• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Lemma 2. Let the solutions u and v of the problem (4)-(6) have the same S-zones on G, then u and v are linearly dependent

49

 satisfying z(x)u(x) on S. The last inequality is equivalent to (0w(x)u(x))u(x), which may be transformed to

) ( ) 1 0w(xu x

 

But the last inequality contradicts to minimality of 0 (0 is the greatest lower bound of the set of all  satisfying w(x)u(x)). This completes the proof.

3. Application of the Sturm - Liouville problem on graph

An analog of the Sturm-Liouville theorem on graph is the following boundary value problem:

u qu u

p ) 

( , (4)

l u l( ) 0,

(5) , 0

0 )

(vv

u (6) If these relations admit a nontrivial u satisfying them, then the corresponding  is called an eigenvalue of (4)-(5).

A geometric multiplicity of the eigenvalue  is defined to be a dimension of the linear space of all eigenfunctions (with respect to usual operations of summation and multiplication on scalars, see [4], [5]).

The main assertion of this section is the following one:

Theorem 2. Let the problem (4)-(5) admit a solution, which has no zeroes in the internal vertices and in all circles of G, (except boundary vertices, containing in the circles (6)). Then the geometric multiplicity () of corresponding eigenvalues does not exceed N1, where N is the number of circles in G, provided is admissible set of transmission conditions.

The result of this kind may be found in [4], [5]. It has been proved there for so-called non-oscillating operators. To explain this property let us represent (4)-(6) in the form Luu . L is said to be non-oscillating if each solution to the equation does not admit any S-zone in G.

To this moment the relationships between non-oscillation property and admissibility of the set

 are not stated. Anyway, our proof is clearer with the geometric point of view. Besides, checking admissibility of  is much easier problem, then checking non-oscillation.

Remind that the number of circles N in the graph G is a minimal number of cuts of their edges, which is necessary to transform it into some tree (a graph without circles). Another way to define this notion is to use famous Euler’s formula for connected graphs: VEN2, where V and E are the number of vertices and the number of edges in the graph respectively.

To prove theorem 2 we need two auxiliary assertions:

Lemma 2. Let the solutions u and v of the problem (4)-(6) have the same S-zones on G,

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

50

k

G\ 1,2,... consists of at least k+1 connected components. It means w has at least k+1 S- zones, say Sˆ ,Sˆ ,...Sˆm

2

1 (mk). But u must have a change of sign in each Sˆ j where u and w are linearly independent. It means that u has more than m changes of sign. It contradicts the assumption about the number of S-zones of u (it must be k0). This contradiction was caused by linear independence of u and w on each S-zones. If u and w are linearly dependent on some S-zones of u, we can remove these S-zones from G and apply our arguments to each connected component of remaining set. So, all nontrivial solutions of (4)-(6) are proportional to u. It means that the geometric multiplicity of  equals 1.

If G has some circles we can use the method of mathematical induction taking above assertion, concerning graphs without circles, as a base.

For simplicity, let us suppose that there exists just one circle in G. In this case we must show that ()2. Arguing by contradiction let us suppose that there are three linearly independent eigenfunctions u1,u2,u3 and the first one has no zeroes in the unique circle C of G and in all internal vertices. Without loss of generality we can assume u2 and u3 has isolated zeroes. Otherwise, we can take u1,1u2 and u1,2u3 (for i small enough) instead of u1 and u2. Here we use an obvious property of u1 to have only isolated zeroes. We can also assume that u2 and u3 have no zeroes in the internal vertices. Let Gˆ be S-zone containing C. If u1 and u2 are linearly dependent on Gˆ then they are linearly dependent on the whole G. In fact, the set G\Gˆ consists of a finite number of trees: G1,G2,...Gk. For each Gi the conditions of our theorem are obviously fulfilled. Taking into account the above arguments (for G without circles) we can assert that u1 and u2 are linearly dependent on each Gi and, by our initial assumption, the same is true about Gˆ . Since u1 and u2 have only isolated zeroes they have the same S-zones. Using lemma 2 we can conclude that u1 and u2 are linearly dependent overall on G, which contradicts our assumptions about these functions. So, u1 and u2 are linearly independent on Gˆ . The same is true for u1 and u3.

