А. Ф. БЕРМАНТ, И. Г. АРАМАІЮВИЧ
КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Д Л Я В Т У З О В
ІІЗДДШ1Е СЕДЬМОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущ ено М нписпһ'.рапг.ом
высшего и среднего специального образования СССР в качгстю учебника
для т еш и к технических учебных заведений
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О кНАУКА»
Г Л А ВН А Я Р Е Д А К Ц И Я
ФИ З И КО - МА Т ЕМАТ И ЧЕСКОЙ л и т е р а т у р ы М О С К и Л 19 71
517.2 Б 50
УДК 517,0 (075.8)
А н и с и м Федоре сыч Б ер.чан tn, Исс,йк Г сп р и хса и ч А р а м а н о с т К р атк и й к у р с м атем ати ческого а н а л и за
д л я птузео М ., 1971 г ., 73G стр. с илл.
Р е д а к то р 6', А . И! и р е к а и
Т е я ч . р е д а к т о р А . П . К а .к с и и к 'х а К о р р ек то р П . Я. К п ш и т а л ь П ечати с м атр и ц . П одп исано к печати У, VI! 1!#Д г. b y v .a ia c U x ^ U /,,.
Ф и э. 1ІСЧ. л . -1ІІ- „ У ело пп. псч. л . -Hi. Уч.-н:*д. л . 4*1.7.
Т :ір ::ж U30l»C0 уа*. (2-й ja u од Irtfl G00 э к з .) Monn I p. 33 к . Ч-лс.-п X> I<S,i.
11 j ; i a r e ; i ь с іізо «1 l a y к a *
Глаапая редакция і|чізи к о-мате магической л и тератур и.
М осква, В -71, Л аи писк ий проспект, 15.
Ордена Трудоного Красного Зкамепн Ленинградская ті:ігігр:і.|і]ія .V: 1 «Печатный Дьор*
нм. А. М. Горького Глаи пол игра |>прома Комитета по печати при Соисго «Мни негров ССС1Р, г. Ленинград, Гатчинская ул., НО.
2-2 -3
О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е ...
В в е д е н и е ...
1. «Элементарная» и «высшая» математика (13). 2. Величина.
Переменная величина и фу нкциональная зависимость ( И ) . 3. Ма тематика и действительность (16).
г л л и л I Ф У Н К Ц И Я
§ 1. Д с і і с т ш і т с л ы і ы с ч и с л а ...
■1. Действительные числа и числовая ось. Интервал (18). 5. Аб
' солютная величина (21). G. О приближенных вычислениях (22).
§ 2. Первоначальные сведения о ф у н к ц и и ...
7. Определение функции (25). -8. Способы задания функции (27).
9. Символика (30). 10. Основные элементарные функции. Сл о ж ная функция (32). 11. Элементарные функции (33). 12. Н е я в ные функции. Многозначные функции (36).
§ 3. Начало изучения функции. Простейшие ф у н к ц и и ...
13. Основные характеристики поведения функции (38). 14. Г р а фическое изучение функции Ml ). 15. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Приращение величины (43).
16. Квадратичная функция (46). 17. Обратная пропорциональная зависимость и дробно- линейная функция (48).
§ 4. Обратная функция. Степенная, показ ательная и логарифмическая функции ...
18. Обратная функция (50). 19. Степенная функция (54).
20. Пока з а те ль н а я и логарифмическая функции (57).
§ 5. Тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболиче
ские и обратные гиперболические функции ...
21. Тригонометрические функции. Гармонические колебания (60).
22. Обратные тригонометрические функции (61). 23. Гиперболи
ческие и обратные гиперболические функции (6S).
Вопросы н предложения для самопроверки ...
4 О Г Л А В Л Е Н И Е Г Л А В А II
П Р Е Д Е Л . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь
§ 1. Предел функции. Бесконечные в е л и ч и н ы ... .... . 73 24. Предел функции непрерывного аргумента (73). 25. Бесконечно большой аргумент (76). 26. ' Последовательности и их пре
делы (79). 27. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции (81). 28. Бесконечно малые- величины (85). 29. П р а вила предельного перехода (86). 30. Один признак с у ществ ова
ния предела функции. Первый замечательный предел (93).
31. Одни признак существования предела последовательности.
Второй замечательный предел (95).
§ 2. Непрерывные ф у н к ц и и ...98 32. Непрерывность функции (98), 33. Точки разрыва ф у нк ции (100). 34. Действия над непрерывными функциями. Не пре рыв ность элементарных функции (102). 35. Свойства непрерывных функций (106).
