Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что p\\q.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем плоскость а, перпенди
кулярную к прямой t. В силу теоремы § 46 плоскость а будет перпендикулярна к прямой р и к прямой q. Но две прямые р и q, перпендикулярные к одной плоскости, парал
лельны (обратная теорема § 46), следовательно, p\\q.
Рис. 107.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что а||р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как прямые А В и ВС соот
ветственно параллельны прямым DE и Е Ғ , лежащим в пло
скости р, то А б ||р и ВС || р. Если бы плоскости а и р имели общую точку М, то они пересекались бы по прямой M N , проходящей через эту точку (аксиома 2 § 39). В силу тео
ремы § 48 оказалось бы, что A B \ \ M N и B C \ \M N , т. е.
через точку В на плоскости а проходили бы две прямые А В и ВС, параллельные M N , что
невозможно. Следовательно, плоско
сти а и р не имеют общих точек, а потому а || р.
§ 51. Теорема о двух пло
скостях, пересеченных третьей.
Т е о р е м а . Если две п а р а л л е л ь ные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то получаю щиеся линии пересечения п а р а л лельны.
Д а н о : плоскости а и р парал
лельны и пересечены третьей пло
скостью ү (рис. 109). Положим, что плоскость ү пересекла плоскости а и р по прямым А В и CD.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что AB\\CD.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прямые А В и CD лежат в одной плоскости, именно в плоскости ү. Если бы они были не
параллельны, то пересеклись бы в какой-нибудь точке М.
Прямая А В л е ж и т в п л о с к о с т и а , а прямая CD — в пло
скости р, следовательно, точка М была бы общей у пло
скостей а и р, но это невозможно, так как плоскости а и р параллельны. Итак, прямые А В и CD, находясь в одной плоскости, не пересекаются, а потому AB\\CD.
§ 52. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных плоскостей. Т е о р е м а . Если п р я м а я п е р п е н д и к у л я р н а к одной из д в у х п а р а л л е л ь н ы х плоскостей, то она п е р п е н д и к у л я р н а и к другой.
Д а н о : плоскости а и р параллельны и прямая р пер
пендикулярна к плоскости а (рис. 1 1 0).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что />_1_р.
103
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем через прямую р две произвольные плоскости ү и 6. Каждая из этих плоскостей
пересечет плоскости а и р по па
раллельным прямым (теорема § 51), одна по параллельным прямым А В и А ХВ Х, другая — по параллельным прямым ВС и В ХС Х. Прямая р _|_а, а потому р J_ А В и р _]_ ВС, но А ХВ Х\\АВ н В хСх\\ВС, следовательно, P _L А\В\ ^ Р 1_ В ХС Х. В силу след
ствия из теоремы § 42 имеем: р J_ р.
§ 53. Отрезки параллельных, заключенные между параллель
ными плоскостями. Т е о р е м а . Отрезки п а р а л л е л ь н ы х п р я м ы х , заклю ченные между п а р а л л е л ь ными плоскостями, равны.
Положим, что даны две парал
лельные прямые р и q и две парал
лельные плоскости а и р , пересекающие эти прямые и отсе
кающие от них отрезки А В и CD (рис. 1 1 1).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А В = CD.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем плоскость у через параллельные пря
мые р и q. Две параллельные пло
скости а и р пересекутся плоско
стью у по прямым АС и B D , парал
лельным между собой (теорема § 51), следовательно, фигура ABC D — па
раллелограмм, а потому A B — CD.
§ 54. Углы с параллельными сторонами. Т е о р е м а . Д в а у гл а с соответственно параллельн ы м и
и одинаково направленны ми сто- Рис. 111.
р о н а м и равны.
Д а н ы в пространстве два угла ABC и D E F , у ко
торых стороны A B\\D E, ВСЦЕҒ и одинаково направлены (рис. 1 1 2).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что / _ ABC — D E F . 104
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем через пересекающиеся прямые А В и ВС плоскость а и через прямые DE и Е Ғ плоскость р. Эти плоскости в силу теоремы 2 § 50 парал
лельны между собой. Отложим на сторонах углов отрезки M B — N E и P B — QE и про
ведем прямые BE, M N , PQ, М Р и NQ. Так как отрезок М В параллелен и равен отрезку N E , то M N параллелен и равен BE (если в выпуклом четырех
угольнике две противополож
ные стороны равны и парал
лельны, то такой четырехуголь
ник есть параллелограмм), на том же основании PQ равен и параллелен BE. Из сказан
ного вытекает, что M N ра
вен и параллелен PQ, следо
вательно, и отрезки М Р и NQ равны. Треугольники М В Р и NEQ равны, так как три стороны одного из них равны трем сторонам другого, следовательно, AB C — D EF.
