ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері

1

Коммерциялық емес ақционерлік қоғам

АҚПАРАТТЫ ЖИНАУ ЖӘНЕ ТАСЫМАЛДАУ НЕГІЗДЕРІ 5В070200- Автоматтандыру және басқару мамандығының

студенттері үшін дәрістер жинағы

Алматы 2019

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА

ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ УНИВЕРСИТЕТІ Автоматтандыру және басқару кафедрасы

2

ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ш.Н. Сагындыкова. Ақпаратты жинау және тасымалдау негіздері. 5В070200 - Автоматтандыру және басқару мамандығының студенттері үшін дәрістер жинағы. – Алматы: АЭжБУ, 2019. – 71 б.

Дәрістер жинағында сигналдардың моделдері, ақпарат пен кодтау теориясының негіздері, сонымен қатар ақпаратты қабылдау мен өңдеудің кейбір мәселелері қарастырылады.

Дәрістер жинағы 5В070200 - Автоматтандыру және басқару мамандығының оқу түрінің барлық формасындағы студенттері үшін арналған.

Рецензент: аға оқытушы, т.ғ.к. Тергемес К.Т.

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2019 ж. басылу жоспары бойынша басылады.

© «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2019 ж.

3

1 Дәріс №1. Детерминирленген сигналдардың моделдері

1.1 Сигнал моделінің түсінігі

Ақпаратты кеңістікте және уақыт бойынша тасымалдау үшін ол хабарлама түрінде көрсетіледі. Мазмұнына тәуелсіз түрде хабарлама әрқашан сигнал түрінде бейнеленеді. Хабарлама мен сигнал арасындағы сәйкестікті қамтамасыз ететін белгілі бір ереже бойынша сигналды құрастыру кодтау деп аталады.

Кең мағынада кодтау- хабарламаны сигналға түрлендіру. Тар мағынада кодтау- символдар деп аталатын бастапқы белгілерді, белгілер саны аз басқа алфавитте көрсету. Ол сенімділігін арттыру және байланыс каналдары бойынша тасымалдауға ыңғайлы түрге сигналдарды түрлендіру үшін жүзеге асырылады.

Сигналдар уақыт және т.б. мәндері бойынша үздіксіз және дискретті болуы мүмкін, яғни сигналдың төрт типінің біреуі мүмкін:

- үздіксіз (көп мәндер және уақыт бойынша);

- көп мәндер бойынша үздіксіз, уақыт бойынша дискретті;

- көп мәндер бойынша дискретті, уақыт бойынша үздіксіз;

- дискретті (көп мәндер және уақыт бойынша).

Кейде теорияда уақыт және мәндері бойынша үздіксіз, бірақ параметрлері бойынша дискретті сигналдарды қарастырады.

Сигналды тасушы әрқашан объект немесе процесс, алайда сигналдың математикалық моделі оның физикалық табиғатынан абстракцияланады және зерттелетін оқиғаның көзқарасынан елеулі сипаттарын ескереді. Сигналдың моделі шынайы объектілердің физикалық қасиеттерімен үйлеспеуі мүмкін.

Мысалы, гармоникалық фукнциялардың шексіз санының қосындысы түріндегі сигналдың математикалық моделі практикада жүзеге асырылмайды, алайда бұл абстракция маңызды заңдылықтарды анықтауға мүмкіндік береді.

Шынайы ақпарат жүйелерінде қабылдаушыға белгісіз ақпаратты ғана тасымалдау жүзеге асады. Сондықтан әрбір хабарламаның ықтималдығын ғана ғана алдын-ала болжауға болады, ал сигналдық аналитикалық моделі кездейсоқ процесс бола алады. Дегенмен, кездейсоқ сигналдарды оқу үшін орындалулардың жиынының (ансамблінің) элементтері ретінде қарастырылатын детерминирленген сигналдардың анализі қажет. Осы тарауда детерминирленген сигналдардың моделдері қарастырылады.

1.2 Детерминирленген сигналдарды жалпыланған спектрлік көрсету

u(t) күрделі сигналының сызықты жүйе арқылы өтуін анализдеу үшін ол келесі түрде көрсетіледі:

𝑢(𝑡) = ∑^𝑛_𝑘=1𝑐_𝑘𝜑_𝑘(𝑡), 𝑡[𝑡₁, 𝑡₂], (1.1)

4

мұндағы 𝜑_𝑘(𝑡)- базистік функциялар;

𝑐_𝑘 – өлшемсіз коэффиценттер.

𝑐_𝑘 сигналдың дискретті спектрі деп аталады. [𝑡₁, 𝑡₂] интервалының шегінен тыс (1.1) сигналы шартты сүрелі болып саналады. Есептер қатарын қарастырған кезде осындай жорамал қателік болуы мүмкін. Ақыры ұзындықты сигналдарды көрсету үшін интеграл қолданылады:

𝑢(𝑡) = ∫_−∞ ^∞ 𝑆() ∗ 𝜑(, 𝑡)𝑑, (1.2) мұндағы S  – үздіксіз спектрді сипаттайтын спектрлік тығыздық;

,t – параметріне тәуелді базистік функция.

(1.1) және/немесе (1.2) түрінде сигналды көрсетуде пайдаланылатын әдістер жиынтығын сигналдардың жалпыланған спектрлік теориясы деп атайды. Бұл ретте пайдаланылатын базистік функциялардың түрімен ерекшелінетін жеке жағдайлар қарастырылады. Базистік функцияларға қойылатын негізгі талап- 𝑐_𝑘 коэффициенттерін есептеу жеңілдігі. Бұл талапқа [𝑡₁, 𝑡₂] кесіндісінде ортогональ базистік функциялар сай, олар келесі шартты орындайды:

∫ 𝜑_𝑘(𝑡) ∗ 𝜑_𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = {0, егер 𝑗 ≠ 𝑘, 𝜇, егер 𝑗 = 𝑘.

𝑡₂

𝑡₁ (1.3)

Егер барлық 𝜑_𝑗(𝑡) көбейтсе, j = 1,n на ¹

√𝜇−де j = 1,n , онда j =k кезінде

∫ 𝜑_𝑡2^𝑡1 𝑘(𝑡) ∗ 𝜑_𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = 1. (1.4) Осындай функциялар жүйесін ортонормаландырылған деп атайды.

