0
y t y t t
,
, 0 1, 1,2. lim0
y j t y j t t j
Отсюда и из (16) в силу асимптотических формул (10), (15) получаем, что
0,
0 ,
0, 1
,lim
0
y y y O
где .
) 0 (
2
a
Замечание. Предложенный алгоритм служит основой для построения асимптотических решений некоторых линейных и нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач для уравнений высокого порядка с более сложными дополнительными условиями типа
U
i( y ) 0 , i 1 ,..., n ,
гдеU
i( y )
линейная форма от. 1 . 0 ), , 1 ( ), , 0
( ( )
)
( y j n
y j j
1. Касымов К.А., Нургабыл Д.Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т.40. – № 4 – С. 597-607 2. Касымов К.А., Нургабыл Д.Н., Уаисов А.Б. Асимптотические оценки решения краевой
задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Украинский математический журнал. – 2013. – №5, - С.629-641.
3. Nurgabul D. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump// Journal of Applied Mathematics. USA. Vol. – 2014 (2014), Article ID 956402 4. Касымов К.А., Дауылбаев М.К., Aтaхaн Н. Асимптотическое поведение решения
сингулярно возмущенной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Сер.матем., механ. Алматы, № 3 (2012). -С. 28-347.
5. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.
- 399 с.
6. Нургабыл Д.Н. Построение решения сингулярно возмущенной краевой задачи имеющего начальный скачок // Вестник Киргизского государственного Национального университета. 2001. сер.3., вып.6., С.173-177.
Аңдатпа. Бұл мақалада шекаралық есебі шешімінің аналитикалық түрі арқылы шешімнің бар және жалғыздығы дәлелденген. Кішкене параметрі нөлге ұмтылғанда ерекше ауытқыған есеп шешімінің ауытқымаған есеп шешіміне шектік көшуі қарастырылған. Бастапқы секіріс құбылысының бар болуы сұрақтары зерттелген. Бастапқы және шекаралық функциялар арқылы ауытқыған есеп шешімінің асимптотикалық бағамы табылған. Бастапқы секірістің формуласы табылып, оның реті анықталған.
Түйін сөздер: асимптотикалық бағам, бастапқы және шекаралық функциялар, шекаралық есеп, бастапқы секіріс, туындалған есеп, шекке көшу.
Abstract. In this article on the basis of analytical submission of the decision proved existence and uniqueness solution of boundary value problem. Are investigated the issues of the limiting transition solution of the perturbed problem to the solution of the unperturbed problem as the small parameter approaches zero, the existence of the phenomenon of the initial jump. Using initial and boundary
85
functions are found asymptotical representation of the solution of the perturbed problem. Moreover are found the formula for the initial jumps, installed the orders of the jumps.
Keywords: asymptotically estimate, initial and boundary functions, boundary value problem, initial jumps, degenerate problem, passage to the limit.
ӘОЖ 372.851
Ж.М. Нурмухамедова, Л.Д. Жумалиева*, Д.М. Нурбаева*, Л.Ж. Жансеитова*
МЕКТЕПТЕРДЕ ЖӘНЕ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНДА МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДЫҢ КЕЙБІР
МӘСЕЛЕЛЕРІ
(Алматы қ., Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университеті,*-докторант PhD) Аңдатпа. Мақалада математика пәнін мектепте және педагогикалық жоғары оқу орнында оқытудың негізгі мәселелері, сондай-ақ алған білімдерін іс жүзінде есептерді шешуде қолдану қарастырылған. Сонымен қатар, өз білімін практикада қолданып, оқушыларға педагогикалық сауатты жеткізе алатын маманның кәсіби сапасы зерттеледі. Қойылған дидактикалық мақсатқа сәйкес оқытушыға есептерді іріктеуді іске асыруға көмектесетіндей, есептерге жіктеу жүргізу ұсынылған.
Түйін сөздер: математиканы оқыту, мектеп, педагогикалық жоғары оқу орны, математикалық дайындау, алгебра курсы, математикалық анализ, есеп шығаруды үйрету.
