Анықтама 6. Берілген теорияның сигнатура моделі (әрі қарай структурасы) ядролық деп аталады, егер берілген теорияның әрбір моделіне жалғыз ішкі структурасы изоморфты болса
3. Conclusion
It was established the relationships between mass distributions and tensions of the grid of strings and mass distribution and stress of membrane, which deliver the closeness of their low frequencies of natural oscillations. In the future, some numerical results of the problem (4)-(7) will be presented in the programming language Matlab, related to the eigenvalues and the corresponding Eigen functions (see [4], [5]).
References:
1. Kaldybekova B.K., Some analog of the sturm separation theorem for equation on graph, Scientific journal of Abai KazNPU, Almaty, 2016, 46 pp., ІSSN 1728 -7901
2. Pokorny, Yu.V.; Penkin, O.M., Pryadiev V.L. and others. Differential equations on geometric graphs (in Russian), Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow, 2005. 272 pp. ISBN: 5-9221-0425-X
3. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer Series in Computational Mathematics, Berlin, Volume 23, 1994. 1 pp. (in English)
4. Zhikov V.V. Connectedness and homogenization. Examples of fractal conductivity, Sbornik: Mathematics, 1996, 187:8, 1109-1147 (in Russian)
5. Zhikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer Verlag, 1994, 349 pp.
УДК 517.977.1/5; 517/958:52/59 ГРНТИ 28.29.59
М.Н.Калимолдаев 1, А.А.Абдилдаева 2, М.А.Ахметжанов 3
1д.ф.-м.н., профессор Института информационных и вычислительных технологий, г. Алматы, Казахстан
2,3PhD докторИнститута информационных и вычислительных технологий, г. Алматы, Казахстан
АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Аннотация
В данной статье рассматривается численное решение задач оптимального управления для сложных электроэнер- гетических систем. Также, рассмотрены вопросы решения задач оптимального управления нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений в двух разных случаях. Одно из них объединяет методы оптимального управления, которые заключаются в оптимизации системы путем сведения к минимуму функционала, характери- зующего, как правило, качество регулирования. Второе направление содержит методы модального управления, т.е.
методы формирования цепей обратных связей, придающее замкнутой автоматизированной системе регулирования (АСР), заранее выбранное распределение корней характеристического уравнения. Исследуемая математическая модель, в частности, описывает процессы управления в электроэнергетических системах. Предложенные методы решения следуют принципу расширения экстремальных задач, основанных на достаточных условиях оптимальности В.Ф. Кротова. Рассмотрен частный случай для задач оптимального управления. Проведенные численные экспери- менты показали достаточную эффективность реализуемых алгоритмов. В предложенном численном примере графически показана задача оптимальности управления движением двухмашинной электроэнергетической системы.
Ключевые слова: электроэнергетическая система, оптимальность, управление, математическая модель, паровая турбина, автоматическая система регулирования (АСР).
Аңдатпа
Калимолдаев М.Н.1, Абдилдаева А.А.2, Ахметжанов М.А.3
КҮРДЕЛІ ЭЛЕКТР ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ОҢТАЙЛЫ БАСҚАРУ ПРОБЛЕМАСЫҢ АВТОМАТТЫ БАСҚАРУ ЖҮЙЕСІ
1ф.-м.ғ.д., Ақпараттық және есептеу технологиялық институтының профессоры, Алматы қ., Қазақстан
2,3Ақпараттық және есептеу технологиялық институтының PhD докторы, Алматы қ., Қазақстан
Бұл мақалада күрделі электр-энергетикалық жүйелеріне арналған оңтайлы басқарудың сандық шешу мәселелері қарастырылады. Сондай-ақ, сызықты жүйесіндегі қарапайым дифференциалдық теңдеулерді оңтайлы бақылау проблемаларын шешу мәселелері екі түрлі жағдайлары қарастырылды. Оның біріншісі, реттеу сапасын сипаттайтын функционалды минимумға келтіру арқылы оңтайлы басқару әдістерін біріктіреді. Екінші, модальды бақылау әдістерінен тұрады, яғни кері байланыс тізбегін жабық автоматты басқару жүйесіне жіберуді қалыптастыру әдістерін алдын ала таңдалған сипаттамалық теңдеудің түбірлерін қамтиды. Зерттелген математикалық модель электр- энергетикалық жүйелерді басқару процесстерін сипаттайды. Ұсынылған шешу әдістері В.Ф. Кротовтың тиімділіктің жеткілікті шарттарына негізделіп, экстремалды проблемаларды кеңейту принципіне бағытталған. Оңтайлы басқару- дыңүшін арнайы іс. Жасалған сандық эксперименттер берілген алгоритмдердің жеткілікті тиімділігін көрсетті.
