Г ом ельский Г о суд а р ст вен н ы й т ехн и чески й ун и в е р с и т е т им. П .О . С ух о го Г ом ель, Б ел а р у с ь
Современные конструкции станков с ЧПУ позволяют реализовать как отдель
ные способы обработки, так и комбинированные с различными схемами формооб
разования. Такие возможности открываются при использовании многоцелевых стан
ков, обеспечивающих скорости рабочих подач до 50 м/мин., а частоты вращения шпинделя - до 12000 об/мин. Реализация комбинированных способов расширяет возможности технологического проектирования поверхностей деталей с заданны
ми физико-механическими и топографическими показателями. Знание топографии обработанных поверхностей расширяет возможности моделирования контактных статических, кинематических и динамических задач. Вследствие сложности опи
сания обработанных поверхностей моделировать их можно последовательно, в несколько методических этапов. Для реализации этого подхода были введены ме
тодические виды обработанных поверхностей: кинематическая, статическая и ди
намическая [1].
Для облегчения моделирования кинематических поверхностей их можно раз
бить на отдельные локальные отсеки в дифференциальной окрестности рассмат
риваемой точки. Классифицировать кинематические поверхности сложно, так как любая поверхность имеет участки гладкие регулярные и участки с особыми точка
ми и линиями. Поэтому возникает необходимость систематизировать эти участки по типу точек, в дифференциальной окрестности которых они расположены [1-4 и др.].
Можно выделить следующие типы локальных отсеков кинематической поверх
ности:
а) гладкие регулярные локальные отсеки. К этому типу относятся локальные микроучастки кинематических поверхностей, полученные по всем схемам формо
образования и расположенные в дифференциальной окрестности точек на поверх
ности (рис. 1, а);
б) гладкие нерегулярные локальные отсеки. К этому типу относятся локальные отсеки выхода и входа формообразующих кромок при формировании закрытых поверхностей. Такие микроучастки располагаются в дифференциальной окрестно
сти точек линий сопряжений (стыка) двух гладких регулярных отсеков, причем в окрестности только таких точек, в которых при переходе через линию касания ука
занных отсеков поверхности детали направление касательной не изменяется на
в) локальные отсеки возврата. К этому типу относятся нерегулярные локальные микроучастки, образующиеся при обработке полых осесимметричных деталей.
Такие микроучастки располагаются в дифференциальной окрестности точек ли
нии возврата двух касающихся друг друга локальных отсеков поверхности, причем
в окрестности только таких точек, в которых при переходе через линию касания указанных отсеков направление касательной изменяется на противоположное, ког
да имеет место обратное касание двух отсеков (рис.1, в);
г) локальные отсеки излома. К этому типу относятся нерегулярные локальные микроучастки, образующиеся при формирования характеристических линий но
минальных поверхностей по схеме огибания. Они располагаются в дифференци
альной окрестности точек линии пересечения двух гладких регулярных локальных отсеков кинематической поверхности (рис.1, г);
д) особые локальные отсеки. К этому типу относятся нерегулярные изолиро
ванные локальные микроучастки, образующиеся при обработке поверхностей осе
симметричных деталей на токарных операциях формообразующими кромками с углами в плане не равными нулю или при получении поверхностей по схеме огиба
ния. Эти участки располагаются в дифференциальной окрестности изолированных, особых точек поверхности (конических точек, особых точек первого, второго и более высоких порядков), гладких нерегулярных особых точек; точек касания, пе
ресечения или касания одновременно трех и более гладких регулярных отсеков кинематических поверхностей и т.п. (рис.1, д).
Рассмотрим методику моделирования кинематических поверхностей, сформи
рованных по различным схемам формообразования.
Наибольшее распространение получил метод, описывающий поверхность или ее локальные отсеки уравнениями, связывающими декартовые координаты точек
F ( x , y , z ) =0; z = z ( x , y ) . (1) В практике проектирования инструмента [5-7 и др.] широко используется бо
лее общее аналитическое представление, введенное К.Ф. Гауссом. Оно основано на том, что все координаты точек поверхности выражаются через два независимых параметра u и о:
x = x (u ,u );y = y (u ,\));z = z(u,u). (2) Тогда поверхность можно задать в виде
г = r(u, u) = x(u, и) i + y(u, u)j + z(u, u) k, (3) где r - радиус-вектор точки поверхности.