Using the Sturm separation theorem we can assert that u2 has at least one zero, say  lying in G. If  belongs to C and u3()0 we can take a number  so, that

0 ) ˆ3 (u1u3

u  . A graph G\

 

is a tree and u2 and uˆ3 are linearly independent solutions of (4)-(6) on G. But this contradicts our theorem for the trees. If u3()0 the proof is even easier.

Now let  not belong to C. In this case, we can use the same argument as in the case when G was supposed to be a tree. In fact in this case u2 has at least k points (according to the number of S-zones of the functions u1) which do not belong to circle in G. Due to the Sturm comparison theorem u2 has at least k points

1,2,...k

of the change of its sign. Using lemma 3 we conclude, that u2 has at least k+1 S-zones. Applying the same arguments to the function u1 we can conclude that u1 has at least k+2 S-zones, which contradicts that u1 has just k S-zones.

The author would like to express thanks to prof. O.M. Penkin for useful advises.

1. Pokorny, Yu. V.; Penkin, O.M. and others. Differential equations on geometric graphs (in Russian) Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow, 2005. 272 pp. ISBN: 5-9221- 0425-X

51

2. Pokorny, Yu. V.; Penkin, O. M. Comparison theorems for equations on graph. Differential equations, vol 25, No 7, 1989, 802-809.

3. Pokornyi U. V., Penkin O.M., Sturm's theorem for equations on graphs, Reports of the Academy of Sciences, USSR, 1989, T.309, №6, p.1306-1308

4. Lubary J.A, On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs, Lecture notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Deccer, 2001, 219, 135- 146

5. Zavgorodnyi M.G., Penkin O. M., About eigenvalue multiplicity estimates, school, Modern methods in the theory of boundary value problems, 1992, thesis of reports, Voronezh, VSU, p.46

Аңдатпа. Бұл мақалада біз графтағы екінші дәрежелі дифференциалдық теңдеулер үшін Штурм теоремасының универсальді нұсқасын дәлелдейміз. Мұнда универсаль сөзі барлық табиғи шарттар үшін орындалады деген мағынаны білдіреді. Трансмиссия функционалдарының ұйғарымдылық қасиетін Штурмның бөліктеу теоремасын дәлелдеуде қолданатын боламыз.

Біздің бұл нәтижеміз алдыңғы мақалаларда жарияланған нәтижелерді жалпылайтын болады.

Штурм теоремасына қосымша ретінде графтағы Штурм-Лиувилл есебінің меншікті мәндерінің еселілігін геометриялық тәсілмен бағалайтын боламыз.

Түйін сөздер: универсаль, ұйғарынды жағдай, S-аймақ.

Аннотация. В статье доказывается универсальная версия разделительной теоремы Штурма для дифференциальных уравнений второго порядка на графе. Универсальность означает выполняется для всех естественных условий. При доказательстве разделительной теоремы Штурма будет использовано свойство допустимости функционала трансмиссии.

Наш результат обобщает некоторые предыдущие результаты. В качестве приложений теоремы Штурма мы даем геометрический подход к оценке кратности собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля на графе.

Ключевые слова: универсальный, допустимый, S-зона.

УДК 37.016.02:519.6(574)

Ж.М.Нурмухамедова*

О РОЛИ НАЧАЛ АНАЛИЗА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

(г. Алматы, Казахский национальный педагогический университет имени Абая,

* - PhD докторант)

Аннотация. В статье рассмотрены современные проблемы обучения курсу алгебры и начал анализа на старшей ступени школы и курсу математического анализа в педагогическом вузе. Сформулированы задачи курса алгебры и начал анализа в школе. Изучена роль данного курса в математическом образовании. Также в статье говорится о проблеме мотивации в обучении.

Исследована эффективность обучения математическому анализу в педагогическом вузе.

Ключевые слова: роль курса, математический анализ, школа, педагогический вуз, подготовка учителей.

