Экономичный приближенный метод для задач (1) - (4)

Рассмотрим вспомогательную задачу (метод фиктивных областей)

(13) с начально-краевым условием

(14) (15)

где, (16)

и с условиями согласования

(17) где [,] – означает скачок значения функции через границу S.

Продолжим - u0(x) в Ω₀ с сохранением нормы.

Далее, определим обобщенное решение задач (13) - (14). Обозначим W(D) как пространство определяемое нормой

Определение. Обобщенным решением задач (13) - (14) называется функция

183

удовлетворяющая следующему интегральному тождеству.

(18)

где для каждого

Априорные оценки. Умножим (12) на u^ɛ и интегрируя по частям, получим (19) Отсюда следует оценка

(20) Теорема 2.

Пусть Тогда существует

единственное обобщенное решение задач (13) - (17) и для решения справедлива равномерная оценка (20) по ε.

Теорема 2 доказывается методом Галеркина используя (20).

В силу оценки (20) из последовательности можно выделить подпоследовательности, для которых справедливы соотношения

) ( ) (t u t

u

^{  слабо в} 2^(0,T^{; 12(}D^)),

L

W

(21) )

( ) (t u t

u

^{ } * слабо в (0,T; ₂(D)),

L_

W

^{при  0.}

Соотношение (21) позволяет перейти к пределу  0 в интегральном тождестве (18). В пределе получим интегральное тождество для u(t), которое является обобщенным решением задач (1) - (4).

Здесь справедлива следующая теорема:

Теорема3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и

u

₀(x)^

W

¹₂(D).

Тогда обобщенное решение задач (13) - (17) сходится к обобщенному решению задач (1) -(4) при  0 со скоростью

.

)) (

; , 0

( 2

 _C

L L

u u

T





 

(22) Оценка (22) неулучшаемая. Аппроксимируем задачи (13) - (17)

, ), ( )

( )

( ⁰

1 1

1

D x mesS x

mes t t div

u Q u K

u

n n

n n







 

 ^{ }







 ^ (23)

),

0(

0

u

x

u

^ (24) .

0

1

 







u uⁿ

(25) Заметим: относительно u получим эллиптическое уравнение с быстро меняющимися коэффициентами K^(x). Для численного решения задач (23) - (25) можно использовать экономичный итерационный метод [3], скорость сходимости которого не зависит от , или модифицировать по переменно-треугольному методу [4].

1. Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движения жидкости и газов в природных пластах.- М.; Недра, 1984г.,-221с.

184

2. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. Москва,

«Наука»,1973г.- 407стр.

3. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа.- В сб.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1978г., с.24-25.

4. Самарский А.А. Введение в теории разностных схем.- Москва: «Наука» 1970г.

ӘОЖ 533.9.01

Ә.Ҥ. Ҥмбетов

БІР ОСЬТІ КРИСТАЛДАРДАН ЖАСАЛЫНҒАН БИФОКАЛДЫ ЛИНЗАЛАРДЫҢ ОПТИКАЛЫҚ ҚАСИЕТТЕРІ

(Ы.Алтынсарин атындағы Арқалық мемлекеттік педагогикалық институты) Кванттық электроника және когерентті оптиканың дамуымен әртүрлі кристалды- оптикалық жүйелердің ғылыми-техникалық және ӛндірістік салаларда дамуы жоғарылап кетті. Кристалды-оптикалық құрылғылардың кӛмегімен лазерлерді басқару, амплитудалық жиілікті, фазаны және поляризацияны басқару жұмыстары шешілуде.

С развитием квантовой электроники и когерентной оптики значительно возросло использование разнообразных кристаллооптических систем в научно-технических и промышленных разработках. С помощью кристаллооптических устройств успешно решаются задачи управления излучением лазеров, управление амплитудой, частотой, фазой и поляризацией.

With development of the quantum electronics and coherent optometrists vastly increased use varied crystaloptic systems in research and industrial development. By means of crystaloptic device successfully dare the problems of control radiation lazer, control amplitude, frequency, phase and polarization.

Түйін сөздер: Кристалл.Призма. Оптика. Электромагниттік толқындар Ключевые слова: Кристалл.Призма. Оптика. Электромагнитные волны.

Keywords: Crystal. Prism. Optics. Electromagnetic waves.

Жұмыстың мақсаты бір осьті кристалдардан жасалынған линзалардың қасиеттерін зерттеу. Линзалардың біріктірілген жүйелері қарастырылады. Осы біріктірілген жүйелерден электромагнитті толқындардың ӛту жолын есептеудің тиімді әдісі кӛрсетіледі. Бір осьті кристалдардан жасалынған призмалардың (Рошон, Сенармон, Волластон т.с.с.) (1-сурет) табиғи жарық кӛздеріндегі қасиеттері қарастырылған [1]. Ұсынылған әдіс ӛте күрделі және ұзақ, тәжірибе негізінде қолдануға тиімсіз және бақылау табиғи жарықта жүргендіктен интерференциялық суреттердің айқындылығы тӛмен.

