• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

Математика и математ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Share "Математика и математ"

Copied!
30
0
0

Толық мәтін

(1)

1

общество

Кафедра «Математика и

математическое моделирование»

МАТЕМАТИКА 2

Методические указания и задания

по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В070200 - «Автоматизация и управление». Часть 2

Алматы 2019

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

(2)

2

СОСТАВИТЕЛИ: Искакова А.К., Есботаева Э.С. Математика 2. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В070200 - «Автоматизация и управление». Часть 2. - Алматы:

АУЭС, 2019.- 30 с.

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ содержат дополненное и переработанное издание типового расчета №1 программы второго семестра курса Математика 2 для студентов дневного отде- ления специальности «Автоматизация и управление». Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий и решение типового ва- рианта.

Библиогр.- 6 назв.

Рецензент: Ю.М.Гармашова

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2019г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи» на 2019 г.

(3)

3

Вторая часть методических указаний и заданий по выполнению расчетно – графических работ для студентов специальности 5В070200 – «Автоматизация и управление» дисциплины «Математика – 2» содержит математический раздел

«Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких перемен- ных». Все задания, предлагаемые для самостоятельного решения, снабжены примерами решений и основными формулами.

Методическая разработка предназначена, в первую очередь, для студен- тов инженерно – технических специальностей дневной формы обучения, но может быть также полезна для студентов всех специальностей, изучающих курс высшей математики дистанционно,и является базой для подготовки к разным видам контроля.

Расчетно-графическая работадолжна быть выполнена студентом в от- дельной ученической тетради. Все объяснения должны быть полными, вестись на доступном языке и, по возможности,на языке соответствующей математиче- ской терминологии.

1 Расчетно - графическая работа №1

1.1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Теоретические вопросы.

1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Область опре- деления функции двух и трех переменных.

2. Частное и полное приращениефункции нескольких переменных.

3. Предел функции нескольких переменных.Непрерывность функции двух переменных.

4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Частные производныеи полный дифференциал функции нескольких переменных первого порядка.

6. Градиент, производная по направлению.

7. Частные производные функции нескольких переменных высших по- рядков. Повторное дифференцирование.

8. Смешанные производные функции нескольких переменных высших порядков.

9. Производные и дифференциалы высших порядковфункции несколь- ких переменных.

10. Производная сложной функции от нескольких переменных.

11. Дифференцирование неявной функции.

12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

13. Экстремумы функций нескольких переменных. Основные понятия.

Необходимые и достаточные условия экстремума.

14. Наибольшее и наименьшее значения функции.

(4)

4

Задания по выполнению расчетно – графической работы «Дифференци- альное исчисление функции нескольких переменных».

Задание 1.Для функции z= f(x,y) найти:

а) частные производные первого порядка

y z x z

, ;

б) частные производные второго порядка

y x

z y

z x

z

2

2 2

2 2

,

, ;

в) доказать, что выполняется равенство

2 2

z z

y x x y

    ;

г) найти дифференциалы первого и второго порядков d z, d 2z .

1.1 1.2

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20

1.21 1.22

1.23 1.24

1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

Задание 2.Найти градиент заданной функции u M ux, y, z в точке

1 1 1

1 x , y , z

M .

u M M 1u M M 1

2.1 x2 y y 2z z2 x (1,-1,2) 2.16 ln

x3 y3 z 1

(1,3,0)

2.2 5xy 3z2 (2,1,-1) 2.17 x 2 y ez (-4,-5,0) 2.3 ln

x2 y2 z2

(-1,2,1) 2.18 x4 3xyz (2,2,-4)

2.4 x2 y2 z2

e

z (0,0,0) 2.19 3x2 y 3z (-2,-3,1) 2.5 lnxy yz xz  (-2,3,-1) 2.20 e xyz2 (-5,0,2)

(5)

5

2.7 x2 y xz 2 2 (1,1,1) 2.22

x2 y2 z2

3 (1,2,-1)

