ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Конспект лекций
для студентов колледжа специальности 071330103 – Электрооборудование
Алматы 2022
Некоммерческое акционерное общество
Колледж АУЭС АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА
СОСТАВИТЕЛИ: М.М.Аршидинов, Денисенко В.И. Теоретические основы электротехники . Конспект лекций для студентов колледжа специальности 071330103 – Электрооборудование. – Алматы: колледж АУЭС, 2022.- 45 с.
Конспект лекций содержит 20 лекций по дисциплине ТОЭ по следующим основным разделам: «Переходные процессы в линейных электрических цепях», «Цепи с распределёнными параметрами»,
«Нелинейные электрические и магнитные цепи» и «Теория электромагнитного поля».
Конспект лекций предназначен для студентов колледжа специальности -Электрооборудование.
Ил.25, библиогр. -6 назв.10
Рецензент: канд. техн. наук, доцент Гали К.О.
Печатается по плану издания колледжа АУЭС на 2022 год
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева 2022г.
Содержание
Введение 4
1 Лекция 1 5
2 Лекция 2 9
3 Лекция 3 13
4 Лекция 4 18
5 Лекция 5 21
6 Лекция 6 26
7 Лекция 7 31
8 Лекция 8 34
9 Лекция 9 37
10 Лекция10 40
Список литературы 45
Введение
Дисциплина «Теоретические основы электротехники » является основным базовым курсом для подготовки студентов колледжей в области электроэнергетики. Назначение дисциплины заключается в изучении и описании как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов и явлений, происходящих в различного рода электротехнических установках, представленных эквивалентными схемами замещения с помощью основных элементов электрических цепей, а также в электромагнитных полях.
Предлагаемый конспект лекций содержит 9 лекций по разделам:
«Переходные процессы в линейных электрических цепях», «Цепи с распределёнными параметрами», «Нелинейные электрические и магнитные цепи».
В первом разделе рассмотрены основные методы расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях: классический, операторный, частотный, интеграл Дюамеля.
Во втором разделе рассмотрены основные понятия о цепях с распределёнными параметрами, установившийся режим в однородной линии, теория линии, согласованной с нагрузкой и линии без потерь.
В третьем разделе приведены основные понятия о нелинейных цепях и методах их расчета, графические и аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока, общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей.
Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся в
колледжах по специальности 071330103 – Электрооборудование (по видам и отраслям).
Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
1 Лекция. Возникновение переходных процессов, законы коммутации, классический метод расчета переходных процессов
Цель лекции: дать общие сведения о переходных процессах, усвоить классический метод их расчета в линейных электрических цепях.
1.1 Возникновение переходных процессов, законы коммутации
Ранее исследовались установившиеся процессы в цепях с сосредоточенными параметрами, т.е. в таких цепях, для которых с достаточной степенью точности можно считать, что электрическое поле, магнитное поле и выделение тепла сосредоточены на отдельных участках цепи, т.е. параметром R,L,C отводилось каждому определенное место.
Не меньшую роль, чем установившийся режим, в электротехнике играют и переходные режимы или процессы.
Переходный процесс – это переход от одного установившегося режима к другому, отличному от первого. Такие процессы имеют место при коммутации, т.е. при включении или отключении электрических цепей и при изменении их параметров (например, изменении нагрузки). На схеме это обозначается так:
Весь процесс можно разделить на три ступени.
1. Начальный установившийся режим.
2. Переходный режим. Его начало обычно принимается в расчете за
=0
t (в некоторых случаях необходимо различать время t =0−
непосредственно перед коммутацией и время t=0+ непосредственно после коммутации).
3. Конечный установившийся режим, который наступает теоретически при t =, а практически – через сравнительно короткое время. Этот режим называется принужденным.
Время переходного процесса исчисляется обычно долями секунды, но ток i и напряжение u могут достигать значений много больших, чем при установившемся режиме. Таким образом надо рассчитать токи и напряжения при переходном режиме, чтобы правильно выбрать аппаратуру и принять соответствующие меры предосторожности.
