2 )sin(
3. Экспериментальная часть
При проведение экспериментальной части работы использовался программный продукт MATLAB R2016a.
Для возможности использования нейронной сети в расчетах в виде инструмента аппроксимирующего функцию необходимо произвести подготовку данных. Во-первых необходимо определить количество входных параметров. Во-вторых, организовать входные параметры в набор и привести им в соответствие набор искомых значений. При прохождений обоих наборов через сеть постепенно устанавливаются веса на связях нейронов, которые аппроксимируют нелинейную функцию зависимости между входным и целевым наборами. В третьих, подготовленные наборы необходимо разделить на три подгруппы: набор для обучения, для проверки (для остановки процесса обучения) и для тестирования сети (по завершению обучения).
Располагая данными о нагрузке (активные сессии) на веб-ресурс в течение 18 недель, входные данные о времени были организованы в виде матрицы, столбцы которой представляли четыре параметра целевого замера активных сессий:
а. индекс часа (от 0 до 23);
б. день недели (от 1 до 7);
в. индекс рабочего времени (0 - нерабочее время, 1 - рабочее время для часов с 8 до 20);
г. индекс типа дня (0 - будни, 1- праздничный, 2 - выходной).
Выходные данные были организованы в виде столбца с соответствующими замерами по активным сессиям.
В процессе обучение сеть должна вывести зависимость между входом и выходом и закрепить функцию в весах связей нейронов.
Следующим этапом после нормализации данных является выбор метода построения сети. Необходимо определить размер сети - количество нейронов в скрытом слое, так как входной слой будет состоять из 4-х нейронов по количеству входных параметров, а выходной - из одного нейрона по количеству целевых, вычисляемых параметров. В работе количество нейронов скрытого слоя составило - 15. На рисунке 1 приведена схема нейронной сети.
Рисунок 1 - Схема нейронной сети эксперимента.
Затем выбирается алгоритм обучения, которым регламентируется параметр, достижение которого прекращает обучение. В данной работе был применен алгоритм Байесового упорядочивания (регуляризации), который завершается при отсутствии достаточного изменения в весах нейронов между двумя итерациями. Данный алгоритм обычно более длителен по времени, но результативен.
170 4. Результаты экспериментов
Организовав данные и построив сеть с необходимыми параметрами, последняя была обучена, при этом 85% всех данных были использованы при обучении, 10% были задействованы для определения момента завершения обучения, когда сеть перестает улучшать свои показатели, и 5% - для тестирования.
В результатет изменения вышеописанных параметров данных сеть завершала обучение в интервале от 350 до 800 итераций из 1000 максимально определенных. Лучший показатель производительности сети был отмечен на последнем запуске - среднеквадратичная ошибка составила 515,4314 на 412 итерации (см. Рисунок 2.а). После показатель не улучшался, но обучение продолжалось до остановки по минимальному изменению весов на 783 итерации. На рисунке 2.б представлена гистограмма ошибок, рассчитанных как разность между заданным параметром и рассчитанным сетью. Из гистограммы видно, что аппроксимация приемлема и применима, так как в основном ошибки сконцентрированы возле отметки нулевой ошибки.
В результате обучения была получена функция для расчета ряда из количеств активных сессий в зависимости от ряда временных параметров. Результат расчета с использованием данной функции для периода времени с 6 до 21 часов, среды, будний день приведен на графике Рисунка 3.
а. б.
Рисунок 2 - Показатели обучения. а) Минимум среднеквадратичной ошибки; б) Гистограмма ошибок (разность цели и расчета);
Рисунок 3 - Расчет с помощью обученной сети 5. Выводы
В данной работе рассмотрен пример применения нейронной сети для решения практической задачи по нахождению аппроксимации нелинейной функции зависимости количества активных сессий на веб-ресурсе от времени, определенного несколькими параметрами. После обучения сети данными по нагрузке за 18 недель, полученная функция позволяет прогнозировать нагрузку в определенный период времени.
171
СЕКЦИЯ 2 SECTION 2
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ЕСЕПТЕРІН КОМПЬЮТЕРЛІК МОДЕЛЬДЕУ
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
COMPUTER MODELING OF NATURAL SCIENCE OBJECTIVES
172
173 UDC 681.326.7
MUSSEKENOVA ZH.M.
