Л.С. АТАНАСЯН, В.Т. БАЗЫЛЕВ
ГЕОМЕТРИЯ
В 2-х ЧАСТЯХ
Д о п у щ е н о М и н и с те р с тв о м пр о све щ е н и я С С С Р
в качестве у ч е б н о го по соб и я для студентов ф и зи к о -м ате м ати ч е с ки х ф акул ьтетов педагогических институтов
ЧАСТЬ
IЦ елиноградский гед и и сти туі имени С. Се:: ф у л липа . W Z , _ я ы й
.u I i k U T
М О С К В А
« П Р О С В Е Щ Е Н И Е » 1986
Б Б К 22.151 А92
Р е ц е н з е н т ы :
доктор физико-математических наук, ст. научн. сотрудник МГУ Л . Е. Евтушик;
кафедра геометрии Вильнюсского пединститута (зав. кафедрой проф. Близникас В. И .).
А танасян J1. С., Базы лев В. Т.
А92 Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов ф и з.-м ат. ф ак. пед. ин-тов.— М.: П росвещ ение, 1986.— 336 с., ил.
У ч е б н о е п о с о б и е н а п и с а н о в с о о т в е т с т в и и с п р о гр а м м о й к у р с а ге о м е т р и и д л я м а т е м а т и ч е с к и х и ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к и х ф а к у л ь т е т о в п е д а г о ги ч е с к и х и н с т и т у т о в и с о с т о и т и з д в у х частей П е р в а я ч а с т ь о х в а т ы в а е т в о с н о в н о м м а т е р и а л , ч и та е м ы й на п е р в о м ку р с е .
И з л о ж е н и е те о р и и с о п р о в о ж д а е т с я м н о го ч и с л е н н ы м и п р и м е р а м и р е ш е н и я ге о м е т р и ч е с к и з а д а ч , в то м ч и с л е з а д а ч к у р с а ге о м етр и и с р е д н е й ш ко л ы .
. 4 3 0 9 0 0 0 0 0 0 -4 9 4 „„ „„
А 103 (0 3 ) — 86 33 ~ 86 К 5?3
И здательство «Просвещ ение», Г.
І
П Р Е Д И С Л О В И Е
Настоящий курс геометрии, издаваемый в двух частях, написан в соответствии с действующей программой по геометрии для студентов математических и физико- математических факультетов педагогических институтов. И злож ение курса согла
совано с программами алгебры, теории чисел и математического анализа. Это пособие составляет первую часть курса и охватывает материал геометрии пер
вого курса указанных факультетов.
Основой учебного пособия послужили лекции, которые авторы читали в послед
ние годы студентам математического факультета М ГПИ им. В. И. Ленина.
Данное пособие существенно отличается от ранее изданных издательством
«Просвещение» пособий по геометрии Л. С. Атанасяна «Геометрия», ч. I, Л. С. Ата- насяна и Г. Б. Гуревича «Геометрия», ч. II, В. Т. Базылева и др. «Геометрия», I, II.
По сравнению с этими книгами в новом пособии более тщательно подобран ма
териал, несколько изменен порядок изложения и, что особенно важно, оно более доступно (не в ущ ерб строгости). В связи с этим объем пособия оказался заметно сокращенным, а принятая в нем терминология и символика по возможности согла
сованы с теми, которые в настоящее время введены в среднюю школу.
Опыт работы авторов в педагогических вузах и с учителями математики сред
ней школы привел к следующим выводам, которыми они руководствовались при создании учебного пособия.
I. Курс геометрии в пединституте следует строить так, чтобы при естествен
ных изменениях содерж ания школьных учебников по геометрии будущ ие учителя могли ориентироваться в новой ситуации и быстро перестраиваться. Поэтому, по убеждению авторов, этот курс нельзя строить на базе какой-то одной школьной ак
сиоматики, особенно в разделе оснований геометрии. Здесь в основу надо поло
жить такую аксиоматику, из которой достаточно естественно можно было бы по
лучить любую возможную аксиоматику школьного курса геометрии. По мнению авторов, в •'настоящее время такой аксиоматикой является принятая в науке ак
сиоматика Вейля.
В предлагаемом курсе аксиоматический метод начинает применяться лишь в X главе первой части курса «я-мерные аффинные и евклидовы пространства».
Д о этого материал излагается на базе тех геометрических представлений, которые сложились у слушателей при изучении школьного курса геометрии. Однако по ходу изложения там, где это необходимо, даются необходимые пояснения и уточнения.
Аксиоматика школьного курса геометрии и ее связи с другими аксиоматиками геометрии рассматриваются в разделе оснований геометрии во второй части курса.
II. Идейное содерж ание курса геометрии в педагогическом институте долж но быть таким, чтобы будущ ий учитель математики мог взглянуть на школьный курс геометрии с более общ ей точки зрения. В связи с этим отметим следующ ее.
1. Будущий учитель математики долж ен быть хорошо знаком как с групповой, так й со структурной точкой зрения на геометрию. В настоящем курсе этим вопро
сам уделено долж ное внимание, особенно при изложении теории геометрических преобразований, а во второй части курса — в разделе оснований геометрии.
2. Будущему учителю математики необходимо иметь общ ее представление об .элементах многомерной геометрии аффинного и евклидова пространств, поэтому эти
3
вопросы отражены в предлагаемом курсе. Это особенно важ но в связи с тем, что квадратичные формы изучаются не в курсе алгебры, а в курсе геометрии, поэтому представляется весьма целесообразным связать теорию квадратичных форм с теорией квадрик в многомерном пространстве.
