Модуль 1

Коммерциялық емес акционерлік

қоғам

МАТЕМАТИКАНЫҢ АРНАЙЫ ТАРАУЫ. ЖЫЛУ ӚТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІ ЖӘНЕ ОНЫ ШЕШУ ТӘСІЛДЕРІ

5В071700- Жылу энергетикасы мамандығы бойынша оқитын студенттер ҥшін

дәрістер жинағы

Алматы 2016

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕ- ТИКА ЖӘНЕ

БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

ҚҦРАСТЫРУШЫ: Базарбаева С.Е., Қойлышов Ҥ.Қ., Байсалова М.Ж.

Математиканың арнайы тарауы. Жылу ӛткізгіштік теңдеуі және оны шешу тәсілдері. 5В071700 – Жылу энергетикасы мамандығы бойынша оқитын студенттер ҥшін дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБУ, 2016. - 41 б.

5В071700 – Жылу энергетикасы мамандығы бойынша оқитын студенттер ҥшін дәрістер жинағы «Математиканың арнайы тарауы. Жылу ӛткізгіштік теңдеуі және оны шешу тәсілдері» пәнінің дәрістерінен тҧрады.

Мысалдар келтірілген.

Әдеб.кӛрсеткіші – 8 атау.

Рецензент: «Электроника» кафедрасының аға оқытушысы Е.О.Елеукулов

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2016 ж. жоспары бойынша басылды

 «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2016 ж.

Кіріспе

«Математиканың арнайы тарауы. Жылу ӛткізгіштік теңдеуі және оны шешу тәсілдері» пәнінің дәрістер жинағы 5В071700 – Жылу энергетикасы мамандығы бойынша оқитын студенттер ҥшін жазылған. Кӛлемі екі кредит.

Аралас есептерді, Коши есебін шешу ҥшін негізгі классикалық тәсілдер келтірілген: айнымалыны ажырату тәсілі және Лаплас және Фурье интегралдық тҥрлендірулер кӛмегімен шешу тәсілі. Осыған орай Бессель, erf(x) және erfs(x) функцияларының қасиеттері мен олардың жылу ӛткізгіштік теңдеуіне қолданулары оқытылады.

Аралас есептерді сандық тәсілдермен шешу ҥшін MATHCAD жҥйесінде іске асырылатын зертханалық жҧмыстар лайықталып жасалған.

Осы мақсатта берілген пәнде MATHCAD жҥйесінде жҧмыс істеуге арналған әдістер оқытылады.

Дәріс 1. Дербес туындылы қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Жылу ӛткізгіш теңдеулері үшін математикалық физиканың негізгі есептерінің қойылуы. Ұзындығы ақырлы ӛзекшенің сууы туралы есеп

Дәріс мазмҧны: дербес туындылы қарапайым дифференциалдық теңдеулер, екінші ретті теңдеулердің классификациясы, математикалық физиканың негізгі канондық теңдеулері.

Дәріс мақсаты: пәнмен және математикалық физиканың есептерінің негізгі ҧғымдарымен таныстыру.

Дербес туындылы қарапайым дифференциалдық теңдеулер.

Дербес туындылы қарапайым дифференциалдық теңдеулер деп тәуелсіз айнымалылардан, осы айнымалылы функциядан және белгісіз функцияның белгісіз айнымалыларының дербес туындыларынан тҧратын теңдікті айтамыз. x және y екі айнымалылы берілген z функциялы дербес туындылы теңдеудің жалпы тҥрі

F(x,y,z, )=0, (1.1) мҧндағы F – ӛз аргументтерімен берілген функция.

Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеуге енген туындының жоғарғы реті айтылады.

Дербес туындылы теңдеудің шешуі деп осы теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын функцияны айтады.

Қарапайым дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп интегралдау арқылы шешімін алуға болатын теңдеу айтылады.

Мысалы, . Қарапайым интгралдау арқылы аламыз. Тағы да интегралдасақ z= x³ +x +ψ(y),

Мҧндағы және - у тәуелсіз айнымалылы кез келген функциялар.

Екінші ретті теңдеулердің классификациясы. Математикалық физиканың негізгі канондық теңдеулері

x және y екі тәуелсіз айнымалы жағдайында екінші ретті теңдеулерінің жалпы тҥрі

+ F(x,y,z, = 0, мҧндағы А, В, С – x және y айнымалы функциялар;

F –формулада кӛрсетілген айнымалыларға тәуелді белгілі функция.

