Посвящена 20-летию Астаны 20–21 апреля 2018 года

(1)

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Казахстанский филиал

________________________________________________________________

XIV Международная

научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых

«Л ^{ОМОНОСОВ} – 2018»

Посвящена 20-летию Астаны 20–21 апреля 2018 года

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ I часть

Астана – 2018

(2)

УДК_____

ББК _____

Л_____

XIV Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов–2018» в Казахстанском филиале МГУ проводится при содействии ГУ «Библиотека Первого Президента Республики Казахстан – Елбасы» и Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Организационный комитет

Сидорович А.В. (председатель), Саулебеков А.О. (зам. председателя), Абдильдина Р.Ж., Баева Ю.В., Битюкова В.Р., Богомолов С.В., Власова Г.И., Жалбинова С.К., Зубенко В.А., Котлярова Т.Г., Нурсултанов Е.Д., Орлова О.В.

(ответственный секретарь).

Редакционная коллегия

Сидорович А.В. (главный редактор), Саулебеков А.О., Абдильдина Р.Ж., Баева Ю.В.,Власова Г.И.,Жалбинова С.К.,Нурсултанов Е.Д.

«Ломоносов–2018»: XIV Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых: Тезисы докладов XIV Международной научной конференции: в 2-х частях (I часть). –Астана: Казахстанский филиал МГУ имени М.В.Ломоносова,2018. –357 c.

ISBN_______________

Ч.I.–357с.

ISBN_______________

Публикуемые тезисы докладов XIV Международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых посвящены актуальным вопросам в области математики и информатики, экологии и природопользования и социо- гуманитарных наук.

Сборник адресован научным работникам, преподавателям, аспирантам, магистрантам и студентам вузов.

В подготовке сборника к печати принимали участие:

Абылкасова С.Ж., Воронова Е.С., Овчеренко У.В., Орлова О.В., Копежанова А.Н., Мугалимова А.А., Семенова А.В., Шайдурова Л.В.

ISBN_______________ Казахстанский филиал МГУ ISBN_______________ имени М.В.Ломоносова, 2018 УДК 001 (063)

ББК 72 Л 75

УДК 001 (063) ББК 72

ISBN 978-601-7804-46-6 ISBN 978-601-7804-47-3

УДК_____

ББК _____

Л_____

ISBN_______________

Ч.I.–357с.

ISBN_______________

ISBN_______________ Казахстанский филиал МГУ ISBN_______________ имени М.В.Ломоносова, 2018 УДК_____

ББК _____

Л_____

ISBN_______________

Ч.I.–357с.

ISBN_______________

ББК _____

Л_____

ISBN_______________

Ч.I.–357с.

ISBN_______________

ББК _____

Л_____

XIV Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов–2018» в Казахстанском филиале МГУ проводится при содействии ГУ «Библиотека Первого Президента Республики Казахстан – Елбасы» и Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

«Ломоносов–2018»: XIV Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых: Тезисы докладов XIV Международной научной конференции: в 2-х частях (I часть). – Астана: Казахстанский филиал МГУ имени М.В.Ломоносова,2018. –357 c.

ISBN_______________

Ч.I.–357с.

ISBN_______________

ISBN_______________ Казахстанский филиал МГУ ISBN_______________ имени М.В.Ломоносова, 2018 Л 75

(3)

Участникам XIV Международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов – 2018» в Казахстанском филиале

Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова!

XIV Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов – 2018» является составной частью Международного молодежного научного форума «Ломоносов – 2018», проводимого Московским государственным университетом. Казахстанский филиал МГУ стал новой крупной площадкой для проведения Ломоносовских чтений в Казахстане с 2005 года, в чем проявляется преемственность академических традиций, заложенных Московским университетом.

Международная научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов – 2018» предоставляет учащимся университетов России и Казахстана возможность заявить о своих достижениях в различных областях науки – от филологии до прикладной математики. МГУ стремится поддержать смелые начинания, неординарные проекты, теоретические изыскания молодых ученых, которым предстоит двигать вперед науку и определять, каким будет наше будущее.

Это особенно важно в год празднования двадцатилетия Астаны – столицы молодого независимого государства, стремительно развивающегося города, занимающего видное место на международной арене.

Конференция «Ломоносов – 2018» способствует укреплению дружбы российского и казахстанского народов, закладывает основу для совместных исследований молодых ученых по современным направлениям науки.

Желаю участникам конференции продуктивной работы и научных открытий!

Ректор

МГУ имени М.В.Ломоносова,

академик

В.А. Садовничий

(4)

(5)

Уважаемые участники XIV Международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов – 2018»!

Московский университет является одним из ведущих университетов мира, славится богатой историей и ставит своей задачей развитие наук, воспитание высококвалифицированных специалистов, способных решать сложные задачи ХХI века.

Казахстанский филиал МГУ имени М.В.Ломоносова продолжает славные традиции Московского университета на Казахстанской земле. Его выпускники вносят значительный вклад в развитие Казахстана, который добивается больших успехов в своем развитии.

Ломоносовские чтения, проводимые Казахстанским филиалом МГУ имени М.В.Ломоносова, являются одним из наиболее масштабных ежегодных молодежных научных форумов в Казахстане. Продолжая традиции Московского университета, Филиал в Астане вносит серьезный вклад в развитие науки и образования, служит укреплению дружеских отношений Казахстана и России и заботится о развитии давних академических и культурных связей наших государств.