Имея в виду опасность перегрузки, в предлагаемом учебном пособии раздел
«Аффинное и евклидово гс-мерные пространства» существенно сокращен.
III. В современных учебных вузовских пособиях (как отечественных, так и зарубеж ны х) такие важнейшие понятия, как «линия», «поверхность», «поверхность с краем», «геометрическое тело» и др., даются на топологической основе. Поэтому в настоящий курс геометрии включены элементы топологии. С изложением этих вопросов тесно связывается тема «Многогранники в евклидовом пространстве».
IV. В курсе геометрии для студентов педагогических вузов уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности приложениям изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач школьного курса геометрии.
Будущ ий учитель долж ен убедиться в том, что изучаемый им курс геометрии в пединституте имеет непосредственное отношение к его профессиональной подготов
ке и мож ет быть в дальнейшем использован в работе в школе.
В связи с этим изложение теоретического материала сопровож дается много
численными примерами. Везде, где это возможно, дано приложение изучаемых ме
тодов к доказательству теорем и решению задач школьного курса геометрии. К аж дая глава пособия, за редким исключением, заканчивается параграфом, в котором даны приложения рассматриваемой в этой главе теории.
Теория преобразований плоскости и их приложения к решению задач играют существенную роль в профессиональной подготовке учителя, поэтому этот раздел здесь представлен должным образом. Отметим, что изложение этого материала существенно отличается от того, который был дан в ранее изданных пособиях авторов, Здесь изложение упрощено и по стилю приближено к школьному курсу геометрии. Кроме того, выделена специальная глава — глава VIII первой части, где излагаю тся элементы теории преобразований трехмерного пространства.
Методы изображений также играют весьма важную роль в профессиональной подготовке учителя математики, поэтому во второй части курса имеется специаль
ная глава, посвященная этим вопросам. Как известно, в средней школе пользуются изображ ением плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. По этой причине в предлагаемом курсе дана в основном теория изображений фигур, изучаемых в школе, в параллельной проекции.
Авторы надеются, что студенты, овладевшие этим курсом, смогут в дальнейшем, будучи учителями, грамотно преподавать геометрию в средней шко.іе, уверенно вести факультативные занятия по геометрии (например по темам: «Векторная алгебра и ее приложения», «Метод координат», «Геометрические преобразования», «Элементы неевклидовых геометрий» и т. п.). Авторы надеются также, что предлагаемое посо
бие будет способствовать совершенствованию геометрической подготовки учителя математики.
Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую благодарность кафедре геометрии Вильнюсского пединститута (зав. кафедрой В. И. Близникас) и доктору физико-математических наук старшему научному сотруднику МГУ Л. Е. Евтушику за их весьма ценные замечания по содержанию пособия, кото
рые во многом способствовали его улучшению. Авторы признательны такж е пре
подавателям кафедры геометрии МГПИ имени В. И. Ленина, которые взяли на себя нелегкий труд апробации ряда глав пособия в непосредственной работе со студентами математического факультета МГПИ им. В. И. Ленина.
Автор и.
4 J
Р А З Д Е Л П Е Р В Ы Й
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛ О СКО СТИ Г л а в а I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ !. П араллельность прямых, лучей и плоскостей
1. В настоящ ем курсе геометрии п родо лж ается начатое в средней школе изучение свойств геометрических фигур. При этом в з н а чительной" степени использую тся средства алгебры и м атем атиче
ского ан ал и за.
Напомним, что ф игурой н азы вается лю бое м нож ество точек.
Простейш ими ф игурам и являю тся точки, прямы е, плоскости, лучи, отрезки, полуплоскости. Точки о б озн ачаю тся больш ими буквами латинского ал ф а в и та: А, В, С, ..., прямы е — малы ми первыми бук
вами латинского ал ф а в и та: а, Ь, с, ... или д ву м я больш ими бук
вами: А В , CD, ..., плоскости — малыми буквам и греческого а л ф а вита: ст, т, ... или трем я больш ими буквам и: A B C , EFG, ... . Лучи будем о б о зн ачать малыми промеж уточными буквам и латинского а л ф ави та: h, k, I, ... или двум я больш ими буквам и: ОА, КВ, ... . В этом случае на первом месте стави тся б уква, о б о зн ач аю щ ая начало луча, а на втором — буква, о б о зн а ч а ю щ ая какую -нибудь точку на луче. О трезок с концами А и В о б о зн ач ается так: А В или ВА. Д ли н а отрезка о б озн ачается тем ж е символом АВ.
2. Н апомним, что две п рям ы е1 а и b н азы ваю тся п а р а л л е л ь ными (пишут: а|| Ь), если они л е ж а т в одной плоскости и не имеют ни одной общ ей точки. Л учи А В и CD (или отрезки А В и CD) н а зы ваю тся п а р а ллельн ы м и , если прямы е А В и CD параллельны . П лоскость ст и п р ям а я А В назы ваю тся п а р а лл ель н ы м и , если они не имеют ни одной общ ей точки. Л уч А В (отрезок А В ) и пло
скость ст н азы ваю тся п а р а л л е л ь н ы м и, если п ар ал л ельн ы плоскость ст и п рям ая А В .