Коэффициенттер арасындағы қатынасқа байланысты теңдеулер D жиынын негізгі ҥш тҥрге бӛледі:

АС-В² <0 –гиперболалық тҥрдегі теңдеуі;

АС-В² >0 – эллиптикалық тҥрдегі теңдеуі;

АС-В² = 0 – параболалық тҥрдегі теңдеуі.

(1.2) – толқын теңдеуі (шектің тербеліс теңдеуі).

Толқын теңдеуі гиперболалық тҥрдегі

(1.3) – жылу ӛткізгіштік теңдеуі.

жылу ӛткізгіштік теңдеуі параболалық тҥрдегі теңдеу болып табылады.

(1.4) - декарт координаталар жҥйесіндегі Ла- плас теңдеуі. Бҧл теңдеу эллиптикалық тҥрдегі теңдеу болып табылады.

(1.5)- полярлық координаталар жҥйесіндегі Лаплас теңдеуі. Бҧл теңдеу эллиптикалық тҥрдегі теңдеу болып табылады.

Математикалық физиканың негізгі есебінің қойылымы

1. Толқын: u(x,t) алғашқы шарт деп

аталатын шартпен (1.2) теңдеуін шешу керек.

2. Жылу ӛткізгіштік теңдеуі ҥшін Коши есебі: u(x,t) алғашқы шарт деп аталатын шартпен (1.3) теңдеуін шешу керек.

3. Шектік есеп. (1.2)-(1.4) теңдеулерінің бірін келесі шарттар бойынша шешу керек

u(x,t) (1.6) – бірінші текті шектік шарт немесе Дирихле шарты;

(1.7) – екінші текті шектік шарт немесе Нейман шарты;

(1.8) - ҥшінші текті шектік шарт.

Қолданылатын белгілеулер: S – жиынның шекарасы; – жиынның шекарасына сыртқы нормаль; М – жиынның шекарасындағы нҥкте.

Математикалық физиканың аралас есебі: кӛрсетілген теңдеулердің бірін Коши есебінің қосымша шарттарымен және шектік шарттардың біреуімен шешу керек.

Ұзындығы ақырлы өзекшенің сууы туралы есеп

Ҧзындығы l жылу ӛткізгіш ӛзекшенің ҧштары еріп бара жатқан мҧзға салынсын және ӛзекшенің температурасы уақыт бастапқы моментінде (t=0) u(x,t) қандай да бір заңға байланысты оның координаталарына тәуелді болсын.

Ҧзындығы l жылу ӛткізгіш ӛзекшенің ҧштары еріп бара жатқан мҧзға салынсын. Уақыттың қалаған моментінде ӛзекшенің кез келген нҥктесінде ӛзекшенің температурасын табу керек.

Есептің тҧжырымы (математикалық модель):

D={(x,t): 0< x <l, 0<t<+ } жиынында x (0,l) ҥшін u(x,t)

алғашқы шартымен және u(x,t) шектік шартымен

жылу ӛткізгіштік теңдеуін шешу керек.

Сонымен бірге, деп болжанылады.

Бҧл есепте бірінші ретті шектік шарттары берілген (Дирихле есебі).

Фурье тәсілімен немесе басқаша атауы айнымалыны ажырату тәсілімен шешеміз.

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(x,t)=X(x)T(t) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

X x T t a T t X x ,

2

( ) ( )

( ) ( )

T t X x

a T t^  X x^ , ( ) 2 ( )

T t a T t ,

( ) ( )

X x X x .

Қадам 2. ω таңбасын анықтау.

.

Қадам 3. Штурм – Лиувилл есебін қҧру

X(0)=0, X(l)=0 шектік шартымен X x( )²X x( )0 дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилл есебінің шешуі.

X(x)=C1cosλx+C₂sinλx, X(0)=0 C1=0,

X(x)= C2sinλx,

X(l)=0 C₂sinλl=0, C2 0 sinλl=0, λl= k, k=0,1,2,3…,

λ= , k=0,1,2,3…- меншікті мәндер, Xk (x)= Cksin x,

k (x)= sin x- меншікті функциялар.

Штурм-Лиувилль есебінің меншікті функциялардың негізгі қасиеттері

.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі

,

,

мҧндағы

.

Мысалы (ЕСЖ 1, есеп №2). Екінші текті шектік шарттармен аралас есеп (Нейман есебі): D={(x,t): 0< x <l, 0<t<+ } жиынында x (0,l) ҥшін

u(x,t) алғашқы шартымен, . шектік

шартымен жылу ӛткізгіштік теңдеуін шешу керек.

Сонымен бірге, деп болжанылады.

