• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

СВОЙСТВА РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ТОЧЕК В ГРУППАХ

с е р и я ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ. 2013. № 2. 103 т ш ш ш а т ш ш ш в ш ш е ш ш ш т г а ш е ш е ш ш е т н

Мацалада корпорапшвтік инфрақурылымдардагы компъютерлік желілердің ңауіпсіздігін ңамтамасз ету, осы жүмыста үрдістік қарауды ңолдану мәселес қарастырылады.

The article examines the security o f corporate computer networks infrastructures, the process approach in this work.

УДК 512.54

В. И. Сенатов*, Е. Н. Яковлева**

ш е т н е ш ш ш ш ш н ш Е т п т ш а ш ш ш е в н ш ө о в ш Третий раздел посвящен установлению свойств элементарных точек, являющихся обобщением понятия точки.

В четвертом разделе мы приведем известные и вспомогательные результаты, шэбходимые нам при доказательстве результатов статьи.

Группы без инволюций, обладающие точками, рассматривались в работе В. П. Шункова и В. И. Сенашова [2]. Некоторые свойства групп с инволюциями, содержащими точки, описаны в работах В. П. Шункова [1], А. И. Созутова [3]. Свойства точек в группах получены в работе авторов [4].

1. Свойства точек в группах

Приведем примеры групп с различными вариантами расположения в них точек.

В кошчных группах каждый элемент является точкой.

Группа Новикова-Адяна, периодические произведения Адяна кошчных групп без инволюций, периодический монстр Ольшанского являются примерами групп, в которых каждый шединичный элемент является точкой.

Единичная группа и группы без кручения — группы с единственной точкой.

Г руппа с кошчной периодической частью — группа, в которой каждый элемент кошчного порядка является точкой.

Свободное произведшие шединичной кошчной группы и любой другой шединичной группы — группа с бескошчным множеством точек.

Пусть Т , Т , .... Т , ... — бескошчная последовательность кошчных фробениусовых групп с одним и тем же неинвариантным множителем Н: Т = Ғ АН, п = 1,2, 3, ...И И / / /

Свободное произведшие G групп этой посждовательности с объедишнной подгруппой Н является группой с штривиальной точкой.

Существуют группы, ш обладающие точками. Например, группы Голода с числом образующих > 3 ш содержат точек.

Перечислим шкоторые известные свойства точек в группах, шэбходимые нам в дальшйшем.

Теорема 1. Никакая группа ш содержит бескошчной локально кошчной подгруппы с точками [5].

Теорема 2. Нормализатор точки обладает конечной периодической частью [4].

Теорема 3. Н и какая группа не м ож ет обладать одновременно бесконечным множеством конечных подгрупп, содержащих точку, и кошчным штривиальным инвариантным множеством элементов кошчного порядка [4].

2. Инволютивные точки

В этом разделе мы рассмотрим частный случай точек — инволютивные точки.

104 ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ

ш в о в ш ш т в п е ш т ш ш т ш ш е ш ш т т ш в г а е ш н Определение. Точка второго порядка называется инволютивной.

Докажем следующую теорему, раскрывающую структуру кошчных подгрупп, пересекающихся по подгруппе, содержащей инволютивную точку.

Теорема 4. Пусть Q — бескошчное множество кошчных подгрупп группы G с пересечением Т, содержащим инволютивную точку /.

Тогда множество Q обладает таким бескошчным подмножеством Q p что если В — бескошчное подмножество из Q p то пересечение подгрупп из В совпадает с Т, множество обладает таким бескошчным подмножеством

Q2, ч т о N J K ) Т ф Н для любой штривиальной (/-инва~риантной подгруппы

К из Т и любой подгруппы Н из Qr

Доказательство. Сначала докажем следующее утверждение. Пусть G — группа, / — ее инволютивная точка, Q — бескошчное множество кошчных подгрупп и / содержится в их пересечении Т. Множество Q обладает таким бескошчным подмножеством В, что для пересечение подгрупп из любого бескошчного подмножества А из В совпадает с пересечением подгрупп из В.

Действительно, предположим, что это не так. Тогда Q обладает бесконечным подмножеством с пересечением его подгрупп Т

Ф

Т,

— подмножеством Q2 с пересечением его подгрупп Т2 Ф Т1 и т. д. В результате такого выбора подмножеств Q (п = 1, 2, . . .) из Q получим строго возрастаю~тцую цепочку конечных подгрупп Т , n = 1, 2, . . . Ее объединение V является бесконечной локально конечной подгруппой, содерж ащ ей инволю тивную точку /, что п ротиворечи т теореме 1.

Следовательно, цепочка подмножеств обрывается на кош чном номере и утверждение доказано.