3. Если д ва луча А В и CD п аралл ельн ы , то они могут быть одинаково н аправлены (сонаправлены ) либо противополож но н а правлены . П аралл ельн ы е лучи А В и CD н азы ваю тся одинаково на п р авленны м и, если они л е ж а т в одной полуплоскости с г р а ницей А С (рис. 1 ,а ). Л учи, л еж а щ и е на одной прямой, н азы ва ю т
ся один аково направленны м и, если один из них сод ерж ит другой.
1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две прямые», «три точки» и т. д., будем считать, что эти прямые, точки и т. д. попарно различны.
5
в
/ А [ В______ ^
с / |--- С D
/ D
а) б)
Рис. 1
Рис. 2
На рисунке 1 ,6 лучи А В и CD одинаково н аправлены , лучи А В и А С (А В и А С — один и тот ж е луч) так ж е одинаково н аправлены . Если д в а луча параллельны или л е ж а т на одной прямой, но не один аково направлены , то они н азы ваю тся противополож но н а п р а в ленны м и. Н а рисунке 2, а лучи А В и CD противополож но н а правлены . Н а рисунке 2, б лучи А В и CD противополож но н а правлены . Д ополнительны е лучи одной прямой (наприм ер, лучи ВА и ВС на рисунке 2, б) та к ж е противополож но нап равлен ы .
М н ож ество всех лучей (на прямой, на плоскости или в п рост
ранстве), обладаю щ и х тем свойством, что лю бые д ва л уча этого м н ож ества одинаково направлены , н азы вается на пр а влен и ем (соот
ветственно на прямой, на плоскости или в пространстве). Н а п р я мой сущ ествую т д ва н аправления, а на плоскости и простран стве — бесконечное множ ество направлений. Если на прямой одно из в о з
мож ны х н аправлений выбрано в качестве полож ительного, то п р я м ая н азы вается направленной.
§ 2. Н аправленны е отрезки
1. О трезок н азы вается направленны м , если приним ается во вн и м а
ние порядок, в котором зад ан ы его концы. П усть зад ан отрезок с концами в точках А и В. Если А — п ервая точка, а В — вто
р ая , то точка А н азы вается началом , а В — концом этого н а п р а в ленного о трезк а; его об означаю т так: А В . На рисунке н ап р ав л ен ный отрезок отм ечается стрелкой, обращ енной к его концу. Так, на рисунке 3 изображ ен ы отрезки А В и CD.
В целях общ ности удобнее р ассм атр и в ать каж дую точку А как частны й случай направленного отрезка (начало и конец которого совпадаю т). Его н азы ваю т нулевы м направленны м отрезком и о б о зн а чаю т так: А А .
6
Д линой ненулевого отрезка А В н азы вается дли н а отр езка А В . Д ли н а направленного о тр ез
ка А В о б о зн ачается символом \ АВ\ или просто АВ. Д ли н а нулевого н аправленного отрезка счи
тается равной нулю.
П усть Л и В — д ве точки. Если р ас см а тр и ваю тся обычные (ненаправленны е) отрезки, то А В и В А — один и тот ж е отрезок (одно и то ж е множество точек). Если ж е р ассм атри ваю тся н а правленны е отрезки, то А В и В А — разн ы е о т резки. К аж ды й из отрезков А В и В А н а зы в а е т ся противополож ным другому. Если А А — нуле
вой направленны й отрезок, то противополож ны м считается тот ж е отрезок А А .
Ненулевые отрезки А В и CD н азы ваю тся
одинаково (прот ивополож но) направленны м и, если одинаково (про
тивополож но) направлен ы лучи А В и CD. Н улевой направленны й отрезок счи тается один аково направленны м с любым направленны м отрезком.
Ненулевой отрезок А В определяет направлен ие, а именно то направление, которому прин адлеж и т луч А В . Н улевой отрезок АА не определяет никакого н аправления.
2. О трезки А В и CD назы ваю тся эквиполлент ны м и, если они одинаково нап равлен ы и имеют равны е длины (пишут: A B = C D ) .
Н а рисунке 4 и зображ ен к в ад р ат A B C D . О трезки А В и DC эквиполлентны , т а к как они одинаково н ап равлен ы и их длины равны. О трезки A D и ВС так ж е эквиполлентны . О трезки А В и A D не эквиполлентны (их длины равны, но н ап р авлен и я различны ), точно так ж е не эквиполлентны отрезки А В и D E (они одинаково направлены , но их длины различные). Ясно, что лю бы е д ва нулевых направленны х отрезка эквиполлентны.
И спользуя рисунок 5, а — г, сам остоятельн о д о к аж и те следую щее утверж дение, которое часто приним ается за п ризн ак экви поллентности н ап равленны х отрезков. Н а п р а влен н ы е отрезки А В
и CD эквиполлент ны тогда и только тогда, когда середины отрез
к о в'1 A D и В С совпадают.
З ам ети м , что отнош ение эквиполлентности удовл етво ряет трем условиям :
1. А В = А В д л я лю бого н аправленного отрезка А В . 2. AB= ~C D = > ~CD = A B .
3. (А В = Ш ) и Ш) = Е Ғ ) = ^ А В = Ё Ғ .
. С л едовательн о, это отношение явл яется отношением экви валент ности на м нож естве всех направленны х отрезков п ростран ства.