В последние годы было принято много новых документов – это и новый Государственный общеобязательный стандарт среднего образования, утвержденный постановлением Правительства Республики Казахстан от 23 августа 2012 года №1080, и учебные программы, в соответствии с которыми необходимо менять методику обучения.

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

52

За несколько лет средняя школа поменяла свой статус, то есть появилось много альтернативных учебных заведений, таких как лицеи, гимназии, колледжи, специализированные школы с углубленным изучением отдельных предметов.

Изменения коснулись всех сторон деятельности школы. Произошла смена общих принципов и стиля управления, рост разнообразия учебников и пособий, совмещение выпускных и вступительных экзаменов. Существенно меняются такие компоненты образовательного процесса, как требования к результатам образования и оценка качества подготовки обучающихся. Происходит интенсивное становление новых организационных форм образования, особенно на старшей ступени школы. Развиваются такие сетевые формы получения образования, как экстернат, дистанционное обучение [1].

Эти изменения приводят к новым требованиям к работе учителя, а также его профессиональной подготовке при обучении в вузе. Высококвалифицированный специалист должен не просто владеть основами наук, а применять свои знания на практике, уметь педагогически грамотно передавать знания ученикам. До сих пор актуальным остается вопрос о математической подготовке будущего учителя.

Математика дает людям возможность овладения методами изучения и понимания окружающего мира, учит методам исследования как теоретических, так и практических проблем. Во все времена математика играла важную роль в научном, техническом и экономическом развитиях. Владеющие математикой всегда составляли стратегический ресурс нации. В настоящее время, в связи с возросшей ролью математики, необычайно большое число будущих экономистов, программистов, организаторов современного производства нуждается в серьезной математической подготовке. Так как математическими методами можно исследовать широкий круг новых проблем, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические достижения на практике.

Как известно, любую задачу экономическую, управленческую или транспортную можно «перевести» на математический язык, тем самым современный специалист получает возможность использовать для ее решения все разнообразие и богатство средств математики. Результаты, полученные с помощью методов математического анализа в экономике, позволяют подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу, построить прогноз, составить оптимальный план функционирования практически действующего объекта.

Общемировые интеграционные процессы в науке и производственно- экономической сфере привели к новым требованиям к работе руководителей производства, что, в свою очередь, вынудило провести критический анализ всей структуры подготовки кадров. Был провозглашен переход от подготовки "узких специалистов" к подготовке широко образованных личностей.

Важным качеством специалиста исследователи считают умение творчески подходить к решению возникающих перед ним задач. При всем многообразии смыслов термина «творческий подход», в математике он может означать построение нужной математической модели и ее изучение. Элементы обучения творческому подходу к решению задач, связанных, в первую очередь, с профилем будущей специальности студента, воспитание вообще творческой инициативы, должны занимать существенное место в процессе обучения математике. Однако обучение математике нельзя подменить обучением ряду приложений и методов, не разъясняя сущности математических понятий и не учитывая внутреннюю логику самой математики. Таким способом подготовленные специалисты могут оказаться беспомощными при исследовании новых конкретных явлений, поскольку будут лишены необходимой математической культуры и не приучены к рассмотрению абстрактных математических моделей. Следовательно,

53

содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности студентов, без учета внутренней логики самой математики и разумной строгости изложения материала[2].

Одной из сложных, но необходимых дисциплин, изучаемых на старшей ступени средней школы, является алгебра и начала анализа. Согласно учебной программе для 10 – 11 классов общественно-гуманитарного направления общеобразовательной школы, задачами обучения алгебре и началам анализа являются:

1) воспитание отношения к математике как части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии; расширение представления учащихся о сферах применения математики;

2) формирование представлений о математике как универсальном языке науки, как форме описания и методе познания действительности, средстве моделирования явлений и процессов; роли математической модели в научном познании реальных процессов;

3) формирование качеств личности, которые необходимы в современном обществе, свойственных математической деятельности: умение ясно и точно выражать свои мысли, обладать алгоритмической культурой, критическим и логическим мышлением, интуицией, способностью преодолевать трудности;

4) овладение системой математических знаний, развитие вычислительных алгебраических умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

5) систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций;

6) развитие комбинаторного и вероятностного мышления; совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения словарного запаса математической терминологией[3].