FEATURES OF THE DESIGN OF DIGITAL SYSTEMS ON MODERN FPGA
(L.N. Gumilyov Eurasian National University, Astana)
Annotation: This article shows a way to implement the spectral analysis on programmable logic integrated circuits. We studied the importance of the spectral analysis. We consider the Fourier transform as a tool for the spectral analysis of signals. The algorithm in Verilog language for implementation on FPGAs.
Key words: FPGA, spectral analysis of signals, verilog, Fourier transform, spectrum signals.
Spectral analysis is one of the signal processing techniques to characterize the frequency content of the signal being measured.
The objectives of the spectral analysis are:
- Decomposition of the spectral signal representation of a signal as a sum of harmonic signals at different frequencies;
- Analysis of the spectral components of the signal in order to study the properties of the signal;
- The reverse conversion - receiving signal from the known spectral decomposition.
For example, in radio, not unimportant harmonic signals due to several reasons. Namely, harmonic signals are invariant under the transformations implemented by linear circuits. If harmonic oscillations are linear chain input, the signal at its output also remains harmonic, differing from the input, but the amplitude and the initial phase. Also, generating harmonic signals technique is relatively simple [1].
Figure 1 - Example of rectangular analog signal and its spectral chart.
The sum of the harmonic signal component forms its spectrum.
The spectral representation of the signal can be obtained using a Fourier series. Fourier series expansion may be subject to periodic signals, where T - period of the signal.
When Fourier series expansion in a periodic signal is the sum of harmonic functions or complex exponentials with frequencies that form an arithmetic progression.
To the Fourier series expansion there, the signal fragment length in one period must satisfy the Dirichlet conditions (y1-y3).
Sine-cosine form. In this embodiment, the Fourier series is as follows:
( ) = + ∑∞ ( cos( ) + sin( )) (1)
174
Here ω - angular frequency corresponding to the signal repetition period equal to T.
Included formula multiples thereof frequency called harmonics; numbered harmonics in accordance with index k; frequency is called the k-th harmonic signal.
Thus, in general, a periodic signal contains no time-dependent DC component and an infinite set of harmonic oscillations, so-called harmonic frequencies, multiples of the fundamental frequency of the sequence.
If the s (t) is an even function, then all will vanish and only the cosine terms are present in the formula of the Fourier series. If the s (t) is an odd function, zero will be, on the contrary, the coefficients of cosine and sine terms remain only in the formula. [3]
The Fourier transform is a tool for the spectral analysis of non-periodic signals. It can be applied to the signals and periodic, but it will require the use of the apparatus of generalized functions [4].
One means of a hardware implementation, the spectral analysis is a programmable logic integrated circuits (FPGAs). FPGA represents LSI chip or a set of basic elements, which operation and connections between them are defined in accordance with the implemented circuitry. Perhaps repeated change circuit within the crystal, including directly into the production system. The basic elements are the FPGA gates, flip-flops, memories [5].
FPGA advantage over microcontrollers, digital signal processors (DSP) is a successful conversion rate calculation and flexible architecture that allows different processes to parallelize.
Flexible configuration and high performance FPGAs, large amounts of logic gates, memory cells, the presence of modules for digital signal processing and digital filter banks, as well as embedded microprocessor cores and modern interfaces support buffers significantly expand the capabilities of developers [2]. Therefore, the scope of the FPGA is wide: it and telecommunications networking technologies, audio - and video - processing, industrial equipment, measuring and medical equipment, special equipment, etc. [6].
The blocks of logic elements, triggers and other elements are in libraries, they need to just go and join them from the scheme. However, each environment for this type of development has its own characteristics, and it may be that in Xilinx paint scheme more difficult because of the peculiarities of the graphic editor. In addition, HDL languages are closer to human language and logic, described them much clearer. Verilog language, for example, allows the same logic described in three different ways. A possible parameterization of the modules, allow greatly change the modules, depending on requirements, for specified conditions. In the case of all I would have to redraw the visual design. Verilog - a fairly simple language similar to the C programming language.
A small number of function words and simple basic design simplifies the study and allow the use of Verilog for training purposes. But at the same time an effective and specialized language [7].