Энергия магнитного и электрического полей, связанных с цепью, для разных установившихся режимов различна. Для конечного ее изменения необходимо время. Поэтому, если цепь обладает энергией магнитного поля (такое поле всегда создается, если в цепи есть катушка индуктивности) или электрического поля (если в цепи есть конденсатор) или того и другого вместе, то переходный процесс не может совершаться мгновенно, т.к.
последнее привело бы к выделению в L и C бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла.
Энергия магнитного поля Wм
2
2
iL
=L . Из этого следует, что ток iL не может меняться скачком и начинает свое изменение во время переходного процесса с того значения, которое он имел до начала процесса. Это положение известно под названием первого закона коммутации iL(0−)=iL(0+).
Напряжение uL не связанос Wм и поэтому может изменяться мгновенно на конечную величину.
Энергия электрического поля Wэ
2
2
UC
=C . Значит, в этом случае не может меняться скачком напряжение на конденсаторе UC(0−)=UC(0+) – второй закон коммутации. Ток iC может меняться скачком.
Если в цепи толькоR, т.е. нет ни электрического, ни магнитного полей, то переходного процесса не будет. Ток и напряжение скачком изменятся до новых установившихся значений. В общем случае электрическая цепь содержит различные комбинации R,L,C, т.е. будет иметь место переходный процесс. Его продолжительность не зависит ни от величины тока, ни от величины напряжения, а определяется только параметрами цепи.
1.2 Классический метод расчета переходных процессов
Аналитический расчет переходных процессов сводится в конечном счете к нахождению общих интегралов обычных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Порядок дифференциального уравнения, описывающего соотношение токов и напряжений в электрической цепи при переходном режиме, определяется числом мест накопления в данной цепи энергии электрического или магнитного поля. Известно, что ток в конденсаторе
dt CdU
i = C . Если этот же ток протекает по катушке индуктивности, то напряжение на ней
2 2
dt U LCd dt Ldi
uL = = C и т.д.
В общем случае, если в цепи имеется n мест накопления энергии, уравнение может принять вид:
n nn + dt
i
d n−1 nn−−11 + dt
i
d …+ + i= dt
di
n 0 U. (1.1) Общий интеграл дифференциального уравнения с правой частью представляет собой сумму частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без правой части, т.е. общего решения.
Общее решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет того запаса энергии, который был в начальный момент времени в
электрическом и магнитном полях, связанных с цепью. Но в реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии (на нагрев проводов и сопротивлений) и ее выделение в виде тепла. Таким образом, токи и напряжения, определяемые из линейных дифференциальных уравнений без правой части, с течением времени стремятся к нулю. Эти составляющие по своему характеру не зависят от внешних источников энергии и поэтому называются свободными составляющими.
Общий вид свободной составляющей, например, тока, найденной из уравнения (1):
i св. = pt
n
k k
e k
A=1
(1.2) где Ak– постоянная интегрирования, найденная из начальных условий.
Начальные условия – это значения при t =0величин, которые не могут меняться скачком, т.е. iL(0),UC(0);
pk– корни характеристического уравнения.
Применительно к уравнению (1.1) характеристическое уравнение будет иметь вид: npn +n−1pn−1+…+1p+0 =0. (1.3)
Число корней равно порядку дифференциального уравнения. В общем случае корни могут быть комплексными числами, вещественная часть которых всегда отрицательна
k k
k j
p =− +
где k характеризует скорость затухания экспоненты и называется коэффициентом затухания.
Постоянная времени k =1k .
Мнимую часть корня kназывают угловой частотой собственных колебаний.
Частное решение дает значение тока, напряжения при t =, т.е. при установившемся режиме. Характер и величина этой составляющей определяется внешними источниками энергии, поэтому она называется принужденной составляющей.
Например, если в (1.1) напряжение u=U0 =const, то и принужденный ток
i пр. =const и не зависит от времени. Тогда все производные обратятся в ноль и получим iпр. = U0 0 .