Базистік функциялар (1.4) шартын орындайды делік.

(1.1) екі бөлігін 𝜑_𝑗(𝑡) көбейтеміз және [𝑡₁, 𝑡₂] интервалында интегралдаймыз:

∫ 𝜐(𝑡)𝜑𝑗𝑑𝑡 = ∫ ∑ 𝑐𝑘𝜑_𝑘(𝑡)𝜑_𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = ∑ 𝑐𝑘 ∫ 𝜑𝑘(𝑡)𝜑_𝑗𝑑𝑡.

𝑡2

𝑡1 𝑛

𝑘=1 𝑛

𝑘=1 𝑡2 𝑡1 𝑡2

𝑡1

(1.3) есебінен соңғы теңдеудің оң жағынжағы барлық интегралдар j ≠k кезінде нөлге тең. Сондықтан, (1.4) есепке алғанда:

𝑐_𝑘 = ∫ 𝜐(𝑡)𝜑_𝑡1^𝑡2 _𝑘(𝑡)𝑑𝑡 . (1.5)

5

Соңғы теңдеуден 𝑐_𝑘 коэффициенттері 𝑘 =1,n тең.

Бір-бірінен тәуелсіз есептеле алады, ал оларды есептеудің күрделілігі базистік функциясының аналитикалық өрнегінің түрімен анықталады. (1.3), (1.4) шарттарымен байланысты көрсетілген қасиет сигналдардың қасиеттерін зерттегенде ортогонал функцияларды кең қолдану себебі болып табылады.

Сонымен қатар, ортогонал функциялардың келесі жүйелері қолданылады:

тригонометриялық функциялар жүйесі, Хаардың функциялар жүйесі, Лежандр көпмүшелері, Лаггер көпмүшелері, Чебышев көпмүшелері, Эрмит көпмүшелері және т.б.

1.3 Сигналдарды көрсетудің уақыттық формасы

ut кез келген функциясын (үздіксіз сигналды) уақыттың осы мезетінде сигналдың мәніне тең амплитудасы бар ұзақтығы шексіз аз, бір-біріне жалғасқан импульстердің жиыны түрінде көрсетуге болады:

𝑢(𝑡) = ∫_−∞^∞ 𝑢(𝜏) ∗ 𝛿(𝜏 − 𝑡) ∗ 𝑑𝜏, (1.6) мұндағы 𝛿(𝜏 − 𝑡) = {∞, 𝑡 = 𝜏 кезінде,

0, 𝑡 ≠ 𝜏 кезінде. ∫_−∞^∞ 𝛿(𝜏 − 𝑡) ∗ 𝑑𝜏 = 1. (1.6)-ны көрсету 𝛿(𝜏 − 𝑡) базистік функциясы бар (1.2) жалпыланған спектрлік көрсетудің жеке жағдайы екенін байқау қиын емес.

Дельта-функцияны қолданып дискретті тор функцияны тұрғызуға болады:

𝑢_𝑔(𝑡) = ∑^∞_𝑘=−∞𝑢(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡 − 𝑘t). (1.7) 𝑡 = 𝑘t нүктелерінде 𝑢_𝑔(𝑡) функциясы 𝑢(𝑘t)-ға тең, мұндағы t- импульстердің және басқа нүктелерде нөлдің өту периоды. (1.7)-де қосындылау шегі (1.1)-дегіндей физикалық өткізімділігінің шарттарына негізделіп, ақырғы болып орнатылуы мүмкін.

1.4 Периодты сигналдарды жиіліктік көрсету

Базистік функциялары ретінде 𝑝 = ±𝑗𝜔 кезіндегі 𝜑(𝑡) = 𝑒^𝑝𝑡 пайдаланылатын детерминирленген сигналдарды көрсетуді қарастырамыз.

Осындай көрсету Фурье түрлендіруі деп аталады. Эйлер формуласы 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = (𝑒^𝑗𝜔𝑡+ 𝑒^{−𝑗𝜔𝑡})/2 себебінен Фурье түрлендіруі күрделі сигналды гармоникалардың қосындысы түрінде көрсетуге мүмкіндік береді.

[𝑡₁, 𝑡₂] интервалында сигналдың детерминирленген жүзеге асуын сипаттайтын 𝑢(𝑡) функциясы Дирихле шарттарын қанағаттандырады (үздіксіз немесе бірінші түрдегі ажырау нүктелерінің ақырғы саны бар, сонымен қатар

6

экстремумдардың ақырғы саны) және 𝑡 ∈ (−∞, +∞) кезіндегі 𝑇 = 𝑡₂− 𝑡₁ периодпен қайталанады. Жоғарыда көрсетілген 𝜑(𝑡) = 𝑒^{±𝑗𝜔𝑡} базистік функциясын пайдаланып 𝑢(𝑡) функциясын келесі түрде көрсетуге болады:

𝑢(𝑡) = ¹

2∑^∞_𝑘=−∞𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) ∗𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}, (1.8) мұндағы

𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) = ²

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒_𝑡1^{𝑡2 𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡, (1.9) ал период 𝑇 = 𝑡₂− 𝑡₁ = 2𝜋/𝜔₁.

Осы спектрлік көрсетуде 𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) коэффициенттерін 𝑢(𝑡) периодты сигналының кешенді спектрі, ал нақты k үшін 𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) мәнін кешенді амплитуда деп атайды. Кешенді спектр дискретті, бірақ 𝑘𝜔₁ = 𝜔 ауыстырып, жанаушыны тұрғызуға болады:

𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) = ²

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒_𝑡1^{𝑡2 −𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡. (1.10) Әртүрлі кешенді сан сияқты, кешенді спектрді көрсетуге болады:

а) көрсеткіштік формада:

𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) = 𝐴(𝑘𝜔₁) ∗ 𝑒^{−𝑗𝜑(𝑘𝜔1)}, (1.11) мұндағы 𝐴(𝑘𝜔₁) – амплитудалар спектрі, ал 𝜑(𝑘𝜔₁) – фазалар спектрі (сонымен дискретті);

б) алгебралық формада:

𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) = 𝐴_𝑘 − 𝑗𝐵_𝑘, (1.12) Мұндағы 𝐴_𝑘 = ²

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ cos(𝑘𝜔_𝑡1^𝑡2 1𝑡) 𝑑𝑡, 𝐵_𝑘 = ²

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ sin(𝑘𝜔_𝑡1^𝑡2 1𝑡) 𝑑𝑡.