§ 3. Сравнение бесконечно малых в е л и ч и и ... 108 36. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные беско
нечно малые величины (108). 37, Примеры отношений бесконечно малых величин. Н а т у р а л ь н ы е _ логарифмы (110).
Вопросы и предложения для с а м о п р о в е р к и ... 114
ГЛАВА III
П Р О И З В О Д Н А Я И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И СЧ И С Л Е Н И Е
§ 1. П р о и з в о д н а я ... 116 38. Некоторые задачи физики (116). 39. Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной фу нк ции (120).^4Ө"(і Геометрический смысл производной (123).
§ 2. Дифференцирование ф у н к ц и и ... 125
41. Дифференцирование результатов арифметических дейст
вии (125). \42і Дифференцирование сложной н обратной фу нк ций ( 1 2 9 ) . \ 4 3 ; Производные основных элементарных ф у н к ций (133). 44Г Дифференцирование элементарных функции. П р и меры (138). 45. Дополнительные замечания о дифференцировании функций (139). 46. Параметрически заданные функции и их диф-
■ ференцирование (141).
§ 3. Геометрические задачи. Графическое д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е ...146 47. Касательная и нормаль к линии (146). 48. Графическое диф
ференцирование (1Е0). 49. Геометрический смысл производной в системе полярных координат (152).
§ 4. Д и ф ф е р е н ц и а л ... 154 .50; Дифференциал и его геометрический смысл (154). 51. Свойства
дифференциала (157). 52. Дифференцируемость функции (161).
or ллплпшш о
. 53. Применение дифференциала к приближенным вычисле-
j Г и ям (163). •
§ 5. Производные п дифференциалы высших по р я д ке u ... 1GG : 54. Производные высших порядков (НЮ). .55. і Дифференциалы
высших порядков (170). 4 '
Вопросы и предложения для с а м о п р о в е р к и ... 172
Г Л А В А IV
ПРИМЕНЕНИЯ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь НО Г О ИСЧ ИС ЛЕ НИЯ К И С С Л Е Д О В АН ИЮ ФУ Н К Ц И Й •
§ 1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и К о ш и ... 174 56, Теоремы Ферма и Ролля (174). ,57.1 Теорема Лагранжа (177).
■ 5В*. Теорема Коши (179). "
§ 2. Поведение функции в и н т е р в а л е ... 181 59. Признаки монотонности функции (181). СО. Экстремумы функ
ции (183). 61. Схема исследования функций па экстремумы. Наи
большее и наименьшее значения функции (187). 62. Применение второй производпоіі. Точки перегиба (195).
§ 3. Правило Л опита.тн. Схема исследования ф у н к ц и й ...202 бЗ^і Правило Лоинталя (202). 64. Асимптоты линий (203). 65. Общая схема исследования функции (213).
§ 4. К р и в и з н а ... 216 06. Дифференциал длины дуги (216). 67. Кривизна (217).
§ 5. Пространственные линии. Векторная функции скалярного аргу
мента ... ... 221
68. Пространственные линии (221). (39. Винтовая линия (221).
70. Векторная функция скалярного аргумента (225). 71*. Прило
жения к механике (231).
§ 6. Комплексные функции действительного п е р е м е н н о г о ... 233 72. Комплексные числа (233). 73. Определение и дифференциро
вание комплексных функций (236). 74. Показ ательная функции и формулы Эйлера (237).
§ 7. Решение уравнений ...‘210 75. Общи е сведения об уравнениях (210). 70>. Признак кратности корня (214). 77. Приближенное решение уравнений (245).
Вопросы н предложения для самопроверки ... 251
г л л в л v
ИНТЕГРАЛ. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е
§ I. Неопределенный и н т е г р а л ...253 7S. Первообразная функция (253). 79. Неопределенный интеграл.
Основная таблица интегралов (256). SO. Простейшие правила интегрировании. Примеры (259). 81. Интегрирование по частим
6 О Г Л А В Л Е Н И Е
и замена переменной (264). 82. Интегрирование рациональных функции (270). 63. Интегрирование простейших иррациональных функции (277). / £jt. Интегрирование тригонометрических ф унк
ций 85. Заключительные замечания. Использование таблиц
интегралов (283).
§ 2. Определенный и н т е г р а л ...286 86. Некоторые задачи геометрии и физики (286). 87. Определен
ный интеграл. Теорема существования (292). 88. Простейшие свойства определенного интеграла (295). 89. Перестановка преде
лов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интег рала (296). 90. Оценка интеграла. Теорема о среднем. Сред
нее значение функции (301), 91, Производная от интеграла по его верхнему пределу (306). 92, Формула Ныотона — Лейбница (308).