Итоговое значение тока определяется как сумма общего и частного решений: i=iсв. +iпр. . Если искомым является напряжение, то u=uсв.+uпр. .
Таким образом, решение свелось к методу наложения: определяя частное решение (iпр.), полагают, что действуют только внешние источники энергии. Определяя свободные составляющие, наоборот, приравнивают к нулю внешние источники и учитывают действие только внутренних сил, обусловленных накопленной в цепи энергией. Необходимо помнить, что реально существуют только действительные токи и напряжения, а их
разложение на принужденные и свободные составляющие – лишь прием, облегчающий расчет.
1.3. Включение цепи R,L на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1)
Рисунок 1.1
Дано: U=const, R,L
Приняв момент включения t =0, определить ток i и построить график его изменения во времени.
Составляем дифференциальное уравнение электрического равновесия цепи (уравнение по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме)
U u
uR + L = или U−uR −uL =0. (1.4) Известно uR =iR,
dt Ldi
uL = . (1.5) Подставим (1.5) в (1.4) iR U
dt
Ldi+ = , (1.6) т.е. получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Находим частное решение (1.6), т.е. iпр.
U R dt i
Ldi + = . Так как U =const, то i=const, =0 dt
Ldi , а I
R
i =U = . (1.7) Получился ток установившегося режима, который был бы в цепи с первого момента замыкания ключа, если бы не возникающая в катушке ЭДС самоиндукции, которая противодействует изменению тока.
Общее решение, т.е. iсв.
=0
+
i R
dt
LdiC C . (1.8) Решим (1.8) разделением переменных: dt
L R dt
diC
−
=
.
Интегрируя, получим ln t A1 L
iC =−R + . Постоянную A1 можно определить как ln некоторой другой постоянной A, т.е. считать, что A1+ln A. Тогда
Lt R
C A e
i = −
где L
−R - корень характеристического уравнения pL+R=0, т.е.
L p=−R .
Постоянная A находится из начальных условий: при t =0ток в катушке равен нулю (по первому закону коммутации), т.е. (0)= (0)+ (0)= +A=0
R i U
i
i C .
Откуда I R
A=−U =− и Lt
t R L R
C e Ie
R
i =−U − =− − . (1.9) В последующем будем записывать iсв. сразу в общем виде, не приводя подробного решения, а пользуясь выражением i св. = Aept.
Так как корень p – вещественный, то постоянная времени
R L p =
−
= 1
.
Единица измерения
= L R = OM =OM c OM =c. Используя можно записать iCB = Ae−t . Физический смысл : при t =0 i св.(0)=−I, а приicв( )=−Ie− =−Ie−1
e
iC
= , таким образом – это время, за которое свободная составляющая уменьшится в e=2,718... раз.
Действительное значение тока
t t L R
C e I e
R U R i U i
i = + = − − = (1− − ). (1.10) На рисунке 1.2 приведен график i= f(t):
Рисунок 1.2
Через промежуток времени
=5
t ток iотличается от тока установившегося режима всего на 0,7% ,т.е. можно считать, что практически переходный процесс завершился.
2 Лекция. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии
Цель лекции: усвоить классический метод расчета переходных процессов в простейших электрических цепях.
2.1 Короткое замыкание цепи с R,L
Рисунок 2.1 Рисунок 2.2
Пусть заданы значения u =U =const,R,L. Определить i= f(t)
Составляем уравнение замкнутого контура по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме:
+ = + =0 dt Ldi R i u
uR L . (2.1)
Находим принужденную составляющую тока iпр=iуст.=0 (переходный процесс в катушке не зависит от внешнего напряжения U).Следовательно
i i= св.
Свободная составляющая тока из (2.1) iсв =i= Aept.
Характеристическое уравнение pL+R=0, т.е. =− L p R
Постоянную интегрирования A определяем из начальных условий:
при t=0 i(0)=iсв. I A R
R
U = =
= +
1
) 0
( .