The function that implements the Fourier transform on Verilog:
module fft
#(// N parameter N = 8,
assign Y = {OUT[3],OUT[2],OUT[1],OUT[0]};
reg [3:0] a;
initial begin
IN[0]= X[2*X_WDTH-1:0];
IN[1]=X[4*X_WDTH-1:2*X_WDTH];
IN[2]=X[6*X_WDTH-1:4*X_WDTH];
IN[3]= X[8*X_WDTH-1:6*X_WDTH];
IN[4]= X[10*X_WDTH-1:8*X_WDTH];
IN[5]=X[12*X_WDTH-1:10*X_WDTH];
IN[6]=X[14*X_WDTH-12*X_WDTH];
IN[7]= X[16*X_WDTH-1:14*X_WDTH];
w[0]=8'sb01000100;
175
…….
end genvar i;
generate
for(i=0;i<N/2;i=i+1) begin:BN
butterfly #( .M_WDTH (3 + 2*1), .X_WDTH (4) ) bf ( .clk(clk), …..);
end end generate
always @ (posedge clk) begin
if (count==3'b100)
begin count=3'b001; x_ndd=1;
end
always@ (posedge y_ndd[0])
else begin count=count+1; x_ndd=0; end end endmodule
The radio signal spectrum decomposition is used in the analysis of signals passing through the electrical circuit. The spectrum of a periodic signal is discrete, and represents a set of harmonic oscillations, a total of the original signal. One advantage of a range of signal degradation is the following: the signal passing through the circuit is changing (for example, amplification, time delay, phase change, etc...). The currents and voltages in the circuit under the influence of a signal described by differential equations, the respective elements of the circuit and the method of their connection. Linear chain described by linear differential equations, with linear chains true superposition principle effect on the composite signal system, which consists of a simple sum signal is the sum of actions of each component signal separately. This allows for a known reaction system to a simple signal, such as a sine wave with a certain frequency, to determine the response of the system to any composite signal, expanding it into a series of sinusoidal oscillations.
Literature:
1. AK Pyatkin, construction of a series-parallel computing FFT systems on FPGAs, 2004.
2. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/50/u_lectures.pdf.
3. AK Pyatkin, MV Nikitin Realization on FPGA FFT for DSP algorithms in multi-function radar, 2003.
4. http://www.metods-rgrtu.ru/index.php/mets-3600-3699/163-3614.
5. Atanov SK, Prospects for analog signal processing in digital equipment, materials, Publishing House "Education and Science" s.r.o. (Czech Republic, Prague), 2014.
6. http://patentdb.su/7-1363034-sposob-spektralnogo-analiza.html.
7. Yerzhan Ә, Atanov S.K, Hardware implementation of the random number generator on FPGA - Bulletin of Science Kostanai Social Technical University. Academician Z.Aldamzhar №1, 2015.
176 УДК:622.012:658.5
АБДЫЛДАЕВ Э.К., МОЛДОШЕВ Р.А., МИРКАСИМОВА Т.Ш., БЕКТЕМИСОВА А.А.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ГЕОМЕХАНИКИ
(НЭУ им. Т. Рыскулова, Алматы)
В народном хозяйстве Республики Казахстана горнодобывающие отрасли промышленности занимают одно из важнейших мест по своей роли в общественном производстве, экономической значимости и социальным факторам. В этой связи для создания эффективных и надежных конструкций шахт и карьеров, развитие системы экологического мониторинга окружающей среды исследования в области горного дела должны быть комплексными в сочетании фундаментальных и прикладных наук.
Бурное развитие информационных технологий в настоящее время ставит новые требования перед традиционными, вполне сформировавшимися областями знаний, одной из которых является геомеханика и освоение недр. Современный уровень развития математического аппарата решения задач геомеханики и вычислительной техники позволяют автоматизировать процесс проектирования выработок, учесть все детали строение массива, добиться большей достоверности проектных решений, обеспечивающих минимальные объемы вскрышных работ, безопасные условия труда, рациональное использование недр и земельных ресурсов, которая становится актуальной в условиях рыночной экономики. На современном этапе развития информационной технологии наиболее популярными вычислительными методами для оценки напряженно-деформированного состояния породного массива и различных конструкций являются методы конечных элементов [1-3] и граничных элементов [4,5].
Как известно метод граничных элементов (МГЭ) хорошо подходит к задачам концентрации напряжений или к бесконечным областям, а метод конечных элементов (МКЭ) обеспечивает экономию процедуры во многих трехмерных задачах для конечных областей.
