• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Перпендикулярные плоскости

In document PDF repository.enu.kz (бет 113-118)

§ 59. Измерение двугранного угла. За единицу изме­

рения двугранного угла принимают двугранный угол, линей- ный угол которого содержит единицу измерения линейных углов. Так, двугранным углом в 1° называют двугранный угол, линейный угол которого содержит 1°; двугранным углом в 1' и в I" называют двугранный угол, линейный угол кото­

рого содержит соответственно 1' или 1". Иначе говоря, дву­

гранный угол измеряет ся его линейн ы м углом .

П р и м е р . Равнобедренный прямоугольный треуголь- ник ABC перегнут по высоте CD так, что плоскости ACD и BCD образуют прямой угол. Определить угол, который образует отрезок А В с СВ.

Р е ш е н и е . Так как A D J CD и BD J_ CD, то A D B линейный угол двугранного угла AC D B и, следовательно, l ^ A D B — 90°. Угол AB C искомый (рис. 123).

А

Обозначим АС = С В — а. Тогда A D - \ - D B = a Y 2,

а У

2

A D — D B — —^— . Теперь в прямоугольном равнобедрен­

ном треугольнике A D B нам известны катеты A D и D B. По­

этому А В Y A D2 - \ - D B 2 — 2 • а. Таким образом, в Д A B C все стороны равны (АС — СВ — А В — а ) и, сле­

довательно, A B C = 60°.

Дано: А В ]_ а и плоскость {5 проходит через прямую А В (рис. 124).

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что p_J_a.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Плоскость р, имея общую точку В с плоскостью а, пересечется с ней по некоторой прямой CD, проходящей через точку В (рис. 124). Восставим в пло­

скости а из точки В перпендикуляр В М к CD. Так как А В ]_а, то А В В М и A B J _ C D (определение § 42). Два

перпендикуляра в точке В к реб­

ру CD двугранного угла pCDa об­

разуют линейный угол А В М этого двугранного угла. Угол А В М пря­

мой, следовательно, и двугранный угол pCDa, ему соответствующий, тоже прямой, т. е. р a (§ 58).

§ 61. Прямая, лежащая в од­

ной из взаимно перпендику­

лярных плоскостей. Т е о р е м а . Е сли две плоскости взаимно перпендикулярн ы , то л ю б а я п р я м а я , л еж ащ ая в одной из н и х и п е р п е н д и к у л я р н а я к л инии и х пересечения, пер ­ п е н д и к у л я р н а к другой плоскости.

Д а н о : р J _a, CD — линия их пересечения и прямая АВ, лежащая в плоскости р, перпендикулярна к CD (рис. 124).

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А В J _а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем на плоскости а прямую В М _\_CD. Получим, что из точки В ребра двугранного угла pCDa восставлены в гранях р и а два перпендикуляра к ребру, т. е. А В М является линейным углом двугран­

ного угла рCDa. Этот двугранный угол по условию прямой, следовательно, и соответствующий ему линейный [_ А В М тоже прямой (следствие § 58). В результате имеем А В _J_ CD по условию и А В | В М по доказанному, а потому А В _]_ а (следствие теоремы § 42).

§ 62. Теорема. Е сли две плоскости взаимно перпен­

д и к у л я р н ы и из к акой-нибудь точки одной из н и х о п у ­ щен п е р п е н д и к ул я р на другую, то этот п е р п е н д и к у л я р леж ит в первой плоскости.

Д а н о : плоскость р _[_ а, точка А лежит в плоскости р и (Рис- 124).

114

Рис. 124.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А В лежит в плоскости р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть CD — прямая пересечения а и р. Если мы в плоскости р опустим из точки А перпенди­

куляр на CD, то по теореме § 61 он будет перпендикулярен к плоскости а, т. е. совпадает с А В . Отсюда и следует, что А В лежит в плоскости р.

П р и м е р . Прямая А В соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных плоскостях Р и Q. Пер­

пендикуляры, опущенные из то­

чек Л и В на линию пересечения плоскостей, равны а и Ь, а рас­

стояние между их основаниями равно с.

Определить длину отрезка А В и длину его проекций на данные плоскости.

Р е ш е н и е . Пусть M N — ли­

ния пересечения плоскостей Р и Q, а точки С и D — основания пер­

пендикуляров, опущенных из то­

чек А и В соответственно на пря­

мую M N (рис. 125). Так как АС лежит в плоскости Р и АС _]_ M N ,

то AC J _ Q (§ 61). Из аналогич- Рис. 125.

ных рассуждений вытекает, что

Следовательно, A D есть проекция прямой А В на плоскость Р , а В С — проекция прямой А В на плоскость Q.

Задача сводится, таким образом, к нахождению длин отрез­

ков AD , А В и ВС.

В прямоугольном треугольнике A C D (A C _]_ M N ) известны к а т е т ы АС и CD. П о э т о м у A D = У AC2 -\~CD2 — У а2 с2.