Бірнеше жыл ішінде орта мектеп өз мәртебесін өзгертті, яғни балама оқу орындары пайда болды, лицейлер, гимназиялар, жекелеген пәндерді тереңдетіп оқытатын мамандандырылған мектептер. Бұл өзгерістерге сәйкес мұғалімдердің жұмысына жаңа талаптар қойылды, сондай-ақ жоғары оқу орнында оқыту кезінде кәсіби дайындықты қажет етеді. Жоғары білікті маман ғылым негіздерін меңгеріп ғана қоймай, өз білімін оқушыларға педагогикалық сауатты жеткізе білу керек. Болашақ мұғалімді математикалық дайындау мәселесі әлі күнге дейін өзекті мәселе күйінде қалуда.
Математика - қоршаған ортаны меңгеруді, оқып-үйрену мен түсінуге мүмкіндік береді, теориялық және практикалық мәселелерді зерттеудің әдістерін үйретеді. Барлық уақытта математика ғылыми, техникалық және экономикалық дамуда маңызды рөл атқарады. Қазіргі уақытта, математика рөлінің өсуіне байланысты, өндірістің болашақ экономистердің, бағдарламашылардың, ұйымдастырушылардың көпшілігіне күрделі математикалық дайындық қажет, ол қазіргі заманғы есептеу техникасын қолдануға, теориялық жетістіктерін практикада қолдануға, жаңа проблемаларды математикалық әдістермен кең ауқымды зерттеуге мүмкіндік береді.
Маманның ең маңызды қасиеті, алдында туындайтын мәселені шығармашылық көзқараспен шеше білу деп есептейді зерттеушілер. Бұл жерде шығармашылық көзқарас терминін, қажетті математикалық модель құрып, оны оқып үйрену деп ұғыну керек.
Математиканың ішкі дүниесін ескермей, математикалық ұғымдар мен мәнін түсіндірмей математика пәнін оқуды бірқатар қосымшалары мен әдістерін оқытумен ауыстыруға болмайды. Осындай тәсілмен дайындалған мамандар жаңа, нақты құбылыстарды зерттеу
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
86
кезінде дәрменсіз болуы мүмкін, өйткені қажетті математикалық білімсіз және абстрактілі математикалық модельдерді қарастыруға үйренбеген.
Сондықтан, математиканың ішкі логикасын және ақылға қонымды қатаңдылықпен ұсынуды есепке алмай, тек ғана болашақ мамандық студенттеріне ерекшелігіне негізделіп, математика жалпы курсының мазмұны таза прагматикалық көзқарас тұрғысынан анықталуы мүмкін емес [1]. Қазақстанда қазіргі орта білім берудің сатылары: бастауыш (1 4 сыныптар), негізгі (5 9 сыныптар), жоғарғы (10 11 сыныптар) болып табылады.
Мектепте алгебра пәнін оқыту жетінші сыныптан басталады. Алгебра - математиканың ең маңызды салаларының бірі. Ол ғылым мен техниканың тілі болып табылады. Оның көмегімен табиғат пен қоғамда болып жатқан көптеген құбылыстар мен үдерістер болжап және зерттеледі. Алгебра пәні басқа да мектеп пәндерін, ең алдымен, жаратылыстану-математикалық бағыттағы пәндерді оқытуды қамтамасыз етеді, атап айтқанда, физика, информатика, геометрия [2].
Зерттеулерге сәйкес, бүгінгі күні, оқушылардың көзқарасымен алгебра курсы теңдеулер шешу ғылымы ретінде қабылданған. Бірақ XIX-XX ғасырларда оның мазмұны, алгебра математикалық құрылымдардың арнайы типті ғылымы болып күрт өзгерді - ең алдымен, топтар, сақина және өріс. Бұл нысандар мектеп алгебрасының негізі болып табылады, олар анық тұжырымдалған жоқ, тереңде, «көлеңкелі» болып қалуда.
