• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері"

Copied!
72
0
0

Толық мәтін

(1)

1

Коммерциялық емес ақционерлік қоғам

АҚПАРАТТЫ ЖИНАУ ЖӘНЕ ТАСЫМАЛДАУ НЕГІЗДЕРІ 5В070200- Автоматтандыру және басқару мамандығының

студенттері үшін дәрістер жинағы

Алматы 2019

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА

ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ УНИВЕРСИТЕТІ Автоматтандыру және басқару кафедрасы

(2)

2

ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ш.Н. Сагындыкова. Ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері. 5В070200 - Автоматтандыру және басқару мамандығының студенттері үшін дәрістер жинағы. – Алматы: АЭжБУ, 2019. – 71 б.

Дәрістер жинағында сигналдардың моделдері, ақпарат пен кодтау теориясының негіздері, сонымен қатар ақпаратты қабылдау мен өңдеудің кейбір мәселелері қарастырылады.

Дәрістер жинағы 5В070200 - Автоматтандыру және басқару мамандығының оқу түрінің барлық формасындағы студенттері үшін арналған.

Рецензент: аға оқытушы, т.ғ.к. Тергемес К.Т.

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2019 ж. басылу жоспары бойынша басылады.

© «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2019 ж.

(3)

3

1 Дәріс №1. Детерминирленген сигналдардың моделдері

1.1 Сигнал моделінің түсінігі

Ақпаратты кеңістікте және уақыт бойынша тасымалдау үшін ол хабарлама түрінде көрсетіледі. Мазмұнына тәуелсіз түрде хабарлама әрқашан сигнал түрінде бейнеленеді. Хабарлама мен сигнал арасындағы сәйкестікті қамтамасыз ететін белгілі бір ереже бойынша сигналды құрастыру кодтау деп аталады.

Кең мағынада кодтау- хабарламаны сигналға түрлендіру. Тар мағынада кодтау- символдар деп аталатын бастапқы белгілерді, белгілер саны аз басқа алфавитте көрсету. Ол сенімділігін арттыру және байланыс каналдары бойынша тасымалдауға ыңғайлы түрге сигналдарды түрлендіру үшін жүзеге асырылады.

Сигналдар уақыт және т.б. мәндері бойынша үздіксіз және дискретті болуы мүмкін, яғни сигналдың төрт типінің біреуі мүмкін:

- үздіксіз (көп мәндер және уақыт бойынша);

- көп мәндер бойынша үздіксіз, уақыт бойынша дискретті;

- көп мәндер бойынша дискретті, уақыт бойынша үздіксіз;

- дискретті (көп мәндер және уақыт бойынша).

Кейде теорияда уақыт және мәндері бойынша үздіксіз, бірақ параметрлері бойынша дискретті сигналдарды қарастырады.

Сигналды тасушы әрқашан объект немесе процесс, алайда сигналдың математикалық моделі оның физикалық табиғатынан абстракцияланады және зерттелетін оқиғаның көзқарасынан елеулі сипаттарын ескереді. Сигналдың моделі шынайы объектілердің физикалық қасиеттерімен үйлеспеуі мүмкін.

Мысалы, гармоникалық фукнциялардың шексіз санының қосындысы түріндегі сигналдың математикалық моделі практикада жүзеге асырылмайды, алайда бұл абстракция маңызды заңдылықтарды анықтауға мүмкіндік береді.

Шынайы ақпарат жүйелерінде қабылдаушыға белгісіз ақпаратты ғана тасымалдау жүзеге асады. Сондықтан әрбір хабарламаның ықтималдығын ғана ғана алдын-ала болжауға болады, ал сигналдық аналитикалық моделі кездейсоқ процесс бола алады. Дегенмен, кездейсоқ сигналдарды оқу үшін орындалулардың жиынының (ансамблінің) элементтері ретінде қарастырылатын детерминирленген сигналдардың анализі қажет. Осы тарауда детерминирленген сигналдардың моделдері қарастырылады.

1.2 Детерминирленген сигналдарды жалпыланған спектрлік көрсету

u(t) күрделі сигналының сызықты жүйе арқылы өтуін анализдеу үшін ол келесі түрде көрсетіледі:

𝑢(𝑡) = ∑𝑛𝑘=1𝑐𝑘𝜑𝑘(𝑡), 𝑡[𝑡1, 𝑡2], (1.1)

(4)

4

мұндағы 𝜑𝑘(𝑡)- базистік функциялар;

𝑐𝑘 – өлшемсіз коэффиценттер.

𝑐𝑘 сигналдың дискретті спектрі деп аталады. [𝑡1, 𝑡2] интервалының шегінен тыс (1.1) сигналы шартты сүрелі болып саналады. Есептер қатарын қарастырған кезде осындай жорамал қателік болуы мүмкін. Ақыры ұзындықты сигналдарды көрсету үшін интеграл қолданылады:

𝑢(𝑡) = ∫−∞ 𝑆() ∗ 𝜑(, 𝑡)𝑑, (1.2) мұндағы S  – үздіксіз спектрді сипаттайтын спектрлік тығыздық;

,t – параметріне тәуелді базистік функция.

(1.1) және/немесе (1.2) түрінде сигналды көрсетуде пайдаланылатын әдістер жиынтығын сигналдардың жалпыланған спектрлік теориясы деп атайды. Бұл ретте пайдаланылатын базистік функциялардың түрімен ерекшелінетін жеке жағдайлар қарастырылады. Базистік функцияларға қойылатын негізгі талап- 𝑐𝑘 коэффициенттерін есептеу жеңілдігі. Бұл талапқа [𝑡1, 𝑡2] кесіндісінде ортогональ базистік функциялар сай, олар келесі шартты орындайды:

∫ 𝜑𝑘(𝑡) ∗ 𝜑𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = {0, егер 𝑗 ≠ 𝑘, 𝜇, егер 𝑗 = 𝑘.

𝑡2

𝑡1 (1.3)

Егер барлық 𝜑𝑗(𝑡) көбейтсе, j = 1,n на 1

√𝜇−де j = 1,n , онда j =k кезінде

∫ 𝜑𝑡2𝑡1 𝑘(𝑡) ∗ 𝜑𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = 1. (1.4) Осындай функциялар жүйесін ортонормаландырылған деп атайды.

