ЭКОНОМИКА И МЕНЕДЖМЕНТ
МРНТИ 27.35.50 УДК 514.87
90 Статистика, учет и аудит, 2(73)2019 http://sua.aesa.kz/, http://www.aesa.kz/
МРНТИ 27.35.50
Статистика, учет и аудит, 2(73)2019 юююююю 91 http://sua.aesa.kz/, http://www.aesa.kz/
Результаты и обсуждение. Рассматривается плоская модель многослойного кусочно- однородного материала. Материал представляется в виде периодической кусочно-однородной многослойной структуры, в рамках которой могут отличаться типы атомов в различных слоях. Модель накладывает ряд ограничений на структуру слоев [3]:
1. Каждый слой состоит из одинаковых атомов, в разных слоях могут быть различные атомы.
2. Расстояния между соседними атомами в одном слое одинаковы, но в разных слоях они могут различаться.
3. В рассматриваемой системе выделяется группа из Kпараллельных слоев, которая периодически повторяется в направлении оси у.
4. Число атомов в каждом слое и общее число слоев считается потенциально неограниченным.
Расчет геометрической структуры плоского кристалла предлагается проводить в два этапа. На первом этапе рассматривается фрагмент материала с k слоями, ограниченный по оси x интервалом [0, L]. Далее происходит минимизация энергии атомов этого фрагмента материала, получается вектор параметров z∗. Затем производится определение периодической группы атомов и для этого решается задача оптимизации:
n1∗= min{n∈ ℕ:� min(ss1∗n
i∗ − ⌊ss1∗n
i∗⌋,ss1∗n
i∗ − ⌈ss1∗n
i∗⌉)
k
i=1 ≤ δ}, (1) где δ – достаточно малое число, точность определения периодичности. Используя полученное
из (1) значение n1∗, величины ni∗ вычисляются по формуле ni∗=⌊s1∗n1∗
si∗ ⌋, i∈1, k.
На втором этапе минимизируется энергия периодической группы, полученной на первом этапе. Она рассчитывается с использованием потенциалов, описываемых в следующем разделе.
Применяемые недетерминированные методы глобальной оптимизации:
а) Метод Монте-Карло.
Самым простым недетерминированным методом глобального поиска является метод Монте- Карло [4]. Идея метода достаточно проста– случайным образом выбираются точки, принадлежащие допустимому множеству, в этих точках производится вычисление значения функции. Процесс прекращается, как только будет найдено достаточно хорошее решение либо по истечении заданного срока ожидания (что более вероятно). В качестве конечного решения выбирается наилучшее из всех результатов расчетов. В нашей работе мы используем многомерное равномерное распределение [5].
Альтернативой было бы использование заполняющих последовательностей Соболя [6].
б) Метод мультистарта.
Естественной модификацией метода Монте-Карло является метод мультистарта [7]. Данный метод является классическим примером высокоуровневой гибридизации вложением. Суть метода – из каждой точки, выбранной случайным образом (как в методе Монте-Карло), запускается метод поиска локального минимума. Затем из полученных точек локальных минимумов выбирается точка с наименьшим значением, которая принимается за точку глобального минимума, что будет являться решением задачи.
в) Метод имитации отжига (Simulated Annealing):
Основная идея метода имитации отжига основана на принципах статистической механики и отражает поведение расплавленного материала при отвердевании с применением процедуры управляемого охлаждения при температуре, последовательно понижаемой до нуля [8,9]. Параметрами метода являются закон изменения температуры T(k), где k – номер шага, закон выбора новой точки
( , )
x G x T ′ =
и функция вероятности перехода в новую точку h f x( ( )′ − f x( rec), )T , где xrec– текущий найденный глобальный минимум. Алгоритм описывается следующей схемой:1. Выбрать начальную точку x x= 0, xrec =x. 2. Сгенерировать новую точку x G x T′ = ( , ).
3. Если f x( )′ < f x( rec), то обновить текущий глобальный минимум xrec =x′, текущая точка
x x = ′
, перейти к шагу 24. С вероятностью h f x( ( )′ − f x( rec), )T обновить текущую точку
x x = ′
.5. Перейти к шагу 2.
В качестве параметров метода обычно выбираются
92 Статистика, учет и аудит, 2(73)2019 http://sua.aesa.kz/, http://www.aesa.kz/
( ) ( )
( ( ) ( rec), ) exp( f x f xrec ) h f x f x T
T
′ − = − ′ − ,
( ) ln( )0 , 0
T k T k
= k > и G x T( , ) многомерное нормальное распределение с математическим ожиданием x и дисперсией T – схема Больцмановского отжига; или T k( ) T0,k 0
= к > и G x T( , ) – распределение Коши с плотностью
2 2 ( 1)/2
( , , )
( )D
g x x T T
x x T +
′ =
′ − +
– многомерное нормальное распределение с математическим ожиданием x и дисперсией T – схема отжига Коши.
В ряде случаев после метода имитации отжига запускается поиск локального минимума.
Наряду с вышеперечисленными стохастическими методами существует множество генетических и роевых методов [10], таких как алгоритм гравитационного поиска, алгоритм роя частиц, алгоритм колонии муравьев, электромагнитный поиск, гармонический поиск и другие, но мы не будем подробно на них останавливаться. Каждый из этих алгоритмов имеет большое количество модификаций.
