В с т а т ь е в в е д е н о п о н я т и е б и н а р н о г о о т н о ш е н и я коммутативности элементов группы и изучены его свойства
Основы тюрии сравшний в группах изложены в монографии Ишссы Павлюк [1, с. 53] и работе [2]. Сравнение формализовано в математике с помощью математического понятия «отношение». В теории групп, как и теории чисел, рассматриваются в основном бинарные отношения:
сравшния на равенство (символ сравшния на шравенство (символ “Ф”);
сравшния чисел на равенство остатков при делении чисел на одно и тоже число - сравшние по модулю шкоторого числа. Это последше теоретико- числовое сравшние, введённые в математику К. Ф. Гауссом (1777-1855).
Впервые сравшния на элементах алгебраических систем были рассмотрены А. И. Мальцевым (1909 - 1967) в работе [3].
В статьях [4, 2] и монографиях [5, 1] заложены начала исследованиям сравнений на элементах алгебраических систем относительно новых теоретико-групповых бинарных отношений. Алгебраические уравшния над числовыми системами (им обязана в своем становлении и развитии алгебра) - это сравнения с переменными аргументами относительно бинарного отношения равенства “=” . А решения каждого из них, (если, конечно, таковые существуют) рассматриваются с точностью до элементов класса эквивалентности по данному отношению, которому принадлежат решения.
Термин “уравшние” характериз)ет числовые сравшния относительно отнош ения равенства. Для более общ их отнош ений на элементах алгебраических системах будем использовать термин “сравшние”.
В работе объектом исследования являются бинарные сравнения на элементах произвольной группы относительно отношения коммутативности II 11
^ . Отношением коммутативности связаны все элементы каждой абелевой группы. Элементы числовых систем обладают этим отношением.
Каждая группа обладает ш пустым множеством пар своих эжментов, которые связаны отношением коммутативности. Таким образом, есть достаточное количество реальных примеров, где могут найти приложения исследования свойств групповых сравшний относительно рассматриваемого отношения.
т ш ш ш а т ш ш ш в ш ш е ш ш ш т г а ш е ш е ш ш е т н Среди бинарных отношений на элементах произвольной группы наиболее простым отношением является отношение коммутативности, рассматриваемое на алгебраической системе. Выберем мультипликативную группу G в качестве представителя алгебраических систем.
Определение. Элементы х и у принадлежащие группе G , связаны
■1 --II
отношением fc= коммутативности на элементах группы G тогда и только тогда, когда имеет место сравжние х - у = у - х относительно отношения равенства " = 11 элементов группы G и основной алгебраической операции умножения " ■ " заданной на элементах группы, т. е.
d e f
(1 )(х к= у ) ( ху = у х ) — ан али ти ческое зад ан и е отнош ения коммутативности.
Очевидно, если верна формула
(2) (V x ,у G G) ( х к= у <=> (х у = у х )) , то гр уп п а G н азы в а ет ся коммутативной или абежвой (в честь норвежского математика Нильса Абеля (1802 -1829)).
Понятно что отношение “ t = ” на эжментах группы G является бинарным отношением, оно связывает пары {х, у) элементов группы, удовлетворяющие условию коммутативност х у = у х . Пары {х,у),{а ,Ь ) элементов х, у и а, Ь берутся из множества G XG — G2 декартового произведения. Известно, что ({ж, у) = (a,b)) (х = а, у = Ь). По этой причиж равные пары образуют класс эквиважнтности по отношению равенства, на множестве G2, где задаются групповые бинарные отношения.
Лемма. Отношение “ к= " коммутативности, заданное на элементах группы G , является:
а) рефлексивным, т.е. (Va Е G ) ( a t = а);
б) симметричным, т.е. (Va,b € G) {^(а к= b) <=> (й к= а ) ) .
Доказательство. Поскольку (Va Е G )(a- а = а ■ а ), то на основании оп ределения зак л ю ч аем , что лю бой элемент св язан отнош ением коммутативности с собой, т.е. (a k= а ) . Пусть теперь (а к= Ь). Из сравжш я (а к= Ь) и определения следит, что ab = Ьа. Если последже равенство записать в виде ba = ab (что след и т из отношения симметричности, которому удовлетворяют равные множества), то на основании определения будем иметь к= а ) % (Ьа = аЬу
Лемма доказана.
Замечание. Отношение “ fc= ” коммутативности элементов произвольной группы не является транзитивным. Действительно, достаточно указать конкретную группу G такую, чтобы на её элементах ж была бы выполшна формула ((а к= к= с )) ^ (а к= с), т.е.
у<’
ш е т н е ш ш ш ш ш н ш Е т п т ш а ш ш ш е в н ш в о в ш (За,Ь,с £ & ) ( ( а k= b ) & ( b k= с ) ) => (a k= с ) - формула ложная.