Базистік функциялар (1.4) шартын орындайды делік.

(1.1) екі бөлігін 𝜑𝑗(𝑡) көбейтеміз және [𝑡1, 𝑡2] интервалында интегралдаймыз:

∫ 𝜐(𝑡)𝜑𝑗𝑑𝑡 = ∫ ∑ 𝑐𝑘𝜑𝑘(𝑡)𝜑𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = ∑ 𝑐𝑘 ∫ 𝜑𝑘(𝑡)𝜑𝑗𝑑𝑡.

𝑡2

𝑡1 𝑛

𝑘=1 𝑛

𝑘=1 𝑡2 𝑡1 𝑡2

𝑡1

(1.3) есебінен соңғы теңдеудің оң жағынжағы барлық интегралдар j ≠k кезінде нөлге тең. Сондықтан, (1.4) есепке алғанда:

𝑐𝑘 = ∫ 𝜐(𝑡)𝜑𝑡1𝑡2 𝑘(𝑡)𝑑𝑡 . (1.5)

(5)

5

Соңғы теңдеуден 𝑐𝑘 коэффициенттері 𝑘 =1,n тең.

Бір-бірінен тәуелсіз есептеле алады, ал оларды есептеудің күрделілігі базистік функциясының аналитикалық өрнегінің түрімен анықталады. (1.3), (1.4) шарттарымен байланысты көрсетілген қасиет сигналдардың қасиеттерін зерттегенде ортогонал функцияларды кең қолдану себебі болып табылады.

Сонымен қатар, ортогонал функциялардың келесі жүйелері қолданылады:

тригонометриялық функциялар жүйесі, Хаардың функциялар жүйесі, Лежандр көпмүшелері, Лаггер көпмүшелері, Чебышев көпмүшелері, Эрмит көпмүшелері және т.б.

1.3 Сигналдарды көрсетудің уақыттық формасы

ut кез келген функциясын (үздіксіз сигналды) уақыттың осы мезетінде сигналдың мәніне тең амплитудасы бар ұзақтығы шексіз аз, бір-біріне жалғасқан импульстердің жиыны түрінде көрсетуге болады:

𝑢(𝑡) = ∫−∞ 𝑢(𝜏) ∗ 𝛿(𝜏 − 𝑡) ∗ 𝑑𝜏, (1.6) мұндағы 𝛿(𝜏 − 𝑡) = {∞, 𝑡 = 𝜏 кезінде,

0, 𝑡 ≠ 𝜏 кезінде. ∫−∞ 𝛿(𝜏 − 𝑡) ∗ 𝑑𝜏 = 1. (1.6)-ны көрсету 𝛿(𝜏 − 𝑡) базистік функциясы бар (1.2) жалпыланған спектрлік көрсетудің жеке жағдайы екенін байқау қиын емес.

Дельта-функцияны қолданып дискретті тор функцияны тұрғызуға болады:

𝑢𝑔(𝑡) = ∑𝑘=−∞𝑢(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡 − 𝑘t). (1.7) 𝑡 = 𝑘t нүктелерінде 𝑢𝑔(𝑡) функциясы 𝑢(𝑘t)-ға тең, мұндағы t- импульстердің және басқа нүктелерде нөлдің өту периоды. (1.7)-де қосындылау шегі (1.1)-дегіндей физикалық өткізімділігінің шарттарына негізделіп, ақырғы болып орнатылуы мүмкін.

1.4 Периодты сигналдарды жиіліктік көрсету

Базистік функциялары ретінде 𝑝 = ±𝑗𝜔 кезіндегі 𝜑(𝑡) = 𝑒𝑝𝑡 пайдаланылатын детерминирленген сигналдарды көрсетуді қарастырамыз.

Осындай көрсету Фурье түрлендіруі деп аталады. Эйлер формуласы 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = (𝑒𝑗𝜔𝑡+ 𝑒−𝑗𝜔𝑡)/2 себебінен Фурье түрлендіруі күрделі сигналды гармоникалардың қосындысы түрінде көрсетуге мүмкіндік береді.

[𝑡1, 𝑡2] интервалында сигналдың детерминирленген жүзеге асуын сипаттайтын 𝑢(𝑡) функциясы Дирихле шарттарын қанағаттандырады (үздіксіз немесе бірінші түрдегі ажырау нүктелерінің ақырғы саны бар, сонымен қатар

(6)

6

экстремумдардың ақырғы саны) және 𝑡 ∈ (−∞, +∞) кезіндегі 𝑇 = 𝑡2− 𝑡1 периодпен қайталанады. Жоғарыда көрсетілген 𝜑(𝑡) = 𝑒±𝑗𝜔𝑡 базистік функциясын пайдаланып 𝑢(𝑡) функциясын келесі түрде көрсетуге болады:

𝑢(𝑡) = 1

2𝑘=−∞𝐴(𝑗𝑘𝜔1) ∗𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡, (1.8) мұндағы

𝐴(𝑗𝑘𝜔1) = 2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒𝑡1𝑡2 𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡, (1.9) ал период 𝑇 = 𝑡2− 𝑡1 = 2𝜋/𝜔1.

Осы спектрлік көрсетуде 𝐴(𝑗𝑘𝜔1) коэффициенттерін 𝑢(𝑡) периодты сигналының кешенді спектрі, ал нақты k үшін 𝐴(𝑗𝑘𝜔1) мәнін кешенді амплитуда деп атайды. Кешенді спектр дискретті, бірақ 𝑘𝜔1 = 𝜔 ауыстырып, жанаушыны тұрғызуға болады:

𝐴(𝑗𝑘𝜔1) = 2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒𝑡1𝑡2 −𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡. (1.10) Әртүрлі кешенді сан сияқты, кешенді спектрді көрсетуге болады:

а) көрсеткіштік формада:

𝐴(𝑗𝑘𝜔1) = 𝐴(𝑘𝜔1) ∗ 𝑒−𝑗𝜑(𝑘𝜔1), (1.11) мұндағы 𝐴(𝑘𝜔1) – амплитудалар спектрі, ал 𝜑(𝑘𝜔1) – фазалар спектрі (сонымен дискретті);

б) алгебралық формада:

𝐴(𝑗𝑘𝜔1) = 𝐴𝑘 − 𝑗𝐵𝑘, (1.12) Мұндағы 𝐴𝑘 = 2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ cos(𝑘𝜔𝑡1𝑡2 1𝑡) 𝑑𝑡, 𝐵𝑘 = 2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ sin(𝑘𝜔𝑡1𝑡2 1𝑡) 𝑑𝑡.