Ұсынылған сандық мысалда электр-энергетикалық жүйедегі екі машиналы қозғалыстың оңтайлы басқару жүйесінің мәселесі графикалық түрдекөрсетеді.
Түйінді сөздер: электр-энергетикалық жүйесі, оңтайлылық, басқару, математикалық модель, турбина, автоматты басқару жүйесі.
Annotation
AUTOMATIC CONTROL SYSTEM OF THE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL OF COMPLEX ELECTRIC POWER SYSTEMS
Kalimoldayev M.N.1, Abildayeva A.A.2, Akhmetzhanov M.A.3
1Dr. Sci. (Phys.-Math), Professor, Institute of Information and Computing Technologies, Almaty, Kazakhstan
2,3 PhD, Institute of Information and Computing Technologies, Almaty, Kazakhstan
This article discusses the numerical solution of optimal control problems for complex power systems. Also, the issues of solving optimal control problems of nonlinear system of ordinary differential equations in two different cases. One combines methods of optimal control, which is to optimize the system by reducing it to a minimum functionality that characterizes, as a rule, the quality of regulation. The second area includes a modal control method, i.e., methods of forming chains of feedback, which gives a closed automated ACP system of regulation, a preselected distribution of the roots of the characteristic equation. The mathematical model, in particular, describes a process control in electric power systems. The proposed methods for solving follow the principle of expansion of extreme problems, based on sufficient optimality conditions V.F. Krotov. A special case for optimal control problems. The numerical experiments have shown sufficient efficacy implemented algorithms. The proposed numerical example illustrates graphically the problem of optimal motion control Two-machine power system.
Keywords: power system, optimal, management, mathematical model, a steam turbine, an automatic control system (ASR).
Введение. Математическая модель современного электроэнергетического комплекса, представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает турбогене- раторы и сложные многосвязные энергетические блоки. Известно [1-3], что эта модель служит основой для решения целого класса актуальных задач управления.
Следует отметить, что математическое моделирование разнообразных процессов и систем, в том числе, электроэнергетических, тесно связано с проблематикой принятия наилучших решений. Задачи оптимизации, а также создание алгоритмов построения управлений по принципу обратной связи для таких систем и поныне привлекают внимание многих исследователей. Теория оптимального управления базируется на принципе максимума Л.С. Понтрягина и методе динамического программирования Р.Беллмана. Известно, что принцип максимума сводит экстремальную задачу к решению специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а метод динамического программирования – к решению уравнений в частных производных. Во многих случаях точное решение этих задач довольно сложно. Поэтому были разработаны численные методы решения экстремальных задач [5], основанные на принципе расширения [6-11], отличающихся значительным многообразием подходов и результатов. Они нашли широкое и эффективное применение при решении ряда задач оптимального управления большой размерности и различной сложности [12-20].
Отметим, что решению задач оптимального управления были посвящены также работы [21-24].
Исследование глобальной асимптотической устойчивости было осуществлено в работе [25].
Среди различных научных направлений в теории оптимального управления, основанной на методе пространства состояний, можно выделить два, получивших наибольшее распространение в инженерной практике. Одно из них объединяет методы оптимального управления, которые заключаются в оптимиза- ции системы путем сведения к минимуму функционала, характеризующего, как правило, качество регулирования [24]. Второе направление содержит методы модального управления, т.е. методы формиро- вания цепей обратных связей, придающее замкнутой автоматизированной системе регулирования АСР, заранее выбранное распределение корней характеристического уравнения [26]. Необходимость пере- настройки значений настроечных параметров производственных регуляторов (контроллеров) обуслов- лена рядом факторов, связанных с изменениями характеристик сложных энергетических объектов.
Факторы возникают вследствие изменения нагрузки, свойств энергоносителей, работы параллельных каналов регулирования связанных с контроллером через объект, износом оборудования, воздействием неконтролируемых внешних возмущений и т.д. Так, например, изменение нагрузки энергоблока тепловой электростанции вызывает изменение положения регулирующих органов. У регулирующих органов разных типов (шиберов, заслонок, задвижек и т.д.) наклон рабочих характеристик может изменяться в 2-3 раза при разных положениях.Соответственно, в 2-3 раза меняется и коэффициент усиления объекта, что влечет ухудшение качества переходных процессов. Данные ухудшения существенно влияют на технико- экономические показатели работы оборудования, снижая их эффективность. Аналогичным образом происходят изменения контролируемых параметров и в других технологических процессах сложных объектов энергетической отрасли. Для повышения эффективности процессов управления и компенсации внешних возмущений, вызванных изменением нагрузки работы оборудования и другими производ-
ственными факторами, возникает необходимость в использовании оптимальных цифровых систем управления. Таким образом, исследование современных принципов работы оптимальных систем управле- ния сложными объектами является актуальной научно-технической задачей.
