II. При этом любой точке плоскости соответствует одна и только одна точка, в которую она преобразуется. Пре
1. Предположим, что 41), Тогда и точка В'
если k < 1). Из условия гомотетичности точек А и А ', В ОА' ОВ'
и В ' имеем: ~о а = ~6в = ^ ' 0ТКУда> согласно теореме о про- А' R' порциональных отрезках, следует, что А В \ \ А 'В ' и ■ — fe.
С л у ч а й 2. Если точка В лежит на луче ОА, то тогда на этом же луче будут лежать точки В ' и А ' (рис. 42),
О В' ОА'
причем = k. Но по свой- OB' — О А' ству равных О А
ОВ'
~ ОВ
Т е о р е м а 'I. При гомотетии п р я м а я преобразуется в п а р а л лельную прям ую или остается не- Рис. 42. подвижной, если она проходит че
рез центр гомотетии.
О — центр гомотетии, а — прямая, а' — гомо- что: либо 1) а \ \а ', либо Д а н о :
тетия а.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь 2) а совпадает с а'.
Д о к а з а т е л ь с т в о . С л у ч а й 1. Пусть прямая а не проходит через точку О (рис. 43). Выберем на прямой а произвольные точки А и В. Эти
точки преобразуются в точки А ' и В '. Покажем, что любая тре
тья точка прямой а преобра
зуется в точку, лежащую на пря
мой А ' В ' .
Действительно, произвольная точка С прямой а, не совпа
дающая с Л и В, преобразуется в некоторую точку С'.
По теореме 1 сходственные отрезки А'С '\\АС и А 'В '\ \ А В , т. е. через точку А ' проходят два отрезка А'С' и А 'В ', параллельные прямой а. Следовательно, эти отрезки, а зна
чит и точка С', лежат на одной прямой, так как в против
ном случае через точку А ', лежащую вне прямой с, про
ходили бы две параллельные ей прямые.
С л у ч а й 2. Прямая а проходит через точку О. Пред
лагаем учащемуся этот случай разобрать самостоятельно.
С л е д с т в и е 1. При гомотетии угол преобразуется в равный ем у угол.
Рис. 43.
32
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан угол ABC и центр гомоте
тии О (рис. 44). По теореме 2 прямая А В преобразуется в прямую А 'В ', ВС — в прямую В 'С ', причем А В \ \ А ' В ' и ВС || В С'. Поэтому / _ ABC = £_ А 'В 'С ', как углы с парал
лельными и одинаково направленными сторонами.
С л е д с т в и е 2. При гомотетии всякая п р ям о ли н е й н а я фигура пре
образуется в подобную ей п р я м о линейную фигуру.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан центр гомотетии О и многоугольник ABCD.
Пусть вершины многоугольника А, В, С и D преобразуются в точки А', В', С', D ' (рис. 45). При этом отре
зок А В преобразуется в А 'В ', ВС —
в В'С', CD — в C 'D ' и D A — в D ' А ' . Таким образом, мно
гоугольник преобразуется в многоугольник.
Рис. 44.
Рис. 45.
По теореме 1 сходственные отрезки пропорциональны,
А ' В' В ' С ' C 'D 1- D 'A ' ,
т - е ‘ - A B - - B C — - C D — D T = k ' И з а ™ а ю т Р а в -
ные между собой углы.
Следовательно, AB C D оо А ’В 'C 'D ' .
Т е о р е м а 3. При гомотетии окружность преобра
зует ся в окружность.
Д а н о : О — центр гомотетии, Сх — окружность с цент
ром О,, С2 — гомотетия С 1з точка 0 2 — гомотетия Oj (рис. 46).
33
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что С2— окружность с цент
ром 0 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А 2— произвольная точка преобразованной кривой. На данной окружности ей соответ
ствует некоторая точка А {, причем по теореме 1 будем иметь A 20 2 = k ■ A f t i или А 20 2— kR, где коэффициент гомотетии k — величина постоянная.
Таким образом, преобразованная кривая С2 есть геометри
ческое место точек, равноудаленных от точки 0 2 на рас
стояние k R , т. е. является окружностью с центром в точке 0 2 и радиусом, равным kR.
С л е д с т в и е . Любые две неравные окружности гомо
тетичны между собой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Даны две окружности радиусов R x и R 2 (/?! Ф R 2) с центрами в точках 0 1 и 02 (рис. 47).