(1.12) көрсетілуі (1.9)-дан Эйлер формуласы бойынша ауыстыру жолымен алынады:

𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝑡 = cos(𝑘𝜔1𝑡) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜔1𝑡).

𝐴(𝑘𝜔1) = √𝐴𝑘2 + 𝐵𝑘2 , ал

𝜑(𝑘𝜔1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐵𝑘

𝐴𝑘).

(1.12)-де 𝑘 = 0 кезіндегі 𝐴𝑘 нақты бөлігін анықтайтын теңдеуден сигналдың тұрақты құраушысы үшін теңдеуді аламыз:

(7)

7 𝐴0

2 = 1

𝑇∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡.𝑡𝑡2

1 (1.13)

(1.8)-де кешенді-түйіндес құраушыларды біріктіріп, тригонометриялық формада Фурье қатарын алуға болады:

𝑢(t) =A0

2 +1

2∑ [A(jkω1) ∗ ejkω1t+ A(−jkω1) ∗ e−jkω1t] = A0

2 +

k=1 1

2k=1[A(kω1) ∗ ej[kω1t−φ(kω1)]+ A(kω1) ∗ e−j[kω1t−φ(kω1)] = A0

2 +

k=1A(kω1) cos(kω1t − φ(kω1)) . (1.14)

𝐴(𝑘𝜔1) амплитудаларының және 𝜑(𝑘𝜔1) фазаларының спектрі әрқайсысы белгілі бір жиілікке сай (қосындының біреуі) сызықтар жиынтығы түріндегі спектрлік диаграмма түрінде көрсетілуі мүмкін. Сондықтан бұл спектрлерді сызық деп атайды. Гармоникалары еселік жиілік емес сызық спектрлері бар сигналдар периодты дерлік деп аталады.

1.5 Периодты сигналдың спектрінде энергияның таралуы

(1.14) сәйкес, Т периодына тең уақытта периодты сигналдың бөлетін энергиясын келесі түрде көрсетуге болады:

∫|𝑢(𝑡)|2𝑑𝑡 = ∫ |𝐴0 2 +1

2∑[𝐴(𝑗𝑘𝜔1) ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡+ 𝐴(−𝑗𝑘𝜔1) ∗ 𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝑡]

𝑘=1

|

2 𝑇

0 𝑇

0

𝑑𝑡

= 𝐴02 2 ∫ 𝑑𝑡

𝑇

0

+ 𝐴0

2 {∑ 𝐴(𝑗𝑘𝜔1) ∫ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡 + ∑ 𝐴(−𝑗𝑘𝜔1) ∫ −𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡

𝑇

0

𝑘=1 𝑇

0

𝑘=1

}

+1

2∑ ∑ 𝐴(𝑗𝑘𝜔1)𝐴(−𝑗𝑙𝜔1) ∫ 𝑒𝑗(𝑘−1)𝜔1𝑡

𝑇

0

𝑑𝑡.

𝑘=1

𝑘=1

Келесіні көрсетуге болады:

∫ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡

𝑇

0

𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡 = 0, 𝑎 ∫ 𝑒𝑗(𝑘−1)𝜔1𝑡

𝑇

0

𝑑𝑡 = {0 , 𝑘 ≠ 𝑙 кезінде, 𝑇 , 𝑘 = 𝑙 кезінде.

𝑇

0

Осыны есепке ала, соңғы алатынымыз

(8)

8

∫ |𝑢(𝑡)|2𝑑𝑡 = 𝑇

2[𝐴02

2 + ∑𝑘=1|𝐴(𝑗𝑘𝜔1)|2]

𝑇

0 . (1.15)

Күрделі периоды сигналдың периодтағы орташа энергиясы әр гармоника бөлетін орташа энергиялардың қосындысына тең екені (1.15)-тен шығады.

1.6 Периодты емес сигналдарды жиіліктік көрсету

Шынайы периодты емес функцияға сәйкес 𝑢(𝑡) Дирихле шарттарын орындайды және абсолютті интегралданады деп болжаймыз:

∫ |𝑢(𝑡)| ∗ 𝑑𝑡 < ∞

−∞

.

Онда ut периоды емес сигналын спектрік көрсетуді периодты сигналдың периодын шексіздікке дейін үлкейту арқылы тұрғызуға болады. Ол үшін келесіні жасаймыз.

Периоды сигналдың 𝐴(𝑗𝑘𝜔1) кешенді амплитудасы үшін (1.9) өрнегін (1.8)-ге қоямыз. 𝑇 = 2𝜋/𝜔1 екенін ескере отырып, аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2∑ [𝜔1

𝜋 ∫ 𝑢(𝑡) ∗

𝑡2

𝑡1

𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡] ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡.

𝑘=−∞

Ары қарай T   кезіндегі шектік ауысуды жүзеге асырамыз. Бұл ретте қосынды интегралға көшеді:

𝜔1 = 𝜔  𝑑𝜔, 𝑘𝜔1ω.

Нәтижесінде аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ [ ∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

−∞

] ∗

−∞

𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔.

