Сандық шешімін зерттеу

(1)-(4) есептің сандық шешімін қарастырайық. Ол үшін әуелі бірлік

 

0,l кесіндісін теңдей

n

бөлікке бөліп,x айнымалысы бойынша қадамы

n

h l болатын тор енгіземіз де,x_i ih,i0,1,...,n , hnl арқылы тордың түйіндерін белгілейміз және ui u

 

xi болсын. Ал

t

айнымалысы бойынша

j

t_j  , j0,1,...,m1 торын енгізіп, u^j u

 

t^j болсын. Тордың әрбір түйіндеріндегі торлық функцияның мәндерін

 

i^j j

i t u

x

u ,  ,

 

i^j j

i t v

x

v ,  ,

 

j

j f

t

f 

арқылы белгілейміз.

Алдымен (13) теңдеудегі ^f

 

^t функциясының

j

қабатындағы мәнін сандық мәнін анықтайық











 











i n

i

j i m j

i m i j j i j

m w

h u c u

e g

f ₁

1

, 1 , 1

1

1 (16)

Мұндағы w₁

 

x w_x

 

x , e₁

   

t e^' t













 h i n n i h c_i

, 0 2;

1 , 1

;

.

берілген функциялар (Бұл функциялар берілген белгілі функциялардың туындылары болғандықтан, олардың айырымдық сұлбасын құрып есептеуді ыңғайлылық үшін артық деп есептелінді, айырымдық сұлбасын құру кедергі жасамайды).

Енді (14) есепті шешу үшін уақытты параметр ретінде қарастырып, екінші ретті жәй дифференциялдық теңдеу үшін шеттік есеп ретінде қуалау әдісін қолданып есептейміз. Ол үшін есептің шектік-айырымдық теңдеуін құрамыз:

j mi j i j m j

i m j

i m j

i m j

i

m v f g u

h u v

v     

 ^ 2 ^ ,

1 , , 1

, 2

, мұндағы,

hn1-қадам. Бұл теңдіктен,

j i m j i j m j

i m j

i m j

i

m v f g u

v h v h

h^{2 , 1 2 , 2 , 1 ,}

1 1 2

1    



 

 



 _{ } (17)

және (14)-дегі шекаралық шарттан 0

0 _,

0

,  _m^j_n

j

m v

v (18)

екенін анықтаймыз. (17)-нің шешімін қуалау әдісі бойынша v_m^j_,i-дің мәндерін

j i m i

i m j i j

i

m v

v _, _{1 ,1} _,1, i0,1,...,n, j0,1,...,m1 (19) анықтаймыз. Мұндағы _i1,_i1 коэффициенттері

2 , , 1

0 ,

0 _{1 1 2}

1 j

i j

i j

j

h 





   _   

 

2 ² ,

, 2

1 j

i j

i m j i j m j

j i

i h

u g f h



 







 

 i0,1,...,n1 (20)

рекуренттік формулаларымен есептелінеді.

Енді бұл j-қабаттағы табылған f_m^j және v_m^j_,i мәндерін пайдаланып, (15) есептен u_m^j_,¹_i функциясының мәндерін есептейміз.



1



_,, ⁰_{, 0}, 1,..., 1, 0,1,...

, 1

,       

 v u u u i n j

u_m^j_i  _m^j_i  _m^j_{i mi i} (21)

j i

um_, -лердің мәндерін аламыз.

Міне бұл алынған есептеулерді жүйелеп, қорытындылап алгоритмін жазайық:

Алгоритмі. Сонымен (1)-(4) кері есебінің сандық шешімі келесі алгоритм бойынша орындалады:

Әрбір m- ші итерацияда m1,2,..., келесі 1)-3) қадамдары қайталанып орындалады:

Әрбір

j

-қабатта ( j0,1,...,k1):

1). (16) өрнектен белгілі u_m^j_1,i функциялары арқылы f_m^j мәні есептеледі;

2). Бұл есептелінген f_m^j және u_m^j_,i мәндері арқылы (19) өрнектер арқылы _m,^j_i- мәндері анықталынады;

3). 1)-қадамда табылған f_m^j және 2)-қадамда анықталған _m,^j_i мәндері арқылы (21) есептен u_m^j_,i¹- мәндері есептелінеді. Бұл процесс, яғни 1)-3) қадамдар j бойынша k1 рет орындалғаннан кейін m бойынша келесі қадамға жылжиды. Міне бұл процесс қажетті қателікке жеткенге дейін қайталанады.