Теперь предположим, что для шкоторого бескошчного подмножества А из Q и шкоторой (/)-инвариантной подгруппы К ф 1 из Т нормализатор N JK ) ш содержится в Т для любой подгруппы Н из множества А.

Множество {Nh(K) \ Н О А} ш может быть бескошчным, так как иначе мы пришли бы к противоречию с условиями К Ф 1, i U Nh(K) и и н в о л ю ц и я

/ — точка в G. Следовательно^ {Nh(K) \ Н и А} кошчну и по утверждению А обладает таким бескошчным подмножеством Y , что N J K ) £ Т (Н UQ вопреки определению множества А. Полученное противоречие означает, что условие N J K ) может ш содержаться в Т только для кошчного числа подгрупп вида Н О О. Теорема доказана.

В следующей теореме будем использовать обозначения Т, Q 2, введенные в теореме 4. Докажем следующую теорему, раскрывающую структуру шкоторых кошчных подгрупп, пересекающихся по подгруппе, содержащей инволютивную точку.

Теорема 5. Пусть М — шкоторая подгруппа из Q2 и О ’(М) Ф 1, / — инволютивная точка. Тогда М — группа Фробениуса с дополшнием См(і), содержащим Т.

а г а ш п е ш т ш ш а т ш п ш в ш ш е ш ю ш е т ш г ш ш ш Доказательство. Пусть R — нилытотентный радикал из О ’(М). По предложению 1 R ф 1. Если бы ГЕМ ф\, то, используя нормализаторное условие в нильпотентных группах (теорема 17.1.4 [6]) и свойства множества Q2, м ы доказали бы R < Т и М < Т вопреки условию Т ф М из для групп М из множества Q r Следовательно, ТШЯ ф\ и, в частности, С (і)Ш R =

1. Если бы С (R) обладал инволюцией к, то, очевидно, ее можно было бы выбрать так, что k sC (і). Но тогда по свойствам множества Q2 R <

СМ(К) Т и мы получили бы противоречие с доказанным выше равенством ТӨ R = 1. Отсюда имеем, что CM(R) ж содержит инволюций, а так как Cm(R ) < М, то CM(R) £ 0 2 ’(Ad). Далее, ввиду предложения 2 CM(R) = R и М

= RCM(i). Отсюда и из по свойствам множества Q2, очевидно, вытекает, что C J i) — дополшние группы Фробениуса М. Теорема доказана.

3. Элементарные точки

Этот раздел посвящен обобщению понятия точки, а именно, вводится определение элементарной точки.

Определение. Элементарными точками группы G называются элементы кожчного порядка следующего типа:

а) единица — элементарная точка в том и только том случае, если множество элементов кошчного порядка из G кошчно;

б) а — жединичный элемент, который содержится в кожчном числе конечных подгрупп из N (К), где К — элементарная абелева группа, нормализ)емая элементом а.

Докажем ряд свойств элементарных точек.

Теорема 6. Если элемент а — элементарная точка группы G, то он является элементарной точкой любой подгруппы из G, содержащей элемент а.

Доказательство. Пусть а — элементарная точка группы G. Пусть Н — произвольная подгруппа группы, содержащая элемент a, L — жединичная элементарная абелева подгруппа группы Н. Множество кожчных подгрупп из нормализатора N JL ), содержащих а, кожчнс^ так как по определению элементарной точки кошчно множество кожчных подгрупп из нормализатора N (L), содержащих а, а нормализатор N J L ) содержится в нормализаторе N (L). Следовательно, элемент а является элементарной точкой группы Н.

Теорема доказана.

Теорема 7. Н икакая группа не мож ет содерж ать одновременно бескошчное множество кошчных подгрупп с штривиальным пересечением, содержащим элементарную точку а, и штривиальную элементарную абелеву нормальную подгруппу.

Доказательство. Так как в группе G по условию имеется бескошчное число элементов кошчного порядка, то а ф е по определению элементарной точки. Пусть группа содержит бескошчное множество кошчных подгрупп с штривиальным пересечением L, содержащим элементарную точку а и

106 ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ

т ш ш ш а т ш ш ш в ш ш е ш ш ш т г а ш е ш е ш ш е т н жтривиальную элементарную абелеву нормальную подгруппу К. Так как К является нормальной подгруппой группы G, то N (К) = G и множество кожчных подгрупп в N (К), содержащих а, бескожчно т.е. а ж является элементарной точкой группы G. Теорема доказана.

Теорема 8. Если а — элементарная точка группы G, Р — конечная р-подгруппа группы G, нормализ)емая элементом а, то в нормализаторе N (Р) элемент а содержится в кожчном числе кожчных подгрупп.