Например, запишем уравнение кинематической поверхности в параметричес
кой форме если:
X = Си; уравнения формообразую щ ей кромки инструмента, а у = Со;
z = -D/C - Au - Во - уравнение траектории ее движения. Тогда
г = {Cu,Cu, - D/C - Au- Во}= {0,0,- D/C}+ и{С,0,- А}+и{0,С,- В}.
Таким образом, u и о - общие координаты точки М плоскости с началом коор
динат в точке (0,0,-D/C) и масштабными векторами е^^=(С,0,-А} и еу ={0,С,-В}.
Уравнения (2) и (3) задают поверхность только в том случае, когда u и о незави
симые параметры. Необходимым и достаточным условием зависимости u и о явля
ется коллиниарность векторов Эг/Эи и Эг/Эо) в каждой точке поверхности, т.е. равен
ство нулю в каждой точке поверхности векторного произведения Эг/Эи X Эг/Эг>= 0.
Требование независимости параметров u и \) предполагает, что векторное про
изведение ортов касательных к координатным линиям однозначно определяет орт нормали п к поверхности в точке М .
Для облегчения моделирования кинематической поверхности, сформированной по схеме следа, можно воспользоваться простым выражением:
z=f,(x) + fj(y ), (4)
где fj(x) - уравнение формообразующей кромки инструмента;
f2(x) ~ уравнение траектории движения формообразования.
Поверхности вращения, образованные по схеме следа, можно получить, если в выражение, описывающее формообразующую кромку инструмента z = f(x), под
ставить вместо х выражение
л/хЧ У ^ •
( 5 )
Например, запишем уравнение кинематической поверхности при условии, что формообразующая кромка инструмента описывается уравнением z = -с/л х + с , а траектория движений формообразования - z = - с/Ь у + с.
Преобразовав эти уравнения к виду z-c= - (с/а)х; z-c = - (с/Ь)у, получим соглас
но (4) уравнение кинематической поверхности х/а + y ^ +z/c = 1, что соответствует плоскости общего положения.
Запишем уравнение поверхности вращения для случая, когда формообразую
щая кромка инструмента задана уравнением х^ !а^ -z^ /Ь^ = 1. Тогда уравнение по
верхности будет иметь вид
X^ + Y^ Z ^ _ а ' b'^ ■
Как известно, это уравнение, описывающее поверхность однополостного ги
перболоида.
Если формообразующую кромку не удается описать простым аналитическим выражением, то необходимо попытаться описать ее многочленом второй степени.
Коэффициенты многочлена можно определить из граничных условий. Кинемати
ческая поверхность, образованная такой кромкой, также будет описываться анало
гичного вида многочленом:
л J jX^ + +2aj3xz +2л2зУ2 + 2ЛцХ + + «44 = 0, (6)
или
(a„x + а,2у + a,jz + a,^)x + (a^jX + а^У + + «24>У + («зі^ + % У + + а „ )z +
+ a^jX + ад2У + a4jZ + =0, (7)
г д е а у ^ = а ^ ;і,к =1,2, 3,4.
Уравнение (7) можно записать в векторной форме:
¥ А г ^ + 2 а г ' ^ + Л44 =0, где А - аффинор с координатами А‘,^ = а^.
Так как уравнением (6) затруднительно пользоваться, то его можно свести к частным уравнениям простейших поверхностей путём соответствующих поворо
тов и переносов осей координат xyz.
При формировании поверхности по комбинированной схеме моделирование ее зависит от способа реализации этой схемы. Если образующая поверхности форми
руется по схеме следа, а направляющая - по схеме огибания, то достаточно моде
лировать один локальный отсек и записать поверхность в параметрическом виде
F(xyzt)=0. (8)
Локальные отсеки могут быть описаны уравнениями, ранее полученными для поверхностей, сформированных по схеме следа.
