Қайталауға арналған сұрақтар 1. Математикалық статистиканың негізгі есептері

Есеп 10. Есеп 10. Екі таңдамалық жинақтың таңдамалық орташалары мен дисперсиялары, таңдама көлемдері және маңыздылық деңгейі берілген

3.13 Қайталауға арналған сұрақтар 1. Математикалық статистиканың негізгі есептері

2. Таңдаманың статистикалық үлестірімі.

3. Үлестірімнің эмпирикалық функциясы.

4. Жиілік полигоны.

5. Жиілік гистограммасы.

6. Үлестірімнің нүктелік бағалары.

7. Бағалар қасиеттері.

8. Бағаларды алу әдістері.

9. Сенімділік ықтималдығы.

10. Сенімділік интервалдары.

11. Жорамалдардың статистикалық тексеруі.

12. Келісімділік критерийі.

13. Корреляция теориясының негізгі есептері.

14. Шартты орташа.

15. Регрессия теңдеуі.

16. Корреляциялық кесте.

17. Корреляцияның таңдамалық коэффицентінің қасиеті.

4 ӨЗ БЕТІМЕН ОРЫНДАЙТЫН ЕСЕПТЕУ ТАПСЫРМАЛАРЫ (берілгендерді оқу құралының соңынан табасыз)

Есеп 1.

1.1. Үш құрылғы беріктілікке сынақтан өткізіледі. A_k оқиғасы – «k-ші құрылғы сыннан өтті» деген оқиғалар болсын (k 1,2,3). A_k және Ak оқиғаларының бірігуі және қиылысулары арқылы келесі оқиғаларды өрнекте: A - «тым болмағанда бір құрылғы сыннан өтті», B - «сыннан өткен құрылғылар саны екіден кем емес».

1.2. Оқиғалар арасындағы амалдардың келесі қасиеттерін дәлелде:

а)



AB



C  AC BC; б) ABC 



AC

 

 BC



1.3. A,B,C- кез келген оқиғалар болсын. Келесі оқиғаларды өрнекте:

а) A,B,C оқиғаларының тым болмағанда біреуі пайда болуын;

б) не A оқиғасы, не B оқиғасы, не Cоқиғасы орындалатын, бірақ B және C оқиғалары бірге орындалмайтын оқиғаны.

1.4.



^A^^B

 

^A^^B



^A^^B



^A^^B



оқиғасы жалған оқиға екенін дәлелде.

1.5. Ықшамда: ^A^



^B^^C



^

^

^A^^B

^ 

^A^^C



1.6. Мына теңдіктер қандай жағдайда орындалады:

а) AB A; б) A B AB?

1.7. A,B,C- кез келген оқиғалар болсын. Төмендегі теңдіктердің қайсысы дұрыс, қайсысы дұрыс емес:

а)^A^



^B^^C



^ ^A^^B^ ^A^^C^{; б)}^A^^B^^C ^ ^A^^B^^C^.

1.8. Дәлелде: A BC  ABC

1.9. Мына теңдіктер қандай жағдайда орындалады:

а) AB A; б) ABB?

1.10. Дәлелде:AB ABC  ABC 1.11. Ықшамда: ^C^



^B^^C



^



^A^^B

 

^B^^C



1.12. Дәлелде:



^B^^C



^



^B^^C

 

^ ^B^^C



^^BC

1.13. A,B,C- кез келген оқиғалар болсын. Келесі оқиғаларды өрнекте:

а) бұл оқиғалардың тым болмағанда біреуінің пайда болуын;

б) бұл оқиғалардың тек біреуінің пайда болуын.

1.14. A оқиғасы - алынған үш бұйымның тым болмағанда біреуі жарамсыз, B оқиғасы - алынған үш бұйымның барлығы жарамды деген оқиғалар болса, төмендегі оқиғалар нені сипаттайды:

а) AB б) AB

1.15. Ықшамда: ^C^



^B^^C

 

^ ^A^^B



^B^^C



1.16. A және AB оқиғалары үйлесімді ме? A, AB, AB оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайтынын дәлелде.

1.17.



^A^^B



^A^^B



^



^A^^B

 

^A^^B



^және



^A^^B

 

^A^^B



^A^^B

 

^ ^A^^B



оқиғалары ақиқат екенін дәлелде.

1.18. Ықшамда:



^A^^B

 

^ ^A^^B

 ^

^AB^ ^A

^

1.19. Егер AB A болса, онда B AB екенін дәлелде.