(1.12) көрсетілуі (1.9)-дан Эйлер формуласы бойынша ауыстыру жолымен алынады:

𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡} = cos(𝑘𝜔₁𝑡) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜔₁𝑡).

𝐴(𝑘𝜔₁) = √𝐴_𝑘² + 𝐵_𝑘² , ал

𝜑(𝑘𝜔₁) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (^𝐵𝑘

𝐴_𝑘).

(1.12)-де 𝑘 = 0 кезіндегі 𝐴_𝑘 нақты бөлігін анықтайтын теңдеуден сигналдың тұрақты құраушысы үшін теңдеуді аламыз:

7 𝐴₀

2 = ¹

𝑇∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡._𝑡^𝑡2

1 (1.13)

(1.8)-де кешенді-түйіндес құраушыларды біріктіріп, тригонометриялық формада Фурье қатарын алуға болады:

𝑢(t) =^A0

2 +¹

2∑ [A(jkω₁) ∗ e^jkω1t+ A(−jkω₁) ∗ e^−jkω1t] = ^A0

2 +

∞k=1 1

2∑^∞_k=1[A(kω₁) ∗ e^{j[kω1t−φ(kω1)]}+ A(kω₁) ∗ e^{−j[kω1t−φ(kω1)}] = ^A0

2 +

∑^∞_k=1A(kω₁) cos(kω₁t − φ(kω₁)) . (1.14)

𝐴(𝑘𝜔₁) амплитудаларының және 𝜑(𝑘𝜔₁) фазаларының спектрі әрқайсысы белгілі бір жиілікке сай (қосындының біреуі) сызықтар жиынтығы түріндегі спектрлік диаграмма түрінде көрсетілуі мүмкін. Сондықтан бұл спектрлерді сызық деп атайды. Гармоникалары еселік жиілік емес сызық спектрлері бар сигналдар периодты дерлік деп аталады.

1.5 Периодты сигналдың спектрінде энергияның таралуы

(1.14) сәйкес, Т периодына тең уақытта периодты сигналдың бөлетін энергиясын келесі түрде көрсетуге болады:

∫|𝑢(𝑡)|²𝑑𝑡 = ∫ |𝐴₀ 2 +1

2∑[𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}+ 𝐴(−𝑗𝑘𝜔₁) ∗ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}]

∞

𝑘=1

|

2 𝑇

0 𝑇

0

𝑑𝑡

= 𝐴₀² 2 ∫ 𝑑𝑡

𝑇

0

+ 𝐴₀

2 {∑ 𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) ∫ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 + ∑ 𝐴(−𝑗𝑘𝜔₁) ∫ −𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡

𝑇

0

∞

𝑘=1 𝑇

0

∞

𝑘=1

}

+1

2∑ ∑ 𝐴(𝑗𝑘𝜔₁)𝐴(−𝑗𝑙𝜔₁) ∫ 𝑒^{𝑗(𝑘−1)𝜔1𝑡}

𝑇

0

𝑑𝑡.

∞

𝑘=1

∞

𝑘=1

Келесіні көрсетуге болады:

∫ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}

𝑇

0

𝑑𝑡 = ∫ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 = 0, 𝑎 ∫ 𝑒^{𝑗(𝑘−1)𝜔1𝑡}

𝑇

0

𝑑𝑡 = {0 , 𝑘 ≠ 𝑙 кезінде, 𝑇 , 𝑘 = 𝑙 кезінде.

𝑇

0

Осыны есепке ала, соңғы алатынымыз

8

∫ |𝑢(𝑡)|²𝑑𝑡 = ^𝑇

2[^𝐴02

2 + ∑^∞_𝑘=1|𝐴(𝑗𝑘𝜔₁)|²]

𝑇

0 . (1.15)

Күрделі периоды сигналдың периодтағы орташа энергиясы әр гармоника бөлетін орташа энергиялардың қосындысына тең екені (1.15)-тен шығады.

1.6 Периодты емес сигналдарды жиіліктік көрсету

Шынайы периодты емес функцияға сәйкес 𝑢(𝑡) Дирихле шарттарын орындайды және абсолютті интегралданады деп болжаймыз:

∫ |𝑢(𝑡)| ∗ 𝑑𝑡 < ∞

∞

−∞

.

Онда ut периоды емес сигналын спектрік көрсетуді периодты сигналдың периодын шексіздікке дейін үлкейту арқылы тұрғызуға болады. Ол үшін келесіні жасаймыз.

Периоды сигналдың 𝐴(𝑗𝑘𝜔₁) кешенді амплитудасы үшін (1.9) өрнегін (1.8)-ге қоямыз. 𝑇 = 2𝜋/𝜔₁ екенін ескере отырып, аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2∑ [𝜔₁

𝜋 ∫ 𝑢(𝑡) ∗

𝑡₂

𝑡₁

𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡] ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}.

∞ 𝑘=−∞

Ары қарай T   кезіндегі шектік ауысуды жүзеге асырамыз. Бұл ретте қосынды интегралға көшеді:

𝜔₁ = 𝜔  𝑑𝜔, 𝑘𝜔₁ω.

Нәтижесінде аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ [ ∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

] ∗

∞

−∞

𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔.