185

а) б)

в) 1-сурет.

а) Волластон призмасы, б) Рошон призмасы в) Сенармон призмасы

Қарастырылып отырған жұмыста кристалды-оптикалық жүйелердің жаңа түрі - бифокалды линзалардың (БЛ, 2-сурет) түрлері және осы жүйелерден ӛтетін лазер сәулелерінің шоғырлану ерекшеліктері зерттелінеді. Теория негізінде алынған деректер тәжірибеде тексеріліп, ӛзара салыстырылады.

а)

186 б)

2 - сурет. БЛ-1 (а) және БЛ-2 (б)

Бір осьті кристалдардан жасалынған оптикалық жүйелердің біріктірілген түрі немесе жеке дара қарастырылуы теориялық түрде де және тәжірибелік түрде де маңызды. Себебі оларды оптикалық электронды қондырғыларда қолдана отырып, ақпаратты мәліметтерді ӛңдеуге, жіктеуге және тасымалдауға қолдануға мүмкіндік аламыз. Солардың мүмкіндіктері лазерлі ӛлшегіш құралдарда жүзеге асырылады.

Осындай қондырғылардың ішінде ӛзінің функционалды мүмкіндіктері бойынша қызықты кристалды оптикалық жүйелердің бірі бифокалды линзалар (БЛ-1, БЛ-2).

БЛ-лар жазық-ойыс (І) және жазық-дӛңес (ІІ) бір осьті кристалдардан жасалынған линзалардан құрастырылады (2-сурет). І және ІІ линзалардағы оптикалық осьтер әртүрлі бағытта бағытталған. Оптикалық осьтер келесідей бірлік векторлар арқылы анықталады а₁(1,0,0)

және а₂(0,sin,cos)

. Мұндағы a₂

  векторы мен z осінің арасындағы бұрыш [2].

БЛ-ның сол қабырғасына (ху жазықтығында) еркін алынған M1 нүктесіне z осінің бойымен жіңішке параллель жарық сәулесі түссін және бұл сәуле шеңберлі поляризацияланған болсын.

3 –сурет

Бір осьті кристалдан жасалынған бифокалды линзадан ӛткен шеңберлі поляризацияланған толқын жолының схемасы

ХУ жазықтығындағы М1 нүктесінің координаталары келесідей: (dcos,dsin,0), мұндағы υ х осімен d радиус векторының арасындағы бұрыш. d-радиус –векторы z=0 координаттар басынан M1 нүктесіне дейін жүргізіледі. Есептеуде d<<R деп санаймыз,

187

мұндағы R БЛ-ның сфералық бетінің қисықтық радиусы. Кейіннен



d/R



² шамасының аздығынан оны ескермейміз. Кристалдың бас осьтерінде диэлектрлік ӛтімділік тензоры диагоналды болады және кәдімгі (о) және кәдімгі емес (е) толқындар үшін ε0, ε_e шамалармен анықталынады. Сонда о-кәдімгі толқынның І және ІІ бӛліктерде сыну кӛрсеткіштері бірдей болады n₀, ал кәдімгі емес е-толқындардың сыну кӛрсеткіші келесідей анықталады:

, ) ( 1

~

2 i i e e

a k

n n 



 

 ⁽¹⁾

о-толқынның негізгі сыну кӛрсеткіші n₀  ₀ , ал е-толқынның негізгі сыну кӛрсеткіші

e

ne   , k_i(i1,2)

- І және ІІ бӛліктердегі бірлік вектор,  (n_e²n₀²)/n₀²- аздық параметрі, І бӛліктегі о- және е-толқындар үшін бірлік вектор k₁(0,0,1)

түрінде анықталады және ол жарық сәулесінің таралу бағытымен сәйкес келеді. БЛ линзаның сфералық шекарасында о- және е–толқындардың ӛзара түрленуі жүреді. ІІ бӛліктегі бірлік толқындық вектор z осі арқылы ӛтетін және υ бұрышымен анықталынатын жазықтықта жатады және келесідей анықталады k² 



cossin₂,sinsin₂,cos₂



, мұндағы 𝛼2, k² векторының z осімен жасайтын бұрышы. k2 векторы мен 𝛼2 бұрышына келесідей индекстер тіркейміз: оо, ое, ео, ее. оо белгілеу о-толқынының поляризациясын сақтай отырып, о толқын күйінде сынуын кӛрсетеді, ое- белгілеу түскен о-толқынның сынған е-толқынға түрленгенін кӛрсетеді т.с.с. Барлығы тӛрт толқындар және соған сәйкес тӛрт шекті шарттар қарастырылады. ₂^оо 0 болады, ал