Тік жақшалардағы интеграл үшін соңғы теңдеуде 𝑆(𝑗𝜔) белгіленуін енгізіп, Фурьенің екі түрлендіруін жазамыз:

𝑢(𝑡) = 1

2𝜋−∞ 𝑆(𝑗𝜔) ∗𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ; (1.16) 𝑆(𝑗𝜔) = ∫−∞ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡. (1.17) 𝑆(𝑗𝜔) кешенді функциясын кешенді спектрлік тығыздық немесе спектрлік сипаттама деп атайды. Периодты сигнал жағдайындағындай, периоды емес сигналға спектрлік сипаттаманың келесі көрсетулері орын алады:

(9)

9

а) көрсеткіштік форма:

𝑆(𝑗𝜔) = 𝑆(𝜔) ∗ 𝑒𝑗𝜑(𝜔), (1.18) мұндағы 𝑆(𝜔) = |𝑆(𝑗𝜔)| – амплитудалардың спектрлік тығыздығы;

𝜑(𝜔)   – фазалар спектрі;

б) алгебралық форма (ауыстыру арқылы (1.17)-ден алынады):

𝑒−𝑗𝜔𝑡 = cos(𝜔𝑡) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡));

𝑆(𝑗𝜔) = 𝐴(𝜔) − 𝑗𝐵(𝜔), (1.19) мұндағы

𝐴(𝜔) = ∫−∞+∞𝑢(𝑡) ∗ cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡, 𝐵(𝜔) = ∫−∞+∞ 𝑢(𝑡) ∗ sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡. (1.20) Бұл ретте

𝑆(𝜔) = |𝑆(𝑗𝜔)| = √|𝐴(𝜔𝑡)|2+|𝐵(𝜔𝑡)|2, 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [𝐵(𝜔)

𝐴(𝜔)]. (1.21) 𝑆(𝑗𝜔)-ді (1.18)-ден (1.16)-ға қойып аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ 𝑆(𝜔) ∗ 𝑒𝑗[𝜔𝑡−𝜑(𝜔)]𝑑𝜔 =

−∞

1

2𝜋[ ∫ 𝑆(𝜔) ∗ cos[𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔 + 𝑗 ∫ 𝑆(𝜔) ∗ sin[𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔

−∞

−∞

].

Тақ функцияның екінші интегралы нөлге тең, ал біріншісін (интеграл астындағы функцияның жұптығына байланысты) оң жиіліктер үшін жазуға болады. Осылай, Фурье қатарының тригонометриялық функциясын аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

𝜋∫ 𝑆(𝜔) ∗ cos [𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)]𝑑𝜔0 . (1.22) Ол айқын физикалық түсіндіру мүмкіндігін береді. Ең соңында тағы бір қызық қасиетті қарастырамыз. (1.17)-ге сәйкес, 𝑡1, 𝑡2 интервалында берілген 𝑢(𝑡) функциясы үшін жазуға болады:

𝑆(𝑗𝜔) = ∫ 𝑢(𝑡) ∗𝑡𝑡2

1 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡. (1.23) (1.10) мен (1.23) оң жақтарын салыстырып, 𝐴(𝑗𝜔) = 2

𝑇∗ 𝑆(𝑗𝜔),теңдеуі орын алатынын байқаймыз, яғни 𝑆(𝑗𝜔) дара импульсі бойынша оның периоды ретінің сызық спектрін тұрғызуға болады.

(10)

10

1.7 Периодты емес сигналдың спектрінде энергияны тарату

(1.16) ескере отырып, сигнал бөлетін энергияны сипаттайтын шама үшін өрнекті келесі түрде жазуға болады:

∫ [𝑢(𝑡)]2𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝑡) [ 1

2𝜋 ∫ 𝑆(𝑗𝜔) ∗

−∞

𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔] ∗ 𝑑𝑡

−∞

−∞

.

Интегралдау ретін өзгертіп, соңғы теңдеуді қайта жазамыз:

∫ [𝑢(𝑡)]2𝑑𝑡 = 1

2𝜋−∞ 𝑆(𝑗𝜔)[∫−∞ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡] ∗ 𝑑𝜔.

−∞ (1.24)

(1.17) мен (1.24) оң жақтарын салыстырып, (1.24)-тің тік жақшаларындағы өрнек 𝑆(−𝑗𝜔) екенін көреміз, демек

∫ |𝑢(𝑡)|2𝑑𝑡 = 1

2𝜋∫ |𝑆(𝑗𝜔)|2𝑑𝜔 = 1

𝜋∫ |𝑆(𝑗𝜔)|0 2𝑑𝜔.

−∞

−∞ (1.25)

Осы теңдеуге байланысты, бар болу уақытында периоды емес сигнал бөлетін энергияны жиілік интервалында спектрлік сипаттаманың модулінің квадратын интегралдап анықтауға болады.

1.8 Сигналдардың ұзақтығы мен олардың спектрінің ені арасындағы қатынас

Ұзақтығы белгілі 𝑢(𝑡) сигналында 𝑆(𝑗𝜔) спектрлік сипатамасы бар делік. Ұзақтығы  есе өзгертілген 𝑢(𝜆𝑡) сигналы үшін сәйкес 𝑆𝜆(𝑗𝜔) сипаттамасын табамыз:

Sλ(jω) = ∫ u(λt) ∗ ejωtdt ∗ e−jωtdt = 1

λ∫ u(τ) ∗ e−jωtλdτ =1

λS (jω

λ),

−∞

−∞ (1.26)

мұндағы 𝜏 = 𝜆𝑡.

 есе қысқартылған (ұзартылған) сигналдың спектрі  есе кең (тар) екені (1.26)-дан көрінеді, бұл ретте 1/ коэффициенті гармоникалардың амплитудасын өзгертеді және спектрдің еніне әсер етпейді. Көрсетілген қасиет t мен  айнымалылары көбейту түрінде Фурьенің тура және кері түрлендіруінің экспоненциалдық функциясы дәрежесінің көрсеткішіне кіретініне байланысты. Осыдан, сигналдың ұзақтығы мен оның спектрінің ені ақырғы интегралмен бір уақытта шектелмейтіні шығады. Сонымен қатар, келесі қатынас орындалады:

(11)

11

𝑡 ∗𝑓 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , мұндағы t – импульс ұзақтығы;

f –спектрдің ені.