Тік жақшалардағы интеграл үшін соңғы теңдеуде 𝑆(𝑗𝜔) белгіленуін енгізіп, Фурьенің екі түрлендіруін жазамыз:

𝑢(𝑡) = ¹

2𝜋∫_−∞^∞ 𝑆(𝑗𝜔) ∗𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ; (1.16) 𝑆(𝑗𝜔) = ∫_−∞^∞ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡. (1.17) 𝑆(𝑗𝜔) кешенді функциясын кешенді спектрлік тығыздық немесе спектрлік сипаттама деп атайды. Периодты сигнал жағдайындағындай, периоды емес сигналға спектрлік сипаттаманың келесі көрсетулері орын алады:

9

а) көрсеткіштік форма:

𝑆(𝑗𝜔) = 𝑆(𝜔) ∗ 𝑒^{𝑗𝜑(𝜔)}, (1.18) мұндағы 𝑆(𝜔) = |𝑆(𝑗𝜔)| – амплитудалардың спектрлік тығыздығы;

𝜑(𝜔)   – фазалар спектрі;

б) алгебралық форма (ауыстыру арқылы (1.17)-ден алынады):

𝑒^{−𝑗𝜔𝑡} = cos(𝜔𝑡) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡));

𝑆(𝑗𝜔) = 𝐴(𝜔) − 𝑗𝐵(𝜔), (1.19) мұндағы

𝐴(𝜔) = ∫_−∞^+∞𝑢(𝑡) ∗ cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡, 𝐵(𝜔) = ∫_−∞^+∞ 𝑢(𝑡) ∗ sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡. (1.20) Бұл ретте

𝑆(𝜔) = |𝑆(𝑗𝜔)| = √|𝐴(𝜔𝑡)|²+|𝐵(𝜔𝑡)|², 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [^𝐵(𝜔)

𝐴(𝜔)]. (1.21) 𝑆(𝑗𝜔)-ді (1.18)-ден (1.16)-ға қойып аламыз:

𝑢(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ 𝑆(𝜔) ∗ 𝑒^{𝑗[𝜔𝑡−𝜑(𝜔)]}𝑑𝜔 =

∞

−∞

1

2𝜋[ ∫ 𝑆(𝜔) ∗ cos[𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔 + 𝑗 ∫ 𝑆(𝜔) ∗ sin[𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔

∞

−∞

∞

−∞

].

Тақ функцияның екінші интегралы нөлге тең, ал біріншісін (интеграл астындағы функцияның жұптығына байланысты) оң жиіліктер үшін жазуға болады. Осылай, Фурье қатарының тригонометриялық функциясын аламыз:

𝑢(𝑡) = ¹

𝜋∫ 𝑆(𝜔) ∗ cos [𝜔𝑡 − 𝜑(𝜔)]𝑑𝜔₀^∞ . (1.22) Ол айқын физикалық түсіндіру мүмкіндігін береді. Ең соңында тағы бір қызық қасиетті қарастырамыз. (1.17)-ге сәйкес, 𝑡₁, 𝑡₂ интервалында берілген 𝑢(𝑡) функциясы үшін жазуға болады:

𝑆(𝑗𝜔) = ∫ 𝑢(𝑡) ∗_𝑡^𝑡2

1 𝑒^{−𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡. (1.23) (1.10) мен (1.23) оң жақтарын салыстырып, 𝐴(𝑗𝜔) = ²

𝑇∗ 𝑆(𝑗𝜔),теңдеуі орын алатынын байқаймыз, яғни 𝑆(𝑗𝜔) дара импульсі бойынша оның периоды ретінің сызық спектрін тұрғызуға болады.

10

1.7 Периодты емес сигналдың спектрінде энергияны тарату

(1.16) ескере отырып, сигнал бөлетін энергияны сипаттайтын шама үшін өрнекті келесі түрде жазуға болады:

∫ [𝑢(𝑡)]²𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝑡) [ 1

2𝜋 ∫ 𝑆(𝑗𝜔) ∗

∞

−∞

𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔] ∗ 𝑑𝑡

∞

−∞

∞

−∞

.

Интегралдау ретін өзгертіп, соңғы теңдеуді қайта жазамыз:

∫ [𝑢(𝑡)]²𝑑𝑡 = ¹

2𝜋∫_−∞^∞ 𝑆(𝑗𝜔)[∫_−∞^∞ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡] ∗ 𝑑𝜔.

∞

−∞ (1.24)

(1.17) мен (1.24) оң жақтарын салыстырып, (1.24)-тің тік жақшаларындағы өрнек 𝑆(−𝑗𝜔) екенін көреміз, демек

∫ |𝑢(𝑡)|²𝑑𝑡 = ¹

2𝜋∫ |𝑆(𝑗𝜔)|²𝑑𝜔 = ¹

𝜋∫ |𝑆(𝑗𝜔)|₀^{∞ 2}𝑑𝜔.

∞

−∞

∞

−∞ (1.25)

Осы теңдеуге байланысты, бар болу уақытында периоды емес сигнал бөлетін энергияны жиілік интервалында спектрлік сипаттаманың модулінің квадратын интегралдап анықтауға болады.

1.8 Сигналдардың ұзақтығы мен олардың спектрінің ені арасындағы қатынас

Ұзақтығы белгілі 𝑢(𝑡) сигналында 𝑆(𝑗𝜔) спектрлік сипатамасы бар делік. Ұзақтығы  есе өзгертілген 𝑢(𝜆𝑡) сигналы үшін сәйкес 𝑆_𝜆(𝑗𝜔) сипаттамасын табамыз:

S_λ(jω) = ∫ u(λt) ∗ e^jωtdt ∗ e^−jωtdt = ¹

λ∫ u(τ) ∗ e^−jωtλdτ =¹

λS (j^ω

λ),

∞

−∞

∞

−∞ (1.26)

мұндағы 𝜏 = 𝜆𝑡.

 есе қысқартылған (ұзартылған) сигналдың спектрі  есе кең (тар) екені (1.26)-дан көрінеді, бұл ретте 1/ коэффициенті гармоникалардың амплитудасын өзгертеді және спектрдің еніне әсер етпейді. Көрсетілген қасиет t мен  айнымалылары көбейту түрінде Фурьенің тура және кері түрлендіруінің экспоненциалдық функциясы дәрежесінің көрсеткішіне кіретініне байланысты. Осыдан, сигналдың ұзақтығы мен оның спектрінің ені ақырғы интегралмен бір уақытта шектелмейтіні шығады. Сонымен қатар, келесі қатынас орындалады:

11

𝑡 ∗𝑓 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , мұндағы t – импульс ұзақтығы;

f –спектрдің ені.