93*. Интегрирование комплексных функций действительного пере
менного (311).
§ 3. Способы вычисления определенных и н т е г р а л о в ... 312 94. Интегрирование по частям и замена переменной в определен
ном интеграле (312). 95. Приближенные методы интегрирова
ния (317). 9G. Графическое интегрирование (324).
§ 4. Несобственные и н т е г р а л ы ... 326 97. Интегралы с бесконечными пределами (326). 98*. Признаки
сходимости несобственных интегралов с бесконечными преде
лами (330). 99. Интегралы от разрывных функций (335).
Вопросы и предложения для самопроверки ...338
Г Л А В А VI
П Р И М Е Н Е Н И Е И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Г О ИСЧ ИС ЛЕ НИЯ
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики ... 340 100. Площадь фигуры (3-10). 101. Объем тела (343). 102. Длина дуги (346). 103. Центр тяжести криволинейном трапеции (350).
§ 2. Обща я схема применения и н т е г р а л а ... 353 104. Схема решения задач (353). 105*. Площадь поверхности Espa- щения (357). 106. Давление жидкости па стенку сосуда (359).
Вопросы и предложения для самопроверки ...360
Г Л А В А VI I
Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е
§ 1. Функ ции нескольких переменных ... 301 107. Функции двух и многих переменных (301). 108. Метод сече
нии. Предел и непрерывность (3G5).
(, 2. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление . . 369 109. Частные производные и дифференциалы (369). 110. Полный дифференциал (374). 111*. Дифференцируемость функции (377).
О Г Л А В Л Е Н И Е 7 112. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных (380). 113. Применение полного дифференциала к при
ближенным вычислениям (382). 114. Производные и дифферен
циалы высших порядкоі) (385). 115. Отыскание функции' по ее полному дифференциалу (387). 116. Дифференцирование сложных функции. Пр а в и л а для отыскания дифференциала функции (393).
117. Теорема существования неявной функции (398). .118. Д и ф
ференцирование неявных функции (-101). 4 —•
§ 3. Геометрические приложения дифференциального исчисления . . . ‘101 119. Поверхности (-101). 120. Пространственные л ш п ш как пере
сечение двух поверхностен (107).
§ 4. Экстремумы функций нескольких п е р е м е н н ы х ... 410 121. Необходимые у. лов и н экстремума (-110). 122. Достаточные условия экстремума дл я функций двух переменных (412). 123. З а дачи о наибольших и наименьших значениях (414). 124*. Услов
ные экстремумы (116).
§ 5. Скалярное п о л е ...422 125. Скаля рное поле. Поверхности" уровня (422). 126. Производ
ная по направлению (423). 127. Градиент (426).
Вопросы н предложения для с а м о п р о в е р к и ... 430
Г Л А В А VI I I
Д В О Й Н Ы Е И Т Р О Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
§ 1. Двойные и н т е г р а л ы ...432 128. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл (432).
129. Свойства двойных интегралов (435). 130. Вычисление двой
ных интегралов (437). 131. Двойной интеграл в полярных коор
динатах (446). 132. Приложе ния двойных интегралов к задачам механики (451).
§ 2. Тронные и н т е г р а л ы ... 453 133. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл (153). 134. Вы
числение тронных интегралов (155 ). 135. Применение тройных интегралов (462).
§ 3*. Инт ег ралы, зависящие от п а р а м е т р а ... 461 13G*. Интег ралы с конечными пределами (4G4). 137. Несобствен
ные интегралы, з ависящие от параметра (469).
Вопросы и п редложения дл я самопроверки ... 471
ГЛАСА IX
К Р И В О Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы И И Н Т Е Г Р А Л Ы ПО П О В Е Р Х Н О С Т И . Т Е О Р И Я ПОЛЯ
§ 1. Криволинейный интеграл ... 472 138. Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл (472).
139. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по з а мк
нутому контуру (475). 140. Формула Грина (481). 141. Условие
V
О Г Л А В Л Е Н И Е
независимости интеграла от линии интегрирования (483). 142. Ин
тегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция (487).
ИЗ. Крлволипеииые интегралы но пространственным линиям (490).
144. Приложении криволинейных интегралов к задачам механики и термодинамики (494). 145. Криволинейный интеграл по длине (первого рода) (49!)).