2.8 xe y ye x z2 (3,0,-2) 2.23 x yz (1,5,0) 2.9 3xy 2 z2 xyz (1,2,2) 2.24 x2 y y 2z 3z (0,-2,-1) 2.10 5x2 yz xy 2z yz 2 (1,1,1) 2.25

1 10

2 2

2 y z

x

(-1,2,-2) 2.11

2 2

2 y z

x x

(1,2,2) 2.26 ln

1 x2 y2 z2

(1,1,1)

2.12 y 2z 2xyz z2 (3,1,-1) 2.27

x z z y y

x (-1,1,1)

2.13 x2 y2 z2 2xyz (1,-1,2) 2.28 x3 xy 2 6xyz (1,3,-5) 2.14 ln

1 x y2 z2

(1,1,1) 2.29

z x z y y

x (2,2,2)

2.15 x2 2y2 4z2 5 (1,2,1) 2.30 e xyz (1,0,3) Задание 3.Проверить является ли функцияu(x,y,z) решением дифференци- ального уравнения в частных производных.

№ Уравнение u(x,y,z)

3.1

3.2 3.3 3.4 3.5

3.6

(6)

6 3.7

3.8

3.9

3.10

3.11 3.12

3.13 3.14 3.15 3.16

3.17 3.18

3.19

3.20

(7)

7 3.22

3.23

3.24

3.25 3.26 3.27

3.28 3.29 3.30

Задание 4.Найдите первую производнуюфункции,заданной в неявном ви- деFx, y,z 0 .

Fx, y,z № Fx, y,z

4.1 xyz 3xy 2 5yz 2 4.16 xy 2 z xyzz x 4.2 x2 yz 2xyz 2 3xy 2z 4.17 x yz2 x

y2 z2

4.3 2 x2 y 2z xyz 3 x 2yz 2 4.18 x yz xyz xz 2 4.4 x2y z yz 2 2xyz 4.19 x3y y 3z z3x 4.5

xy yz

z2 xy 2z 4.20 xy 2 yz 2 zx 2
(8)

8

4.6 2xy 2 3xyz 2xz 2 4.21 xyz x2 y 2xy 2 4.7 y zxyz x y zyz 2 4.22 x zy2 y xz2

4.8 3xyz 2 4xy 2z x2 y2 4.23 xy 2z x2 yz xyz 2 4.9 x2 y 2xyz 3xz 2 4.24 x yzx2 2xyz 2 4.10 xyz z3 2xy 2 4.25 x yz2 y zx2

4.11 zxy x 2xyz z3 4.26 x yzz zx y 4.12 x

y2 z2

3xyz z3 4.27 x 2 yz2 3xyz

4.13 y zx2 2xy 2 xyz 4.28 x2 yz y2xz z2xy 4.14 xyz y 2x3 3xy 2 4.29 x yx2 y2z 2xyz

4.15 x yzx 2 2xy 2z xyz 2 4.30 x3y y3z z3x Задание 5. Найти

dx

du от сложной функции, если u ux, y,где x x t ,

 t y

y в точке t t0.

№ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12

(9)

9 5.14

5.15 5.16 5.17 5.18

5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30

(10)

10

Задание 6.Составить уравнения нормали и касательной плоскости к каж- дой из следующихповерхностейSв указанной точкеM0(x0,y0,z0).

S

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23

(11)

11 6.25

6.26 6.27 6.28 6.29 6.30

Задание7. Исследовать на экстремум заданные функции.

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

Примеры выполнениярасчетно – графических работ по теме «Диффе- ренциальное исчисление функции нескольких переменных».