В данной работе для задач оптимального управления электроэнергетической системой используется принцип расширения экстремальных задач, основанных на достаточных условиях оптимальности.
Оптимизация АСР с помощью методов теории модального управления
Оптимальный регулятор, реализующий теорию модального управления с наблюдателем широко используется в адаптивном блоке программы для АСУ ТП SCADA «TRACE MODE» [26]. Исходя из этого, актуальным является проведение анализа эффективности методов структурной и сигнальной идентификации в модальной АСР с наблюдателем при нахождении объекта в условиях неопре- деленности.
При этом необходимо решить следующие задачи:
- произвести расчет оптимальных значений параметров модального ПИД – регулятора для объекта в виде инерционного звена второго порядка;
- определить значения коэффициентов наблюдателя;
- рассчитать значение корректирующего элемента в АСР;
- провести анализ спроектированной АСР на устойчивость при влиянии сигнальных воздействий (изменение задания) и параметрического возмущениях (изменение значений передаточной функции объекта на 10-50 %)
Известно, что объект управления в пространстве состояний описывается векторно-матричными уравнениями вида:
t AX
t BU
t X
t CX
t , Y ,где A, B, C – матрицы коэффициентов размерности (nn), (nm), (rn) соответственно; m – число входов; r – число выходов; U(t) – вектор-функция управляющих воздействий размерности m; X(t) – вектор-функция переменных состояния размерности n (n – порядок объекта управления); Y(t) – вектор- функция выходных сигналов размерности r. Случай r =m=1 соответствует одномерному объекту. Для одномерных систем переход от передаточной функции вида:
0 1 1
1
0 1 1
1
a s a s
a s
b s b s
s b
W n
n n
n n
,
к представлению в переменных состояниях может быть осуществлен по формулам:
1 2
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
an
a a
a
A ,
1 0 0 0
B
,C
b0;.b1;;.bn1
,Для объекта, заданного уравнениями состояния, управление по состоянию описывается выражением u(t) = -KX(t), где К– вектор коэффициентов обратной связи.
Таким образом, система, замкнутая регулятором, приводится к следующему виду:
).
( ) ) (
( A BK X t dt
t
dX
Аккерманом [27] была предложена формула для нахождения коэффициентов К.
] ...
...
...
[ ] ...
..
..
[ ] 1 ...
0 ...
0 ..
0
[ B AB AB2 A 1B 1 A 1A 1 1A 0
K n n n n
где βi – коэффициенты характеристического полинома матрицы (А– ВK). Задача модального синтеза сводится к выбору желаемых корней характеристического полинома замкнутой системы, при которых обеспечиваются заданные параметры переходного процесса.
Метод модального управления предполагает, что все компоненты вектора состояния X могут быть измерены. Однако на практике некоторые компоненты могут быть неизвестны по ряду причин:
– недостаточное количество измерительных приборов;
– невозможность прямого измерения некоторых компонентов вектора X и т.д.
Однако, если система является наблюдаемой, то все компоненты вектора Xмогут быть восстановлены по наблюдениям вектора Y. Система, описываемая матрицами А и С, является наблюдаемой, когда существует конечное время Т такое, что начальное состояние X(0) может быть определено в результате наблюдения выходной переменной y(t).
Наблюдаемость системы описывается условием:
n CA
CA CA C
rank[ ;.. ;.. 2;.... n1]T
Для системы с одним входом и одним выходом матрица управляемости имеет вид:
T
CAn
CA CA
C;.. ;.. ;... ]
[ 2 1
Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система наблюдаема.
Для того чтобы узнать все компоненты вектора состояния объекта, можно использовать его модель:
).
( )
) (
( '
'
t BU t dt AX
t
dX
где X’(t) оценка состояния объекта. Если начальное состояние объекта и модели совпадают и модель адекватна объекту, то можно полагать в любой момент времени, что X’(t) = X(t).
Практически добиться полной адекватности объекта и модели невозможно. Поэтому на практике стремятся к выполнению условия:
).
( )
'(
limX t X t
t
Подобным свойством обладают асимптотические наблюдающие устройства. Асимптотическое наблюдающее устройство использует обратную связь по ошибке восстановления вектора состояния, так что работа наблюдающего устройства описывается уравнением:
)), ( (
) ( ) ) (
( ' '
'
t CX Y N t BU t dt AX
t
dX
где N – матрица параметров наблюдающего устройства. Общий вид системы управления с наблюдателем показан на рисунке 1.