Шын мәнінде, мектеп алгебрасының мазмұны осы алгебралық ұғымдардың қолдануы ғана, пәннің толық мазмұны және оқыту мақсаты деп санауға болмайды. Егер осы ұғымдарды мектеп алгебра курсына қосатын болсақ, онда ол оқушылардың жас сипаттамаларын ескеруіне қайшы болар еді, мектепте осы курсты түсініспеушілік жағдайы туындайды. Бірақ мұғалім оқушының ой-өрісін кеңейту үшін алгебраның нақты бөлімдеріне қатысты кейбір дерексіз ұғымдар туралы айтуы тиіс. Бұл пәнді әрі қарай зерттеу үшін қызығушылық тудырады. Математикалық пәндерді оқыту қазіргі заманғы педагогикалық университетте негізінен анықтамалар, теоремалар мен оларды дәлелдеу, есепті шығару стандартты түрде беруі арқылы жүзеге асады, бұл студенттердің материалды жаттап алуы мен емтихандарда оны қолдануы ғана болып табылады. Сондықтан, математикалық пәндерді оқытуда студенттердің шығармашылығына үлкен көңіл аударылуы тиіс. Болашақ мұғалімдерді дайындау кезінде мұндай алгебраның абстракты ұғымдарын оқыту барысында, ( яғни, сақиналар, өрістер) мектеп курсында кездесетін мысалдарды келтіру қажет. Мектеп алгебрасының жеке пән еместігін, тек жоғары оқу орнындағы алгебраның кейбір элементтері қарастырылатынын студенттер ұғыну керек.
Орта мектептің жоғары сатысында оқыту екі бағытта құрылады: қоғамдық – гуманитарлық және жаратылыстану – математикалық. 10 және 11 сыныптарда оқытылатын қиын, бірақ қажетті пәндердің бірі алгебра және анализ бастамасы болып табылады. Оқытудың мақсаты жеке тұлғаның ұлттық және жалпы адамзаттық құндылықтары негізінде жалпы интеллектуалдық дамуының қажетті деңгейіне қол жеткізуге бағытталған, алгебра және анализ бастамасының базистік негіздерін сапалы меңгеру логикалық, абстракциялық және ықтималды ойлау, оларды одан әрі тиімді оқытуда тәжірибелік негіздерін жасауды қалыптастыру болып табылады. Аталған курсты оқып үйрену кезінде алынған білімдер, әр түрлі бағыттар бойынша жоғары оқу орындарына түсетін талапкерлер үшін қажет болып табылады, өйткені математикалық анализ ҰБТ тапсырмаларына кіреді. Сондықтан оқушылар белгілі формулаларды туындыларын алуға немесе интегралдарын есептеуге пайдалану ғана емес, басынан осы бөлімнің математикада және өмірде маңыздылығын түсінуін, негізгі терминдер мен формулаларды, бұл алған білімдерін іс жүзінде қолдана алуды үйренуі маңызды.
87
Математикалық анализ – бұл жоғары оқу орындағы студенттердің математикалық білім жүйесіндегі негізгі курс, себебі жоғары математиканың көптеген есептерін шешуде осы курста оқылған әдістері мен ережелері пайдаланылады. Бір және көп айнымалы дифференциалдық және интегралдық есептеу функциясы сияқты маңызды математикалық анализ курс бөлімдері негізделген, айнымалы шамаларды зерттеудегі фундаментальды әдістердің бірі шектер теориясы болып табылады. Функциялардың көмегімен табиғат заңдарын, өндірістің түрлі процестерін ғана емес, сонымен қатар қоғамның әлеуметтік заңдарын (мысалы, халық санының өсуін есептеу, көші-қон), адам қызметінің түрлі салаларында тұжырымдауға болады.
Математикалық анализ курсы бірінші курс студенттеріне қиын пән болып табылады, өйткені ойлай білу, кәсіби қызметінде шығармашылыққа және тануға ұмтылуды білдіреді. Мектептегі анализ бастамаларын оқу барысында алған аналитикалық ойлауларын жоғары оқу орнында математикалық анализ курсында кең көлемді және терең оқытуды жалғастыру керек. Алайда, бірінші курс студенттерімен жұмыс тәжірибесіне сүйене отырып, мектепте алған білімдерімен, студенттерге математикалық анализ одан әрі оқытудың бастапқы талаптарының арасында айырмашылықтары бар екенін аңғарамыз.
Математикалық анализ – қиын пән, бірінші курстың студенттері ауыр қабылдайтындай құрамында күрделі конструкциялы ұйғарымдар бар. Мысалы, шегін анықтау, жоғарғы және төменгі шегін, туынды және т. б. Мектеп оқушылары функцияны формула ретінде қабылдайды, оның аргументінің өсуі, функцияның жұп-тақтылығының қасиеттеріне келгенде түсінбеушілік туындайды.
