• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ - ENU

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ - ENU"

Copied!
75
0
0

Толық мәтін

(1)

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДЫҒЫ ЕҰУ КІТАПХАНАСЫ

Зара СЫЗДЫҚОВА, Андрей ИБАТОВ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ

ОҚУЛЫҚ

АСТАНА 2011

(2)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДЫҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ

ОҚУЛЫҚ

АСТАНА 2011

(3)

УДК 51(075.8) ББК 22.311я73 М13

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің Ғылыми кеңесі ұсынған

Пікір жазғандар:

Ә.Түнғатаров, физика–математика ғылымдарының докторы, профессор Қ.А.Бекмағанбетов, физика–математика ғылымдарының кандидаты, доцент

М13 Сыздықова З., Ибатов А.

Математикалық физика теңдеулері: математика, техникалық ғылымдар және технологиялар бағытындағы мамандықтарға арналған оқулық \ Астана:

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ, 2011 –315 б.

SBN 9965-31-380-6

Оқулықтың негізін доценттер З.Н.Сыздықова мен А.Ибатовтың

«Математикалық физика теңдеулері» базалық курсы бойынша механика–

математика факультеті студенттеріне ұзақ жылдар бойы оқыған дәрістері құрайды. Курста екінші ретті дербес туындылы теңдеулер, дербес жағдайда, толқындық теңдеу, жылуөткізгіштік теңдеуі және Лаплас теңдеуі қамтылған.

Сонымен қатар интегралдық теңдеулер мен арнаулы функциялар теорияларының қарапайым мәселелері баяндалған.

«Математикалық физика теңдеулері» оқулығы жоғарғы оқу орындарының математика, техникалық ғылымдар және технологиялар бағытындағы мамандықтарға арналған.

УДК 51(075.8) ББК 22.311я73

ISBN 9965-31-380-6

© Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ, 2011.

© Сыздыкова З., Ибатов А, 2011.

(4)

3

МАЗМҰНЫ

АЛҒЫСӨЗ ... ...7

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ДЕГЕН НЕ?...8

1 - ТАРАУ. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР 1.1. Жай дифференциалдық теңдеу ... 21

1.2. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу ... 23

1.3. Лаплас операторы ... 30

1.4. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу ... 32

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...37

2- ТАРАУ. ЕКІНШІ РЕТТІ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ 2.1. Екінші ретті дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеулердің типін анықтау...39

2.2. Екінші ретті жоғарғы ретті туындыларына байланысты сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді канондық түрге келтіру. Сипаттама ұғымы...46

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...58

3 - ТАРАУ. ШТУРМ – ЛИУВИЛЛЬ ЕСЕБІ 3.1. Шекаралық есептің қойылуы ... 60

3.2. Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері мен өзіндік функцияларының негізгі қасиеттері ... 62

3.3. Штурм-Лиувилль есебінің шешімін табу ... 67

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...73

4 - ТАРАУ. ФУРЬЕ ҚАТАРЫ. БЕРІЛГЕН ФУНКЦИЯНЫ ФУРЬЕ ҚАТАРЫНА ЖІКТЕУ 4.1. Фурье қатары ... 74

4.2. Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу. ... 81

4.3. Кейбір қарапайым тұжырымдар... 88

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...90

5 - ТАРАУ. ЕКІНШІ РЕТТІ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ЖӘНЕ ОЛАРҒА ҚОЙЫЛАТЫН ҚОСЫМША ШАРТТАР 5.1. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін негізгі есептер...92

5.2. Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару ...95

5.3. Жылуөткізгіштік теңдеуін қорытып шығару ...98

5.4. Стационар теңдеу ...100

(5)

4

5.5. Математикалық физика теңдеулеріне қойылатын қосымша шарттар...101 5.6. Шекаралық шарттар ... 102 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...105 6 - ТАРАУ. ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

6.1. Стационар емес теңдеулер үшін шекаралық есептер ... 107 6.2. Стационар теңдеулер үшін шекаралық есептер ... 110 6.3. Дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептің корректілі

қойылуы. Корректілі емес шекаралық есептерге мысалдар...113 6.4 Коши есебі. Коши–Ковалевская теоремасы...117 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...119 7- ТАРАУ. ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР

7.1.Толқын теңдеуі...120 7.2.Rx4,t кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі...124 7.3.Біртекті емес толқын теңдеуі үшін Коши есебі...131 7.4.R3x,t кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Пуассон

формуласы...135 7.5.Rx2,t кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Д'аламбер формуласы...139 7.6.Тәуелділік облысы, әсер ету облысы және анықталу облысы

ұғымдары...143 7.7. Жартылай шектелген ішек тербелісіне қойылатын бастапқы-шекаралық есептер...146 7.8. Ішек тербелісі үшін Гурса және Дарбу есептері...156 7.9. Сызықты гиперболалық жалпы теңдеу үшін Коши және Гурса есебі.