Задание 1.Для функции

y x arctg

z найти:

а) частные производные первого порядка

y z x z

, ;

б) частные производные второго порядка

y x

z y

z x

z

2

2 2

2 2

,

, ;

в) доказать, что выполняется равенство

2 2

z z

y x x y

    ;

(12)

12

г) найти дифференциалы первого и второго порядков d z, d 2z . Решение:

а) заданную функцию рассматриваем как сложную функцию и для нахо- ждения производных используем формулу:   u

u arctgu

z

2

1

1 . Найдем ча- стную производную первого порядка по переменнойх, считая в заданной функ- ции переменную у постоянной:

1 ;

1 1

2 2 2

2 2

2 x y

y x y

y y y

x

y y x

arctg x z

x z

x x

x













Теперь найдем частную производную первого порядка по переменной у, считая в заданной функции переменную х постоянной:

; 1

1

2 2 2

2 2

2

2 x y

x y

x x

y y y

x

y y x

arctg x z

y z

y y

y 















б) найдем частные производные второго порядка

y x

z y

z x

z

2

2 2

2 2

,

, . Для то-

го чтобы найти вторую частную производную по х,еще раз дифференцируем полученную производную первого порядка 2 2

y x z y x z

x

по той же пе- ременной х, считая в заданной функции переменную у постоянной:

 

 

.

) (

) 2

( 2 2 2

2 2 2

2 2

2 1 2 2

2 2

2

y x y xy

x y

x y

y x y y

x z y

x z

x x x

xx



Аналогично, для того чтобы найти вторую частную производную по у, еще раз дифференцируем полученную производную первого порядка

2

2 y

x z x

y z

y

по той же переменной у, считая в заданной функции пе- ременную х постоянной:

(13)

13

 

.

) (

) 2

( 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

y x y xy

x y

x x

y x y

y x

Для того чтобы найти смешанную производную второго порядка, надо полученную производную первого порядка 2 2

y x z y x z

x

по переменной х продифференцировать по переменной у, считая переменную х постоянной:

; ) (

) (

2

) (

) (

) (

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

y x

y x y

x

y y

x

y x

y x y y

x y y

x z y

y x

z y y

y xy





в) докажем, что справедливо равенство

2 2

z z

y x x y

    . Значение

y x

z

2

найдено в пункте (б). Для того чтобы найти смешанную производную второго порядка

x y

z

2

, надо полученную производную первого порядка

2

2 y

x z x

y z

y

по переменнойy продифференцировать по переменной x, считая переменную y постоянной:

. ) (

) (

) (

2

) (

) (

) (

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

y x

y x y

x

x y y

x

x y

x

y x

y x x y

x x y

x z x

x y

z x x

x yx





Таким образом, мы доказали, что

2 2

z z

y x x y

    ;

г) для нахождения дифференциалов первого порядка dzи второго порядка

z

d 2 функции z f (x, y)напишемформулы:

(14)

14

dy y dx z x dz z

, 2 2 2.

2 2

2 2 2

2 dy

y dxdy z

х y dx z

x z z

d

Используя результаты пунктов (а), (б) и (в), по этим формулам находим:

2 ;

2 2

2 dy

y x dx x y x dz y

. )

( 2 )

( 2 )

(

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 dy

y x dxdy xy

y x

y dx x

y x z xy

d

Задание 2. Найти градиент функции ux, y,z 4 x2 y2 z в точ- ке M 00;2;1.

Решение: градиент указывает направление наибыстрейшего роста функ- ции в заданной точке. Пусть задана функция видаu fx, y, z, то градиент вычисляется по формуле:

. k z j u y i u x u u

grad

Градиент заданной функции u fx, y, zв точке M 0 определяется по формуле:

M

u

M

i u

M

j u

M

k

u

grad 0 x 0 y 0 z 0 .