Рисунок 1. Структура оптимальной системы управления с наблюдателем
Параметры наблюдателя (N) и параметры регулятора (K) могут рассчитываться независимо друг от друга. Процессы в наблюдателе должны протекать быстрее, чем переходный процесс в системе.
Установлено, что наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2-4 раза превышающим быстро- действие системы. Следует заметить, что метод модального управления не гарантирует равенство установившейся ошибки нулю. Для обеспечения равенства задающего воздействия и выходного сигнала системы в установившемся режиме вводится масштабирующий коэффициент или корректирующее устройство k0. Для анализа области устойчивости модального регулятора с наблюдателем, проводится расчет настроек (К) и параметров наблюдателя (N) с помощью пакета MatLab [28].
В качестве исследуемого объекта принимаем колебательное звено вида: W(s) = 5/ 10s2 +6s+1. Данное звено характеризует наиболее распространенный переходный процесс АСР.
Используя операторы программы MatLab, получим:
0 , ...
...
1
42 , 0 ...
67 ,
0
A ,
0 1
B C
0...0,83
.Желаемые полюса (предполагающие апериодический процесс) заданы вектором Р = [-0,32 -0.54]. В пакете MatLab имеется функция ackeг, с помощью которой можно обеспечить желаемое расположение полюсов одномерной системы (в соответствии с формулой Аккермана): k= ackeг (A, B, P), где А и В – матрицы системы; Р – вектор, задающий желаемое расположение полюсов системы. Расчеты указывают, что К1,2 = 0,17.
Таким образом, управление сформировано в виде:
U(t) = -KX(t) = - [0,170,17]
) (
) (
2 1
t x
t
x =-0,17 x1(t) – 0,17 x2(t). (1)
Для определения значения корректирующего устройства kо запишем уравнение состояния в виде:
) (
) (
2 ' '1
t x
t x
=
2 1
0 ...
...
1
42 , 0 ...
67 , 0
x x
[ u + k0g], (2)
Подставляя в (2) уравнение (1) получим:
) (
) (
2 ' '1
t x
t x
=
0,84x10,59x2k0g
(3)y = CX = [00,83]
2 1
x
x =0,83 x2
В установившемся режиме x’1 = x’2 = x1= 0 и выполняется условие у = g =1, следовательно, из (3) следует, что k0 = 0,59. На данное значение умножается сигнал задания.
Описанная выше функция ackeг может быть применена и для расчета коэффициентов обратных связей наблюдателя (N) исследуемой системы. Для этого надо транспонировать матрицу Aи заменить B на СТ: N= ackeг (A’, С’, Р). Программа выводит следующие значения: N = [0, 42; 4,01].
Для апробации полученных значений проводится компьютерный эксперимент в программе MatLab (Simulink) (рис. 2).
Рисунок 2. Модальный регулятор с наблюдателем и инерционным объектом второго порядка (компьютерная модель)
Переходный процесс на выходе объекта показан на рисунке 3
Рисунок 3. Переходный процесс регулирования по каналу задания
Как видно из рисунка 3 процесс является апериодическим, со временем регулирования Тр = 9 с., что полностью соответствует ожидаемым условиям.
Задача оптимального управления. Требуется минимизировать функционал
при условиях:
где - состояние системы -управление; – заданные непрерывно дифференцируемые функции, функции удовлетворяют условиям интегрируемости:
момент времени Т, начальные состояния будем считать заданными; – положитель- ные постоянные; терминальные значения заранее неизвестны.
Отметим, что если соответствующим образом задать функции то нелинейная задача Коши (4)-(5) моделирует электроэнергетическую систему, для которой проблема синтеза является важной практической задачей оптимального управления.
Численный пример. Оптимальное управление движением двухмашинной электро- энергетической системы. В системе (4) принимаем и предполагаем, что механическое демпфирование отсутствует, т.е. коэффициенты равны нулю. Согласно [3] задача оптимального управления принимает вид:
где
Числовые данные системы:
и начальные данные:
Результаты расчетов приведены на рисунках 4 и 5. При этом значение функционала (7) уменьшилось до величины
Рисунок 4
Рисунок 5
Заключение. В работе рассмотрены вопросы решения задач оптимального управления нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений в двух разных случаях. Исследуемая модель, в частности, описывают процессы управления в электроэнергетических системах. Предложенные методы решения следуют принципу расширения экстремальных задач, основанных на достаточных условиях оптимальности В.Ф. Кротова. Проведенные численные эксперименты показали достаточную эффектив- ность реализуемых алгоритмов.Также на основе проведенных имитационных экспериментов в пакете MatLab показана эффективность цифровых оптимальных АСР реализующих методы теории модального управления и фильтр Калмана. Эксперименты показали, что показатели качества переходных процессов оптимальных АСР со сложными объектами управления соответствуют заданным значениям и могут быть успешно реализованы в сложных производственных условиях для отраслей энергетики.