Болашақ мұғалім математикалық анализ негіздерінің маңыздылығын түсіну керек, мұны түсіндіру және оқыту керек. Мектеп деңгейі жоғары математиканы одан әрі оқыту үшін жеткіліксіз, себебі оқушылар неғұрлым тереңдетілген бөлімнен үйренудің қажеттілігін түсіне бермейді, "жоғары математика" пәнін оқуға мотивация жоқ.
Математикалық анализ курсын оқу қажеттілігін түсінбесе, оны оқу тиімділігі төмендейді.
Яғни оқытуда мотивация мәселесі өте маңызды. Математикалық модельдер, әр түрлі құбылыстар мен процестердегі өзара байланысты сипаттайтын сандық сипаттамалары, кез келген білім саласындағы зерттеу жүргізу кезінде ажырамас элементі болып табылады. Олардың рөлі компьютерлік деректер өңдеуді кеңейту мүмкіндіктеріне байланысты артып келеді. Мысалы, қызметтің әр түрлі салаларында математиканың енуі, күнделікті тәжірибеде математикалық білімді пайдалануға әсерін тигізеді. Ол қарапайым математикалық есептеулерді ғана пайдалану емес, сондай-ақ жоғары математика элементтерін пайдалану, ықтималдықтар теориясы және анализ (мысалы, акциялар , құлыптау коды, қор және қор ойындар нөмірлерін ұштастыру, есептеу және т.б.). Күнделікті сөйлеуде жиі «тұмауға шалдыққан адамдар саны геометриялық прогрессиямен өсіп келеді» деген сияқты сөйлемдерді естиміз. Бұл мысалдар математикалық білім қазіргі заманғы адамның жалпы мәдениетінің кең ауқымды міндетті элементі болғанының дәлелі [3].
Әрине, математика есептер арқылы оқытылады. Алгебра және математикалық анализді оқытудың ең маңызды аспектісі теориялық білімдерді практикада қолдану болып табылады, яғни есепті шешуге үйрету. Математиканы оқытуда есептің рөлі мен орны тарихи өзгеріссіз қалды. Л. Ф. Магницкийдің "Арифметикасында" (1703 ж.) – есептерге қажет шешімдер "растау" меңзелген. Есеп оқытудың мақсаты болды, яғни типтік есептерді шешу ережелерін білу үшін математиканы үйретті. Бұл есептер негізінен тек қолданбалы сипатта, одан кейін таза тәжірибелік мақсатта қолданылған.
Оқыту мақсаттарының өзгеруіне қарай, қоғамның дамуымен негізделіп, есептің рөлі де
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
88
өзгереді. С.Н. Шохор-Троцкий (1915ж.): “Арифметикалық есептер саналы оқытуда мақсат емес, арифметика оқытудың оқу-әдістемелік құралы болуы тиіс.”-деп жазған.
Қазіргі уақытта, математика білім беру саласындағы есептердің рөлі, бір жағынан, түпкі мақсаты осы оқу - оқушылардың белгілі бір жүйені шешу әдістемесі үйренуге жинақталады. Екінші жағынан, оқыту мақсаттарына толыққанды қол жеткізу, оқушылардың математикалық есептер жүйесін шешу көмегімен ғана анықталады.
Осылайша, математиканы оқытуда есептерді шешу мақсат ретінде және оқыту құралы ретінде әрекет етеді.
Күрделі есептерді шешу орта мектепте оқыту процесінің мазмұнын жетілдіру жолдарымен олардың әдістері, әдістемелер мен оқыту ұйымдастырушылық түрлерін келтірумен байланысты.
Алайда, математикалық білім мазмұнын жетілдіру мәселесі тек қана мектепте оқыған сұрақтар ауқымы бойынша шешу мүмкін емес, яғни математика - деректер, оның негізгі заңдары мен теориялары, зерттелетін объектілерге, процесстер мен құбылыстар туралы ғылыми білім жүйесі. Білімдегі қызмет әдістерін қалыптастыруға, оқу нәтижелерін бағалау және өзін-өзі бағалауға, сайып келгенде, оқу процессін оңтайландыру және оның тиімділігін арттыруға бағытталған, мектептегі математикалық есептердің жүйелер құрылымын қайта құру қажет.