Возьмем на первой окружности произвольную точку и соединим ее с центром Ог. На второй окружности про
ведем радиус 0 2М 2, параллельный радиусу 0 1М 1 и одинаково с ним направленный.
Точки и М 2 соединим прямой и проведем ее до пере
сечения с линией центров в точке О. Покажем, что окруж
ность С2 есть гомотетия окружности Сх относительно центра О с коэффициентом k = . Действительно, при такой гомо
тетии точка О, перейдет в точку 0 2, точка — в точку ( М20 0 20 А гг
2 I М О ~ 'О О ~
J
‘ ^ огда на основании теоремы 3 вся окружность Cj преобразуется в окружность С2.§ 16. Пантограф. Для построения фигуры, гомотетичной данной, очень удобен специальный инструмент, называемый пантографом.
Существуют различные модели пантографов. Простейший из них состоит из двух шарнирно скрепленных и подобных 34
параллелограммов ABC D и A B 'C 'D ', расположенных, как это показано на рис. 48. Стороны параллелограммов А В и А В ' лежат на одной прямой A M , A D и A D ' — на пря
мой A N , ВС || В 'С ', CD \\C'D' и = АС' k. Поэтому точки С и С' лежат на прямой АК,
м АС
проходящей через точку А, и, следовательно, гомотетичны относительно центра А с коэф
фициентом гомотетии k. При перемещении прямых А М и A N относительно закреплен
ной точки А параллелограммы перейдут в параллелограммы, а вершины их С и С' в каж
дом положении будут лежать на одной прямой, проходящей
через точку А. Если в точке С закрепить штифт, а в точке С' — карандаш, то при обводе штифтом контура некоторой фигуры F карандаш зарисует на бумаге гомотетичный ей кон
тур Ғ '.
Ғңитифт)
Л
точна М(штифт) //
/ --- / /
у 1 0
^ ’/карандаш )
Рис. 49.
7Г ил
А-неподвижная точна
Рис. 50.
Для изменения коэффициента гомотетии k меняют поло
жение точек В и В ' .
Пантограф применяется при перерисовке планов и карт в различных масштабах.
Другие схемы пантографов приведены на рис. 49 и 50.
§ 17. Задачи. Приведем несколько задач на построение, при решении которых используются свойства гомотетичных фигур.
З а д а ч а 1. Д а н н ы й отрезок А В разделит ь на 4 части в заданном отношении m : n : p : q .
35
Р е ш е н и е . Проведем прямую, параллельную отрезку АВ, и от произвольной точки А ' на ней отложим отрезки А ' С — т, C 'D ' — n, D 'E ' — p и E ’B' — q (рис. 51). Соединив точки Л
и А ', В и В', продолжим эти прямые до пересечения в точке О. (Предполагаем, что А В ф А ’В ' .) Принимая О за центр гомотетии, проведем лучи О А ', ОС', OD' и О Е '.
Эти лучи пересекут отрезок А В в точках С, D и Е. Полу
ченные при этом отрезки AC, CD, DE и ЕВ будут сход
ственными отрезкам А 'С ', C'D ', D'E', Е ' В ’ соответственно,
A C C D
и, следовательно,.- В
D E Е В
А 'С ' ~ А С
~ Е ' В ' ИЛИ т Е В
C ’ D ' C D
~~ D ’E'
_ D E _
“ Р ~ Ч
З а д а ч а 2. В данный т р е угольник ABC вписать к в а д рат так, чтобы одна сторона его леж ала на основании АС, а две вершины — на боковых сторонах А В и ВС.
Р е ш е н и е . Предположим, что задача решена и M N P Q — искомый квадрат (рис. 52). При гомотетии с центром Л и коэффициентом k < 1 квадрат M N P Q преобразуется в квад
рат M 'N 'P 'Q ', основание которого M ' N ' лежит на стороне АС, вершина Q' — на стороне А В , а вершина Р ' — на прямой АР.
Таким образом, если квадрат M ' N ’P'Q' построен, то положе
ние вершины Р определяется как точка пересечения пря
мой А Р ' со стороной ВС. В силу же произвольности коэф
фициента гомотетии k квадрат M 'N 'P 'Q ' может быть произ- Рис. 52.
36
вольным, лишь бы его сторона M ' N ' лежала на АС, а вершина Q ' — на А В .