На рисунке 2.2 приведена кривая pt t e RLt R R e U I e I
i − −
= +
=
=
1
. (2.2) Проверим расход энергии. До начала переходного процесса в магнитном
поле катушки была запасена энергия Wм 2 LI2
= . Энергия, перешедшая за время переходного процесса в тепловую
) 2 1 0 2 ( 2
2 2
0 2
0 0
2 2 2
2 L I L I
e L
R R dt I
e R I dt R
i L t
t R L
R =− − =
−
=
=
−
−
.Таким образом, весь запас энергии магнитного поля перешел в тепловую энергию в сопротивлении R.
2.2 Включение цепи R,C на постоянное напряжение
Рисунок 2.3
Будем считать, что конденсатор предварительно был заряжен до напряжения U0. Для цепи рисунка 2.3 уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид
C C
R u i R u
u
u= + = + . (2.3) Так как в цепи есть конденсатор, то расчет целесообразно вести через напряжение uC, т.е.
величину, определяющую запас энергии.
Выражаем ток i через uC
dt Cdu dt
i= dq= C . (2.4) С учетом (2.4) уравнение электрического равновесия цепи запишем в виде
u dt u
RCduC + C = , (2.5) где uC =uCпр. +uC св..
Определяем uC пр. uCпр.=uCyc =U. (2.6) Здесь ток будет протекать до тех пор, пока конденсатор не зарядится.
Так как уравнение (2.5) первого порядка, то свободная составляющая напряжения uCсв
t
pt Ae
Ae = −
= . (2.7) Характеристическое уравнение RCp+1=0, откуда p=−1RC=−1.
= R C = Ом.·Ф = Ом.· Ом.-1.·с. = с.Определяем постоянную интегрирования A
C
C u
u = пр.+uCсв.=U +Aept. (2.8) При t =0 uC(0)=U+A=U0, откуда А = U0 – U, таким образом,
uCсв. RC
t
e U U − −
=( 0 ) . (2.9) Итоговый результат: uC =U+(U0 −U)e−RCt . (2.10) ПриU0 =0 (1 RC)
t
C U e
u = − − .
Зарядный ток конденсатора: C e RCt R
U U dt Cdu
i − −
=
= 0 (2.11) ПриU0 =0 RC
t
R e
i=U − . (2.12) На рисунке 2.4 приведен примерный вид кривых uC = f(t) и i= f(t).
Рисунок 2.4
3.3 Включение цепи R,L на синусоидальное напряжение
Пример такого переходного процесса – включение трансформатора в режиме холостого хода при малом насыщении сердечника.
Переходные процессы в цепях переменного тока сильно зависят от того, в какой момент, при каком мгновенном значении напряжения происходит включение цепи. Поэтому обязательно надо учитывать не только действующее значение или амплитуду напряжения сети, но и начальный фазовый угол в момент включения цепи.
Рассмотрим цепь рисунка 2.5.
Рисунок 2.5
Пусть данная цепь включается на синусоидальное напряжение, начальная фаза которого составляет градусов, т.е. u=Umsin(+ ). Здесь порядок расчета тот же, что и раньше,только iпр.
тоже зависит от времени.
Составляем уравнение электрического равновесия цепи
u R dt i
Ldi+ = . (2.13) Принужденная составляющая тока iпр.=iуст. , но при установившемся режиме ток определяется законом Ома
iпр.=i уст. = sin(t+−) z
Um (2.14) где z= R2 +(L)2;
R arctgL
= .
В более сложных цепях ток установившегося режима удобнее определять в комплексной форме, а затем от İ уст. перейти к iуст. .
Свободная составляющая тока iсв
t
pt A e
e
A = −
= , (2.15) где
L p=−R, а
R L p =
−
= 1
.
Общий ток i=iпр.+iсв m t A e t z
U −
+
− +
= sin( ) . (2.16) При t =0 (0)= sin( − )+A=0
z
i Um (по первому закону коммутации).
Откуда =− sin(−) z
A Um .