1.20. Құрылғы бірінші типті екі топтамадан және екінші типті үш топтамадан тұрады. A_i оқиғасы – «бірінші типті i-ші топтама бұзылмаған», мұндағы i1,2, B_k(k 1,2,3) – «екінші типті k- ші топтама бұзылмаған» деген оқиғалар. Құрылғы бұзылмайды, егер бірінші типті топтаманың тым болмағанда біреуі бұзылмаса және екінші типті топтаманың екіден кем емесі бұзылмаса. C – «құрылғы бұзылған жоқ» деген оқиғаны A_i және B_k арқылы өрнекте.

1.21. Егер AB болса, онда A(B\ A) оқиғасы нені сипаттайды?

1.22. Дәлелде:

а) AB AB; б) ABAB. 1.23. Ықшамда:



^A^^B



^



^A^^C



^C^^B



1.24. A,B,C- кез келген оқиғалар болсын. Келесі оқиғаларды өрнекте:

а) A,B,C оқиғаларының тек біреуі пайда болуын;

б) тым болмағанда бір оқиғаның пайда болуын, бірақ екіден артық емес.

1.25. Дәлелде:

а) ABABA; б) ABC  ABC.

1.26. A,B,C- кез келген оқиғалар болсын. Төмендегі теңдіктердің қайсысы дұрыс, қайсысы дұрыс емес:

а)(ABC)C AB; б) ABC ABC.

1.27. AB, AB, AC, BC оқиғалары үйлесімді болуы үшін қандай шарт қажет?

1.28. A оқиғасы өзара үйлесімсіз толық топ құратын B₁,B₂ ,... ,B_n оқиғаларының тек біреуі пайда болғанда орындалатын оқиға болсын.

Дәлелде:A AB₁  AB₂ ...AB_n.

1.29. Оқиғалар арасындағы амалдардың келесі қасиеттерін дәлелде:

а)A B AB; б) AB AB.

1.30. A,B,C оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар. Келесі теңдіктердің мағынасын түсіндір:

а)ABC B; б) ABC B.

1.31. Егер A және B оқиғалары үйлесімсіз оқиғалар болса,



^A^^B



^



^A^^C



^



^A^^C



оқиғасы нені анықтайды?

Есеп 2.

2.1. Әртүрлі төрт цифрдан тұратын барлығы қанша автомобиль нөмірлері бар?

2.2. Футбол жарысына 18 команда қатысты. Егер кез келген команда бір медаль ала алатын болса, алтын, күміс және қола медальдарды барлығы қанша әдіспен үлестіруге болады?

2.3. 0,1,2,3,4,5,6 цифрларынан әрбір цифр құрамында бір рет қана кезігетіндей барлығы қанша жұп үш таңбалы сандар құрастыруға болады?

2.4. Сауықтыру орнына әртүрлі екі жолдаманы алты адамға барлығы қанша әдіспен үлестіруге болады?

2.5. Беске қалдықсыз бөлінетін алты таңбалы қанша сан бар?

2.6. Жеті жас мамандарды 3 цехқа неше тәсілмен жіберуге болады, егер әрбір цехқа сәйкесінше 1 маман, 2 маман, 4 маман жіберілу керек болса?

2.7. Дөңес 12-көпбұрыштың барлық диагональдар саны қанша?

2.8. Бірде-бір цифры қайталанбайтын жеті орынды телефон нөмірлерінің саны қанша?

2.9. Әр топта сәйкесінше 2,3,5 адам болатындай 10 адамды неше тәсілмен 3 топқа бөлуге болады?

2.10. 1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларын тек бір рет қана қолдана отырып, құрамында 5 цифры болатын барлығы қанша алты таңбалы сан құрастыруға болады?

2.11. 8 жолаушысы бар лифт алты қабатқа тоқтайды. Жолаушылар 1,3 және 4 жолаушыдан топталып қабаттарда түседі. Әр қабатта тек бір ғана топ түсуі қажет болса, мұндай жағдайлардың барлық саны қанша?

2.12. 1,2,3,4,5 цифрларынан әр цифр құрамында бір рет қана кезігетін барлығы қанша бес таңбалы сандар құрастыруға болады? Осылардың ішінде беске еселі еместер саны қанша?

2.13. 20 студенттің ішінен барлығы неше тәсілмен староста, комсорг және профорг сайлауға болады?

2.14. 1,5,6,7 цифрларынан барлығы қанша төрт таңбалы сандар құрастыруға болады?

2.15. 10 оқулық - 7-еуінің авторлары әртүрлі және бір автордың 3- томдық оқулығы – кітап сөресіне орналастырылған. Бір автордың 3-томдық оқулықтары қатар тұратындай етіп, бұл оқулықтарды барлығы қанша тәсілмен кітап сөресіне қоюға болады?

2.16. Екі цифры да жұп сан болатын барлық екі таңбалы сандардың саны қанша?

2.17. Барлығы қанша диагоналі бар:

а) дөңес төртбұрыш;

б) дөңес n- бұрыш?