ое

2 бұрышы сфералық беттегі сыну заңының негізінде анықталады:























 



   



 



  





 



  

 2

2 2 2 2

2 , 1 2

1 , 1 2

0

, 1

1 1

d k k n

n k

n n

oe oe e



, (2)

мұндағы























 



 







 ²

1 2

1 cos , sin , 1

R d R

d R

n d  

- нормалдағы бірлік вектор. М2 нүктесінің координаталары:

) ,

sin , cos

(d  d  L R²d² . (2) ӛрнектен алатынымыз:





 



  

 ⁰ 1 cos² 1

2  



e oe

n n R

d (3) (2) ӛрнектегі шекаралық шарттан α2 бұрышының қалған жағдайлар үшін де мәндерін анықтаймыз.





 



 

 1

0

2 n

n R d _e

eo (4)





 



  

 ⁰ 1 cos² 1

2  



e ee

n n R

d (5)

188

Соңында БЛ-1 линзадан шығатын бірлік толқынды векторды келесідей жаза отырып,



3 3 3



3  cossin ,sinsin ,cos

k z  жазықтығындағы шекті шарттың негізінде

анықтайтынымыз:

       

        

























. cos 1

1 /

; /

, cos

1 / /

; 0

2 / 2 1 3

0 00

3

2 / 2 1 0

3 3

 













e ee

e

e oe

oo

n R d n

n R d

n n R

d (6)

(3) және (6) ӛрнектерді пайдалан отырып, сәулелердің траекториясын анықтаймыз.

Исланд шпатынан (СаСО3) жасалынған бір осьті кристалл үшін n0>ne және ₃^oe 0, яғни о-сәулесі ІІ ортада БЛ-1ден шыққан кезде z осінен қашықтайды, сондықтан БЛ-1 линзаға паралелль түскен сәуле одан шыққан соң шашырайды. ео- және ее-сәулелер үшін ₃^eo 0,₃^ee 0. Бұл жағдай ео-және ее-сәулелер z осін екі әртүрлі нүктелерде қиятындығын кӛреміз. Сонымен БЛ-1 линзадан ӛткен электромагнитті толқындардың жолын есептей отырып, тәжірибеге қажетті ерекше мәліметтер аламыз, ол жазық толқынды кеңістікте жіктеп, екі сфералық толқындарға бӛледі. Екі сфералық толқындар z осінің бойында бір-бірінен ығысқан екі фокуста шоғырланады [3].

Алдымен ео- сәулесін қарастырайық. Бұл сәуленің ІІ бӛліктегі бағыттаушы векторы k₂^eo,

ал БЛ-1-ден шығу кезіндегі (z>e) бағыттаушы векторы k₃^eo

болады. ео- сәулесінің траекториясын геометриялық тұрғыда қарастырсақ, оның z осін қандай да бір M₄^eoнүктесінде z^eo₄ F_eo қашықтықта қиып ӛтетінін кӛреміз. Мұндағы F_eo – фокустық арақашықтық

0

0 n

h n n F R

e

eo 

  (7) ео-сәулесінің траекториясын есептеу k₂^eo

және k₃^eo

толқындық векторлардың кӛмегімен M₃eoжәнеM₄^eo нүктелерін анықтау болып табылады.

ее-сәулесі үшін F_eефокус арақашықтығын анықтаймыз. Бірақ ІІ бӛлікте k₂^eе

 толқындық вектордың орнына энергия тасымалын анықтайтын W₂^eе

сәулелік векторды қолданамыз.

БЛ-1-дің шығысында k₃^eе

векторы k₃^eo

векторына параллель болады. ее- сәулесі үшін параксиальды жуықтау негізінде W₃^eе

- сәулелік векторы  бұрышы мен z осімен анықталынатын жазықтықта жатады. Тек екі жағдайда:  0және   /2 ее-сәуле фокустелінеді. Фокус арақашықтығы келесі түрде анықталады:

h n n n n F R

e e

ee 2

0 0

 

 (8) Фокустардың арақашықтығы ^[



0^{/ 2}



^]

1

0 e

eo

ee F hn n n

F

F    

 ^ h шамасына және БЛ-1-дің

қосарланып сындырғыш қасиетіне байланысты. Кристалл теріс болған жағдайда (CaCO3) n0>ne және Fee<Feo. Кристалл оң болғанда (SiO2) n0<ne ео-сәуленің фокусы БЛ- 1-ге жақын орналасады (Fee>Feo). СаСО3 –дан жасалынған БЛ-1 линза үшін h=5,35 мм және R=24,7 мм болғанда толқын ұзындығы 632,8нм лазер сәулесі үшін n0=1,65504, ne=1,48490. (7) және (8) ӛрнектер негізіндегі есептеулер келесі мәндерді береді:

F_ee=141,3 мм және F_eo=142,1 мм ΔF=142,1-141,3=0,8 мм (тәжірибенің кӛрсетуі де 8

,

0

F мм).