Список использованной литературы:
1. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 896с.
2. Blekhman I.I., Fradkov A.L. On general definitions of synchronization// In: Selected topics in vibrational mechanics.
Ed. I.I. Blekhman, Singapore, World Scientific. 2004. P.179-188.
3. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. М.: Наука, Ленинградск. Отд-ние, 1985. 502с.
4. Портнягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392с.
5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400с.
6. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными. Часть 2. Уравнения первого порядка. М.:
МГУ. 1970. 135с.
7. Lions P.-L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Pitman Advances Publishing Program, Boston- London-Melbourne. 1982. 317p.
8. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective/ Birkhaser, Boston. 1995. 324 p.
9. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.
10. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. M.Dekker, 1996. 399 p.
11. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Физматлит, 1997. 288с.
12. Гурман В.И., Расина И.В. Достаточные условия оптимальности в иерархических моделях неоднородных сред// Автоматика и телемеханика, 2013, № 3. С. 15-30.
13. Хрусталев М.М., Румянцев Д.С. Оптимизация квазилинейных динамических стохастических систем со сложной структурой// Автоматика и телемеханика, 2011, № 10. С.154-169.
14. Кротов В.Ф., Булатов А.В., Батурина О.В. Оптимизация линейных систем с управляемыми коэффициентами// Автоматика и телемеханика, 2011, № 6. С.64-78.
15. Кротов В.Ф., Фельдман В.И. Итерационный метод решения задач оптимального управления// Изв.АН СССР. Техн. киберн., 1983. Т.2. С.160-168.
16. Булатов А.В., Кротов В.Ф. О двойственных задачах оптимального управления// Автоматика и телемеханика, 2008. № 10. С.9-18.
17. Булатов А.В., Кротов В.Ф. О численном решении линейно-квадратичной задачи оптимального управления двойственным методом// Автоматика и телемеханика, 2009. № 7. С.3-14.
18. Гурман В.И., Расина И.В. Достаточные условия оптимальности в иерархических моделях неоднородных систем// Автоматика и телемеханика, 2013. № 12. С.15-30.
19. Гурман В.И., Расина И.В. Улучшение и приближенно-оптимальный синтез управления в окрестности опорной траектории// Автоматика и телемеханика, 2011. № 12. С.24-37.
20. Гурман В.И., Фесько О.В., Гусева И.С., Насатуева С.Н. Итерационные процедуры на основе глобального улучшения управления// Программные системы: теория и приложения: электрон. научн. журн. 2014. Т5, № 2 (20).
С.47-61.
21. Kalimoldayev M.N., Jenaliyev M.T., Abdildayeva A.A. and Elezhanova Sh. K. Сonstruction of algorithms for numerical solution in optimal control problems for complex power systems // International Conference on advancements in mathematical sciences. – Antalya, Turkey. –2015. – Р. 101.
22. Kalimoldayev M.N., Jenaliyev M.T., Kopbosyn L.S., Abdildayeva A.A.The optimal control problems of nonlinear systems // ICINCO - 12th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. – Colmar, Alsace, France. –2015. – Р. 184-189.
23. Maksat N. Kalimoldayev, Muvasharkhan T. Jenaliyev, Asel A. Abdildayeva, and Leila S. Kopbosyn On the optimality one power system // AIP Conference Proceedings 1611, 194 (2014); doi: 10.1063/1.4893830 //
http://dx.doi.org/10.1063/1.4893830
24. Жарков П.В. Оптимизация динамических процессов в
котельномагрегатесиспользованиемегонелинейнойматематической модели / П. В. Жарков, А. М. Клер // Научно- технические ведомости СПбГПУ. –2008. – № 1 (53). – С. 41–49.
25. Михайленко В.С. Анализ эффективности модального регулятора с наблюдателем при нахождении объекта в условиях неопределенности / В.С. Михайленко // Автоматизация судовых технических средств.Выпуск 17. –2011. – ОНМА, – С. 73-80.
26. Пакет TRACE MODE // http://www.tracemode.ua/
УДК 539.3:534.1 ГРНТИ 29.37.03
К.К. Коксалов1, Ж.К. Куттыхожаева2
1д.ф.-м.н., профессор Института Математики, физики и информатики при КазНПУ им. Абая, г. Алматы, Казахстан
2магистрант специальности «Математика» КазНПУ им. Абая, г. Алматы, Казахстан
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ ПЛАСТИН ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Аннотация
Рассмотрены послекритические деформации слоистой пластины при двустороннем боковом сжатии. При этом предполагается, что формы волнообразования после потери устойчивости пластины совпадает с формами волно- образования в момент потери устойчивости. Параметры прогиба определены из условия минимума полной энергии пластины по вариационному методу Ритца. Найдены зависимость между напряжением и параметром прогиба.