Біртіндеп жуықтау әдісі...161 7.10. Коши және Гурса есептері шешімін құру үшін Риман әдісі...171 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...176 8 –ТАРАУ. ПАРАБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР

8.1. Жылуөткізгіштік теңдеуі. Фундаменталдық шешім... 179 8.2. Жылуөткізгіштік теңдеуге қойылатын бастапқы бірінші шекаралық

есебі. Максимум белгісі. Шешімнің жалғыздығы және орнықтылығы...180 8.3. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін Коши-Дирихле есебі... 184 8.4. Жылуөткізгіштік теңдеуінің фундаменталдық шешімінің физикалық

мағынасы...189 8.5. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын Коши-Дирихле

есебінің шешімін табу...191 8.6. Жартылай сан өсінде берілген жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы- бірінші шекаралық есебінің шешімін табу...195 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...199

(6)

5

9-ТАРАУ. ФУРЬЕ ӘДІСІ

9.1. Фурье әдісінің жалпы схемасы ... 201

9.2. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу ... 201

9.3. Біртекті емес жылу өткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу... 205

9.4. Шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есепті шешу...209

9.5. Фурье әдісіне байланысты жалпы ескертулер...213

9.6. Толқындық теңдеу үшін қойылатын есептің шешімін табу...217

9.7. Ұштары қатты бекітілген еркін емес ішек тербелісіне қойылған бастапқы – бірінші шекаралық есепті шешу ... 224

9.8. Ұштары жылжып отыратын еркін ішек тербелісіне қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есепті шешу...226

9.9. Декарттық координата жүйесіндегі тік төртбұрышты мембрананың тербеліс теңдеуі үшін Фурьенің айнымалыларға жіктеу әдісі ... 231

9.10. Жазықтықтағы берілген толқындық теңдеу үшін қойылатын бастапқы және шекаралық есептің шешімін табу ... 235

9.11. Дөңгелекте берілген эллиптикалық теңдеу үшін қойылатын бірінші шекаралық есептің шешімін табу ... 238

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...242

10-ТАРАУ. ИНТЕГРАЛДЫҚ ТҮРЛЕНДІРУЛЕР ӘДІСІ 10.1. Лаплас, Фурье және Меллин түрлендірулері...245

10.2. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу үшін қойылатын есептерге интегралдық түрлендірулерді қолдану...248

10.3. Ішек тербелісіне қойылатын Коши есебінің шешімін Фурье түрлендіруі арқылы құру...250

10.4.Функциялар үйірткісі (ұйыспасы)...252

10.5. Дирактың – функциясы...255

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...257

11 - ТАРАУ. ПОТЕНЦИАЛДАР ТЕОРИЯСЫ 11.1. Кеңістіктегі Лаплас және Пуассон теңдеулері ... ... 258

11.2. Максимум принципі ... . 258

11.3. Гриннің бірінші және екінші формуласы ... 261

11.4. Гриннің негізгі формуласы ... 262

11.5. Қос қабаттық, жай қабаттық және көлемдік потенциалдар ... 266

11.6. Гармониялық функцияның негізгі қасиеттері ... 267

11.7. Гармониялық функцияның оқшау ерекше нүктелері ... 269

11.8. Гармониялық функцияның шексіздіктегі тәртібі ... 271

11.9. Кеңістіктегі Пуассон теңдеуі. Ньютон потенциалы ... 272

11.10. Пуассон теңдеуінің шешімін құру ... 273

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...277

(7)

6

12 - ТАРАУ. ШАР ҮШІН ДИРИХЛЕ ЕСЕБІНІҢ ШЕШІМІ

12.1. Дирихле есебі үшін Грин функциясы ... 279

12.2. Шар үшін сыртқы Дирихле есебінің шешімі ... 281

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...285

13 - ТАРАУ. ЖАРТЫ КЕҢІСТІК ҮШІН ДИРИХЛЕ ЖӘНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІ 13.1. Дирихле және Нейман есептері шешімдерінің жалғыз болуы туралы теорема ... 287