§ 3. Векторы
1. П усть W — множество всех направленны х отрезков п р о стр ан ства. О тнош ение эквиполлентности, зад ан н ое в этом множ естве, я в л я е тся отношением эквивалентности. Каж дый к л а сс э к в и в а лентности этого отношения называется вектором (или свободны м вектором). И так, вектор — это элемент ф актор-м н ож ества V = W / = . Векторы обозн ачаю тся одной буквой, над которой стави тся стр ел ка:
а ..., или одной буквой полуж ирного ш рифта: а, Ь, с, ... . Таким о б разом , вектор — это множество всех направлен ны х о т резков, лю бы е д ва из которых эквиполлентны. Если хотя бы один из н ап равлен ны х отрезков этого м нож ества нулевой, то все н а п р а в ленны е отрезки множ ества нулевые. В этом случае вектор н а зы в а е т ся н у ле вы м или нуль-вектором и о б о зн ачается через 0-
П усть а — данный вектор, т. е. класс эквивалентности отн ош е
ния = . Если А В — представитель этого класса (т. е. А В £ а ) , то А В оп ред еляет весь класс эквивалентности, т. е. вектор а. В этом случ ае вектор а обозн ачается через А В и на рисунке и зо б р а ж ае тся в виде н аправленного отрезка АВ.
Зам ети м , что зап и сь а = Ь (читается: «вектор а равен вектору 6») о зн ач ает, что множество а совп ад ает с множеством Ь, т. е. а и Ь — один и тот ж е вектор, но по-разном у обозначенны й. В частности, зап и сь A B = C D озн ачает, что А В и C D— один и тот ж е вектор (т. е. что отрезки А В и CD эквиполлентны). Имеет место следую щ ая лем м а о равенстве векторов.
Л е м м а . Е сли A B = CD, то A C = BD.
□ По условию леммы A B = CD, поэтому A B = C D . По п р и зн а
ку эквиполлентности направленны х отрезков середины отрезков A D и СВ совп адаю т (рис. 5, а). Рассмотрим отрезки А С и BD. Так как
' Отрезки A D и ВС могут быть нулевыми. Серединой нулевого отрезка АА іп ается точк*« 1
в
А М
М
\
О 5)
Рис. 6
середины отрезков A D и СВ совпадаю т, то A C = B D , сл ед о в а
тельно, A C = BD. Щ
2. П усть а — произвольны й вектор, а О — н екоторая точка про
странства. Д о к аж ем , что сущ ествует одна и только одна точка М та к а я , что ОМ = а. Д ействительно, допустим, что А В £а. Р ассм о т
рим середину С отр езка ОВ (этот отрезок м ож ет быть и нулевым) и возьмем точку М, симметричную точке А относительно точки С (рис. 6, а, б). По признаку эквиполлентности двух направленны х отрезков О М = А В , поэтому О М = а .
Д о к аж ем теперь, что М — единственная точка т а к а я , что О М =
= а. П усть О М ' — а. Тогда О М = О М ' . По лемм е о равенстве векторов получаем: 0 0 = М М ' =>-\ 0 0 \ — \ ММ' \ =4*0= \ ММ' \ , т. е.
точки М и М ' совпадаю т. И так, если даны произвольны й вектор а и некоторая точка О, то сущ ествует одна и только одна точка М та к а я , что ОМ = а.
Построение точки М условимся н азы вать откладыванием векг тора а от точки О.
3. Говорят, что вектор а п а р а л л е л е н прям ой /, если любой его п редставитель п арал лел ен этой прямой или л еж и т на ней. Нулевой вектор считается параллельны м любой прямой. Очевидно, если вектор а п ар ал л ел ен прямой /, то он п ар ал л ел ен лю бой прямой, п араллельной прямой I.
Векторы а и b н азы ваю тся ко л ли н еарн ы м и, если сущ ествует п р ям ая, которой они п араллельны . Отметим, что если из двух векторов по крайней мере один нулевой, то эти векторы кол л и н еар ны. З ап и сь а ||Ь озн ач ает, что векторы а и Ь коллинеарны . На рисунке 7 A B \\C D , AB\ \ GH. На этом ж е рисунке векторы M N и G H не коллинеарны .
Рис. 7 Рис. 8
9
C D D C
a) 6)
Рис. 9
З а м е ч а н и е . П усть а и b — коллинеарны е векторы. О тлож им эти векторы от произвольной точки О простран ства: О А = а , ОВ = Ь (рис. 8). О трезки О А и ОВ имеют общ ее н ачало, и в силу коллинеарности векторов а и b они л е ж а т на одной прямой линии.
Это свойство поясняет термин «коллинеарны е векторы».
4. П усть а и b — коллинеарны е векторы^ а А В и CD — какие-то представители этих векторов: А В £ а , C D £ b . По определению ко л
линеарн ости векторов отрезки А В и CD параллельны или л е ж а т на одной прямой. Векторы а и Ь н азы ваю тся одина ко во н а п р а в ленн ы м и , если одинаково направлены отрезки А В и CD (рис. 9, а), и противополож но направленны м и, если противополож но н а п р а в лены эти отрезки (рис. 9, б). Ясно, что свойство двух векторов быть один аково (противоположно) направленны ми не зав и си т от вы бора представителей этих векторов.
З а п и с ь а \ \ Ь будет озн ач ать, что векторы а и b один аково н ап равлен ы , а зап и сь а \ \ Ь — ^то эти векторы противополож но н а п равлены . На рисунке 7 A B \ \ G H . На рисунке 8 О А \ \ О В . Т ак к а к нулевой направленны й отрезок одинаково направлен с лю бым направленны м отрезком (п. 1 из § 2), то 0 f f а, где а — произвольны й вектор.