Әрине, жоғарыдағы (21) шарт орындалса, онда ақырлы қадамдардан кейін шешімнің қаталігі өте аз болатындығын келесі мысалдардан көруге болады.

3 Тест функцияларға тексеру.

Бұл алгоритмнің дұрыстығы бірнеше тест функциялар құру арқылы тексерілді.

Мысал. Айталық, (1)-(4) есебін Q_T 

   

0,1 0,1 тіктөртбұрышында u₀ sinx

, g

 

x,t e^2tsinx,

 

x x

w sin ^e(t)0.5



^12



^et үшін қарастырайық.

Бұл есептің дәл шешімдері ue^tsinx, f

 

t e^t.

Төмендегі нәтиже графиктерден байқағанымыздай, (сурет-1) ^u

 

^x,t функциясының қателігі әр қадам үшін uy 0.002. Ал ^f

 

^t функциясының m9қадамдағы мәндері m5қадамдағы мәндерге қарағанда дәлірек екенін көреміз (сурет 2), яғни итерация көбейген сайын дәл шешімге жинақтала түсуде.

Сурет 1. n=5 итерациядағы u(x,t), y(x,t)-шешімдердің t=0; 0,3; 0,6;1 мезеттегі графигі

Сурет 2. f(t) -фукнциясының графигі Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1 Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения водных растворов полимеров. - Зап.научн.семинаров ЛОМИ АН СССР, 1973, 38, с.98-136.

2 Звягин В. Г., Турбин М. В. О существовании и единственности слабого решения начально-краевой задачи для модели движения жидкости Фойгта в области с изменяющейся со временем границей// Вестн. ВГУ. Сер. физ.

матем. – 2007. – № 2. – С. 180–197.

3 Abylkairov U. U., Khompysh Kh. An inverse problem of identifying the coefficient in Kelvin-Voight equations//

Applied Mathematical Sciences, Journal for Theory and applications, Vol. 9, 2015, no. 101-104. – P. 5079-5089.

http://dx.doi.org/10.12988/ams.2015.57464

4 Абылкаиров У.У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения.

Математический журнал. – Алматы, -2003. – т. 3. – №4(10). – С. 5-12.

5 Cannon J.R. and Yin H.M., On a class of non-classical parabolic problems, J. Differential Equations 79, 266-288, (1989).

6 Cannon J.R. and Yin H.M., Numerical solution of some parabolic inverse problems, Numerical Methods for Partial Differential Equations 2, 177-191, (1990).

7 Asanov, A., Atamanov E.R. Nonclassical and invers problems for pseudo-parabolic equations / Tokyo, 1997. –152p.

8 Аблабеков, Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. – Бишкек: Илим, 2001. – 183 с.

9 Lyubanova A.Sh., Tani A., An inverse problem for pseudoparabolic equation of filtration. The existence, uniqueness and regularity, Appl. Anal., 90 (2011), 1557-1568.

10 Showalter R.E. and Ting T.W., “Pseudo-parabolic partial diferential equations,” SIAM JournalonNumericalAnalysis, vol. 1, pp. 1–26, 1970.

11 Fan Y. and Pop I.S., “A class of pseudo-parabolic equations: existence, uniqueness of weak solutions, and error estimates for the Euler-implicit discretization,” Mathematical Methods in the Applied Sciences,vol.34,no.18,pp.2329–

2339,2011.

12 Fan Y. and Pop I.S., “Equivalent formulations and numerical schemes for a class of pseudo-parabolic equations,”

Journal of Computational and Applied Mathematics,vol.246,pp.86–93, 2013.