13.2. Дирихле және Нейман есептерінің шешімдерін құру ... 289

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...292

14 - ТАРАУ. КӨЛЕМДІК, ҚОС ЖӘНЕ ЖАЙ ҚАБАТТЫҚ ПОТЕНЦИАЛДАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ 14.1. Көлемдік потенциал ... 293

14.2. Ляпунов беті ... 295

14.3. Қос қабаттық потенциал ... 295

14.4. Жай қабаттық потенциал ... 297

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...298

15 - ТАРАУ. ДИРИХЛЕ ЖӘНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІН ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРУ 15.1. Есептердің қойылымы және олардың шешімдерінің жалғыздығы ... 300

15.2. Шектік есептер үшін интегралдық теңдеулер ... 304

Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...307

ӘДЕБИЕТ ... 308

ТҮСІНДІРМЕ СӨЗДІК ... 309

(8)

7

АЛҒЫСӨЗ

Оқулық жоғары білім берудің мемлекеттік стандартына және оқытудың кредиттік технологиялар жүйесіне бойынша құрылған типтік бағдарламаға сай жазылған.

Математикалық физиканың қарастыратын мәселелері әртүрлі физикалық үрдістермен тығыз байланысты. Гидродинамикада, серпімділік теориясында, электродинамикада және т.б. салаларда зерттелетін құбылыстарды талдауға құрылған математикалық есептердің жиі кездесетін ортақ элементтері математикалық физика пәнінің мағынасын айқындайды. Ғылымның осы саласында қолданылатын әдістер шын мәнінде математикалық зерттеу болып табылады. Алайда, физикалық мәселелермен тікелей байланысты болғандықтан математикалық физика есептерінің өзіндік ерекше белгілері бар екенін атап өту қажет.

Ұсынылып отырған оқулықта математикалық физиканың дербес туындылы теңдеулерге келтіретін есептері қарастырылған. Теңдеудің әр типін зерттеу оған қатысты қарапайым физикалық есептерді талдаудан басталады. Есептің математикалық қисынды қойылуына, қарапайым есеп шешімдерінің нақты қатаң тілде мазмұндалуына және алынған нәтижелердің физикалық мағыналауына ерекше назар аударылған.

Материалды таңдау мен баяндауды қалыпты физикалық үрдістердің сипаттамасына жақындату үшін материалдардың орналасу реті теңдеулердің негізгі типтеріне сәйкес келтірілген.

Әр тарауда техникалық дағдыларды дамытуға, қалыптастыруға бағытталған есептер бар. Әр тараудың соңында негізгі мәтінде талданған әдістерді әртүрлі физикалық және техникалық есептерге қолдану мысалдары келтірілген, сонымен қатар, негізгі сұрақтар аясынан тыс есептер де қамтылған. Сөз жоқ, қажетті жағдайда ондай нұсқаларды күрделігіне қарай молынша таңдауға болады.

Оқулыққа математикалық физика әдістері курсы бойынша материалдың тек санаулы бөлігі ғана кірді. Кітапта интегралдық теңдеулер мен вариациялық әдістер қамтылмаған.

Оқулықта қазіргі заманғы математикалық физика зерттеулеріне шолу жасаған Ресей ғалымы В.С. Владимировтың «Математикалық физика деген не?» атты мақаласының [5] аудармасы берілген.

Оқулық негізін авторлардың Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің механика және математика факультетінде ұзақ жылдар бойы оқыған дәрістерінің толықтырылып қайта өңделген нұсқасы құрайды.

(9)

8

Математикалық физика деген не?

Математикалық физика – физикалық құбылыстардың математикалық модельдерінің теориясы. Ол математикалық ғылымдарға жатады.

Оғанақиқаттың критерийін математикалық дәлелдеу тән. Алайда таза математикалық ғылымдардан айырмашылығы математикалық физикада физикалық есептер математикалық деңгейде зерттеледі. Нәтижелері теоремалар, графиктер, кестелер т.б. түрінде көрсетіліп, физикалық интерпретацияланады. Математикалық физиканың осындай кең түсінігінде оған механиканың бөлімдері – гидродинамика, серпімділік теориясын жатқызуға болады.

