§ 59. Измерение двугранного угла. За единицу изме
рения двугранного угла принимают двугранный угол, линей- ный угол которого содержит единицу измерения линейных углов. Так, двугранным углом в 1° называют двугранный угол, линейный угол которого содержит 1°; двугранным углом в 1' и в I" называют двугранный угол, линейный угол кото
рого содержит соответственно 1' или 1". Иначе говоря, дву
гранный угол измеряет ся его линейн ы м углом .
П р и м е р . Равнобедренный прямоугольный треуголь- ник ABC перегнут по высоте CD так, что плоскости ACD и BCD образуют прямой угол. Определить угол, который образует отрезок А В с СВ.
Р е ш е н и е . Так как A D J CD и BD J_ CD, то A D B — линейный угол двугранного угла AC D B и, следовательно, l ^ A D B — 90°. Угол AB C искомый (рис. 123).
А
Обозначим АС = С В — а. Тогда A D - \ - D B = a Y 2,
а У
2A D — D B — —^— . Теперь в прямоугольном равнобедрен
ном треугольнике A D B нам известны катеты A D и D B. По
этому А В — Y A D2 - \ - D B 2 — 2 • — а. Таким образом, в Д A B C все стороны равны (АС — СВ — А В — а ) и, сле
довательно, A B C = 60°.
Дано: А В ]_ а и плоскость {5 проходит через прямую А В (рис. 124).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что p_J_a.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Плоскость р, имея общую точку В с плоскостью а, пересечется с ней по некоторой прямой CD, проходящей через точку В (рис. 124). Восставим в пло
скости а из точки В перпендикуляр В М к CD. Так как А В ]_а, то А В В М и A B J _ C D (определение § 42). Два
перпендикуляра в точке В к реб
ру CD двугранного угла pCDa об
разуют линейный угол А В М этого двугранного угла. Угол А В М пря
мой, следовательно, и двугранный угол pCDa, ему соответствующий, тоже прямой, т. е. р a (§ 58).
§ 61. Прямая, лежащая в од
ной из взаимно перпендику
лярных плоскостей. Т е о р е м а . Е сли две плоскости взаимно перпендикулярн ы , то л ю б а я п р я м а я , л еж ащ ая в одной из н и х и п е р п е н д и к у л я р н а я к л инии и х пересечения, пер п е н д и к у л я р н а к другой плоскости.
Д а н о : р J _a, CD — линия их пересечения и прямая АВ, лежащая в плоскости р, перпендикулярна к CD (рис. 124).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А В J _а.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем на плоскости а прямую В М _\_CD. Получим, что из точки В ребра двугранного угла pCDa восставлены в гранях р и а два перпендикуляра к ребру, т. е. А В М является линейным углом двугран
ного угла рCDa. Этот двугранный угол по условию прямой, следовательно, и соответствующий ему линейный [_ А В М тоже прямой (следствие § 58). В результате имеем А В _J_ CD по условию и А В | В М по доказанному, а потому А В _]_ а (следствие теоремы § 42).
§ 62. Теорема. Е сли две плоскости взаимно перпен
д и к у л я р н ы и из к акой-нибудь точки одной из н и х о п у щен п е р п е н д и к ул я р на другую, то этот п е р п е н д и к у л я р леж ит в первой плоскости.
Д а н о : плоскость р _[_ а, точка А лежит в плоскости р и (Рис- 124).
114
Рис. 124.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А В лежит в плоскости р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть CD — прямая пересечения а и р. Если мы в плоскости р опустим из точки А перпенди
куляр на CD, то по теореме § 61 он будет перпендикулярен к плоскости а, т. е. совпадает с А В . Отсюда и следует, что А В лежит в плоскости р.
П р и м е р . Прямая А В соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных плоскостях Р и Q. Пер
пендикуляры, опущенные из то
чек Л и В на линию пересечения плоскостей, равны а и Ь, а рас
стояние между их основаниями равно с.
Определить длину отрезка А В и длину его проекций на данные плоскости.
Р е ш е н и е . Пусть M N — ли
ния пересечения плоскостей Р и Q, а точки С и D — основания пер
пендикуляров, опущенных из то
чек А и В соответственно на пря
мую M N (рис. 125). Так как АС лежит в плоскости Р и АС _]_ M N ,
то AC J _ Q (§ 61). Из аналогич- Рис. 125.
ных рассуждений вытекает, что
Следовательно, A D есть проекция прямой А В на плоскость Р , а В С — проекция прямой А В на плоскость Q.
Задача сводится, таким образом, к нахождению длин отрез
ков AD , А В и ВС.
В прямоугольном треугольнике A C D (A C _]_ M N ) известны к а т е т ы АС и CD. П о э т о м у A D = У AC2 -\~CD2 — У а2 с2.