УДК 519.7:004.8 ГРНТИ 27.47.23

А.Б. Николенко ¹

1 к.ф.-м.н., доцент

Алматинского филиала Санкт-Петербургского Гуманитарного университета профсоюзов, г.Алматы, Казахстан

ОСИНТЕЗЕИТЕРАЦИОННЫХПРОГРАММВСИСТЕМЕНАТУРАЛЬНОГОТИПА

Аннотация

Работа посвящена вопросам формализации итерационных вычислений. Строится система первого порядка, предназначенная для моделирования содержательных математических рассуждений. Правила системы вывода позволяют моделировать прямые и обратные рассуждения и являются обобщениями правил традиционной системы натурального вывода. Определяется фрагмент языка первого порядка для формализации предметной области, из которых затем извлекаются итерационные программы для решения задач обработки массивов целых чисел. Описан процесс построения логических выводов в этой системе. В качестве примера рассмотрена задача на изменение состояния массива целых чисел. Приводятся теоремы о конструктивности выводов и правильности извлекаемых программ. В заключение сформулированы направления развития логико-математических методов в области дедуктивного синтеза программ и интеллектуального планирования.

Ключевые слова: итерационные вычисления, синтез программ, система логического вывода, состояние массива, конструктивный вывод, полностью корректная программа.

Аңдатпа А.Б. Николенко¹

НАТУРАЛ ТҮРІ ЖҮЙЕСІНДЕ ИТЕРАЦИЯЛЫҚ ПРОГРАММАЛАРДЫҢ СИНТЕЗ ТУРАЛЫ

1 ф.-м.ғ.к., Алматы филиалы, Санкт-Петербургтың гуманитарлық кәсіподақтар университетінің доценті, Алматы қ., Қазақстан

Жұмыс итерациялық есептеулерді формальдау мәселелеріне арналған. Мазмұнды математикалық тұжырым- дарды моделдеуге арналған бірінші ретті жүйе құрылды. Жүйені шығару ережесі тура және кері тұжырымдарды моделдеуге мүмкіндік береді және натурал шығарудың дәстүрлі жүйелерінің жалпыланған ережесі болып табылады.

Бүтін сандар массивін өңдеу есептерін шығаруға арналған интерациялық программалар шығарылатын пәндік саланы формальдау үшін бірінші ретті тілдің фрагменті анықталған.

Осы жүйеде логикалық шығарылымдар құру процесі сипатталған. Мысал ретінде бүтін сандар массивінің өзгеру жағдайына зерттеуге арналған есеп қарастырылған. Программадан шығарылатын шығарылымдардың конструктивті- лігі мен дұрыстығы туралы теорема келтірілген.

Қорытындыда программаның дедуктивті синтезі мен интеллектуалдық жоспарлануы саласындағы логикалық- математикалық әдістердің даму бағыттары тұжырымдалған.

Түйін сөздер: итерациялық есептеулер, программа синтезі, логикалық шығару жүйесі, массив күйі, конструктивті шығарылым, толық түзетілген программа

Abstract

ABOUT SYNTHESIS OF ITERATIVE PROGRAMMS IN THE SYSTEM OF NATURAL TYPES

Nikolenko A.B.¹

1 Cand.Sci. (Phys-Math), Associate Professor of the Almaty branch of the Saint Petersburg University of Humanities and Social Sciences, Almaty, Kazakhstan

The paper is devoted to the formalization of iterative calculations. A first-order system is designed to simulate meaningful mathematical reasoning. The rules of the inference system allow modeling direct and inverse reasoning and are generalizations of the rules of the traditional system of natural inference.A fragment of the first-order language is defined to formalize the subject area from which iterative programs are then extracted to solve the problems of processing integer arrays.

The process of constructing logical deduction in this system is described. As an example, we consider the problem of changing the state of an array of integers. Theorems on the constructibility of the derivations and the correctness of the extracted programs are given. In conclusion, the directions of the development of logical-mathematical methods in the field of deductive synthesis of programs and intellectual planning are formulated.

Key words: iteration calculations, program synthesis, systems of logical deduction, station of array, constructive deduction, totally correctness program.

В работе развивается подход к дедуктивному синтезу программ с циклами, предложенный в [1-3]. В основе формализма лежит система первого порядка , правила вывода которой позволяют моделировать прямые и обратные рассуждения и являются обобщениями правил традиционной системы натурального вывода [4]. Объекты рассматриваемой предметной области – целые числа и массивы целых чисел. Массив рассматривается как совокупность независимых переменных. Фрагмент языка первого порядка L для формализации предметной области определяется так, что большинство используемых функций и предикатов имеют общеупотребительное значение.

In document Просмотр «Том 58 № 2 (2017): Вестник КазНПУ им.Абая. Серия: физико-математические науки» | «Физико-математические науки» (бет 68-72)