Алынған нәтижелерге сәйкес БЛ екі түрге бӛлінеді. ІІ бӛлікте оптикалық остің бағыттылығы  0 мәніне сәйкес келсе БЛ-1, ал  /2 болса, онда БЛ –2 болады.

БЛ –1 ӛзіне параллель түскен сәулелерді екі нүктеге шоғырландырады. Ол фокустар (7)

189

және (8) ӛрнектер бойынша анықталады. БЛ-2 линза ӛзіне параллель түскен сәулелерді бір нүктеде шоғырландырмайды (7). (6) ӛрнекке сәйкес БЛ-1 линзаның шығысында екі параллель сәулелер пайда болады. Бұл сәулелер шеңберлі поляризациясын сақтайды. 4- суретте БЛ –1 линзаның z осінің бойындағы М₄^еежәне М₄^еофокустар маңындағы жарық ағынының I интенсивтілігінің жіктелінуінің тәжірибелік қисығы (тәуелділігі) кӛрсетілген.

4-сурет

z осінің бағытындағы бифокалды линзалар фокусындағы жарық ағынының интенсивтілігінің жіктелінуі.

1-Анализатор болмағанда, 2-3 анализатор болғанда, ал a1 оптикалық оське параллель және перпендикуляр орналасқанда

І мәні диаметрі  3мкм диафрагмасы бар фотоэлектронды кӛбейткіштің кӛмегімен алынған. Фотоэлектронды кӛбейткіш z осінің бойымен қозғала алады. Анализаторды пайдаланған жағдайда, оның осі а₁

векторына параллель болғанда 2 тәуелділікті, ал а₁ - векторына перпендикуляр болғанда 3 тәуелділікті аламыз. М₄^ее және М₄^ео фокустарда жарық ағынының ортогоналды – эллипсті поляризациясы сақталады. БЛ-1-линзаның фокустарындағы Іее және I_eoинтенсивтіктердің шамасы келесі қатынаста болады:

Іее/Іео=3. Бұл шама тәжірибе қорытындысымен сәйкес келеді (1 тәуелділік). Екі немесе одан кӛп құрамды поляризациялағыш жүйелерде толқындардың қайтымдылығы сақталынбайды. Яғни поляризация жағдайы жүйе арқылы тура және кері бағыттарда ӛтен кезде сақталынбайды. Сондықтан БЛ-1 линза арқылы кері бағытта параллель жарық ағынының ӛтуін қарастырған маңызды. БЛ-1 линзаның ІІ бӛлігіне жарық нормаль түскенде е- және о- сәулелері ажыратылмайды, себебі олар а₂

оптикалық осьтің бойымен тарайды. е-сәулесі шоғырланғанда маңызды нәтиже аламыз. БЛ- 1линзаға оң жақтан нормаль түрде қимасы шеңбер тәріздес радиусы r₀ параллель сәуле түсетін болса, онда БЛ-1 линзаның шығысында қиылысатын сәулелердің қыймасы эллипсті болады. Оның ӛлшемі вертикаль бағыттағы (у) және горизонталь бағыттағы (х) «фокустық бӛліктер» 2fГ_о/R шамасымен анықталады, мұндағы

. / ) ( ² ₀² ₀²

1 n n n n

h

f  _e  _e

 Бұл жағдайда z осінің бойында f ұзақтықта орналасқан фокальды облыс пайда болады. Айтылған жағдай БЛ-2 линза кезінде ое сәулесі үшін орындалады. Себебі ІІ бӛлікте о-сәулесі бар, ол БЛ-2 линзаның сфералық бетінен

190

сынғанда е – сәулесіне түрленеді. Алайда БЛ-2 линзасының БЛ-1 линзасынан айырмашылығы ӛзінің шығысында ео-шашырайтын сәулелерді береді.

БЛ линзалардың айтылған қасиеттері оларды поляризациялық оптикалық зерттеулерде және интерференциялық түрдегі лазерлі ӛлшегіш құралдарды алуға қолдануға мүмкіндік береді.

1. Барсуков К.А., Осипов Ю.В., Умбетов А.У.Тез. І Всесоюз. конф.