§ 55. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Пусть р и <7— две скрещивающиеся прямые (рис. 113). Через одну из них, например р, проведем плоскость а, параллель
ную другой прямой q. Для этого через произвольно выбран
ную точку М прямой р проведем прямую q ' , параллельно
прямой q, а затем через две пересекающиеся прямые р и q' проведем плоскость. Она и будет искомой (§ 47).
О п р е д е л е н и е . Расст оянием меж ду д в у м я скрещ и
вающимися прям ы м и р и q назы вает ся д л и н а перпен
д и к у л я р а А В , опущенного из точки А , леж ащ ей на 105
одной из прямых, на плоскость, проходящую через другую прямую и параллельную первой (рис. 113).
Покажем, что длина перпендикуляра А В , данного в опре
делении, есть наименьшее из расстояний между любыми двумя точками прямых р и q.
Пусть С — произвольная точка на прямой р , a D — на прямой q. Соединим точки D и С и опустим из точки D перпендикуляр D F на плоскость а.
Если DC J _ a (рис. 114), то точка F совпадает с точкой С и DC = A B .
Если DC не перпендикулярна к плоскости а, то DC будет наклонной и, согласно § 43, D C ~ > D F . Но D F — A B , по
этому DC > АВ.
П р и м е р . Через вершину А в равностороннем тре
угольнике A B C проходит прямая I, образующая с плоскостью треугольника угол в 60°.
Определить расстояние ме
жду этой прямой и сторо
ной ВС, если I образует со сторонами А В и АС равные углы.
Р е ш е н и е . Так как на
клонная образует равные углы со сторонами А В и АС (рис. 115), то ее проекция совпадает с биссектрисой угла ВАС , т. е. с A D (см.
§ 44, пример 2).
Восставим из точки D перпендикуляры DE J_ A B C и DQ _L АЕ. Через прямую I проведем плоскость Р, па
раллельную прямой ВС. Эта плоскость пересекается с пло
скостью A B C по прямой M N . Согласно § 48, M N \\B C . П о к а ж е м , ч т о DQ \ Р.
Так как A D J _ B C , то D Q ± ^ B C . Но B C \\M N , поэтому DQ J_ M N . Кроме того, DQ J_ АЕ.
Итак, DQ перпендикулярен к двум прямым M N и АЕ, лежащим в плоскости Р , и, следовательно, DQ J_ Р (см.
§ 42). Длина DQ и есть искомое расстояние между прямыми А Е и ВС. Чтобы найти его, рассмотрим прямоуголь
ный Д AD E , в котором A D = — (А В = ВС — АС = а), 106
AED = 30°. Поэтому
А Е = 2A D = а / з ,
D E = Y A E 2 — A D 2= y ^ 3 a2 — - | a2 = - | a . Из соотношения A D • D E — A E • DQ ( = 2S) имеем:
A D ■ D E a V ~ b - Z a 3
DQ A E 2 • 2a V 3 4a .
Итак, искомое расстояние равно -j а.
Задачи к четвертой главе
1
.
Из точки А, отстоящ ей от плоскости на 12 см, проведенак
этой плоскости наклонная А В , равная 37 см. Н айти проекцию А В на данную плоскость.2. Из центра круга радиуса, равного 18 см, восставлен п ер
пендикуляр к его плоскости. Н айти расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окруж ности, если длина перпендикуляра равна 80 см.
3 . Из центра О круга радиуса, равного 3 дм, восставлен п ер
пендикуляр ОВ к его плоскости. К окруж ности провед ена каса
тельная в точке А и на этой касательной отложен от точки касания отрезок А С , равны й 2 дм. Н айти длину наклонной В С , если О В =
= 6 дм.
4
.
Из верш ины D п рям оугольника A B C D , стороны которого А В = 9 с м и В С — 8 см, восставлен к плоскости прям оугольника перпендикуляр D F —12 см. Н айти расстояния от точки F до верш ин прям оугольника (рис. 116).
5. Из точки вне плоско
сти проведена к этой плоско
сти наклонная, равная 20 см.
образую щ ая с этой плоскостью угол 45°. Н айти расстояни е от дан
ной точки до плоскости.
6 . Н айти расстояние точки от плоскости, если расстояния этой точки от двух точек, леж ащ их на плоскости, равны 51 см и 30 см, а проекции соответствую щ их наклонны х на данную п ло ск о сть о т носятся, как 5 : 2 (рис. 117).