Найдем значения частных производных первого порядка функции

x y zx y z

u , , 4 2 2 в точке M 00;2;1:

 

 

0;

1 4 0 4

0 4

4

0

0 2 2

2 2

0

M x M

x

z y x z x

y x M

u

 

 

;

7 2 1 4 0 4

2 4

4

0

0 2 2

2 2

0

M y M

y

z y x z y

y x M

u

 

 

. 7 2

1 1

4 0 4 2

1

4 2

1 4

0

0 2 2

2 2 0

M z M

z

z y x z

y x M

u

Таким образом,

(15)

15

Задание 3. Проверить является ли функция  

y x x y y x

x

z 1 1

2 2

,

2

ре-

шением дифференциального уравнения в частных производных

y x y y z x x z

3 2

2

.

Решение: найдем частные производные первого порядка заданной функ- ции по переменным х и у:

1 ; 2 1

x2

y x x

z

1 .

2 2 2

2

y y

x y

z

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения и приведем подобные:

y x y

y x y

y x x x

3 2

2 2 2

2

2 1

2 1

2

1





или

y x x

x y

x3 2 2 3

1 2 1 2

.

Получили тождество, таким образом, функция  

y x x y y x

x

z 1 1

2 2 ,

2

удовле-

творяет заданному уравнению.

Задание 4. Найдите первые производные

y z x z

, функции, заданной в не- явном виде xe yye xze xa .

Решение: частные производные неявной функции двух переменных

x y

z   , , заданной с помощью уравнения Fx, y,z 0 , где Fx, y,z- дифференцируемая функция переменных x, y, z, определяются формулами:

, / /

z F

x F x

z

,

/ /

z F

y F y

z

где 0.

z F

Здесь:

a ze

ye xe

z y x

F ( , , )  yxx  . Найдем

(16)

16

x x

y ye ze

e x

F

; xe y ex y

F

; ex

z F

. Следовательно,

);

(e y z

e

ze ye

e x

z y x

x

x x

y

).

1

(

yx

x x y

xe e

e xe y

z

Задание 5. Найти dt du

от сложной функции, если u x2 y2 xy ,где

t

x sin ,y etв точкеt 0 .

Решение: для функцииu ux, y, где x x t ,y y t производная сложной функции u ux(t), y(t)вычисляется по формуле:

dt dy y u dt

dx x u dt

du

 

 

 

.

Вычислим частные производные первого порядка функции

xy y

x

u 2 2 по переменным х и у:

; 2

)

(x2 y2 xy x y

x u

x

(x2 y2 xy) 2y x.

y u

y

Вычислим производные от функций x sin t ,y et: . )

(

; cos )

(sin et et

dt t dy

t dt

dx      

Подставим найденные выражения в формулу производной сложной функции:

x y t y x et

dt dy y u dt

dx x u dt

du (2 ) cos (2 )

t t t

t t e t e t e

e y

t x

) sin 2

( cos

) sin

2 ( sin

. 2 ) sin (cos

2

sin t et t t e2t

Найдем значение производной сложной функции в точке t 0 : . 3 ]

2 ) sin (cos

2 [sin

0 2 0

t

t t

t

e t

t e

t dt

du

Задание 6. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к по- верхностиx2 y2 z2 0 в точкеM 0(3,4,5) .

(17)

17

.

0 0 0

0 0

0

M M

M z

F z z

y F

y y

x F

x x

А уравнение касательной плоскости к поверхности Sв точке

) , ,

( 0 0 0

0 x y z

M имеет вид:

0 ) (

) (

)

( 0 0 0

0 0 0

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

Представлены методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Математическая обработка информации»

для студентов специальности 5В071600 – Приборостроение.. Элементы и схемотехника аналоговых устройств. Методические указания по выполнению

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно- графических работ № 1,2,3

Методические указания и задания по выполнению расчётно-графических работ для студен- тов специальности 5В071800 – Электроэнергетика.. Приведены вопросы

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Теория электрических цепей» содержат две расчетно- графические работы

Методические указания содержат указания по подготовке к проведению расчетно-графических работ по работе операционных систем

Некоммерческое акционерное общество Кафедра математики и математического моделирования МАТЕМАТИКА 3 Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯХ Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов, обучающихся по образовательной программе 6В0620