Есептерді шығару алгебра және математикалық анализ оқу курстарында шешуші рөл атқарады. Алған білімді практикалық есептерді шығару үшін қолдану арқылы оқу нәтижесіне толық қол жеткізуге болады. Мұндай жағдайда, есептерді шығару оқытудың құралы мен мақсаты болып табылады. Оқу процессінде білім беру қызметінің оқушылар мен студенттерге математикалық пәндерді оқутудың ең маңызды элементтерінің бірі есептерді ешу болып табылады. Бұл оқу-іс әрекетінің түрі ойлауды дамыту және қалыптастыру құралы ретінде қызмет етеді; ұғымдарды, заңдарды, теорияларды терең меңгеруге ықпал етеді, кәсіптік бағдарды жүзеге асыру үшін жағдай жасайды.
Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10- сыныбына арналған оқулығында қолданбалы есептерге байланысты мынадай тапсырмалар берілген:
Мысал. Кітап бетіндегі мәтіннің ауданы 363см2. Кітап бетінің төменгі және жоғарғы жақтарынан 2см–ден, ал сол жағы мен оң жақтарынан 1,5см – ден бос орындар қалдырылған. Кітап бетінің ең кіші ауданын жасау үшін оның бетінің сызықтық өлшемдері қандай болуы керек?
Шешуі. x арқылы баспа мәтінінің енін белгілесек, оның ұзындығы x
363 болады (1- сурет). Егер қалдырылған бос орындардың енін ескерсек, кітап бетінің ұзындығы
363 3
x , ал ені x4. Сонда кітап бетінің ауданы мына функция түрінде жазылады:
).
4 ).(
363 3 ( )
( x
x x
f Алгоритм бойынша
1452 3 3 363
1452 3 363
) 363 4 363(
)
( 2 2 2
x x x x
x x x x
f ;
0 )
(
x
f
; 1452 3 02
x
;
3 x
2 1452
, x 22.89
Есептің шартын аргументтің x22 мәні қанағаттандырады. Сонымен, кітап бетінің ұзындығы
3 19 , 5
22
363
см, ал ені 22426 см-ге тең.Жауабы: 19,5см; 26см.
1-сурет
Мысал: Ауданы 800
м
2тіктөртбұрыш пішініді жер телімі үш жағынан қоршалған.Қоршаудың ең кіші ұзындығын табыңыдар.
Шешуі: тіктөртбұрыштың енін x пен, ал ұзындығын y пен белгілеп алайық (2- сурет). Сонда тіктөртбұрыштың ауданы
S xy .
болады.2-сурет
800 xy
,у 800x . Қоршаудың ұзындығын келесі функциямен өрнектейміз:
x , y 2 y x 2
f
· xx x
x 1600
800 .
x y
f ,
функциясының ең кіші мәні:
1600 16002 1
x x x x
f ,
0
x
f
, 1600 1 02
x ,x40, есептің шартынаx40мәні сәйкес келеді, бұдан 800 20
y x .
Сонда қоршаудың ең кіші ұзындығы
f x , y 2 y x 80
.МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
90
Жауабы:80м.
Қазіргі кезде мектептерде алгебра, алгебра және анализ бастамалары пәндері профессор А. Е. Абылкасымова басшылығымен және ұжымыдық авторлар әзірлеген оқулық бойынша оқытылады. Оқулықтар тарауларға бөлінген, ал тараулар параграфтардан тұрады. Әрбір параграф бұрын өткен материалды жаңа материалмен байланысты жүзеге асыру мақсатында тірек ұғымдардан басталады. Әрбір тақырыпта өздігінен орындауға арналған тапсырмалар ұсынылады. Оқушының саналы түрде материалды қалай меңгергенін тексеру мақсатында, әрбір параграфтың соңында сұрақтар келтіріледі.
Әрбір параграфта күрделілігі үш деңгейлі – А, В, С жаттығулары ұсынылған.
Бірінші деңгей (А) жаттығуларын орындау, әрқайсысы үшін міндетті болып есептеледі.