Т е п е р ь в т р е у г о л ь н и к е A D B , у к о т о р о г о l _ D 9 0 ° (BD _]_ Р), нам и з в е с т н ы к а т е т ы A D и D B. С л е д о в а т е л ь н о , А В 2 —

= Y A D2- ) - D B 2 — У а 2 + с2 + Ь2. О т р е з о к ВС н ах о д и м из п р я м о у г о л ь н о г о т р е у г о л ь н и к а АС В (AC J _ Q ) :

ВС = У А В 2 — А С 2 = У а2 + с2 + 62а 2 = / с 2 + 62.

И т а к ,

А В = У а2+ Ь2- \ - с 2, A D — У а2- \ - с 2, ВС = У с2 + Ь2.

8* 115

III. П лощ адь проекции плоской ф игуры

§ 63. Определение проекции. Т е о р е м а . Через д а н ­ ную прям ую , не перпендикулярную к плоскости а, можно

__ провести плоскость р, п е р ­ пендикулярную к о., и при-

на прямой р и опустим из нее перпендикуляр А М на пло­

скость а. Через прямые р и А М проведем плоскость р.

В силу теоремы § 60 плоскость Р_1_а.

Докажем теперь, что плоскость р будет единственной, перпендикулярной к а.

Действительно, из теоремы § 60 следует, что любая пло­

скость, проведенная через прямую р перпендикулярно к пло­

скости а, пройдет и через прямую А М , т. е. совпадет с плоскостью р.

Плоскость р, проходящая через прямую р перпендику­

лярно к плоскости а, называется плоскостью, проектирую­

щей прямую р на плоскость а, или просто проектирующей плоскостью.

Эта плоскость пересекает плоскость а по некоторой пря­

мой q (рис. 126), которая называется проекцией прямой р . Вообще проекцией геометрической фугуры на плоскость назы­

вается фигура, образованная проекциями всех точек данной фигуры на эту плоскость, называемую плоскостью проекций.

В частности, как показано выше, проекцией прямой на пло­

скость будет прямая, соединяющая проекции двух любых точек первой прямой, что согласуется с определением проек­

ции наклонной, данным в § 43.

Из теоремы § 53 следует, что проекции одного и того же отрезка прямой на две параллельные плоскости равны. Дей­

ствительно, на рис. 127 отрезок А ХВ Х равен отрезку А 2В 2, где А ХВ Х— проекция отрезка А В на плоскость а и А 2В 2 проекция отрезка А В на плоскость р.

Пусть прямая р не пер­

пендикулярна к плоскости а (рис. 126) и находится, вообще говоря, вне этой плоскости.

Возьмем какую-либо точку А том только одну. П ри этом перпендикуляр к плоско­

сти а, проходящий через л ю ­ бую точку данной прямой, лежит в плоскости р.

Рис. 120.

116

в Д л и н а проекции отрезка р авн а длине отрезка, у м ­ ноженной на косинус у гл а , образуемого отрезком и плоскостью проекций. В самом

деле, пусть отрезок А ф х — проек­

ция отрезка А В на плоскость а (рис. 127). Проведя в проектирую­

щей плоскости через точку А пря­

мую А С \\А ХВ Х, получим прямоуголь­

ный треугольник ABC, из которого найдем АС — А В cos ср. Так как А С = А 1В 1, то А ХВ Х — А В cos <р.

/ Д.

/ 1

7

/<х

А

в , /

Рис. 127.

§ 64. Площадь проекции пло­

ского многоугольника. Т е о р е м а . Площадь проекции плоского м н о ­ гоугольника на некоторую плос­

кость равна площади проекти­

руемого многоугольника, умнож енной на косинус угл а между плоскостью много угольника и плоскостью про­

екций.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим сначала, что проек­

тируемая фигура — Д ABC, сторона АС которого лежит на плоскости проекций а (рис. 128). Через стороны А В и ВС

треугольника AB C проведем плоскость р, которая пересечет плоскость а по прямой АС. Из точки В опустим на пло­

скость проекций а перпендикуляр B D и из точки D перпен­

дикуляр D F на АС. Соединив точки В и F прямой, полу­

чим B F J_ АС (в силу теоремы о трех перпендикулярах, § 44).

Таким образом, D F есть высота Д AD C и B F — высота 117

Д ABC , a [ _ B F D — линейный угол двугранного угла, обра­

зованного плоскостями а и ( 5 .

Два треугольника A B C и AD C имеют общее основа­

л а SADC D F D F

ние АС, следовательно, -g,- ■ = -тгб- , но отношение =

ABC В Ғ

= c o s l _ B F D . Так как двугранный угол измеряется его ли- нейным углом (§ 59), то отношение D F равно косинусу угла между плоскостями р и а. Итак, отношение -,,лос равно

A B C

косинусу угла между плоскостями р и а, откуда пл. AD C (проекции) равна пл. AB C (проектируемого треугольника), умноженной на косинус угла между двумя плоскостями.

Пусть теперь проектируемая фигура — треугольник ABC, ни одна из сторон которого не лежит на плоскости проек­

ций а и не параллельна ей (рис. 129). Через вершину С

(рис. 129) Д A B C проведем прямую CD, параллельную ли­

In document PDF repository.enu.kz (бет 113-118)