Р Е Д А К Ц И Я Л Ы Қ А Л Қ А

(1)

1 ҒЫЛЫМИ ЖУРНАЛ 1996 жылдың қарашасынан бастап екі айда бір рет шығады

A.Yesevi UKTÜ Bülteni  Вестник МКТУ им. А.Ясави  Bulletin of IKTU named A.Yasawi

№2 (74)  Шілде-тамыз  2011

Ж а р а т ы л ы с т а н у ғ ы л ы м д а р с е р и я с ы



БАС РЕДАКТОР

техника ғылымдарының докторы, профессор ЛЕСБЕК ТӘШІМҰЛЫ ТӘШІМОВ

Р Е Д А К Ц И Я Л Ы Қ А Л Қ А

ЕРГӨБЕК Құлбек Сәрсенұлы

филология ғылымдарының докторы, профессор

-Бас редактордың орынбасары

ӘБІЛДАЕВА Гүлжан Елібайқызы -аға редактор

БАЙҒҰТ Мадина Жүсіпқызы -көркемдеуші редактор

А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

(2)

2

ҚҰРЫЛТАЙШЫ

Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

А қ ы л д а с т а р а л қ а с ы : Ағдарбеков Т.А., Айменов Ж.Т., Ақбасова А.Ж.,

Әбілтаин М., Байдәулетов И.О., Байжігітов Қ.Б., Бахтыбаев А.Н., Бердібай Р., Беркімбаев К., Ділбарханова Р., Жолдасбаев С., Жұмабаев М.Ж., Кенжетай Д., Мұхамеджанов Б., Мырзалиев Б.С., Накипов Б., Нұсқабаев О., Раимбердиев Т.П., Тәукебаева Р.Б., Тұртабаев С.Қ., Сейдинов Ш.М., Шалқарова Ж.Н.

Журнал Қазақстан Республикасының Баспасөз және бұқаралық ақпарат істері жөніндегі ұлттық агенттігінде 1996 жылғы 8-қазанда тіркеліп, №232 куәлік берілген.

Индекс №75637

Редакцияның мекен-жайы:

161200, Қазақстан Республикасы, Түркістан қаласы, ХҚТУ қалашығы, Б.Саттархан даңғылы, №29, 131-бөлме

 (8-725-33) 3-11-15 (133), E-maіl: [email protected].

Журнал Қ.А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

«Тұран» баспаханасында көбейтілді.

Көлемі 70х100 1/6. Қағазы офсеттік. Офсеттік басылым.

Шартты баспа табағы 33,6. Таралымы 300 дана.Тапсырыс 425. 

(3)

3 А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №2, 2011

МЕХАНИКА, МАТЕМАТИКА, МОДЕЛЬДЕУ

C.ТАЗАБЕКОВ

кандидат физико-математических наук, профессор МКТУ им. А.Ясави

З.Б.ТУКУБАЕВ кандидат технических наук,

доцент МКТУ им. А.Ясави

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СИЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ Бұл мақалада күшті жуықтаулар теориясындағы бір бағалау қарастырылған.

This article deals with evaluation of the theory of strong approximation.

Пусть C-пространство непрерывных, 2



-периодических функций f , n

S_n  -ая частичная сумма ряда Фурье, С-произвольная постоянная, не зависящая от n и f .

В работе [1] L. Leindler покaзал, что если f⁽^r⁾Lip,01, r0,1,..., то справедливо неравенство

 

1 1

0

1

( , , ) 1 ( 1)

( 1)

, ( ) ,

log , ( ) , , 0

n p p

n c v

v

C

r

p r

H f p v S f

n

c r p

n

c n

r p p

n







 

  







 

      

  



    

 (1)

Нaстоящая заметка посвящена улучшению неравенства (1) при r 0. Лемма 1. Пусть gL(0,2), g(t) M, тогда для любых ,q0 справедливо неравенство

CM x

g S m k

q q k

m

k

 





 

 





/ 1

0

1 ( , )

) 1 ) (

1 (

1 _



. (2)

Доказательство. Не уменьшая общности, можно предположить, что

2

q . Действительно, если (2) справедливо для некоторого q, то оно остается в силе и для q^* 0, не большего q.