107
7 . И з точки вне плоскости проведены к этой плоскости пер
пендикуляр, равны й 12 с м, и наклонная, равная 16 см. Н айти про
екцию перпендикуляра на наклонную.
8. Катеты прямоугольного треугольника A B C равны 12 д м и 16 дм. И з верш ины прямого угла С восставлен к плоскости т р е угольн и ка перпендикуляр С М = 28 дм. Н айти расстояние от точки М до гипотенузы.
9 . Стороны треугольника 15 см, 37 см и 44 см. Из верш ины больш его угла треугольника восставлен к его плоскости перпен
дикуляр, равны й 16 см. Найти расстояние от его концов до больш ей стороны.
1 0 . Из точки D , леж ащ ей вне плоскости, проведены три н а
клонные, каж дая из которы х о бразует с данной плоскостью угол в 60°. О снования наклонных А, В и С соединены отрезками. Н айти стороны треугольн и ка A B C , если расстояние от точки D до плоскости р ав н о а и углы A D B , B D C , C D A равны между собой.
У к а з а н и е . Д оказать, что A A B C — равносторонний.
11
.
Из концов отрезка А В — 26 см, находящ егося вне плоскости а, опущ ены на эту плоскость перпендикуляры А С и B D . Н айти длину проекции отрезка А В на плоскость а, если А С — 32 см и B D — 22 см.
12. Из концов отрезка А В , находящ егося вне плоскости а, опущ ены на эту плоскость перпендикуляры Л С = 8 0 см и B D = 60 см. Н айти расстояние середины отрезка А В от той ж е плоскости.
13
.
Вне плоскости а находится отрезок А В \ \ а и равны й 2 дм.О трезок А В1, соединяющий конец А с проекцией точки В (другого конца отрезка), составляет с плоскостью а угол в 30°. Н айти длину отрезка А В \ .
1 4 . И з точки М прямой А В , параллельной плоскости а и от
стоящ ей от нее на 0,5 м, проведены две равны е наклонны е к дан
ной плоскости и перпендикулярные к данной прямой А В . Н айти длину этих наклонных, если угол меж ду ними равен 120°.
15. Из точки М , находящ ейся вне двух параллельных плоскостей, проведены две прямы е, п ер есекаю щ ие плоскости соответственно в то ч ках А, В и А и By. Н айти длину о т резка А А |, если B B { = 28 см, а М А : А В = 5 :2 .
18. О снование А В трапеции A B C D лежит на плоскости а, а осно
вание D C отстоит от плоскости а на 4 дм. На каком расстоянии от плоскости а находится точка М пересечения диагоналей этой трапеции, если А В : D C = 5 : 3 (рис. 118)?
17. Одна из сторон ромба лежит на плоскости а, а противо
положная ей сторона отстоит от плоскости а на 16 см. П роекции диагоналей ромба на плоскости а равны 32 см и 8 см. Н айти длину стороны ромба.
18. Д ва отрезка заключены меж ду параллельны м и плоскостями.
П роекции этих отрезков на плоскости 1 д м и 7 дм. Н айти каждый Цз этих отрезков, если их разность равна 4 дм.
108
19
.
Вне плоскости а располож ен треугольник. Расстояние его верш ин от плоскости 4 дм, 5 д м и 9 дм. Н айти расстояние центра тяж ести этого треугольн ика от плоскости а.2 8
.
Ч ерез ңершину С прямого угла треугольн ика проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии 20 см от нее.П роекции катетов на эту плоскость 60 см и 1 м. Н айти гипотенузу.
21
.
Один к атет равнобедренного прям оугольного треугольника леж ит в плоскости а. Гипотенуза этого треугольн и ка о бразует с плоскостью а угол в 30°. Под каким углом второй катет наклонен к плоскости а?22
.
Точка М удалена от плоскости а на расстояние 15 см.Расстояние от проекции точки М на плоскость « до прям ой р, л еж а
щ ей в этой плоскости, равно 20 см. Н айти расстояни е от точки М до прямой р.
23
.
Даны д ве взаим но перпендикулярные плоскости и прямая, их пересекаю щ ая. О трезок этой прямой, заключенный меж ду плоскостям и, равен I. П роекции отрезка на плоскости равны р и q.
Н айти проекцию этого отрезка на линию пересечения плоскостей и вычислить длину этой проекции при / = 20, р — 16, q — 15.
Г Л А В А П Я Т А Я
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ, И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