XIV Международная научная конференция «Ломоносов – 2018» привлекает студентов, магистрантов и молодых ученых к решению теоретических и практических задач современной науки, стимулирует самостоятельный творческий поиск, поощряет смелые проекты и неординарные идеи, способствует профессиональной ориентации студентов и дает им возможность заявить о себе и своих достижениях.

Участники форума «Ломоносов» в Астане, как свидетельствуют направленные в адрес оргкомитета тезисы выступлений, стремятся внести свой личный вклад в решение сложных и ответственных задач третьей модернизации Казахстана, повысить роль страны в решении сложнейших проблем современной науки и общества. Конференция стимулирует наших студентов на новые исследования, на освоение достижений мировой науки и образования, на развитие традиций отечественной науки.

Казахстанский филиал МГУ имени М.В.Ломоносова был создан на важном этапе развития Казахстана. Он всего на два года моложе города Астаны, замечательной столицы авторитетного и динамично развивающегося государства Республики Казахстан. Идея укрепления дружбы народов России и Казахстана пронизывает многие тезисы конференции – и это очень показательно!

Желаю удачи участникам конференции, творческих успехов и достижений!

Председатель оргкомитета конференции, директор Казахстанского филиала

МГУ имени М.В.Ломоносова, профессор

А.В. Сидорович

(6)

(7)

ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÛÅ ÏÐÎÁËÅÌÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Î ïðîèçâîäíûõ Âåéëÿ íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé Àáèøåâ Ä.Ì., Ðàõìàíîâà P.Ì.

còóäåíòû

Êàçàõñòàíñêèé ôèëèàë ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ã. Àñòàíà, Êàçàõñòàí

[email protected], [email protected]

Â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ââîäÿòñÿ ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé íà äðîáíûå ïîðÿäêè. Îíè èìåþò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â àíàëèçå è åãî ïðè- ëîæåíèÿõ. Îäíèì èç ïîíÿòèé äðîáíîé ïðîèçâîäíîé ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé Âåéëÿ (ñì. [1]).

Îïðåäåëåíèå 1. Äëÿ ôóíêöèè f(x) ∼ ^a₂⁰ + P∞

k=1(a_kcos(kx) + b_ksin(kx)), ðÿä P∞

k=1k^α(akcos(kx+^πα₂ ) +bksin(kx+^πα₂ )), ãäåα >0, íàçûâàåòñÿ äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Âåéëÿ ïîðÿäêà α è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì f^(α)(x).

Íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ ó íåêîòîðûõ íåïðåðûâíûõ íèãäå íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Âåéåðøòðàññà (ñì. [2]). Ôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà çàäàåòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé åäèíûì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì

w(x) =

∞

X

n=0

bⁿcos(aⁿπx),

ãäåa ïðîèçâîëüíîå íå÷¼òíîå ÷èñëî, íå ðàâíîå åäèíèöå, àb ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ìåíüøåå åäèíèöû. Ýòîò ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîìP∞

n=0bⁿ, ïîýòîìó ôóíêöèÿwîïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà ïðè âñåõ âåùåñòâåííûõ x. Òåì íå ìåíåå, ýòà ôóíêöèÿ íå èìååò ïðîèçâîäíîé, ïî êðàéíåé ìåðå, ïðèab > ³₂π+1. Îòñóòñòâèå ïðîèçâîäíîé âî âñåõ òî÷êàõ ïðè áîëåå îáùèõ óñëîâèÿõ ab > 1 è a > 1 áûëî óñòàíîâëåíî Õàðäè(ñì. [3]).

Ðàññìîòðèì äðîáíóþ ïðîèçâîäíóþ Âåéëÿ ïîðÿäêàαäëÿ ôóíêöèè Âåéåðøòðàññà:

w^(α)(x) =

∞

X

n=0

π^αbⁿa^nαcos(aⁿπx+ πα 2 ).

Ýòîò ðÿä áóäåò ñõîäèòñÿ, åñëè ba^α < 1. Ïðèðàâíÿåì ê 1 è íàéäåì α₀: ba^α⁰ = 1 =>

α₀ =−log_ab.

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü a è b ÷èñëà, çàäàííûå âûøå, è ïóñòü α₀ = −log_ab. Òîãäà äëÿ ëþáîãî α ∈ (0, α₀) ôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ Âåéëÿ w^(α)(x). Êðîìå òîãî, ïðè α ∈ [α0,+∞) ó ôóíêöèè Âåéåðøòðàññà íåò ïðîèçâîäíîé Âåéëÿ w^(α)(x).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ Âàí-äåð Âàðäåíà (ñì. [2]).

Îíà îïðåäåëÿåñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì f₁(x) ≡ |x| äëÿ |x| < ¹₂ è ïðî- äîëæèì ýòó ôóíêöèþ ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 1, ò.å. ïîëîæèì f₁(x+n) = f₁(x) äëÿ âñÿêîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x è âñÿêîãî öåëîãî n. Äàëåå äëÿ n > 1 ïîëî- æèì f_n(x) ≡ 4⁻ⁿ⁺¹f₁(4ⁿ⁻¹x). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n ôóíêöèÿ

(8)

fn ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì 4⁻ⁿ⁺¹ è ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì ¹₂·4⁻ⁿ⁺¹. Íàêîíåö, îïðåäåëèì íà R ôóíêöèþ f òàê:

f(x)≡

∞

X

n=1

f_n(x) =

+∞

X

n=1

f₁(4ⁿ⁻¹x) 4ⁿ⁻¹ .