Бастапқыда математикалық физика дифференциалдық теңдеулердің шектік есептері үшін келтірілетін. Бұл бағыт классикалық математикалық физика пәнін құрайды, қазіргі кезде де маңызды мәнін сақтаған.

Классикалық математикалық физика Ньютон заманынан бері физика мен математиканың дамуымен қатар дамыған. XVII ғасырдың аяғында дифференциалдық және интегралдық есептеулер (И.Ньютон, Г.Лейбниц) және классикалық механиканың негізгі заңы мен дүниежүзілік тартылыс заңы (И.Ньютон) тұжырымдалды. XVIIІ ғасырда ішектің, стерженьнің, маятниктердің тербелістерін, сонымен қатар акустика мен гидродинамикаға байланысты есептерді шығару барысында математикалық физиканың тәсілдері қалыптаса бастады және аналитикалық механиканың негіздері қаланды (Ж.Д'аламбер, Л.Эйлер, Д.Бернулли, Ж.Лагранж, П.Лаплас). XIХ ғасырда жылуөткізгіштік, диффузия, серпімділік теориясы, оптика, электродинамика, сызықты емес толқын құбылыстары және т.б. есептеріне байланысты математикалық физика тәсілдері жаңа бағытта дамыды; потенциалдар теориясы мен қозғалыс орнықтылығы теориясы қалыптасты (Ж.Фурье, С.Пуассон, П.Дирихле, Л.Больцман, О.Коши, М.В.Остроградский, Б.Риман, С.В.Ковалевская, Д.Стокс, Дж.К.Максвелл, Г.Р.Кирхгоф, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, В.А.Стеклов, Ж.Адамар). ХХ ғасырда газдың динамикасы, бөлшектердің орын ауыстыру теориясы және плазма физикасында жаңа есептер туындады.

Классикалық математикалық физиканың көптеген есептерінің арасында төмендегі қарапайым математикалық физика теңдеулерінің үш типі:

Пуассон теңдеуі ( f 0болғанда, Лаплас теңдеуі)

u f,uu(x), x(x1,x2,...,xn)GRn, (1) мұндағы -Лаплас операторы,

.

... 2

2 22

2 12 2

xn

x

x

(10)

9

жылуөткізгіштік теңдеуі

2 , ( , ), , 0,

a u f u u x t x G R t t

u n

(2) толқын теңдеуі

2 2 , ( , ), , 0

2

a u f u u x t x G R t t

u n

(3) қарастырылады.

(2), (3) теңдеулерінде t уақытты білдіреді. t уақытқа тәуелді емес (2), (3) теңдеулері стационарлы деп аталады. Стационарлы (2), (3) теңдеулері Пуассон (1) теңдеуіне келтіріледі.

Дифференциалдық теңдеулер сәйкесінше шектік шарттар арқылы толықтырылады. Мысалы, (1) теңдеу

uxS 1(x) немесе 2(x) n

u

S x

(4) шекаралық шарттары арқылы толықтырылса, онда (1)-(4) сәйкесінше Дирихле немесе Нейман есебін анықтайды (1-сурет).

1-сурет Егер (2) теңдеу

u(x,0)u0(x), xRn (5) бастапқы шарты, ал (3) теңдеу

n

t

R x x t u

x u u x

u

), ( ),

( ) 0 ,

( 1

0

0 (6)

бастапқы шарты арқылы толықтырылса, онда (2),(5) және (3),(6) Коши есебін анықтайды.

(2) мен (5) теңдеулері үшін аралас есептер қоюға болады. Аралас есептер (4) шекаралық шарттар мен (5) бастапқы немесе (6) бастапқы шартты қамтиды (2-сурет).

(11)

10

2-сурет

Дирихле мен Нейманның шекаралық есептерін зерттеген кезде мына теңсіздікті: егер G облысы шектелген, оның шекарасы S кесек тегіс жазықтық, ал f функциясы G

тұйық облысында бір рет үзіліссіз дифференциалданатын және мына a)

0

G

x d

f немесе b) S 0

f x шарттардың біреуін қанағаттандыратын болса, онда

dx

x f x

f x

G f C x d f

G G n

 













2 2

2 2

1

2 ( ) ...