«Оптич.изображение и регистр.среды», Л., 1982, с.236.

2. Барсуков К.А., Осипов Ю.В., Попов В.Н. Опт. и спектр., 1980, т.48, с.605

3. Иванов А.Б. Волоконная оптика: компоненты, системы передачи, измерения.- М.:Компания «Сайрус Системс», 1999

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.-М.; Наука, 1973

5. Сороко Л.М. Основы когерентной оптики и голографии.-М.:Наука, 1971

6. Магдич Л.Н. и Молчанов В.Я. Акустооптические устройства и их применение.- М.:Советское радио, 1988.

УДК 519.218

А.К. Шаймерденова

КОНТУРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ СКЕЛЕТО-ОБРАЗУЮЩИХ И ОБРЕЧЕННЫХ ЧАСТИЦ

(г. Алматы, КазНУ имени аль-Фараби)

Бұл мақалада бірнеше типті бӛлшекті-сызықты бұтақталатын процесстер қарастырылған. Жұмыста Перрон-Фробениустың орта мән матрицасы үшін меншікті мәні бар болатын оң рекурент жағдайы қарастырылады. [1] жұмыста суперкритикалық бӛлшекті-сызықты бұтақталатын процесстер екі ішкі типке бӛлінетіндігі дәлелденген, олар скелет құрайтын және ұшырат бӛлшектер. Ұшырат бӛлшектер дуальды заң арқылы, ал скелет құрайтын бӛлшектер Харрис-Севастьянов түрлендіруі арқылы берілген. Скелет құрайтын және ұшырат бӛлшектер үшін бірнеше типті контур процесстері анықталған.

Рассматриваются многотипные дробно-линейные ветвящиеся процессы. В работе ограничиваемся положительно рекурентным случаем по типу пространства, когда существует собственное значение Перрона-Фробениуса для матрицы средних значений. В работе [1] доказано, что надкритические дробно-линейные ветвящиеся процессы разлагаются на два подтипа: скелето-образующие и обреченные частицы.

Обреченные частицы описываются дуальным законом распределения, а скелето- образующие частицы характеризуются преобразованием Харриса-Севастьянова.

Получены многотипные контурные процессы для скелето-образующих и обреченных частиц.

Consider the multitype linear-fractional branching processes. We consider only positive recurrent case by type of space, where there exist the Perron-Frobenius eigenvalue for the mean matrix. In the paper [1], it was proved that supercritical linear-fractional branching processes decomposed on 2 subtypes: skeleton and doomed particles. Doomed particles described by dual reproduction law and Harris-Sevastyanov transform gives us reproduction law for skeleton particles. Multitype contour processes for skeleton and doomed particles were defined.

191

Түйін сөздер: Гальтон-Ватсон процесі, скелет құрайтын және ұшырат бӛлшектер, контур процесстері, перрон түбірі, орта мән матрицасы, дуальды заң, Харрис-Севастьянов түрлендіруі.

Ключевые слова: процесс Гальтона-Ватсона, скелето-образующие и обреченные частицы, контурные процессы, перронов корень, средняя матрица, дуальный процесс, преобразование Харриса-Севастьянова.

Keywords: Galton-Watson process, skeleton and doomed particles, contour processes, perron root, mean matrix, dual process, Harris-Sevastyanov transformation.

Введение. Процесс Гальтона-Ватсона описывает популяцию частиц, которые живут единицу времени и в момент гибели дают случайное независимые друг от друга число новых частиц. Также можно определить ветвящийся процесс как популяцию индивидуумов с перекрывающимися поколениями, где индивидуумы имеют случайную длину жизни и каждый год дают геометрическое число потомков в течение всей своей жизни и не имеют потомства в момент гибели.

Однотипный процесс Гальтона-Ватсона представляет собой цепь Маркова

 0

= ) ( }

{Z ⁿ _n со счетным числом состояний {0,1,2,}. Эволюция процесса описывается через производящую функцию

1,

<

,

= )

( ₁

0

=

p s

p s

f _k ^k



k^ (1) где p_k обозначает вероятность того, что одна частица производит ровно k потомств.

Если частицы воспроизводят самостоятельно с тем же законом (1), тогда цепь {Z⁽ⁿ⁾}^_n=0 представляет последовательные размерности поколении. Здесь, если не указано иное, предполагается, что Z⁽⁰⁾ =1, ветвящийся процесс проистекает из одной частицы. В связи с репродуктивной независимостью следует, что f⁽ⁿ⁾(s)=(s^Z(n)) является n-ой итерацией f(s).