Рассмотрен случай, когда толщина пластины достаточно велика по сравнению с длиной пластины.
Ключевые слова: напряжение, прогиб, устойчивость, метод Ритца.
Аңдатпа
К.К. Коксалов1, Ж.К. Куттыхожаева2
ТҰРАҚТЫЛЫҚ ПЛАСТИНА ТЕҢДЕУІНІҢ ВАРИАЦИЯЛЫҚ ӘДІСІМЕН ШЕШІМІ
1ф.-м.ғ.д., Абай атындағы ҚазҰПУ, Математики, физики и информатики институтының профессоры,
2Абай атындағы ҚазҰПУ-ның магистранты
Қатпарлы пластинканы екі жақ бүйірінен қысқан мезеттен оның сындық күйінен кейінгі деформациясы қарасты- рылған. Пластинаның тұрақтылығы жойылғаннан кейінгі пайда болған толқын формасы оның тұрақтылығы жойыл- ған сәтіндегі пайда болған толқын формасымен бірдей деп жорамалданған. Пластинаның майысу параметрі оның толық энергиясының минимум болу шартынан Ритцаның вариациялық тәсілімен анықталған. Кернеу мен майысу параметрінің арасындағы тәуелділік табылған. Пластинаның қалыңдығы оның ұзындығынан аса үлкен болған жағдай қарастырылған.
Түйін сөздер: кернеу, майысу, тұрақтылық, Ритца тәсілі.
Abstract
SOLVING EQUATION OF STABILITY PLATE BY VARIATION METHOD Koksalov K.K.1, Kuttykhozhayeva Zh.K.2
1Dr. Sci. (Phys.-Math), Professor of the Instituteof Mathematics, Physics and Informatics at Abai KazNPU,Almaty, Kazakhstan
2Student of Master Programme in Mathematics of the Abai KazNPU, Almaty, Kazakhstan
The post-critical deformation of a laminated plate with bilateral lateral compressionis considered in this article. This assumes that the shape of the wave formation after buckling of the plate coincides with the shape of the wave formation at the moment of buckling. Parameters of the deflection is determined by minimizing the total energy of the plate by the variational method of Ritz. The dependence between the pressure and deflection parameter. Considered the case when the plate thickness is large enough compared to the length of the plate.
Keywords: pressure, deflection, stability, Ritz method.
Рассмотрим послекритические деформации слоистой пластины длины a и толщины Hподвержен- ной двустороннему боковому сжатию. Задача сводится к определению параметров прогиба и напряжений в пластине после потери устойчивости. Параметры прогиба определим из условия минимума полной энергии системы. Выражение для полной энергии пластины в перемещениях имеет вид [1]:
2 2 2 2
/ / 2 2
2 2
1 1 1 2 1 1 1 1
0 0
1 1 1
2 2
a h H h
G h
u w D w u w w w
Э B
x h x h x h z x h x z
(1)1
1
2 2 2 /
2
2 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 0 0
1 ,
2 2
x a
H h h
x
E h w w h w
dx dz Ph udz
h z h z hh x
где 2
1 1 1
1
Eh
B – жесткость при сжатии,
12
3 1 1
1
12 v
h D E
– цилиндрическая жесткость,E1– модуль упругости,
1– коэффициент Пуассона,h1- толщина жесткого слоя;2 2 2
2 1 2
) 1 ( 2
G
E - трансверсальный
модуль, G2- модуль сдвига,
2– коэффициент Пуассона, h2- толщина мягкого слоя; 1 ,h
x x 1 ; h
z z hh1h2,u,w - горизонтальные и вертикальные перемещения.
Предположим, что формы волнообразования после потери устойчивости совпадает с формами волнообразования в момент потери устойчивости. Тогда нормальное перемещение имеет вид [1]:
1, 1
sin 1sin 1,w x z kz mx , (2)
где , 2H k
hпараметр прогиба.
Горизонтальное перемещение определим в виде:
1 1
2 1 2
1 2 1 1
11
, 1 sin sin 2 ,
2 8
w m Ph
u x z u dx mx kz mx x
h x h B
(3)где a
m2
h.Подставляя значения перемещения (2), (3) в (1), получим
2
4 4 2 4 4 2 2 2 2
2 2
4 4 4 2
2
1
2 128 4 256 4
m aHB m aDH G h m k aH m aH
Э P aH
h h h h h
2 4 2 4
2 2 2 3 2 2 4 4
2 1
4 2 2 2 2 4
2 2 2
9
2 9
64 9 4 256 256
E h h m aH
m k aH m ak H ak H
h h h h h h h h
3 4 2 2
3 2 2 2 2
1 1
3 2 2
2 2 2
2
8 .