2 Дәріс №2. Кездейсоқ сигналдардың моделдері

2.1 Кездейсоқ процесс сигналдың моделі ретінде

Ақпаратты тасымалдау мен түрлендіру мәселелерін қарастырған кезде сигналдың ең адекватты моделі кездейсоқ процесс болып табылады, ол үшін жоғарыда қарастырылған детерминирленген функциялар жеке орындалулар ретінде қарастырылады. Кездейсоқ процесс деп уақыттың кездейсоқ функциясын Ut атайды, оның мәндері уақыттың әр моментінде кездейсоқ шама болып табылады. Кездейсоқ процесстер уақыт бойынша және күйлердің жиыны бойынша үздіксіз немесе дискретті бола алады, яғни детерминирленген сигналдармен аналогия бойынша кездейсоқ процесстің төрт типінің біреуі болуы мүмкін:

- үздіксіз кездейсоқ процесс (күйлер көпшілігі- үздіксіздік, ал күйлердің өзгеруі уақыттың кез келген мезетінде болуы мүмкін);

- үздіксіз кездейсоқ реттілік (күйлердің өзгеруіне уақыттың моментінің соңғы немесе есептік санында рұқсат етіледі);

- дискретті кездейсоқ процесс (күйлердің өзгеруі уақыттың кез келген моментінде болуы мүмкін, бірақ күйлердің жиынының соңы бар);

- дискретті кездейсоқ реттілік (соңғы жиынның күйі уақыттың моментінің соңғы немесе есептік санында өзгере алады).

Кездейсоқ процесстің қасиеттерін сипаттау үшін 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁 уақыт моменттерінде алынған, 𝑈1 = 𝑈(𝑡1), 𝑈2 = 𝑈(𝑡2), … , 𝑈𝑁 = 𝑈(𝑡𝑁) кездейсоқ шамаларының N жүйесінің 𝑝𝑁(𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑁; 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁) ықтималдықтарының N өлшемді тығыздықтары пайдаланылуы мүмкін. Сондай-ақ, 𝑝1(𝑈; 𝑡) ықтималдығының бірөлшемді тығыздығы уақыттың кез келген t моментінде кездейсоқ шаманың таралуын сипаттайды, ал 𝑝2(𝑈1, 𝑈2; 𝑡1, 𝑡2) екі өлшемді тығыздық уақыттың кез келген 𝑡1, 𝑡2 моменттерінде кездейсоқ шамалардың бірлескен орындалуының ықтималдығын береді. Келесі қатынас орын алады:

𝑝1(𝑈1; 𝑡1) = ∫−∞ 𝑝2(𝑈1, 𝑈2; 𝑡1, 𝑡2) ∗ 𝑑𝑈2. (2.1) Реті жоғары ықтималдықтың тығыздығымен операция жасау өте күрделі. Сондықтан, кездейсоқ процестің сипаттамасы үшін бірінші және екінші ретті моменттік функцияларды қолданады: математикалық күтім, дисперсия және корреляциялық функция. U(t) кездейсоқ процесінің математикалық күтімі деп 𝑚𝑢(𝑡) уақыттың кездейсоқ емес функциясын атайды, оның мәні уақыттың әр моментінде кездейсоқ процестің сәйкес қимасында кездейсоқ шаманың математикалық күтіміне тең.

(12)

12

𝑚𝑢(𝑡) = 𝑀{𝑈(𝑡)} = ∫−∞ 𝑈 ∗ 𝑝1(𝑈; 𝑡) ∗ 𝑑𝑈, (2.2) мұндағы 𝑝1(𝑈; 𝑡) −ықтималдықтың бірөлшемді тығыздығы.

Ut кездейсоқ процесінің дисперсиясы деп 𝐷𝑢(𝑡) уақыттың кездейсоқ функциясын атайды, оның мәні уақыттың әр моментінде кездейсоқ процестің сәйкес қимасында кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең:

𝐷𝑢(𝑡) = 𝑀{[𝑈(𝑡)]2} = ∫ [𝑈(𝑡) − 𝑚−∞ 𝑢(𝑡)]2∗ 𝑃1(𝑈; 𝑡), (2.3) мұндағы 𝑈(𝑡) = 𝑈(𝑡) − 𝑚𝑢(𝑡) − 𝑡 қимасындағы центрлендірілген кездейсоқ шама.

𝑈(𝑡) кездейсоқ процесінің корреляциялық (автокорреляциялық) функциясы деп 𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) екі аргументтің кездейсоқ емес функциясын атайды, 𝑡1, 𝑡2 ерікті алынған мәндерінің әрбір жұбы үшін кездейсоқ процесстің сәйкес қимасының корреляциялық моментіне тең:

𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) = 𝑀{Ů(𝑡1)Ů(𝑡2)} =

−∞−∞ Ů(𝑡1)Ů(𝑡2) ∗ 𝑝2(𝑈1, 𝑈2; 𝑡1, 𝑡2) ∗ 𝑑𝑈1𝑑𝑈2, (2.4) мұндағы Ů(𝑡1) = [𝑈(𝑡1) − 𝑚𝑢(𝑡1)], Ů(𝑡2) = [𝑈(𝑡2) − 𝑚𝑢(𝑡2)].

Көп жағдайда нормаланған автокорреляциялық функцияны пайдаланған ыңғайлы:

𝜌𝑢 (𝑡1, 𝑡2) = 𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2)/(𝜎𝑢(𝑡1) ∗ 𝜎𝑢(𝑡2)), (2.5)

мұндағы 𝜎𝑢(. ) = √𝐷𝑢(. ).

Еркін t=t1=t2 кезінде (2.4) автокорреляциялық функциясы (2.3) дисперсиясына түрленеді: 𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) = 𝐷𝑢(𝑡), ал сәйкес нормаланған автокорреляциялық функция (2.5) бірге тең.

Екі кездейсоқ процестер арасындағы байланысты сипаттау үшін, мысалы 𝑈(𝑡) мен 𝑉(𝑡), өзара корреляция функциясын қарастырады:

𝑅𝑢𝑣(𝑡1, 𝑡2) = 𝑀[𝑈̇(𝑡1) 𝑉̇(𝑡2)]. (2.6)

Көрсетілген сипаттамалардың уақыт бойынша құбылмалылығы тұрғысынан стационарлы және стационарлы емес кездейсоқ процесстерді бөледі. Тар мағынада U t процессін стационарлы деп аталады, егер оны сипаттайтын ықтималдықтар тығыздығы уақыттың басталуына тәуелді болмаса.