2.18. Солдан оңға қарай және керісінше оқығанда бірдей оқылатын қанша бестаңбалы сандар бар?

2.19. 8 ер адам мен 8 әйел адамды дөңгелек үстелді айналдыра, бірде-бір екі ер адам мен екі әйел қатар отырмайтындай етіп неше тәсілмен отырғызуға болады?

2.20. Екі математик пен 10 экономисттен сегіз адамнан тұратын комиссия мүшелерін сайлау қажет. Құрамында тым болмағанда бір математик болатын комиссияны неше тәсілмен сайлауға болады?

2.21. Сегіз әртүрлі хатты сегіз әртүрлі конвертке неше тәсілмен салуға болады, егер бір конвертке тек бір ғана хат салынатын болса?

2.22. Авторлары әртүрлі 6 оқулықты кітап сөресіне неше тәсілмен орналастыруға болады?

2.23. Ондығы мен бірлігі әртүрлі және тақ сандар болатын екі таңбалы сандардың саны қанша?

2.24. Салтанаттың математикадан 7 әртүрлі оқулығы, ал Жанардың философиядан әртүрлі 9 оқулығы бар. Қанша тәсілмен 5 кітаптан кітаптарды алмастыра алады?

2.25. 1,3,4,5,7,9 цифрларынан әр цифр құрамында бір рет қана кезігетіндей барлығы қанша жұп алты таңбалы сандар құрастыруға болады?

2.26. 7 ер адам мен 4 әйел адамнан құрамындағы әйел адамдар саны екіден кем емес болатын алты адамды қанша тәсілмен алуға болады?

2.27. 15 адамды біреуінде 4 адам, екіншісінде 11 адам болатындай етіп екі топқа неше тәсілмен бөлуге болады?

2.28. Екі цифры да 0,2,4,8 цифрларынан құралған барлық екі таңбалы сандардың саны қанша?

2.29. Теміржол вагонындағы купеде әрқайсысында төрт орыннан бар екі диван қарама-қарсы қойылған. 8 жолаушының үшеуі қозғалыс бағытына беті қарайтындай, екеуі қозғалыс бағытына арқасымен қарайтындай отырғылары келеді. Жолаушылардың талаптары орындалатындай етіп, оларды неше тәсілмен орналастыруға болады?

2.30. 8 жолаушыны 3 купеге неше тәсілмен орналастыруға болады?

2.31. Құрамында екі цифры төрт рет және бес цифры екі рет кезігетін барлық әртүрлі алты таңбалы сандардың саны қанша?

Есеп 3.

3.1. Бір кітап сөресіне 10 оқулық кездейсоқ қойылған. Белгіленген үш кітаптың қатар орналасу ықтималдығын есептеу керек.

3.2. Телефон нөмірі бес цифрдан тұрады. Кездейсоқ терілген телефон нөмірінің құрамында бірдей цифрлар болмау ықтималдығын есепте.

3.3. Жәшікте 4 ақ және 5 қызыл шарлар бар. Жәшіктен бір-бірден барлық шарлар кездейсоқ алынып, қарамай жерге қойылады. Соңғы алынған шардың ақ болу ықтималдығын есепте?

3.4. 1, 3, 5, 6 және 8 цифрлары бір-бірден бес карточкаға жазылған.

Жақсылап араластырылғаннан кейін, кездойсоқ алынған ретпен қойылды.

Пайда болған бес таңбалы санның жұп сан болу ықтималдығын есепте.

3.5. Ойын сүйегі екі рет лақтырылған. Түскен ұпайлардың қосындысы 8-ден кем емес және 11-ден артық емес болу ықтималдығын есепте.

3.6. Топ 4 ер адам мен 8 әйел адамнан тұрады. Кездейсоқ үш-үштен топтағанда әр топта ер адам болу ықтималдығы неге тең?

3.7. Сегіз карточкада 1-ден 8-ге дейінгі цифрлар жазылған. Кездейсоқ екі карточка алынды. Осы карточкада шыққан санның цифрларының қосындысы 12-ден кем емес болу ықтималдығын есепте.

3.8. Алматы қаласындағы кездейсоқ алынған автомобильдің төрт нөмірінің барлық цифрлары әртүрлі болу ықтималдығы қандай?

3.9. 21 етихан билетінің әрқайсысында екі сұрақтан бар және сұрақтар қайталанбаған. Студент оның 20-ның ғана жауабын біледі. Емтиханда келген билеттің екеуі де студент білетін сұрақтан болу ықтималдығын тап.

3.10. Байланыс торабынан орыс алфавитінің 30 әрпін кездейсоқ береді.

Лентада «МИНСК» сөзінің шығу ықтималдығы неге тең?