5. Рассм отри м произвольный вектор а и от какой-нибудь точки А отлож и м вектор А В = а. Вектор В А н азы вается вектором, противо
полож ны м вектору а, и об означается через —а. Н а рисунке 10 и зо б р аж ен п араллелограм м A B C D . Вектор CD я в л я е тся вектором, противополож ны м вектору А В, т а к как CD = BA. Вектором, п ротиво
полож ны м вектору ВА, явл яется АВ, поэтому — ( — а) = а. В ек
тором, противоположным нуль-вектору, яв л яется нуль-вектор.
6. Д л и н о й вектора н азы вается длина лю бого представителя это
го вектора. Д л и н а н у лево го вектора ра вн а нулю . Д лины векторов а, Ь, А В об означаю тся так: \а\, \Ь\, \ АВ\ .
Вектор н азы вается единичны м , еслрГ его длина р авн а единице.
З а м е ч а н и е . В математике и ее прилож ениях (в механике, физике и т. д.), кроме свободных векторов, использую т и так назы ваем ы е скользящ и е и связанны е (или приложенные) векторы.
С к о ль зящ и й вектор — это множ ество одинаково направленны х
отрезков одной прямой, имеющих равны е длины. Таким вектором мож но представить силу, приложенную к абсолю тно твердом у телу.
С вязанны й вектор — это направленны й отрезок. Если А В и CD — связанны е векторы, то A B = CD то гд а и только тогда, когда со в п а
даю т точки Л и С, а т а к ж е точки В и D. С вязанны м вектором представляю т, например, вектор скорости частиц ж идкости, д в и ж у щ ейся с зави хрениям и; здесь к а ж д а я ч асти ц а имеет свой вектор скорости, который не яв л яется вектором скорости д ля соседней частицы.
В настоящ ем курсе геометрии прим еняю тся только свободные векторы, которы е будем н азы вать векторам и, оп уская д ля к р а т кости слово «свободный».
§ 4. С лож ение и вычитание векторов
1. Введем операцию слож ени я векторов, к оторая и грает важ ную роль в векторной алгебре. Возьмем произвольны е векторы а и Ь. От какой-нибудь точки А отлож им вектор А В = а, затем от точки В отлож им вектор В С — b. Вектор АС==с н азы вается суммой векторов а и b и об озн ач ается так: с = а -\-Ь (рис. 11).
П окаж ем , что вектор с оп ределяется с помощ ью векторов а и b однозначно, независим о от выбора точки А , от которой о ткл ад ы вается вектор а. П усть вместо точки А в зя т а д р у гая точка А\ и выполнено аналогичное построение: А\ В \ = а, В \С \ = Ь. Д о каж ем , то по лемме т. е. А А I = что A C — A i C \ . Т ак как А В = А\ В\ и В С — В \С \,
о равенстве векторов (п. 1, § 3) А А \ = В В \ и B B \ = CCi
— СС\ . Отсю да по лемм е о равенстве векторов А С = А \С \.
Зам етим , что д ля н ахож дения суммы д вух неколлинеарны х векто
ров приходится строить треугольник ( A A B C в приняты х выше об о
значениях). П оэтом у указан н ое здесь п равило слож ени я векторов и в общ ем случае н азы вается правилом т реугольника. Это п равило м ож но сф орм ули ровать так: д л я лю б ы х точек А , В и С сп р а в ед ли в о равенство
А В + ВС = А С . (1)
П рименив это п равило к точкам А, В, А, получим: А В + В А = А А.
11
А налогично А В - \- В В = А В , А А -\-А В = А В . Таким о б разо м , д л я л ю бого вектора а
Если сл агаем ы е векторы не коллинеарны , то д ля построения их суммы м ож но п ользоваться другим способом — п р а ви ло м п а р а л л е ло грам м а , которое хорош о известно из курса физики средней школы.
Н а рисунке 12 дано построение суммы р векторов а и b по этому правилу.
2. Д о к а ж е м теорему о слож ении векторов.
Т е о р е м а . Д л я п р о и зво ль н ы х векторов а, Ь и с с п р а в ед ли в ы с ле д у ю щ и е равенства:
1°. а 4 Ь = Ь + а (переместительное свойство или свойство ком мутативности).
2°. (a -\-b ) + c = a-\-(b + с) (сочетательное свойство или свойство ассоциативности).
□ 1°. П усть а и Ь — произвольны е векторы. От какой-нибудь точки А отлож и м _векторы А В = а, A D = b> а затем от то чки В отлож им вектор В С = Ь (рис. 13). С огласно построению A D = B C , поэтому по лемм е о равенстве векторов A B = DC, т. е. D C = a.
П о правилу треугольника А В -\- ВС = А С и A D 4 D C = А С , сл е
довател ьн о, а -\-Ь = А С , Ь -\-а = А С . Отсю да следует, что а -\-Ь и Ь -\-а — один и тот ж е вектор.
2°. П усть а, Ь и с — произвольны е векторы. Возьмем какую - нибудь точку А и отложим последовательно векторы А В = а, В С = Ь, C D = c (рис. 14). По правилу треугольника А В -\- В С = А С , Л С +
4- C D — A D , поэтому (a -\-b )-\-c = A D . С другой стороны, B C -\-C D =
= B D и A B + B D = A D , поэтому a-\-(b 4 c) — A D . О тсю да следует, что ( а 4 ^ ) 4 ^ и а -\-(Ь -\-с) — один и тот ж е вектор. Ц
3. Суммой векторов а, Ь и с будем считать вектор р = (а-\-Ь )-\-с.