Фурье тәсілімен немесе басқаша атауы айнымалыны ажырату тәсілімен шешеміз.

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(x,t)=X(x)T(t),

( ) ( ) 2 ( ) ( ) X x T t a T t X x ,

2

( ) ( )

( ) ( )

T t X x

a T t^  X x^  T t ( ) a²T t( ) X x( )X x( ). Қадам 2. Таңбасын анықтау ω: .

Қадам 3. Штурм – Лиувилль есебін қҧру: X^/ (0)=0, X^/ (l)=0 нӛлдік шектік шартымен X x( )²X x( )0 дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебін шешу.

X(x)=C1cosλx+C2sinλx

X ^/(x)=-λC1 sinλx +λC2 cosλx,

X^/ (0)=0 C2=0 X(x)= C2 cosλx, X^/ (l)=0 -λC2sinλl=0,

C₂ 0 sinλl=0, λl= k, k=0,1,2,3…,

λ= , k=0,1,2,3…- меншікті мәндер,

Xk (x)= Ck cos x k (x)= cos x - меншікті функциялар.

Штурм-Лиувилль есебінің меншікті функциялардың негізгі қасиеттері

.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі ,

, мҧндағы .

Дәріс 2. Температураның тікбұрышты тӛртбұрышта стационар таралуы (эллиптикалық типті теңдеу үшін Фурье тәсілі)

Дәріс мазмҧны: эллиптикалық типті теңдеу ҥшін Фурье тәсілі, ҧзындығы ақырлы ӛзекшенің тербелісі, гиперболалық типті теңдеу ҥшін Фурье тәсілі.

Дәріс мақсаты: эллиптикалық, гиперболалық типті теңдеу ҥшін Фурье тәсілімен таныстыру.

Келесі есеп қарастырылады: ҧзын тікбҧрышты тӛртбҧрыштың екі па- раллель жақтары берілген температурамен қалыпты жағдайда ҧсталынып тҧр, қалған жақтарында температура нӛлге тең; тӛртбҧрыштың ішінде кез келген нҥктеде қалыптасқан температураны табу керек.

Есептің шартынан температураның ҥлестірімі z айнымалысы бойынша қимада бірдей, сондықтан ХОУ жазықтығындағы қиманы қарастырумен шектелсек болады. Сол себепті математикалық модель тҥрі мынадай:

Есептің тҧжырымы (математикалық модель): D={(x,у): 0< x <а, 0<у<в} жиынында Лаплас теңдеуін шешу керек

. (2.1) Бірінші текті шектік шарттар (Дирихле есебі)

u(x,у) . (2.2) u(x,у) f1(x), f2(x). (2.3) u(x,у) – берілген (белгісіз) функция, f1(x), f2(x) – жақтарда берілген температуралар.

Фурье тәсілімен, басқаша атауы айнымалыларды бӛлу тәсілімен шешеміз.

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(x,у)=X(x)У(у),

( ) ( ) ( ) ( ) 0

X x Y y  Y y X x  , ( ) ( )

( ) ( ) 0.

X x Y y

X x Y y

 

 

Қадам 2. ( ) ( ) ²

( ) ( ) .

X x Y y

X x^   Y y^   Сондықтан,

( ) 2 ( ) 0 X x  X x  ,

( ) 2 ( ) 0 Y y  Y y  .

Қадам 3. Штурм – Лиувилль есебін қҧру. Нӛлдік шектік шарттармен

((2.2) шарты) Х(x) немесе Х(0)=0, Х(а)=0

дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек:

( ) 2 ( ) 0

X x  X x  (2.4) Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебін шешу. (2.4) теңдеуінің жалпы шешімі

Х(х) = С₁cosλx + С₂ sinλx, Х(0)=0 ⇒С1=0,

Х(х) = С₂ sinλx,

Х(а)=0 ⇒ С2 sinλа=0 ⇒ λа=πk, к=1,2…

k

k a

  - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері.

Х(х) = С_2к sin .

Меншікті функциялары - sin .

Қадам 5. Математикалық модельдің шешімі ( ) 2 ( ) 0

Y y  Y y  .

Дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі У(у) = А е^+λу + В е^-λу немесе У_к(у)=(А_к + Bk ).

u_k(x,y)= (А_к + B_k ) sin . Олай болса,

u(x,y) = ,

мҧндағы А_к и В_к – белгісіз коэффициенттер, олар (2.3) шартынан табылады, яғни

u(x,0)= f1(x) и u(x,b)= f2(x),

= f1(x),

= f2(x).