2 Дәріс №2. Кездейсоқ сигналдардың моделдері

2.1 Кездейсоқ процесс сигналдың моделі ретінде

Ақпаратты тасымалдау мен түрлендіру мәселелерін қарастырған кезде сигналдың ең адекватты моделі кездейсоқ процесс болып табылады, ол үшін жоғарыда қарастырылған детерминирленген функциялар жеке орындалулар ретінде қарастырылады. Кездейсоқ процесс деп уақыттың кездейсоқ функциясын Ut атайды, оның мәндері уақыттың әр моментінде кездейсоқ шама болып табылады. Кездейсоқ процесстер уақыт бойынша және күйлердің жиыны бойынша үздіксіз немесе дискретті бола алады, яғни детерминирленген сигналдармен аналогия бойынша кездейсоқ процесстің төрт типінің біреуі болуы мүмкін:

- үздіксіз кездейсоқ процесс (күйлер көпшілігі- үздіксіздік, ал күйлердің өзгеруі уақыттың кез келген мезетінде болуы мүмкін);

- үздіксіз кездейсоқ реттілік (күйлердің өзгеруіне уақыттың моментінің соңғы немесе есептік санында рұқсат етіледі);

- дискретті кездейсоқ процесс (күйлердің өзгеруі уақыттың кез келген моментінде болуы мүмкін, бірақ күйлердің жиынының соңы бар);

- дискретті кездейсоқ реттілік (соңғы жиынның күйі уақыттың моментінің соңғы немесе есептік санында өзгере алады).

Кездейсоқ процесстің қасиеттерін сипаттау үшін 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑁 уақыт моменттерінде алынған, 𝑈₁ = 𝑈(𝑡₁), 𝑈₂ = 𝑈(𝑡₂), … , 𝑈_𝑁 = 𝑈(𝑡_𝑁) кездейсоқ шамаларының N жүйесінің 𝑝_𝑁(𝑈₁, 𝑈₂, … , 𝑈_𝑁; 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑁) ықтималдықтарының N өлшемді тығыздықтары пайдаланылуы мүмкін. Сондай-ақ, 𝑝₁(𝑈; 𝑡) ықтималдығының бірөлшемді тығыздығы уақыттың кез келген t моментінде кездейсоқ шаманың таралуын сипаттайды, ал 𝑝₂(𝑈₁, 𝑈₂; 𝑡₁, 𝑡₂) екі өлшемді тығыздық уақыттың кез келген 𝑡₁, 𝑡₂ моменттерінде кездейсоқ шамалардың бірлескен орындалуының ықтималдығын береді. Келесі қатынас орын алады:

𝑝₁(𝑈₁; 𝑡₁) = ∫_−∞^∞ 𝑝₂(𝑈₁, 𝑈₂; 𝑡₁, 𝑡₂) ∗ 𝑑𝑈₂. (2.1) Реті жоғары ықтималдықтың тығыздығымен операция жасау өте күрделі. Сондықтан, кездейсоқ процестің сипаттамасы үшін бірінші және екінші ретті моменттік функцияларды қолданады: математикалық күтім, дисперсия және корреляциялық функция. U(t) кездейсоқ процесінің математикалық күтімі деп 𝑚_𝑢(𝑡) уақыттың кездейсоқ емес функциясын атайды, оның мәні уақыттың әр моментінде кездейсоқ процестің сәйкес қимасында кездейсоқ шаманың математикалық күтіміне тең.

12

𝑚_𝑢(𝑡) = 𝑀{𝑈(𝑡)} = ∫_−∞^∞ 𝑈 ∗ 𝑝₁(𝑈; 𝑡) ∗ 𝑑𝑈, (2.2) мұндағы 𝑝₁(𝑈; 𝑡) −ықтималдықтың бірөлшемді тығыздығы.

Ut кездейсоқ процесінің дисперсиясы деп 𝐷_𝑢(𝑡) уақыттың кездейсоқ функциясын атайды, оның мәні уақыттың әр моментінде кездейсоқ процестің сәйкес қимасында кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең:

𝐷_𝑢(𝑡) = 𝑀{[𝑈(𝑡)]²} = ∫ [𝑈(𝑡) − 𝑚_−∞^∞ 𝑢(𝑡)]²∗ 𝑃₁(𝑈; 𝑡), (2.3) мұндағы 𝑈(𝑡) = 𝑈(𝑡) − 𝑚_𝑢(𝑡) − 𝑡 қимасындағы центрлендірілген кездейсоқ шама.

𝑈(𝑡) кездейсоқ процесінің корреляциялық (автокорреляциялық) функциясы деп 𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) екі аргументтің кездейсоқ емес функциясын атайды, 𝑡₁, 𝑡₂ ерікті алынған мәндерінің әрбір жұбы үшін кездейсоқ процесстің сәйкес қимасының корреляциялық моментіне тең:

𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) = 𝑀{Ů(𝑡₁)Ů(𝑡₂)} =

∫_−∞^∞ ∫_−∞^∞ Ů(𝑡₁)Ů(𝑡₂) ∗ 𝑝₂(𝑈₁, 𝑈₂; 𝑡₁, 𝑡₂) ∗ 𝑑𝑈₁𝑑𝑈₂, (2.4) мұндағы Ů(𝑡₁) = [𝑈(𝑡₁) − 𝑚_𝑢(𝑡₁)], Ů(𝑡₂) = [𝑈(𝑡₂) − 𝑚_𝑢(𝑡₂)].

Көп жағдайда нормаланған автокорреляциялық функцияны пайдаланған ыңғайлы:

𝜌_𝑢 (𝑡₁, 𝑡₂) = 𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂)/(𝜎_𝑢(𝑡₁) ∗ 𝜎_𝑢(𝑡₂)), (2.5)

мұндағы 𝜎_𝑢(. ) = √𝐷_𝑢(. ).

Еркін t=t1=t2 кезінде (2.4) автокорреляциялық функциясы (2.3) дисперсиясына түрленеді: 𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) = 𝐷_𝑢(𝑡), ал сәйкес нормаланған автокорреляциялық функция (2.5) бірге тең.