Н а основании теоремы о слож ении векторов р — а-\-(Ь 4 е*). поэтому а 4 ( — а) = 0.
а4 0 = с и 0 4 а — а.
(2) (3)
при записи суммы трех векторов мож но опустить скобки и за п и сать ее в виде а-{-Ь -\-с. Более того, м ож но д о к а за ть , что сумма трех векторов не зависит от по р ядка слагаем ы х. В самом деле, докаж ем , наприм ер, что а -\-Б -\- -f- с =■ b -|- с -(- а\
а + Ь + с = а - \ - ( р - \ - с ) = Рис. 15
— ( b-j -c)-j -a = b-i~c-j-a.
Здесь применена теорем а о слож ении векторов.
А налогично мож но определить и сумму больш его числа векто
ров. П усть а\, а 2, ..., а„ — произвольны е векторы ( « > 3). Их суммой н азы вается вектор (ai + аг + ... а п - а п и о б о зн ачается так:
а| + a2 + ... + a n. Н а рисунке 15 п оказан о построение суммы п векто
ров при п = 5: О А $ = ^ а \ й2~\-аз-\-а*-)-а?,.
Это п равило построения суммы нескольких векторов н азы в а ет
ся пр а ви ло м м н огоугольн ика.
По аналогии с предыдущ им мож но убедиться в том, что сумма п векторов не зави си т от порядка сл а га е м ы х .
4. Разн остью векторов а и b н азы вается такой вектор х, что
Ь -\-х = а. (4)
Д о к аж ем , что разн ость любых векторов а и b сущ ествует и определяется однозначно.
С н ач ала предполож им , что вектор х, уд овлетворяю щ ий р ав ен ству (4), сущ ествует, и вы разим его через векторы а и ft. П рибавим к обеим частям р авен ства (4) вектор — b : ( — b ) - \- ( b - \- x ) = ( — b) + a.
К левой части этого равен ства применим сочетательны й закон, а к правой части — переместительный зак о н слож ени я векторов:
(( — b) + b )-\-x = a -\-( — Ь). Отсю да следует, что
х = а + ( — Ь). (5)
И так, д о казан о , что если вектор х, удовлетворяю щ и й р ав ен ству (4), сущ ествует, то он оп ределяется однозн ачн о ф орм улой (5).
Но вектор а - |- ( — Ь) действительно удовл етвор яет уравнению (4):
6 + (а + ( — Ь ) ) = Ь -{-(( — Ь)-\-а) = (Ь — Ь))-\-а = а. Таким образом , ф ормулой (5) однозначно оп ределяется разн о сть векторов а и Ь.
Р азн о сть векторов а и Ь о б о зн ач ается так: а — Ь. И з формулы (5) получаем:
а — Ь = а -\-( — />)• (6)
По п равилу треугольника А В + В С — А С , поэтому согласно р ав ен ству (4)
В С = А С — А В . (7)
13
С л едовательн о, д ля любых точек А , В, С сп равед ли во р а в е н ство (7).
З а м е ч а н и е . В векторной алгебре часто встречается в ы р а ж ение вида а - Ь - \ - с или a -\-b - \- c — d и др. По аналогии с р а венством (6) эти вы раж ен и я означаю т:
а -)- ( — b)-\-c, а b с ( — d).
5. И н огда ошибочно считаю т, что при слож ении векторов их длины склады ваю тся. На самом деле длина суммы двух векторов в общ ем случае не р авн а сумме длин слагаем ы х.
М ож но д о к аза ть , что д ля произвольны х векторов а и b с п р а ведливы следую щ ие соотношения:
|а + 6 | < |а | + \Ь\, (8)
|а — £ | < ІаІ + \Ь\. (9) В соотнош ении (8) зн ак равен ства имеет место только в том случае, когда а \ \ Ь , а в соотношении (9) только в том случае, когда a f\ Ь или один из векторов а и Ь нулевой.
П о л ь зу ясь правилом треугольника, д окаж и те эти у твер ж д ен и я сам остоятельно.
§ 5. У множ ение вектора на число
1. П рои звед ен и ем вектора а на действительное ( вещ ест венное) ч исло а н азы вается вектор р, который уд овлетворяет условиям :
а) \р\ = |ос. 1 • \а\, где | а | — абсолю тное значение числа а ; б) р \ \ а , если а ^ О и р \ \ а , если а < 0 .
Такой вектор р обозначаю т через а а.
Н етрудно убедиться в том, что при любых а и а вектор р о п ред е
л яе тся однозначно.
Н а рисунке 16 А С = 2 А В и B D = ( — 3) А В . И з услови я а) сл е
дует, что р = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 или а = 0. Таким
о б р азо м , -
а 0 = 0, 0 а = 0. (1)
2. Д л я дальнейш его излож ения понадобится следую щ ая лем м а.
Л е м м а . Е сли при гомотетии1 с центром О и коэффициентом k т реугольник О А В переходит в треугольник О А ' В ' , то А 'В ' =
= k AB.
□ По определению гомотетии O A ' = \ k \ O A, O B ' = \ k \ O B (см.
рис. 17, а и б), поэтому А О А В с о О А ' В ' . О тсю да следует, что A ' B ’ — \ k \ A B , А ' В ’ \\АВ. Если 6 > 0 , то точки В и В ' л е ж а т в одной полуплоскости с границей О А (рис. 17, а), поэтому
1 Напомним, что гомотетией с центром О и коэффициентом k (где k=/=0) назы
вается такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка М переходит в точку М ' такую, что ОМ ' = kOM .