Белгілеулер енгіземіз:

=С_k,

=D_k

= f1(x) = f2(x)

Сонымен, f1(x), f2(x) функцияларының синустар бойынша Фурье қатарына жіктеуін алдық.

.

.

Ак және Вk бойынша екі сызықты алгебралық теңдеулер жҥйесі, .

Жҥйенің негізгі анықтауышы нӛлден ӛзге.

.

Ұзындығы ақырлы шектің тербелісі. Гиперболалық типті теңдеу үшін Фурье тәсілі

Шектің екі шеткі нҥктесіне бекітілген нҥктенің орын ауыстыруы туралы есепті шешу керек. Ол нҥкте шектің берілген орны мен қандай да бір бастапқы жылдамдықпен толқын жасайды.

Математикалық модель: толқын теңдеуді шешу керек (шектің тербеліс теңдеуі)

.

Бҧл жерде , мҧндағы – шектің тартылуы, – шектің сызықты тығыздығы.

– тепе тең орынға қатысты шектің нҥктесінің орын ауыстыруы және бірінші текті шектік шарттар (Дирихле есебі)

u(x,у) .

Бастапқы шарттар берілген:

u(x,t) f1(x) .

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(x,t)=X(x)T(t), ( ) ( ) 2 ( ) ( )

T t X x a X x T t  ,

X 2T

X a T

  

 ,

2 2

X T

X^a^ T^  . Қадам 2.

Х^//(х) + ² Х(х) = 0, T^//(t) + ² a² T(t) = 0.

Қадам 3. Штурм – Лиувилль есебін қҧру. Нӛлдік емес Х(x) шектік шарттармен X x( )²X x( )0 дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебінің шешімі.

Х(х) = С₁cosλx + С2 sinλx.

k

k q

  - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері.

Х(х) = С_2к sin kx q

 ,

sin kx q

 - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті функциялары.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі T^//(t) + ² a² T(t) = 0,

T(t) = Acosλat + Bsinλat, T_k(t) = A_k cos at + B_k sin at,

u_k (x,t)= sin (A_k cos at + B_k sin at) ,

u(x,t)= ,

u(x,0)=f₁(x) u(x,t)= =f₁(x),

,

,

,

,

.

Мысалы (ЕСЖ 1, есеп №7).

Есептің тҧжырымы (математикалық модель):

D={(x,t): 0< x <π, 0<t<+ } жиынында x (0, ) ҥшін u(x,t)

бастапқы шарттармен және u(x,t) шектік

шарттармен

2 2

( , ) 1 ( , )

17cos 4 sin 5 25

u x t u x t

t x

t x

 

 

  жылу ӛткізгіштік

теңдеуін шешу керек.

Сонымен бірге, деп жорылады.

Қадам 1. Дербес шешім q(x,t)= sin5x(Acos4t+Bsin4t) тҥрінде ізделінеді,мҧндағы А и В – белгісіз коэффициенттер, теру әдісімен іздейміз (белгісіз коэффициенттер әдісі).

Қадам 2. Айнымалы енгіземіз u(x,t) = v(x,t)+ q(x,t) + + .

№ 1 есептік сызба жҧмыстағы (ЕСЖ №1) № 1есепке келтіріледі.

Мысалы (ЕСЖ №1, есеп №8).

Есептің тҧжырымы (математикалық модель): D={(x,t): 0< x <3, 0<t<+ } жиынында

x (0,3) ҥшін u(x,t) бастапқы шарттар мен

u(x,t) шектік шарттармен

2 2

( , ) ( , )

u x t 36 u x t

t x

  

  жылу ӛткізгіштік теңдеуін шешу керек.

Сонымен бірге, деп жорылады.

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(x,t)=X(x)T(t), ( ) ( ) 36 ( ) ( )

X x T t  T t X x ,

X 2T

X a T

  

 ,

( ) ( ) 2

36 ( ) ( )

T t X x

T t^  X x^   . Қадам 2: T(t)=C .

Қадам 3. Штурм – Лиувилль есебін қҧру.

X(0)=0, X(3)=0 нӛлдік шектік шарттармен X x( )²X x( )0 дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебінің шешуі.

X(x)=C1cosλx+C₂sinλx, X(0)=0 C₁=0,

X(x)= C2sinλx,

X(3)=0 C₂sinλ3=0, C2 0 sinλ3=0, Λ3= k, k=0,1,2,3…,

λ= , k=0,1,2,3… - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері.

Xk (x)= Cksin x,

k (x)= sin x - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті функциялары.

Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндерінің негізгі қасиеттері

.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі

,

,

мҧндағы

+ .

Дәріс 3. Полярлық координаталар жүйесіндегі Лаплас теңдеуі үшін Фурье тәсілі. Арнайы функциялар және олардың математикалық физика есептерін шешуге қолдануы

Дәріс мазмҧны: полярлық координаталар жҥйесіндегі Лаплас теңдеуі ҥшін Фурье тәсілі, Бессель және Нейман функциялары.

Дәріс мақсаты: полярлық координаталар жҥйесіндегі Лаплас теңдеуі ҥшін Фурье тәсілін ҥйрету, Бессель және Нейман функцияларымен таныстыру.

Лаплас теңдеуін полярлық координаталар жҥйесінде шешу керек , φ функциясы сияқты периодтылық шартын қанағаттандырады, яғни u(r,φ+2π)=u(r,φ). Период 2π-ге тең.

r=R шеңберінде бірінші текті шектік шартын да қанағаттандырады.

, 0 R.

Мысалы (ЕСЖ 2 есеп 1.30. , 0 4.

Сонымен бірге, r=0 нҥктесінде ҥзіліс болмау керек, яғни ол ҥзіліссіз болу керек.

.

Екі жағын да -қа кӛбейтеміз.

.

Қадам 1. Шешуді кӛбейтінде тҥрінде іздейміз u(r,φ)=X(r)У(φ)

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

r X r Y   rY  X r Y X r  ,

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

r X r rX r Y

X r Y

 



   

   .

Қадам 2. ω таңбасын анықтау.

ω = - ²,

2 2

( ) ( ) ( ) 0

r X r rX r  X r  , ( ) 2 ( ) 0

Y   Y   .

Қадам 3. Штурм – Лиувилль есебін қҧру. Периодтылық шартын қанағаттандыратын Y( ) ²Y( ) 0 дифференциалдық теңдеудің нӛлдік емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебінің шешуі.

Y(φ) = С1cosλφ + С₂ sinλφ.

Олай болса, λ – бҥтін сандар, λ=0,1,2,…,k,… - Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері.

Y(φ) = С₁cosкφ + С₂ sinкφ, - меншікті функциялары.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі

2 2

( ) ( ) ( ) 0

r X r rX r k X r  , 0

k ,

X(r)=A₀lnr+B_0,

A₀ = 0, қарсы жағдайда r=0 болғанда ҥзіліс болады.

k>0 X(r) = r^m

X(r) =Ar^k +Br^-k. . Барлық В =0

u(r, φ) = ,

a0 = ,

Ak = ,

Bk = .

Ескерту

coskπ=(-1)^k, cos0=1, cos2kπ=1 , sin =0, sin0 = 0, sinkπ=0.

Арнайы функциялар және олардың математикалық физика есептерін шешуге қолдануы

Бессель және Нейман функциялары.

Есепті полярлық, цилиндрлік немесе сфералық координаталар жҥйесінде шешу ҥшін арнайы функциялар кеңінен қолданылады.

Мысалы, жылу ӛткізгіштік теңдеулер теориясында жиі қарапайым дифференциалдық теңдеулер қарастырылады



(x)



v 0 v

(x) v

)

(x B  C  

A . (3.1) Есепті зерттеуге кедергі келтіретін жағдай x (немесе

t

) айнымалысының интервалының кейбір нҥктелерінде A(x) функциясы нӛлге айналады. Дәл осындай жағдайлар практикада жиі кездеседі. Оларды зерттеу ҥшін арнайы функциялар ҧғымы енгізіледі.

Дербес жағдайлар қарастырайық, мысалы:

) 2

(x x

A  , B(x)x, C(x)x², ² болғанда (3.1) теңдеуі белгілі Бессель теңдеуін береді ^{x2vxv}



^x22



^v0, оның шешімі цилиндрлік немесе Бессель функциялары деп аталады. Олардың арасында бҥтін санды теріс емес n индексті J_n(x) функциясы ерекше орын алады.

Егер A(x)1x², B(x)x, C(x)0, n² болса (3.1) теңдеуі 0

v v

v ) 1

( x² x n²  Чебышев теңдеуіне тҥрленеді. Оған Чебышев функциялары қанағаттандырады

   

_^

     

 ^{n n}

n x i x x i x

x i

u 1 ² 1 ²

2 ) 1

( ,

немесе

   

_^

     

 ^{n n}

n x x i x x i x

T 1 ² 1 ²

2 ) 1

( , n0,1,...