3.11. Доминоның толық жиынтығынан (28 дана) кездейсоқ 7 сүйек алынды. Олардың үшеуінде алты ұпайының болу ықтималдығын табу керек.

3.12. Жөндеу орнына 8 теледидар әкелінді, оның үшеуі күрделі жөндеуді қажет етеді. Жөндеуге кездейсоқ алынған 5 теледидардың екеуі күрделі жөндеуді қажет ететін теледидар болу ықтималдығын тап.

3.13. Төрт томдық шығарма кітап сөресіне кездейсоқ қойылған.

Шығарманың солдан оңға қарай немесе оңнан солға қарай ретімен қатарласып орналасу ықтималдығын тап.

3.14. Цехта 6 ер адам және 4 әйел адам жұмыс істейді. Кездейсоқ алынған 8 адамның 3-еуі әйел адам болу ықтималдығы неге тең?

3.15. Партиядағы 1000 заттың 10-ы жарамсыз заттар. Кездейсоқ алынған 100 заттың ішінде 8 жарамсыз зат болу ықтималдығын есепте.

3.16. Стол үстінде 18 емтихан билеті жатыр және олар 1, 2,...,18 болып нөмірленген. Оқытушы кездейсоқ алған 3 билеттің барлығы да алғашқы төрттіктен болу ықтималдығын есепте.

3.17. Кітап сөресіне 20 кітап кездейсоқ қойылған және олардың арасында Абайдың үш томдығы да бар. Осы үш томдықтардың солдан оңға қарай өсу ретімен орналасу ықтималдығы қандай (үш томдықтардың қатар орналасуы міндетті емес)?

3.18. 8 адамнан тұратын топ дөңгелек столға кездейсоқ отырды. Қандай да бір белгілі екі адамның қатар отыру ықтималдығын есепте.

3.19. Он карточкаға 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрлары жазылған. Кездейсоқ екі карточка алынып, алыну реті бойынша пайда болған сан оқылады. Осы санның жұп болу ықтималдығын есепте.

3.20. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Түскен ұпайлардың қосындысы 10- нан артық емес болу ықтималдығын тап.

3.21. Топтың бес студенті – ағылшын тілін, алты студенті – неміс тілін және жеті студент – француз тілін оқиды. Кездейсоқ алынған төрт студенттің екеуі – ағылшын тілін, біреуі – француз тілін және біреуі –неміс тілін меңгеру ықтималдығы неге тең?

3.22. Студент 30 емтихан сұрағының 20-сының жауабын біледі.

Емтиханда қойылған екі сұрақтың да оның білетін сұрақтары болу ықтималдығы неге тең?

3.23. Кездейсоқ екі таңбалы сан алынды. Осы санның цифрларының қосындысы жай сан болу ықтималдығын тап.

3.24. Үлкен қаладағы кездейсоқ алынған автомобильдің төрт нөмірінің барлық цифрлары әртүрлі болу ықтималдығы қандай? Барлық төрт цифры да бірдей болу ықтималдығы қандай?

3.25. Жәшікте үш ақ, бес қара және төрт қызыл шарлар бар. Жәшіктен бір-бірлеп барлық шарлар алынды. Қызыл шардың ақ шардан бұрын шығу ықтималдығы неге тең?

3.26. Алматы қаласының телефон нөмірі – алты цифрдан тұрады. Осы цифрлардың барлығы әртүрлі болу ықтималдығын тап.

3.27. Кітап сөресіндегі 15 оқулықтың 7-еуі математика пәнінен.

Кездейсоқ алынған үш оқулықтың 3-еуі де математика пәнінің оқулығы болу ықтималдығын табу керек.

3.28. Үлкен қалада кездейсоқ алынған автомобильдің төрт таңбалы нөмірінің барлық цифры әртүрлі болу ықтималдығын есептеу керек. Барлық цифры бірдей болу ықтималдығы неге тең?

3.29. Дөңгелек үстелді айнала 4 ер адам мен 4 әйел адам отыр. Егер олар отырған орындарын кездейсоқ таңдаған болса, онда бірде-бір екі ер адам мен екі әйел адамның қатар отырмау ықтималдығын тап.

3.30. Жәшікте 2 ақ және 4 қара шарлар бар. Кездейсоқ жәшіктен барлық шарлар екі-екіден кезекпен алынды. Соңғы алынған шар жұбының екеуі де қара болу ықтималдығын тап?

3.31. Оқу бағдарламасының студент 20 сұрағының 15-інің жауабын біледі. Емтихан кезінде кездейсоқ алынған үш сұраққа жауап беру қажет.

Емтиханда студенттің сұрақтарға жауап бере алу ықтималдығын тап?