Если же образующая кинематической поверхности формируется по схеме оги
бания, а направляющая - по схеме следа, то вид уравнений кинематической повер
хности зависит от количества формообразующих кромок и вида траектории их дви
жений. В случае одной формообразующей кромки поверхность может быть сфор
мирована за один или несколько проходов. Такая поверхность состоит из локаль
ных отсеков, и описывающее ее уравнение можно получить в параметрическом виде. Для этого необходимо записать уравнение формообразующей кромки в виде (1) или (2), а уравнение траектории движения формообразования - в виде (1,3 ) и в зависимости от формы направляющей получить уравнение кинематической повер
хности в виде уравнений (4) или (5).
Свойства любой поверхности, описываемой уравнением (6), можно определить, используя теорию инвариантов.
Уравнение (6) можно также привести к каноническому виду (5,6,8). При парал
лельном переносе системы координат на вектор г^, координаты которого удовлет
воряют уравнению Аг^ = -а, в уравнении (6) исчезают линейные члены, и оно при
нимает вид
bjj Xj2 +622 Уі^ +Ьзз Zj2 +2Ь,2 X, Уі +2bj3 Xj Zj +2Ь2з Xj Zj = 0, (9) где Xj, yj ,Zj - координаты точки поверхности относительно новой систем Z]. В матричной форме уравнение (9) можно записать в виде
г, В г + Ь^4 = о ; г, =(х„ у,, 2, ) ; В = I bij I .
В результате такого переноса начало новой системы координат является цент
ром симметрии поверхности, т.е. если Г| = (Xj, у^ Zj ) - точка поверхности, то -г1 = ( -Xj, -yj, -Zj ) - также точка поверхности. Матрицы А и В - симметрические (ajj = а., и b.j= bji), поэтому их собственные значения действительны, а собственные векторы ортогональны. При последующем преобразовании к системе координат
S j с началом координат, совпадающим с системой и осями координат, совпада
ющими по направлению с собственными векторами, уравнение поверхности 2-го порядка приобретает вид
X jX / + X2y2^ + VZ22 + C44-0, (10)
где Xj, ^2» ^ собственные значения матрицы В.
В матричной форме уравнение (10) примет вид
^2 ^**2^ ^44 “ **2^ “ (^2 >Уг )»
с =
Aj 00 OAjO ООЛ3
где Xj, У2, Z2 ~ координаты точки на поверхности 2-го порядка относительно S2- При определении кинематической погрешности поверхности возникает потреб
ность не только в ее аналитическом представлении, но и в определении касатель
ной плоскости и расположения поверхности относительно декартовой системы ко
ординат.
Как известно [8 - 10], уравнение касательной плоскости в неособой точке (Xq, Уо, Zq) имеет вид
РЛХ(„Уо,7(,)(х-Хо)+Р/(Хо,Уо,2о)(у-Уо)+Р/(Хо,У(,,7о)(г-2(,)=0, (11) где F/(Xo, Уо, Z o), РДхо, Уо ,Z o), Р / (Хц, Уц ,z^) - частные производные по х, у и z уравнения (6).
Если не удается записать аналитическое выражение, описывающее кинемати
ческую поверхность, то ее можно задать каркасно. Из дискретных способов зада
ния поверхностей наиболее разработанным является графический способ ботак- сов и ватерлиний. Этот способ [11] заключается в построении системы параллель
ных сечений поверхности в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях. По рас
сматриваемому способу поверхности задаются определенным способом располо
женной системой линий на ней. Такой подход нашел развитие в работах Д.А. Виль
ямса, И.И. Котова, В. А. Осипова, Д.В. Павлова, Н.Н. Рыжова, С. А. Фролова и др. В практике машиностроения дискретно заданную поверхность полностью или по частям аппроксимируют аналитическими функциями, чаще всего сплайнами [12,13]
Наибольшее распространение получили кубические сплайн-функции, которые об
ладают хорошими аппроксимативными свойствами, что обеспечивает высокую точность воспроизведения повехности (при достаточной простоте реализации на ЭВМ), универсальностью, позволяющей использовать одни и те же аппроксимиру
ющие конструкции для различных типов сложных поверхностей.