Пусть S3 = {е, а, а2, b, ab, а2 Ь]— группа преобразований правильного треугольника, ж меняя ориентации плоскости, с гештическим кодом Ъ2 = а 2 = е,Ьа = а2Ь.Так как S3- группа, то она обладает шйтральным э л е м е н т о м е . О ч е в и д н о , (Va,b Ё 53} ((ea = ae)8i(be = eb )) , но Ъа = а 2 Ъ Ф аЪ. О тсю да следует, что для элементов я , й формула ( 3 a A e E S 3) ( ( a t = e)& (b fc= е) =» (a k= b ) ) ложная.
Вывод. Отношение “ к= " коммутативности, заданное на элементах произвольной группы G т является отношением эквивалентности, оно лишь рефлексивно и симметрично, т.е. отношение “ к~ ” является отношением толерантности.
Возникает вопрос: на элементах какой группы отношение “ к~ ” будет отношением эквивалентности? Анализ формулы (2) даёт возможность сформулировать следующий результат.
Теорема. Группа G тогда и только тогда абелева, когда бинарное отношение “ ” коммутативности заданное на элементах этой группы является отношением эквивалентности.
Доказательство. Необходимость. Пусть группа G абелева. Тогда (Уа,Ь Ё G)(ab = baj-Отсюда из определения следугт, что (Уа,Ь Е G) (а,. = Ь).
Очевидно,
(Va е G )(a к= а), (Уа,Ь G G) fc= fc) =» (й к= а )), и
(Уа,Ь, с е G) ((а к= й)&(й fc= с) =» (а к= с )) , т . е . о т н о ш е н и е
“ к ~ " на элементах группы рефлексивна симметрично и транзитивно. Таким образом, отношение “ k~ ” коммутативности на элементах абелевой группы G является отношением эквивалентности.
Достаточность. Пусть на элементах группы G отношение “ к= "
удовлетворяет высказывательным формам:
а) (У а е G )(a к= а);
б) (Уа,Ь € G )((a к= Ь) => ( b к= а));
B) ( V a A c E С ) ( ( а к= Ь)&(Ъ к= с) (а к= с )).
Тогда, поскольку группа G обладает жйтральным элементов е G G таким, что (У a Е G) ( а е = е а ), то (У a G G ) ( a fc= е ). Так как b Е С , то
сЪ , = е)& (е , = Ь).
т ш ш ш а т ш ш ш в ш ш е ш ш ш т г а ш е ш е ш ш е т н Поскольку отношение “ h " коммутативности на элементах группы транзитивно (см. в)), то из сравшний а t = е , b fc= е, выполняющихся для любых элементов Я и Ъ из группы G и истинной формулы в) следит, что
СУа,Ь £ G )(a к= Ь~), т.е. (Va,b е G )(ab = ba) и группа G абелева.
Теорема доказана.
Теорема доказана в терминах «шэбходимо» и «достаточно», а это даёт право классифицировать этот результат как критерий коммутативности произвольной группы.
Работа выполнена при поддерж ке грантового ф инансирования научных исследований Комитетом науки Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2014 год по приоритету Интеллектуальный потенциал страны проект «Разработка теории сравшний в группах».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Павлюк, Ин. И. Группы с отношениями сравнимости для подгрупп и элементов : монография / Ин. И. Павлюк. - Павлодар: Кереку. - 2013.-1 2 1 с .
2 Павлюк, Ин. П., Павлюк И. И. К теории сравшний в группах //
Вестник ПГУ им. С. Торайгырова. Сер. физ. -м а т .. - Павлодар, 2004. - № З . - С . 34-49.
3 Мальцев, А. И. Мультипликативные сравшния матриц // Доклады АНСССР. - 1953. -Т . 90. - № 3. - С. 333-335.
4 Павлюк, И. П., М арчевская Е. Н. О сравнениях в группах //
Международная конференция «Алгебра и её приложения». - Красноярск. - 2002.- С . 8 5 - 8 6 .
5 Павлюк, И. И. Сравшния и проблема Черникова в теории групп:
монография / И.И. Павлюк. - Павлодар : ПГУ. - 2002 г. - 222 с.
Павлодарский государственный университет имени С. Торайгырова, г. Павлодар.
Материал поступил в редакцию 22.09.2013.
Ин. И. Павлюк, И. И. Павлюк
Топтың элгменттеріндегі коммутативтік қатынас
С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті, Павлодар қ.
Материал 22.09.2013 редакцияға түсті.
ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ
ш е т н е ш ш ш ш ш н ш Е т п т ш а ш ш ш е в н ш ө о в ш In. I. Pavlyuk, 1.1. Pavlyuk
The commutativity relation on group elements
S. Toraighyrov Pavlodar State University, Pavlodar.
Material received on 22.09.2013.
Мсщалада топтың элементтеріндегі коммут ат ивт ікт ің бинарлың ңатынасы угымы ендірілді ж әне оның ңасиеттері қараст ырылган.
The concept o f the binary relation o f a commutativity o f elements o f group is entered and its properties are studied in the article.
УДК 004.056.53