Екі кездейсоқ процестер арасындағы байланысты сипаттау үшін, мысалы 𝑈(𝑡) мен 𝑉(𝑡), өзара корреляция функциясын қарастырады:

𝑅_𝑢𝑣(𝑡₁, 𝑡₂) = 𝑀[𝑈̇(𝑡₁) 𝑉̇(𝑡₂)]. (2.6)

Көрсетілген сипаттамалардың уақыт бойынша құбылмалылығы тұрғысынан стационарлы және стационарлы емес кездейсоқ процесстерді бөледі. Тар мағынада U t процессін стационарлы деп аталады, егер оны сипаттайтын ықтималдықтар тығыздығы уақыттың басталуына тәуелді болмаса.

Кең мағынада кездейсоқ процесті стационарлы деп атайды, егер

𝑚_𝑢(𝑡) = 𝑚_𝑢 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡; (2.7) 𝐷_𝑢(𝑡) = 𝐷_𝑢 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡; (2.8)

13

𝑅_𝑢(𝑡, 𝑡 + 𝜏) = 𝑅_𝑢(𝜏), (2.9) яғни, математикалық күтім (2.2) мен дисперсия (2.3) тұрақты, ал корреляциялық функция уақыттың басталуына тәуелді емес және    t2- t1

бір аргументінің функциясы болып табылады. (2.8) дисперсияның тұрақтылық шарты жеке жағдай ретінде,   0 кезінде (2.9) корреляциялық функцияға қойылатын талабынан шығады:

𝐷_𝑢(𝑡) = 𝑅_𝑢(𝑡, 𝑡) = 𝑅_𝑢(0) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡.

Әдетте, стационарлық процесс эргодикалық болып табылады, яғни жүзеге асырулар ансамблі бойынша орташа бір ұзын жүзеге асырудың уақыты бойынша орташаға тең:

𝑚_𝑢= lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ 𝑢(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 =;₀^𝑇 (2.10) 𝐷_𝑢 = lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ [𝑢(𝑡) − 𝑢₀^𝑇 ₀]² ∗ 𝑑𝑡; (2.11) 𝑅_𝑢(𝜏) = lim

𝑇→∞

1

𝑇∫ [𝑢(𝑡) − 𝑢^𝑇 ₀] ∗ [𝑢(𝑡 + 𝜏) − 𝑢₀]

0 ∗ 𝑑𝑡, (2.12)

мұндағы u(t –U(t кздейсоқ процесін бір жүзеге асыру.

2.2 Кездейсоқ сигналдарды спектрлік көрсету

Детерминирленген сигналдар сияқты кездейсоқ процесс спектрлік құраушылардың қосындысы ретінде көрсетілуі мүмкін. Ол үшін U (t

кездейсоқ процестерінің каноникалық ыдырауы қолданылады:

𝑈(𝑡) = 𝑚_𝑢(𝑡) + ∑ 𝐶_𝑘 ∗ 𝜑_𝑘(𝑡), (2.13) мұндағы 𝑚_𝑢(𝑡) – кездейсоқ процесстің математикалық күтімі (2.2);

𝜑_𝑘(𝑡)– кездейсоқ емес базистік (координаталық) функциялар;

𝐶_𝑘 – математикалық күтімі нөлге тең және Dk дисперсиясы бар корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар, яғни

𝑀[𝐶_𝑘𝐶_𝑙] = {𝐷_𝑘 егер 𝑘 = 𝑙

0 егер 𝑘 ≠ 𝑙 . (2.14)

𝐶_𝑘 ∗ 𝜑_𝑘(𝑡) құрастырушыларын элементар кездейсоқ процестер деп атайды. Осындай процестің кездейсоқтығы 𝐶_𝑘 кездейсоқ шамасы арқылы білінеді, оны каноникалық ыдырау коэффициенті деп атайды.

(2.13) каноникалық ыдырауы арқылы көрсетілген U(t кездейсоқ процессінің корреляциялық функциясын табамыз:

14

𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) = 𝑀[𝑈̇(𝑡₁) ∗ 𝑈̇(𝑡₂)] = 𝑀[∑ 𝐶_{𝑘 𝑘}𝜑_𝑘(𝑡₁) ∑ 𝐶_{𝑙 𝑙}𝜑_𝑙(𝑡₂)] =

∑_𝑘,𝑙𝑀[𝐶_𝑘𝐶_𝑙]𝜑_𝑘(𝑡₁)𝜑_𝑙(𝑡₂).

Болжам бойынша, Сk Сl- корреляцияланбаған, (2.14) шартын есепке ала, корреляцияланған функцияның өрнегі келесі түрге енеді:

𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) = ∑ 𝜑_{𝑘 𝑘}(𝑡₁) ∗ 𝜑_𝑘(𝑡₂) ∗ 𝐷_𝑘 . (2.15) (2.15) қосындысы түрінде корреляциялық функцияны көрсетуді U(t

кездейсоқ процессінің корреляциялық функциясының каноникалық ыдырауы деп атайды.

(2.13) кездейсоқ процестің каноникалық ыдырауына (2.15) корреляциялық функциясының каноникалық ыдырауы сәйкес келетіні [8]

дәлелденді. Кері пайымдау да дұрыс: (2.15) түріндегі корреляциялық функцияның ыдырауына центрлендірілген кездейсоқ процесстің каноникалық ыдырауы сәйкес.

(2.15) өрнегінде t1=t2=t деп, кездейсоқ процесстің дисперсиясы үшін формуланы аламыз:

𝐷_𝑢(𝑡) = 𝑅_𝑢(𝑡, 𝑡) = ∑ [𝜑_{𝑘 𝑘}(𝑡)]². (2.16) Осылайша, координаталық функциялардың таңдалған жинағында центрлендірілген кездейсоқ процесс ыдырау коэффициенттерінің дисперсиялар жиынтығынмен сипатталады, оны кездейсоқ процесстің жалпыланған спектрі деп қарастырса болады.

(2.13), (2.15) және/немесе (2.16) көрсетулерін құрастыру үшін Сk

корреляцияланбаған кездейсоқ шамалардың 𝜑_𝑘(𝑡) координаталық функцияларын ату керек, ол көп жағдайларда елеулі қиындықтар туғызады.