Ôóíêöèÿ f(x)îïðåäåëåíà íà [−¹₂,¹₂], à òàê êàê f(x)− ÷åòíàÿ, òî äîñòàòî÷íî ðàñ- ñìîòðåòü åå íà [0,¹₂]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü ýòó ôóíêöèþ ðÿäîì Ôóðüå, ðàñ- ñìîòðèì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ f(x)òàêóþ, ÷òî:

f(−x) = f(x), f(x) =

(f(x), åñëè x∈[0,¹₂]

−f(x₁), x= 1−x₁,åñëè x₁ ∈[0,¹₂].

Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:

f(x)∼ a₀ 2 +

∞

X

m=1

a2m−1cos((2m−1)πx), ãäå

a₀ = 1 3, a2m−1 = 2 (−1)^m+1

2(2m−1)π + 1

((2m−1)π)² + (−1)^m+1 ((2m−1)π)²

∞

X

n=2

tg(2m−1)π 4ⁿ

. Ïðîèçâîäíàÿ Âåéëÿ ôóíêöèè f(x)èìååò ñëåäóþùèé âèä:

f^(α)(x) = 2

∞

X

m=1

(−1)^m+1

2(2m−1)^1−απ+ 1

(2m−1)^2−απ²+ (−1)^m+1 (2m−1)^2−απ²

∞

X

n=2

tg(2m−1)π 4ⁿ

·

·cos((2m−1)πx+πα 2 ).

Ðàçîáüåì åå íà òðè ðÿäà. Ïîëîæèì

A=

∞

X

m=1

(−1)^m+1cos((2m−1)πx+ ^πα₂ ) 2(2m−1)^1−απ , B =

∞

X

m=1

2 cos((2m−1)πx+^πα₂ ) (2m−1)^2−απ² , C =

∞

X

m=1

2(−1)^m+1cos((2m−1)πx+ ^πα₂ ) (2m−1)^2−απ²

∞

X

n=2

tg(2m−1)π 4ⁿ .

Ðÿä A ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äèðèõëå, ðÿä B ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà.

Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ ðÿäà C íàì íå óäàëîñü äîêàçàòü åãî ñõîäèìîñòü èëè ïîêà- çàòü, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðîèçâîäíîé Âåéëÿ ïîðÿäêà α ∈(0,1)ó ôóíêöèè Âàí-äåð Âàíäåðà îñòàåòñÿ îòêðûòûì.

(9)

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

1. Ãèëåìçÿíîâ À.Ô. Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äðîáíûõ èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ìåõàíèêå: àâòîðåô. äèñ. êàíä. ôèëîëîã.

íàóê. Êàçàíü: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî, 2014.

47 ñ.

2. Ãåëüáàóì Á., Îëìñòåä Äæ. Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå. Ì.: Ìèð, 1967. 251 ñ.

3. Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function. // Trans – Amer. Math. Soc., 1916. Vol. 17. I. 3. P. 301–325.

Âîcñòàíîâëåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî ñïåêòðàëüíûì äàííûì Àæèáåêîâà À.Ê., Êàéûðáåê Æ.À., Íóðìåòîâà À.Ò.

ìàãèñòðàíòû

Êàçàõñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè àëü-Ôàðàáè ã. Àëìàòû, Êàçàõñòàí

[email protected]

Ïóñòü çàäàíî ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà l(y)≡y⁽ⁿ⁾(x) +

n−1

X

k=0

p_k(x)y^(k)(x), 0< x < b ñ ãëàäêèìè êîýôôèöèåíòàìè

p_k(x)∈C^k[a, b], k = 0,1, .., n−1.

Èçâåñòíî [1], ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ l(·)ìîæíî ïîäîáðàòü n ãðàíè÷íûõ ëèíåéíûõ ôîðì U₁(·), ...U_n(·) òàê, ÷òîáû ñèñòåìà îïåðàòîðà B₀,çàäàâàåìîãî ôîðìóëîé

B₀y(x) =l(y), 0< x < b íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ

D(B₀) ={ y∈W₂ⁿ[0, b] :U₁(y) = 0, ..., U_n(y) = 0},

îáðàçîâûâàëà áàçèñ Ðèññà â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâåL₂[0, b]. Äëÿ ýòîãî äîñòà- òî÷íî ãðàíè÷íûå ôîðìûU₁(·), ...U_n(·)âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè ñîñòàâëÿëè óñèëåííî- ðåãóëÿðíûå ïî Áèðêãîôó ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ [1]. Êîãäàn ÷åòíîå ÷èñëî, òî ãðàíè÷- íûå ôîðìû âûáèðàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

U₁(y) = y(0), U₂(y) =y(1), U₃(y) = y(0), U₄(y) =y(1) ... U_n(y) =y(ⁿ2)(1).