9 9 128 8
h m h m k aH
k m aHP P Ha
mh hh h h h B
(4)
Состоянию равновесия соответсвует минимум полной энергии. При этом первая вариация от полной энергии системы равна нулю.
Согласно вариационному методу Ритца [2]:
0
Э (5)
Подставляя выражение (4) в уравнение (5), получим зависимость между напряжением и параметром прогиба:
2 2
2 2 1 2
2 2
2 2
8 (1 ) (1 ) (1 2 )
3 (1 2 )(1 ) 1 6 (1 )
kp
G v a v
P P
r v r v
2
2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 3 4 2 2
1 1 1
5 9 2
16 (1 ) 8 (1 ) 4 (1 ) 8 9 ,
E G E a
a v r r a r
(6)
где
2 2 2
2 1
1 2
2 2 2
1 1 2
1 1 ,
(1 ) 2 1 2
12 1
kp
E G v a
P a v r v
1
1 a, , h , H.
a r
h h h h
Рассмотрим случаи, когда толщина пластины достаточно велика по сравнению с длиной пластины.
Пусть ось ox лежит на свободной поверхности плиты, а ось oz - направлена вниз перпендикулярно оси ox.
Послекритическое поведение данной плиты определим из условия минимума полной энергии плиты.
Выражание для полной энергии плиты имеет вид:
2 2 2 2
/ 2 2
2 2
1 1 1 2 1 1 1 1
0 0
1 1 1
2 2
a h u w D w G h u w w w
Э B
x h x h x h z x h x z
1
1
2 2 2
2
2 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 0 0
1 ,
2 2
x a h
x
E h w w h w
dx dz Ph udz
h z h z hh x
(7)Горизонтальное перемещение ищем в виде [1]:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 4 1 1 2 4 2 1 1 1
1 1
exp exp sin 2 ,
2 2 4
m K m z K m z x mx
h
m (8)
а нормальное перемещение определяется по формуле:
1, 1
1 42 2
exp
1 1
2 42 2
exp
2 1
sin 1w x z
K m
z
K m
z mx (9) где2 2 2 2 2 2
1 4 1 4 4
1,2 2 2
4 2 2
1 1 5 1
3 ,
2 2 4 2 4 2
K K K K m K
m
K K K
) , 1 (
) 1 ( 12
3 1
2 1 2 2
1
E
K G ,
) 1 (
) 1 ( 12
3 1
2 1 2 2
2
E K E
) , 1 (
12 2
2 1
2 2 1
3 K P
E
K P
2 2 12
4 1
(1 )
(1 ). K G
E
Подставляя решения (8), (9) в (7) и используя вариационный метод Ритца (5), получим:
12 42 2
2
12 42 2
22 42 2
22 42 2
21 1 2 2
2
2 2
K m K m K m K m
P
2 1 44
1 2
2
1 2 2
12 42 2
2
12 42 2
22 42 2
2 2
1 1 2
1 1 2 1
2
2 1 12 1 2
K m K m K m
m E K E m
v v
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 1 2 2 2 1 1 4
4 2
2 1 2 1 2
2
2 4 1 2
K m G m E K m
K m
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
41 2 1 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2
1 1 4
1 2
2 1
2 8 (1 ) 48
K m K m K m G
K m
2
2
2 2 2 2 2 2
1 4 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2
1 2
8 9 96 48 8 8 8 9
4
K m K m
a m
a m
3
2 2 2 2 2 2
1 1 4 2 4 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
2 1
48 48 32 8 9 3
3 3
K m K m
a m
2 2 2 2 2 2 3
2 1 4 2 4 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
8 9 3
3 3
K m K m
a m
2 2 2
4 2 2
2
2
12 42 2
4 42 2
2 4 1 2 2 3 2 1
1
8 9 96 48 (3
48 4 (1 ) 8
K m
K m a m E
m
4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 1 4 2 4
2 4 2 2 4 2 4 2 2
1 2 2
2 1 2
3 2 ) (3 3 2 )
8 2
K m K m K m
m m
m m
12 42 2
3 22 42 2
2 2 2 2 2 2 2 4 3 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2
9 4 9 2 3
3
K m K m
m m m
12 42 2
22 42 2
3
2 4 3 2 2 4
1 2 2 1 2
1 2
3 2 3 3 ,
3
K m K m
m
m m
(10)
Таким образом, получена зависимость между напряжением и параметром прогиба вида:
2.