Егер 𝜑_𝑘(𝑡)- ортогональ координаталық функциялар болса, ал

∫_−𝑟/2^𝑟/2 𝑚_𝑢²(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 < ∞, Т интервалындағы mu(t кездейсоқ емес функциясын (1.1) ұқсас ыдыратуға да болады:

𝑚_𝑢(𝑡) = ∑ 𝑚_{𝑘 𝑢𝑘}𝜑_𝑘(𝑡), (2.17) мұндағы

𝑚_𝑢𝑘 = ∫_−𝑇/2^𝑇/2 𝑚_𝑢(𝑡) ∗ 𝜑_𝑘(𝑡)𝑑𝑡.

mu (t (2.17)- ден (2.13)-ке қойып, нөлден өзгеше орташа мәні бар U(t

кездейсоқ процессі үшін каноникалық ыдырауды келесі түрде аламыз:

𝑈(𝑡) = ∑ (𝑚_{𝑘 𝑢𝑘} + 𝐶_𝑘) ∗ 𝜑_𝑘(𝑡). (2.18)

15

(2.18) қатынасы кездейсоқ сигнал үшін (1.1) типті жалпыланған спектрлік көрсету ретінде қарастырылуы мүмкін.

2.3 Стационар кездейсоқ сигналдарды жиіліктік көрсету, дискретті спектрлер

Кездейсоқ процесс T, T уақыттың соңғы интервалында берілген деп болжаймыз. Онда, сәйкес корреляциялық функция Ru  4T интервалында қарастырылуы керек, себебі –T<t1,t2<T кезінде -2T<<2T теңсіздіктері орындалуы тиіс.

Ru 4Т периодпен шартты жалғасады деп есептеп, жазуға болады:

𝑅_𝑢(𝜏) = ¹

2∑^∞_𝑘=−∞𝐷_𝑘 ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝜏}; (2.19) 𝐷_𝑘 = ¹

2𝑇∫_−2𝑇^2𝑇 𝑅_𝑢(𝜏) ∗ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝜏}𝑑𝜏 (𝑘 = 0, ±1, ±2, … ), (2.20) мұндағы

1=2π/(4T)=π/(2T).

Ru жұп функция екенін ескеріп, (2.20) келесі түрде жазуға болады:

𝐷_𝑘 = ¹

𝑇∫₀^2𝑇𝑅_𝑢(𝜏) ∗ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔𝑡}. (2.19)   t1- t2 қойып, аламыз:

𝑅_𝑢(𝑡₁, 𝑡₂) = ¹

2∑^∞_𝑘=−∞𝐷_𝑘 ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡1}𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡2}. (2.21) Соңғы өрнекті (2.15) салыстырып, (2.21) корреляциялық функцияның каноникалық ыдырауының мәні екенін байқауға болады. Жоғарыда айтылғандай, оған центрлендірілген кездейсоқ процестің каноникалық ыдырауы сәйкес:

𝑈(𝑡) =̇ ¹

2∑^∞_𝑘=−∞𝐶_𝑘 ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}, (2.22) мұндағы

𝐶_𝑘: 𝑀{[𝐶_𝑘]²} = 𝐷_𝑘.

Жалпы жағдайда (2.22) оң жағына стационар кездейсоқ процестің математикалық күтімін- mu қосу керек.

Әртүрлі таңба индекстары бар абсолют шамалары бірдей экспоненциалды құраушыларды біріктіргенде стационарлы кездейсоқ шама уақыттың шектеулі интервалында гармоникалардың суммасы болып қалады.

𝑈(𝑡) = 𝑚_𝑢∑^∞_𝑘=1(𝑎_𝑘cos 𝑘 𝜔₁𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝑘 𝜔₁𝑡), (2.23) мұндағы

16

𝜔₁ = ^𝜋

(2𝑇), 𝑚_𝑢 = 𝑀{𝑈(𝑡)},

𝑀{𝑎_𝑘} = 𝑀{𝑏_𝑘} = 0 , 𝑀{[𝑎_𝑘]² } = 𝑀{[𝑏_𝑘]²} = 𝐷_𝑘.

(2.23) тригонометриялық формада спектрлік ыдырау көрсетуінен спектрлік сызықты болатынын көруге болады, яғни спектрлік диаграммадағы әр гармоникаға ұзындығы амплитуданың дисперсиясына Dk пропорционал вертикаль кесінді сәйкес болады.

2.4 Стационар кездейсоқ процестерді жиіліктік көрсету, үздіксіз спектрлер

Кез келген   t  кезінде стационар кездейсоқ процесті сипаттау үшін интегралды каноникалық ыдырау құрастырамыз. Ол үшін (2.19) формуласын өзгертеміз:

𝑅_𝑢(𝜏) = ¹

2∑ ^𝐷𝑘

∆𝜔𝑒^{𝑗𝑘𝜔𝑡𝜏}∆𝜔

∞𝑘=−∞ , (2.24) мұндағы =k+1-k=/2T – көрші гармоникалар арасындағы жиіліктер интервалы. Белгілейміз:

𝑆_𝑢(𝑘𝜔₁) = ^𝐷𝑘

∆𝜑 =^2𝑇

𝜋 𝐷_𝑘. (2.25) Suk1 функциясын стационар процестің дисперсиясының орташа тығыздығы деп атайды. Бұл дисперсия көрші гармоникалар арасындағы жиіліктік интервал ұзындығының бірлігіне сәйкес.

(2.25) ескеріп, (2.24) формуласы келесі түрге ие болады:

𝑅_𝑢(𝜏) = ¹

2∑^∞_𝑘=−∞𝑆_𝑢(𝑘𝜔₁) ∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝜏}∆𝜔 . (2.26) Dk үшін өрнекті (2.20)-дан (2.25)-ке қойып жазуға болады:

𝑆_𝑢(𝑘𝜔₁) = ¹

𝜋∫_−2𝑇^2𝑇 𝑅_𝑢(𝜏) ∗ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝜏}𝑑𝜏. (2.27) Ары қарай, T   кезінде (2.26), (2.27) шектік ауысуын жүзеге асырамыз. Бұл ретте қосынды интегралға өтеді.