Бҧл жерде T_n(x) - Чебышев полиномы.

xv(1x)vv0 Леггер теңдеуі- (3.1) теңдеуінің дербес жағыдайы.

Анықтама. Нӛлінші ретті Бессель теңдеуі деп екінші ретті айнымалы коэффициентті қарапайым сызықты біртекті дифференциалдық теңдеу айтылады

^''

 

^{ 1y'}

 

^{x k2y}

 

^{x 0}

x x

y (3.2) немесе x y   y k²  x y 0. (3.2*)

k=1 болсын, онда теңдеу мындай тҥрде жазылады:

( ) 1 ( ) ( ) 0

y x y x y x

  x    немесе x y x ( ) y x( ) x y x( )0.

Шешімді дәрежелік қатар тҥрінде іздейміз y(x)= немесе y(x)= a0+a1x+a2x²+…+a_nxⁿ+…, мҧндағы

a

₀

, a

₁

, a

₂

, a

₂

, ,... a

n- белгісіз ко- эффициенттер. Дәрежелік қатардан туынды алсақ

y^|(x)= a1+2a2x+3a3x²…+nanx^n-1+…

y^||(x)= 2a2+6a3x+12a4x²+…+n(n-1)anx^n-2+…

және оны нӛлінші ретті Бессель теңдеуіне (3.2) қойсақ,

2a₂x+6a₃x²+12a₄x³+20a₅x⁴…+n(n-1)a_nx^n-1+… +a₁+2a₂x+3a₃x²…+na_nx^n-1+…

+a0x+a1x²+a2x³+a3x⁴…+a_nxⁿ⁺¹+…=0.

Дәл сол сияқты, белгісіз коэффициенттер әдісіндегідей дҧрыс бӛлшек рационал функцияларды интегралдағанда, x-тің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіреміз, яғни

x

0 _.

Олай болса,

,...

; 36 25 0

16;

; 9 0

4 ;

4 6

5 3

5 2 4

3 1

3 0 2

a a a a

a a a

a a a a

a          

Сонымен,

x⁰ a1=0 a1=0

x¹ 2a2+2a2+a0=0 a2=- a0

x² 6a₃+3a₃+a₁=0 a3=- a1 → a3=0 x³ 12a4+4a4+a2=0 a2=- a0

x⁴ 20a5+5a5+a3=0 a₅=- a₃ → a₅=0

a

n коэффициенті келесі қатынастан анықталады

an= , мҧндағы k=0,1,2… немесе kN {0}.

Олай болса,

2 4 6 8

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 1 ...

2 2 4 2 4 6 2 4 6 8

x x x x

y x a  

       

 .

Белгілеулер енгіземіз

2 4 6 8

0( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...

2 2 4 2 4 6 2 4 6 8

x x x x

J x      

немесе

J0(x) = . (3.3) (3.3) функциясы бірінші текті нӛлдік ретті Бессель функциясы деп аталынады. Егер y x( ) C J x₀( ), онда y(x)=CJ0(x).

J0(kx) функциясы xy y k xy² 0 теңдеуінің шешімі болады. Бҧған кӛз жеткізу ҥшін тәуелсіз айнымалыға жаңа айнымалы енгіземіз t kx.

(6.1) теңдеуінің екінші сызықты тәуелсіз дербес шешімін табу ҥшін Остроградский - Лиувилль формуласы қолданылады.

 

^

    

^{1 exp}_^



^_^{ }

  

²

 

^.

0 2 0

1 1

2 xJ x

x dx J x dx

dx x

x y y x y

Бессель функцияларының теориясында келесі ӛрнек дәлелденген

   

...].

)[ln 2 ( 2 ...]

[1 ₂

2 0

0

2 ^x  ^{J x}



_x ^x ^dx^{J x x} ^x 

y

N0(x)= J0(x)lnx+ функциясын енгіземіз. Ол нӛлінші ретті Нейман функциясы делінеді және нӛлінші ретті Бессель

теңдеуін қанағаттандырады. Бессель және Нейман функциялары функциялардың фундаменталды жҥйесін қҧрайды. Сонымен, нӛлінші ретті Бессель теңдеуінің жалпы шешімі y(x)=C1 J0(x)+C2N0(x),

   

....

2 1 1 4 2

ln 2 _{2 2}

4 2

2 0

0 



 

 

 



 x x

x x J x

N (3.4)

функциясы нӛлінші ретті бірінші текті Нейман функциясы делінеді, кейде

0

 

Y x деп белгіленеді.