PPkpM (11)
Список использованной литературы:
1. Коксалов К.К. Устойчивость эллипсоидальной литосферной оболочки. – Алматы.: РИО ВАК РК, 1999. -190 с.
2. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – Физматгиз.: 1965. -411 с.
ӘОЖ 372.851 МРНТИ 27.01.45
Ұ.Б. Рсалды1
1Абай атындағы ҚазҰПУ, Математика, физика және информатиканың «Математика»
мамандығының магистранты, Алматы қ., Қазақстан САЛУ ЕСЕПТЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЫҒАРУ АЛГОРИТМІ
Аңдатпа
Салу есептері оқушылардың геометриялық білімдерін толығымен қалыптастырудың маңызды құралы болып табылады. Геометриялық салуларды орындау процесі кезінде оқушылар геометриялық фигуралар және олардың арасындағы қатынастар қасиеттерімен танысады, сызбалық құралдарды қолдануды үйренеді, графикалық дағды- ларды қалыптастырады.
Мақалада математикалық есептерді жіктеудің түрлері, соның ішінде салу есептері, салу есептерін оқытудың кезеңдері қарастырылған. Мұғалім геометриялық фигураның сызбасын дайын күйде көрсетпей, оның салу жолдарын көрсету керек. Оқушы мұғалімнің салу есептерін неден бастағанын, қандай құрал-жабдықтар пайдаланғандығын бақылай отырып, сызу өнері туралы мәлімет алады. Салу есептерін шығарудың алгоритмі бойынша жүйелі жұмыс істеу оқушыларға геометрия пәнінен тыңғылықты, сенімді және сапалы білім алуға мүмкіндік береді. Сондықтан салу есептеріне лайықты көңіл бөлінуі керек.
Түйін сөздер: Геометриялық салулар, салу есептері, сызғыш, циркуль, алгоритм, нүктенің геометриялық орны.
Аннотация У.Б. Рсалды1
1 магистрант специальности «Математика» Института Математики, физики и информатики при КазНПУ имени Абая, г. Алматы, Казахстан
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ И АЛГОРИТМ ИХ РЕШЕНИЯ
Задачи на построение являются важным инструментом для полного формированиягеометрических знаний учеников. В процессе выполнениягеометрических построений ученики знакомятся геометрическими фигурами и своиствами их соотношений, учатся использовать графические инструменты,формирируют графические навыки.
В статье предусматривается классификация типов математических задач, в том числе задачи на построение, этапы обучения задач на построение. Учитель должен показать пути их построения, не показывая в готовом виде чертеж геометрических фигур. Ученики должны ознакомится с искусством чертежа,наблюдая за учителем, за ходом построения фигур в задачах, применяя определенные принадлежности. Работа с учениками на задачи для построения дает надежное, высокое качество образования. Поэтому должно быть уделено достаточное внимание на задачи построения.
Ключевые слова: Геометрические построения, задачи на построение, линейка, циркуль, алгоритм, геометри- ческое место точек.
Abstract
TASKS ON CONSTRUCTION AND ALGORITHM FOR THEIR SOLUTION Rsaldy U.B.1
1Student of Master Programme inMathematicsof theInstitute of Mathematics, Physics and Informatics at Abai KazNPU, Almaty, Kazakhstan
Tasks for construction of an important tool for the complete formation of the geometrical knowledge of pupils. During execution of geometrical construction pupils will become familiar geometric figures and properties of their relations, to learn to use graphic tools, graphic generates skills.
The article provides a classification of types of mathematical tasks, including tasks on construction, learning stages of tasks on construction. The teacher must show the way of their construction, but must not show in the finished form of drawing of geometric figures. Pupils must get acquainted with the art of drawing, by observing teacher, the course of figure constructions in tasks using defined accessories. Work with pupils on tasks for the construction provides secure, high-quality education. Therefore, must be given to enough attention to the tasks on construction.
Keywords: Geometric construction, tasks on construction, ruler, compasses, algorithm, geometric place of points.
Математикалық есептерді құрылымы және проблемасына қарай жіктеуден басқа да жіктеу түрлері бар. Олар: объектінің сипатына қарай,математикалық мағынасына қарай, шығару тәсіліне қарай, қойыла- тын талаптардың сипатына қарай және тіліне байланысты болып бөлінеді. Соның ішінде, талаптың қойылымына қарай математикалық есептер: есептеуге, зерттеуге, түрлендіруге, құрастыруға, дәлелдеуге және салуға берілген есептер болып бөлінеді. Біз соның ішінде салу есептеріне тоқтала кетейік [1].