Кең мағынада кездейсоқ процесті стационарлы деп атайды, егер

𝑚𝑢(𝑡) = 𝑚𝑢 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡; (2.7) 𝐷𝑢(𝑡) = 𝐷𝑢 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡; (2.8)

(13)

13

𝑅𝑢(𝑡, 𝑡 + 𝜏) = 𝑅𝑢(𝜏), (2.9) яғни, математикалық күтім (2.2) мен дисперсия (2.3) тұрақты, ал корреляциялық функция уақыттың басталуына тәуелді емес және    t2- t1

бір аргументінің функциясы болып табылады. (2.8) дисперсияның тұрақтылық шарты жеке жағдай ретінде,   0 кезінде (2.9) корреляциялық функцияға қойылатын талабынан шығады:

𝐷𝑢(𝑡) = 𝑅𝑢(𝑡, 𝑡) = 𝑅𝑢(0) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡.

Әдетте, стационарлық процесс эргодикалық болып табылады, яғни жүзеге асырулар ансамблі бойынша орташа бір ұзын жүзеге асырудың уақыты бойынша орташаға тең:

𝑚𝑢= lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 =;0𝑇 (2.10) 𝐷𝑢 = lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ [𝑢(𝑡) − 𝑢0𝑇 0]2 ∗ 𝑑𝑡; (2.11) 𝑅𝑢(𝜏) = lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ [𝑢(𝑡) − 𝑢𝑇 0] ∗ [𝑢(𝑡 + 𝜏) − 𝑢0]

0 ∗ 𝑑𝑡, (2.12)

мұндағы u(t –U(t кздейсоқ процесін бір жүзеге асыру.

2.2 Кездейсоқ сигналдарды спектрлік көрсету

Детерминирленген сигналдар сияқты кездейсоқ процесс спектрлік құраушылардың қосындысы ретінде көрсетілуі мүмкін. Ол үшін U (t

кездейсоқ процестерінің каноникалық ыдырауы қолданылады:

𝑈(𝑡) = 𝑚𝑢(𝑡) + ∑ 𝐶𝑘 ∗ 𝜑𝑘(𝑡), (2.13) мұндағы 𝑚𝑢(𝑡) – кездейсоқ процесстің математикалық күтімі (2.2);

𝜑𝑘(𝑡)– кездейсоқ емес базистік (координаталық) функциялар;

𝐶𝑘 – математикалық күтімі нөлге тең және Dk дисперсиясы бар корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар, яғни

𝑀[𝐶𝑘𝐶𝑙] = {𝐷𝑘 егер 𝑘 = 𝑙

0 егер 𝑘 ≠ 𝑙 . (2.14)

𝐶𝑘 ∗ 𝜑𝑘(𝑡) құрастырушыларын элементар кездейсоқ процестер деп атайды. Осындай процестің кездейсоқтығы 𝐶𝑘 кездейсоқ шамасы арқылы білінеді, оны каноникалық ыдырау коэффициенті деп атайды.

(2.13) каноникалық ыдырауы арқылы көрсетілген U(t кездейсоқ процессінің корреляциялық функциясын табамыз:

(14)

14

𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) = 𝑀[𝑈̇(𝑡1) ∗ 𝑈̇(𝑡2)] = 𝑀[∑ 𝐶𝑘 𝑘𝜑𝑘(𝑡1) ∑ 𝐶𝑙 𝑙𝜑𝑙(𝑡2)] =

𝑘,𝑙𝑀[𝐶𝑘𝐶𝑙]𝜑𝑘(𝑡1)𝜑𝑙(𝑡2).

Болжам бойынша, Сk Сl- корреляцияланбаған, (2.14) шартын есепке ала, корреляцияланған функцияның өрнегі келесі түрге енеді:

𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) = ∑ 𝜑𝑘 𝑘(𝑡1) ∗ 𝜑𝑘(𝑡2) ∗ 𝐷𝑘 . (2.15) (2.15) қосындысы түрінде корреляциялық функцияны көрсетуді U(t

кездейсоқ процессінің корреляциялық функциясының каноникалық ыдырауы деп атайды.

(2.13) кездейсоқ процестің каноникалық ыдырауына (2.15) корреляциялық функциясының каноникалық ыдырауы сәйкес келетіні [8]

дәлелденді. Кері пайымдау да дұрыс: (2.15) түріндегі корреляциялық функцияның ыдырауына центрлендірілген кездейсоқ процесстің каноникалық ыдырауы сәйкес.

(2.15) өрнегінде t1=t2=t деп, кездейсоқ процесстің дисперсиясы үшін формуланы аламыз:

𝐷𝑢(𝑡) = 𝑅𝑢(𝑡, 𝑡) = ∑ [𝜑𝑘 𝑘(𝑡)]2. (2.16) Осылайша, координаталық функциялардың таңдалған жинағында центрлендірілген кездейсоқ процесс ыдырау коэффициенттерінің дисперсиялар жиынтығынмен сипатталады, оны кездейсоқ процесстің жалпыланған спектрі деп қарастырса болады.

(2.13), (2.15) және/немесе (2.16) көрсетулерін құрастыру үшін Сk

корреляцияланбаған кездейсоқ шамалардың 𝜑𝑘(𝑡) координаталық функцияларын ату керек, ол көп жағдайларда елеулі қиындықтар туғызады.

Егер 𝜑𝑘(𝑡)- ортогональ координаталық функциялар болса, ал

−𝑟/2𝑟/2 𝑚𝑢2(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 < ∞, Т интервалындағы mu(t кездейсоқ емес функциясын (1.1) ұқсас ыдыратуға да болады:

𝑚𝑢(𝑡) = ∑ 𝑚𝑘 𝑢𝑘𝜑𝑘(𝑡), (2.17) мұндағы

𝑚𝑢𝑘 = ∫−𝑇/2𝑇/2 𝑚𝑢(𝑡) ∗ 𝜑𝑘(𝑡)𝑑𝑡.

mu (t (2.17)- ден (2.13)-ке қойып, нөлден өзгеше орташа мәні бар U(t

кездейсоқ процессі үшін каноникалық ыдырауды келесі түрде аламыз:

𝑈(𝑡) = ∑ (𝑚𝑘 𝑢𝑘 + 𝐶𝑘) ∗ 𝜑𝑘(𝑡). (2.18)

(15)

15

(2.18) қатынасы кездейсоқ сигнал үшін (1.1) типті жалпыланған спектрлік көрсету ретінде қарастырылуы мүмкін.