Поскольку ноль является поглощающим состоянием процесса Гальтона- Ватсона, q⁽ⁿ⁾ =(Z⁽ⁿ⁾=0) монотонно возрастает до предела q, которая называется вероятностью вырождения. Она неявно определяется как минимальное неотрицательное решение уравнения

.

= ) (x x

f (2) Одна из ключевых характеристик процесса Гальтона-Ватсона среднее число потомков M = f(1). В докритическом (M <1) и критическом (M =1) случаях процесс вырождается с вероятностью q=1, в то время как в надкритическом случае (M >1) мы имеем q<1. Очевидно, q=0 если и только если p₀ =0.

В надкритическом случае число потомков частиц прародителей либо конечно с вероятностью q, либо бесконечное с вероятностью 1q. Учитывая что, то же самое справедливо для любой частицы появляющегося в процессах Гальтона-Ватсона, то мы можем их различать между собой с помощью скелето-образующих частиц, имеющие бесконечную линию потомков, и обреченных частиц, имеющие конечную линию потомков [1]. Графически мы получаем картину генеалогического дерева аналогично приведенному на рисунке 1.

192

Рис.1: Пример дерева Гальтона-Ватсона до уровня n=10. Сплошные линии представляет бесконечную линию потомков и пунктирные линии показывает конечную

линию потомков.

Если не учитывать обреченных частиц, частицы образуют скелет процесса Гальтона-Ватсона с преобразованным законом размножения, исключающий вымирание

q q q q s s f

f 





 1

) ) (1

= ( )

~(

(3) и с таким же средним ~ = >1

M

M . Формулу (3) обычно называют преобразованием Харриса-Севастьянова. С другой стороны, обреченные частицы образуют другой ветвящийся процесс соответствующий надкритическому процессу с условием вымирания. Обреченные частицы производят только обреченные частицы согласно другому преобразованному закону размножения f(s)= f(sq)/q

, который обычно называется дуальным законом размножения и имеет среднюю M = f(q)<1

. Надкритический процесс Гальтона-Ватсона в целом можно рассматривать как разложимый ветвящийся процесс с двумя подтипами частиц [2, раздел 1.12]. Каждая скелето-образующая частица должна производить по крайней мере одну новую скелето-образующую частицу, а также может породить ряд обреченных частиц.

Процесс Гальтона-Ватсона со счетным числом типов



), =0,1,2, ,

, (

= ₁^{( )} ₂^{( )}

)

(ⁿ Z ⁿ Z ⁿ n

Z

описывает демографические изменения в популяции частиц с различными законами размножения в зависимости от типа частиц i{1,2,}. Здесь Z_i⁽ⁿ⁾- число частиц типа i, существующие в поколении n. В многотипном случае используется следующее векторное обозначение:

,

= ), , , (

= ), , , (

=

), , 1 , (1

= ), , 1 (1,

= ), , , (

=

2 2 1 1 1

2 1 1 1 2

2 1 1

2}

= { 1}

= { 2

1













y y i i i

x x x

x y

x y x

x x

xy

x xy

e 1

x







пишем x^t, если нужен столбец вектора x.

Частицы типа i могут производить случайное число частиц различных типов, так что соответствующие законы размножения даются многомерными производящими функциями

).

=

| (

= )

( ^{(1) (0)} _i

fi s  s^Z Z e (4) Среднее число частиц

)

=

| (

= ⁽¹⁾_j ⁽⁰⁾ _i

ij Z

M  Z e

193

удобно обобщить в виде матрицы =

 

^_{, =1}

j ij i

M

M . Для n-го поколения вектор производящих функций f⁽ⁿ⁾(s) с компонентами

)

=

| (

= )

( ^{( ) (0)}

) (

i n n

fi s  s^Z Z e

получаются как итераций f(s) с компонентами (4), а матрица средних значений за n

поколений дается через Mⁿ. Вектор вероятности вырождения q=(q₁,q₂,) имеет i-ю компоненту q_i, определенная как вероятность вырождения, учитывая, что процесс Гальтона-Ватсона начинается с одной частицы типа i. Вектор q находится как минимальное решение с неотрицательными компонентами уравнения f(x)=x, которое является многомерной версией уравнения (2).

Отныне ограничим наше внимание на положительном рекурентном случае, когда существует собственное значение Перрона-Фробениуса  для M с положительными собственными векторами u и v такие, что

. ,

1,

=

= ,

= ,

= v Mu^t u^t vu^t v1^{t n}Mⁿ u^tv n M

v   

В надкритическом случае, >1, все q_i <1 и можно говорить о разложении надкритического процесса Гальтона-Ватсона со счетным числом типов: (S⁽ⁿ⁾,D⁽ⁿ⁾). Теперь каждый тип разлагается на два подтипа: либо с бесконечной, либо с конечной линией потомков. Разложенный надкритический процесс Гальтона-Ватсона снова процесс Гальтона-Ватсона со счетным числом типов закон размножения которого дается через выражения

).