Ïðèn íå÷åòíîì ãðàíè÷íûå ôîðìûU₁(·), ...U_n(·)ìîæíî ñ÷èòàòü äâóõòî÷å÷íûìè ëèíåéíûìè ôîðìàìè

U_j(y) = α_jy(k_j)(0) +β_jy(k_j) (1), k₁ ≤k₂ ≤...≤k_n, k_j+2 > k_j.

(10)

Ïðè ýòîì íàêëàäûâàþòñÿ íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ íà íàáîð ÷èñåë (α1, ..., αn) è (β₁, ..., β).

Ïóñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(B₀) ïîñëåäîâàòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûìè âîçìóùåíèÿìè, à äåéñòâèå îïåðàòîðà ñîõðàíÿåòñÿ. Èíà÷å ãî- âîðÿ, íà ïåðâîì øàãå ââîäèòñÿ îïåðàòîð B₁ ïî ôîðìóëå

B₁y(x) =l(y), 0< x <1, íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ

D(B1) =







y∈W₂ⁿ[0, b] :U1(y) = Z b

0 kj

X

s=0

ρ1s(x)y^(s)(x)dx, Ui(y) = 0, i= 2, ..., n





 ,

çäåñü {ρ_1s(x), s= 0, .., k} − íåêîòîðûé íàáîð êâàäðàòíî-ñóììèðóåìûõ íà[0,1]ôóíê- öèé.Íà âòîðîì øàãå îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîð B₂ ïî ôîðìóëå

B₂y(x) =l(y), 0< x <1, íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ

D(B₂) =







y∈W₂ⁿ[0, b] :U₂(y) = Z b

0 kj

X

s=0

ρ_2s(x)y^(s)(x)dx, U_i(y) = 0, i= 3, ..., n





 . Òî÷íî òàê æå ââîäÿòñÿ îïåðàòîðû B₁, B₂, B₃, B₄, ..., Bn−1,êîòîðûå íàçûâàåì ïðî- ìåæóòî÷íûìè ìåæäó îïåðàòîðàìèB èBn.Â ðàáîòå ðåøàåòñÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(B_n) îïåðàòîðà B_n ïî èçâåñòíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó âû- ðàæåíèþ è íàáîðó ñïåêòðîâ ïðîìåæóòî÷íûõ îïåðàòîðîâ B, B₁, B₂, ..., B_n. Îñíîâíîå íàáëþäåíèå, íà êîòîðîì îñíîâàíî âîññòàíîâëåíèå íåèçâåñòíûõ ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé {ρ_ν,s(x), ν = 0, .., n, 0≤s≤k_ν},çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íàáîð ëèíåéíûõ ôîðì

(

V_ν(y) = Z b

0 kν

X

s=0

ρ_νs(x)y^(s)(x)dx ν = 1, ..., n )

ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì íàáîðîì ëèíåéíûõ ôîðì âèäà

W_ν(Y) = Z b

0

l(y)σ_ν(x)dx, ν= 1, ..., n

.

Âìåñòî âîññòàíîâëåíèÿ ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé {ρ_ν,s(x), ν = 1, .., n, 0≤s≤k_ν} äîñòàòî÷íî âîññòàíîâëèâàòü äðóãîé óêîðî÷åííûé íàáîð ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé {σ_ν(x), ν= 1, ..., n,}.

Ïóñòü 1≤k≤n. Ââåäåì ôóíêöèþ χ_k(x, k), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ l(χk) =λχk(x, λ), 0< x < b

è ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè U_ν(χ_k)−λ

Z b 0

χ_k(x, λ)σ_ν(x)dx= 0, ν = 1, ..., k−1 (1)

(11)

Uk(χk) = 1

U_ν(χ_ν) = 0, ν =k+ 1, ..., n (2)

Êîãäà k =n, òî óñëîâèÿ(2) îòñóòñòâóþò. Åñëè k = 1, òî îòñóòñòâóþò óñëîâèÿ (1). Ôóíêöèè χ₁(x, λ), ..., χ_n(x, λ) ïðåäñòàâëÿþò ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè îò λ, ïðè-

÷åì ïîëþñà ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè(k−1)−îé êðàåâîé çàäà÷è. Åñëè ñïåêòðû ñîñåäíèõ êðàåâûõ çàäà÷ íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ñïåêòð k−îé êðàåâîé çàäà÷è ñîâïàäàåò ñ íóëÿìè ìåðîìîðôíîé ôóíêöèè

∆k(λ) = 1−λ Z b

0

χ2(x, λ)σk(x)dx.

1. Íàéìàðê Ì.À. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû. Ì.: Íàóêà, 1969. 528 ñ.

Îá îäíîì òîæäåñòâå äëÿ ðåçîëüâåíò

Àæèáåêîâà À.Ê., Êàéûðáåê Æ.À., Íóðìåòîâà À.Ò.

Êàçàõñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè àëü-Ôàðàáè ã. Àëìàòû, Êàçàõñòàí

[email protected]

Ïóñòü B çàìêíóòûé íåîãðàíè÷åííûé îïåðàòîð ñ ïëîòíîé îáëàñòüþ îïðåäå- ëåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì < ·,· >. Â ïðîñòðàíñòâå H ðàññìîòðèì îáðàòíîå ñóæåíèå îïåðàòîðîâ K⁻¹ è K₀⁻¹ îïåðàòîðà B(K ⊂B, K₀ ⊂B)òàêèõ, ÷òî

K⁻¹f =K₀⁻¹f+

n

X

s=1

ϕs < f, ρs >,∀f ∈H,

ãäå n <∝, à ϕ₁, ..., ϕ_n è ρ₁, ..., ρ_n íåêîòîðûå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå íàáîðû ýëåìåíòîâ èç H. Êîãäà ϕ₁, ..., ϕ_n íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(K₀), òîãäà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(K)èD(K₀)íå ìîãóò ñîâïàäàòü äðóã ñ äðóãîì. Ñ÷èòàåì, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà çàäàåòñÿ ìíîæåñòâîìD(K₀) =

K₀⁻¹f,∀f ∈H . Òî÷íî òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà K.

Ïóñòü {u₁, ..., u_n} ñèñòåìà ýëåìåíòîâ èç H, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ áèîðòîãîíàëüíîé ê ñèñòåìå ϕ₁, ..., ϕ_n , òî åñòü < ϕ_i, ϕ_j >=δ_ij, ãäåδ_ij =

1, åñëè i=j, 0, åñëè i6=j.

Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè j = 1, ..., n ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

< K⁻¹f, u_j >=< K₀⁻¹f, u_j >+< f, ρ_s> .

Òåîðåìà 1. Åñëè ïðè j = 1, ..., n ýëåìåíòû ρj = (K₀⁻¹)^∗uj, òî äëÿ ðåçîëüâåíò ñïðà- âåäëèâî îáîáùåííîå òîæäåñòâî Ãèëüáåðòà äëÿ âñåõ f H

(K−λI)⁻¹f = (K₀−λI)⁻¹f +

n

X

s=1

K(K −λI)⁻¹ϕ_s < K₀(K₀−λI)⁻¹f, ρ_s > .

(12)

Óêàçàííàÿ òåîðåìà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ê îïåðàòîðóK0y=Pn

m=0ρm(x)y^m(x), 0 < x < 1 ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(K₀) = yW₂ⁿ[0,1] :u_j(y) = 0, j = 1, ..., n. Çäåñü ρ_nC^m[0,1], àu_j íàáîð äâóõòî÷å÷íûõ ãðàíè÷íûõ ôîðì.{u_j}âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ K⁻¹. Â êà÷åñòâå îïåðàòîðà K áåðåì îïåðàòîð

K_y =

n

X

m=0

ρ_m(x)y^m(x), 0< x <1 c îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ

D(K) = yW₂ⁿ[0,1] :V_j(y) = 0, j = 1, ..., n, ãäå

v_j(y) = u_j(y) + Z 1

0 n

X

m=0

ρ_my^m(x) ¯ρ_j(x)dx,ρ¯_jL₂(0,1).

Â ðàáîòå [1] óêàçàííàÿ òåîðåìà ïðèìåíåíà ê ïîëèãàðìîíè÷åñêîìó îïåðàòîðó â ïðî- êîëîòîé îáëàñòè.

1. Kanguzhin B., Tokmagambetov N. Resolvents of well-posed problems for finite-rank perturbations of the polyharmonic operator in a punctured // Siberian Mathematical Journal, 2016. Vol. 57. I. 2. P. 265–273.

Ðó÷íûå àâòîìîðôèçìû ñâîáîäíûõ àëãåáð Ëåéáíèöà ðàíãà 2 Àéòæàíîâà Á.Ç., Áàëàáåêîâ Ì.

Åâðàçèéñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ë.Í. Ãóìèëåâà ã. Àñòàíà, Êàçàõñòàí

[email protected]

Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî A íàä ïîëåì k, ñíàáæåííîå áèëèíåéíîé îïåðàöèåé x·y, íàçûâàåòñÿ äóàëüíîé àëãåáðîé Ëåéáíèöà, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ A âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî

(xy)z=x(yz) +x(zy).

Àëãåáðà An íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé äóàëüíîé àëãåáðîé Ëåéáíèöà ñî ñâîáîäíûì ìíîæåñòâîì ïîðîæäàþùèõ X = {x₁, x₂,· · · , x_n}, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:

1. Aëãåáðà A_n ïîðîæäàåòñÿ (êàê äóàëüíîé àëãåáðà Ëåéáíèöà) ìíîæåñòâîì X; 2. Äëÿ ëþáîé äóàëüíîé àëãåáðû ËåéáíèöàAè äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿϕ:X →A

ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ψ :A_n→A òàêîé, ÷òî ψ|_X =ϕ.

ÏóñòüD=DLhx1, x2,· · · , xni ñâîáîäíàÿ äóàëüíàÿ àëãåáðà Ëåéáíèöà íàä ïîëåì k îò ïåðåìåííûõ x₁, x₂,· · · , x_n. Æ.-Ë. Ëþäåé (J.-L.Loday) [1] äîêàçàë, ÷òî ëåâîíîð- ìèðîâàííûå ñëîâà îáðàçóþò áàçèñ ñâîáîäíîé äóàëüíîé àëãåáðû Ëåéáíèöà.