2.3 Стационар кездейсоқ сигналдарды жиіліктік көрсету, дискретті спектрлер

Кездейсоқ процесс T, T уақыттың соңғы интервалында берілген деп болжаймыз. Онда, сәйкес корреляциялық функция Ru  4T интервалында қарастырылуы керек, себебі –T<t1,t2<T кезінде -2T<<2T теңсіздіктері орындалуы тиіс.

Ru 4Т периодпен шартты жалғасады деп есептеп, жазуға болады:

𝑅𝑢(𝜏) = 1

2𝑘=−∞𝐷𝑘 ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝜏; (2.19) 𝐷𝑘 = 1

2𝑇−2𝑇2𝑇 𝑅𝑢(𝜏) ∗ 𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝜏𝑑𝜏 (𝑘 = 0, ±1, ±2, … ), (2.20) мұндағы

1=2π/(4T)=π/(2T).

Ru жұп функция екенін ескеріп, (2.20) келесі түрде жазуға болады:

𝐷𝑘 = 1

𝑇02𝑇𝑅𝑢(𝜏) ∗ 𝑒−𝑗𝑘𝜔𝑡. (2.19)   t1- t2 қойып, аламыз:

𝑅𝑢(𝑡1, 𝑡2) = 1

2𝑘=−∞𝐷𝑘 ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡1𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝑡2. (2.21) Соңғы өрнекті (2.15) салыстырып, (2.21) корреляциялық функцияның каноникалық ыдырауының мәні екенін байқауға болады. Жоғарыда айтылғандай, оған центрлендірілген кездейсоқ процестің каноникалық ыдырауы сәйкес:

𝑈(𝑡) =̇ 1

2𝑘=−∞𝐶𝑘 ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝑡, (2.22) мұндағы

𝐶𝑘: 𝑀{[𝐶𝑘]2} = 𝐷𝑘.

Жалпы жағдайда (2.22) оң жағына стационар кездейсоқ процестің математикалық күтімін- mu қосу керек.

Әртүрлі таңба индекстары бар абсолют шамалары бірдей экспоненциалды құраушыларды біріктіргенде стационарлы кездейсоқ шама уақыттың шектеулі интервалында гармоникалардың суммасы болып қалады.

𝑈(𝑡) = 𝑚𝑢𝑘=1(𝑎𝑘cos 𝑘 𝜔1𝑡 + 𝑏𝑘sin 𝑘 𝜔1𝑡), (2.23) мұндағы

(16)

16

𝜔1 = 𝜋

(2𝑇), 𝑚𝑢 = 𝑀{𝑈(𝑡)},

𝑀{𝑎𝑘} = 𝑀{𝑏𝑘} = 0 , 𝑀{[𝑎𝑘]2 } = 𝑀{[𝑏𝑘]2} = 𝐷𝑘.

(2.23) тригонометриялық формада спектрлік ыдырау көрсетуінен спектрлік сызықты болатынын көруге болады, яғни спектрлік диаграммадағы әр гармоникаға ұзындығы амплитуданың дисперсиясына Dk пропорционал вертикаль кесінді сәйкес болады.

2.4 Стационар кездейсоқ процестерді жиіліктік көрсету, үздіксіз спектрлер

Кез келген   t  кезінде стационар кездейсоқ процесті сипаттау үшін интегралды каноникалық ыдырау құрастырамыз. Ол үшін (2.19) формуласын өзгертеміз:

𝑅𝑢(𝜏) = 1

2𝐷𝑘

∆𝜔𝑒𝑗𝑘𝜔𝑡𝜏∆𝜔

𝑘=−∞ , (2.24) мұндағы =k+1-k=/2T – көрші гармоникалар арасындағы жиіліктер интервалы. Белгілейміз:

𝑆𝑢(𝑘𝜔1) = 𝐷𝑘

∆𝜑 =2𝑇

𝜋 𝐷𝑘. (2.25) Suk1 функциясын стационар процестің дисперсиясының орташа тығыздығы деп атайды. Бұл дисперсия көрші гармоникалар арасындағы жиіліктік интервал ұзындығының бірлігіне сәйкес.

(2.25) ескеріп, (2.24) формуласы келесі түрге ие болады:

𝑅𝑢(𝜏) = 1

2𝑘=−∞𝑆𝑢(𝑘𝜔1) ∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔1𝜏∆𝜔 . (2.26) Dk үшін өрнекті (2.20)-дан (2.25)-ке қойып жазуға болады:

𝑆𝑢(𝑘𝜔1) = 1

𝜋−2𝑇2𝑇 𝑅𝑢(𝜏) ∗ 𝑒−𝑗𝑘𝜔1𝜏𝑑𝜏. (2.27) Ары қарай, T   кезінде (2.26), (2.27) шектік ауысуын жүзеге асырамыз. Бұл ретте қосынды интегралға өтеді.

𝑆𝑢(𝑘𝜔1) → 𝑆𝑢(𝜔), 𝑘𝜔1 → 𝜔, ∆𝜔 → 𝑑𝜔 .

Нәтижесінде аламыз:

𝑅𝑢(𝜏) = 1

2−∞ 𝑆𝑢(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔; (2.28) 𝑆𝑢(𝜔) = 1

𝜋−∞ 𝑅𝑢(𝜏) ∗ 𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏. (2.29)

(17)

17

(2.28)-де болған 𝑆𝑢(𝜔) ∗ 𝑑𝜔 шама (2.25) енгізген белгілену бойынша,

, d  жиілік интервалындағы спектрлік құраушыларға келетін дисперсия болып табылады. Жиілік бойынша кездейсоқ процестің дисперсиясының таралуын көрсететін Su  функциясы стационар кездейсоқ процестің спектрлік тығыздығы деп атайды.