При аппроксимации следует стремиться минимизировать число аппроксимиру
ющих отсеков путем увеличения площади каждого из них, рациональной их взаим-
ной ориентации и обязательном обеспечении заданной точности. Изменение пара
метризации формооброзуемой поверхности детали с помощью уравнения и' =
=u'(u, u) и t>' = м' (u, и) приводит к первым производным уравнения поверхности дг дгЬи ^ brdv
Эм' ЭмЭм' ЭиЭг>' ’ С учетом того, что
ЭР
Э и ' Э м Э и' dvdv' дгди ^ drdv
(1 2)
где [А] = [Эг/Эи 9г/Эо], из (12) следует, что
^ дгй drv
r = — + — = udet[A], ди dv
[А' ] = [Эг/Эй' Эг/Эи' ] = [А][Р],
где
[Р] =
ЭмЭм Э м 'Э о'd v d v du'dv'
- матрица преобразования Якоби.
Поскольку для исходной (и, о) ~ параметризации формообразуемого отсека поверхности фундаментальная матрица основной квадратичной формы (Гаус>
са) равна
Э Г Э Г Э г Э Г дидг) дидх) дгдг Э г Э Г дьди dudv
(13)
аналогичная матрица для новой (и', о')- параметризации того же отсека задаётся соотношением
[G']=[A']T[A^=[P]T[A]ЧA][P]=[P]^G][P] (14) Из уравнения (14) согласно известным свойствам детерминантов имеем det[G'] = d e t[ P f det[G].
Тогда из системы (12) следует, что вектор п единичной нормали к формообра
зуемой поверхности детали в результате преобразований не меняется.
Аналогично дифференцируя (12) и используя свойство инвариантности векто
ра п по отношению к виду параметризации, можно показать, что фундаменталь
ную матрицу второй основной квадратичной формы можно преобразовать соотно
шением [2-4]
[D ']= [P f [D][P]. (15) По уравнениям (14) и (15) можно показать, что главные радиусы кривизны по
верхности детали инварианты по отношению к способу параметризации формооб
разуемой поверхности детали.
В ы вод ы , Предложенная классификация обработанных поверхностей обеспечи
вает системный подход к их моделированию, а введенная классификация кинема
тических поверхностей позволяет систематизировать их и облегчает применение известных аналитических моделей локальных отсеков для моделирования всей поверхности. Кроме того, предложенная методика последовательного моделирова
ния значительно облегчает аналитическое описание широкого класса кинемати
ческих поверхностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов М.И. Формообразование угловых поверхностей концевыми ф резами/Тез. докл. МНТК «Технические вузы-республике»-М н.гБГПА, 1997 - С. 52.2. Радзевич С.П. Новые достижения в области обработки деталей слож
ной формы на станках с ЧПУ. - М.: ВНИИТЭМР, 1987.- 48 с. 3. Позняк Э.Г, Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия (первое знакомство). - М.: Из-во МГУ, 1990.- 384 с. 4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: На
ука, 1969.-176 с. 5. Дружинский А.И. Сложные поверхности: математическое описание и технологическое обеспечение: Справочник. - Л.: Машиностроение, 1985.- 263 с. 6. Лашнев С.И., Юликов М.И, Расчет и конструирование металло
режущих инструментов с применением ЭВМ. - М.: Машиностроение, 1975.- 392 с. 7. Лашнев С.И., Юликов М.И. Проектирование режущей части инстру
мента с применением ЭВМ. - М.: Машиностроение, 1980.- 208 с. 8. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. - М.: МГУ, 1969.-698 с. 9. Дальский А.М. Тех
нологическое обеспечение надежности высокоточных деталей машин. - М . ’.Ма
шиностроение, 1975.- 224 с, 10. Ребане Ю.К., Портман В.Т., Тарамыкин Ю.П.
Теория огибания и современные вычислительные методы при технологической подготовке зубообработки и проектировании зуборезных станков // Вестник машиностроения. 1995. №8. С. 42-45. 11. Armarego Е.У.А., Rotenderg А, Ап investigation o f drill point sharpening by the straight lip conical grinding method / Jnt. J.Mach. Tool Des. and Res., 1973, 13, №3, p.155-164. 12. Стрельченко O.A.
Установление взаимно-однозначного соответствия между двумя семействами сетей на поверхности // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 35.
- Киев: Будівельнйк, 1983. - с. 50-52. 13. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1.
Пер. с Франц. / Шенен П., Гардан И. и др. - М.: Мир, 1988. - 204 с.
У Д К 6 2 1 .9 4 1 -5 2 9 .0 0 4
В. И. Туромша