Рис. 16
А 'В ' \ \ А В , следовательно, А 'В ' =
= k AB. Если k < 0 , то точки В и В ' л еж а т в разны х полуплоскостях с границей ОА (рис. 17, б), поэтому А 'В ' \ \ А В , т. е. и в этом случае А 'В ' — k AB. Щ
Д о каж ем теперь теорему об умножении вектора на число.
Т е о р е м а . Д л я п р о и зв о л ь ны х чисел а, Р и векторов а, Ь спр а вед ли вы след ую щ и е р а в е н ства:
1°. 1 - а = а и — 1 - а = — а.
2 ° . а (|3 а ) = ( а |3 ) о . 3 °. а (a-\-b) = a a - \ - a b . 4°. (а + р) а = а а + Р а .
□ Свойство 1° непосредственно следует из дан ного выше оп ре
деления произведения вектора на число. Если хотя бы одно из чисел а , р равно нулю или хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то сп раведли вость остальны х свойств очевидна. П оэто
му достаточно рассм отреть случай, когда а ф О , Р=£0, а ф О, Ь ф 0. Н иж е приведены д о к азател ь ств а свойств 2°, 3° и 4°.
2°. Пусть р = а (pa), q = ( a f i ) a .По определению п роизведе
ния вектора на число
= М Р 1 |а |.
|р| = |а||ра| = |а||р||а|, |</| = |оф| |а| =
Отсю да следует, что \ p \ - \ q \ . Д о к а ж е м , что p f f q . Возможны д ва сл учая: а р > 0 и а р < 0 . Рассм отрим первый случай. Т ак как р = а ( Р а ), а числа а и р одного зн ак а , то векторы р и а одинаково направлены . Но векторы ^ = (а Р )-а и а т а к ж е один аково н ап р ав л е
ны, следовательно, p \ \ q ^ А налогично у б еж д аем ся в том, что и в случае а р < 0 получим: p ^ \\ q . У читы вая р авен ства |р | = | ^ | , при
ходим к выводу, что а ( Р а ) = (а Р ) а .
3°. От какой-нибудь точки А отлож им вектор А В = а, а затем от точки В — вектор В С = Ь. По п равилу треугольни ка А В - \ - В С =
= А С , т. е. А С = а-{-Ь.
Р ассм отрим гомотетию с коэффициентом а и с центром в не
которой точке О, не л еж а щ ей на прямых А В , ВС и АС . П усть А ', В ' и С ' — об разы точек А , В и С. По предыдущ ей лемме
= Б 7С '= а В С , Л7С ' = а Л С или ~АЧЗ' = а а , ВЧУ = a b ,
А оса~ В /за С С /3 а В сха А _ » --- » --- ► --- --- ■»--- « ---т * -
« > 0 , /3>0 а < 0 , /3<0
а) 5)
Рис. 18
А 'С ' — а( а- \ - Ь) . С другой стороны, по п равилу треугольни ка А 'С ' = + ІУ С ', т. е. a ( a + b) = a a + a.b.
4°. Р ассм отри м д ва возмож ны х случая: а) а р > 0 и б) а р < 0 . а) а р > 0. От некоторой точки А отлож им вектор А В = а а, а затем от точки В — вектор Б С = ра (рис. 18, а, б). Отсю да следует, что А В = |а I | а | , В С = I р | | а | . Так как а |3 > 0, то А В \ \ В С , поэтому то ч ка В л еж и т меж ду точками А и С, следовательно, А С = А В + ВС или Л С = | ct| |а | + IPI | а |. Но числа а и р имеют одинаковы е зн аки , поэтому | а | - Н Р 1 = |а + р |. Таким образом ,
Л С = | а + р||5|. • (2)
В екторы А С и а одинаково направлены , если а > 0 , р > 0 , т. е.
если а + р > 0 (рис. 18, а), и противополож но н аправлены , если а < 0 , р < 0 , т. е. а + р < 0 (рис. 18,6). Поэтому, учиты вая р а в е н ство (2), получаем: Л С = (а + Р) а. С другой стороны, А С = А В +
+ В С = а а - \ - $ а . Таким образом , (а + Р) а = а а + Ра.
б) а Р < 0 . Если а + р = 0 (т. е. а = — р), то л ев ая часть р авен ства 4° есть нуль-вектор. Д о каж ем , что в этом случае и п р ав ая часть есть нуль-вектор. В самом деле, а я - ) - р а = а а + ( — а ) а = а а — а а = 0.
Рассм отри м случай, когда а + р # 0 . Так как а и р имеют разн ы е зн аки , то либо — а , (а + Р), либо — р, (а + Р) имеют один и тот ж е зн ак. П усть, например, — а и а + р^ имеют один и тот ж е зн ак. Тогда по доказанному_( — а ) а + (а + р) а = (( — а ) + (а + Р)) а =
= Ра или (а + р) а = а а + ра. В
§ 6. Л инейная зависим ость векторов
1. Д о к а ж е м теорему о коллинеарны х векторах, которая часто ис
п ользуется в дальнейш ем излож ении.