Àâòîìîðôèçì ϕ ñâîáîäíîé äóàëüíîé àëãåáðû Ëåéáíèöà D íàçûâàåòñÿ ýëåìåí- òàðíûì [2, 3], åñëè íàéäåòñÿ iòàêîå, ÷òî

ϕ(x_i) =αx_i+g,

(13)

0 6= α ∈ k, g ∈ DLhx1, x2,· · · , xi−1, xi+1,· · · , xni, è ϕ(xj) = xj äëÿ âñåõ j 6= i. Àâòî- ìîðôèçì ψ àëãåáðû D íàçûâàåòñÿ ðó÷íûì, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåí- òàðíûõ àâòîìîðôèçìîâ. Íå ðó÷íûå àâòîìîðôèçìû àëãåáðû D íàçûâàþòñÿ äèêèìè.

×åðåç Aut(D) îáîçíà÷èì ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ àëãåáðû D.

Çàïèñü ϕ = (f₁, f₂,· · ·, f_n) îçíà÷àåò àâòîìîðôèçì ϕ àëãåáðû D òàêîé, ÷òî ϕ(x_i) =f_i,1≤i≤n.

Òåîðåìà 1. Ãðóïïà ðó÷íûõ àâòîìîðôèçìîâ ñâîáîäíîé äóàëüíîé àëãåáðû ËåéáíèöàA îò äâóõ ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäãðóïï ëèíåéíûõ àâòî- ìîðôèçìîâ GL₂(k) è òðåóãîëüíûõ àôòîìîðôèçìîâ T(A) ñ îáúåäèíåíîé ïîäãðóïïîé C =GL2(k)∪T(A), ò.å.

T ate(A) = GL₂(k)∗_cT(A).

1. Loday J.-L Cup-product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras // Math.

Scand., 1995. Vol. 77. P. 139–158.

2. Cohn P.M. Free rings and their relations. 2nd Ed.. London: Academic Press, 1985.

442 p.

3. Cohn P.M. Subalgebras of free associative algebras // Proc. London Math. Soc., 1964. Vol. 56. P. 618–632.

4. Áåéñåíáàåâà Ê.Ø. Ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ðó÷íûõ àâòîìîðôèçìîâ ñâîáîäíûõ àë- ãåáð Ëåéáíèöà ðàíãà 2 // Âåñòíèê ÅÍÓ, 2009. 6. Ñ. 171177.

Êðèòåðèé îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà òèïà äðîáíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè â âåñîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ëåáåãà

Áàêûòáåê À.

ìàãèñòðàíò

[email protected]

Ïóñòü 0 < p, q < ∞, 0 < α < 1, ¹_p + _p¹0 = 1,I = [0,+∞) è v,w âåñîâûå ôóíêöèè, òî åñòü íåîòðèöàòåëüíûå, ëîêàëüíî ñóììèðóåìûå íàI. ×åðåçL_p,w ≡L_p,w(I) îáîçíà÷èì ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé f, äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà

kfk_p,w =

Z +∞

0

|f(x)|^pw(x)dx ¹_p

, 1< p <∞.

ÏóñòüW :I →R₊ íåóáûâàþùàÿ, ëîêàëüíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ è a(·), b(·) ñòðîãî âîçðàñòàþùèå, ëîêàëüíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì

∀x ∈ I : 0 ≤ a(x) ≤ b(x) ≤ x, lim

x→0a(x) = lim

x→0b(x) = 0, lim

x→∞a(x) = lim

x→∞b(x) = ∞ è

dW(t)

dt =w(t).

Â äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ îãðàíè÷åííîñòè èçL_p,w(I)âL_q,v(I)îïå- ðàòîðà

Ef(x) = Z b(x)

a(x)

w(s)f(s)ds

(W(x)−W(s))^1−α, x∈I. (1)

(14)

Â ðàáîòå [1] àâòîðàìè áûëî ðàññìîòðåíî ñâîéñòâî îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà (1), ïðè a(x) = a ∈ R, à â ñëó÷àå W(x) = x îïåðàòîð (1) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ðèìàíà- Ëèóâèëëÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè, è ðàçëè÷íûå åãî àñïåêòû ðàññìîòðåíû â ðàáî- òàõ [2], [3].

Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ äîêàçàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì áëî÷íî-äèàãîíàëüíîãî ìåòîäà Áàòóåâà-Ñòåïàíîâà [4].

Òåîðåìà 1. Ïóñòü 1 < p ≤ q < ∞, ¹_p < α < 1. Òîãäà îïåðàòîð (1) îãðàíè÷åí èç L_p,w(I) â L_q,v(I) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

M =sup

k∈Z

A_k+sup

k∈Z

B_k<∞, ãäå

A_k = sup

z∈∆_k

W

1 p0

0 (a(z))· Z z

t_k

v(x)dx [W(x)]^q(1−α)

¹_q ,

B_k= sup

z∈∆_k

W^p¹⁰(b(z))·

Z tk+1

z

v(x)dx [W(x)]^q(1−α)

¹_q ,

∆_k = [t_k, t_k+1), W₀(a(x)) = W(a(t_k+1))−W(a(x)), W(x) =W(x)−W(a(t_k+1)), x≥a(t_k+1).

Ïðè÷åì kEk ≈M.

1. Àáûëàåâà À.Ì., Èñìàãóëîâà Ã.Æ. Êðèòåðèé îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà òèïà äðîáíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì â âåñîâûõ ïðîñòðàí- ñòâàõ Ëåáåãà // Siberian Mathematical Journal, 2008. 1. Ñ. 1725.