(3.1) теңдеуінің жалпы шешімі

 

x C₁J₀

 

x C₂N₀

 

x.

y  

Анықтама. Бірінші ретті Бессель теңдеуі деп

2

( ) 1 ( ) (1 n ) ( ) 0

y x y x y x

x x

      тҥріндегі теңдеу айтылады.

Оның дербес шешімі



^

 





 

0 2

2

)!

(

! 2

) 1 ) (

(

q

n q

n q q

n q q n

x x

J (3.5) тҥріндегі дәрежелі қатар.

Дәл сол сияқты ^J₀

 

^x және Jn(x) функциялары бірінші ретті Бессель функциясы делінеді. Дербес жағыдайда

0 ) ( 1 ) 1 ( ) 1 ( )

(     ₂ 

 y x

x x x y x

y теңдеуінің шешімінің тҥрі



^

 





 

0

1 2

1 2

1

2 ! ( 1 )!

) 1 ) (

(

q

q

q q

q q x x

J

_.

Бессель функциясының қасиеттері.

Бессель функциясының қарапайым қасиеттерімен шектелеміз.

1. x айнымалысына қатысты ^J₀

 

^ax функциясы жҧп функция.

x айнымалысына қатысты

J

₁

  ax

- функциясы тақ функция.

2. J ax J kx₁( ) ₀( ) kJ kx₁( ), J1(0) = 0.

Қатарды дифференциалдау арқылы дәлелденеді.

3. .

4.

   

, ]

[ ^_ ^{ 1}_ x

x J x

x J dx

d  _ [x²J

 

x ] x J ₁

 

x. dx

d

 ^ _



Дербес жағдайда,

   

2 ,

2

x x J x

x J dx

d  



 







x J1

 

x



x J0

 

x ^. dx

d  

5. J0

 

x функциясының нӛлдері. Ҥлкен x ҥшін J0

 

x қисығы ӛшетін косинусоиданы білдіреді (3.1 сурет).

0 5 10 15 20

0.5 0.5

1

J0 x( )

x 3.1 сурет

Суретте нӛлінші ретті Бессель функциясының графигі кескінделген.

J0

 

x функциясының



kшексіз кӛп шешімдері бар, олар кестеге енгізілген. Олардың мәнін арнайы функциялар анықтамаларынан алуға болады. Сонымен бірге, оларды MathCad арқылы да табуға болады.

6. x салмақты функцияның ортогоналдық қасиеті

       











 

1

0

' 2 0 1

0 , .

2 1

, 0

p егерq p

J

p егер q

dx qx J px xJ

Біртекті цилиндрде жылудың таралуы туралы есепке Бессель функциясының қолданылуы

Есептің тҧжырымы. R радиусты шектелмеген цилиндр берілген болсын. Температураның кейбір радиалды ҥлестірімде, яғни ^{f r}

 

^{тҥрінде}

таралған. Уақыттың бастапқы кезінде бет қандай да бір U₀ температурасына дейін суиды. Температура суу процесі кезеңінде тҧрақты етіп сақталынады. Уақыттың кез келген сәтінде температураның таралуын табу қажет.

Математикалық модель. Жылу ӛткізгіштік теңдеуін полярлық координаталар жҥйесінде шешу керек

   

 

^{ }

r t r a U

t t U

r t r U



 

 







1 ,

,

2

2 ,

2





(3.6) және бастапқы шарт

U   r , t

_t0

 f   r , 0    R

(3.7) пен шектік шарт

U   r , t

_rR

 0 , t  0

(3.8) берілген.

Сонымен бірге, физикалық тҧрғыдан

 

^{t  }

U 0, , (3.9) U/r_r0 0 (3.10)

орындалу керек.

(3.6) ӛрнегінің оң жағында полярлық координаталар жҥйесінде Лаплас операторы, оны (1.2) мен салыстырыңыз. (3.6) теңдеуінде



айнымалысы бойынша екінші ретті дербес туындысы бар қосылғыш жоқ, себебі шарт бойынша температураның радиалды ҥлестірім берілген, яғни оське қатысты симметриялы.

Қойылған математикалық модельді шешу ҥшін айнымалыларды ажырату немесе Фурье тәсілі қолданылады. Есептің шешімін екі функцияның кӛбейтіндісі тҥрінде ізделінеді ^{U r t}

 

^{, W r}

   

^{T t} . Оны (3.6) теңдеуіне қойсақ

   

 

 

²

''

2 '

1

 ^



 W r rWr r

W t T

t

T .

