II. Реш ение косоугольных треугольников
1) Решив прямоугольный треугольник ВОС, в котором 1 OQO
нам Иівестны катет ОС — г и / ВОС — --- , найдем:
п
З а д а ч а 4. Определить острый угол ромба, в к о тором сторона есть среднее пропорциональное меж ду его диагоналями.
Р е ш е н и е . Обозначим сторону ромба через а, а его острый угол через а (рис. 82).
Выразим диагонали ромба через а и а. Из прямоуголь
ного треугольника ВОС имеем:
В
P = nAB = 2 r n t g ^ ~ .
А 2) Найдем площадь многоугольника S:
S — n S A0B, но
D Рис. 82.
Следовательно,
Но по условию задачи
ВС = У АС ■ BD.
т. е.
или
1' = s i n a .
Решив полученное уравнение относительно si na и учитывая, что 0 < a < 90°, найдем, что sin a = - j , откуда a = 30’.
З а д а ч а 5. В Д ABC со стороной А В — с и угл а м и А — а и В = $ внешним образом вписана окружность, касающ аяся стороны. ВС. Определить радиус окруж ности.
Р е ш е н и е . С п о с о б I. Обозначим через О центр ок
ружности, Е и F — точки касания (рис. 83). Углы ABC и FOE равны, как углы с взаим-
но перпендикулярными сто- ронами (OF J _ C B , ОЕ АВ).
Следовательно, / _ FOE — (5, \
[ _ F O B = 1 _ В О Е = \ . )
Так как центр О лежит на )
пересечении биссектрис углов д ^ _______
В А С и С BE, то отсюда еле- с s ^
/ и Л Г ) а Р и с ' 8 3 -
дует, что [ _ В А О — -ү .
Рассмотрим Д А О В , в котором сторона А В — с и В АО = - т г ■ Определим второй угол этого треугольника:
А О В — l _ А О Е — ^ ВО Е — 90°--- g--- f - . Применив к Д А О В теорему синусов
А В ОВ
sin АОВ sin ОАВ '
найдем сторону ОВ:
ОВ АВ sin ОАВ
с sin -g-а a
с sin ү - sin АОВ
sin ^90°---j -
81
Решив прямоугольный треугольник ВОЕ, в котором нам известна гипотенуза ОВ и ВОЕ, получим:
, а Р
„ с sin - s - cos H j- OE = R = OB cos 4 - = - 2a - f p 2
cos — A-5-
С п о с о б II. Рассмотрим два прямоугольных треуголь
ника А О Е и ВО Е (рис. 83). Из Д ВОЕ имеем:
BE = R tg-§-, откуда
А Е = А В + B E = c + R t g - ^ - .
Тогда из прямоугольного треугольника АОЕ следует, что OE = A E t g - -J-
ИЛИ
/ г = ( с + я tg
Решив последнее уравнение относительно R, получим Я ( l - t g - f t g i ) = Ct g - |- ,
R =
, а . ' a р а
с tg ~2~ с sin - у cos -4р cos ү - - , р , a а I а [5 . a . 8 \ 1— tg-g-tg-j c o s ^ (cos y c o s i - — s in -jsm -|-l
a P
с sin -ү- cos ~
= S T P *
cos---~ - Из полученного результата следует, что задача имеет ре
шение для любого треугольника, так как 0 < a - f - p < 1 8 0 °
И о < < 90°.
З а д а ч а 6. Н а тело действуют силы и F2, равные соответственно а и b к Г (а > Ь), под углом а < 180°
друг к другу. Вычислить величину равнодействующей Ғ и найти углы, которые она образует с составляющими.
82
Р е ш е н и е . Известно, что равнодействующая направлена по диагонали параллелограмма, построенного на векторах Ғ, и Ғ2, н численно равна длине этой диагонали.
Таким образом, наша задача сводится к отысканию дли
ны МС и углов А М С и СЛАВ (рис. 84).