Используя формулу Дирихле для частичных сумм, мы получаем

1

1 1

0 0 1

1 2

1 ( 1) ( , ) ( 1) ( ) ( )

( 1) ( 1)

( ) ( ) ,

q m

m m

q

k k

m q

k I

k S g x c k g x t D t dt

m m

g x t D t dt

 

 ^  ^

  



     

  





   



  

  

где D_k(t)-ядро Дирихле,



 

 



 m m

I 1

1 , / ] ,

[   .

(4)

4

А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №2, 2011 Тазабеков C., Тукубаев З.Б.Об одной задаче сильного приближения

Так как _D ₍_t₎ _₍₂_k_₁₎

k , то

1/

1 1

0 1/

1 0

( 1) ( ) ( )

( 1)

2 ( 1) (2 1)

( 1)

m q m

k

k m

q q m

q q

p

k

c k g x t D t dt

m

CM k k CM

m m





 





 

       

 

       

  



При оценке ² воспользуемся неравенством Хаусдорфа-Юнга (см., напр.,[2], с. 152).























 



 















     

 



 









r q

I r

r q

m q

k I

q

t dt m q

m m M

c

tdt k t

t x m g

m M m

c

1 0 1 2

) 1 ( ) 1 ) (

1 (

2 ) 1 2 sin( ) ) (

1 ( ) 1 ( ) 1 (



) 1 ( 

 q

r q .

Окончательно,

r q q r q

q CM

m M m

c 















 



 



 





 

) 1 ( 1

2

) 1 1 ( ) 1 ( )

1 (



. Лемма 2. Для любого p0 и натуральных n справедливо неравенство

n f p

k n

n k

CE f

S

n k 











 







1 2

1

) 1

1

1 ( 

 , (3)

где E_n -наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами степени не выше n.

Доказательство. Очевидно, что при mk

S_kf,T_m,xS_k(f)S_k(T_m)S_k(f)T_m,

где T_m -тригонометрический полином наилучшего приближения. Отсюда и из леммы 1 следует, что

² ¹ ¹ ² ¹



¹ ¹



¹

1 1

1 2 1 1 2

1 1

1

1 1

1 2

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )

1 1

2 ( 1) ( ) 2 ( 1)

1

n p p p n p p p

k k k n n

k n k n

n p p n p p

p p

k n n

k n k n

n n

k S f f k S f S T T f

n n

k S f T k T f

n n

C E E cn

n

 



 



 

 

   

  



 

   

 

 

         

   

   

   

 

          

 

 

 

 

   

 

1 p .

CEn

 

  

 

 

 

Теорема. Если f C, ,p0, то

ⁿ ^p

v

p v p p

v n

v

n v E

n f C

S n v

p f H

1

0

1 1

0

1 ( 1)

) 1 ) (

1 ) (

1 ( ) 1 , ,

( 



 

 







  

   







 

 

  .

Доказательство. Если в неравенстве (3) последовательно полагать

(5)

Тазабеков C., Тукубаев З.Б.Об одной задаче сильного приближения

, 2 ,...

4 , 2 ,

1 ^



n то можно получить систему неравенств

2 2 ¹ 2v1 2 3 ¹ 2v 2 ... (2 ¹ 1) 2v¹ 2 2v,

p p p

v v v v p p

S f S f S f C E

  



  

 

          (4)

0,1,...

v С помощью неравенств (4) находим



 

  

) 5 ( ,

2 ) 2

1 (

1

2 ...

2 ) 2

1 ( 1 1

...

3 ) 2

1 ( ) 1

1 ) ( 1 (

1

0 1 2

1 0

2 2 1 1

1 0

1

2 1 1

1 0

0 1







    

 









 















 





 







 



m

v p v p p p

p p m p P p p p p

p n

p p

v n

v

m

E C f S f n S

E C E

C E C f S f n S

f S n

f S f S f n S

f S n v



где



 



 2 ln lnn m

.