болатынын ескерген жөн. Бұл теңсіздік К.Фридрихстың атымен аталады, дегенмен де а) жағдайын А.Пуанкаре дәлелдеген (1894 ж.), ал b) жағдайын В.А.Стеклов дәлелдеген (1896 ж.). Олар

0

) 1

(G

C тұрақтыларының дәл мәндерін көрсетті, мұндағы 0 а) жағдайында Нейман есебінің ең кіші өзіндік мәні, б) жағдайында Дирихле есебінің ең кіші өзіндік мәні. Сондықтан бұл теңсіздікті Пуанкаре-Стеклов теңсіздігі деп атаған жөн болар еді. n1 болған кезде, бұл теңсіздік мына түрге келеді:

l f x dx dx

x f

l l

) ( )

(

0 '2 2

0

2

.

Кванттық механика мен ядролық электрониканың дамуына байланысты теңдеулердің жаңа түрлері және математикалық физиканың жаңа шектік есептері пайда болды.

) , (x t

толқындық функциясы үшін Шредингер теңдеуі

, 2

2  

V

m h

ih t

(7)

(12)

11 )

,..., ,

(x1 x2 xn

x , мұндағы h -Планк тұрақтысы. Шредингер теңдеуі үшін Коши есебі қойылады.

Шредингердің стационар теңдеуі

( ) 0 2

2

V x m

h (8) үшін шекаралық шарт L2(R3) шексіздіктегі шешімді сипаттайтын түрде болуы мүмкін.

Гельмгольц теңдеуі

k2 f(x) (9) сәйкес шексіздіктегі шекаралық шарт келесі түрде беріледі

(x)eik(a,x) (x), a 1, x , мұндағы (x) функциясы Зоммерфельд шағылуы шартты

ik x o x x x

x x O

x ( ) ( ) ( ),

), ( )

( 1 1

, (10)

қанағаттандырады. Мұндағы x x x x x

12 22 32 вектордың Евклид ұзындығы,

x x a x a x a x

a

1 1 2 2 3 3 )

,

( және a векторлардың скаляр көбейтіндісі,

) , , (a1 a2 a3 a

.

Изотропты шашырау үшін бөлшектің орын ауыстыруының біржылдамдықты теңдеуі

( , , ) ,

4 ) ) (

, 1 (

1

' '

'

F d

t x x

t grad



(11)

мұндағы (x,,t) x (x1,x2,x3) нүктесіндегі t мезетінде

, 1

бағытында,

жылдамдықпен қозғалатын бөлшектің тығыздығы. Коши есебі қойылады.

Бөлшектің орын ауыстыруының стационар теңдеуі

 

( , , ) ( , )

4 ) ) (

(

, '

1 '

'

x F d

t x x

x

grad

(12)

үшін шекаралық шарт дөңес облыс (1 сурет) үшін

(13)

12

0,егер(,n)0

S

x , (13) түрде болуы мүмкін, (13) бөлшектің құлайтын ағынының жоқтығын сипаттайды.

Айтып кетейік, (12)-(13) шекаралық есеп Пайерлстың интегралдық теңдеуі

 

, ,

( ) ( ) ( )

1 ( exp

4 ) 1

( 2

1

0 dy

y x

y y x F y n y y

x

dt y t x

t x

n

G

 

пара-пар, ал орташа тығыздығы үшін

 







d x x

n ,

4 ) 1 (

1

Классикалық математикалық физика есептерін зерттеудегі негізгі математикалық құралдар дифференциалдық және интегралдық теңдеулер теориясы, функционалдық анализ, функциялар теориясы, вариациялық есептеулер, ықтималдықтар теориясы, есептеу математикасы және жуықтау әдістері.

Математикалық физика теңдеулеріне қойылатын есептердің ішінде шешімі бар, ол жалғыз және шешім есептің берілгендеріне байланысты үзіліссіз тәуелді болатын, яғни Адамар бойынша қисынды қойылған есептердің маңызы өте зор. Бір қарағанда бұл талаптардың орындалуы айқын сияқты болғанмен оларды қабылданған математикалық модельге сәйкес дәлелдеу қажет.

Қисындылықты дәлелдеу – математикалық модельдің бірінші апробациясы:

модель қайшылықсыз (шешім бар болуы), модель физикалық құбылысты бірмәнді суреттейді (шешім жалғыздығы), модель физикалық өлшемдердің есептеу қателіктеріне байланысты аз сезінеді (шешімнің орнықтылығы).

Мысалы, жоғарыда келтірілген шектік есептер қисынды қойылған.