Т е п е р ь в т р е у г о л ь н и к е A D B , у к о т о р о г о l _ D — 9 0 ° (BD _]_ Р), нам и з в е с т н ы к а т е т ы A D и D B. С л е д о в а т е л ь н о , А В 2 —
= Y A D2- ) - D B 2 — У а 2 + с2 + Ь2. О т р е з о к ВС н ах о д и м из п р я м о у г о л ь н о г о т р е у г о л ь н и к а АС В (AC J _ Q ) :
ВС = У А В 2 — А С 2 = У а2 + с2 + 62 — а 2 = / с 2 + 62.
И т а к ,
А В = У а2+ Ь2- \ - с 2, A D — У а2- \ - с 2, ВС = У с2 + Ь2.
8* 115
III. П лощ адь проекции плоской ф игуры
§ 63. Определение проекции. Т е о р е м а . Через д а н ную прям ую , не перпендикулярную к плоскости а, можно
__ провести плоскость р, п е р пендикулярную к о., и при-
на прямой р и опустим из нее перпендикуляр А М на пло
скость а. Через прямые р и А М проведем плоскость р.
В силу теоремы § 60 плоскость Р_1_а.
Докажем теперь, что плоскость р будет единственной, перпендикулярной к а.
Действительно, из теоремы § 60 следует, что любая пло
скость, проведенная через прямую р перпендикулярно к пло
скости а, пройдет и через прямую А М , т. е. совпадет с плоскостью р.
Плоскость р, проходящая через прямую р перпендику
лярно к плоскости а, называется плоскостью, проектирую
щей прямую р на плоскость а, или просто проектирующей плоскостью.
Эта плоскость пересекает плоскость а по некоторой пря
мой q (рис. 126), которая называется проекцией прямой р . Вообще проекцией геометрической фугуры на плоскость назы
вается фигура, образованная проекциями всех точек данной фигуры на эту плоскость, называемую плоскостью проекций.
В частности, как показано выше, проекцией прямой на пло
скость будет прямая, соединяющая проекции двух любых точек первой прямой, что согласуется с определением проек
ции наклонной, данным в § 43.
Из теоремы § 53 следует, что проекции одного и того же отрезка прямой на две параллельные плоскости равны. Дей
ствительно, на рис. 127 отрезок А ХВ Х равен отрезку А 2В 2, где А ХВ Х— проекция отрезка А В на плоскость а и А 2В 2 — проекция отрезка А В на плоскость р.
Пусть прямая р не пер
пендикулярна к плоскости а (рис. 126) и находится, вообще говоря, вне этой плоскости.
Возьмем какую-либо точку А том только одну. П ри этом перпендикуляр к плоско
сти а, проходящий через л ю бую точку данной прямой, лежит в плоскости р.
Рис. 120.
116
в Д л и н а проекции отрезка р авн а длине отрезка, у м ноженной на косинус у гл а , образуемого отрезком и плоскостью проекций. В самом
деле, пусть отрезок А ф х — проек
ция отрезка А В на плоскость а (рис. 127). Проведя в проектирую
щей плоскости через точку А пря
мую А С \\А ХВ Х, получим прямоуголь
ный треугольник ABC, из которого найдем АС — А В cos ср. Так как А С = А 1В 1, то А ХВ Х — А В cos <р.
/ Д.
/ 1
7
/<х
А
в , /Рис. 127.
§ 64. Площадь проекции пло
ского многоугольника. Т е о р е м а . Площадь проекции плоского м н о гоугольника на некоторую плос
кость равна площади проекти
руемого многоугольника, умнож енной на косинус угл а между плоскостью много угольника и плоскостью про
екций.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим сначала, что проек
тируемая фигура — Д ABC, сторона АС которого лежит на плоскости проекций а (рис. 128). Через стороны А В и ВС
треугольника AB C проведем плоскость р, которая пересечет плоскость а по прямой АС. Из точки В опустим на пло
скость проекций а перпендикуляр B D и из точки D перпен
дикуляр D F на АС. Соединив точки В и F прямой, полу
чим B F J_ АС (в силу теоремы о трех перпендикулярах, § 44).
Таким образом, D F есть высота Д AD C и B F — высота 117
Д ABC , a [ _ B F D — линейный угол двугранного угла, обра
зованного плоскостями а и ( 5 .
Два треугольника A B C и AD C имеют общее основа
л а SADC D F D F
ние АС, следовательно, -g,- ■ = -тгб- , но отношение =
ABC В Ғ
= c o s l _ B F D . Так как двугранный угол измеряется его ли- нейным углом (§ 59), то отношение D F равно косинусу угла между плоскостями р и а. Итак, отношение -,,лос равно
A B C
косинусу угла между плоскостями р и а, откуда пл. AD C (проекции) равна пл. AB C (проектируемого треугольника), умноженной на косинус угла между двумя плоскостями.
Пусть теперь проектируемая фигура — треугольник ABC, ни одна из сторон которого не лежит на плоскости проек
ций а и не параллельна ей (рис. 129). Через вершину С
(рис. 129) Д A B C проведем прямую CD, параллельную ли