Используя свойства частичных сумм Фурье, нетрудно показать,

p p

CE f

S0   0 ,

p p

CE f

S₁   ₁ . (6) Далее, учитывая, что (см., напр., [3] , с. 345)











v

v v

p p

v E E

2

1 2

1

2 2

  



  ,

а также то, что 2^m n, и подставляя неравенства (6) в (5), получим



1

0 1 2 0 1

0 0

2 2

1 1 1

1 2 1 0 0

1 ( 1) 2 (1 2 )

( 1) ( 1) ( 1)

2 ( 1) ( 1) .

( 1) ( 1)

v

v m

v

n m

p p p v p p p

v

v v

m n

p p p

v p v

v v v

C C

v S f E E E E E

n n n

C C

E v E v E

n n

  

   

 





 

  

    

 

         

    

     

 

 

   

ЛИТЕРАТУРА

1. Leindler L. Strong and best approximation of Fourier series and the Lipschitz classes, Anal.Math., 4, 1978, p.101-116.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, Т. 2.

3. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

(6)

6

А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №2, 2011

С.Н.АМИРГАЛИЕВА доктор физико-математических наук

профессор КБТУ М.Д.КОШАНОВА преподаватель МКТУ им. А.Ясави

ПРИМЕРЫ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗАДАЧ НА КРИТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ

Мақалада механикалық конструкциялардың динамикасының, яғни біртұтас массалы балкалардың тербелісінің ерекше резонансты мәндері анықталатын жалпыланған әдістеме көрсетілген. Олар шекаралық шарттары бар дифференциалдық теңдеулер арқылы өрнектеледі.

Осы дифференциалдық теңдеулерді шешу арқылы меншікті мәндерді, яғни біртұтас массалы балкалардың тербелісінің ерекше резонансты мәндерін анықтау мүмкін болады.

Some examples on definitions critical resonant values of dynamics of mechanical designs, in particular fluctuations of a beam with the concentrated weights are considered. Processes are described through the differential equations with boundary conditions. Solving these differential equations with boundary conditions, we define own values, i.e. critical resonant values of fluctuation of a beam with the concentrated weights.

Приводились примеры промежуточных задач на определения критических резонансных значений динамики механических конструкций.

Они описываются через дифференциальные уравнения с граничными условиями. Решая эти дифференциальные уравнения с граничными условиями, мы определяем собственные значения, т.е. критические резонансные значения.

Колебания балки с сосредоточенными массами

Пусть балка длины l нагружена в точках, отстоящих от левой опоры на расстояния x₁,x₂,...,x_n, сосредоточенными массами m₁,m₂,...,m_n (рисунок 1). Оба конца балки шарнирно оперты; можно рассматривать и другие способы крепления, при этом изменятся только коэффициенты связи _jk.

Рисунок 1. Изгибные колебания балки с n сосредоточенными массами

Рассмотрим малые изгибные колебания, т.е. малые отклонения yn

y

y₁, ₂,..., нагруженных точек балки; при этом примем, что массой балки по сравнению с массами m₁,m₂,...,m_n можно пренебречь, и будем учитывать только жесткость на изгиб балки EJ.

Нагрузка P в точке x_j вызывает в точке x_k прогиб y_k P_jk. Для

y

1

y

2

x y

ⁿ

x

1

x

2

y

m1

m

2

m

_n

(7)

Амиргалиева С.Н.,Кошанова М.Д. Примеры промежуточных задач на критические резонансные...