2. Prokhorov D.V. On the Riemann-Liouville operators with variable limits // Siberian Mathematical Journal, 2001. 1. Ñ. 137156.

3. Prokhorov D.V. Weighted estimates for the Riemann-Liouville operators with variable limits // Siberian Mathematical Journal, 2003. 6. Ñ. 10491060.

4. Áàòóåâ Ý.Í., Ñòåïàíîâ Â.Ä. Âåñîâûå íåðàâåíñòâà òèïà Õàðäè // Ïðåïðèíò ÂÖ ÄÂÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, Âëàäèâîñòîê, 1987. 22. Ñ. 669.

Îáîáùåíèå òåîðåìû Ðèìàíà îá óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäàõ Áåêìàãàíáåòîâ Á.Ê.

ñòóäåíò

Êàçàõñòàíñêèé ôèëèàë ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ã. Àñòàíà, Êàçàõñòàí

[email protected]

Ïóñòü σ : N → N áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òîãäà ðÿä P∞

n=1a_σ(n) íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ðÿäà P∞

n=1a_n. Åñëè äëÿ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà P∞

n=1a_n íå èìååò ìåñòà àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü, òî îí íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ. Õîðîøî èçâåñòíà [1]

Òåîðåìà 1 (Ðèìàí). Ïóñòü ðÿä èç âåùåñòâåííûõ ÷èñåë P∞

n=1a_n ñõîäèòñÿ óñëîâíî.

Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëàAíàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêàP∞

n=1a_σ(n)ðÿäàP∞ n=1a_n òàêàÿ, ÷òî P∞

n=1a_σ(n) =A.

(15)

Ââåäåì íîâîå îïðåäåëåíèå ñóììû ÷èñëîâîãî ðÿäà:

Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì s_n = Pn

k=1a_k, n ∈ N ðÿäà P∞

n=1a_n áóäåì íàçûâàòü ñóììîé ýòîãî ðÿäà. Íàïðèìåð, ñóììîé ðÿäà P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹ áóäåò äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî{0,1}.

Íàì ïîíàäîáèòñÿ îïðåäåëåíèå ñâÿçíîãî ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñâÿç- íûì, åñëè åãî íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ äâóõ íåïóñòûõ îòêðûòûõ íåïå- ðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ. Ïîäìíîæåñòâî ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñâÿçíî òîãäà è òîëüêî òî- ãäà, êîãäà âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ åãî òî÷êàìè â íåì ñîäåðæèòñÿ è âåñü îòðåçîê, èõ ñîåäèíÿþùèé. Òàêèì îáðàçîì, ñâÿçíûìè ïîäìíîæåñòâàìè ÷èñëîâîé ïðÿìîé ÿâëÿþò- ñÿ êîíå÷íûå è áåñêîíå÷íûå ïðîìåæóòêè âèäà

(a, b),(a, b],[a, b),[a, b],(a,+∞),[a,+∞),(−∞, b),(−∞, b],(−∞,+∞), ïðè ýòîì çàìêíóòûìè èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòêè âèäà

[a, b],[a,+∞),(−∞, a],(−∞,+∞).

Äëÿ óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå, èç êîòîðîãî ñëåäóåò òåîðåìà Ðèìàíà:

Òåîðåìà 2. Ïóñòü ðÿä èç âåùåñòâåííûõ ÷èñåë P∞

n=1a_n ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Òî- ãäà ñóììà ëþáîé åãî ïåðåñòàíîâêè åñòü çàìêíóòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî. Îáðàò- íî, äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ñâÿçíîãî ìíîæåñòâà A ⊂ R íàéäåòñÿ ïåðåñòàíîâêà ðÿäà P∞

n=1a_n, ñóììà êîòîðîé åñòü A. Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

1. Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. 695 ñ.

Î íåêîòîðûõ âåñîâûõ îöåíêàõ äëÿ ðåøåíèé îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

Ãàáèò Ë.

ìàãèñòðàíò

[email protected]

Â ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð Ly=−(ρ(t)y⁰)⁰ +q(t)y, t >0

ñ êîýôôèöèåíòàìè ρ > 0 èç êëàññà C¹(I), q ≥ 1 èç L_2,loc(I), I = (0,∞). Â ðàáîòå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

Ly=f, f ∈L₂(I), (1)

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâóL¹_2,ν.ÇäåñüC¹(I)êëàññ âñåõ ôóíêöèéϕ:I →R,èìåþùèõ âI íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþϕ⁰, C₀^∞(I) êëàññ âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ è ôèíèòíûõ â I ôóíêöèé; L₂(I) ïðîñòðàíñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé ϕ â I ñ êîíå÷íîé íîðìîé

kϕk₂ = Z ∞

0

|ϕ|²dξ ¹₂

.

(16)

L2,loc(I) ïðîñòðàíñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé ϕ ∈ L2(Ω) íà êàæäîì îòðåçêå Ω⊂I. L¹_2,ν(I) ïðîñòðàíñòâî âñåõ ôóíêöèé ϕñ êîíå÷íîé âåñîâîé ïîëóíîðìîé

kϕk_L¹

2,ν = Z ∞

0

|ν(t)y⁰|²dt ¹₂

,

ãäå ν ≥ 0, ν ∈ L_loc(I). Â (1) L îáîçíà÷àåò çàìûêàíèå â L₂ = L₂(I) ìèíèìàëüíîãî îïåðàòîðà

L˙ =− d dx

ρ d

dx

+q, D( ˙L) =C₀^∞(I).