Программная реализация
В ходе программной реализации разработаны две базовые модули. Первый модуль генерирует фрагмент кристаллической решетки в виде совокупности координат входящих в нее атомов. Второй модуль вычисляет энергию взаимодействия атомов. При этом выделяются две группы атомов:
1) атомы, энергия которых входит в сумму;
2) атомы, энергия которых не входит в сумму, но при этом взаимодействие с ними учитывается при расчете энергии первой группы атомов.
Для расчета энергии использован пакет LAMMPS.
LAMMPS [11] – крупномасштабный атомно-молекулярный многопараметрический симулятор, разработанный для эффективной работы на параллельных компьютерах. В нем реализованы методы классической молекулярной динамики. Он может моделировать атомные, полимерные, биологические, металлические, гранулированные и крупнозернистые системы, используя различные силовые поля и граничные условия.
Заключение. Для периодической кусочно-однородной многослойной структуры получена математическая модель, в которой расчет геометрической структуры произведен с использованием методов Монте-Карло, мультистарта и имитации отжига. Для программной реализации разработаны алгоритмы двух базовых модулей, первый из которых генерирует фрагмент кристаллической решетки в виде совокупности координат входящих в нее атомов, а второй – вычисляет энергию взаимодействия атомов. В качестве вспомогательного программного обеспечения для работы второго модуля предполагается использование собственных и сторонних программных пакетов.
Список использованной литературы:
1 Алфимова М.М. "Занимательные нанотехнологии", М. Бином – 2012, 92 стр. ISBN: 978-5- 9963-1473-7
2 https://vm.cs.msu.ru/study/seminar/2015-2016/nanotechnology/
3 Горчаков А. Ю., Посыпкин М. А. Эффективность методов локального поиска в задаче минимизации энергии плоского кристалла //Современные информационные технологии и ИТ- образование. – 2017. – Т. 13. – №. 2
4 Скиена С. Алгоритмы. Руководство по разработке: пер. с англ. / Сти- вен Скиена. – 2-е изд.
– СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 720 c.
5 Крамер Г. и др. Математические методы статистики. – Регулярная и хаотическая динамика, 2003. – 648 c.
6 Соболь И. М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб.-М.: Знание. 1985.-125 с.
7 Жиглявский А. А., Жилинская А. Г. Методы поиска глобального экстремума.- М.: Наука, 1991.- 248 с.
8 S. Kirkpatrick, C.D. Gelatt, Jr., and M.P. Vecchi, Optimization by simulated annealing// Science.- 1983.-№220(4598).- Р.671-680.
9 Лопатин А. С. Метод отжига //Стохастическая оптимизация в информатике. – 2005. – Т. 1. ,
№. 1. – С. 133.
10 П.В. Матренин, М.Г. Гриф, В.Г. Секаев, Методы стохастической оптимизации: учебное пособие .-Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 67 с.
11 Plimpton S., Crozier P., Thompson A. LAMMPS-large-scale atomic/molecular massively parallel simulator //Sandia National Laboratories. – 2007. – Т. 18. – С. 43-43.
Статистика, учет и аудит, 2(73)2019 юююююю 93 http://sua.aesa.kz/, http://www.aesa.kz/
ЖАҢА МАТЕРИАЛДАРДЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ МЕН ҚАСИЕТТЕРІН САНДЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ҮШІН ТИІМДІЛІК ӘДІСТЕРІН ҚОЛДАНУ
Г.А. Амирханова 1, К.Н. Байсалбаева*2 , А.Ж. Дуйсенбаева1
1ҚР БжҒМ ақпарттық және есептеу техникасы институты, Алматы, Қазахстан
2Алматы экономика және статистика академиясы, Алматы, Қазахстан e-mail: [email protected]
Түйін. Нанотехнология саласындағы математикалық модельдеу қазіргі заманғы іргелі ғылымдар арасындағы жаңа да өзекті пәнаралық аумағы және қоғамның экономикалық әлеуеті мен жаңа ғасырда адам өмірінің жайлылығы деңгейін анықтайтын маңызды мәселелерді шешудің кілті болып табылады. Жаңа материалдардың құрамын атомдық деңгейде жетік білу арқылы олардың құрылымы мен қасиеттерін сандық моделдеуде оңтайландыру әдістерін пайдалану, болашақта өзекті мәселе болып отыр. Бұл мақалада нанотехнология саласындағы кең ауқымды мәселелерді шешуге бағытталған оңтайландырудың әдістерін дамыту және жаңа әдістерін әзірлеу ұсынылады.
Түйінді сөздер. Математикалық модельдеу, нанотехнология, оңтайландыру әдістері, материалдың көп қабатты құрылымы, атом.
APPLYING OF OPTIMIZATION METHODS FOR NUMERICAL MODELING OF STRUCTURES AND PROPERTIES OF NEW MATERIALS
G.A.Amirkhanova1 , K, N. Baisalbayeva*2 , A.Zh.Duisenbayeva1
1Institute of Information and Computing Technologies MES RK, Almaty, Kazakhstan
2Almaty Academy of Economics and Statistics, Almaty, Kazakhstan e-mail: [email protected]
Summary. Mathematical modeling in the field of nanotechnology is a new relevant interdisciplinary field in modern fundamental science and the key to solving the most important applied problems that determine the economic potential of society and the level of comfort of human life in the new century.
The use of optimization methods for numerical modeling of the structures and properties of new materials, based on a detailed understanding of their structure at the atomistic level, is relevant and promising. This article proposes the development of existing and development of new optimization methods oriented to a wide class of problems in the field of nanotechnology.
Key words. Mathematical modeling, nanotechnology, optimization methods, multilayer structure of the material, atom.
МРНТИ 06.75.10