Знания, полученные при изучении курса алгебры и начал анализа, являются основополагающими для абитуриентов, поступающих в вузы по различным направлениям, так как много задач данного курса входит в задания ЕНТ. Поэтому важно, чтобы учащиеся научились не просто, например, находить производные или вычислять интегралы по известным формулам, а с самого начала понимали значимость раздела начал анализа для математики и жизни, могли оперировать основными терминами и формулами, умели применять полученные знания на практике.

Более практические задачи обучения сформулированы для естественно- математического направления:

1) обеспечение качественного усвоения базисных основ алгебры и начал анализа, направленного на развитие интеллектуальных качеств личности;

2) формирование представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, роли математической модели в научном познании реальных процессов;

3) развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном обществе; расширение общего кругозора обучающихся представлением о вкладе ученых на различных этапах развития математической науки; расширение представлений учащихся о сферах применения математики;

4) усвоение новых подходов к решению задач по математике, овладение математическими знаниями, нужными для изучения смежных дисциплин на

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

54

современном уровне; применение математических знаний в повседневной жизни;

развитие умений использовать математические знания в практической деятельности;

5) формирование качеств мышления, необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем; интеллектуальное развитие учащихся; развитие логического мышления;

потенциальных творческих способностей каждого учащегося; интереса к предмету;

6) воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения; развитие навыков самостоятельной работы, самооценки при выполнении индивидуальных заданий и работе в группе;

предоставление учащимся возможности самостоятельного конструирования задач по данной теме, их решения, подготовке презентаций к занятиям; развитие умения ориентироваться в потоке поступающей информации;

7) вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую, исследовательскую деятельность как фактор личностного развития (слушать и понимать других, выражать себя, находить компромисс, взаимодействовать внутри группы, находить консенсус, работать в группе, объективно оценивать результаты своей деятельности и деятельности своих товарищей);

8) создание условий для дальнейшего изучения предметов естественно- математического цикла; формирование умений применять изученные понятия, свойства, правила, алгоритмы и т.п., полученные результаты и математические методы для решения задач прикладного характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера [3].

Абитуриенты, окончившие 11 класс естественно-математического направления, чаще выбирают технические специальности, а также специальности, непосредственно связанные с дальнейшим, более глубоким изучением математических дисциплин.

Математический анализ – это основной курс в системе математического образования студентов вуза, так как при исследовании и решении многих задач высшей математики используются методы и правила, изучаемые в данном курсе. Одним из фундаментальных методов исследования переменных величин является теория пределов, на которой строятся такие важные разделы курса математического анализа, как дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных. С помощью функций можно сформулировать не только законы природы, различные процессы в производстве, но и законы социального общества (например, подсчет прироста численности населения, миграции), разнообразные сферы жизнедеятельности человека.

Математический анализ является обязательным предметом для изучения при подготовке студентов по специальности 5В010900 – математика. Для будущего учителя важно понимать что такое математика, это надо объяснять, этому надо учить. Школьный уровень недостаточен для дальнейшего обучения высшей математике, потому что учащиеся не осознают необходимости изучения более углубленных разделов, у них нет мотивации к изучению высшей математики. Обучение курсу математического анализа без осознания необходимости снижает эффективность обучения. То есть проблема мотивации очень важна при обучении.

В высших учебных заведениях Казахстана, согласно классификации специальностей вузовского и послевузовского образования, предложенной Министерством образования и науки, осуществляется обучение по двум направлениям:

общеобразовательное и естественно-научное. Чем отличается преподавание курса математического анализа на общеобразовательном направлении специальности

«Математика» от естественно-научного направления? Должны быть разные уровни преподавания: уровень «знакомства» с математическим анализом и углубленный

55

уровень изучения математического анализа соответственно. Общий курс математического анализа должен охватывать наиболее важные аспекты, а углубленные вопросы можно включить в курсы дисциплин по выбору. Имеются «классические»

учебники по математическому анализу – Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа» в трех томах, Никольский С.М. «Курс математического анализа» в двух томах, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. «Математический анализ» в двух томах, на изучение которых в полном объеме требуется много времени. На сегодняшний день, в связи с сокращением часов некоторые разделы математического анализа изучаются поверхностно.