Екінші деңгей (В) күрделілігі орта қиындық жаттығулары болып табылады. Күрделілігі үшінші деңгейлі (С) жаттығулары математикаға қызығатын және білімін шығармашылықпен қолдана алатындарға ұсынылады. Оқулықтың тараулары үш айдармен аяқталады: «Өзіңді тексер!», «Тарихи деректер», «Бұл тарауда не білдіңіз?».
«Өзіңді тексер!» айдарында тест тапсырмалары берілген, оның шешімі тиісті тарауды қаншалықты менгергеніңді анықтауға мүмкіндік береді. «Тарихи деректер»- тараудағы материалға байланысты ақпарат болып табылады. «Бұл тарауда не білдіңіз?» айдары оқыған материалдың мағынасын түсініп және оның ең маңыздысын бөлектеуге көмектеседі [3].
Математиканы жүйелі оқу, ең алдымен, жеке тұлғаның жан-жақты дамуы үшін маңызды болып табылатынын, адамда келесі қасиеттерді тәрбиелейтінін білуге және ұғынуға тиіспіз:
- өзінің тұжырымдарын дәлелдеу қабілеті;
- құбылыстардың себебін анықтау және қорытынды жасай білу;
- лаконизм, яғни қысқа және дәл ойларын айта білу;
- ғылыми-зерттеу дағдылары, шынайы қорытуға ұмтылу, шығармашылық ойлау қабілеті;
- өз мақсаттарына жетуде табандылық [4].
Бүкіл адамзаттың өмір сүруінен бастап математика сұранысқа ие, өйткені, қазіргі заманғы қоғамда табысты болу үшін, үнемі өзгеріп жатқан қазіргі заманды бағдарлай білу, дұрыс, тез ойлау үшін, математиканы оқу қажет.
Математиканы оқытуда жетістікке жету, белгілі бір дәрежеде, оқушыларға қандай есептер, қандай ретпен және қандай мөлшерде берілетініне тәуелді болады. Сондықтан да оқыту процессін ұйымдастыруда, оқушылар есептерді шешу процесінде орындайтындай, мұғалім ең алдымен математикалық есептерді іріктеу қажеттілігімен ұштасады, оларды ретке келтіру, талдау керек болады. Қойылған дидактикалық мақсатқа сәйкес мұғалімге есептерді іріктеуді іске асыруға көмектесетіндей, есептерге жіктеу жүргізуді талап етеді.
Жақсы педагогикалық білім бәріне қажет, өйткені ұжымда жұмыс істеу үшін, өз балаларымызды оқыту мен тәрбиелеу үшін психология, педагогика мәселелерін әрқайсымыз меңгергеніміз абзал. Дәл, математикалық пәндерді оқыту кезінде талдай білуге, қорытындылар жасауға, логикалық ойлауға үйретеді.
Еліміздің білім беру жүйесінде әлемдік деңгейге жету үшін жасалынып жатқан іс- шараларды жүзеге асыруда оқытудың әр түрлі әдіс-тәсілдерін қолдана отырып, терең білімді, ізденімпаз, барлық іс-әрекетке белсенді, шығармашылық бағыт ұстанатын, құзіреттілік қабілеті жан-жақты дамыған, сол тұрғыда өз болмысын таныта алатын жеке тұлғаны қалыптастыру болып табылады.
91
1. Alma E. Abylkasymova, Zhanara M. Nurmukhamedova, Dilara M. Nurbaeva, Lyazzat D.
Zhumalieva. “The Turkish Vector” Influence on Teaching the Exact Disciplines in Modern Educational System of Kazakhstan: on the Example of Teaching Algebra and Mathematics // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. ISSN 0973-1768 Volume 12, Number 4 (2016), pp. 3481-3491
2. Абылкасымова А. Е. Учебная программа по алгебре для 7-9 классов общеобразовательной школы. – Астана, 2013. – 17 стр.
3. Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Абдиев А., Жумагулова З. А.. Алгебра 8 класс.
Алматы: Мектеп, 2012 г. С. 167
4. Абылкасымова А.Е. Теория и методика обучения математике: дидактико- методические основы. – Алматы: Мектеп, 2013. С. 224
Аннотация. В статье исследованы некоторые проблемы преподавания математики в школе и педагогическом вузе. В работе рассмотрены профессиональные качества, которыми должен владеть учитель математики, чтобы уметь применять свои знания на практике и педагогически грамотно передавать их ученикам. В статье рекомендовано проведение классификации задач, в целях осуществления преподавателем их отбора в соответствии с поставленной дидактической целью.