Итак, построим произвольный квадрат M ' N ' P ' Q ', сто
рона M ' N ' которого лежит на АС, а вершина Q' — на АВ.
Соединив точки А и Р ' , продолжим прямую А Р ' до пере
сечения со стороной ВС в точке Р. Из точки Р опустим перпендикуляр P N на сторону AC. P N — сторона искомого квадрата, дальнейшее построение которого очевидно. Легко видеть, что задача имеет единственное решение.
З а д а ч а 3. Провести прям ую через данную точку С и точку пересечения д в у х п р я м ы х а и Ь, которая не
доступна.
Р е ш е н и е . Пусть задача решена и с — искомая прямая, О — точка пересечения прямых а и b (рис. 53).
Возьмем на прямой а две произвольные точки А и А ' и проведем прямые А В || А 'В ', не проходящие через точку С;
В и В ' — точки пересечения этих прямых с прямой Ь.
При гомотетии с центром О и коэффициентом k — ОА' точка А перейдет в А', В — в В', С — в С', причем от
резки АС и А ' С ' , СВ и С 'В ' будут сходственными и, со
гласно теореме 1, А С \ \А 'С ’ и С В \\С 'В '. Следовательно, точка С', лежащая на искомой прямой с, есть точка пере
сечения прямой А'С', параллельной АС, с прямой В ' С ' , па
раллельной ВС.
Отсюда вытекает следующее построение.
Выберем на прямой а произвольные точки А и А ' и про
ведем через них прямые А В || А 'В ', не проходящие через точку С и пересекающие прямую b в точках В и В '. Со
единив точку С с точками А и В, получим отрезки АС и ВС.
Из точки А ' проведем прямую, параллельную прямой АС, а из точки В ' — прямую, параллельную ВС. Точка их пере
сечения С' лежит на искомой прямой с. Таким образом, искомая прямая определена двумя точками: заданной точкой С и построенной точкой С'.
§ 18. Гомотетия II рода. Пусть задана точка О на плоскости и отрицательное число k (k < 0). Для любой точки А плоскости, отличной от О, найдем точку А ', лежащую на
ОА'
Таким образом, точки А и А ' лежат на одной прямой с точ
кой О по разные стороны от нее.
О п р е д е л е н и е 1. Преобразование, переводящее каж
дую точку А плоскости в точку А ', лежащую на продолжении луча О А (точки А и А ' лежат по разные стороны от точки О)
О А'
и такую, что отношение - щ - = j k \ (k < 0) есть постоян
ная величина, называется гомотетией II рода. Точка О называется центром гомотетии,
^ а число k — коэффициентом гомо-
^ ^ 0 тетии.
Очевидно, что гомотетия с коэф- фициентом k = — 1 совпадает с цен- рнс 54 тральной симметрией относительно
центра гомотетии.
О п р е д е л е н и е 2. Геометрическое место точек, полу
ченных из точек фигуры F в результате гомотетии II рода продолжении луча О А и такую, что (Рис- 54).
С
относительно центра О с коэффициентом k < 0, образует фигуру F ' , которая называется преобразованием гомо
тетии II рода фигуры. F (рис. 55).
§ 19. Свойства гомотетии II рода. Т е о р е м а . Гомо
тетия II рода с отрицательным коэффициентом k и центром О может быть получена пут ем последова
тельного применения гомотетии I рода с коэффициен
том \k\ > 0 и центром О и центральной симметрии относительно того же центра.
Д а н о : О — центр гомотетии, k < 0 — коэффициент гомо
тетии, А ' — гомотетия II рода точки А, т. е. ОА' — |ft| • О А (рис. 56),
38
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что точка А ' может быть по
лучена из точки А, если последнюю сначала преобразовать гомотетией I рода с коэффициентом |й | и центром О, а затем полученную точку преобразовать центральной симметрией
относительно того же центра.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дей
ствительно, при гомотетии I рода с коэффициентом |А| точка А перейдет в такую точку А " , что O A " = \ k \ - O A = O A'. Приме
ним теперь к точке А" преобра
зование центральной симметрии. Рис. 56.
Поскольку ОА" — О А ' и точ
ки А ' и А ' лежат на одной прямой с точкой О по разные стороны от нее, то точка А " преобразуется в точку А ' , а это и требовалось доказать.
Из этой теоремы вытекают следующие свойства гомо