Ïîëîæèì

h^∗(x) = sup

h >0 : h Z x+h

x

q

p(t)dt ≤1

,

ñì. [1]. Çàìåòèì, ÷òî0< h^∗(x)<∞(x∈I).Ââåäåì îáîçíà÷åíèå∆^∗(x) = (x, x+h^∗(x)).

Ïóñòü h(·) ïîëîæèòåëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ â I ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:

i)∀x >0

∆(x) =

x− h(x)

2 , x+h(x) 2

⊂I.

ii) Ñóùåñòâóåò òàêîå k > 1, ÷òî k⁻¹ ≤ h(t)

h(x) ≤k, åñëè t∈∆(x).

Ïîëîæèì

K₁(x) = sup

t∈∆(x)

h^∗(t) Z

∆^∗(t)∩∆(x)

ρ⁻¹(ξ)dξ, K₂(x) = sup

t∈∆(x)

h^∗(t) Z

∆^∗(t)∩∆(x)

q² p(ξ)dξ.

Ïóñòü A åñòü òî÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ â íåðàâåíñòâå

max

[0,1] |y| ≤A Z 1

0

|y⁰|²+|y|² dt

¹₂ . Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñóùåñòâóþò b, b₁ >1 òàêèå, ÷òî

b⁻¹ ≤ ρ(t) ρ(x) ≤b, åñëè t∈∆(x),

sup

t∈∆(x)

|ρ⁰(t)|

ρ(t) ≤ b₁ h(x). Ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ: à) Åñëè

K₁ = 5πb²Ap

(1 +k⁴)432b²A+ 34k²√ 1 +b²

sup

x>0

ρ(x)

h(x)K₁(x)<1, K2 = 5√

27(bA)²sup

x>0

pK1(x)K2(x)<∞, òî îïåðàòîð qL⁻¹ : L₂ →L₂ îãðàíè÷åí.

(17)

b) Åñëè

K₃ = sup

x>0

h(x) ρ²(x)

Z

∆(x)

ν²(t)dt ¹₂

<∞, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ C >0, ÷òî

kyk_L¹

2,ν ≤C(kLyk₂+kyk₂). Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

1. Îòåëáàåâ Ì., Êóñàèíîâà Ë.Ê. Îöåíêè ñïåêòðà îäíîãî êëàññà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ // Òðóäû èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2009. Ò. 6. 1.

Ñ. 165169.

Ïðîèçâîäíûå Ëèóâèëëÿ-Âåéëÿ äâîéíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Äæóìàáàåâà À.À.

ïðåïîäàâàòåëü

[email protected]

Ïóñòü L_p(T²), 1< p <∞ ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ 2π−ïåðèîäè÷åñêèìè â êàæäîé ïåðåìåííîé è òàêèìè, ÷òî

kfk_p =





2π

Z

0 2π

Z

0

|f(x₁, x₂)|^pdx₁dx₂





1 p

<∞.

L⁰_p ìíîæåñòâî ôóíêöèé f ∈L_p òàêèõ, ÷òî

2π

Z

0

f(x₁, x₂)dx₂ = 0 ï.â.x₁,

2π

Z

0

f(x₁, x₂)dx₁ = 0 ï.â.x₂.

Ïóñòü f^(ρ¹^,ρ²⁾ ïðîèçâîäíàÿ â ñìûñëå Âåéëÿ ôóíêöèé f(x₁, x₂) ïîðÿäêà ρ₁(ρ₁ ≥0) îòíîñèòåëüíî x₁ è ïîðÿäêà ρ₂(ρ₂ ≥0)îòíîñèòåëüíî x₂.

Ïóñòü Y_m₁_,m₂(f)_p íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå äâóìåðíûì óãëîì ôóíêöèè b f ∈L_p(T²), ò.å.

Y_m₁_,m₂(f)_p = inf

Tm1,∞,T∞,m2

kf −T_m₁,∞−T∞,m2k_p,

ãäå ôóíêöèÿT_m₁,∞(x₁, x₂)∈L_p(T²)ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì ïîðÿä- êà íå áîëåå m1 îòíîñèòåëüíî x1, è ôóíêöèÿT∞,m2(x1, x2)∈Lp(T²)ÿâëÿåòñÿ òðèãîíî- ìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì ïîðÿäêà íå áîëåå m₂ îòíîñèòåëüíî x₂.

×åðåç σ(f) îáîçíà÷èì ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ∈L_p(T²), ò.å.

σ(f)≡

∞

X

n1=0

∞

X

n2=0

(an1n2cosn1x1cosn2x2+bn1n2cosn1x1sinn2x2+ +c_n₁_n₂sinn₁x₁cosn₂x₂+d_n₁_n₂sinn₁x₁sinn₂x₂), ãäå äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ cos(0·t) = ¹₂.

Посвящена 20-летию Астаны 20–21 апреля 2018 года

XIV Международная

научная конференция студентов, магистрантов и молодых ученых

«Л ОМОНОСОВ – 2018»

Посвящена 20-летию Астаны 20–21 апреля 2018 года

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ I часть

«Л ^{ОМОНОСОВ} – 2018»