Ключевые слова: обучение математике, школа, педагогический вуз, математическая подготовка, курс алгебры, математический анализ, обучение решению задач.
Abstract. The article deals with the some problems of mathematics teaching in schools and pedagogical university. The paper deals with the professional quality that must possess a specialist to be able to apply their knowledge in practice and pedagogically competent to transfer their students. In this article the classification problems, which would help the teacher to carry out their selection in accordance with the intended didactic purpose, are recommended.
Keywords: Mathematics-teaching, school, pedagogical higher education, mathematical analysis, training in problem solving.
УДК 372. 8 : 514
Б.С. Ханжарова, А.Б. Кокажаева
ЗНАКОМСТВО ШКОЛЬНИКОВ С ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ
СВОЙСТВАМИ ФИГУР КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ УСТОЙЧИВОГО ИНТЕРЕСА К ГЕОМЕТРИИ
(г. Алматы, Казахский государственный женский педагогический университет)
Аннотация. Геометрия является одной из основных математических дисциплин, изучаемых в школьном курсе математики. С понятиями фигура, свойства геометрических фигур, преобразования (в том числе топологические преобразования), которые составляют содержание этого предмета учащиеся постоянно сталкиваются при изучении геометрии.
Поэтому в статье рассматриваются возможности изучения и применения топологических свойств геометрических фигур школьного курса геометрии.
Ключевые слова: геометрия, фигура, свойства, топология, преобразования, взаимно- однозначное, взаимно- непрерывное.
Топология же – это та отрасль геометрии, которая рассматривает исключительно топологические свойства фигур. Представим, что некоторая фигура должна быть скопирована от руки совершенно малоопытным, но очень добросовестным
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
92
чертежником, которой невольно искривляет прямые линии, искажает углы, расстояния и площади; тогда на сделанной им копии, хотя метрические и проективные свойства фигур, может быть, и не сохранятся, но топологические свойства все же останутся в неприкосновенности. Топология как раздел геометрии в школьном курсе не представлена. Лишь отдельные задачи скрыто опираются на топологические свойства фигур (например, рассмотренная ниже задача). Однако определенные связи между элементарной геометрией и топологией установить можно. Итак, рассмотрим некоторые вопросы топологии, исходя из понятий, встречающихся в школьном курсе геометрии.
Более того, покажем, что стремление выявить наиболее глубокие геометрические свойства фигур необходимо приведет к идеям топологии.
Геометрия, изучаемая в школе, имеет дело почти исключительно со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства называются метрическими. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера.
Например, рассмотрим следующую задачу. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом десятиугольнике? Если решать эту задачу непосредственно, т.е. проведем в данном многоугольнике все возможные диагонали и попытаемся их пересчитать, то увидим, что это сделать совсем непросто. Еще труднее пересчитать число диагоналей у невыпуклого многоугольника.
Представим, что все диагонали многоугольника – эластичные нитки, прикрепленные в соответствующих вершинах. Тогда каждую диагональ можно было бы поднять в пространство, например, следующим образом: вторую диагональ поднять чуть выше чем первую; третью поднять чуть выше, чем вторую и т.д. При этом диагонали не пересекались бы и их можно без труда пересчитать. От натяжения ниток изменились бы их длины, величины некоторых углов и т.п., а число диагоналей (ниток) осталось бы тем же самым. Но для решения данной задачи такие изменения элементов фигуры значения не имеют. Т.о. мы сталкиваемся с геометрическим свойством, которое не является метрическим.
Следующий пример, мы знаем, что формула Эйлера справедлива для любого простого многогранника. Но эта формула не теряет смысла и значимости также и применительно к иным, гораздо более общим случаям: вместо многогранников элементарной геометрии с плоскими гранями и прямыми ребрами можно взять простые
«многогранники», у которых «гранями» являются кривые поверхности, а «ребрами» - кривые линии, или можно нарисовать «грани» и «ребра» на поверхности, например, шара. Больше того, вообразим, что поверхность многогранника или сферы сделана из тонкого слоя резины; тогда формула Эйлера сохраняет силу, как бы ни была деформирована рассматриваемая поверхность - путем изгибаний, сжатий, растяжений и т.д., лишь бы резиновый слой не был порван.