ХХ ғасырда физиканың жаңа салалары пайда болады: кванттық механика, кванттық өріс теориясы, кванттық статистикалық физика, салыстырмалы теориясы, гравитация (А.Пуанкаре, Д.Гильберт, П.Дирак, А.Энштейн, Н.Н.Боголюбов, В.А.Фок, Э.Шрёдингер, Г.Вейль, Р.Фейнман, Дж.Фон Нейман, В.Гейзенберг). Бұл құбылыстарды зерттеу барысында қолданылатын математикалық әдістемелердің көбі едәуір кеңейтілді: дәстүрлі математикалық бағыттармен қатар операторлар теориясы, жалпылама функциялар теориясы, комплекс айнымалы функциялар теориясы, топология және алгебралық әдістер, сандар теориясы, асимтотикалық және есептеу әдістер кең қолданыла бастады.

ЭЕМ-нің пайда болуымен бөлшектік анализ жасалатын математикалық модельдердің класы кеңейді; нақты есептеу тәжірибесін жүргізуге мүмкіндік туды, мысалы, атом бомбасының жарылуын немесе атом реакторының

(14)

13

жұмысын уақыттың шыңайы көлемінде модельдеу. Қазіргі заманғы теориялық физика мен қазіргі заманғы математиканың интенсивті әсерлесуі жаңа облысты – қазіргі заманғы математикалық физиканы тудырды. Оның модельдері әр уақытта дифференциалдық теңдеулерге қойылатын шектік есептерге келтіріле бермейді, олар көбіне аксиомалар жүйесі түрінде беріледі. ХХ ғасырдағы теориялық физиканың даму тенденциясын П.Дирак жақсы түсінген. 1930ж. ол өзінің позитронның бар болуы жайлы атақты мақаласында: «Бұл үзіліссіз абстракциялау процесі жалғаса береді және алдағы уақытта физиканың жетістіктері үлкен дәрежеде математикалық негізде аксиомаларды жалпылау мен модификациялауға сүйенетіндігінің ықтималдығы», –деп жазған.

Теориялық физиканың кейінгі дамуы Дирактың бұл тұжырымын растады.

50-ші жылдары теориялық физикада бірінші болып Н.Н.Боголюбов ұсынған кванттық өріс теориясын аксиоматизациялау аксиоматизация әдісінің жасалуы мен қолданылуына бірден-бір мысал болады. Сол кездері гамильтондық формалдауды қолданған кезінде ультракүлгіндік ажырау маңызды мәселе болды. Боголюбов бұл мәселені шешудің жаңа әдісін ұсынды.

Ең алдымен ол гамильтондық формалдаудан бас тартып, Гейзенберг енгізген шашырау матрицасын теория негізінде алды. Ол шашырау матрицасының элементтері ретінде оператор мәнді жалпыланған функциялар болсын деп ұйғарып, мүмкін болатын математикалық обьектілер жиынын едәуір кеңейтті.

Бұл жағдайда шашырау матрицасы физиканың негізгі постулаттарын (аксиомаларын): релятивті ковариантты, унитарлы, себептілікті, спектрлікті қанағаттандыру керек деген талап қойылды.

Н.Н.Боголюбов математиканы тек есептеуге арналған құрал ғана емес, сонымен қатар, математика көмегімен бірнеше айқын аксиомалардан жаңа білімді алу құралы ретінде қарастырған (Адамс пен Леверьенің Нептун планетасының орбитасын есептеуін, топтар теориясының көмегімен жаңа бөлшек ашқаны, тәжірибелік жолмен тексеруге болатын кванттық өріс теориясындағы дисперсиондық қатынасты алуын еске түсірейік).

Н.Н. Боголюбов ұсынған кванттық өрістер теориясын аксиоматизациялау жүйесі Д.Гильберттің VI проблемасын («Математиканың ролі өте маңызды физикалық ғылымдарды дамыту») шешуге бірінші нақты қадам болып табылды.