= ( ) ( 1 ,

) ( ) ) (

= ( ) , (

i i i

i i i

i q

f f q

f

F f tq

q t t q t q 1 t s

s 









Многотипные дробно-линейные процессы Гальтона-Ватсона в последнее время были изучены в [3]. В этом случае совместные производящие функции (4) имеют ограниченную дробно-линейную форму

. 1

= ) (

1 1

0

 















j j j

j ij j i

i

s g m m

s h h

f s (5) Определяющими параметрами этого ветвящегося процесса являются параметры тройки (H,g,m), где H=(h_ij)^_i,j=1 субстохастическая матрица, g=(g₁,g₂,) правильное распределение вероятностей, и m положительная константа. Свободный член в (5) определяется как

. 1

=

=1

0 ij

j

i h

h ^



^

Знаменатели в формуле (5) обязательно независимы от типа матери для того, чтобы итерации также оставались дробно-линейными. Это основное ограничение многотипного дробно-линейного процесса Гальтона-Ватсона без учета, например, разложимых ветвящихся процессов.

Как было доказано в работе [3], для дробно-линейного закона размножения, собственное значение Перрона-Фробениуса , если существует, то будет единственным положительным корнем уравнения

1.

t =

1

=

1 gH^k

k k

m ^



 ^

В положительном рекурентном случае, когда следующая сумма конечная

194

,

= ^t

1

=

1 gH^k

k

k

k

m ^



 ^



собственные векторы Перрона-Фробениуса (v,u) могут быть нормированы таким образом, что vu^t =v1^t =1. Они вычисляются по формулам

1 .

=

, )

(1

=

0

=

t

1

= 1 t

k k

k

k k

k

m m

m

H g v

1 H u

























В надкритическом положительно рекурентном случае с >1 и  < вероятности вырождения даются через

. ) 1)(1 (

=1 ¹ u

q   m ^ 

Общее число потомков для частиц типа i имеет среднюю ).

)(1 (1

= h₀ m

M_i  _i 

Рассмотрим положительный рекурентный надкритический случай с  >1 и



 < . Приведем утверждения теорем из [1]

Теорема 1. Дуальный закон размножения будет дробно-линейным распределе- нием

, 1

= ) (

1 1

0

 















j j j

j ij j i

i

s g m m

s h h

f   





 s

где

1 .

= 1 ,

= ,

= ,

= ⁰

0  



  





m m q g g

m m q

q h h q

h h _j ^{j j}

i j ij ij i i i



 



Теорема 2. Преобразование Харриса-Севастьянова будет дробно-линейным распределением

~ ,

~ 1 ~

~

= )

~(

1



1















j j j

j ij j i

s g m m

s h f s

где

 

(1 ).

= 1 1, ~

~= , ) 1 (

=1

~

0 j j j

i i j ij i j

ij m g q

g m

h q mg q h

h q 

 



 



  Постановка задачи:

• Что такое контурный процесс? Как получается контурный процесс из генеалогического дерева?

• Определить многотипные контурные процессы для скелето-образующих и обреченных частиц. Обеспечить Марковское свойство для этого контурного процесса.

Основные результаты. Контурный процесс случайного дерева есть представление дерева в виде случайного блуждания. Рассмотрим конечное дерево из рисунка 2 и ее контурный процесс.

195

Рис.2: Генеалогическое дерево и ее контурный процесс

Объясним как они получаются друг из друга. Дерево имеет высоту равную 5.

Каждая точка дерева означает один потомок. В нашем случае их всего 13 штук. Далее мы обводим пунктирной линией это дерево и смотрим сколько шагов сделано вверх (отметим, что шаги влево тоже считаются как шаги вверх). У нас из первоначального старта было сделано 4 шага, и значит, в правой части рисунка чертим 4 прямых линий в виде стрелок. Смотрим далее на дерево и видим, что дальше мы шагнули вниз. Этот шаг мы чертим как наклонную вниз. Дальше 1 шаг вверх и 1 влево вниз по левому рисунку, тогда рисуем 2 шага вверх в виде стрелок. И так продолжаем, пока не пройдем всю пунктирную линию. Таким образом, получается контурный процесс в виде случайного блуждания (экскурсий), как получено на рисунке справа.

Теперь мы хотим получить из полученного контурного процесса обратно начальное генеалогическое дерево. Это происходит следующим образом: в правом рисунке проводим горизонтальную линию единичной высоты, видно что через эту линию наше дерево в виде экскурсий разделилось на 2 поддерева в виде экскурсий. Это означает, что начальная частица дала 2 потомка и эти потомки отображаются в виде прямых вытекающих из начальной частицы, которая отображена вертикальной прямой.