МКЭ легко применим к физически и геометрически нелинейным задачам, в то время как для МГЭ это пока является предметом исследования. В глобальном контексте МГЭ гораздо более привлекателен, чем МКЭ, поскольку требуется меньше данных и, следовательно, уменьшается ошибки при решении задачи. Для некоторых задач, касающихся концентрации напряжений, главным является точность результатов.
Несмотря на хорошо известные многочисленные успехи в технике, МКЭ имеет некоторые недостатки, поскольку конечно-элементная (КЭ) разбивка требует дискретизации всего объема структуры, требуется мелкая разбивка в областях зоны концентрации напряжений. МГЭ является методом более новым, чем МКЭ.
Теоретическая основа интегральных уравнений была хорошо известна, при этом численная их реализация зависела не только от появления новейших компьютеров, но и от развития новых численных процедур.
В таблице 1 приведены некоторые преимущества и недостатки обеих методов.
Для многих практических задач геомеханики представляет большой интерес комбинация этих методов, с учетом достоинств каждого из них. Например, метод граничных элементов часто используется в задачах для бесконечных областей. Он дает более точные результаты, чем метод конечных элементов, в тех областях, где имеется концентрация напряжении. С другой стороны, конечные элементы удобнее применять при рассмотрении тех частей области, где материал обладает свойством анизотропии или нелинейного поведения.
177
Таблица 1 Преимущества и недостатки методов
Преи- мущества
МКЭ МГЭ
- Простота математической теории - Легкость обобщения на нелинейные задачи
- Дискретизируется только граница
- Точность результатов в областях концентрации напряжений
- Автоматический учет бесконечности областей
- Простота подготовки данных
Недо- статки
- Дискретизация всей области - Частая разбивка областей концентрации напряжений
- Неприменимость к бесконечным областям
- Сложность подготовки данных и контроля
- Трудность распространения на нелинейные задачи
- Сложность математической формулировки
Использование для граничных элементов линейных или более высокого порядка аппроксимирующих функций позволяет сочетать области с дискретным представлением с помощью как конечных, так и граничных элементов.
Пусть имеется область R c контуром C (рис.1). Для исследования области R будем применять комбинированный метод. При этом в зависимости от задачи, область R представим областями R1 и R2, где, например для исследования области R1, применяется метод граничных элементов, для области R2- конечные элементы. Эти области имеют общую границу C. При соединении этих областей необходимо, чтобы на границе C выполнялись условия совместности и равновесия:
а) перемещения на границе раздела C0 соответственно между областями 1 и 2 должны быть равны;
б) сумма напряжений на границе раздела C0 между областями 1 и 2 должна равняться нулю.
Рисунок 1 - Совместное использование конечных и граничных элементов в области R
Производится приобразование области , описываемой граничными элементами, в эквивалентный конечный элемент. Затем получающиеся глобальные матриц объединяются с матрицами метода конечных элементов. В результате этой операции получаются несимметричные матрицы. Однако эти матрицы можно привести к симметричному виду без существенной потери точности. Нами рассматриваются некоторые решения, получаемые при совместном использовании методов конечных и граничных элементов.
Общая блок-схема программы метода граничных и конечных элементов выглядит следующим образом: Ввод исходных данных; Построения матрицы влияния; Решение системы уравнений в перемещениях и напряжениях; Определение перемещений и напряжений в выбранных внутренних точках;
178 Вывод на печать результатов расчета.
На первом этапе определяется местоположение всех граничных элементов и задается для каждого из них граничное условие, т.е. этап 1 является обычно входной операцией.
На втором этапе вычисление коэффициентов вляния смещения и напряжений составляет основы гранично-элементной вычислительной программы. В разных методах граничных элементов для этой цели используются различные аналитические выражения.
Вследствие этого вычислительная программа для какого-либо одного метода граничных элементов очень близко воспроизводит программу для любого другого метода.
На третьем этапе решается система уравнений, построенная на втором этапе. Этап 3 можно осуществить с помощью стандартных методов численного анализа.
На четвертом этапе вычисляются коэффициенты влияния для заданных внутри рассматриваемой области точек, следовательно, производится вычисление перемещений и напряжений в этих точках.
На пятом этапе осуществляется вывод результатов решения граничной задачи на печать. Если в рассматриваемой задаче имеются условия симметрии, то объем входных данных сокращается.