Н.Н.Боголюбовтың шығармашылығындағы математика мен физиканың әдемі үлесуі оған қазіргі математикалық физиканың негізін қалауға мүмкіндік берді. 1963 жылда-ақ оның «Кванттық өріс теориясының негізгі түсініктері мен әдістері күннен күнге математикалық болып келе жатыр» деген тұжырымды айтуға толық негізі болған. Одан да айқынырақ ол қазіргі замандық теориялық және математикалық физикадағы тенденцияларды кванттық өріс теориясының проблемаларына арналған Халықаралық жиналысының ашылуында (Алушта, 1981ж.) былай бағалады: «Соңғы жылдарда біздің көз алдымызда ғылымның мүлде басқаша аймағы пайда болды, оны ең дұрысы қазіргі замандық математикалық физика деп атаған жөн. Оның классикалық математикалық физикамен генетикалық шығу тамыры бір... . Физиктер өздерінің сұрақтарына дұрыс жауаптарды алу үшін, зерттеу обьектілерінің математикалық табиғатын,

(15)

14

мысалы, жалпыланған функциялар, шектелмеген операторлар сияқты ұғымдарды тереңірек түсіну, аргументацияның дәлелдеу күшінің қабылданған стандартын көтеру қажеттілігіне көз жеткізді. Олар артық және қажетілігі жоқ детальдаудан арылу үшін теорияны құруда аксиоматикалық жолдарды іздеді.

Сонда қазіргі замандағы математикалық әдістер өте күшті нәтижелер алуға мүмкіндік береді. Физиктердің қазіргі замандағы математикалық әдістерге жүгінуі, ал математиктердің кванттық физика есептеріне қызығушылығы екі жаққа да пайдалы».

Біз көріп тұрғандай, қазіргі замандық математикалық физика терминін 1981 жылы ақ Н.Н.Боголюбов енгізді.

Енді «Теориялық физика үлкен дәрежеде математикалық физика болып жатыр» деп айтуға болады.

Математикалық физиканың есептерін зерттеуде жалпыланған функциялар мен олармен тығыз байланысқан жалпылама шешім концепциясы үлкен роль атқарады. ХІХ ғасырда жалпылама шешімдер мен функциялар белгілі бір дәрежеде Г.Р.Кирхгоф, Дж.Максвелл және О.Хевисайдтың жұмыстарында қарастырылған. ХХ ғ.-дың 20-30 жылдарында жалпыланған туынды (функция тәріздес) және жалпылама шешім түсінігі белгілі бір дәрежеде Д.Эванс, Л.Тонелли, Ч.Морри, К.О.Фридрихс, Ж.Лере сияқты математиктердің жұмыстарында кездеседі. Алайда оданда бұрын Л.Эйлер өзінің фундаменталдық «Integralrechnung» жұмысында (1830ж.) жалпылама шешім туралы айқын айтқан. Біртекті ішектің кішкене көлденең тербелістері үшін

2

2 2 2 2

x a u t

u

(14) толқын теңдеуінің жалпы шешімін келесі

u(x,t) f(xat)g(xat) (15) түрде алып, ол: «Осы жолмен бұл көреген ғалым Д'аламбер толық интегралды алды, бірақ енгізілген үзіліссіз f,g функцияларының орнына үзіліссіз қасиетке ие болмайтын да функцияларды алуға болатындығын көрмей қалды»,-деп жазған. Атап айтқанда, Эйлер уақытында үзіліссіз функция деп аналитикалық функцияны айтқан.

Сонымен, біз Эйлер бойынша (14) теңдеудің үзіліс функциясы ретінде үзілудің ыдырауын сипаттайтын (3,4 суреттер):

x R t

x u H t x u

t

, 0 ),

( ) , (

0

(16) бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің жалпылама шешімі (3,4- суреттер)

(16)

15

[ ( ) ( )]

2 ) 1 ,

(x t H x at H x at

u (17) үзілісті функциясын түсінеміз. Мұндағы

áîëñà x

åãåð

áîëñà x

x åãåð

H 0, 0

, 0

, ) 1 (

- Хевисайд функциясы.

3-сурет 4-сурет

20-шы жылдардың соңында өзінің кванттық механикалық зерттеулерінде Дирак -функцияның (қазіргі аты Дирак) математикалық қисынды анықтамасын (x) үздіксіз функциясына оның нөлдегі (0) мәнін сәйкестендіретін сызықтық функционал ретінде кіргізді. Оны символикалық түрде былай жазамыз:

(x)0, x0;

(x)(x)dx(0)(,) (18) 5- суретте «формальдық» -функциясы, ал 6- суретте (x)-«жуықталған»

функциясы, 0,

(x)dx 1 көрсетілген.

5 – сурет 6 – сурет Сонымен (18) теңдеуге сәйкес мына қатынас орындалады:

(17)

16

(x)(x)dx(0) (,), 0

Бұл қатынастың мағынасы «жуықталған» функцияларының (x)тізбегі

0, -функциясына әлсіз жинақталады дегенді білдіреді, ал екінші жағынан ол нүктелік жинақтылық мағынасында «формальдық» - функциясына жинақталады, яғни нөлдік функцияға (5- сурет).