Окончательно получим iсв m e t z
U −
−
−
= sin( ) , (2.17)
а m m e t
z t U
z
i=U sin( + − )− sin( − ) − . (2.18) Из (2.18) видно, что ток состоит из двух частей – синусоидального тока с постоянной амплитудой и постоянного тока, убывающего по экспоненте.
Величина общего тока существенно зависит от начального угла . Рассмотрим два крайних случая:
а) − =0 или −=π.
В этом случае iсв =0 и переходного процесса не будет, т.к. ток установившегося режима (а значит и связанная с ним энергия магнитного
поля) в момент включения проходит через ноль. Скачка энергии не получается и ток сразу становится током установившегося режима;
б) − =π /2. Здесь sin( −)=1принимает наибольшее значение, и амплитуда тока переходного процесса также будет наибольшей. Это объясняется тем, что включение происходит в момент, когда ток установившегося режима максимален. Рассмотрим график рисунка 2.6.
Из графика видно, что ток особенно увеличивается во второй и третьей четверти первого периода, причем это увеличение сильно зависит от постоянной времени . Если велико, то ток через время Т/2 после включения может достичь почти удвоенной амплитуды Im уст. (но ни при каких условиях не превзойдет 2Imуст. ).
Рисунок 2.6
3 Лекция. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии
Цель лекции: познакомить с особенностями протекания переходных процессов в цепях с последовательным соединением элементовR,L,C и при их подключении на постоянное напряжение.
3.1 Переходный процесс в цепи R,L,C
Рисунок 3.1
В цепи рисунка 3.1 запасается энергия двух видов - магнитного поля и электрического поля.
Следовательно, в цепи не будет скачков ни тока, ни напряжения.
Найдем ток iи напряжение uC
при включении данной цепи на любое напряжение u.
Пусть до включения
0 ) 0 ( − =
uC .
Уравнение электрического равновесия цепи имеет вид
u u u
uR + L + C = . (3.1)
Так как расчет с конденсатором удобнее вести через uC, то все входящие в (3.1) величины выразим через это напряжение
dt Cdu i= C ;
dt RCdu R i
uR = = C ; 2
2
dt u LCd dt Ldi
uL = = C . Подставив эти выражения в (3.1), получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
u dt u
RCdu dt
u
LCd2 2C + C + C = . Освободимся от коэффициента при 2 2
dt u d C
C L
u C L
u dt du L R dt
u
d C C C
= +
2 +
2
(3.2) где uC =uCпр.+uC св.
Определяем uCпр. по закону Ома. Принужденная составляющая зависит от формы приложенного напряжения. Если u=const, то uCпр.=u. Если
) sin( +
=U t
u m , то напряжение и ток установившегося режима так же будут синусоидальными. В этом случае расчет ведется в комплексной форме, а затем находятся мгновенные значения как функции времени.
Находим uС св., которая и определяет длительность и характер переходного процесса.
2 0
2
= +
+ LC
U dt dU L R dt
U
d CCB CCB CCB
(3.3) Решением (3.3) будет: uC A ept A ept
CB
2 1
2
1 +
= (3.4) Корни характеристического уравнения 2 1 0
= +
+ p L C
L
p R определяются
как
C L L
R L
p R
−
−
= 1
2 4 2
2 2
,
1 . (3.5) Значения корней зависят от соотношения параметров цепи. Может быть три случая:
а) R>
С
L
2
=
= − Ом
с Ом
с Ом Ф
Гн
1 .
При этом условии
C L L
R
1 4 2
2
и корни p1, p2 получаются вещественными, отрицательными, различными по величине
В самом деле, если обозначить a C L L
R =
−
1 4 2
2 , где a – вещественное число, меньше чем
L R
2 , то a
L
p R +
−
= 2
1 < 0; a
L
p R −
−
= 2
2 < 0. (3.5а) По абсолютной величине | p1 | < | p2 |. Такой режим называется апериодическим, т.к. ток и напряжение приближаются к установившемуся режиму, не меняя своего направления;