Считается, что массив горных пород до проведения в нем выроботки находится в напряженном состоянии, которое зависит от региональной геологической истории. После образования выработки это начальное напряженное состояние нарушается, при этом полные напряжения δ в любой точке массива равны:
= ( ) + / (1)
Где ( ) - начальные напряжения, δ - дополнительные напряжения, обусловленные проведением выроботки ( растягивающие напряжения-положительные, i и j принимают значения I или 2 двухмерном случае). Аналогичные соотношения можно записать и для компонент смещений:
= ( ) + / (2)
Обычно начальные смещения ( ) =0, при этом полные u и дополнительные / смещения совпадают. Задачи геомеханики методом граничных элементов можно решить в три этапа: Постулировать начальное напряженное состояние; Поставить и решить краевую задачу в дополнительных напряжениях и смещениях; используя формулу (1).
Постановка задачи в дополнительных напряжениях упрощается в некоторых случаях, если введем понятия усилий: начальных дополнительных / и полных . Для плоскости с внешней нормалью соотношения между усилиями и напряжениями можно записать
таким образом: =
/ = /
( ) =( ) (3) Используя (1) и (3), находим
= ( ) + / (4) или
/ = − ( ) (5) Список использованной литературы:
1. Ержанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород. - Алма-Ата: Наука, 1975.-238 с.
2. Абдылдаев Э.К. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород вблизи выработок. - Фрунзе: Илим, 1990.-164 с.
179
3. Абдылдаев Э.К. Метод конечных элементов при решении прикладных задач. Учебное пособие, - Алматы: «Полиграфия-сервис и КО», - 2011.- 111с.
4. Теллес Д. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.:
Стройиздат, 1987.
5. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М.:
Мир,1987.
УДК 004.422.832.
АХМЕТОВА Ж.Ж., ЖУЗБАЕВ С.С., МАХАЖАНОВА У.Т.
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ
(ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана, Казахстан)
В современном мире информация окружает нас повсюду. Мозг современного человека уже с очень большим трудом справляется с таким потоком информации.
Информацию мы получаем в разных видах и отовсюду.
Во 2-й половине XX века с началом перехода развитых стран мира к информационному обществу стали проявляться негативные стороны этого процесса. Билл Гейтс в 1990-е годы констатировал: "Перегрузка информацией является достаточно распространенной..." [1]. Интенсивное использование информационных технологий в развитых странах мира ставит перед исследователями и практиками трудный вопрос - как снизить информационную перегрузку [2].
Из-за такого количества разновидностей представления информации и такой информационной перезагрузки в целом, усложняется восприятие информации и процесс ее обработки. Для легкого восприятия информации оптимально использовать визуальное представление информации, как визуализация данных.
Сегодня визуализация означает намного большее, чем набор методов машинной графики и построения трехмерных сцен, имеется множество методов визуализации для любых видов данных, включая: тексты, документы и языковые корпусы; деревья, графы и сети; коллекции изображений и видео; временные ряды, табличные и многомерные данные;
географические данные; скаляры, векторы и тензорные поля и др. Визуализация часто воспринимается как средство воздействия на публику за счет обеспечения качественных изображений и анимации, однако многочисленные исследования и опросы показывают, что визуализация позволяет повысить эффективность исследователей при систематизации и анализе данных. Визуализация облегчает формулировку новых гипотез, помогает при принятии решений, поддерживает эффективный обмен идеями и облегчает распространение знаний.
Визуализация данных широко применима в науке и технике. Для визуализации информации в информационных технологиях часто используют компьютерную графику.
Компьютерная графика - это область информатики, в которой рассматриваются алгоритмы и технологии визуализации данных. Развитие компьютерной графики определяется в основном двумя факторами: реальными потребностями потенциальных пользователей и возможностями аппаратного и программного обеспечения. Потребности потребителей и возможности техники неуклонно растут, и на сегодняшний день компьютерная графика активно используется в самых различных сферах. Можно выделить следующие области применения компьютерной графики:
1. Визуализация информации.
180 2. Моделирование процессов и явлений.
3. Проектирование технических объектов.
4. Организация пользовательского интерфейса [3].
Что такое моделирование процессов и явлений?
Современные графические системы обладают достаточной производительностью для создания сложных анимационных и динамических изображений. В системах моделирования, которые также называются симуляторами, пытаются получить и визуализировать картину процессов и явлений, которые происходят или могли бы происходить в реальности.