Есеп 4. k- қабатты үйдің тасымалдау лифтісіне n жүргінші келіп отырды. (n<k). Екінші қабаттан бастап әрбір жүргінші басқаларынан өзгеше бірдей ықтималдықпен кез – келген қабаттан шыға алады. Төмендегі ықтималдықтарды табыңыз: а) әрқайсысы әртүрлі қабатта шықты; б) кемінде екеуі бір қабатта шықты.

Есеп 5. Бірлік ұзындықты кесіндіде кездейсоқ бір нүкте пайда болады.

Осы нүктеден кесіндінің ұштарына дейінгі қашықтық k

1- дан артық болуының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 6. Екі адам T₁ сағат пен T₂ сағат аралығында кезігуге келісті.

Олардың біреуі екіншісін 10 минут тосады да, одан кейін жүре береді. Ал екіншісі t минут тосады да, одан кейін жүре береді. Егер олардың кезігуге келулері бір-біріне тәуелсіз болса, онда олардың:

1) кезігу ықтималдығын;

2) кезікпеу ықтималдығын есептеңіз.

Есеп 7. Радиусы R - ге тең дөңгелекте кездейсоқ бір нүкте пайда болды.

Аудандары S₁ және S₂ болатын өзара қиылыспайтын екі фигураның бірде- біреуіне келіп түспеуінің ықтималдығын табыңыз.

Есеп 8. Екі топта сәйкесінше k₁ және k₂% үлгерімі төмен студенттер бар. Әр топтан кездейсоқ бір-бір студенттен алынды. Алынған студенттердің:

1)біреуі үлгерімі төмен студент болу;

2)тым болмағанда біреуі үлгерімі төмен студенттің болу;

3)екеуі үлгерімі төмен студент болу ықтималдықтары неге тең?

Есеп 9. Нысанаға оқты дәл тигізу ықтималдығы бірінші атқыш үшін p₁ - ге тең, ал екіншісі үшін - p₂. Бірінші атқыш n₁ рет атыс, екінші атқыш n₂ рет атыс жүргізді. Төмендегі оқиғалардың ықтималдықтарын есепте:

1)бірде-бір оқ нысанаға тиген жоқ;

2) тым болмағанда бір оқ нысанаға тиді.

Есеп 10. А және В екі ойыншы кезекпен тиын лақтырды. Кімге бірінші

«ел таңба» жағы түссе, сол ойыншы жеңіске жетеді. Бірінші ойынды А ойыншысы бастаса, екінші – В, үшінші – А және т.б.Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын есепте:

1)А ойыншы k-ші лақтырысқа дейін жеңіске жетті;

Нұсқа 6-10, 26-31. А ойыншы k-ші лақтырыстан кеш емес лақтырыста жеңіске жетті;

Нұсқа 11-15. В ойыншы k-ші лақтырысқа дейін жеңіске жетті;

Нұсқа 16-20. А ойыншы k-ші лақтырыстан кеш емес лақтырыста жеңіске жетті.

2)Әрбір ойыншы үшін ойынның ұзаққа созылу жағдайында ықтималдықты табыңыз.

Есеп 11. Қорапта 1 –ден М –ге дейін нөмірленген М шарлар бар. Олар бір – бірден қайтарусыз алынады. Төмендегі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:

1) А – алынған шарлар нөмірлері өсу ретімен 1,2, …, М тізбегін құрайды;

2) В – кем дегенде бір рет алынған шардың нөмірі мен реттік нөмірі сәйкес келеді;

3) С – бірде – бір рет алынған шардың нөмірі мен реттік нөмірі сәйкес келмейді;

Есеп 12. 1000 шамның n_i шамы i-партиясынан алынған.

  

 3 1

1000 ,

3 , 2 , 1

i ni

i . 1-партияда 6%, 2-партияда 5%, 3-партияда 4% сапасыз шамдар бар болса, онда кездейсоқ таңдап алынған бір шам сапасыз болуының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 13. Бірінші партияда N1 стандартты және М₁ стандартты емес детальдар бар, ал екінші жәшікте N2 стандартты және М₂ стандартты емес детальдар бар. Бірінші партиядан екіншісіне К деталь салынды. Екінші партиядан кездейсоқ алынған бір детальдың стандартты болу ықтималдығын табыңыз.

Есеп 14. Альбомда k таза және l сөндірілген маркалар бар. Олардан кездейсоқ m маркалар алынды (олардың ішінде таза да, сөндірілген маркалар болуы мүмкін), олардың барлығы сөндіріліп, қайтадан альбомға салынды.

