7. Ш(𝑂, 𝑂𝐸) шеңберін;

Сонымен 7-сызбадағы Ш(𝑂, 𝑂𝐸) шеңбері ізделінген Аполлоний шеңбері.

Аполлоний есебі. Берілген үш шеңберді жанайтын төртінші шеңберді салу керек.

Аполлоний бұл есепті шығарған дейді-мыс, бірақ бұл есептің шығару жолы бізге жетпеген, жоғалған. Қазіргі заманда Аполлоний есебін негізінен инверсия әдісімен шешеді,бірақ Аполлоний заманында инверсия түрлендіруі болған жоқ, сондықтан бұл

есепті Аполлоний қалай шешті деген ой математиктерді қатты мазалауда.

Математиктердің мақсаты: Аполлоний шешімін қалпына келтіру. Бұл проблема толықтай әлі шешімін тапқан жоқ. Біз бұл мақалада есептің сызбасымен шектеліп, қысқа шешіммен шектелеміз. 8-сызбада үш шеңбер берілген (көкпен боялған). Осы шеңберлерді жанайтын шеңбер салу керек.

1,2 және 2,3 және 3,1 шеңберлерге ортақ іштей сызылған жанамалар жүргізсек, онда олардың қиылысу нүктелері АВС үшбұрышын анықтайды. АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбер берілген үш шеңберді жанайтын ізделінді шеңбер. Сонымен қатар АВС үшбұрышының биссектрисалары берілген шеңберлерді А^’ В^’С^’ нүктелерінде қияды. Осы А^’В^’С^’ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер де берілген үш шеңберді жанайтын ізделінді шеңбер

Келесі мақаламызда бұл есептің әртүрлі варианттарын қарастырып, әртүрлі әдістермен ізделінді фигураны салып көрсетеміз.

1. Нұрпейіс Ж.,Көшербаева Ұ.,Таласбаева Ж., Үшбұрыштың тамаша нүктелері және сызықтары. Медиана //Хабаршы ҚазҰПУ, №1(49), 2015,49-54 бет

2. Коксетер Г.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией М.,Наука, вып.14., 1978г.,224 стр.с илл.,(Cерия: «Библиотека математического кружка», выпуск 14, перевод с анг.)

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б., Геометрические построения на плоскости, М.,Учпедгиз.,1987г. 265 стр.

4. Шәклікова С., Нұрпейіс Ж., Қалдыбаева Ғ, Геометрия, 9-сынып, 3 түзетілген басылым, Алматы, Мектеп, 2013.144 бет: илл.

Аннотация. Задачи на построение решаются применением один из следующих методов:

метод пересечений, метод преобразований,алгебраический метод. Сформулирована в общем виде задача на построение. В работе рассматривается следующие задачи:построить циркулем и линейкой окружность, касающуюся трех данных окружностей и построить окружность, касающуюся двух данных окружностей и прямую. Привлекательная формулировка сделали эту задачу очень популярной.

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Ключевые слова: Задача на построение ,геометрическое место точек, окружность, касающуюся трех данных окружностей, окружность, касающуюся двух данных окружностей и прямую;окружность Аполлония.

Abstract. The construction method of conversion reports, the crossing method and the algebraic method is deduced by other methods. Reports on the construction and clarification. Excluded Apolloni report calendartype more and more popularity. Three figures in the General case is a report of Apollonia figure, adjacent to the building. The article describes two circles and the circle adjacent to the building, adjacent to the building and development of a range of three laps.

Keywords: construction reports, geometrical places of points, the three round circles, adjacent to the building,adjacent to the building and development of a range of two circles, the circle of Apollonia.

ӘОЖ 372.851.02

Д. Рахымбек

БАСТАУЫШ МЕКТЕПТІҢ ЖАҢА «МАТЕМАТИКА»

БАҒДАРЛАМАСЫНА ТАЛДАУ

(Шымкент қ., Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық институты)

Аңдатпа. Мақалада жаңадан қабылданған бастауыш мектеп математика бағдарламасына талдау жасау негізінде, ондағы кемшіліктер көрсетілген: бағдарламада оқу жүйесін ұйымдастырудың жалпы педагогикалық мәселелеріне басымдық берілген;

математика пәнін оқытудың өзіндік ерекшеліктері көмескі баяндалған; бастауыш мектептегі

«Математика» пәнінің мазмұны ашылмаған; «Оқу мақсаттар жүйесінде» оқыту мақсаты ма, әлде әдістемелік ұсыныс па, жаттығулар ма екендігін ажырату қиын; «Ұзақ мерзімді жоспар» дидактика мен әдістемелік қағидаларға сәйкес келмейді.