§ 2*. Интегралы но поверхности ...502 146*. Поток жидкости через поверхность. Интеграл по поверхно
сти (502). 147*. Свойства интегралов по поверхности (505).
148*. Вычисление интегралов но поверхности (508;. 149*. Формула Стокса (514). 150*. Формула Остроградского (517).
§ 3*. Теория ноля ...[ ... 51!) 151®. Векторное поле и векторные линии (519). 152*. Поток век
тора. Дивергенция (522). 153*. Циркуляция и ротор векторного поля (528). 154*. Оператор Гамильтона п векторные дифферен
циальные операции второго порядка (533). 155*. Свойства про
стейших векторных полей (535). 15(3*. Электромагнитное иоле (538).
157*. Нестационарные ноля (513).
Вопросы и предложения для самопроверки ... 545 г л л в л х
ДИ ФФЕР Е Н ЦИ АЛ Ь НЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ... 547 158. Общие понятия. Теорема существования (547). 159. Урав не
ния с разделяющимися переменными (551). 160. Некоторые задачи физики (554). 161. Однородные н линейные уравнения п е р в о ю порядка (558). 102. Уравнения в полных дифференциалах (504).
163. Приближенные методы решения уравнений первого поряд
ка (565). 164*. Особые точки дифференциальных уравнений пер
вого порядка (569).
§ 2. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков . . . . 572
165. Дифференциальные уравнения второго порядка (572).
166. Частные случаи уравнений второго порядка (574). 167. Прило
жения к механике (576). 168. Дифференциальные уравнения высших порядков (581).
§ 3. Линейные дифференциальные у р а в н е н и я ...582 169. Линейные уравнения второю порядка. Общие свойства (582).
170. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части (586). 171. Уравнения второго порядка с постоян
ными коэффициентами с правой частью (591). 172. Метод вариации произвольных постоянных (098;. 173. Линейные дифференциальные уравнения «-го порядка (000). 174. Линейные дифференциальный уравнения «-го порядка с постоянными коэффициентами (604).
175. Колебания. Резонанс (605).
§ 4. Системы дифференциальных уравнений ...613 176. Общие определения. Нормальные системы уравнений (613).
177*. Геометрическая и механическая иллюстрации решений си
стемы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (617).
178. Снсі емы линейных дифференциальных уравнений (620;.
О Г Л А В Л Е Н И Е 9
179. Системы линейных дифференциальных уравнении с постоян
ными коэффициентами (622). 180*. Случай кратных корней
характеристического уравнения (627). 181*. Матричная форма записи системы линейных дифференциальных уравнений (630).
Вопросы и п ре дложе н и я для самопроверки ... 634
Г Л А В А XI
Р Я Д Ы
§ 1. Числовые р я д ы ...630 182. Определение ряда и его суммы (626). 183. Необходимы!! при
знак сходимости ряда. Гармонический р я д (6‘10). 184. Ряды с по
ложительными членами. Достаточные признаки сходимости (612).
185. Интег ральный п ризнак Коши (647). 186. Ря ды с произволь
ными членами. Абсолютная сходимость (649).
§ 2. Функциональные р а д ы ... 653 187. Общие определения (653). 188. Свойства правильно сходя
щихся функциональных рядов (656).
§ 3. Степенные р я д ы ...658 189. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости (658).
190. Свойства степенных рядов (663).
§ 4. Разложение функций в степенные р я д ы ... 665 191. Р я д Тейлора (665). 192. Условие разложения функций в ряд Тейлора (668). 193. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора (670). 194. Ра з ложе ни е фу нк ц ий , в ряды Тейлора и Маклорена (673).
§ 5. Некоторые применения рядов Т е й л о р а ...680 195. Приближенное вычисление значений функции (680). 196. Ин
тегрирование функций и' дифференциальных уравнений (684).
§ 6*. Дополнительные вопросы теории степенных р я д о в ... 689 197*. Степенные ряды в комплексной области (689). 198*. Р я д и формула Тейлора д л я функции двух переменных (692).
Вопросы н п р е д л о же н и я для самопроверки ... 694
Г Л А В А XI I
Р Я Д Ы Ф У Р Ь Е . И Н Т Е Г Р А Л Ф У Р Ь Е
§ 1. Р я д ы Ф у р ь е ... 696 199. Гармонические колебания. Тригонометрические . ряды (696).
200. Ря ды Фурье (700). 201. Разложение в ряд Фурь е четных и нечетных функций. Р я д Фурье в произвольном интервале (705).
202. Примеры (707).