Т е о р е м а 1. Е сли векторы а и b ко лли н еа р н ы и а ф 0, то существует единственное число cl такое, что
b — a a . (1)
□ С н ач ал а докаж ем сущ ествование числа а , удовлетворяю щ его равен ству (1). Так как а\\Ь, то либо а \ \ Ь , либо а \ \ Ь . В первом
Iб| \ь\ „
случае полож им а = —г> а во втором случае а = ---— . По опре-
|а| |а|
делению произведения вектора на число и в первом и во втором случае получаем равенство (1).
Д о к аж ем теперь, что число а , уд о в летворяю щ ее условию (1), определяется однозначно. П редполож им , что каким- то другим способом мы наш ли число а\
такое, что Ь = а \а . О тсю да и и з р а в е н ства (1) следует, что j x a = a.[a или (а — а і) а = 0. Так как а ф О, то а — а \ = 0 , т. е. а = а,\. |
2. Говорят, что вектор а п а р а л л е л е н плоскости о, если он п аралл елен неко
торой прямой, л еж а щ ей в этой плоско
сти. Очевидно, если вектор а п арал лел ен плоскости о, то он п араллелен любой плоскости, п арал лел ьн ой плоскости о.
Векторы а, Ь и с н азы ваю тся ком планарны м и, если сущ ествует плоскость, которой они п араллельны . Отметим, что если по крайней мере один из векто
ров а, b и с нулевой, то эти векторы ком планарны . Д ействительно, пусть, наприм ер, с = 0. От какой-нибудь точки О п ространства отложим векторы О А — а, ОВ = Ь, ОС = с. Ч ерез точки О, А и В проходит плоскость, которой п араллельны векторы а, Ь и с, поэто
му они ком планарны .
На рисунке 19 и зображ ен п араллелепипед. Векторы А В , А\ В\
и А С ком планарны , а векторы^ЛВ, A D и Л Л : не ком планарны . З а м е ч а н и е . П усть а, Ь и с — ком планарны е векторы. О т
лож им от произвольной точки О п ростран ства векторы ОА = а, О В = b и ОС = с. Так как векторы а, b и с ком планарны , то точки О, Л, В и С л е ж а т в одной плоскости (рис. 20). Это свойство поясняет термин «ком планарны е векторы».
Д о к аж ем теорему о ком планарны х векторах.
Т е о р е м а 2. Е сл и векторы а, Ь и с к о м пла нар ны , а векторы а, b не к о лли н еа р н ы , то существуют единственные числа а и |3 та
кие, что
c = a a -\-fib . (2)
I □ С н а ч а л а д о каж ем сущ ествование чисел а и р , у д овл етво ряю щ их равен ству (2).
О тлож им от некоторой точки О векторы О А = а , О В = Ь , ОС — с. Эти векторы ком планарны , поэтому точки О, Л, В, и С л е ж а т в одной плоскости, причем точки О, Л и В не л е ж а т на одной прямой (векторы ОА = а и ОВ — Ь не коллинеарны).
Если точ ка С леж и т на прямой ОВ (риг 21, д), ,то векторы 'М Ч /
Ц елинограде ни : е л і. ститут ииеки С. Се: фул^ипа
OB — b и OC = c коллинеарны , поэтому по теореме о коллинеар- ных векторах сущ ествует такое число р, что c = fib или с = 0 - а + рб Таким о б разом , имеет место равенство (2). Рассм отрим случай когда точ ка С не л еж и т на прямой ОВ (рис. 2 1 ,6 ). П роведем при мую С С1, параллельную прямой О В , где С\ — точка прямой О А По п рави лу треугольника ОС\ = ОС -\-С С \. Но О С \\\О А , С\ С\ \ ОВ поэтому сущ ествую т числа о с и р такие, что О С \ — аа, C \ C = fib С л едовательн о, ОС = а а -\- fib, т. е. имеет место равенство (2).
Д о к а ж е м теперь, что числа а и р , удовлетворяю щ ие у р а в н е нию (2), определяю тся однозначно. П редполож им , что какими-то другим способом мы наш ли числа а\ и Pi такие, что c = a ia - f - -f- Pib. О тсю да и из равен ства (2) получаем: (a — ai) а + (Р — РО Ь = 0.
Мы утв ер ж д аем , что a — ai = 0 и р — Р і = 0 . В самом деле, если, наприм ер, допустить, что а — то из предыдущ его векторного р авен ства получаем: a = ~ ~ " b> чт0 невозмож но, так к ак по у с л о вию теоремы векторы а и & не коллинеарны. Щ
3. Р ассм отрим систему векторов
a i, а2, ..., а„ (3)
и зад ад и м п действительны х чисел a i, аг, ..., а„. Вектор Ь =
= а.\й\ + а г а г + ■■• + «««« н азы вается лин ей н о й ком б и нац ией д а н ных векторов а\, а 2, ..., ап. Г оворят так ж е, что вектор b ли н ей н о выражается через векторы а\, а2, ..., ап.
С истема векторов (3) н азы вается линейн о за виси м ой , если су щ ествую т числа a i, a 2, ..., а я, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие, что
aiai + а 2а2 + ... + а „а „ = 0. (4)
Если ж е равенство (4) сп раведливо только при a i = a 2 = ... = a„ = 0, то система векторов (3) н азы вается ли н ей н о независим ой.
При п = 1 имеем систему, состоящ ую из одного вектора. Л егко видеть, что т а к а я система будет линейно зависим ой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.
Рассм отрим некоторые свойства системы линейно зависимы х векторов.
1°. П ри п > 1 система векторов (3) ли н ей н о за ви си м а тогда и