Түйін сөздер: Бастауышта математиканы оқыту, жаңартылған математика бағдарламасы, оқу мақсаттар жүйесі, «Математика» пәнінің мазмұны, ұзақ мерзімді жоспар.

Әрбір заманның ғылымы мен техникасының, эканомикасының даму қарқынына лайықты оқу жүйесі мен білім мазмұнына өзгерістер енгізіп жататындығы да заңды құбылыс. Мектептегі коғамдық-гуманитарлық пәндердің мазмұны елдегі болып жатқан саяси, мәдени, экономикалық жағдайларға байланысты жиірек өзгеріске ұшырап жатса, жаратылыстану-математикалық пәндер мазмұны олай жылдам өзгеріске ұшырай алмайды.

Біздің еліміздегі жаратылыстану-математикалық пәндер мазмұны әлем елдеріндегі оқу бағдарламаларына негізінен сәйкес келеді. Әрине кейбір елдердің оқу бағдарламаларынан аздап ауытқулар болуы мүмкін. Жаратылыстану-математикалық пәндер мазмұнына өзгерістер енгізуде сақтық керек.

Қазіргі кезде орта білім беру мазмұнын жаңарту деген науқан қарқынды жүруде.

Ол әрине әдеттегідей бастауыштан басталды. Осы уақытқа дейін мектепте оқытылып келе жатқан бастауыш мектеп бағдарламаларының қандай кемшіліктері бар. Жаңа бағдарлама одан қандай артықшылығымен ерекшеленеді, не себепті ол бағдарлама мектепке енгізіліп жатқандығы туралы негізделген, дәлелді мәлімет болған емес.

Енгізіліп жатқан оқу бағдарламалары шын мәнінде жаңа ма?

Басқа оқу пәндерінің мазмұны туралы кесіп пікір айтуды сол саланың мамандарының құзырына қалдырып, мен бастауыш білім берудегі ең негізгі пәндерінің бірі математика бағдарламасы туралы өз көзқарасымды білдірейін.

«Жаңартылған» бағдарламаның құрылымынан бастауыш мектептің «Математика»

пәнінің мазмұнын анықтап беруге қарағанда, оқу жүйесін ұйымдастырудың жалпы педагогикалық мәселелеріне басымдық берілгені байқалады [1]. Бірақ оның ішінде бастауышта математика пәнін оқытудағы математикалық түсініктерді қалыптастыру, ережелер мен заңдылықтарды игеру, есеп шығаруға үйрету, жаттығулар мен тапсырмалар топтамасын іріктеп алу т.б. сабақта күнделікті орындалатын жұмыстар туралы ештеңе айтылмаған.

Бағдарламада бастауыш мектептегі «Математика» пәнінің мазмұны тіптен ашылмаған. Барлық бастауыш мектеп математика пәнінің мазмұны ширек беттік кесте түрінде берілген. Ол кестені ашып көрсететін болсақ, онда оған бүкіл мектеп математика курсының оқу мазмұнын сыйдыруға да болады.

Жаңа бағдарлама бастауышта оқытылатын материалдарды бөлімдер және бөлімдер ішіндегі бөлімшелер бойынша орналастырған. Бірақ бөлімшелер құрамына қандай тақырыптар мен ұғымдар енетіндігі белгісіз күйде қалған. Бастауышта оқытылатын материалдардың толық тізімі берілмегендіктен мектепке дейінгі және орта мектеп бағдарламаларын түзуде бұл жаңа бағдарламаны басшылыққа алу мүмкін емес!

Бастауыш мектеп математика оқулықтарын жазатын авторларға да қиын болары сөзсіз.