𝑆_𝑢(𝑘𝜔₁) → 𝑆_𝑢(𝜔), 𝑘𝜔₁ → 𝜔, ∆𝜔 → 𝑑𝜔 .

Нәтижесінде аламыз:

𝑅_𝑢(𝜏) = ¹

2∫_−∞^∞ 𝑆_𝑢(𝜔)𝑒^𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔; (2.28) 𝑆_𝑢(𝜔) = ¹

𝜋∫_−∞^∞ 𝑅_𝑢(𝜏) ∗ 𝑒^{−𝑗𝜔𝜏}𝑑𝜏. (2.29)

17

(2.28)-де болған 𝑆_𝑢(𝜔) ∗ 𝑑𝜔 шама (2.25) енгізген белгілену бойынша,

, d  жиілік интервалындағы спектрлік құраушыларға келетін дисперсия болып табылады. Жиілік бойынша кездейсоқ процестің дисперсиясының таралуын көрсететін Su  функциясы стационар кездейсоқ процестің спектрлік тығыздығы деп атайды.

(2.21)-ге ұқсас Ru  корреляциялық функциясының интергралды каноникалық ыдырауының өрнегін (2.28)-ге  t1- t2 қойып жазуға болады:

𝑅_𝑢(𝜏) = ¹

2∫_−∞^∞ 𝑆_𝑢(𝜔) ∗ 𝑒^{𝑗𝜔𝑡1}𝑒^{−𝑗𝜔𝑡2}𝑑𝜔. (2.30) Корреляциялық функцияның ыдырауы сияқты кездейсоқ процестің ыдырауын тұрғызуға болады. Бұл үшін (2.22) формуласын келесі түрде көрсетуге болады:

𝑈̇(𝑡) =¹

2∑ ^𝐶𝑘

∆𝜔∗ 𝑒^{𝑗𝑘𝜔𝑘𝑡}∆𝜔

∞𝑘=−∞ .

Ары қарай 𝐺_𝑢(𝜔_𝑘) = 𝐶_𝑘/∆𝜔 белгіленуін енгіземіз және (2.26), (2.27) жасағандай T   кезіндегі шектік ауысуды жүзеге асырамыз. Нәтижесінде стационар кездейсоқ функцияның каноникалық ыдырауын аламыз.

𝑈̇(𝑡) = ¹

2∫_−∞^∞ 𝐺_𝑢(𝜔) ∗ 𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔. (2.31) Корреляциялық функцияның ыдырауы (2.21) және (2.22) кездейсоқ процесстің ыдырауы арасындағы жоғарыда айтылған сәйкестік есебінде, (2.31)-дегі Gu() d дисперсиясы Su)d кездейсоқ функция болып табылады, ол жиілік ,+ d интервалындағы спектрлік құраушыларға сәйкес.

2.5 Қуаттың спектрлік тығыздығы

Оң жиіліктер үшін бір жақты спектрге өтеміз. Эйлер формуласын қолданып (2.29) екі құраушы түрінде көрсетеміз:

𝑆_𝑢(𝜔) = ²

𝜋∫ 𝑅_𝑢(𝜏) ∗ cos 𝜔 𝜏 𝑑𝜏 − ^𝑗

𝜋∫_−∞^∞ 𝑅_𝑢(𝜏) ∗ sin 𝜔𝜏 𝑑𝜏

∞

0 .

Ru жұп функция болғандықтан, екінші құраушы нөлге тең, ал бірінші интегралды оң жиіліктер үшін жазуға болады:

𝑆_𝑢(𝜔) = ²

𝜋∫ 𝑅₀^∞ _𝑢(𝜏) ∗ cos 𝜔 𝜏 𝑑𝜏. (2.32)

18

Осыдан, жеке жағдайда, Su  нақты және оң функция екені шығады.

Сондықтан, (2.28)-де де оң жиіліктермен шектелуге болады:

𝑅_𝑢(𝜏) = ∫ 𝑆₀^∞ _𝑢(𝜔) ∗ cos 𝜔𝜏 ∗ 𝑑𝜔. Көрші теңдікте   0 қойып, аламыз:

𝑅_𝑢(0) = 𝐷_𝑢 = ∫ 𝑆₀^∞ _𝑢(𝜔) ∗ 𝑑𝜔. (2.33) Дисперсия сигналдың қуатын сипаттайтындықтан:

𝐷_𝑢 = 𝑀 {[𝑈̇]²} = 𝑃_𝑢,

жиі Su  спектрік тығыздығын қуаттың спектрлік тығыздығы деп атайды.

3 Дәріс №3. Үздіксіз сигналдарды дискреттіге түрлендіру

3.1 Дискреттеу есебін тұжырымдау

Сигналды дискреттеу – үздіксіз аргумент функциясын дискретті уақыт функциясына түрлендіру. Оның мәні ut үздіксіз сигналын координаталар жиынына ауыстыруда:

[𝐶₁, 𝐶₂, … , 𝐶_𝑁] = 𝐴[𝑢(𝑡)], (3.1) мұндағы A – бір оператор.

Жүзеге асырудың жеңілдігі жағынан сызықты операторларды пайдаланған жөн. Көп жағдайда, сигналдардың координаталарын анықтау үшін қатынасты қолданған ыңғайлы:

𝐶_𝑖 = 𝐴𝑢(𝑡) = ∫ 𝜑_{𝑇 𝑖}(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡)∗ 𝑑𝑡, (3.2)

мұндағы 𝜑_𝑖(𝑡), 𝑖 = 1, 𝑁 – берілген базистік (көп жағдайларда ортогональ пайдаланылуы мүмкін) функциялар.

Басқару мақсатында дискретті сигналдарды келесі қолдануда оны кейбір берілген операторды пайдаланып қалпына келтіруді жүзеге асырады:

𝑢(𝑡) = 𝐵̇ [𝐶₁, 𝐶₂, … , 𝐶_𝑁]. (3.3) Егер сигналды дискреттеу (3.2) түрдегі оператормен жүзеге асырылса, (1.1) сай үздіксіз сигналды қалпына келтіру үшін операторды қолдануға болады