§ 2. Дополнительные вопросы теории рядов Фурье. Практический гармонический а н а л и з ...714
203*. Рапенство Парсепаля . Среднее знапеппе квадрата периоди
ческой функции (714). 204*. Р я д ы Фурье и комплексной фор
ме (715). 205*. Ортогональные системы функций (717). 206. П р а к тический гармонический анализ. Шаблоны (719).
§3*. Инт е г ра л Ф у р ь е ...723 207*. Интеграл Фурье (723). 208*. Интеграл Фурь е для четных и нечетных функиші (726). 209*. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье (728).
Вопросы п предложения для самопроверки ... 730 Т а б л и ца интегралов ... . 7 3 1 Л и т е р а т у р а ...736
1 0 ОГ Л ЛИЛ КИПЕ
П Р Е Д И С Л О В И Е
Четвертое издание «Краткого курса математического анализа дли втузов» выпускается в значительно переработанном виде.
Главная цель переработки заключалась в том, чтобы привести
«Курс» в соответствие с программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей, утвержденной Министер
ством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г.
Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объемом курса математики (это относится главным образом к специально
стям технологического профиля), отмечены звездочками; читатель может выпустить эти пункты без всякого ущерба для понимания остального текста. Звездочками отмечены также относящиеся к этим пунктам вопросы для самопроверки, помещенные и конце каждой главы.
За последние годы в серии «Избранные главы высшей мате
матики для инженеров и студентов втузов» вышел ряд книг (см. перечень литературы), которые могут служить учебными пособиями но изучению дополнительных разделов математики.
Именно поэтому в «Курсе» не отражены отдельные пункты общей программы, относящиеся к уравнениям математической физики и функциям комплексного переменного. Специального руководства требует и раздел программы «Методы вычислений и программи
рование»; н:) пего н «Курс» включены лишь отдельные вопросы (применение дифференциала к теории ошибок, приближенное решение уравнений, численное интегрирование).
Для лучшей фиксации внимания читателя формулировки важ
нейших определений и теорем даны жирным шрифтом. В книге почти нет материала, выходящего за рамки программы; поэтому мелким шрифтом набраны лишь отдельные замечания.
В «Курсе» разобрано много примеров и задач, относящихся к различным разделам механики и физики. Изучение их безусловно необходимо для овладения методами математического анализа и, что особенно важно для будущих инженеров, методами примене
ния анализа к решению конкретных физических задач.
1 2 П Р Е Д И С Л О В И Е
Книга ставит своей целью не просто сообщить читателю те или иные необходимые ему сведения но математическому анализу.
Она предназначена и для того, чтобы разнить у читателя логическое н математическое мышление, расширить его математический круго
зор. Поэтому большинство положений высказывается с точным пере
числением условий, при которых они справедливы. Все места, где даются упрощенные доказательства, по возможности оговариваются.
Точно так же отмечаются все теоремы, которые приводятся без дока
зательств.
Читатель, заинтересованный в более глубоком и детальном изу
чении курса анализа, должен обратиться к более полным руковод
ствам; некоторые из них приведены в списке литературы.
Включение в «Курс» ряда новых разделов потребовало в некото
рых случаях довольно существенной переработки старого текста; при этом большое внимание было уделено упрощению и уточнению фор
мулировок определений и теорем. Писать об этих изменениях вряд ли целесообразно: учащемуся, впервые читающему книгу, они ничего не скажут; преподаватели, рекомендующие этот курс студентам, легко обнаружат их сами.
При изучении математики во втузах порядок прохождения мате
риала часто бывает связан не только внутренней логикой- курса, но li сроками прохождения дисциплин, опирающихся на этот курс.
Именно в связи с этим перенесен вперед (по сравнению с предыду
щими изданиями) параграф о векторной функции скалярного аргу
мента, так как .нужда в нем в курсе теоретической механики возни
кает очень рано. Главы второй половины книги образуют циклы (VIII и IX, X, XI и XII), которые могут изучаться почти независимо друг от друга. При этом глава X — дифференциальные уравнения — опирается лишь на самые, простые сведения о функциях многих переменных.
А. Ф. Бермант, создавший первоначальный вариант этого «Курса», скоропостижно скончался 26 мая 1959 г. До сих пор жива память о нем — талантливом учёном и педагоге, кипучем организаторе, отдавшем очень много сил делу повышения математической культуры в пашей стране. Все изменения и дополнения, как в первое, так и в последующие издания внесены мною.