Проводим следующую горизонтальную прямую. Эта прямая делит правую экскурсию на 2 подэкскурсий, а левая экскурсия остается не разделенной. В итоге, за это поколение получаются 3 потомка. Это означает, что из правой частицы вытекают 2 потомка. А левая частица производит только один потомок. Продолжая этот процесс мы полностью восстановим начальное дерево.

Также нужно отметить, что все частицы данного дерева имеют лексикографический порядок: 0, 01, 011, 0111, 0112, 01121, 01122, 0113, 01131, 02, 021, 022, 0221. Они занумерованы в следующем порядке: начальная частица имеет порядковый номер 0, а потомки этой частицы под номером 0 занумерованы слева направо через 01 и 02, т.е. первый и второй потомок частицы 0. Потомки следующего поколения занумерованы также слева направо в порядке 011 и 021, 022. Эти обозначения в свою очередь означают, что потомок 011 является первым потомком частицы 01, потомок под номером 021 является первым потомком частицы 02, а 022 вторым потомком частицы 02. А потомки следующего поколения занумерованы как 0111, 0112, 0113 и 0221. Последнее четвертое поколение состоит из потомков с номерами 01121, 01122 и 01131.

Теперь расскажем о контурных процессах порожденных из деревьев Гальтона- Ватсона с несколькими типами частиц. Показываем, что в многомерном дробно- линейном случае, контурные процессы (см.[4]) имеют красивую Марковскую структуру постоянной скорости спуска с независимыми и одинаково распределенными прыжками вверх.

196

Для текущих дробно-линейных процессов Гальтона-Ватсона важно использовать частную версию генеалогических деревьев: с учетом группы братьев и сестер вытекающих из той же частицы, левая ветвь должна связывать мать с ее первым потомком (что ее тип может зависеть от типа матери).

Рисунок 3 иллюстрирует простое определение контурного процесса для конечного дерева сопровожденное путем вокруг дерева. Контурный процесс - это колебательный линейный график (панель B), представляющий высоту расположения виртуального вождения автомобиля с постоянной скоростью вдоль пути, изложенной на панели А. Заметим, что x-ось на панели A вводит только различие среди разных ветвей на таком же уровне, следовательно, скорость машины обозначена вдоль y-оси.

Полученный контур на панели B дерева на панели A является экскурсией случайного блуждания, начало и конец которого на уровне 1. Даже если реализация генеалогического дерева бесконечна, можно еще работать с контурными процессами после разрезания ветвей выше уровня n, соответствующий времени наблюдения, как показано на Рисунке 3.

Как мы уже упомянули выше, легко восстановить дерево на панели A из контурного процесса на панели B. Как мы говорили, все дерево A представлено экскурсией B начало и конец которого на самом нижнем уровне 1. Движущийся нижний уровень от 1 к 0 разделяет дерево A на 3 поддеревья вытекающие из 3 дочерей прародителя. В то же время, экскурсия B становится разделенным на 3 подэкскурсий, начало и конец которого на уровне 0. Исходя из этого двигаясь вверх от нижнего уровня и наблюдая за тем как экскурсии, разложенные на подэкскурсий, позволяют нам полностью восстановить историю ветвления оригинального генеалогического дерева.

Рис.3: A: дерево Гальтона-Ватсона (жирная линия) остановливается на уровне n=5 и сопровождается контурной (пунктирной) линией. B: соответствующий развернутый контурный процесс. C: другой вид того же дерево изображенное в терминах инвидуумов формирования ветвящегося процесса с перекрывающимися поколениями. Вершины отмечены стрелками представлящие индивидуумов, которые мертвые к тому времени. Остановленное дерево не дает информацию о судьбе трех вершин. D: модифицированный контурный процесс постоянной скорости спуска с независимо и одинаково распределенными прыжками вверх.

Подход контурного процесса оказался очень полезным в теорий ветвящихся процессов (см. например [5] и ссылки в ней). В однотипном дробно-линейном случае контурный процесс имеет простую структуру переменного случайного блуждания.

Переменяющийся вверх и вниз отрезки имеют независимую длину сдвинутого геометрического закона имеющие средние h₀^1 для отрезков вверх и среднее (1m)/m для отрезков вниз.

В многотипных дробно-линейных процессах, можно обеспечить Марковское свойство контурного процесса

In document Просмотр «Том 42 № 2 (2013): Вестник КазНПУ им.Абая. Серия: физико-математические науки» | «Физико-математические науки» (бет 181-200)