Действительно, формула Эйлера относится только к числу вершин, ребер и граней;
длины же, площади, двойные отношения, кривизна и т.п., как и иные понятия элементарной или проективной геометрии, в данном случае никакой роли не играют.
Таким образом, некоторое геометрическое свойство считается тем более существенным, чем устойчивее оно оказывается, то есть чем разнообразнее те преобразования, которые оно выдерживает, оставаясь неизменным. С этой точки зрения проективные свойства оказываются глубже, существеннее метрических.
Понятие геометрического преобразования является одним из основных в школьном курсе геометрии [1]. Свойства фигур, которые сохраняются при данном преобразовании F, называются инвариантами этого преобразования. Например, свойство фигуры быть прямой является инвариантом центральной симметрией.
93
Рассмотрим известные в школьном курсе геометрии преобразования и их инварианты.
1. Центральная симметрия. Инварианты этого преобразования:
а) свойство фигуры быть прямой;
б) свойство фигуры быть отрезком;
в) свойство фигуры быть окружностью;
г) свойство угла иметь данную величину;
д) свойство фигуры иметь определенную площадь;
е) свойство фигуры иметь определенную длину;
ж) свойство фигуры быть незамкнутой кривой;
з) свойство фигуры быть замкнутой кривой.
2. Гомотетия. Сравнение свойств центральной симметрии и гомотетии показывает, что рассмотренные выше свойства а), б), в), г), ж), з) являются также инвариантами гомотетии, но свойства д), е) при гомотетии не сохраняются.
Из нескольких геометрических свойств фигуры то считается более глубоким, которое оказывается более устойчивым, т.е. то, которое выдерживает большее количество преобразований, оставаясь неизменным. Отсюда следует, что свойство фигуры быть замкнутой (незамкнутой) линией является, очевидно, более глубоким, чем свойство иметь определенную длину. Т.о. возникает вопрос о том, какие из геометрических свойств данной фигуры являются наиболее глубокими. Для ответа на этот вопрос можно данную фигуру подвергнуть большому числу различных преобразований и посмотреть, какие из свойств фигуры являются инвариантами всех этих преобразований. Такие свойства и будут, очевидно, наиболее глубокими геометрическими свойствами данной фигуры.
Поступим несколько иначе. Ведь если некоторое свойство является инвариантом данного преобразования, то оно будет являться инвариантом всех преобразований, которые являются частными случаями данного. Например, преобразование центральной симметрии является частным случаем преобразования гомотетии, Нетрудно убедиться в том, что центральная симметрия-это гомотетия с коэффициентом k = -1. Поэтому все инварианты гомотетии будут являться и инвариантами центральной симметрии.
Действительно, рассмотренные выше свойства а), б), в), г), ж), з) являясь инвариантами гомотетии, будут и инвариантами центральной симметрии. Обратное неверно. Так, свойства д), е) являясь инвариантами центральной симметрии, не будут инвариантами гомотетии.
Поэтому, вместо того чтобы подвергать данную фигуру большому числу различных преобразований, можно отыскать более общее преобразование, частными случаями которого являлись бы рассмотренные ранее преобразования. Инварианты этого более общего преобразования будут являться инвариантами всех рассмотренных ранее преобразований. Ответ на поставленный нами вопрос сводится, таким образом, к поиску соответствующего преобразования. Будем исходить из следующих соображений.
Рассмотренные ранее преобразования являются частными случаями искомого.
Попытаемся выявить те общие условия, которым удовлетворяет каждое из рассмотренных нами конкретных преобразований, и, таким образом, подойдем к характеристике искомого преобразования. Эти условия найти нетрудно.
Во-первых, рассмотренные преобразования являются взаимно-однозначными, во- вторых, выполняется следующее условие: если зафиксировать произвольную точку Х фигуры прообраза и соответствующую ей точку Х1 (образ точки Х при одном из известных нам преобразований) и рассмотреть переменную точку У фигуры прообраза вместе с точкой У1 – образом точки У, то при неограниченном приближении точки У к