В п р о ц е с с е р а б о т ы я ч а с т о п о л ь з о в а л с я с о в е т а ми м о и х т о в а р и щ е й — ма т е ма т и к ов . Всем нм в ы р а ж а ю с в ою и с к р е н н ю ю п р и з н а т е л ь но с т ь .
ВВЕДЕНИЕ
1. «Э л ем ентарная» и «вы сш ая» м атем ати ка. Говоря о курсе математики, изучаемом в высших учебных заведениях, часто назы
вают его ракурс высшей математики:-. Соответственно те разделы математики, которые изучают в школе, обычно объединяются названием «курс элементарно!! математики». Сразу подчеркнем, что это разделение математики на ■ ■ высшую* и <::элементариую:> весьма, условно; нельзя указать никаких точных признаков, согласно кото
рым такое разделение можно произвести.
Следует все же отметить, что те разделы математики, которые мы относим к «элементарной», возникли и существуют уже очень давно. Любому школьнику известны имена греческих ученых П и ф а г о р а и Е в к л и д а, — первый из которых жил за пятьсот, а т о рой за триста лет до нашей эры. Именно в то время была создана та система элементарно!) геометрии, которая лишь с небольшими изменениями изучается в школе и сейчас.
Несколько позже оформилась как самостоятельный раздел мате
матики алгебра; ее рождение относят к V III веку п. э„ когда хорезм
ский ученый М о х х а м е д А л ь - Х о р е з м и изложил ее основы в трактате «Альджебр аль-мукабала ■, пз первого слона названия которого и произошло само слово -:алгебра>. Разумеется, правила арифметических и алгебраических действии, а также способы реше
ния простейших уравнений были известны значительно раньше.
Возникновение тригонометрии, связанное с астрономическими исследованиями, также относится к античной древности. Конечно п алгебра, и тригонометрия претерпели в своем развиіии очень боль
шие изменения, прежде чем приняли свой современный вид. Ведь алгебраической символикой начали пользоваться сравнительно «не
давно»: основу ее положил французский математик Ф. В н е т в книге, вышедшей в 1591 г.
Те же раздели математики, которые объелиияются общим назва
нием «высшая математика», развились нз учений, возникших в ХҮИ
и XVIII веках в связи с прогрессом есіесівозианпя и техники.
14 В В Е Д Е Н И Е
Потребности науки п техники в более углубленном изучении при
роды привели к учениям о п р о ц е с с а х , я в л е н и я х , наблю
даемых п окружающем пас мире. Это прежде всего коснулось фи
зических яиленпіі. Для того чтобы изучить их с количественно!! сто
роны, стала нужна математика, которая была бы в силах , исследо
вать взаимные изменения различных величин, участвующих в япленип.
М а т е м а т и ч е с к и й а и а ли з — значительный раздел «высшей математики: — как раз п занимается п е р е м е н н ы м и в е л и ч и н а м и в и х в з а и м о з а в и с и м о с т и .
Математический анализ основывается па тесной связи алгебраи
ческих и геометрических методов, впервые появившейся в аналити
ческой геометрии, созданной знаменитым французским математиком li философом Р е н е Д е к а р т о м (1596 — 1650).
2. Величина. Переменная величина и функциональная за в и с и мость. Основное понятие, с которым мы встречаемся па каждом
шагу в любой естественнонаучной или технической области зна
ния, — это понятие с в е л и ч и п ы:.-. Под ветчиной понимают все то, чт о мож ет быть измерено и выражено числом (гони числами).
Б конкретных вопросах естественных и технических наук при
ходится встречаться с величинами разнообразной природы. Приме
рами величии служат: длина, площадь, объем, вес, температура, ско
рость, сила и т. п. И математике же не участвуют конкретные величины.
Математические положения и законы формулируют, абстраги
руясь от конкретной природы величин, принимая во внимание лишь их ч и с л е п п ы е з и а ч е и и я. В соответствии с этим в мат ема
тике рассматривают величину вообще, от влекаясь от физического смысла, который она может иметь. Именно поэтому математические теории с одинаковым успехом могут быть применены к исследованию любых конкретных величин. В этом, между прочим, выражается та общность, универсальность математических теорий, которую назы
вают также а б с т р а к т н о с т ь ю , иногда неправильно понимая под этим оторванность от практики, от действительности. Ф. Э п
г е л ь с в таких словах подчеркивает эту особенность математики:
«...чтобы быть и состоянии исследовать эти формы (простран
ственные. — А. Б.) н отношения (количественные. — А. Б.) в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оста
вить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные тол
щины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины.. J).