Бағдарламадағы «Оқытудың мазмұнының» «1 Сандар және өлшемдер» бөліміндегі

«1.1 Натурал және рационал сандар» бөлімшесінің өзі «Натурал сан» және «Рационал сан» деп аталынатын сандық жүйенің екі күрделі тарауларынан тұрады. «Натурал сан»

тақырыбын қамтып тұрған ұғымдардың (натурал сандардың нумерациясы, натурал сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар, салыстыру, еселік, бөлінгіштік, жай және құрама сан, өзара жай сан, қосындының және көбейтіндінің бөлінгіштік белгісі, натурал санның бөлінгіштік белгілері, ЕКОЕ, ЕҮОБ т.б.) бастауышта қайсысы қарастырылатындығы көрсетілмеген. Сондықтан бағдарламаның сыныптарға арналған оқыту мақсаттары бойынша білім, білікті және дағдыларды қалыптастыруға арналған оқу мақсаттарын анықтауға да, мұғалімге өз жұмысын жоспарлауға да, оқушылар жетістіктерін бағалауға да мүмкіндік беруі күмәнді[1, 12б].

Ал «Рационал сандар» тақырыбының мазмұны одан да күрделі екендігі белгілі.

Жаңартылған бағдарламадағы «Натурал сан» ұғымы мен оларға қолданылатын амалдар әр түрлі бөлімшелерде қарастыру көзделген. Бағдарламаны түзушілердің бастауыш мектепте бұл «Натурал сандар және оларға қолданылатын амалдар» деген тақырыппен беріліп, оқыту концентрлі негізде құрылатынын ескермеген (білмеген) болса керек.

Жаңартылған бағдарламада жаңадан «жай бөлшек», «бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу және азайту» жоспарланып отырғандықтан бөлімше «1.1 Натурал және рационал сандар» деп аталған болар. Бөлшек сандардың элементтерін оқыту бағдарламасына енгізілгенмен ол «рационал сандар» ұғымының көлемін толық анықтай алмайды.

Осындай жағдайлар туралы «Алгебралық өрнектер мен түрлендірулер»,

«Теңдеулер мен теңсіздіктер» т.б. бөлімшелері жөнінде де айтуға болады. Бұл тақырыптардың да бастауышта қандай ұғымдары қарастырылатыны белгісіз.

Жалпы алғанда бастауышта «Алгебра», «Геометрия» емес, алгебра және геометрия элементтері үйретіледі.

Жаңартылған «Математика» бағдарламасының ерекше жаңалығы

«Математикалық модельдеу» бөлімі мен оның «4.1 Математикалық тіл және математикалық модель» бөлімшесінің болғандығында болса керек.

Дәстүрлі «Математика» бағдарламасында да «Математикалық моделдеу» ұғымы бар, ол айқын емес түрде оқыту мазмұнымен біте қайнасып жатады, онсыз

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

математикалық білімнің мән-мағынасы ашылмайды, оларсыз білімдердің игерілуі де мүмкін емес. Мектепте математикалық модельді математикалық білімдерден бөлек қарастыруға болмайды. Математиканы оқыту үдерісінде мәселен, заттық математикалық модельдер (куб, параллелепипед, шар т.с.с. модельдері) және дерексіз математикалық модельдер (математикалық белгілеулер мен символдар, формулалар, графиктер т.б.) оқыту құралы ретінде де, оқу объектісі ретінде де кең түрде қолданыс табады.

Математикалық есептің өзі де модель. Математикалық тіл мен математикалық модель арасында үлкен шекара да жоқ.

Мектепке «Математикалық модель» тақырыбын енгізіп жатырмыз деп бізді таң қалдыруға болмайды. Ол бізге жаңалық емес.

Бұл бағдарламаны жасаушылардың тағы бір үлкен жетістік ретінде көрсеткісі келетіні «Оқу мақсаттар жүйесі». Ондай мақсаттарды әрбір мұғалім әр сабаққа арнап өздері-ақ жоспарлап та жүр. Сол «Оқу мақсаттар жүйесін» оқысаң, оның ішінде «сөз саптауы» келіспей тұрғандары да, түсінуге қиындары да, оқыту мақсаты ма, әлде әдістемелік ұсыныс па, немесе тапсырмалар мен жаттығуалар жиынтығы ма екендігін ажырата алмайтындары да баршылық. Оқу мақсаттарының сыныптар бойынша орналасу ретінде де бірінен бірі туындайтындай сабақтастық жоқ.