шарнирно опертой на обоих концах балки при постоянной жесткости на изгиб EJ

 















 













 

 

 

. , ,

; ,

6 2 ²

2 3 2

k j

x x x

l x

x x

l x x x EJl

x l x

jk kj

j k j j

k j

k j j k

j jk



 (1)

В соответствии с принципом Даламбера при колебаниях добавляются силы инерции - m_jy_j, имеющие смысл нагрузки, так что, складывая прогибы, полученные от суммарного действия n сил, получим















. ,

2 2 2 1 1 1

1 12

2 2 11 1 1 1

nn n n n

n n

n n n

y m y

m y

y m y

m y





 















(2) Введя матрицы





















nn n

n

n n





2 1

2 22

21

1 12

11

,





















mn

m m



0 0

2

1

,



















yn

y y

 ²

1

,

(3)

можно коротко записать (2) в следующем виде:



 . (4)

Будем теперь рассматривать собственные колебания, при которых все массы колеблются в одном ритме, т.е. с одной круговой частотой  и одинаковой фазой:

t Y

y_j  _jcos ,

т.е. y_j 



²y_j или ². (5)

Отсюда следует ²; (6)

здесь _ __

1

2 ; (7) таким образом, получается частная задача на критические резонансные значения





 (8) с матрицей , в общем случае несимметричной.

Для  получается, однако, промежуточная задача на собственные значения



 ^¹

 (9)

с симметричной матрицей .

Например, введя, как в (  ^ ^² 

1 2 1

UD D

C ), обозначение

(8)

8





²

1 , получаем частную задачу критические резонансные значения



¹²¹²

 (10) с симметричной матрицей .

Например, можно выбрать _, ₁_,₂_,₃

4 

 l j j

x_j , и

g m_j G^j ; кг

G

G1  3 10 ;_G ₂₁_кг

2  (рисунок 2).

Рисунок 2. Балка с тремя сосредоточенными массами

Матрицы  и  здесь получаются следующие:























 ^

9 11 7

11 16 11

7 11 9



 с

EJ l 768

 3

 ,





















10 0 0

0 21 0

0 0 10

 ,

g êã

1

 . Уравнение (9) с обозначениями

2

1

 ^

 

^ приводит к

следующему вековому уравнению:

210 0 240 46 2 10

16 10 11

21 22 16 2 10 9 10

11 7

21 11 16 11

7 10 11

9

2

 









 



 

 







 



 







Его корни:

1 490

^ (основное колебание),

2 20

^ (1-е высшее колебание),

3 6

^ (2-е высшее колебание).

Теперь также легко найти форму собственных колебаний; например

3 6

^ дает для компонент z_j вектора  однородную систему уравнений (легко выписываемую по определителю)





















0 4 , 8 11 7

, 0 7 11

11 110

, 0 7 11 4 , 8

3 2 1

z z z

Решение с точностью до постоянного множителя будет кг

21

4l 1

кг

10 10кг

4l

1 l

4

1 l

4 1

(9)

1 1

z , z₂ 1,4, z₃ 1.

Собственно для других колебаний получаем собственные векторы (не нормированные)

















 1 3 1

1 ,



















 1 0 1

2 ,



















 1

4 , 1 1

3 , из которых с помощью ^¹ вычисляются смещения:















10 1 7 1 10

1

1

,



















 10

1 0 10

1

2

,

















10 1

15 1 10

1

3

.

Это векторы не ортогональны друг другу, как были бы ортогональны векторы

j j ¹²

 .

Рисунок 3 . Форма собственных колебаний балки ЛИТЕРАТУРА

1. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. -М.: Наука, 1968. - 504 с.

2. Кангужин Б.Е., Кошанова М.Д. О теореме единственности и существования решения нелокальной по времени задач для уравнения типа С.Л.Соболева // Известия НАН РК. – 2010. -

№ 1. -С. 4-10.

3. Амиргалиева С.Н., Кошанова М.Д. Численно-аналитические методы решения моделей динамики механических конструкций // Вестник инженерной академии Республики Казахстан. – 2010, №4.

– С. 5662.

10 1

7 1

10 1

10

1

o

10 1 10

1

13

1

(10)

10

Л.Т.КУРБАНАЛИЕВ кандидат физико-математических наук, старший преподователь МКТУ им А.Ясави

Д.К.АЛИМОВ магистр- преподователь

Б.Ж.СЕЙТОВ

магистр-преподователь МКТУ им. А.Ясави

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНОГО МЕТОДА В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Мақалада көп қабатты орталарда бойлама және көлденең серпімді толқындардың таралу есебі қарастырылған. Қойылған есепті шешу үшін матрицалық әдіс қолданылды. Есептің бастапқы және шекаралық шарттары потенциалдармен жазылды. Орын ауыстырулар және кернеулерді есептеу үшін потенциалдармен сипатталатын формулалар алынды.