>) Ф. Э н г е л ь с , Антм-Дюрннг, Госполнтіпдат, 1952, стр. 37.
В В Е Д Е Н И Е 15
Среди совместно рассматриваемых величин обычно некоторые изменяются, другие лее остаются постоянными. И з м е н е н и е , д в и ж е н и е есть первейший признак того, что мы называем
я в л е н и е м , п р о ц е с с о м . Я в л е н и е , н а б л ю д а е м о е в п р и р о д е и л и т ехнике, и в о с п р и н и м а е т с я н а м и к а к и з м е н е н и е о д н и х в е л и ч и н , у ч а с т в у ю щ и х в этом я в л е н и и , о б у с л о в л е н н о е и з м е н е н и е м д р у г и х .Например, на
блюдая некоторую массу газа при постоянной температуре, мы отмечаем изменение упругости газа прн изменении его объема.
Точно так же при рассмотрении падения тела (в пустоте) под воз
действием силы тяжести мы отмечаем изменение скорости движе
ния прн изменении расстояния тела от точки, нз которой началось падение, а также изменение и этого расстояния и скорости дви
жения с течением времени. Вместе с тем ускорение движения остается постоянным и
в л ю б о ймомент времени,
ина всем пути падения.
Для изучения явлений необходимо ввести в математику понятие п е р е м е н н о й в е л и ч и п ы.
П е р е м е н н о й назы в аю т в е л и ч и н у , п р и н и м а ю щ у ю р а з л и ч н ы е ч и с л е н н ы е з н а ч е н и я; в е л и ч и н а , ко т о р а я со х р а н я е т о д н о и то же ч и с л е н н о е з н а ч е н и е , н а з ы в а ет ся пост о я н н о й .
Как уже было сказано, всякий процесс характеризуется (с ко
личественной стороны) взанмоизмепяемостыо нескольких перемен
ных величин. Такое представление приводит к важнейшему в ма
тематике понятию ф у н к ц и о н а л ь н о й з а в и с и м о с т и , т. е.
связи между переменными величинами.
Установление и описание связи между величинами, участвую
щими в данном процессе, есть первая и главная задача естествен
ных и технических паук.
З а к о н о м п р о ц е с с а и м е н н о и н азы вает ся ф у н к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь , п р о я в л я ю щ а я с я в этом п р о ц е с с е и х а р а к т е р и з у ю щ а я его;говорят еще, что эта зависимость о и и с ы в а е ? п р о ц е с с . Так, функциональная зависимость между упругостью (/)) и объемом (т>) газа, состоящая в том, что при постоянной тем
пературе
р = (к —постоянная), выражает закон, которому сле
дуют газы при соответствующих условиях. Словесное выражение функциональной зависимости — у п р у г о с т ь г а з а о б р а т н о и р о и о р ц и о п а л ь н а о б ъ е м у (при постоянной температуре) — есть обычная формулировки указанного закона. Аналогично функ
циональная зависимость между расстоянием (.?), пройденным сво
бодно падающим телом, и временем падения (/), состоящая в том, что
( g— ускорение силы тяжести), выражает з а к о н
с в о б о д н о г о п а д е н и я .
Важнейшей задачей математического анализа является всесго*-
ровнее изучение функциональных зависимостей.
16 f В В Е Д И Н И В
3. М атем ати ка и действительность. Невозможно дать краткое li исчерпывающее определение математики. Ф. Э н г е л ь с у принад
лежит суждение о пречмете математической пауки, которое в силу своей глубины и лаконичности должно считаться наиболее удачным и точным:
<4 ист ая м ат емат ика имеет своим объектом пространствен
ные формы и количественные отношения действительного мира. . . » 1).
При этом Ф. Энгельс особо подчеркивает опытное происхожде
ние математики: «Как понятие числа, так п понятие фигуры заим
ствованы исключительно из внешнего мира, а пе возникли в голове из чистого мышления*2).
Благодаря этому математика п оказывает существенную помощь п изучении вещей и процессов, встречающихся как в различных пауках о природе, так и в различных пауках об обществе, везде, где есть необходимость рассматривать эти вещи и процессы с коли
чественной стороны. Что же касается естествознании и техники, то математика является для них чрезвычайно ценным методом теорети
ческого исследования и практическим орудием. Без тех средств,, которые дает элементарная, а затем и высшая математика, невозмо
жен никакой технический расчет, а значит, без математики невоз
можна и никакая серьезная инженерная и научно-техническая работа.