Қайтадан альбомнан кездейсоқ n маркалар таңдап алынды. Кездейсоқ таңдап алынған n маркалардың таза болуының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 15. Дүкенге үш зауыттан бірдей типті бұйымдар келіп түсті, әрбір i- зауыттан сәйкесінше mi% бұйым келеді. (i = 1, 2, 3). Ал әрбір i-зауыттан сәйкесінше n_i% бірінші сортты бұйымдар бар. Бір бұйым сатып алынды. Сатып

алынған бұйымның бірінші сортты және j зауытта шығарылған бұйым болуының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 16. Тиын «ел таңба» жағы n рет түскенше лақтырылады. «Сан»

жағының m рет түсу жағдайының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 17. Бір лотерея билетінде ұтыс болуының ықтималдығы p ға тең. n билет сатып алынды. Ұтысы бар билеттер саны үшін ең ықтимал санды анықтап және оған сәйкес ықтималдықты есептеңіз.

Есеп 18. Әрбір лотерея билетіне үлкен ұтыс түсуі ықтималдығы р1 – ге тең, ал лотерея билетіне ұсақ ұтыс түсуі ықтималдығы - р2, лотерея билетіне ұтыс түспеуі ықтималдығы - р₃ және  

 3 1

i pi . n билет сатып алынды. Сатып алынған билет ішінде n₁ үлкен ұтыс және n₂ ұсақ ұтыс болуының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 19. Телефон стансасында әрбір телефон соғу кезінде «жүйеге қосылмау» ықтималдығы р ға тең. n телефон соғуы келіп түскен болса, онда m рет «жүйеге қосылмау» шартының ықтималдығын табыңыз.

Есеп 20. Қандай да бір А оқиғасының әрбір n тәуелсіз сынақта орындалу ықтималдығы p-ға тең. Оқиғаның орындалуы m төмендегі теңсіздіктерді қанағаттандыратындай ықтималдықтарын табыңыз:

1) Осы А оқиғасының k₁-ден кем емес, k₂-ден артық емес рет пайда болу ықтималдығын есепте

2) Осы А оқиғасының k₁-ден кем емес рет пайда болу ықтималдығын есепте

3) Осы А оқиғасының k₂-ден артық емес рет пайда болу ықтималдығын есепте.

Есеп 21.

1; 16, 31 нұсқалар үшін: Құрылғы тәуелсіз жұмыс істейтін k элементтен тұрады. Әрбір элементтің бір сынақта істен шығу ықтималдығы p-ға тең болса, сынақ жүргізу кезінде істен шыққан элементтер санының үлестірім заңын жаз, ықтималдықтың үлестірім функциясын құр және оның графигін тұрғыз. Х – сынақ кезіндегі істен шыққан элементтер саны болса, осы Х шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

2; 17 нұсқалар үшін: Зауыт қоймаға k сапалы бұйым жіберді.

Тасымалдау кезінде бір бұйымның бұзылып, сапасыз болып қалу ықтималдығы 0,2. Х дегеніміз - алынған k бұйымның ішіндегі сапасыз бұйымдар саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

3; 18 нұсқалар үшін: Х дегеніміз –атылған k оқтың нысанаға тию саны болсын. Әрбір оқтың нысанаға тию ықтималдықтары бірдей және 0,2-ге тең болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

4; 19 нұсқалар үшін: k шыны құмыраны тасымалдау кезінде бір құмыраның сыну ықтималдығы 0,1-ге тең. Х дегеніміз - k шыны құмыраның

ішіндегі сынған құмыралар саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

5; 20 нұсқалар үшін: Кестеде лабораториялық жануардың қатарынан 12 күнде өлшенген салмақ өлшемі m(граммен) берілген:

m 50+k 52-k 48+k 50+k 51+k 53-k 47+k 50+k 52+k 48+k 49+k 51-k Осы мәндермен құрылған уақыт қатарын стационарлы деп алып, осы қатардың математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасын мен медианасын есепте.

6; 21 нұсқалар үшін: Бидайдың дәндерінің ішінде 0,4 % арамшөп дәндері бар. Х дегеніміз – кездейсоқ алынған k бидай дәндерінің ішіндегі арамшөп дәндерінің саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

7; 22 нұсқалар үшін: k тәуелсіз сынақ жүргізілген және олардың әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,1- ге тең. Х дегеніміз – жүргізілген k тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

8; 23 нұсқалар үшін: Тиын k рет лақтырылған. Кездейсоқ герб жағының түсу санының ықтималдығының үлестірім кестесін жаз және үлестірім көпбұрышын сал. Герб жағының түсу санының математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

9; 24 нұсқалар үшін: Бір рет лақтырылғанда ойын сүйегінің жоғарғы жағында кездейсоқ пайда болған ұпай санының ықтималдығының үлестірім кестесін құр.

10; 25 нұсқалар үшін: Қандай да бір маршрутқа бір күнде k ұшақ ұшады. Әрбір ұшақтың кесте бойынша қону ықтималдығы 0,7-ге тең. Х дегеніміз – кестеден ауытқыған ұшақтардың кездейсоқ саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

11; 26 нұсқалар үшін: Лапта ойынының ойыншысы 5 рет допты соғады.