Рассмотрим Д А М С , в котором нам известны стороны М А = а, АС — Ъ и M A C = 180° — и.
По теореме косинусов найдем:
МС = IF | = У a ? 2a6cos(180° — а) =
= У а2 -(- Ь2 2 ab cos а . Угол А М С определим по теореме синусов:
АС МС
sin^AfC sina ’ откуда
. „ о ylCsina fisina ' ...
sin А М С — --- — - , (1) МС Y а2 b2 2ab cos a
причем [_ А М С < 90°, так как a > b.
З а м е ч а н и е . Проверим, что э і п Л Ж С ^ І . Из нера
венства
b sin a
У а 2 -)- b2 -(- 2ab cos a < 1
получим, что b2 sin2 a ^ a2-\-b2-\-2ab cosa, или a2- f b2 cos2 a -)- 2ab cos a 0. Послед
нее очевидно, так как a2-\-b2 cos2 a -f- -j- 2ab cos a = (b cos a -)- a)2.
Если a < Ь,то l _ C M B острый. Этот угол нужно определить из Д С Л Ш .
Если а — Ь, то А М В С — ромб и искомый угол равен Это непосредственно видно из формулы (1), если положить в ней а = Ь. Тогда
о • <* и
2а sin -рг cos -ғг
a sin a 2 2 . а
sin А М С — ---- = = = = - = --- = sin— . a j /2(l + cosa) e -2c o s - |-
/ _ А М С = ~ , так как / _ А М С < 90° и -J- < 90°.
6* 83
З а д а ч а 7. Н а равнодействующая
трим М В -
тело действуют силы Fj a F2, которых равна т к Г и направлена под углом а < 180° к силе Ғх, р а в ной а кГ (т > а). Н айт и величину второй составляющей Ғ2 и угол, который образует Ғ2 с равнодей
ствующей Ғ (рис., 85).
Р е ш е н и е . Наша задача сводится к отысканию А М и [_ А М В . Посколь
ку а < т, то / _ А М В < 90°. Рассмо- Д А М В , в котором нам известны стороны А В — а , -т и A B M — а. По теореме косинусов найдем А М :
F > | — Ү а2 -4- т2 — 2am cos а А М = |F 2| = У а2 + т2
Затем, используя теорему синусов
А В А М
sin А М В найдем 1 _ А М В \
sin А М В = А В sin а a sin а
А М Y а 2 -(- т 2 — 2am cos а (2) Задача имеет решение при любом а < 180° (см. замечание к предыдущей задаче).
Если а — т. то задача упрощается. В этом случае Д А М В будет равнобедренным (А В = М В ) и [_ А М В нахо
дится сразу по формуле
[_ А М В — 18°1 ~ ~ а = 90°---ү . З а д а ч а 8. На п л о ск опарал
л ельн ую пласт инку падает луч све
та. Определить смещение этого л у ч а после прохождения через п л а ст инку, если угол падения луча равен a, a d — толщина пластинки.
Р е ш е н и е . Луч А1А, встретив пластинку в точке А, изменит направление и пойдет по прямой А В под углом р к перпендикуляру АС (рис. 86). При выходе из пластинки в точке В луч пойдет по прямой B N , образующей с прямой, параллельной АС, угол у.
По закону преломления света
s i n a .. sin Р 1 sin ү И Г’
Sin Р : II,
84
s i n a . D sin ү
о т к у д а s in p = --- и s i n p = —^ — , с л е д о в а т е л ь н о , s in a = s i n v , т . e . а = ү , т а к к а к у г л ы a и у о с т р ы е .
С м ещ ен и е B D н ай д ем и з п р я м о у г о л ь н о г о т р е у г о л ь н и к а A B D , в к о т о р о м А В = ^ ^ B A D — а — (5. П о э т о м у
d sin (a — fS) B D ^ = A B s \ n B A D - -
cos Задачи к третьей главе
Реш ить косоугольны е треугольники по следую щим данным:
1. а = 130; Ь= 180; с = 150.