Рассмотрим, частный случай, применения визуализации данных в изучении распространения волн напряжений в однородных упругих средах. Исследование распространения волн напряжений в однородных упругих средах является весьма актуальными при решении задач, связанных с динамическими проблемами механики деформируемого твердого тела [5].
В связи с широким применением в различных областях техники конструктивных элементов и т.п., работающих в режиме динамической нагрузки, возрастает необходимость качественного и количественного анализа динамических эффектов напряженно- деформируемого состояния. В результате динамических нагрузок в исследуемом теле возникают упругие волны, достоверный расчет которого помогает оценить прочность и надежность работы всей конструкции и технологии. Для визуализации решения поставленной задачи было разработано программное обеспечение «ProgWave», которое дает возможность получить графики изолиний нормального и касательного напряжений.
По данной постановке задачи рассматривается плоская деформация упругой полуполосы конечной ширины, которая в декартовой системе координат занимает область 0 < <∞, | < |(см. рис.1). В начальный момент времени тело находится в состоянии покоя [6]
= 0, = 0, ( i,j=1,2) (1)
Риcунок 1 - Исследуемое тело
В любой другой момент времени на участке ≤ ≤ , = границы BN действует равномерно распределенная нестационарная нормальная нагрузка f(t),изменяющаяся по закону синуса
( ) = − ( ) ≤ ≤
0, ≥ (2) ( ) = 0.
Здесь – время действия нагрузок и = ⁄ . Остальная часть границы полуполосы свободна от какого-либо воздействия
( ) = 0, ( ) = 0, = 0, | | ≥ ,
181
( ) = 0, ( ) = 0, 0 ≤ ∉ ( , )| | = . (3)
При данных условиях необходимо исследовать напряженное состояние упругого тела при t>0 [7].
Программное обеспечение «ProgWave» разработано на основе численного метода бихарактеристик с использованием идей метода расщепления. Алгоритм решения был реализован на алгоритмическом языке на сетке с шагом = 0,025, ℎ = ∆ = ∆ = 0,05.
В данной постановке задачи расчеты произведены для стали ( = , = 5817 , = 3109 .) при следующих значениях исходных данных: А=0.5, = 4.5, l=5h, L=70h, = 10ℎ, = 14ℎ.
С помощью «ProgWave» были получены изолинии нормальных и касательных напряжений в разные моменты времени. На рис. 2 и 3 приведены изолинии нормальных и касательных напряжений, полученные с помощью программного обеспечения
«ProgWave» соответствующие моменту времени = 20 .
За это время граничные возмущения, распространяющиеся от локального участка воздействия, проходят расстояние 10h и достигают противоположной границы.
Рисунок 2 - Изолинии нормальных напряжений σ
Рисунок 3 - Изолинии нормальных напряжений σ
В момент времени = 40 характерная для = 20 симметричность полей напряжений относительно оси = 12ℎ еще просматриваются вблизи оси симметрии.
С удалением от этой оси симметричность изолиний нарушается. Этот результат объясняется влиянием на характер распространения напряжений от свободного торца АВ в области ≤ и отсутствием подобных эффектов в области ≤ .
Благодаря данной визуализации можно исследовать напряженное состояние упругого тела и сделать анализ и прогнозирование, которые необходимы для исследования распространения нестационарных динамических волн в плоских упругих телах, в инженерной практике при расчете строительных конструкций, в задачах машиностроения и т.д.
Список использованных источников:
1. Гейтс Б. Дорога в будущее. М., 1996, 46 -47 с.
2. Информационныые технологии в бизнесе. Энциклопедия. СПб. 2002., 83 с.
3. Эйнджел Э. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL. –М.:
Издательский дом “Вильямс”, 2001. –592 с.
4. Хилл Ф. OpenGL. Программирование трехмерной графики. –СПб.: Питер. 2002, 14-19 с.
5. Айталиев Ш.М., Масанов Ж.К., Баймаханов И.Б., Махметова Н.М.//Численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Караганда, 1987, 3-15с.
6. Тарабрин Г.Т. Строит. Механика и расчет сооружений. 1981.№4,38-43с
7. Тарабрин Г.Т. Строительная механика и расчет сооружений. М., 1980.№6, 53-58с.