Жалпыланған функция мен оның туындыларының дұрыс анықтамасын беру үшін көптеген жылдар мен көптеген математиктердің (Ж.Адамар, С.Бохнер, М.Рисс, С.Л.Соболев, Л.Шварц) еңбектері қажет болды.

Жалпыланған функциялардың математикалық теориясының негізін қалаған және оны гиперболалық теңдеулер үшін жалпыланған Коши есебін шешу үшін сәтті қолданған С.Л.Соболев (1936ж.). Векторлық локалдық дөңес топологиялық кеңістіктер теориясына сүйеніп, соғыстан кейінгі жылдарда Л.Шварц жалпыланған функциялардың жүйелі теориясын құрастырып және олардың бірқатар маңызды қолданылуларын өзінің атақты «Theorie des distributions» монографиясында келтірген. (1950-1951жж.). Кейіннен жалпыланған функциялар теориясы математикалық физикада кеңінен қолданылып, ары қарай дамыды. Қазіргі заманда бұл теория математикада, физика мен техника салаларында кеңінен қолданылады.

Жалпыланған функциялардың классикалық математикалық талдаудың мүмкіндіктерін кеңейтетін бірқатар ерекше қасиеттері бар, мысалы: кез-келген жалпыланған функция шексіз дифференциалданады (жалпыланған мағынада), жалпыланған функциялардың жинақталатын қатарларын мүшелеп шексіз рет дифференциалдауға болады, жалпыланған функцияның Фурье түрлендіруі әрқашан бар. Сондықтан, жалпыланған функциялардың техникасы қарастырылатын есептердің қатарын кеңейтті және элементар операцияларды автоматтандырып, едәуір жеңілдіктерге әкелді.

Күрделі стационарлы емес (динамикалық) есептерді талдау кезінде сақталу заңдары үлкен роль атқарады. Белгісіз u(x,t) функцияға (векторға, матрицаға) қатысты динамикалық жүйенің сақталу заңы деп t уақыты бойынша жүйенің u шешімін де сақталатын кез келген J(t) J(u,u'x,...;t) операторды айтамыз. Мысалы, u(x,0)u(l,t)0 нөлдік шекаралық шарттарды қанағаттандыратын (14)-ші теңдеу үшін сақталу заңдарының бірі – энергияның сақталу заңы (кинетикалық пен потенциалдық энергиялардың қосындысы):

, 0

2 ) 1 (

1

0

2 2 2

ut a ux dx const t t

J . (19)

Тағы бір мысал:

( ) sin (t)0 R

t g

 (20)

(18)

17

маятниктің тербеліс теңдеуі үшін сақталу заңы Const

R t g

J 2 cos

) (

2

(21)

7 – сурет

теңдеуі түрінде берілді. Бұл – төңіректік сақталу заңы. Төңіректік емес сақталу заңы

J(t)const, (22) теңдігі түрінде берілетін заңдардың ішінде қамтылған.

Мұндағы

sin0,

  R

g

(23) сызықты теңдеудің (20)-шы теңдеуге сәйкес келетін шешімі. Егер (22)-ге (23) теңдеудің төңіректі емес шешімін апарып қойсақ, онда (20)-шы теңдеу үшін

t C t

t d

0 2( ) ) 1

( )

(

 

(24) төңіректі емес сақталу заңын аламыз. Мұндағы C-тұрақты (7-сурет).

-адикалық математикалық физика. Соңғы 15-20 жылда қазіргі замандық математикалық физиканың жаңа тармағы -адикалық математикалық физика пайда болып, тез қарқынмен дамып жатыр. Бұл альтернатив математикалық физика, ондағы (x,t) кеңістік, уақыт координаттары

-адикалық сандармен алмастырылған. Бұл ненің әсерінен болды?

Соңғы уақытқа дейін R23 евклидтік кеңістік реалды физикалық кеңістік үшін дұрыс математикалық модель болып саналған. Бірақ гравитацияны

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Table 2 – Collection of microhydronyms of Zhambyl region № Natural microhydronyms Artificial microhydronyms 1 arasan 1 aryk 23 2 bastau 56 auit 4 3 bulak 199 bogen 3 4 zhylga 2