Бағдарламада «Оқу мазмұны» дәл көрсетілмегендіктен «Оқу мақсаттар жүйесін»

қалай анықтағаны да белгісіз. «Дәстүрлі бағдарламадан ерекшелігі бар» деп жар сала жарнамалау үшін жасалынған жасандылық сияқты.

Ал ұсынылып жатқан бастауыш мектептің «Математика» бағдарламасы, не пән бағдарламасы болуға жарамайтын, не әдістемелік құралға жатпайтын, не мұғалімге арналған ұсыныстар топтамасы болып жарытпайтын белгісіз бір дүние болып шыққан.

Бағдарлама бойынша «Оқу мақсаттар жүйесі» негізінде «Ұзақ мерзімді жоспар»

түзіледі (біздің жылдық жоспарымыз). Ол тоқсандарға бөлінген. Бірақ онда біздегі сияқты әр тоқсанда өтілетін тақырыптар мен ол тақырыптарға бөлінетін сағат сандары көрсетілмейді. Оның орнына бөлімшелер бойынша орналастырылған мақсаттар тізбегі келтіріледі.

Дәстүрлі математика бағдарламасына сәйкес жасалынған жылдық жоспарда математиканың әрбір тақырыбы бірінен кейін бірі туындайтын бірізділік пен өзара сабақтастықты сақтай отырып, бастауышта оқыту концентрлі (немесе осы бағдарламаны насихаттаушылардың өздері айтып жүргендей спиральды деуге де болады) түрде жүзеге асырылатындай етіп жасалынатын.

«Жаңартылған» бағдарлама бойынша жасалынған «Ұзақ мерзімді жоспар» «Оқу мақсаттар жүйесінің» өзін басқаша ретпен қайта орналастыру ғана болып шыққан.

Бағдарламада «Ұзақ мерзімді жоспар» 1-сынып үшін ғана түзілген. Демек, енгізіліп жатқан бағдарлама әлі толық бітпегенде сияқты!

«Ұзақ мерзімді жоспардың» І-тоқсаны «Өзім туралы»,«Менің мектебім», «Менің отбасым және достарым», «Бізді қоршаған әлем» деген «Ортақ тақырыптарға» бөлінген.

Басқа тоқсандар да сондай. Олардың әр қайсысының атына лайықты математика бағдарламасының ішінде ортақ ешнәрсе жоқ. Мақсаттар жүйесінің де осы ортақ тақырыптарға байланысы көрінбейді. Ортақ тақырыпқа сәйкес оқу мақсаттарын жүзеге асыру кезінде осындай тәрбиелік мәселелерге көңіл бөлінуі керек шығар деп ойлай қояйын десең, тәрбие жұмысы кешенді түрде жүргізілуі керек еді ғой дейсің. Математика пәнінің білім берумен бір мезгілде мұндай тәрбиелік мәселелерді тиімді жүргізу мүмкіндігі де мол.

«Ұзақ мерзімді» жоспарға мұндай «Ортақ тақырыптар» енгізіліп, әрлендірілуі де, өзіміздің жылдық жоспарымыздан артық етіп көрсеткісі келген жасанды тірлік-ау шамасы деген ой туады.

Әйтпесе бағдарламада оқушылардың математикалық білімдер мен дағдыларды меңгеру туралы жартымды еш нәрсе де жоқ. Ал математиканы оқыту үдерісінде тәрбие беру мүмкіндіктері тіптен де ашылмаған.

Мен 1-сыныптың І, ІІ,ІІІ-тоқсандарының кодтық белгілеріне сәйкес оқу мақсаттарын қойып шықтым. Сонда байқағаным І-тоқсанның алғашқы сабақтары геометриялық фигуралармен таныстырудан басталады екен (қатарынан 5 мақсат:

1.3.1.1; 1.3.1.2; 1.3.1.3; 1.3.1.2, 1.3.2.5). Мектеп есігін жаңа ашқан балалардың ең алғашқы сабақтардың өзінде-ақ бүкіл мектеп курсында оқытылатын барлық геометриялық фигуралар туралы түсінігін қалыптастыру, оларды тани алатындай дәрежеге жеткізу мүмкін болатын болса, онда бүкіл мектеп жүйесінің үлкен жетістігі болған болар еді, әрине. Бірақ 1.3.1.2 мақсаты не себепті біреуден кейін екінші рет қойылып тұрғаны түсініксіз.