Бҧл қатынастан келесі теңдеу алынады

T

^'

  t  

²



²

T   t  0

, оның жалпы шешімі ^T

 

^{t Cexp}



^22t



(3.11) Нӛлінші ретті Бессель теңдеуінен

   

0 ) 1

( ^{' 2}

''  W r  W r 

r r

W  (3.12) оның жалпы шешімі W(r) AJ₀

 

r BN₀

 

r . (3.13) Берілген модельде Штурм-Лиувиль есебі: (3.12) қатынасының берілген шектік шарттармен ((3.8) ӛрнегінің салдары) шешімін табу керек.

 

^{R 0}

W _және r 0 нҥктесінде шектеулер ((3.9) және (3.10) ӛрнектерінің салдары)

 

^{0 ,}

W (3.14)

 

0 0.

' 

W (3.15) (3.15) қатынасынан

B  0

шығады, себебі қарсы жағдайда (3.12) теңдеуінің шешімінің бір қосылғышында Нейман функциясы болғандықтан және

 

^{ }

 N r

x 0

lim0 _{, онда } ^W

 

^{r }

r 0

lim0 . Бҧл мҥмкін емес. Сондықтан

 

r A J₀

 

r .

W  

(3.13) шартынан J0

 

R 0 ӛрнегін алуға болады. Оның тҥбірлері Бессель функциялар теориясына сай трансцендентті кестедегі



k _{сандары}

болады. Яғни



R 



_k 



_k 



_k /R.

Сондықтан W_k

 

r  A_kJ₀



_kr/R



, және (3.6) –(3.10) есебінің фундаменталды шешімі ^Uk

 

^{r t, exp}



^{ 2 k2t}



^J0

^

^kr

^

функциялары болады. Олардан қҧралған қатар (3.6)-(3.10) есебінің шешімі болады:

 

^{, exp}

 

0

^{ }

^. 1

2

2 t J r

A t

r

U _k

k

k

k   





^









Ол (3.6), (3.8)-(3.10) қатынастарын қанағаттандырады. (3.7) шарты орындалатындай A_k тҧрақтылары таңдап алынады. Сонымен,

   



^





1 0 k

k

kJ r f r

A  _немесе



^

   





1

0 /

k

k

kJ r R f r

A  . Айнымалы енгіземіз

Rx r

x R

r /   

, мҧндағы ^x

 

^{0,1. Бҧдан} 0

   

1

k k

k

A J  x f Rx







 ^{теңдігі}

алынады. Бҧл теңдік - ^f

 

^Rx функциясының

x

ортогональ салмақты нӛлінші ретті Бессель функциялары бойынша қатарға жіктелуі. Олай болса, 6 қасиет бойынша коэффициенттерді есептеу формуласын аламыз

  

^

   



 ^{ 1}

0 0 2

2 J2 x J x f Rx dx

A_k



_k



_k

немесе

    

/



. 2

0

0 2

2

2



^{ }



 ^{ } _k ^R _k

k R J r f r J r R dr

A  

Сонымен берілген есептің шешімі

   

 

^{/ exp}

  

^{0 /}



^.

, 2

0 2

2 2

1

2 1 2

0 rf r J r R dr

R t k

J R

R r t J

r

U _k

R k R

k   









^



 





 ^ 



Дәріс 4. Жылу ӛткізгіштік теңдеуінің шектік есептерінің сандық тәсілдері

Дәріс мазмҧны: жылу ӛткізгіштік теңдеуінің шектік есептерінің сандық тәсілдері, тор тәсілі.

Дәріс мақсаты: жылу ӛткізгіштік теңдеуінің шектік есептерінің сандық тәсілдерін, тор тәсілін қолдануға ҥйрету.

Тор тәсілі (немесе ақырлы айырмалар тәсілі) – ең кең тараған және тиімді математикалық физика шектік есептерінің, соның ішінде жылу ӛткізгіштік теңдеуінің сандық тәсілдерінің бірі болып табылады. Тәсілдің мәні математикалық модельге енетін дербес туындыларды сәйкес тәуелсіз айнымалдардың сәйкес айырымдық қатынастармен айырбастау болып табылады. Жалпы жағдайда дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімі табылатын жиынның ӛлшемі тәуелсіз айнымалдардың санына тең.

Ақырлы-айырымдық жуықтау (аппроксимация) тәсілінде бҧл жиын тормен қапталады. Мысалы, жиынның ӛлшемі екі болса, ені h₁ және биіктігі h₂

болатын тік тӛртбҧрышты тормен қапталады. Шешім жуықтау тҥйіндері деп аталатын тор тӛбелерінде ізделінеді.

Ақырлы-айырымдық жуықтау ҧғымы.