Бір рет соққанда доптың лаптаға түсу ықтималдықтары бірдей және 0,6-ға тең.

Х дегеніміз – доптың лаптаға түсу саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте. Үлестірім заңын қолданып, Р(2 Х 3)10р²q² екенін көрсет.

12; 27 нұсқалар үшін: Театрға n билет бар, оның k – сы бірінші қатардағы орынның билеттері. Х дегеніміз – кездейсоқ алынған m билеттің ішіндегі бірінші қатардағы орынның билеттері саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте. Алынған кестені пайдаланып, Р(Х 3) тап.

13; 28 нұсқалар үшін: n лотерея билетінің ішіндегі ұтыс билеттерінің саны – k. Х дегеніміз – сатып алынған m билеттің ішіндегі ұтыс билеттерінің

100

саны болса, осы Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

14; 29 нұсқалар үшін: 1-ден n-ге дейін бүтін сандармен нөмірленген n жетонның ішінен кездейсоқ k жетон алынды. Х дегеніміз – осы алынған жетондардың ішіндегі 5-ке еселі нөмірлі жетондар саны болса, Х шамасының үлестірім заңын жаз, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын есепте.

15, 30 нұсқалар үшін: Бес тәуелсіз жұмыс істейтін аспаптан тұратын құрылғы сынақтан өткізіледі. Аспаптардың істен шығу ықтималдықтары сәйкесінше 0,05, 0,06, 0,08, 0,09, 1. Осы мәндерден құралған уақыт қатарының стационарлы екенін ескеріп, оның математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасы мен медианасын есепте.

Есеп 22.

2n нұсқалары үшін (тақ нөмірлі нұсқалар). Бірінші мергеннің әрбір атқанда оқты нысанаға тигізу ықтималдығы тұрақты және рi-ге тең , ал екінші мергеннің әрбір атқанда оқты нысанаға тигізу ықтималдығы тұрақты және р2- ге тең. Екі мерген нысанаға бір-біріне тәуелсіз k оқ атты. Х дегеніміз – осы атылған оқтардың ішіндегі бірінші және екінші мергеннің нысанаға тиген оқтарының қосындысы болса, оның математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасы мен медианасын есепте.

2 нұсқалары үшін (жұп нөмірлі нұсқалар). Ақ құтыда 10 зат бар, оның 7-еуі боялған. Ал көк құтыда 7 зат бар, оның 5-еуі боялған. Кездейсоқ екі құтыдан k зат алынды. Х дегеніміз – осы екі құтыдан алынған заттардың ішіндегі боялған заттар саны болса, оның математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасы мен медианасын есепте.

Есеп 23. Кездейсоқ шаманың берілген үлестіру заңдылығы бойынша (t) сипаттамалық функциясын, М(Х) математикалық күтімін, D(Х) дисперсиясын барлық жағдай үшін табу керек:

1) биномдық заң: P(X k)C_n^kp^k(1 p)ⁿ^^k, 0 p1, k 0,1,2,...n

2) Паскаль заңы: ,

) 1 ) (

( _₁

 

k ^k _k X

P 

  1, k 0,1,2,...

3) Пуассон заңы: ,

) !

(  _^



 e

k k X P

0

 k 0,1,2,...

Есеп 24. X кездейсоқ шамасының f(x) үлестірім тығыздығы берілген. γ параметрін, М(Х) математикалық күтімін, D(Х) дисперсиясын, Х кездейсоқ шамасының үлестіру функциясын, x₁ X х₂ теңсіздігі орындалу ықтималдығын барлық жағдай үшін табу керек:

 



 







 



b х a

a x

, ,

, 1 ,

)

( 

 



 





  х b х x а

f 0, ,

, ) ,

( 



101











  





  





, 2 , 2

)

(  



b х b

а x

f ,

 



 





  х a

х a x ax

f 0, 0, , 0 ) ,

( 1

2n нұсқалары үшін (тақ нөмірлі нұсқалар). Шапшаң дабыл соғу оқиғасы k1 және k2 сағаттар аралығында орындалуы қажет. Дабылды тосу уақыты бірқалыпты үлестірілген Х кездейсоқ шамасы. k сағаттан кейін m мин бойы дабылдың соғылу ықтималдығын есептеңіз. Х шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасы мен медианасын табу керек.

2 нұсқалары үшін (жұп нөмірлі нұсқалар). Метро пойызы қатаң кесте бойынша m минут сайын жүреді. Х дегеніміз – кездейсоқ перронға келген жолаушының бірқалыпты үлестірілген пойызды тосу уақыты болса, осы Х шамасының үлестірім тығыздығын, интегралдық функциясын, математикалық күтімін, дисперсиясын, модасы мен медианасын табу керек.