Контингент студентов, поступающих на педагогические специальности, отличается от учащихся по другим более «популярным» направлениям. Если раньше сильные в математике выпускники поступали именно на физико-математические специальности, то на сегодняшний день они стремятся поступить на экономические или юридические специальности. Ведь в связи с переходом общества на рыночную экономику, с начала 1990 г. прошлого века, престижными стали юридические, экономические специальности, появилась практическая потребность в гуманитаризации системы образования, что привело к увеличению часов на изучение предметов гуманитарного цикла (прежде всего на изучение языков) и снижению количества часов на изучение естественно – научных дисциплин и математики по учебному плану. Вместе с тем, математика и сейчас занимает важное место в системе школьных учебных дисциплин.

Математика изучает пространственные формы и количественные отношения объективной действительности. Следовательно, математика исследует абстрактные объекты и эта абстрактность придает ей универсальность и формально логическую выводимость.

Универсальность математических знаний проявляется в проникновении ее методов, прежде всего метода математического моделирования, в другие области научного знания, как естественно – научного (физика, химия, биология и др.), так и гуманитарного (экономика, лингвистика, психология и др.).

Сегодня в повседневной речи часто можно услышать такие выражения, как

«количество людей, заболевших гриппом, растет в геометрической прогрессии» или

«ассигнования увеличились на порядок». Эти примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека [4].

Хорошее педагогическое образование нужно всем, потому что вопросы психологии, педагогики необходимо изучить каждому для воспитания своих детей, для работы в коллективе. Именно при обучении математическим дисциплинам учат умению анализировать, делать выводы, логически мыслить.

1. Абылкасымова А.Е., Рыжаков М.В. Содержание образования и школьный учебник. – Москва: Арсенал образования, 2012. – 224 с.

2. Зимановская А.А., Бердибеков А.Б. Роль математического образования в экономике//

Вестник КАСУ №4, 2005. С. 192 – 197.

3. Абылкасымова А.Е. и др. Учебные программы для 10–11 классов общественно- гуманитарного и естественно-математического направлений общеобразовательной школы. – Астана, 2013. –27стр.

4. Абылкасымова А.Е. Теория и методика обучения математике: дидактико – методические основы. – Алматы: Мектеп, 2013. – 224 с.

МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

56

Аңдатпа. Мақалада мектептің жоғарғы сатысындағы алгебра және анализ бастамалары курсын, педагогикалық жоғары оқу орнындағы математикалық анализ курсын оқытудың мәселелері қарастырылған. Мектептегі алгебра және анализ бастамалары курсының міндеттері қалыптастырылған. Математикалық білім берудегі берілген курстың ролі қарастырылған. Сонымен қатар оқытудағы ынталандыру мәселесі айтылған.

Педагогикалық жоғары оқу орнындағы математикалық анализді окытудың тиімділгі зерттелген.

Түйін сөздер: курстың ролі, математикалық анализ, мектеп, педагогикалық университеті, мұғалімдері дайындау.

Abstract.The modern problems of training mathematical analysis course in high school and in pedagogical universityis considered in the article. It is stated objectives of algebra and beginning analysis. The role of the course in mathematics education is studied. Also, in the article refers to the problem of motivation in the training. The efficiency of training mathematical analysis course is investigated.

Keywords: the role of course, mathematical analysis, school, pedagogical university, training of teachers.

УДК 37.016.02:519.6(574)

Ж.М. Нурмухамедова*

О ПРОБЛЕМЕ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ КУРСОВ «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА» В ШКОЛЕ И «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» В

ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

(г. Алматы, Казахский национальный педагогический университет имени Абая,

* - PhD докторант)

Аннотация. В статье рассмотрена проблема преемственности в обучении курсу алгебры и начал анализа в школе и курсу математического анализа в педагогическом вузе.

Исследована несогласованность в методах и организации обучения, а также в содержаниях данных курсов. В статье описаны различия в учебно-воспитательном процессе в школе и вузе.