Доказательство. Поскольку Р — кожчная р-группа, то она обладает жтривиальным центром 2(Р). Нижний слой А группы Z(P) представляет собой элементарную абелеву группу. Так как А является характеристической подгруппой в Z(P), то Ng (Z(P))£ N (А). Ввиду того что Z(P) характеристична в Р, то N (Р) £ N (Z(P)). Следовательно N (Р) £ N (А). Так как по определению элементарной точки элемент а содержится в конечном числе конечных подгрупп из N (А), то а также содержится в конечном числе кож чных подгрупп из N (Р). Теорема доказана.

Теорема 9. Бескожчная черниковская группа ш обладает элементарными точками.

Доказательство. По свойствам черниковских групп в бесконечной черниковской группе G каждый элемент содерж ится в бесконечном множестве кожчных подгрупп. Так как нижний слой любой примарной силовской подгруппы полной части группы G является элементарной абелевой подгруппой, то доказываемое утверждение следит из теоремы 7. Теорема доказана.

4. Известные и вспомогательные результаты

В этом разделе мы приведем известные и вспомогательные результаты, жобходимые нам при доказательстве результатов статьи. При ссылках будем называть их предложениями с соответствующим номером.

1. Теорема Фейта-Томпсона. Конечная группа нечетного порядка разрешима [7].

2. Пусть G — кожчная разрешимая группа, L — ее нильпотентный радикал, тогда С (L) < L [81-

Работа выполжна при поддержке гранта 0112РК02319 Министерства образования и науки Республики Казахстан (проект «Разработка теории сравшний в группах») и гранта СФУ (проект - алгебро-логические структуры и комплексный анализ).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Шунков, В .П. Группы с инволюциями [Текст] / В. П. Шунков //

Препринт № 12 ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1986. — С. 1 — 25;

108

в г а ш е в п е ш ө о в ш ш т в н ш т ш т т ш ш ш ш т ш т 2 Сенатов, В. И. О группах с кожчной периодической частью [Текст]

/ В. И. Сенатов, В. П. Шунков // Алгебра и логика. — 1983. — Т. 22,

№ 1 ,— С. 9 3 -1 1 2 .

3 Созутов, А. И. О существовании в группе f-локальных подгрупп [Текст] / А. И. Созутов // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 5.

— С. 573-598.

4 Сенатов, В. И. Свойства групп с точками / В.И. Сенатов, Е.Н.

Яковжва // Институт вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск.

2001.15 с. Библиогр. 12 назв. - Рус. Деп в ВИНИТИ 27.03.01, № 748 - В2001.

5 Яковлева, Е. Н. О бескожчных локально кошчных группах [Текст]

/ Е.Н. Яковлева // II Всесибирский конгресс женщин-математиков: Сборник статей. 15-17 января 2002 г. — Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2002.

— С 185 - 188.

6 Каргаполов, М. И. Основы теории групп [Текст] / М.И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — 3-е изд. — М. : Наука, 1982.

7 Gorenstein, D. Finite Groups. N. Y. Chelsea, 1980.

8 Bender, H. Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede I Involution genau einen Punkt festlasst // J. Algebra. — 1971. — Vol. 17, № 4. — P. 527-554.

*Института вычислительного моделирования СО РАН;

**Лесосибирский педагогический институт - филиал СФУ.

Материал поступил в редакцию 25.07.2013.

В. И. Сенатов, Е. Н. Яковлева

Топтардағы әртүрлі нүктелердің қасиеттері

V. I. Senashov, E. N. Yakovleva

The properties of different types of points in groups

in stitu te of computational modelling SB RAS SFU, Krasnoyarsk;

**Lesosibirsk Pedagogical Institute - SFU branch, Lesosibirsk, Russia.

Material received on 25.07.2013.

Ш ексіз топтардагы нүкте туралы үгым ңарастырылады.

Нүктелердің топтардагы орналасуларының әртүрлі нүсңалары болатын топтардың мысалдары және нүктелердің цасиеттерін сипаттайтын кеіібір белгілі нәтижелер келтірілген. Инволютивті және элементарнүктелгрүшін бірңатар нәтижелгр дәлелденіп отыр.

т ш ш ш а т ш ш ш в ш ш е ш ш ш т г а ш е ш е ш ш е т н We consider the notion ofa point in infinite groups. Examples o f groups with different variants o f the placement ofpoints in them and some known results describing the properties ofpoints are given. We prove some results fo r involutive and elementary points.

ӘОЖ 530.145

E. Б. Совет, М. К. Жукенов

МАГНИТЭЛЕКТРЛІК АНИЗОТРОПТЫ ОРТАЛАР ҮШІН