(2.21)-ге ұқсас Ru  корреляциялық функциясының интергралды каноникалық ыдырауының өрнегін (2.28)-ге  t1- t2 қойып жазуға болады:

𝑅𝑢(𝜏) = 1

2−∞ 𝑆𝑢(𝜔) ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑡1𝑒−𝑗𝜔𝑡2𝑑𝜔. (2.30) Корреляциялық функцияның ыдырауы сияқты кездейсоқ процестің ыдырауын тұрғызуға болады. Бұл үшін (2.22) формуласын келесі түрде көрсетуге болады:

𝑈̇(𝑡) =1

2𝐶𝑘

∆𝜔∗ 𝑒𝑗𝑘𝜔𝑘𝑡∆𝜔

𝑘=−∞ .

Ары қарай 𝐺𝑢(𝜔𝑘) = 𝐶𝑘/∆𝜔 белгіленуін енгіземіз және (2.26), (2.27) жасағандай T   кезіндегі шектік ауысуды жүзеге асырамыз. Нәтижесінде стационар кездейсоқ функцияның каноникалық ыдырауын аламыз.

𝑈̇(𝑡) = 1

2−∞ 𝐺𝑢(𝜔) ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔. (2.31) Корреляциялық функцияның ыдырауы (2.21) және (2.22) кездейсоқ процесстің ыдырауы арасындағы жоғарыда айтылған сәйкестік есебінде, (2.31)-дегі Gu() d дисперсиясы Su)d кездейсоқ функция болып табылады, ол жиілік ,+ d интервалындағы спектрлік құраушыларға сәйкес.

2.5 Қуаттың спектрлік тығыздығы

Оң жиіліктер үшін бір жақты спектрге өтеміз. Эйлер формуласын қолданып (2.29) екі құраушы түрінде көрсетеміз:

𝑆𝑢(𝜔) = 2

𝜋∫ 𝑅𝑢(𝜏) ∗ cos 𝜔 𝜏 𝑑𝜏 − 𝑗

𝜋−∞ 𝑅𝑢(𝜏) ∗ sin 𝜔𝜏 𝑑𝜏

0 .

Ru жұп функция болғандықтан, екінші құраушы нөлге тең, ал бірінші интегралды оң жиіліктер үшін жазуға болады:

𝑆𝑢(𝜔) = 2

𝜋∫ 𝑅0 𝑢(𝜏) ∗ cos 𝜔 𝜏 𝑑𝜏. (2.32)

(18)

18

Осыдан, жеке жағдайда, Su  нақты және оң функция екені шығады.

Сондықтан, (2.28)-де де оң жиіліктермен шектелуге болады:

𝑅𝑢(𝜏) = ∫ 𝑆0 𝑢(𝜔) ∗ cos 𝜔𝜏 ∗ 𝑑𝜔. Көрші теңдікте   0 қойып, аламыз:

𝑅𝑢(0) = 𝐷𝑢 = ∫ 𝑆0 𝑢(𝜔) ∗ 𝑑𝜔. (2.33) Дисперсия сигналдың қуатын сипаттайтындықтан:

𝐷𝑢 = 𝑀 {[𝑈̇]2} = 𝑃𝑢,

жиі Su  спектрік тығыздығын қуаттың спектрлік тығыздығы деп атайды.

3 Дәріс №3. Үздіксіз сигналдарды дискреттіге түрлендіру

3.1 Дискреттеу есебін тұжырымдау

Сигналды дискреттеу – үздіксіз аргумент функциясын дискретті уақыт функциясына түрлендіру. Оның мәні ut үздіксіз сигналын координаталар жиынына ауыстыруда:

[𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑁] = 𝐴[𝑢(𝑡)], (3.1) мұндағы A – бір оператор.

Жүзеге асырудың жеңілдігі жағынан сызықты операторларды пайдаланған жөн. Көп жағдайда, сигналдардың координаталарын анықтау үшін қатынасты қолданған ыңғайлы:

𝐶𝑖 = 𝐴𝑢(𝑡) = ∫ 𝜑𝑇 𝑖(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡)∗ 𝑑𝑡, (3.2)

мұндағы 𝜑𝑖(𝑡), 𝑖 = 1, 𝑁 – берілген базистік (көп жағдайларда ортогональ пайдаланылуы мүмкін) функциялар.

Басқару мақсатында дискретті сигналдарды келесі қолдануда оны кейбір берілген операторды пайдаланып қалпына келтіруді жүзеге асырады:

𝑢(𝑡) = 𝐵̇ [𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑁]. (3.3) Егер сигналды дискреттеу (3.2) түрдегі оператормен жүзеге асырылса, (1.1) сай үздіксіз сигналды қалпына келтіру үшін операторды қолдануға болады

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Тәуекел-менеджменті жүйесін қолдану ұйымға тиімді басқаруға және қабылдауға бола- тындай тәуекелдік деңгейін қамтамасыз ету үшін ресурстарды басымды бағыттар

Олардың негізі үшөлшемді модельдеу, анимация, визуализация жəне эффектілер құруға арналған толық функционалды шешім бола алады.. Шынайы

 alink – белсенді сілтеменің, яғни тышқан көрсетіп тұрған сілтеме түсін анықтайды. Осы атрибуттардың әрқайсысының мәні ретінде не түс

Олар əшекей үшін де, безендіру үшін, қандай да бір белгілі эмоцияны тудыру үшін қолданылуы мүмкін немесе қандай да бір ерекше мəнге ие бола

3) ІІ санаттағы: &#34;өнер және мәдениет&#34; немесе &#34;іс жүргізу және мұрағаттану&#34; мамандықтар тобы бойынша техникалық және кәсіби, орта

Жойылу коэффициенті (К жой. ) – бұған өндірісте ұзақ уақыт пайдалануына байланысты, яғни толықтай тозуына немесе жа- рамсыз болуына

Коммерциялық емес акционерлік қоғам ДИСКРЕТТІ ЖҤЙЕЛЕРДІҢ ҤЛГІЛЕРІ ЖӘНЕ ӘДІСТЕРІ 5В070300- Ақпараттық жҥйелер мамандығы бойынша оқитын студенттер ҥшін есептеу-сызба жҧмыстарды

Тілдік тосқауыл бар жерде, яғни ол әртүрлі тілде сөйлейтін екі достың әңгімелесуінен бастап, Ғаламторға дейін болуы мүмкін және оны жеңу үшін тек аударма ғана көмектесе алады.. Аударма