Рассмотрена проблема формирования познавательной самостоятельности будущих учителей.

Предложено частичное решение проблемы преемственности.

Ключевые слова: преемственность, математический анализ, школа, педагогический вуз, подготовка учителей.

Преемственность в обучении – установление необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения.

Преемственность свойственна учебным планам отечественной общеобразовательной школы, что обеспечивает одинаковый объем знаний в соответствующих классах и равные возможности для продолжения образования; в расположении материала учебного предмета и в выборе способов деятельности по овладению этим содержанием осуществляется с учетом содержания и логики соответствующей науки и закономерностей процесса усвоения знаний. Преемственность должна охватывать не только отдельные учебные предметы, но и отношения между ними, осуществляться между видами деятельности учащихся при усвоении учебного материала. Учащиеся должны выступать не как объект обучения, а становиться субъектами учебной деятельности [1].

Имея базовую теоретическую подготовку, на практике учитель встречается с необходимостью личностного осмысления проблемы преемственности в разных

57

аспектах, на разном содержательном материале. Интерес многих ученых направлен на решение этой проблемы. Например, в методическом пособии Комаровой Е.А.

«Преемственность в обучении математике» предлагается продолжить осмысление проблемы преемственности в обучении, начало которому положено в вузовских курсах педагогики и методики обучения математике. В первом разделе пособия предложены краткие теоретические сведения, раскрывающие педагогические и методические аспекты преемственности в обучении. В основном разделе раскрыты методические способы решения проблемы преемственности на материале арифметики и алгебры. В конце каждого пункта предложены вопросы и задания для самостоятельной работы по осмыслению теоретического материала и формированию практических умений. При выполнении практических заданий творческого характера в рамках курсов повышения квалификации или на заседаниях методических объединений рекомендовано объединение учителей в группы с учетом наличия у них позитивного опыта или, наоборот, затруднений при решении обозначенных проблем. Линейно-концентрическое построение школьного курса математики позволяет выделить два направления реализации преемственности в обучении предмету:

1) преемственность между смежными ступенями обучения;

2) преемственность внутри каждой ступени обучения:

а) преемственность внутри каждого курса математического характера (арифметики, алгебры, алгебры и начал анализа, геометрии);

б) преемственность между курсами математического характера, в частности, между пропедевтическими и систематическимикурсами (например, алгеброй и геометрией, арифметикой и алгеброй, арифметикой и геометрией и др.) [2].

Если говорить о преемственности в обучении математики в целом, то она должна в первую очередь прослеживаться при переходе из начальной школы в среднюю (4 – 5 классы), затем следует выделить переход из 6 класса в 7 класс, так как изучение математики «разделяется» на два отдельных предмета – алгебру и геометрию, далее, это ступень старшей школы, т.е. изучение в 10 – 11 классах курса алгебры и начал анализа.

На этих этапах очень важно обеспечить непрерывность линий в содержании, повторении, в разработке единых курсов для обучения отдельным программам, а также создать на каждом этапе базы для дальнейшего изучения учебного материала на более углубленном уровне.

Ведь математический анализ продолжают изучать студенты, поступившие на технические специальности, специальности физико-математических факультетов.

Студенты первого курса, окончившие общеобразовательную школу, не готовы к обучению дальнейшему курсу математического анализа, поэтому сначала преподают такие вводные курсы высшей математики, как «Элементарная математика» и «Научные основы школьного курса математики», которые предполагают адаптировать к обучению в вузе в целом, а также к обучению математическому анализу.

Курс математического анализа является самым сложным предметом для студентов-первокурсников – будущих учителей математики, потому что подразумевает умение мыслить, стремление к познанию и творчеству в профессиональной деятельности. Заложенное в школе аналитическое мышление при изучении начал анализа нужно продолжать более объемно и глубоко при обучении вузовского курса математического анализа. Однако, исходя из опыта работы с первокурсниками, можно сказать, что существует различие между знаниями, закрепленными в школе и начальными требованиями к знаниям студентов для дальнейшего изучения математического анализа.