Это есть следствие того, что технические науки опираются па физику, механику, химию п т. д., количественные закономерности которых выражаются с помощью понятия функции и других поня
тий математического анализа. Еще Г а л и л е й говорил, что «законы природы записаны на языке математики-:-.
Ярким подтверждением того, что и математическая наука рож
дается пз объективной реальности, что и ее законы, соотношения правильно отражают в особой, присущей ей абстрактной форме действительные соотношения материального мира, служит возмож
ность научного п р е д в и д е н и я с помощью математики, т. е. пра
вильность выводов, получаемых математическим путем, согласие
«предсказанного* с реальностью, с тем, что фактически осущест
вляется в дальнейшем.
В истории науки известно много ярких примеров предвидении.
Мы кратко коснемся здесь только некоторых примеров; они очень выразительны по той роли, которую играет н них математика.
Как известно, основателем современного учения о полете тела более тяжелого, чем воздух, является виднейший механик конца Х!Х и начала XX вв. московский профессор II. Е. Ж у к о в с к и й .
Он нашел математическим путем такие формулы и предложе
ния, которые легли в основу теории авиации. В частности,
>) Ф. Э н г е л ь с , Аитп-Дюрппг, Госвотіігиздаі, 1952, стр. 37.
г) Там же.
В В Е Д Е Н И Е 1 7
И Е. Жуковским теоретически предсказал возможность сфшур высшего пилотажа Первая фигура — «мертвая пет ля:.-— в скором времени была осуществлена капитаном русском армии ГІ.ІІ. Н е с т е р о в ы м . Итак, «мертвая петля:;-, прежде чем она появилась -"физиче
ски», была открыта «математически::-!
‘французский учеиыіі И. Л е в е р ь е занимался вопросами движе
ния планет солнечном системы. При этом он исходил пз законов классическом механики, выраженных и виде известных функциональ
ных зависпмостсМ. Леверье заметил, что некоторые его выводы рас
ходятся с имеющимися наблюдениями; он нашел также, что эти рас
хождения могут быть устранены, если допустить существование еще одиоМ планеты с определенными массоМ и траекторпем. Нз основе его предположении новая планета, названная затем Нептуном, дей
ствительно была вскоре обнаружена в том месте и в тот момент, которые им были заранее указаны. 'Гак за столом, па листе бумаги, при помощи вычпслешні был для пауки открыт повыП мир! Нас теперь пе удивляет точнейшее знание будущих астрономических событии. Разумеется, оно возможно именно потому, что употребляе
мые математические методы верно отражают объективные законо
мерности.
Резко повысилась роль математики в последнее время, чему во многом способствовало и расширение ее возможностей, связанное с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин.
Осуществление космических полетов, посылка ракет к другим пла
нетам и телевизионная связь с ними — все это потребовало пеобы-
чаМпо сложных и точных математических расчетов. Математические
методы широко вторгаются в науки, еще недавно весьма далекие
от математики: в экономику, биологию, медицину. Можно смело
сказать, что ни одни паучно-техннческнМ замысел современности не
обходится без участия математики.
Г Л А В А I
Ф У Н К Ц И Я
§ 1. Действительны е числа
"-•l 4 . Действительны е числа и числовая ось. И нтервал. Мы начнем изучение анализа с рассмотрения
действительных чисел.Напомним некоторые основные определения.
Целые положительные числа 1, 2, 3, . . . называются
натуральными.
Присоединяя к натуральным числам все дробные числа и нуль, а также рассматривая не только положительные числа, но и отри
цательные, мы получаем множество*)
рациональных чисел.Любое рациональное число имеет вид р где
ри
q— целые числа.
Каждое рациональное число может быть записано в виде ко
нечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональными
числами называются бесконечные непериоди
ческие десятичные дроби. Можно доказать, например, что ] / 2, V 3, lg 3, я , sin 20° и т . д . являются числами иррациональными.
Мы будем считать, что действия над иррациональными числами читателю известны.
Все рациональные и иррациональные числа образуют множество дей стен тельных ч и с е л .
Перейдем теперь к геометрическому изображению чисел. Возь
мем прямую линию и на ней некоторую точку
О,которую примем за начало отсчета длин. Выберем масштаб, т. е. отрезок, прини
маемый за единицу длины, и установим направление отсчета.
О п р е д е л е н и е . Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб н направление отсчета, называется ч и с л о - вой осыо.
' ) Под термином множество здесь и в дальнейшем понимается некоторая совокупность (конечная или бесконечная) чисел или точек.
4] § 1 . Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е Ч І І С ЛЛ 19