2. а ==61,6; ft = 41; А = 144°42'.
3 . а = 1300; b = 1500; С = 59°29'.
4. a = 218; £ = 56°51'; С = 45°18'.
5 . Ь = 22,5; = 117°45'; В = 20°40'.
6 . a = 460; 6 = 654 7. а = 455; Ь = 650 8 . а = 130; b = 350
Л = 35°12' с = 100.
Л = 71°.
9 . На материальную точку действую т силы 33 кГ и 39 кГ.
О пределить углы, которы е образует с этими силами уравновеш и
ваю щ ая их сила вбОлгГ.
10. Под действием сил 25 кГ, 36 к Г и 29 кГ, располож енных в одной плоскости, м атериальная точка находится в равновесии.
О пределить углы меж ду силами.
11. Д ве силы 36 кГ и 83 кГ действую т на м атериальную точку под углом a = 77°12'. О пределить их равнодействую щ ую и угол, который она состав ляет с больш ей силой.
12. По данной стороне а правильного вписанного я-угольника вычислить сторону правильного описанного я-угольника.
13. О пределить наименьш ую диагональ правильного л-уголь- ника, сторона которого равна а.
14. Д иагонали прям оугольника пересекаю тся под углом a (a< 9 0 °), а площ адь его равна Q. О пределить, стороны прям оугольника.
15. В параллелограм м е даны остры й угол а и расстояния а и Ь от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. О пределить диагонали и площ адь параллелограм м а.
16. Из точки, леж ащ ей вне круга на расстоянии d от его центра О, проведены к окруж ности две касательны е. Угол меж ду касательны ми равен а. Н айти площ адь правильного треугольника, вписанного в этот круг.
17. П араллелограмм с острым углом ф описан около круга радиуса г. Найти площ адь параллелограм м а.
1 8 . Острый угол ромба равен а. П лощ адь вписанного в него круга равна S. Найти площ адь ромба.
19. Вокруг треугольника A B C описана окруж ность. Н айти от
нош ение площади треугольника к площ ади круга, если углы А и В равны соответственно а и р.
20. Д ве окруж ности радиусов г и 3г касаю тся внешним обра
зом в точке А. О пределить угол меж ду их общ ей внеш ней каса
тельной и линией центров.
85
21. О снования равнобочной трапеции равны а и Ь (а > Ь), острый угол равен р. О пределить вы соту и боковую сторону т р а пеции.
2 2 . Д иагональ d прямоугольной трапеции перпендикулярна к боковой стороне, образую щ ей с основанием трапеции угол а.
О пределить стороны трапеции.
2 3 . О коло равнобедренного треугольника описана окруж н ость и в него же вписана окруж ность. Угол при верш ине треугольника равен р, боковая сторона равна с. О пределить радиусы о к р у ж ностей.
2 4 . О пределить углы прямоугольного треугольника, если радиус описанного круга относится к радиусу вписанного круга, как 5 : 2 .
Рис. 87, Рис. 88.
2 5 . Стропила В А и В С (рис. 87) составляю т угол а с горизон тальной балкой А С . 1C концу В подвеш ен груз Р. О пределить силу F,, прижимающую стропильную ногу к балке А С , и силу F2, растягиваю щ ую балку АС.
2 6 . Поезд идет со скоростью 12 м / с е к, и пассаж иру из вагона каж ется, что капли дож дя падают под углом 30° к отвесном у на
правлению . О пределить среднюю скорость падения дождя.
2 7 . На плечо длины I прямолинейного рычага действует сила Ғ к Г под углом а к рычагу. На другое плечо действует сила Q к Г иод углом р к рычагу. Найти длину второго плеча, если ры чаг находится в равновесии (рис. 88).
С Т Е Р Е О М Е Т Р И Я
Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