Матрицалық әдісті қолдану нәтижесінде алынған бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі келтірілген.

In a paper the task of distribution of longitudinal and transversal elastic waves in stratified mediums surveyed. The matrix method is applied for a solution of the delivered task. Original and the boundary conditions of the task express through potentials. The formulas through potentials, for calculation of migrations and stresses are obtained.

The system of the differential equations of the first order is reduced which is obtained as a result of application of a matrix method.

Матричный метод позволяет получить ряд новых результатов касающихся распространения волн в слоистых средах [1]. В частности, удалось доказать, что среда с конечным числом периодов в области низких частот W может быть заменена ттрансверсально однородной средой.

Погрешность этой замены оказывается в общем случае пропорциональной W²/n. В упругой периодической среде этот факт ранее доказывался на основании ряда гипотез [2]. Указанный подход применен более сложным периодическим средам, в которой между периодическими пачками слоев имеется контакт, с проскальзыванием записи колебаний земли, полученные с помощью сейсмографов, содержат информацию как о природе сейсмического источника, породившего это движение, так и о свойствах среды, через которую распространялось возмущение (рис.1).

Рисунок 1. Схематическое изображение задачи.

(11)

Курбаналиев Л.Т., Алимов Д.К.,Сейтов Б.Ж.Использование матричного методав задачах...

Большое практическое значение представляют расчетные методы, которые на этапе предварительных оценок и заключительном могли бы дать нужные значения собственных частот колебания грунтов, количественные поправки за счет грунтовых условий.

Анализ матриц, описывающих слои при распространении упругих волн, дает возможность при малой кривизне слоев записать приближенное выражение [1]:

,

2 2 1

1

0 kr

C kr

C C

C   

для матрицы произвольного слабо искривленного упругого слоя, в котором распространяются двумерные волны. Здесь k - волновое число, матрица С0

описывает плоскопараллельный слой, а r1 и r2 - радиуcы кривизны границ соответственно в направлении распространения волн и вдоль слоя, перпендикулярном первому направлению. Второй в третий члены характеризуют поправки на кривизну поверхности слоев, поправочные матрицы ΔC1 И ΔC2 представляют в виде сходящихся рядов по степеням отношения толщины слоя к длине волны и имеют конечные представления.

Рассмотрим распространение плоских гармонических волн в среде, состоящей из n - слоев с плоскопараллельными границами раздела (рис. 2), считая каждый слой пористым, содержащим один из заполнителей: вязкую жидкость, газо-жидкостную смесь, газ.

Рассмотрим два случая, когда исследуемая слоистая среда заключена:

(А) - между двумя полупространствами (с индексами т=0 и т = п +1) или (В) - между свободной поверхностью и полупространством.

Задача заключается в определении для случая (А) - амплитудных и фазовых спектров, коэффициентов отражения и преломления для всех заданных углов падения; (В) - амплитудно-частотных фазовых спектров горизонтальных и вертикальных смещений на свободной поверхности и коэффициентов отражения от пакета слоев. Эти характеристики необходимы и служат основными величинами для определения приращения балльности территории. Предположим, что из нижнего полупространства (ZО) падает плоская гармоническая волна с частотой W под углом θ и фазовой скоростью C от удаленного источника.

Граничные условия задачи между слоями (во всех точках площадки контакта) задаем для обоих случаев в виде равенств: скоростей смещений скелета, напряжений твердой компоненты, давления жидкости и сохранения потока веществ.

(12)

12

А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №2, 2011 Курбаналиев Л.Т., Алимов Д.К.,Сейтов Б.Ж.Использование матричного методав задачах...

Рис. 2. Модели сред и направления векторов.

, ,

, 1( 1) 1( ) ( 1) ( 1) ( )

) ( 1 ) 1 (

1m U m V m V m zz<