Есеп 25. Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығымен берілген: f(x) e^ax²^^bx^^c.  параметрін, М(Х) математикалық күтімін, D(Х) дисперсиясын, Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясын, x₁  X  x₂ теңсіздігі орындалу ықтималдығын табыңыз.

Есеп 26.  0 параметрімен Х кездейсоқ шамасы үлестірім тығыздығымен берілген:

 







 ^ 

. 0 , 0

, 0 , x

x x e

x

 . М(Х) математикалық күтімін, D(Х) дисперсиясын, Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясын,

1 X x

x   теңсіздігі орындалу ықтималдығын табыңыз.

Есеп 27. Х кездейсоқ шаманың берілген үлестіру заңдылығы бойынша )

(t сипаттамалық функциясын және 2) үшін Х кездейсоқ шаманың М(Х) математикалық күтімін, D(Х) дисперсиясын табыңыз:

1) Х кездейсоқ шамасы

 

a;b кесіндісінде бірқалыпты үлестірілген;

2) Х кездейсоқ шамасы үлестірім тығыздығымен берілген:























х 0 0

0 b 0 a 0

x х e

Г b a

x f

ax 1 b b

) ,

( ) ,

( )

( ,

3) Х кездейсоқ шамасы M(X)a және ^D⁽^X⁾^^b параметрлерімен қалыпты үлестірілген.

102

Есеп 28. Чебышев теңсіздігін қолданып, Х кездейсоқ шамасының М(Х)

математикалық күтімінен ауытқуы N -дан кем емес, мұндағы   D(X) - Х кездейсоқ шамасының орташа квадраттық ауытқуы; D(Х) – дисперсиясы;

N - нұсқа нөмірі.

Есеп 29. X_i кездейсоқ шамасы бірдей ықтималдықпен i^ или i^ мәндерінің бірін қабылдайды. X₁,X₂....,X_i,... қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлкен сандар заңын қанағаттандырады ма:

? 0 X

i M Xi n

n i Xi P n













  

 





 1, 

) 1 (

1 lim 1

α параметрінің екі мәні үшін есепті шығарыңыз.₁ ,₂.

Есеп 30.

 

⁰^,^ кесіндісінен кездейсоқ n сан таңдап алынған, нақтырақ айтсақ,

 

0, кесіндісінде бірқалыпты үлестірілген n тәуелсіз кездейсоқ шамалар

X₁, ₂...., берілсін. Олардың қосындысы х₁және x₂ мәндерінің аралығында орналасқан болуының ықтималдығын табыңыз:





1 1X x

P ⁿ

i i 



 .

Есеп 31. Х кездейсоқ шамасының     e^^ k k

) !

( Пуассон заңымен

үлестірілгендігі белгілі.  параметрі белгісіз болады. Нүктелік бағаларды алу әдісін қолданып,  белгісіз параметрінің (x1, x2,… x8) таңдама мәндерін ескергеннен кейін a^* бағасын табу керек:

1)моменттер әдісімен;

2)неғұрлым шындыққа ұқсас әдіспен.

Есеп 32. Х кездейсоқ шамасы p белгісіз параметрімен

m n m m

n p p

m C X

P(  ) (1 ) ^ биномдық үлестірілген. Нүктелік бағалаудың әдістерін қолданып, р белгісіз параметрінің (x1, x2,… x8) таңдама мәндерін ескергеннен кейін p^* бағасын табу керек.

Есеп 33.  кездейсоқ шамасының а белгісіз математикалық күтімі мен

2 белгілі дисперсиясымен қалыпты үлестірілген. Көлемі n болатын )

, ,

(x₁ x₂ ... ,x_n таңдамалар бойынша x x n

1 ⁿ

i i 

 таңдамалық орташа есептелген.

 сенімділік ықтималдығына сәйкес а белгісіз параметрінің үлестіруінің сенімділік интервалын табыңыз.

Есеп 34. Х кездейсоқ шамасының а белгісіз математикалық күтімі мен ² дисперсиясымен қалыпты үлестірілген. Көлемі n болатын (x₁,x₂,... ,x_n)

таңдамалар бойынша x x

n 1 ⁿ

1 i i 

 таңдамалық орташа және

n 2 1

i i

2 x x

1 n

1 ( )

)

( ^*  

 

  белгісіз параметрлі бағалары есептелген.  сенімділік ықтималдығына сәйкес а белгісіз параметрінің үлестіруінің сенімділік интервалын табыңыз.

In document (1)Қазақстан Республикасының Министерство Білім және ғылым образования и науки министрлігі Республики Казахстан Д (бет 88-102)