«Осыдан кейінгі алтыншы мақсат «1.2.4.1 Жиындарды олардың белгілері бойынша классификациялау (аттың түсі, формасы, көлемі)» деп қойылады. Оқушыларға алдымен «жиын», «жиынның элементтері», «жиынның белгілері», «классификациялау»

түсініктерімен таныстыру мақсаты қойылмайма екен?

Дәл сондай, 1-сынып партасына енді отырған оқушы әлі санауды үйренбестен, керек десеңіз цифрлар жазып та, танып та дағдыланбастан, «сан түзуінің» не екенінен хабары болмай тұрып-ақ қалайша «1.4.1.1 Цифрлар мен сандарды ажырата білу, бір таңбалы сандарды түрлі тәсілдермен (нүктелер жиынтығымен, таяқшалармен және т.б.) көрсету, сандық түзудің бойынан көрсету» деген 7-мақсатты, одан кейін «1.4.1.4 Сандардың қосындысы мен айырмасын, сандарды салыстыруды (артық/кем), көршілес сандарды, сандық аралықтарды, сандық қатарларды көрсету үшін сан түзуін пайдалану» атты 8-мақсатты игеруге кіріседі?

«1.1.1.1 Натурал сан және 0 туралы түсінік болуы, санның құрылуы жолы мен кұрамын білу, 10-ға дейінгі сандарды оқу, жазу» мақсаты қалайша әр түрлі үш бағдарламаға сілтеменің «1.1. Натурал және рационал сандар», «1.1.Геометриялық фигуралардың өзара орналасуы», «1.2. Сандармен амалдар орындау» құрамына енеді?

Және ол мақсат неге «1.1.1.2 10-ға дейінгі сандарды тура және кері санау, олардың натурал сандар қатарындағы реттік нөмірін анықтау» мақсатын орындаудан бұрын тұруы керек? Өздері «10-ға дейінгі сандарды оқу, жазуға» енді үйрене бастаса, «натурал сан» туралы түсінігі қалайша бірденнен бола қойсын? Осыған дейін 0 туралы ешқандай мәлімет болмаса, ол туралы қалай түсінік болады?

«Бір таңбалы сандарды қосу кестесін құру және азайтудың сәйкес жағдайларын қолдану» мақсаты орындалғаннан кейін, «Қосу амалы заттар тобының бірігуі және сан түзуінде солдан оңға қарай қадымдап жылжу ретінде, азайту амалын кему және сан түзуінде оңнан солға қарай қадымдап жылжу ретінде түсіну» мақсатының келгенін көріп мектепте бала оқытып жүрген адамдар жазған ба деп те ойлап қаласың.

Бұл «Ұзақ мерзімді жоспар» дидактика мен әдістеме ғылымдарының ешқандай қағидаларына сәйкес келмейді. Айта берсе келеңсіздіктер жеткілікті. Осындай бір қайнауы ішінде, шала бағдарламамен эксперимент өткізуге қалай батылдары барып отырғанына таңым бар. Бүлдіршіндерімізге обал болмай ма?

Авторлар бұл ұзақ мерзімді жоспар ғой, оның негізінде орта мерзімді жоспар жасалынады, онда барлығы ескеріледі деп айтуы да мүмкін.

Бастауыш мектептің «орта» және «қысқа мерзімді» жоспарлар үлгісімен танысып шығу мүмкіндігі бола қойған жоқ. Бірақ Зияткерлік мектептердегі қолданыста жүрген

«орта мерзімді» жоспарымен таныстығым бар еді. Бастауыш мектепте оқытуға арналған

«орта» және «қысқа мерзімді» жоспарлар үлгісі де осы Зияткерлік мектептердегідей кейіпте болмаса игі еді деп тілейсің.

In document Просмотр «Том 55 № 3 (2016): Вестник КазНПУ им.Абая. Серия: физико-математические науки» | «Физико-математические науки» (бет 59-79)